Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 122) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 122) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 122)

Απαντήσεις στις 11 ερωτήσεις κατανόησης και πλήρεις λύσεις των 10 ασκήσεων (Ομάδα Α και Ομάδα Β), με όλους τους υπολογισμούς επαληθευμένους.

Ερώτηση 1 — Τι είναι τα μέτρα θέσης

Ερώτηση: Τα μέτρα θέσης είναι στατιστικές παράμετροι, οι οποίες καθορίζουν ……………

Απάντηση:

Ορισμός (σελ. 96): τα μέτρα θέσης είναι στατιστικές παράμετροι που καθορίζουν μια τιμή της μεταβλητής, γύρω από την οποία τείνουν να συγκεντρωθούν οι παρατηρήσεις μας.
Το πλαίσιο. Ονομάζουμε στατιστικό περιγραφικό μέτρο της κατανομής τον αριθμό που συνοψίζει βασικά χαρακτηριστικά των παρατηρήσεων. Σε μονομεταβλητά δεδομένα υπάρχουν δύο τύποι: μέτρα θέσης και μέτρα διασποράς.
Γιατί τα χρειαζόμαστε. Οι πίνακες δεν αρκούν: δεν επιτρέπουν εύκολη σύγκριση ομοειδών ερευνών σε διαφορετικούς πληθυσμούς, ούτε μπορούμε «να θυμόμαστε απέξω ολόκληρους πίνακες δεδομένων». Γι' αυτό αντικαθιστούμε το σύνολο των δεδομένων με λίγους αντιπροσωπευτικούς αριθμούς.
Τα πέντε μέτρα θέσης του κεφαλαίου: μέσο εύρος · μέση τιμή (μέσος αριθμητικός) · διάμεσος · επικρατούσα τιμή · τεταρτημόρια.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Τα μέτρα θέσης είναι στατιστικές παράμετροι που καθορίζουν μια τιμή της μεταβλητής, γύρω από την οποία τείνουν να συγκεντρωθούν οι παρατηρήσεις μας. Είναι: το μέσο εύρος, η μέση τιμή, η διάμεσος, η επικρατούσα τιμή και τα τεταρτημόρια.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η φράση «γύρω από την οποία τείνουν να συγκεντρωθούν».
Θετικό: απαρίθμηση και των πέντε μέτρων.
Παγίδα: σύγχυση με τα μέτρα διασποράς (κεφ. 5).

Ερώτηση 2 — Ο ορισμός και οι τύποι της μέσης τιμής

Ερώτηση: Ως μέση τιμή ορίζεται …………… και υπολογίζεται α) σε αταξινόμητα δεδομένα ως x̄ = …… β) σε ταξινομημένα δεδομένα ως x̄ = ……

Απάντηση:

Ορισμός. Ορίζουμε ως μέση τιμή ή μέσο αριθμητικό των τιμών $ x_1, x_2, \dots, x_\nu $ της μεταβλητής Χ το πηλίκο του αθροίσματος των τιμών αυτών προς το πλήθος τους $ \nu $.
α) Αταξινόμητα δεδομένα (δεν περιέχονται σε πίνακα συχνοτήτων):
$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x2 + \dots + x\nu}{\nu} = \frac{\sum_{i=1}^{\nu} x_i}{\nu} \tag{4.2} $$
β) Ταξινομημένα δεδομένα (σε πίνακα συχνοτήτων, διακριτή μεταβλητή):
$$ \bar{x} = \frac{\nu_1 x_1 + \nu_2 x2 + \dots + \nu\kappa x_\kappa}{\nu_1 + \nu2 + \dots + \nu\kappa} = \frac{\sum \nu_i x_i}{\nu} \tag{4.3} $$
Και η τρίτη περίπτωση — ομαδοποιημένα δεδομένα (συνεχής μεταβλητή). Παίρνουμε ως τιμές τις κεντρικές τιμές $ x_i' $ των κλάσεων:
$$ \bar{x} = \frac{\sum \nu_i x_i'}{\nu} \tag{4.4} $$
Ο συμβολισμός. Αν εξετάζαμε όλο τον πληθυσμό, η μέση τιμή συμβολίζεται διεθνώς με $ \mu $· αν αναφερόμαστε σε δείγμα, με $ \bar{x} $. Το βιβλίο θεωρεί ότι μελετάμε δείγματα, γι' αυτό χρησιμοποιεί το $ \bar{x} $.
Οι τρεις τύποι είναι στην ουσία ένας. Ο (4.3) προκύπτει από τον (4.2) αν αντί να γράψεις μια τιμή $ \nu_i $ φορές, τη πολλαπλασιάσεις επί $ \nu_i $. Ο (4.4) είναι ο (4.3) με τη σύμβαση ότι η κεντρική τιμή αντιπροσωπεύει όλη την κλάση.
Παράδειγμα του βιβλίου (4.1): 7 επιχειρήσεις με ετήσιες πωλήσεις 35, 30, 25, 20, 20, 35, 40 (χιλ. €) → $ \bar{x} = \frac{205}{7} = 29{,}286 $ χιλ. €, δηλαδή 29.286 €.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Μέση τιμή είναι το πηλίκο του αθροίσματος των τιμών προς το πλήθος τους ν. α) Σε αταξινόμητα: x̄ = (x₁+x₂+…+xν)/ν = Σxi/ν. β) Σε ταξινομημένα διακριτά: x̄ = Σνixi/ν. Σε ομαδοποιημένα: x̄ = Σνix′i/ν, με κεντρικές τιμές. Συμβολισμός: μ για πληθυσμό, x̄ για δείγμα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι δύο τύποι, γραμμένοι σωστά.
Θετικό: αναφορά και στον τύπο των ομαδοποιημένων με κεντρικές τιμές.
Θετικό: η διάκριση μ ↔ x̄.
Παγίδα: στον (4.3) να μπει στον παρονομαστή το κ (πλήθος τιμών) αντί για το ν (πλήθος παρατηρήσεων).

Ερώτηση 3 — Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός σταθεράς

Ερώτηση: α) Αν σε όλες τις τιμές μίας μεταβλητής αφαιρέσουμε τον αριθμό 2, τότε η τιμή της μέσης τιμής: αυξάνεται κατά 2 μονάδες / μειώνεται κατά 2 μονάδες / παραμένει η ίδια. β) Αν όλες οι τιμές μίας μεταβλητής πολλαπλασιασθούν επί 2, τότε η τιμή της μέσης τιμής: αυξάνεται κατά 2 μονάδες / διπλασιάζεται / παραμένει η ίδια.

