Λύσεις — Κεφάλαιο 2 · Λογικά Κυκλώματα (Ερωτήσεις-Ασκήσεις, σελ. 84–86) – ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΜΟΣ Α΄ Β΄ ΕΠΑΛ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΜΟΣ Α΄ Β΄ ΕΠΑΛ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΜΟΣ Α΄ Β΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 2 · Λογικά Κυκλώματα (Ερωτήσεις-Ασκήσεις, σελ. 84–86) – ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΜΟΣ Α΄ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 2 · Λογικά Κυκλώματα (Ερωτήσεις-Ασκήσεις, σελ. 84–86)

Λύσεις στις Ερωτήσεις-Ασκήσεις του βιβλίου για τα λογικά κυκλώματα.

Αναγνώριση πυλών από πίνακες

Ερώτηση: Αντιστοιχείστε τους παρακάτω πίνακες αληθείας με τις πύλες AND, OR, NOT, NAND, NOR.

Λύση:

Εξετάζουμε σε κάθε πίνακα πότε η έξοδος \( O_1 \) είναι 1.
1ος πίνακας (επάνω αριστερά): 00→0, 01→0, 10→0, 11→1 (1 μόνο όταν και οι δύο είσοδοι είναι 1) → AND.
2ος πίνακας (επάνω στο μέσο): 00→0, 01→1, 10→1, 11→1 (1 όταν τουλάχιστον μία είσοδος είναι 1) → OR.
3ος πίνακας (μίας εισόδου): 0→1, 1→0 (αντιστροφή) → NOT.
4ος πίνακας (κάτω αριστερά): 00→1, 01→1, 10→1, 11→0 (συμπλήρωμα του AND) → NAND.
5ος πίνακας (κάτω δεξιά): 00→1, 01→0, 10→0, 11→0 (συμπλήρωμα του OR) → NOR.

Απάντηση: 1ος πίνακας = AND, 2ος = OR, 3ος (μίας εισόδου) = NOT, 4ος = NAND, 5ος = NOR.

Πρόσεξε:

Κλειδί: πού βρίσκεται το μοναδικό διαφορετικό αποτέλεσμα του πίνακα.
Ο πίνακας με μία μόνο είσοδο μπορεί να είναι μόνο της πύλης NOT.

Πύλες ↔ σχέδια (ευρωπαϊκά ΚΑΙ αμερικανικά)

Ερώτηση: 2. Αντιστοιχείστε τις παρακάτω πύλες με τα σχέδια τους. AND, NAND, NOR, NOT, OR. 3. Αντιστοιχείστε τις παραπάνω πύλες με τα αμερικάνικα σχέδια παρακάτω.

Λύση:

Ερώτηση 2 (σύμβολα κατά DIN, με ορθογώνιο πλαίσιο), από αριστερά προς τα δεξιά: 1ο σύμβολο «&» → AND· 2ο «>=1» → OR· 3ο «&» με κύκλο στην έξοδο → NAND· 4ο «>=1» με κύκλο στην έξοδο → NOR· 5ο (μίας εισόδου, με κύκλο στην έξοδο) → NOT.
Ερώτηση 3 (αμερικάνικα σύμβολα), από αριστερά προς τα δεξιά: 1ο σχήμα OR με κύκλο στην έξοδο → NOR· 2ο σχήμα «D» → AND· 3ο τρίγωνο με κύκλο → NOT· 4ο σχήμα OR (καμπύλη είσοδος, μυτερή έξοδος) → OR· 5ο σχήμα «D» με κύκλο → NAND.
Ο κύκλος στην έξοδο σημαίνει πάντα άρνηση της εξόδου.

Απάντηση: Ερ. 2: AND, OR, NAND, NOR, NOT (με τη σειρά των σχεδίων). Ερ. 3: NOR, AND, NOT, OR, NAND (με τη σειρά των σχεδίων).

Πρόσεξε:

Στα σύμβολα κατά DIN το είδος της πύλης φαίνεται από την ένδειξη μέσα στο πλαίσιο (& ή >=1)· στα αμερικάνικα από το σχήμα.
Ο κύκλος εξόδου = άρνηση (NAND = AND + κύκλος, NOR = OR + κύκλος).

Πράξεις ↔ μαθηματικά σύμβολα

Ερώτηση: Αντιστοιχείστε τις παρακάτω λογικές πράξεις με τα μαθηματικά σύμβολα. AND, OR, NOT, NAND, NOR — \( A\cdot B \), \( \overline{A+B} \), \( A\cdot B \), \( \overline{A+B} \), \( \overline{A} \)

Λύση:

AND → \( A\cdot B \)
OR → \( A+B \)
NOT → \( \overline{A} \)
NAND → \( \overline{A\cdot B} \)
NOR → \( \overline{A+B} \)

Απάντηση: AND=\(A\cdot B\)· OR=\(A+B\)· NOT=\(\overline{A}\)· NAND=\(\overline{A\cdot B}\)· NOR=\(\overline{A+B}\).

