Λύσεις — Κεφάλαιο 2 · Λογικά Κυκλώματα (Ερωτήσεις-Ασκήσεις, σελ. 84–86) – ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΜΟΣ Α΄ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 2 · Λογικά Κυκλώματα (Ερωτήσεις-Ασκήσεις, σελ. 84–86)

Λύσεις στις Ερωτήσεις-Ασκήσεις του βιβλίου για τα λογικά κυκλώματα (αριθμητικά/λογικά αποτελέσματα επαληθευμένα με κώδικα).

Αναγνώριση πυλών από πίνακες

Ερώτηση: Αντιστοιχίστε τους πίνακες αληθείας με τις πύλες AND, OR, NOT, NAND, NOR.

Λύση:

• AND: 00→0, 01→0, 10→0, 11→1 (μόνο όταν και οι δύο = 1).
• OR: 00→0, 01→1, 10→1, 11→1 (τουλάχιστον μία = 1).
• NOT: 0→1, 1→0 (μία είσοδος — αντιστροφή).
• NAND: 00→1, 01→1, 10→1, 11→0 (συμπλήρωμα του AND).
• NOR: 00→1, 01→0, 10→0, 11→0 (συμπλήρωμα του OR).

Απάντηση: Πίνακας «1 μόνο στο 11»=AND· «0 μόνο στο 11»=NAND· «1 μόνο στο 00»=NOR· «0 μόνο στο 00»=OR· μονής εισόδου αντιστροφή=NOT.

Πρόσεξε:

• Επαληθεύτηκε με κώδικα.
• Κλειδί: πού βρίσκεται το μοναδικό διαφορετικό αποτέλεσμα.

Πύλες ↔ σχέδια (ευρωπαϊκά ΚΑΙ αμερικανικά)

Ερώτηση: Αντιστοιχίστε τις πύλες AND, NAND, NOR, NOT, OR με τα σχέδιά τους (ερωτ. 2 & 3: ευρωπαϊκά/DIN & αμερικανικά σύμβολα).

Λύση:

• Αμερικανικά (ANSI) σύμβολα: AND = σχήμα «D» (ίσιο αριστερά, καμπύλο δεξιά)· OR = ασπίδα με καμπύλη είσοδο & μυτερή έξοδο· NOT = τρίγωνο με μικρό κύκλο στην έξοδο· NAND = AND + κύκλος στην έξοδο· NOR = OR + κύκλος στην έξοδο.
• Ευρωπαϊκά (DIN/IEC) σύμβολα: ορθογώνιο πλαίσιο με ένδειξη μέσα: & για AND, ≥1 για OR, 1 με κύκλο για NOT· τα NAND/NOR έχουν τον κύκλο άρνησης στην έξοδο.
• Ο κύκλος στην έξοδο σημαίνει πάντα άρνηση (NOT).

Απάντηση: AND=&/«D»· OR=≥1/ασπίδα· NOT=1/τρίγωνο+κύκλος· NAND=AND+κύκλος· NOR=OR+κύκλος.

Πρόσεξε:

• Βασίζεται στα σχέδια του βιβλίου (σχ. 2.x).
• Ο κύκλος εξόδου = άρνηση.

Πράξεις ↔ μαθηματικά σύμβολα

Ερώτηση: Αντιστοιχίστε τις λογικές πράξεις AND, OR, NOT, NAND, NOR με τα μαθηματικά σύμβολα.

Λύση:

• AND → \( A\cdot B \)
• OR → \( A+B \)
• NOT → \( \overline{A} \)
• NAND → \( \overline{A\cdot B} \)
• NOR → \( \overline{A+B} \)

Απάντηση: AND=\(A\cdot B\)· OR=\(A+B\)· NOT=\(\overline{A}\)· NAND=\(\overline{A\cdot B}\)· NOR=\(\overline{A+B}\).

Πρόσεξε:

• Η παύλα (¯) δηλώνει άρνηση ολόκληρης της παράστασης.

Λογικό κύκλωμα από παράσταση

Ερώτηση: Δώστε το λογικό κύκλωμα για τις παραστάσεις \( O=A+B\cdot(A+C) \) και \( O=\overline{A}+\overline{B}\cdot C+D\cdot E \).

Λύση:

• \( O=A+B\cdot(A+C) \): πύλη OR (A,C) → η έξοδός της & το B σε πύλη AND → η έξοδος αυτή & το A σε τελική πύλη OR.
• (Απλοποίηση με απορρόφηση: \( A+B(A+C)=A+AB+BC=A+BC \) — άρα αρκεί μία AND (B·C) και μία OR με το A.)
• \( O=\overline{A}+\overline{B}\cdot C+D\cdot E \): αντιστροφείς για \( \overline{A},\overline{B} \)· AND(\( \overline{B},C \))· AND(D,E)· τελική OR των τριών όρων \( \overline{A} \), \( \overline{B}C \), \( DE \).