Απάντηση:

α) ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ ΚΑΤΑ 2 ΜΟΝΑΔΕΣ (ιδιότητα 1 της μέσης τιμής).
Απόδειξη: αν $ y_i = x_i - 2 $, τότε
$$ \bar{y} = \frac{\sum (x_i - 2)}{\nu} = \frac{\sum x_i - 2\nu}{\nu} = \frac{\sum x_i}{\nu} - 2 = \bar{x} - 2 $$
β) ΔΙΠΛΑΣΙΑΖΕΤΑΙ (ιδιότητα 3: $ \overline{\alpha x} = \alpha\bar{x} $).
Απόδειξη: αν $ y_i = 2x_i $, τότε
$$ \bar{y} = \frac{\sum 2x_i}{\nu} = \frac{2\sum x_i}{\nu} = 2\bar{x} $$
Η ουσία — μη μπερδέψεις τις δύο πράξεις. Η πρόσθεση/αφαίρεση σταθεράς μετατοπίζει τη μέση τιμή κατά τη σταθερά. Ο πολλαπλασιασμός την κλιμακώνει επί τη σταθερά. Ο αριθμός 2 εμφανίζεται και στα δύο ερωτήματα επίτηδες, για να ελεγχθεί ακριβώς αυτή η διάκριση: «−2» ≠ «÷2» ≠ «×2».
Αριθμητικός έλεγχος. Τιμές 4, 6, 8 → $ \bar{x} = 6 $. (α) 2, 4, 6 → $ \bar{y} = 4 = 6-2 $ ✓ (β) 8, 12, 16 → $ \bar{y} = 12 = 2\cdot 6 $ ✓
Πού θα το χρειαστείς αμέσως: στην άσκηση 3 της Ομάδας Α (αύξηση μισθών κατά 100 € και κατά 10 %) και στην άσκηση 2β της Ομάδας Β (αύξηση βαθμολογίας κατά 2 μονάδες).

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Μειώνεται κατά 2 μονάδες. β) Διπλασιάζεται.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα δύο ερωτήματα.
Θετικό: αιτιολόγηση με τους τύπους ή με αριθμητικό παράδειγμα.
Παγίδα: το (β) να απαντηθεί «αυξάνεται κατά 2 μονάδες» — σύγχυση πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.

Ερώτηση 4 — Οι ιδιότητες της μέσης τιμής

Ερώτηση: Αναφέρατε τις ιδιότητες της μέσης τιμής.

Απάντηση:

① Πρόσθεση/αφαίρεση σταθεράς. Αν σε όλες τις τιμές προσθέσουμε (ή αφαιρέσουμε) σταθερά $ \alpha $, η μέση τιμή αυξάνεται (ή μειώνεται) κατά $ \alpha $.
② Ίσες τιμές. Αν $ x_1 = x_2 = \dots = x_\nu = k $, τότε $ \bar{x} = k $.
③ Πολλαπλασιασμός επί σταθερά. Αν όλες οι τιμές πολλαπλασιαστούν επί $ \alpha $, τότε $ \overline{\alpha x} = \alpha \bar{x} $.
④ Άθροισμα αποκλίσεων. Αν από όλες τις τιμές αφαιρέσουμε τη μέση τιμή, το άθροισμα των διαφορών είναι μηδέν:
$$ \sum_{i=1}^{\nu} (x_i - \bar{x}) = 0 $$
⑤ Μέσος υποπληθυσμών (σταθμικός μέσος). Αν ένας πληθυσμός χωριστεί σε $ \kappa $ υποπληθυσμούς με $ N_1, N_2, \dots, N_\kappa $ μονάδες και αντίστοιχους μέσους $ \mu_1, \mu_2, \dots, \mu_\kappa $, τότε:
$$ \mu = \frac{N_1\mu_1 + N_2\mu2 + \dots + N\kappa\mu_\kappa}{N_1 + N2 + \dots + N\kappa} $$
Ποια ιδιότητα σε τι χρησιμεύει:
· ① και ③ → λύνουν άμεσα κάθε άσκηση «τι γίνεται αν αυξηθούν όλοι οι μισθοί κατά…».
· ④ → είναι η βάση του κεφ. 5: επειδή το $ \sum(x_i - \bar{x}) $ βγαίνει πάντα 0, η διασπορά δεν μπορεί να μετρηθεί με τις αποκλίσεις — γι' αυτό η διακύμανση τις υψώνει στο τετράγωνο.
· ⑤ → ο σταθμικός μέσος. ⚠️ Ο απλός μέσος των $ \mu_i $ είναι λάθος, εκτός αν όλοι οι υποπληθυσμοί έχουν ίδιο μέγεθος. Θα το δεις στην άσκηση 3 της Ομάδας Β (μπάσκετ).

Σύνοψη: (ενδεικτική) ① Πρόσθεση/αφαίρεση σταθεράς α: η μέση τιμή αυξάνεται/μειώνεται κατά α. ② Αν όλες οι τιμές είναι ίσες με k, τότε x̄ = k. ③ Πολλαπλασιασμός επί α: η μέση τιμή πολλαπλασιάζεται επί α. ④ Σ(xi − x̄) = 0. ⑤ Σταθμικός μέσος υποπληθυσμών: μ = (N₁μ₁+…+Nκμκ)/(N₁+…+Nκ).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: τουλάχιστον τέσσερις ιδιότητες, με τύπο όπου υπάρχει.
Κριτήριο: η ιδιότητα Σ(xi − x̄) = 0, που ξεχνιέται συχνά.
Θετικό: η ⑤ να δηλωθεί ως σταθμικός μέσος.
Παγίδα: στην ⑤ να δοθεί ο απλός μέσος των μi.

Ερώτηση 5 — Ο ορισμός της διαμέσου

Ερώτηση: Η διάμεσος ορίζεται ως …………… Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό, τότε η τιμή της διαμέσου ……………, ή αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο ……………

Απάντηση:

