Λύσεις — Κεφάλαιο 11: Διαστολή των Σωμάτων (σελ. 268-269, 276) – ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ Α΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 11: Διαστολή των Σωμάτων

Λυμένες ασκήσεις των δύο ενοτήτων «ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ» του κεφαλαίου: σελ. 268-269 (γραμμική/κυβική διαστολή στερεών, 3 ασκήσεις) και σελ. 276 (θερμιδομετρία νερού, 2 ασκήσεις).

Δύο ράβδοι ίδιου υλικού σε διαφορετική θερμοκρασία: επίδραση ίσης αύξησης θερμοκρασίας

Ερώτηση: Δύο ράβδοι από το ίδιο υλικό έχουν το ίδιο (αρχικό) μήκος ℓ, η πρώτη όμως βρίσκεται σε θερμοκρασία 25 °C και η δεύτερη σε θερμοκρασία 70 °C. Αν αυξήσουμε και τις δύο θερμοκρασίες κατά το ίδιο ποσό Δθ, οι ράβδοι θα εξακολουθήσουν να έχουν το ίδιο μήκος;

Απάντηση:

• Η επιμήκυνση κάθε ράβδου δίνεται από τον τύπο Δℓ = α·ℓ·Δθ, όπου ο συντελεστής γραμμικής διαστολής α εξαρτάται μόνο από το υλικό (θεωρείται πρακτικά σταθερός στο σύνηθες εύρος θερμοκρασιών του προβλήματος, εφόσον οι μεταβολές είναι μικρότερες από ~80°C, όπως αναφέρεται στο κριτήριο ισχύος του τύπου).
• Οι δύο ράβδοι έχουν: το ίδιο υλικό (άρα το ίδιο α), το ίδιο αρχικό μήκος ℓ (δίνεται), και υφίστανται την ίδια μεταβολή θερμοκρασίας Δθ (δίνεται ότι αυξάνουμε 'το ίδιο' και τις δύο).
• Άρα η επιμήκυνση της πρώτης ράβδου είναι Δℓ1 = α·ℓ·Δθ και της δεύτερης Δℓ2 = α·ℓ·Δθ — δηλαδή Δℓ1 = Δℓ2, αφού και οι τρεις παράγοντες (α, ℓ, Δθ) είναι ίδιοι και για τις δύο ράβδους.
• Επειδή οι δύο ράβδοι ξεκινούν με το ίδιο μήκος και αποκτούν την ίδια ακριβώς επιμήκυνση, θα εξακολουθήσουν να έχουν το ίδιο (νέο) μήκος και μετά τη θέρμανση — ανεξάρτητα από το γεγονός ότι ξεκίνησαν από διαφορετικές απόλυτες θερμοκρασίες (25°C και 70°C).

Σύνοψη: Ναι, οι δύο ράβδοι θα εξακολουθήσουν να έχουν το ίδιο μήκος, γιατί η επιμήκυνση Δℓ=α·ℓ·Δθ εξαρτάται μόνο από το υλικό (α), το αρχικό μήκος (ℓ) και τη ΜΕΤΑΒΟΛΗ της θερμοκρασίας (Δθ) — όχι από την απόλυτη αρχική θερμοκρασία. Αφού α, ℓ και Δθ είναι ίδια και για τις δύο ράβδους, οι επιμηκύνσεις τους είναι ίσες.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Πρόκειται για άσκηση χωρίς αριθμητικά δεδομένα («ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ», σελ. 268-269 του βιβλίου, χωρίς τυπωμένη απάντηση) — η λύση είναι καθαρά εννοιολογική/αλγεβρική: ο τύπος της γραμμικής διαστολής δεν περιέχει καθόλου την απόλυτη θερμοκρασία, παρά μόνο τη ΜΕΤΑΒΟΛΗ της, γι' αυτό η απάντηση είναι ανεξάρτητη των συγκεκριμένων τιμών 25°C/70°C.
• Η απλοποίηση ότι ο συντελεστής α παραμένει σταθερός σε όλο αυτό το εύρος θερμοκρασιών είναι η ίδια παραδοχή που κάνει το βιβλίο σε όλο το κεφάλαιο (ο τύπος Δℓ=α·ℓ·Δθ δηλώνεται έγκυρος για Δθ<80°C περίπου)· σε πολύ μεγαλύτερα εύρη θερμοκρασίας το α μεταβάλλεται ελαφρώς και η ισότητα θα ήταν μόνο προσεγγιστική.

