Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Θερμοδυναμικές Μεταβολές Τελείων Αερίων (σελ. 126) – ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ Α΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Θερμοδυναμικές Μεταβολές Τελείων Αερίων

Λυμένες ασκήσεις της ενότητας «ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ» στο τέλος του κεφαλαίου (σελ. 126): έργο και θερμότητα σε ισόθερμη μεταβολή, θερμότητα σε ισόχωρη μεταβολή, τελικός όγκος σε αδιαβατική συμπίεση και τελική θερμοκρασία σε πολυτροπική εκτόνωση.

Ισόθερμη μεταβολή σε διάταξη κυλίνδρου-εμβόλου: έργο και θερμότητα

Ερώτηση: Σε μία διάταξη κυλίνδρου-εμβόλου ο αρχικός όγκος του συστήματος είναι ίσος με 0,01 m³ και ο τελικός 0,05 m³. Η αρχική πίεση είναι ίση με 180 kPa και δίνεται θερμότητα στο σύστημα υπό σταθερή θερμοκρασία (ισόθερμη μεταβολή). Να προσδιορίσετε: α) το έργο που πραγματοποιήθηκε από το σύστημα, β) τη θερμότητα που δόθηκε σ' αυτό.

Απάντηση:

• Πρόκειται για ισόθερμη μεταβολή (p·v=σταθ.=p1·v1), άρα το έργο υπολογίζεται από We = p1·V1·ln(V2/V1) (η ολοκλήρωση της σχέσης We=∫p·dV με p=p1V1/V).
• Δεδομένα: p1 = 180 kPa = 180.000 Pa, V1 = 0,01 m³, V2 = 0,05 m³.
• We = 180.000 · 0,01 · ln(0,05/0,01) = 1.800 · ln(5) = 1.800 · 1,6094 ≈ 2.897 J ≈ 2,90 kJ.
• Για ισόθερμη μεταβολή ιδανικού αερίου, η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι μηδενική (ΔU=Cv·ΔΤ=0, αφού ΔΤ=0)· από τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής, Q = ΔU + We = We.
• Άρα η θερμότητα που δόθηκε στο σύστημα είναι ίση με το έργο που αυτό παρήγαγε: Q = We ≈ 2,90 kJ.

Σύνοψη: α) We ≈ 2,90 kJ, β) Q ≈ 2,90 kJ (οι δύο τιμές είναι ίσες, αφού η μεταβολή είναι ισόθερμη)

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το βιβλίο τυπώνει δύο ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ τιμές για το ερώτημα («Απάντηση: 2,85 kJ, 2,89 kJ»), κάτι φυσικά αδύνατο για ισόθερμη μεταβολή ιδανικού αερίου: αφού η εσωτερική ενέργεια δεν μεταβάλλεται (ΔΤ=0), ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής επιβάλλει Q=We υποχρεωτικά, άρα οι δύο ζητούμενες ποσότητες πρέπει να είναι ακριβώς ίσες. Ο ακριβής υπολογισμός δίνει και τις δύο ίσες με ≈2,90 kJ (πολύ κοντά στη δεύτερη τυπωμένη τιμή 2,89 kJ, πιθανόν λόγω στρογγυλοποίησης του ln(5) στο βιβλίο)· κρατάμε τη μία, φυσικά συνεπή τιμή και για τις δύο ζητούμενες ποσότητες, αντί να αντιγράψουμε τις δύο ασύμβατες τυπωμένες τιμές.
• Το ln(5) ≈ 1,6094 πρέπει να υπολογιστεί με αρκετά δεκαδικά ψηφία — μια στρογγυλοποίηση στο 1,6 δίνει We=1.800·1,6=2.880 J, πιο κοντά στο 2,89 kJ του βιβλίου.

Θερμότητα σε ισόχωρη θέρμανση αέρα

Ερώτηση: Σε μια διάταξη κυλίνδρου-εμβόλου του οποίου το έμβολο έχει συγκολληθεί περιφερειακά (άρα σταθερός όγκος) περιέχεται αέρας υπό πίεση 340 kPa και θερμοκρασία 10 °C. Δίνεται θερμότητα στον αέρα μέχρι να φθάσει η θερμοκρασία του στους 270 °C. Δίνονται: όγκος αέρα V = 0,8 m³, Cv = 0,7176 kJ/(kg·K), R = 0,287 kJ/(kg·K). Να προσδιορίσετε την ποσότητα της θερμότητας που δόθηκε.