Ορισμός. Διάμεσος ή διάμεση τιμή (δ) λέγεται η τιμή της μεταβλητής που χωρίζει το σύνολο των τιμών σε δύο ισοπληθείς ομάδες, όταν οι τιμές που παίρνει η μεταβλητή τοποθετηθούν σε αύξουσα τάξη.
Περιττό πλήθος → η διάμεσος είναι η τιμή της μεταβλητής που αντιστοιχεί στη μεσαία παρατήρηση.
Παράδειγμα 4.5α: ημερομίσθια 5 εργατών 38, 40, 35, 38, 39 → σε αύξουσα τάξη 35, 38, 38, 39, 40 → $ \delta = 38 $ €.
Άρτιο πλήθος → η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα των τιμών που αντιστοιχούν στις δύο μεσαίες παρατηρήσεις.
Παράδειγμα 4.5β: 8 ημερομίσθια → 28, 28, 30, 31, 35, 36, 37, 40 → οι δύο μεσαίες είναι 31 και 35:
$$ \delta = \frac{31+35}{2} = \frac{66}{2} = 33\ \text{€} $$
Η προϋπόθεση που ξεχνιέται. Ο ορισμός προϋποθέτει αύξουσα διάταξη. Αν υπολογίσεις «τη μεσαία τιμή» χωρίς να ταξινομήσεις πρώτα, το αποτέλεσμα είναι τυχαίο.
Η βαθύτερη σημασία. «Χωρίζει σε δύο ισοπληθείς ομάδες» σημαίνει ότι το 50 % των παρατηρήσεων βρίσκεται κάτω και 50 % πάνω από αυτή. Γι' αυτό η διάμεσος ταυτίζεται με το δεύτερο τεταρτημόριο: $ Q_2 = \delta $.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Διάμεσος (δ) είναι η τιμή της μεταβλητής που χωρίζει το σύνολο των τιμών σε δύο ισοπληθείς ομάδες, όταν οι τιμές τοποθετηθούν σε αύξουσα τάξη. Αν το πλήθος είναι περιττό, είναι η τιμή της μεσαίας παρατήρησης· αν είναι άρτιο, το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η αύξουσα τάξη ως προϋπόθεση.
Κριτήριο: και οι δύο περιπτώσεις (περιττό / άρτιο).
Θετικό: η επισήμανση δ = Q₂ και το 50 % εκατέρωθεν.

Ερώτηση 6 — Η θέση της διαμέσου

Ερώτηση: Η θέση της διαμέσου σε ταξινομημένα διακριτά δεδομένα είναι ο αριθμός ……………, ενώ σε ομαδοποιημένα δεδομένα βρίσκεται στην ……………

Απάντηση:

Σε ταξινομημένα διακριτά δεδομένα: η θέση είναι ο αριθμός
$$ \frac{\nu+1}{2} $$
Σε ομαδοποιημένα δεδομένα: η διάμεσος βρίσκεται στη
$$ \frac{\nu}{2} \quad \text{θέση} $$
⚠️ Αυτή είναι η πιο συχνή πηγή λάθους σε όλο το κεφάλαιο. Δύο διαφορετικοί τύποι για το ίδιο μέτρο, ανάλογα με το είδος των δεδομένων.
Γιατί διαφέρουν. Στα διακριτά μετράμε παρατηρήσεις: η μεσαία θέση σε ν αντικείμενα είναι πράγματι η $ \frac{\nu+1}{2} $-οστή. Στα ομαδοποιημένα δεν έχουμε πια μεμονωμένες παρατηρήσεις αλλά συνεχή κατανομή μέσα σε κλάσεις — ψάχνουμε το σημείο που αφήνει ακριβώς το 50 % κάτω του, δηλαδή το $ \frac{\nu}{2} $. Το βιβλίο το διατυπώνει έτσι: «το πολύ το 50 % των παρατηρήσεων βρίσκονται κάτω από αυτή».
Η διαδικασία στα διακριτά (3 βήματα): (i) συμπληρώνουμε τον πίνακα με τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων· (ii) προσδιορίζουμε τις $ N_{i-1} $ και $ N_i $ μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο αριθμός $ \frac{\nu+1}{2} $· (iii) η τιμή $ x_i $ που βρίσκεται σε αυτή τη θέση είναι η διάμεσος.
Στα ομαδοποιημένα εντοπίζουμε την κλάση που περιέχει τη $ \frac{\nu}{2} $ θέση και εφαρμόζουμε τον τύπο (4.5):
$$ \delta = \alpha_{i-1} + \frac{c}{\nui}\left(\frac{\nu}{2} - N{i-1}\right) $$
Το ίδιο ζεύγος ισχύει και για τα τεταρτημόρια: $ \frac{\nu+1}{4} $ και $ \frac{3(\nu+1)}{4} $ στα διακριτά · $ \frac{\nu}{4} $ και $ \frac{3\nu}{4} $ στα ομαδοποιημένα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σε ταξινομημένα διακριτά δεδομένα η θέση της διαμέσου είναι ο αριθμός (ν+1)/2. Σε ομαδοποιημένα δεδομένα βρίσκεται στη ν/2 θέση, και η τιμή της υπολογίζεται από τον τύπο δ = α(i−1) + (c/νi)·(ν/2 − N(i−1)).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι δύο θέσεις, σωστά διακριτές.
Θετικό: ο τύπος (4.5) για τα ομαδοποιημένα.
Θετικό: η επέκταση στα τεταρτημόρια.
Παγίδα: χρήση του (ν+1)/2 σε ομαδοποιημένα δεδομένα.

Ερώτηση 7 — Η επικρατούσα τιμή

Ερώτηση: Η επικρατούσα τιμή ορίζεται ως ……………

Απάντηση:

Ορισμός. Ως επικρατούσα τιμή (mode, Ε.Τ.) ορίζεται η τιμή της μεταβλητής που έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα.
Παράδειγμα του βιβλίου: τιμές 12, 19, 16, 16, 17, 13, 16, 20 → η 16 εμφανίζεται 3 φορές, περισσότερες από κάθε άλλη → Ε.Τ. = 16.
⚠️ Αν όλες οι τιμές έχουν την ίδια συχνότητα, ΔΕΝ ορίζεται επικρατούσα τιμή. Είναι το μοναδικό μέτρο θέσης που μπορεί να μην υπάρχει — και το σημείο που ελέγχεται συχνότερα.
Πότε είναι καλό μέτρο. «Η επικρατούσα τιμή είναι ικανοποιητικό μέτρο θέσης, αν η κατανομή είναι συμμετρική» — δηλαδή αν η μέση τιμή, η διάμεσος και η επικρατούσα συμπίπτουν (κανονική κατανομή). Αν η κατανομή δεν είναι συμμετρική, δεν είναι πάντα αντιπροσωπευτική.
Το μοναδικό της πλεονέκτημα. Είναι το μόνο μέτρο θέσης που ορίζεται και σε ποιοτικές μεταβλητές. Δεν έχει νόημα ο «μέσος όρος του χρώματος», έχει όμως απόλυτο νόημα το επικρατέστερο χρώμα.
Στην πράξη. Ο υπολογισμός είναι ο ευκολότερος από όλα τα μέτρα: αρκεί να κοιτάξεις τη στήλη $ \nu_i $ και να βρεις τη μεγαλύτερη τιμή της. Σε ομαδοποιημένα δεδομένα μιλάμε για επικρατούσα κλάση — αυτή με τη μεγαλύτερη συχνότητα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Επικρατούσα τιμή (Ε.Τ., mode) είναι η τιμή της μεταβλητής που έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα. Αν όλες οι τιμές έχουν την ίδια συχνότητα, δεν ορίζεται επικρατούσα τιμή. Είναι ικανοποιητικό μέτρο μόνο αν η κατανομή είναι συμμετρική.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η μεγαλύτερη συχνότητα ως κριτήριο.
Κριτήριο: η περίπτωση όπου δεν ορίζεται.
Θετικό: η προϋπόθεση της συμμετρίας για να είναι αντιπροσωπευτική.
Παγίδα: να δοθεί ως επικρατούσα η συχνότητα αντί για την τιμή.