Πρόσεξε:

Η γραμμή επάνω από μια παράσταση δηλώνει άρνηση ολόκληρης της παράστασης.
Σημείωση: το βιβλίο τυπώνει τα σύμβολα ως \( A\cdot B \), \( \overline{A+B} \), \( A\cdot B \), \( \overline{A+B} \), \( \overline{A} \) (τυπογραφικό λάθος: δύο σύμβολα επαναλαμβάνονται). Τα πέντε σύμβολα των πράξεων είναι \( A\cdot B \), \( A+B \), \( \overline{A} \), \( \overline{A\cdot B} \), \( \overline{A+B} \).

Λογικό κύκλωμα από παράσταση

Ερώτηση: Δώστε το λογικό κύκλωμα που αντιστοιχεί στις παρακάτω μαθηματικές λογικές παραστάσεις: \( O=A+B\cdot(A+C) \), \( O=\overline{A+B}\cdot C+D\cdot E \)

Λύση:

\( O=A+B\cdot(A+C) \): πύλη OR με εισόδους A, C → η έξοδός της και το B σε πύλη AND → η έξοδος αυτή και το A σε τελική πύλη OR.
(Απλοποίηση: \( A+B(A+C)=A+AB+BC=A+BC \) — αρκεί μία AND (B, C) και μία OR με το A.)
\( O=\overline{A+B}\cdot C+D\cdot E \): πύλη NOR με εισόδους A, B (δίνει \( \overline{A+B} \)) → η έξοδός της και το C σε πύλη AND· πύλη AND με εισόδους D, E· οι έξοδοι των δύο AND σε τελική πύλη OR.
Ισοδύναμα, η NOR μπορεί να γίνει με πύλη OR (A, B) ακολουθούμενη από πύλη NOT.

Απάντηση: 1η: OR(A, C) → AND με B → OR με A (ισοδύναμα \( A+B\cdot C \)). 2η: NOR(A, B) → AND με C, AND(D, E), τελική OR των δύο όρων.

Πρόσεξε:

Προτεραιότητα: πρώτα οι παρενθέσεις και η άρνηση, μετά τα γινόμενα (AND), τέλος τα αθροίσματα (OR).
Η γραμμή άρνησης καλύπτει ολόκληρο το \( A+B \): \( \overline{A+B} \neq \overline{A}+\overline{B} \).

Απλοποίηση από πίνακες αληθείας

Ερώτηση: Να σχεδιάσετε το απλοποιημένο λογικό κύκλωμα με πύλες που περιγράφεται από τους ακολούθους πίνακες αληθείας. (1ος πίνακας: \( O_1=1 \) για \( I_1I_2I_3 \) = 010, 100, 110 και 0 στους υπόλοιπους συνδυασμούς· 2ος πίνακας: \( O_1=1 \) για \( I_1I_2I_3 \) = 000, 011, 101, 110 και 0 στους υπόλοιπους.)

Λύση:

Συμβολίζουμε A = \( I_1 \), B = \( I_2 \), C = \( I_3 \).
Πίνακας 1 (έξοδος 1 στα 010, 100, 110): όλοι οι όροι έχουν \( C=0 \). Ομαδοποίηση → \( O=B\overline{C}+A\overline{C}=(A+B)\cdot\overline{C} \).
Κύκλωμα: OR(A, B) → AND με \( \overline{C} \) (μέσω NOT στο C).
Πίνακας 2 (έξοδος 1 στα 000, 011, 101, 110): \( O=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}BC+A\overline{B}C+AB\overline{C} \). Κανένας όρος δεν γειτονεύει με άλλον (διαφέρουν σε δύο μεταβλητές), άρα η παράσταση δεν απλοποιείται σε λιγότερους όρους γινομένων.
Κύκλωμα: τρεις πύλες NOT (για \( \overline{A}, \overline{B}, \overline{C} \)), τέσσερις πύλες AND τριών εισόδων και μία πύλη OR τεσσάρων εισόδων.

Απάντηση: Πίν. 1: \( O=(A+B)\cdot\overline{C} \). Πίν. 2: \( O=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}BC+A\overline{B}C+AB\overline{C} \) (δεν απλοποιείται).

Πρόσεξε:

Και οι δύο παραστάσεις ελέγχθηκαν σε όλους τους 8 συνδυασμούς εισόδων.
Στον πίνακα 2 η έξοδος είναι 1 όταν το πλήθος των 1 στις εισόδους είναι άρτιο — γι' αυτό ο πίνακας Karnaugh δεν δίνει ομάδες.

Κυκλώματα με ηλεκτρονόμους από τους πίνακες

Ερώτηση: Να σχεδιάσετε τα κυκλώματα αυτοματισμού με ηλεκτρονόμους που αντιστοιχούν στα απλοποιημένα λογικά κυκλώματα που προκύπτουν από τους παραπάνω πίνακες αληθείας. Απλοποιήστε ηλεκτρολογικά τα κυκλώματα όπου είναι δυνατόν.