Απάντηση: 1ο: OR(A,C)→AND(·B)→OR(·A) [= \(A+BC\)]. 2ο: OR των \(\overline{A}\), \(\overline{B}\!\cdot\!C\), \(D\!\cdot\!E\).

Πρόσεξε:

• Η προτεραιότητα: πρώτα οι παρενθέσεις & τα γινόμενα (AND), μετά τα αθροίσματα (OR).
• Το 1ο απλοποιείται με απορρόφηση σε \( A+B\cdot C \).

Απλοποίηση από πίνακες αληθείας

Ερώτηση: Σχεδιάστε το απλοποιημένο λογικό κύκλωμα που περιγράφεται από τους δύο πίνακες αληθείας (3 εισόδων).

Λύση:

• Πίνακας 1 (έξοδος 1 στα 010, 100, 110): όλοι οι όροι έχουν \( C=0 \). Ομαδοποίηση → \( O=B\overline{C}+A\overline{C}=(A+B)\cdot\overline{C} \).
• Κύκλωμα: OR(A,B) → AND με \( \overline{C} \) (μέσω NOT στο C).
• Πίνακας 2 (έξοδος 1 στα 000, 011, 101, 110 — άρτιο πλήθος άσσων): \( O=\overline{A\oplus B\oplus C} \) (συνάρτηση άρτιας ισοτιμίας / XNOR τριών εισόδων).
• Κύκλωμα: δύο XOR σε σειρά (A⊕B, μετά ⊕C) και τελικά NOT (ή ισοδύναμα XNOR).

Απάντηση: Πίν.1: \( O=(A+B)\cdot\overline{C} \). Πίν.2: \( O=\overline{A\oplus B\oplus C} \) (άρτια ισοτιμία/XNOR-3).

Πρόσεξε:

• Και οι δύο απλοποιήσεις επαληθεύτηκαν με κώδικα σε όλους τους 8 συνδυασμούς.
• Στον πίν.2 η συνάρτηση δεν απλοποιείται σε μικρό SOP — είναι η ισοτιμία (parity).

Κυκλώματα με ηλεκτρονόμους από τους πίνακες

Ερώτηση: Σχεδιάστε τα κυκλώματα αυτοματισμού με ηλεκτρονόμους που αντιστοιχούν στα απλοποιημένα λογικά κυκλώματα των παραπάνω πινάκων (και απλοποιήστε ηλεκτρολογικά).

Λύση:

• Πίν.1 — \( O=(A+B)\cdot\overline{C} \): δύο επαφές A και B παράλληλα (OR), σε σειρά με μια κανονικά κλειστή (NC) επαφή του C (\( \overline{C} \)) → οδηγούν το πηνίο του καταναλωτή.
• Πίν.2 — άρτια ισοτιμία: υλοποιείται με επαφές που αναπαριστούν τους 4 όρους \( \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}BC+A\overline{B}C+AB\overline{C} \) (τέσσερις κλάδοι σε σειρά ο καθένας, όλοι παράλληλα). Δεν επιδέχεται σημαντική ηλεκτρολογική απλοποίηση (συνάρτηση ισοτιμίας).

Απάντηση: Πίν.1: (A ∥ B) σε σειρά με NC-επαφή C. Πίν.2: παράλληλοι κλάδοι των 4 όρων ισοτιμίας.

Πρόσεξε:

• Κανόνας: AND=σειρά, OR=παράλληλα, NOT=NC επαφή.
• Βασίζεται στους πίνακες της άσκ. 6.

Λογικά κυκλώματα από κυκλώματα ηλεκτρονόμων

Ερώτηση: Δώστε τα αντίστοιχα λογικά κυκλώματα που προκύπτουν από τα δοσμένα κυκλώματα με ηλεκτρονόμους (α, β, γ).

Λύση:

• Διαβάζουμε το κύκλωμα επαφών & εφαρμόζουμε την αντίστροφη αντιστοιχία:
• επαφές σε σειρά → πύλη AND, επαφές παράλληλα → πύλη OR, NC επαφή → NOT στη μεταβλητή.
• Γράφουμε την παράσταση Boole κάθε κλάδου και τη σχεδιάζουμε με πύλες.

Απάντηση: Σειρά→AND, παράλληλα→OR, NC→NOT· εξάγουμε την παράσταση & σχεδιάζουμε τις πύλες.

Πρόσεξε:

• Βασίζεται στα σχέδια (α),(β),(γ) του βιβλίου (σελ. 85–86) — απαιτείται ανάγνωση των επαφών από το PDF.