Ερώτηση 8 — Ο ορισμός των τεταρτημορίων

Ερώτηση: Τεταρτημόρια λέγονται οι τιμές της μεταβλητής ……………

Απάντηση:

Ορισμός. Τεταρτημόρια (quartiles) λέγονται οι τιμές της μεταβλητής που χωρίζουν το σύνολο των τιμών της σε 4 ισοπληθείς ομάδες, όταν οι τιμές τοποθετηθούν σε αύξουσα τάξη.
Τα τρία τεταρτημόρια:
· $ Q_1 $ — η τιμή κάτω της οποίας βρίσκεται το πολύ το 25 % του συνολικού αριθμού των παρατηρήσεων.
· $ Q_2 $ — συμπίπτει με τη διάμεσο: $ Q_2 = \delta $.
· $ Q_3 $ — η τιμή κάτω της οποίας βρίσκεται το πολύ το 75 % των παρατηρήσεων.
Οι θέσεις:
| | $ Q_1 $ | $ Q_3 $ |
|---|---|---|
| Διακριτά | $ \dfrac{\nu+1}{4} $ | $ \dfrac{3(\nu+1)}{4} $ |
| Ομαδοποιημένα | $ \dfrac{\nu}{4} $ | $ \dfrac{3\nu}{4} $ |
Οι τύποι (4.6) για ομαδοποιημένα:
$$ Q1 = \alpha{i-1} + \frac{\frac{\nu}{4} - N_{i-1}}{\nu_i}\cdot c \qquad Q3 = \alpha{i-1} + \frac{\frac{3\nu}{4} - N_{i-1}}{\nu_i}\cdot c $$
Γιατί «τρία» τεταρτημόρια και όχι τέσσερα. Για να χωρίσεις κάτι σε 4 μέρη χρειάζεσαι 3 τομές — όπως χρειάζεσαι 1 τομή (τη διάμεσο) για 2 μέρη.
Γιατί χρησιμεύουν. Δίνουν εικόνα της κατανομής, όχι μόνο του κέντρου της. Το διάστημα $ [Q_1, Q_3] $ περιέχει το μεσαίο 50 % των παρατηρήσεων — δηλαδή τον «κορμό» των δεδομένων, καθαρό από τα άκρα.
Γραφικός υπολογισμός. Και τα τρία διαβάζονται από το διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων: εντοπίζεις στον κατακόρυφο άξονα το $ \nu/4 $, $ \nu/2 $ ή $ 3\nu/4 $ και διαβάζεις την αντίστοιχη τιμή στον οριζόντιο.
Παράδειγμα 4.9 του βιβλίου: για 1.200 νοικοκυριά, $ Q_1 = 110 $ € και $ Q_3 = 237{,}5 $ € — δηλαδή το 25 % δαπάνησε μέχρι 110 € και το 75 % μέχρι 237,5 € ετησίως.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Τεταρτημόρια είναι οι τιμές της μεταβλητής που χωρίζουν το σύνολο των τιμών της σε 4 ισοπληθείς ομάδες, όταν αυτές τοποθετηθούν σε αύξουσα τάξη. Q₁: κάτω του οποίου βρίσκεται το πολύ το 25% των παρατηρήσεων· Q₂ = δ (διάμεσος)· Q₃: κάτω του οποίου βρίσκεται το πολύ το 75%. Θέσεις: (ν+1)/4 και 3(ν+1)/4 σε διακριτά, ν/4 και 3ν/4 σε ομαδοποιημένα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: «4 ισοπληθείς ομάδες» και αύξουσα τάξη.
Κριτήριο: η ταύτιση Q₂ = δ.
Θετικό: τα ποσοστά 25 % / 75 % και οι θέσεις.
Παγίδα: να αναφερθούν τέσσερα τεταρτημόρια.

Ερώτηση 9 — Πλήθος αριθμών από τη μεταβολή της μέσης τιμής

Ερώτηση: Η μέση τιμή ν αριθμών ισούται με 5. Αν προσθέσουμε τον αριθμό 13 στο άθροισμα των ν αριθμών, η νέα μέση τιμή ισούται με 6. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών.

Απάντηση:

Βήμα 1 — το αρχικό άθροισμα. Από $ \bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{\nu} = 5 $:
$$ \sum x_i = 5\nu $$
Βήμα 2 — η νέα κατάσταση. Το νέο άθροισμα είναι $ 5\nu + 13 $. Το ερώτημα είναι με τι διαιρείται.
⚠️ Η εκφώνηση επιδέχεται δύο αναγνώσεις — και ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ δίνουν ακέραιο αποτέλεσμα. Δίνονται και οι δύο.
Ανάγνωση Α (κατά γράμμα). «Προσθέτουμε τον αριθμό 13 στο άθροισμα» — το πλήθος παραμένει ν:
$$ \frac{5\nu + 13}{\nu} = 6 \;\Rightarrow\; 5\nu + 13 = 6\nu \;\Rightarrow\; \boxed{\nu = 13} $$
Επαλήθευση: 13 αριθμοί με άθροισμα $ 5\cdot 13 = 65 $ → $ \dfrac{65+13}{13} = \dfrac{78}{13} = 6 $ ✓
Ανάγνωση Β (το 13 ως νέα παρατήρηση). Αν το 13 προστίθεται ως επιπλέον αριθμός, το πλήθος γίνεται ν+1:
$$ \frac{5\nu + 13}{\nu+1} = 6 \;\Rightarrow\; 5\nu + 13 = 6\nu + 6 \;\Rightarrow\; \boxed{\nu = 7} $$
Επαλήθευση: 7 αριθμοί με άθροισμα $ 5\cdot 7 = 35 $ → $ \dfrac{35+13}{8} = \dfrac{48}{8} = 6 $ ✓
Ποια να προτιμήσεις. Η εκφώνηση λέει ρητά «προσθέσουμε τον αριθμό 13 στο άθροισμα των ν αριθμών» και ρωτά «το πλήθος των αριθμών» — που παραμένει ν. Άρα η Ανάγνωση Α (ν = 13) είναι η κατά γράμμα σωστή. Αν όμως η πρόθεση ήταν «προσθέτουμε έναν ακόμη αριθμό, τον 13», η απάντηση είναι ν = 7.
Η μέθοδος, ανεξάρτητα από την ανάγνωση. Σε κάθε άσκηση αυτού του τύπου δουλεύεις με το άθροισμα, όχι με τη μέση τιμή: μετέτρεψε κάθε δεδομένη μέση τιμή σε άθροισμα ($ \sum x = \bar{x}\cdot\nu $), κάνε τη μεταβολή στο άθροισμα, και ξαναδιαίρεσε με το σωστό πλήθος. Το κρίσιμο σημείο είναι πάντα ο παρονομαστής.