Μήκος χαλύβδινης σιδηροδρομικής γραμμής το χειμώνα και το καλοκαίρι

Ερώτηση: Μια χαλύβδινη σιδηροδρομική γραμμή σε θερμοκρασία αναφοράς 10 °C έχει μήκος 30 m. Να υπολογίσετε τι μήκος θα έχει τον χειμώνα, με θερμοκρασία -10 °C, και το καλοκαίρι, με θερμοκρασία 38 °C (συντελεστής γραμμικής διαστολής χάλυβα α = 0,000012 K⁻¹).

Απάντηση:

• Χρησιμοποιούμε τον τύπο της γραμμικής διαστολής Δℓ = α·ℓ0·Δθ για κάθε περίπτωση ξεχωριστά, με ℓ0=30 m το μήκος στους 10°C και α=0,000012 K⁻¹ για τον χάλυβα.
• Χειμώνας: Δθχειμ = -10 - 10 = -20 K (πτώση θερμοκρασίας 20 βαθμών). Δℓχειμ = 0,000012 × 30 × (-20) = -0,0072 m. Άρα ℓχειμ = 30 - 0,0072 = 29,9928 m (η γραμμή συστέλλεται ελαφρώς).
• Καλοκαίρι: Δθκαλ = 38 - 10 = 28 K (άνοδος θερμοκρασίας 28 βαθμών). Δℓκαλ = 0,000012 × 30 × 28 = 0,01008 m. Άρα ℓκαλ = 30 + 0,01008 = 30,01008 m (η γραμμή διαστέλλεται ελαφρώς).

Σύνοψη: Τον χειμώνα (-10°C): ℓ ≈ 29,9928 m (συστολή κατά 7,2 mm). Το καλοκαίρι (38°C): ℓ ≈ 30,01008 m (διαστολή κατά περίπου 10,1 mm).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το τυπωμένο κείμενο της άσκησης στο βιβλίο (σελ. 268-269) αναγράφει «...τι μήκος θα έχει τον χειμώνα με θερμοκρασία 10°C και το καλοκαίρι με θερμοκρασία 38°C» — δηλαδή δίνει την ΙΔΙΑ τιμή 10°C τόσο ως θερμοκρασία αναφοράς όσο και ως χειμερινή θερμοκρασία, κάτι φυσικά χωρίς νόημα για μια άσκηση που ζητά να δείξει τη ΔΙΑΦΟΡΑ ανάμεσα σε χειμώνα και καλοκαίρι (θα έδινε Δθ=0 και μηδενική μεταβολή μήκους το χειμώνα, κάτι τετριμμένο). Πρόκειται προφανώς για τυπογραφικό/OCR σφάλμα (απώλεια πρόσημου πλην) στο ίδιο το εκφώνημα του βιβλίου — η φυσικά λογική εκδοχή, που ακολουθεί το γνωστό υπόδειγμα «ψυχρός χειμώνας / ζεστό καλοκαίρι» τέτοιων ασκήσεων σιδηροτροχιάς, είναι θερμοκρασία -10°C το χειμώνα. Λύσαμε με αυτή την υπόθεση, σημειώνοντάς την ρητά, αντί να αντιγράψουμε την ασυνεπή τυπωμένη τιμή.
• Η άσκηση δεν έχει τυπωμένη λύση/απάντηση στο βιβλίο (ανήκει στην ενότητα «ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ», όχι σε λυμένο παράδειγμα) — το αποτέλεσμα υπολογίστηκε εξολοκλήρου και επαληθεύτηκε ανεξάρτητα με python.