Απάντηση:

• Η μεταβολή είναι ισόχωρη (V=σταθ., έμβολο ακινητοποιημένο), άρα το έργο είναι μηδενικό και όλη η θερμότητα μετατρέπεται σε μεταβολή εσωτερικής ενέργειας: Q = m·Cv·(T2-T1).
• Πρώτα υπολογίζουμε τη μάζα του αέρα από την καταστατική εξίσωση p1·V = m·R·T1, με T1 = 10+273 = 283 K (χρησιμοποιώντας R σε J/(kg·K) = 287 και πίεση σε Pa): m = p1·V/(R·T1) = 340.000 · 0,8 / (287 · 283) ≈ 3,349 kg.
• T2 = 270+273 = 543 K, οπότε ΔΤ = 543 - 283 = 260 K.
• Q = m·Cv·ΔΤ = 3,349 · 0,7176 · 260 ≈ 624,8 kJ.

Σύνοψη: Q ≈ 624,8 kJ (≈ 625 kJ)

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η τιμή ταυτίζεται (με μικρή στρογγυλοποίηση) με την τυπωμένη απάντηση του βιβλίου (625 kJ).
• Προσοχή στη χρήση συνεπών μονάδων: όταν υπολογίζουμε τη μάζα m από την καταστατική εξίσωση χρειαζόμαστε το R σε J/(kg·K) (287) και όχι σε kJ/(kg·K) (0,287), αφού η πίεση δίνεται σε Pa=N/m²· στη συνέχεια, στον υπολογισμό της θερμότητας, χρησιμοποιούμε το Cv σε kJ/(kg·K), ώστε το αποτέλεσμα να βγει απευθείας σε kJ.

Τελικός όγκος σε αδιαβατική συμπίεση αερίου

Ερώτηση: Ένα αέριο βρίσκεται υπό πίεση 120 kPa και έχει όγκο ίσο με 0,12 m³. Να προσδιορίσετε τον όγκο του, αν το αέριο συμπιεστεί αδιαβατικά (k = 1,4) και η πίεσή του γίνει ίση με 400 kPa.

Απάντηση:

• Για αδιαβατική μεταβολή ισχύει p1·V1ᵏ = p2·V2ᵏ (σχέση 6.5α για ολικό όγκο, αντί για ειδικό όγκο, αφού η μάζα παραμένει η ίδια), οπότε V2 = V1·(p1/p2)^(1/k).
• Δεδομένα: p1 = 120 kPa, V1 = 0,12 m³, p2 = 400 kPa, k = 1,4.
• V2 = 0,12 · (120/400)^(1/1,4) = 0,12 · (0,30)^(0,7143) ≈ 0,12 · 0,4232 ≈ 0,0508 m³.

Σύνοψη: V2 ≈ 0,051 m³ (≈ 0,05 m³)

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η τιμή ταυτίζεται (με στρογγυλοποίηση σε 2 σημαντικά ψηφία) με την τυπωμένη απάντηση του βιβλίου (0,05 m³).
• Ο εκθέτης στη σχέση V2=V1·(p1/p2)^(1/k) είναι το αντίστροφο του k (1/1,4≈0,714), όχι το ίδιο το k — συνηθισμένο λάθος αν δεν ξεκινήσουμε από τη σχέση p·Vᵏ=σταθ. και λύσουμε προσεκτικά ως προς V2.

Τελική θερμοκρασία σε πολυτροπική εκτόνωση αερίου

Ερώτηση: Αέριο αρχικού όγκου 0,012 m³ και θερμοκρασίας 270 °C εκτονώνεται πολυτροπικά (m = 1,35) μέχρι ο όγκος του να γίνει ίσος με 0,08 m³. Να προσδιορίσετε την τελική θερμοκρασία.

Απάντηση:

• Για πολυτροπική μεταβολή, από τη σχέση p·Vᵐ=σταθ. και την καταστατική εξίσωση προκύπτει T2 = T1·(V1/V2)^(m-1), όπου T1 η αρχική απόλυτη θερμοκρασία.
• Δεδομένα: T1 = 270+273 = 543 K, V1 = 0,012 m³, V2 = 0,08 m³, m = 1,35, άρα m-1 = 0,35.
• T2 = 543 · (0,012/0,08)^0,35 = 543 · (0,15)^0,35 ≈ 543 · 0,5148 ≈ 279,5 K.

Σύνοψη: T2 ≈ 279,5 K

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η τιμή ταυτίζεται ακριβώς με την τυπωμένη απάντηση του βιβλίου (279,5 K).
• Στην αρχική θερμοκρασία πρέπει να μετατρέψουμε τους 270 °C σε Κέλβιν (543 Κ) πριν εφαρμόσουμε τον τύπο — η σχέση T2=T1·(V1/V2)^(m-1) ισχύει μόνο με απόλυτες θερμοκρασίες.