Σύνοψη: Από x̄ = 5 προκύπτει Σxi = 5ν. Κατά γράμμα (το 13 προστίθεται στο άθροισμα, πλήθος ν): (5ν+13)/ν = 6 → ν = 13 (έλεγχος: 78/13 = 6). Αν το 13 θεωρηθεί νέα παρατήρηση (πλήθος ν+1): (5ν+13)/(ν+1) = 6 → ν = 7 (έλεγχος: 48/8 = 6). Και οι δύο αναγνώσεις δίνουν ακέραιο· η κατά γράμμα είναι ν = 13.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: μετατροπή της μέσης τιμής σε άθροισμα (Σx = x̄·ν).
Κριτήριο: σαφής δήλωση του παρονομαστή που χρησιμοποιείται.
Κριτήριο: επαλήθευση του αποτελέσματος.
Θετικό: να εντοπιστεί η διφορούμενη διατύπωση και να δοθούν και οι δύο λύσεις.
Παγίδα: να προστεθεί το 13 στη μέση τιμή αντί για το άθροισμα.

Ερώτηση 10 — Ποιο μέτρο κεντρικής τάσης σε κάθε κατανομή

Ερώτηση: Να βρεθεί για κάθε μία από τις παρακάτω κατανομές ποιο είναι το καταλληλότερο μέτρο κεντρικής τάσης: (α) Μισθοί όλων των καθηγητών του σχολείου σας, (β) Οι χρόνοι στους οποίους 10 άλογα διανύουν μία δεδομένη απόσταση, (γ) Την ώρα, με ακρίβεια λεπτού, όπως τη δείχνουν 10 ρολόγια, (δ) Οι βαθμοί του τμήματός σας στο πρώτο διαγώνισμα Στατιστικής. Μέτρα: (1) Η μέση τιμή, (2) Διάμεσος, (3) Επικρατούσα τιμή. Να εξηγήσετε την επιλογή σας.

Απάντηση:

💡 Η άσκηση βαθμολογείται στην ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ. Το βιβλίο ζητά ρητά «να εξηγήσετε την επιλογή σας» — γιατί τα κριτήρια της ενότητας 4.5 είναι ποιοτικά, όχι μηχανικά.
Τα τρία κριτήρια που εφαρμόζουμε: (i) η μέση τιμή λαμβάνει υπόψη όλες τις τιμές αλλά επηρεάζεται σημαντικά από τις ακραίες· (ii) η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες — «το καλύτερο μέτρο θέσης»· (iii) η επικρατούσα είναι ικανοποιητική μόνο αν η κατανομή είναι συμμετρική (ή αν υπάρχει σαφής συσσώρευση σε μία τιμή).
(α) Μισθοί καθηγητών → (2) ΔΙΑΜΕΣΟΣ. Οι μισθοί ακολουθούν μισθολογική κλίμακα με βάση τα έτη υπηρεσίας: οι περισσότεροι συγκεντρώνονται σε μεσαία επίπεδα, ενώ λίγοι (διευθυντής, καθηγητές με πολλά έτη ή επιδόματα) έχουν σημαντικά υψηλότερες αποδοχές. Αυτές οι ακραίες τιμές θα «τραβήξουν» τη μέση τιμή προς τα πάνω, δίνοντας νούμερο που δεν αντιστοιχεί σε κανέναν πραγματικό μισθό. Η διάμεσος δεν επηρεάζεται.
(β) Χρόνοι 10 αλόγων → (1) ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ. Πρόκειται για μετρήσεις του ίδιου φυσικού μεγέθους σε ίδια απόσταση, από ομοειδή υποκείμενα. Οι τιμές είναι κοντινές μεταξύ τους και η κατανομή περίπου συμμετρική, χωρίς ακραίες τιμές. Στην περίπτωση αυτή η μέση τιμή είναι το καταλληλότερο: αξιοποιεί όλες τις μετρήσεις και είναι το πιο εύχρηστο μέτρο.
(γ) Η ώρα σε 10 ρολόγια → (3) ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ. Εδώ δεν ενδιαφέρει το «κέντρο» ενός φάσματος τιμών — υπάρχει μία σωστή ώρα. Τα περισσότερα ρολόγια θα τη δείχνουν, ενώ κάποια θα πηγαίνουν μπροστά ή πίσω. Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι, κατά πάσα πιθανότητα, η πραγματική ώρα. Η μέση τιμή θα αλλοιωνόταν από ένα ρολόι που πηγαίνει π.χ. 20 λεπτά πίσω.
(δ) Βαθμοί διαγωνίσματος → (1) ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ. Είναι το καθιερωμένο μέτρο για τη σχολική επίδοση (ο «μέσος όρος»), λαμβάνει υπόψη όλους τους βαθμούς και επιτρέπει σύγκριση μεταξύ τμημάτων ή διαγωνισμάτων.
⚠️ Με μία επιφύλαξη: αν σε ένα τμήμα υπάρχουν λίγοι πολύ χαμηλοί βαθμοί (π.χ. δύο μηδενικά από απουσίες), η μέση τιμή παρασύρεται προς τα κάτω και η διάμεσος περιγράφει καλύτερα την τυπική επίδοση. Απάντηση «διάμεσος» με αυτή την αιτιολόγηση είναι εξίσου αποδεκτή.
Το μοτίβο που πρέπει να κρατήσεις. Ρώτα κάθε φορά: «Υπάρχουν λίγες τιμές πολύ διαφορετικές από τις υπόλοιπες;» → αν ναι, διάμεσος. «Υπάρχει μία τιμή που επαναλαμβάνεται και έχει ιδιαίτερο νόημα;» → αν ναι, επικρατούσα. «Είναι όλες οι τιμές ομοιογενείς;» → μέση τιμή.