Όγκος γυάλινης σφαίρας μετά από θέρμανση κατά 200°C

Ερώτηση: Γυάλινη σφαίρα ακτίνας 8cm θερμαίνεται κατά 200° C. Να υπολογίσετε τον όγκο της.

Απάντηση:

• Η φράση «θερμαίνεται κατά 200°C» σημαίνει ότι η ΜΕΤΑΒΟΛΗ θερμοκρασίας είναι απευθείας Δθ=200 K (όχι ότι η τελική θερμοκρασία είναι 200°C).
• Υπολογίζουμε πρώτα τον αρχικό όγκο της σφαίρας από τον τύπο V = (4/3)·π·r³, με r=8 cm και π≈3,14 (η ίδια σύμβαση προσέγγισης που χρησιμοποιεί το βιβλίο στα λυμένα παραδείγματα του κεφαλαίου): V1 = (4/3)×3,14×8³ = (4/3)×3,14×512 ≈ 2.143,57 cm³.
• Για τον συντελεστή κυβικής διαστολής του γυαλιού χρησιμοποιούμε τη σχέση γ=3α (§11.3) με τον συντελεστή γραμμικής διαστολής του γυαλιού από τον πίνακα του §11.2, α=0,000009 K⁻¹: γ = 3×0,000009 = 0,000027 K⁻¹ = 2,7×10⁻⁵ K⁻¹ (τιμή που συμπίπτει με το πάνω άκρο του εύρους 1,2-2,7×10⁻⁵ K⁻¹ που δίνει ο πίνακας κυβικής διαστολής υγρών/στερεών του §11.4 για το γυαλί — λογικό, αφού το γυαλί δεν είναι ενιαίο υλικό και οι ιδιότητές του ποικίλλουν ελαφρώς ανάλογα με τη σύστασή του).
• Εφαρμόζουμε τον τύπο της κυβικής διαστολής: ΔV = γ·V1·Δθ = 0,000027 × 2.143,57 × 200 ≈ 11,58 cm³.
• Τελικός όγκος: V2 = V1 + ΔV ≈ 2.143,57 + 11,58 ≈ 2.155,15 cm³.

Σύνοψη: V1 ≈ 2.143,57 cm³, ΔV ≈ 11,58 cm³, άρα V2 ≈ 2.155,15 cm³ (χρησιμοποιώντας γ=3α=2,7×10⁻⁵ K⁻¹ και π≈3,14, όπως στα λυμένα παραδείγματα του κεφαλαίου).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η άσκηση δεν έχει τυπωμένη λύση στο βιβλίο (ανήκει στην ενότητα «ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ»)· η επιλογή της συγκεκριμένης τιμής γ=2,7×10⁻⁵ K⁻¹ (αντί μιας αυθαίρετης τιμής μέσα στο δοσμένο εύρος 1,2-2,7×10⁻⁵) στηρίζεται ρητά στη σχέση γ=3α του §11.3, εφαρμοσμένη στην τιμή α=0,000009 K⁻¹ του γυαλιού από τον πίνακα γραμμικής διαστολής του §11.2 — μια συνεπής, τεκμηριωμένη επιλογή αντί για μια τυχαία τιμή του εύρους.
• Η φράση «θερμαίνεται κατά 200°C» σημαίνει ότι η ΜΕΤΑΒΟΛΗ θερμοκρασίας είναι απευθείας 200 K (όχι ότι η τελική θερμοκρασία είναι 200°C) — Δθ μπαίνει απευθείας στον τύπο, χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουμε τις αρχική/τελική θερμοκρασίες ξεχωριστά.
• Ο υπολογισμός επαληθεύτηκε ανεξάρτητα με python, με τη σύμβαση π≈3,14 του βιβλίου· με πλήρη ακρίβεια του π το V1 θα ήταν ≈2.144,66 cm³.

Θερμότητα για θέρμανση 20 kg νερού από 15°C σε 90°C

Ερώτηση: Ποια είναι η απαιτούμενη ποσότητα θερμότητας για να θερμανθούν 20 kg νερού, ώστε η θερμοκρασία του από 15 °C να γίνει 90 °C; (Ειδική θερμότητα νερού c = 4.186 J/(kg·K).)

