Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Μορφές Μηχανικού Έργου (σελ. 80) – ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ Α΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Μορφές Μηχανικού Έργου

Λυμένες ασκήσεις της ενότητας «ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ» στο τέλος του κεφαλαίου (σελ. 80): υπολογισμοί έργου σταθερής δύναμης (με και χωρίς γωνία), έργου ατράκτου, έργου ανύψωσης, έργου ελατηρίου και έργου ογκομεταβολής.

Έργο μεταφοράς φορτίου με καρότσι

Ερώτηση: Ένας εργάτης μεταφέρει ένα φορτίο με ένα καρότσι για μια απόσταση 1,5 km, εξασκώντας μια σταθερή δύναμη 180 N. Να υπολογίσετε το παραγόμενο έργο.

Απάντηση:

• Η δύναμη ασκείται στη διεύθυνση της μετατόπισης (γωνία 0°), οπότε εφαρμόζεται η σχέση (4.3.1α): W = F · ℓ.
• Δεδομένα: F = 180 N, ℓ = 1,5 km = 1.500 m.
• W = 180 N · 1.500 m = 270.000 J = 270 kJ.

Σύνοψη: W = 270 kJ

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η απόσταση πρέπει να μετατραπεί από km σε m πριν αντικατασταθεί στον τύπο, ώστε το αποτέλεσμα να βγει σε Joule.
• Η τιμή ταυτίζεται με την τυπωμένη απάντηση του βιβλίου (270 KJ).

Έργο ρυμούλκησης βάρκας υπό γωνία

Ερώτηση: Ένα τρακτέρ ρυμουλκεί μια βάρκα κατά μήκος ενός ποταμού, εξασκώντας μια σταθερή δύναμη 1.200 N για μια απόσταση 2 km. Η διεύθυνση της δύναμης σχηματίζει γωνία 30° με τη μετατόπιση. Να υπολογίσετε το παραγόμενο έργο.

Απάντηση:

• Επειδή η δύναμη σχηματίζει γωνία με τη μετατόπιση, εφαρμόζεται η σχέση (4.3.2α): W = F · ℓ · cosα.
• Δεδομένα: F = 1.200 N, ℓ = 2 km = 2.000 m, α = 30° (συνα ≈ 0,86603).
• W = 1.200 N · 2.000 m · 0,86603 ≈ 2.078.461 J ≈ 2.078,5 kJ.

Σύνοψη: W ≈ 2.078,5 kJ (≈ 2.078 kJ)

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το βιβλίο τυπώνει «Απάντηση: 2.070KJ» (2.070 kJ, με την ελληνική σύμβαση τελείας ως διαχωριστικού χιλιάδων) — ο υπολογισμός με την ακριβή τιμή συνα=30°≈0,86603 δίνει όμως 2.078,5 kJ, όχι 2.070 kJ (διαφορά περίπου 0,4%, πιθανό τυπογραφικό/στρογγυλοποιητικό λάθος του βιβλίου, ανάλογο με άλλα λάθη τυπωμένων απαντήσεων που έχουν ήδη εντοπιστεί σε αυτό το βιβλίο). Κρατάμε τη φυσικά ακριβή τιμή, όπως προκύπτει από τον τύπο (4.3.2α), και καταγράφουμε την απόκλιση.

Έργο ατράκτου ιμάντα-τροχαλίας σε μία ώρα

Ερώτηση: Να υπολογίσετε το παραγόμενο έργο σε μία ώρα από έναν ιμάντα που κινεί μια τροχαλία διαμέτρου 40 cm, η οποία περιστρέφεται με 500 σ.α.λ., γνωρίζοντας ότι η κινητήρια δύναμη που ασκεί ο ιμάντας είναι 300 N.

Απάντηση:

• Εφαρμόζεται η σχέση έργου ατράκτου (4.4.2α): Wατρ = 2π · ν · Μ, όπου ν ο συνολικός αριθμός περιστροφών στο ζητούμενο χρονικό διάστημα και Μ = F · r η ροπή της δύναμης του ιμάντα.
• Ακτίνα τροχαλίας: r = διάμετρος/2 = 40 cm / 2 = 20 cm = 0,2 m. Ροπή: M = F · r = 300 N · 0,2 m = 60 N·m.
• Συνολικός αριθμός περιστροφών σε 1 ώρα (60 min) με ρυθμό 500 σ.α.λ. (στροφές ανά λεπτό): ν = 500 · 60 = 30.000 περιστροφές.
• Wατρ = 2π · 30.000 · 60 ≈ 2 · 3,14 · 30.000 · 60 = 11.304.000 J = 11.304 kJ.