Σύνοψη: (ενδεικτική) (α) Μισθοί καθηγητών → Διάμεσος (2): λίγοι υψηλοί μισθοί λειτουργούν ως ακραίες τιμές και παρασύρουν τη μέση τιμή. (β) Χρόνοι 10 αλόγων → Μέση τιμή (1): ομοιογενείς μετρήσεις του ίδιου μεγέθους, χωρίς ακραίες τιμές. (γ) Ώρα σε 10 ρολόγια → Επικρατούσα τιμή (3): η τιμή που δείχνουν τα περισσότερα ρολόγια είναι κατά πάσα πιθανότητα η σωστή ώρα, ενώ ένα αποκλίνον ρολόι θα αλλοίωνε τον μέσο. (δ) Βαθμοί διαγωνίσματος → Μέση τιμή (1): το καθιερωμένο μέτρο, αξιοποιεί όλους τους βαθμούς και επιτρέπει συγκρίσεις (με επιφύλαξη υπέρ της διαμέσου αν υπάρχουν ελάχιστοι μηδενικοί βαθμοί).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: αιτιολόγηση σε κάθε περίπτωση — το ζητά ρητά η εκφώνηση.
Κριτήριο: χρήση των κριτηρίων της ενότητας 4.5 (ακραίες τιμές, συμμετρία).
Κριτήριο: το (γ) ως επικρατούσα — είναι η μόνη περίπτωση όπου υπάρχει «σωστή» τιμή.
Θετικό: αναγνώριση ότι το (δ) επιδέχεται και τη διάμεσο, με τη σωστή αιτιολόγηση.
Παγίδα: επιλογή χωρίς αιτιολόγηση — δεν βαθμολογείται, όποια κι αν είναι.

Ερώτηση 11 — Πολλαπλής επιλογής: εύρεση της άγνωστης τιμής

Ερώτηση: Αν η μέση τιμή των αριθμών 12, 18, 21, x, 13 είναι 17, τότε η τιμή του x είναι: Α. 24 Β. 21 Γ. 17 Δ. 15

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Β. 21
Βήμα 1 — από τη μέση τιμή στο ολικό άθροισμα. Οι αριθμοί είναι $ \nu = 5 $:
$$ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{5} = 17 \;\Rightarrow\; \sum x_i = 17 \cdot 5 = 85 $$
Βήμα 2 — το άθροισμα των γνωστών.
$$ 12 + 18 + 21 + 13 = 64 $$
Βήμα 3 — ο άγνωστος.
$$ x = 85 - 64 = \mathbf{21} $$
Επαλήθευση: $ \dfrac{12+18+21+21+13}{5} = \dfrac{85}{5} = 17 $ ✓
Έλεγχος και των τεσσάρων επιλογών (ώστε να μη μείνει αμφιβολία):
| Επιλογή | $ x $ | Μέση τιμή |
|---|---|---|
| Α | 24 | $ 88/5 = 17{,}6 $ ✗ |
| Β | 21 | $ 85/5 = \mathbf{17} $ ✓ |
| Γ | 17 | $ 81/5 = 16{,}2 $ ✗ |
| Δ | 15 | $ 79/5 = 15{,}8 $ ✗ |
Γιατί το Γ είναι η στημένη παγίδα. Η επιλογή Γ = 17 είναι η ίδια η μέση τιμή. Πολλοί τη διαλέγουν αυτόματα, σκεπτόμενοι ότι «ο άγνωστος πρέπει να είναι ο μέσος». Θα ίσχυε μόνο αν οι υπόλοιποι τέσσερις αριθμοί είχαν κι αυτοί μέση τιμή 17 — εδώ όμως η μέση τους είναι $ 64/4 = 16 $, δηλαδή μία μονάδα κάτω. Άρα ο άγνωστος πρέπει να αναπληρώσει το έλλειμμα των τεσσάρων: $ 4 \times 1 = 4 $ μονάδες πάνω από το 17, δηλαδή 21 — δεύτερος, γρηγορότερος δρόμος για την ίδια απάντηση.

Σύνοψη: Β. 21. Σxi = 17·5 = 85· γνωστό άθροισμα 12+18+21+13 = 64· άρα x = 85 − 64 = 21. Επαλήθευση: 85/5 = 17 ✓

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: μετατροπή της μέσης τιμής σε ολικό άθροισμα (×5).
Κριτήριο: επαλήθευση της απάντησης.
Θετικό: ο δεύτερος δρόμος μέσω των αποκλίσεων από τη μέση τιμή.
Παγίδα: η επιλογή Γ = 17, δηλαδή η ίδια η μέση τιμή.

Ομάδα Α, Άσκηση 1 — Ηλικίες υπαλλήλων: μέση τιμή, διάμεσος, τεταρτημόρια

Ερώτηση: Οι ηλικίες των υπαλλήλων ενός εμπορικού καταστήματος είναι: 25, 22, 20, 20, 23, 25, 25, 30, 35, 40. Να βρεθούν: α) Η μέση τιμή, β) η διάμεσος ηλικία και γ) το πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο.

Απάντηση:

Βήμα 0 — υποχρεωτική ταξινόμηση. $ \nu = 10 $ παρατηρήσεις σε αύξουσα τάξη:
$$ 20,\ 20,\ 22,\ 23,\ 25,\ 25,\ 25,\ 30,\ 35,\ 40 $$
α) Μέση τιμή (τύπος 4.2, αταξινόμητα δεδομένα):
$$ \bar{x} = \frac{20+20+22+23+25+25+25+30+35+40}{10} = \frac{265}{10} = \mathbf{26{,}5}\ \text{έτη} $$
β) Διάμεσος. Θέση $ \dfrac{\nu+1}{2} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5 $ → άρτιο πλήθος, άρα ημιάθροισμα 5ης και 6ης παρατήρησης:
$$ \delta = \frac{25 + 25}{2} = \mathbf{25}\ \text{έτη} $$
γ) Τεταρτημόρια.
$ Q_1 $: θέση $ \dfrac{\nu+1}{4} = \dfrac{11}{4} = 2{,}75 $ — ανάμεσα στην 2η (20) και την 3η (22), στα 75 % της απόστασης:
$$ Q_1 = 20 + 0{,}75\cdot(22-20) = 20 + 1{,}5 = \mathbf{21{,}5}\ \text{έτη} $$
$ Q_3 $: θέση $ \dfrac{3(\nu+1)}{4} = \dfrac{33}{4} = 8{,}25 $ — ανάμεσα στην 8η (30) και την 9η (35), στα 25 %:
$$ Q_3 = 30 + 0{,}25\cdot(35-30) = 30 + 1{,}25 = \mathbf{31{,}25}\ \text{έτη} $$
Ερμηνεία. Το 25 % των υπαλλήλων είναι έως 21,5 ετών, οι μισοί έως 25, το 75 % έως 31,25. Το μεσαίο 50 % βρίσκεται στο διάστημα [21,5 · 31,25].
Η παρατήρηση που αξίζει: $ \bar{x} = 26{,}5 > \delta = 25 $. Η κατανομή παρουσιάζει θετική ασυμμετρία. Ο λόγος φαίνεται με γυμνό μάτι: επτά από τους δέκα υπαλλήλους είναι 20-25 ετών, ενώ τρεις (30, 35, 40) απλώνονται πολύ ψηλότερα. Αυτές οι ακραίες τιμές τραβούν τη μέση τιμή πάνω από τη διάμεσο — ακριβώς το φαινόμενο που περιγράφει η ενότητα 4.5.
Ποιο μέτρο περιγράφει καλύτερα το προσωπικό; Η διάμεσος (25 έτη): δεν επηρεάζεται από τους τρεις μεγαλύτερους υπαλλήλους και αντιστοιχεί σε πραγματική ηλικία που εμφανίζεται στα δεδομένα (μάλιστα είναι και η επικρατούσα τιμή, με συχνότητα 3).