Απάντηση:

• Εφαρμόζουμε τη θεμελιώδη εξίσωση της θερμιδομετρίας Q = m·c·Δθ, με m=20 kg, c=4.186 J/(kg·K).
• Υπολογίζουμε τη μεταβολή θερμοκρασίας: Δθ = 90 - 15 = 75 K (η μεταβολή σε βαθμούς Κελσίου ισούται αριθμητικά με τη μεταβολή σε Kelvin, αφού πρόκειται για διαφορά θερμοκρασιών).
• Q = m · c · Δθ = 20 × 4.186 × 75 = 6.279.000 J = 6.279 kJ ≈ 6,28 MJ.

Σύνοψη: Q = 6.279.000 J ≈ 6.279 kJ ≈ 6,28 MJ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η άσκηση δεν έχει τυπωμένη λύση στο βιβλίο (ενότητα «ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ», σελ. 276, χωρίς απάντηση) — υπολογίστηκε εξολοκλήρου και επαληθεύτηκε με python.
• Ο πίνακας ειδικών θερμοτήτων του βιβλίου (§11.9) αναγράφει για το νερό «4,186» με ετικέτα μονάδας «J·kg⁻¹·K⁻¹», ενώ η πραγματική ειδική θερμότητα του νερού είναι 4.186 J/(kg·K) = 4,186 kJ/(kg·K) — η ετικέτα μονάδας του πίνακα είναι ανακριβής (θα έπρεπε να είναι kJ·kg⁻¹·K⁻¹), αλλά η ίδια η αριθμητική τιμή «4,186» είναι σωστή στο kJ/(kg·K). Χρησιμοποιήσαμε τη σωστή φυσική τιμή c=4.186 J/(kg·K), όπως δίνεται και ρητά στην ίδια την εκφώνηση της άσκησης.

Θερμότητα που απορροφά το νερό ψύξης υδροχιτωνίων κινητήρα

Ερώτηση: Για την ψύξη των υδροχιτωνίων ενός κινητήρα χρησιμοποιήσαμε 20 kg νερού. Η θερμοκρασία εισόδου του νερού ήταν 20 °C και αυτή της εξόδου 70 °C. Ποια ήταν η ποσότητα της θερμότητας που απορροφήθηκε από το νερό; (c νερού = 4.186 J/(kg·K).)

Απάντηση:

• Το νερό ψύξης απορροφά τη θερμότητα που αποβάλλει ο κινητήρας μέσω των υδροχιτωνίων· η ποσότητα αυτής της θερμότητας υπολογίζεται από τη μεταβολή της θερμοκρασίας του ίδιου του νερού, με τη θεμελιώδη εξίσωση της θερμιδομετρίας Q=m·c·Δθ.
• Δεδομένα: m=20 kg, c=4.186 J/(kg·K), θερμοκρασία εισόδου 20°C, εξόδου 70°C, άρα Δθ = 70 - 20 = 50 K.
• Q = m · c · Δθ = 20 × 4.186 × 50 = 4.186.000 J = 4.186 kJ ≈ 4,19 MJ.

Σύνοψη: Q = 4.186.000 J ≈ 4.186 kJ ≈ 4,19 MJ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η άσκηση δεν έχει τυπωμένη λύση στο βιβλίο (ενότητα «ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ», σελ. 276, χωρίς απάντηση) — υπολογίστηκε εξολοκλήρου και επαληθεύτηκε με python.
• Πρόκειται για την ίδια θεμελιώδη εξίσωση θερμιδομετρίας με την προηγούμενη άσκηση, εφαρμοσμένη με διαφορετικά όρια θερμοκρασίας (50 Κ αντί για 75 Κ μεταβολή) — καλή ευκαιρία σύγκρισης: μικρότερη μεταβολή θερμοκρασίας εδώ δίνει αναλογικά μικρότερη απαιτούμενη θερμότητα, αφού η μάζα και η ειδική θερμότητα είναι ίδιες.