Σύνοψη: Wατρ ≈ 11.304 kJ

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Χρησιμοποιώντας π ≈ 3,14 (όπως και στα λυμένα παραδείγματα του κεφαλαίου) προκύπτει ακριβώς η τιμή 11.304 kJ, ταυτόσημη με την τυπωμένη απάντηση του βιβλίου «11.304KJ» (όπου η τελεία είναι διαχωριστικό χιλιάδων, δηλαδή 11.304 kJ — όχι 11,304 kJ).
• Χρειάζεται προσοχή στη μετατροπή των σ.α.λ. (στροφές ανά λεπτό) σε συνολικό αριθμό περιστροφών για το ζητούμενο διάστημα της 1 ώρας — δεν αντικαθίστανται απευθείας οι 500 σ.α.λ. στον τύπο, γιατί το ν εδώ είναι ο συνολικός αριθμός περιστροφών, όχι ρυθμός.

Έργο ανύψωσης σακιδίου ορειβάτη

Ερώτηση: Να υπολογίσετε το έργο που καταναλώνει ένας ορειβάτης, για να μεταφέρει το σακίδιό του μάζας m = 15 kg σε υψομετρική διαφορά 1.000 m.

Απάντηση:

• Πρόκειται για έργο ανύψωσης (έργο βάρους), οπότε εφαρμόζεται η σχέση (4.3.3β): W = m · g · h, με g ≈ 10 m/s².
• Δεδομένα: m = 15 kg, h = 1.000 m.
• W = 15 kg · 10 m/s² · 1.000 m = 150.000 J = 150 kJ.

Σύνοψη: W = 150 kJ

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η τιμή ταυτίζεται με την τυπωμένη απάντηση του βιβλίου (150 KJ).

Έργο συμπίεσης ελατηρίου

Ερώτηση: Η σταθερά ενός ελατηρίου είναι K = 10 KN/m. Να υπολογίσετε το έργο που απαιτείται, για να συμπιεσθεί το ελατήριο κατά 80 mm.

Απάντηση:

• Εφαρμόζεται η σχέση έργου ελατηρίου (4.4.1α): W = (1/2) · K · x².
• Δεδομένα σε συνεπείς μονάδες SI: K = 10 KN/m = 10.000 N/m, x = 80 mm = 0,08 m.
• W = (1/2) · 10.000 N/m · (0,08 m)² = (1/2) · 10.000 · 0,0064 = 32 J.

Σύνοψη: W = 32 J (= 0,032 kJ)

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το βιβλίο τυπώνει «Απάντηση: 32KJ» — πρόκειται όμως για λάθος μονάδας: αντικαθιστώντας τα σωστά μεγέθη σε μονάδες SI (K σε N/m, x σε m) το αποτέλεσμα βγαίνει σε Joule, όχι σε kJ. Η σωστή τιμή είναι 32 J (δηλαδή 0,032 kJ, χίλιες φορές μικρότερη από την τυπωμένη ένδειξη).

Έργο ογκομεταβολής αερίου σε κύλινδρο-έμβολο

Ερώτηση: Σε μια διάταξη κυλίνδρου-εμβόλου βρίσκεται αέριο υπό πίεση 500 KN/m². Το αέριο διαστέλλεται με σταθερή πίεση από 0,1 m³ σε 1,1 m³. Να υπολογίσετε το παραγόμενο έργο.

Απάντηση:

• Εφαρμόζεται η σχέση έργου ογκομεταβολής (4.5α): W = P · ΔV, με ΔV = V2 - V1.
• Δεδομένα: P = 500 KN/m² = 500.000 N/m², V1 = 0,1 m³, V2 = 1,1 m³, άρα ΔV = 1,0 m³.
• W = 500.000 N/m² · 1,0 m³ = 500.000 J = 500 kJ.

Σύνοψη: W = 500 kJ

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η τιμή ταυτίζεται με την τυπωμένη απάντηση του βιβλίου (500 KJ).