Σύνοψη: α) x̄ = 265/10 = 26,5 έτη. β) δ = (25+25)/2 = 25 έτη (θέση 5,5). γ) Q₁ = 21,5 έτη (θέση 2,75) και Q₃ = 31,25 έτη (θέση 8,25). Επειδή x̄ > δ, η κατανομή έχει θετική ασυμμετρία: οι τρεις μεγαλύτερες ηλικίες (30, 35, 40) τραβούν τη μέση τιμή προς τα πάνω.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ταξινόμηση πριν από κάθε υπολογισμό.
Κριτήριο: θέσεις (ν+1)/2, (ν+1)/4, 3(ν+1)/4 — δεδομένα αταξινόμητα, όχι ομαδοποιημένα.
Κριτήριο: παρεμβολή στις μη ακέραιες θέσεις 2,75 και 8,25.
Θετικό: ο σχολιασμός x̄ > δ → θετική ασυμμετρία.
Παγίδα: χρήση των τύπων ν/4 και 3ν/4 των ομαδοποιημένων δεδομένων.

Ομάδα Α, Άσκηση 2 — Μηνιαίες αποδοχές υπαλλήλων

Ερώτηση: Οι μηνιαίες αποδοχές των υπαλλήλων μιας επιχείρησης (σε δεκάδες ευρώ) είναι: 210, 220, 200, 180, 150, 160, 180, 200, 250, 260. Να βρεθεί: α) Η μέση τιμή, β) η διάμεσος του μηνιαίου μισθού, γ) το πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο.

Απάντηση:

Βήμα 0 — ταξινόμηση. $ \nu = 10 $:
$$ 150,\ 160,\ 180,\ 180,\ 200,\ 200,\ 210,\ 220,\ 250,\ 260 $$
α) Μέση τιμή:
$$ \bar{x} = \frac{150+160+180+180+200+200+210+220+250+260}{10} = \frac{2.010}{10} = \mathbf{201}\ \text{δεκ. €} $$
Δηλαδή 2.010 € μηνιαίως.
β) Διάμεσος. Θέση $ \dfrac{11}{2} = 5{,}5 $ → ημιάθροισμα 5ης (200) και 6ης (200):
$$ \delta = \frac{200+200}{2} = \mathbf{200}\ \text{δεκ. €} \;=\; 2.000\ \text{€} $$
γ) Τεταρτημόρια.
$ Q_1 $: θέση $ \dfrac{11}{4} = 2{,}75 $ — ανάμεσα στη 2η (160) και 3η (180):
$$ Q_1 = 160 + 0{,}75\cdot(180-160) = 160 + 15 = \mathbf{175}\ \text{δεκ. €} \;=\; 1.750\ \text{€} $$
$ Q_3 $: θέση $ \dfrac{33}{4} = 8{,}25 $ — ανάμεσα στην 8η (220) και 9η (250):
$$ Q_3 = 220 + 0{,}25\cdot(250-220) = 220 + 7{,}5 = \mathbf{227{,}5}\ \text{δεκ. €} \;=\; 2.275\ \text{€} $$
Ερμηνεία. Το 25 % των υπαλλήλων αμείβεται έως 1.750 €, οι μισοί έως 2.000 €, το 75 % έως 2.275 €. Το μεσαίο 50 % των μισθών βρίσκεται στο [1.750 · 2.275] €.
Σύγκριση με την άσκηση 1 — προσοχή, εδώ αλλάζει η εικόνα. Τώρα $ \bar{x} = 201 $ και $ \delta = 200 $: σχεδόν ταυτίζονται. Η κατανομή είναι σχεδόν συμμετρική, χωρίς ακραίες τιμές που να την παραμορφώνουν — οι μισθοί απλώνονται ομαλά από 150 ως 260.
Η μεθοδολογική συνέπεια. Όταν $ \bar{x} \approx \delta $, και τα δύο μέτρα είναι αξιόπιστα και η μέση τιμή προτιμάται ως ευχρηστότερη. Σύγκρινε με την άσκηση 1, όπου $ \bar{x} - \delta = 1{,}5 $ έτη σε κλίμακα 20-40 — εκεί η διαφορά ήταν ουσιαστική, εδώ αμελητέα (1 σε κλίμακα 150-260).
💡 Μονάδες. Τα δεδομένα δίνονται σε δεκάδες ευρώ. Απάντηση «201 €» είναι λάθος κατά μία τάξη μεγέθους — πάντα ξαναδιάβαζε τη μονάδα της εκφώνησης.

Σύνοψη: α) x̄ = 2.010/10 = 201 δεκ. € = 2.010 €. β) δ = 200 δεκ. € = 2.000 € (θέση 5,5). γ) Q₁ = 175 δεκ. € = 1.750 € (θέση 2,75) και Q₃ = 227,5 δεκ. € = 2.275 € (θέση 8,25). Επειδή x̄ ≈ δ, η κατανομή είναι σχεδόν συμμετρική.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ταξινόμηση και σωστές θέσεις με παρεμβολή.
Κριτήριο: απάντηση στη σωστή μονάδα (δεκάδες ευρώ) ή ρητή μετατροπή σε ευρώ.
Θετικό: ο σχολιασμός x̄ ≈ δ → συμμετρική κατανομή.
Παγίδα: παράλειψη της μονάδας «δεκάδες ευρώ».