Λύση:

Αντιστοιχία: πύλη AND → «κανονικά ανοικτές» επαφές σε σειρά· πύλη OR → «κανονικά ανοικτές» επαφές παράλληλα· πύλη NOT → «κανονικά κλειστή» επαφή ηλεκτρονόμου.
Πίν. 1 — \( O=(A+B)\cdot\overline{C} \): επαφές A και B («κανονικά ανοικτές») παράλληλα, σε σειρά με μια «κανονικά κλειστή» επαφή του C → πηνίο του ηλεκτρονόμου της εξόδου.
Πίν. 2: τέσσερις παράλληλοι κλάδοι, ένας για κάθε όρο: (NC A, NC B, NC C), (NC A, NO B, NO C), (NO A, NC B, NO C), (NO A, NO B, NC C), με τις τρεις επαφές κάθε κλάδου σε σειρά.
Ηλεκτρολογική απλοποίηση στον πίν. 2: οι δύο πρώτοι κλάδοι έχουν κοινή την NC επαφή του A και οι δύο τελευταίοι την NO επαφή του A, οπότε χρησιμοποιείται μία επαφή του A για κάθε ζεύγος κλάδων: \( \overline{A}(\overline{B}\,\overline{C}+BC)+A(\overline{B}C+B\overline{C}) \).

Απάντηση: Πίν. 1: (A ∥ B) σε σειρά με NC επαφή του C. Πίν. 2: \( \overline{A}(\overline{B}\,\overline{C}+BC)+A(\overline{B}C+B\overline{C}) \) με επαφές (κοινή επαφή του A σε κάθε ζεύγος κλάδων).

Πρόσεξε:

Κανόνας: AND = σειρά, OR = παράλληλα, NOT = «κανονικά κλειστή» επαφή.
Βασίζεται στους πίνακες της άσκησης 6.

Λογικά κυκλώματα από κυκλώματα ηλεκτρονόμων

Ερώτηση: Δώστε τα αντίστοιχα λογικά κυκλώματα που προκύπτουν από τα παρακάτω κυκλώματα με ηλεκτρονόμους (α), (β), (γ).

Λύση:

Αντίστροφη αντιστοιχία: επαφές σε σειρά → AND, επαφές παράλληλα → OR, «κανονικά κλειστή» επαφή (11-12, 21-22) → NOT της μεταβλητής. Γράφουμε την παράσταση κάθε κλάδου και τη σχεδιάζουμε με πύλες.
(α) \( Y1=S_1\cdot S_2 \) (AND)· \( K1A=S_4+\overline{S_3} \) (NOT στο \( S_3 \), OR)· \( K2A=K2A\cdot\overline{K1A}+S_5 \) (αυτοσυγκράτηση: AND της επαφής K2A με NOT K1A, OR με \( S_5 \))· \( K3A=\overline{K1A}\cdot S_6 \)· \( K1M=\overline{K1A}\cdot K3A\cdot\overline{K2A} \) (AND τριών εισόδων).
(β) Κοινός κόμβος \( X=S_1+K1A \) (OR). Τότε: \( K1A=Y1=X\cdot(S_2+S_3) \) (OR των \( S_2, S_3 \), AND με X)· \( K1M=X\cdot\overline{S_4} \)· \( O_1=X\cdot\overline{K1A}\cdot S_5 \).
(γ) \( K1M=(S_1+K1A\cdot\overline{S_5})\cdot\overline{S_3}+K1A\cdot S_4 \)· για τη λυχνία, ο μεταγωγικός \( S_6 \) συνδέει στην ηρεμία το 1 με το 2 και στην ενεργοποίηση το 1 με το 3, άρα \( O_1=\overline{S_6}\cdot S_2+S_6\cdot K1A \).

Απάντηση: (α) \( Y1=S_1S_2 \), \( K1A=S_4+\overline{S_3} \), \( K2A=K2A\cdot\overline{K1A}+S_5 \), \( K3A=\overline{K1A}S_6 \), \( K1M=\overline{K1A}\cdot K3A\cdot\overline{K2A} \). (β) \( K1A=Y1=(S_1+K1A)(S_2+S_3) \), \( K1M=(S_1+K1A)\overline{S_4} \), \( O_1=(S_1+K1A)\overline{K1A}S_5 \). (γ) \( K1M=(S_1+K1A\overline{S_5})\overline{S_3}+K1A\cdot S_4 \), \( O_1=\overline{S_6}S_2+S_6\cdot K1A \).

Πρόσεξε:

Οι επαφές με αρίθμηση 13-14 είναι «κανονικά ανοικτές» (η μεταβλητή όπως είναι), οι 11-12 και 21-22 «κανονικά κλειστές» (η μεταβλητή με άρνηση).
Όταν μια επαφή του ίδιου ηλεκτρονόμου τροφοδοτεί το πηνίο του (αυτοσυγκράτηση), η έξοδος του λογικού κυκλώματος επιστρέφει ως είσοδος.