Ομάδα Α, Άσκηση 3 — Αύξηση μισθών κατά σταθερό ποσό και κατά ποσοστό

Ερώτηση: Η μέση τιμή του μηνιαίου μισθού των υπαλλήλων μιας επιχείρησης είναι 1100 ευρώ. α) Αν ο μισθός κάθε υπαλλήλου αυξηθεί κατά 100 ευρώ, ποια μεταβολή θα επέλθει στη μέση τιμή του; β) Αν αυξηθούν οι μισθοί όλων των εργαζομένων κατά 10 %, ποια μεταβολή θα επέλθει στη μέση τιμή του;

Απάντηση:

💡 Η άσκηση λύνεται ΧΩΡΙΣ κανένα δεδομένο για το πλήθος ή τους επιμέρους μισθούς — αρκούν οι ιδιότητες 1 και 3 της μέσης τιμής. Αυτός είναι ο λόγος που δόθηκε.
α) Αύξηση κατά σταθερό ποσό 100 € — ιδιότητα 1.
«Αν σε όλες τις τιμές προσθέσουμε σταθερά $ \alpha $, η μέση τιμή αυξάνεται κατά $ \alpha $.»
$$ \bar{x}_{\text{νέα}} = \bar{x} + 100 = 1.100 + 100 = \mathbf{1.200}\ \text{€} $$
Η μεταβολή είναι $ +100 $ € — ίδια με την αύξηση κάθε μισθού.
Απόδειξη: αν οι μισθοί είναι $ x_1, \dots, x_\nu $ και γίνουν $ x_i + 100 $:
$$ \frac{\sum(x_i+100)}{\nu} = \frac{\sum x_i + 100\nu}{\nu} = \bar{x} + 100 $$
β) Αύξηση κατά 10 % — ιδιότητα 3.
Αύξηση κατά 10 % σημαίνει πολλαπλασιασμό επί 1,10, άρα $ \overline{\alpha x} = \alpha\bar{x} $ με $ \alpha = 1{,}10 $:
$$ \bar{x}_{\text{νέα}} = 1{,}10 \cdot 1.100 = \mathbf{1.210}\ \text{€} $$
Η μεταβολή είναι $ +110 $ € — δηλαδή 10 % και της μέσης τιμής.
Απόδειξη:
$$ \frac{\sum 1{,}1\,x_i}{\nu} = 1{,}1\cdot\frac{\sum x_i}{\nu} = 1{,}1\,\bar{x} $$
Η σύγκριση που κάνει την άσκηση διδακτική. Και οι δύο περιπτώσεις δίνουν αύξηση γύρω στα 100-110 €, αλλά η κατανομή αλλάζει διαφορετικά:
| | Σταθερό ποσό (+100 €) | Ποσοστό (+10 %) |
|---|---|---|
| Μέση τιμή | 1.100 → 1.200 (+100) | 1.100 → 1.210 (+110) |
| Ποιος κερδίζει περισσότερο | όλοι το ίδιο | οι υψηλόμισθοι |
| Διαφορά μεταξύ μισθών | αμετάβλητη | μεγαλώνει κατά 10 % |
Παράδειγμα: υπάλληλος με 800 € και υπάλληλος με 2.000 €. Με +100 € παίρνουν 900 και 2.100 — η διαφορά μένει 1.200 €. Με +10 % παίρνουν 880 και 2.200 — η διαφορά μεγαλώνει σε 1.320 €.
🎯 Η σταθερή αύξηση μετατοπίζει την κατανομή· η ποσοστιαία την τεντώνει. Θα το δεις ξανά στο κεφ. 5: η σταθερή αύξηση δεν αλλάζει τα μέτρα διασποράς, ενώ η ποσοστιαία τα πολλαπλασιάζει επί 1,10.

Σύνοψη: α) Ιδιότητα 1 (πρόσθεση σταθεράς): η μέση τιμή αυξάνεται κατά 100 €, δηλαδή γίνεται 1.100 + 100 = 1.200 €. β) Ιδιότητα 3 (πολλαπλασιασμός επί 1,10): η μέση τιμή πολλαπλασιάζεται επί 1,10, δηλαδή γίνεται 1,10·1.100 = 1.210 €, αύξηση 110 €. Η σταθερή αύξηση δεν μεταβάλλει τις διαφορές μεταξύ των μισθών, ενώ η ποσοστιαία τις μεγαλώνει κατά 10 %.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ρητή επίκληση των ιδιοτήτων 1 και 3 — όχι υποθετικά νούμερα μισθών.
Κριτήριο: το (β) να λυθεί ως πολλαπλασιασμός επί 1,10, όχι ως πρόσθεση.
Θετικό: η σύγκριση της επίδρασης στις διαφορές μεταξύ μισθών.
Παγίδα: να απαντηθεί το (β) «+10 €» ή «+100 €».

Ομάδα Α, Άσκηση 4 — Ώρες υπερωριακής απασχόλησης (πίνακας συχνοτήτων)

Ερώτηση: Ο πίνακας περιέχει τον αριθμό ωρών υπερωριακής απασχόλησης που πραγματοποιήθηκε από τους εργάτες μιας βιομηχανίας — Ώρες (xi): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 · Εργάτες (νi): 5, 5, 10, 15, 15, 20, 15, 10, 10, 10, 5. Να βρεθούν και να ερμηνευθούν: α) Η μέση τιμή, β) η διάμεσος, γ) το πρώτο τεταρτημόριο.

Απάντηση:

Βήμα 1 — ο πλήρης πίνακας (τα δεδομένα είναι ταξινομημένα διακριτά):
| $ x_i $ | $ \nu_i $ | $ \nu_i x_i $ | $ N_i $ |
|---|---|---|---|
| 0 | 5 | 0 | 5 |
| 1 | 5 | 5 | 10 |
| 2 | 10 | 20 | 20 |
| 3 | 15 | 45 | 35 |
| 4 | 15 | 60 | 50 |
| 5 | 20 | 100 | 70 |
| 6 | 15 | 90 | 85 |
| 7 | 10 | 70 | 95 |
| 8 | 10 | 80 | 105 |
| 9 | 10 | 90 | 115 |
| 10 | 5 | 50 | 120 |
| Σύνολο | 120 | 610 | — |
Έλεγχος: $ \Sigma\nu_i = 120 = \nu $ ✓ και $ N_{11} = 120 $ ✓
α) Μέση τιμή (τύπος 4.3):
$$ \bar{x} = \frac{\sum \nu_i x_i}{\nu} = \frac{610}{120} = \frac{61}{12} \approx \mathbf{5{,}08}\ \text{ώρες} $$
Ερμηνεία: κάθε εργάτης πραγματοποίησε κατά μέσο όρο περίπου 5,08 ώρες υπερωριακής απασχόλησης στην περίοδο. Πρόσεξε ότι το αποτέλεσμα δεν είναι ακέραιο — και δεν πειράζει: η μέση τιμή είναι υπολογιστικό μέγεθος, όχι πραγματική παρατήρηση.
β) Διάμεσος. Δεδομένα διακριτά → θέση $ \dfrac{\nu+1}{2} = \dfrac{121}{2} = 60{,}5 $.
Από τη στήλη $ N_i $: $ N(x=4) = 50 < 60{,}5 \le 70 = N(x=5) $. Άρα τόσο η 60ή όσο και η 61η παρατήρηση αντιστοιχούν στην τιμή 5:
$$ \delta = \mathbf{5}\ \text{ώρες} $$
Ερμηνεία: οι μισοί εργάτες έκαναν έως 5 ώρες υπερωρίας και οι άλλοι μισοί περισσότερες.
γ) Πρώτο τεταρτημόριο. Θέση $ \dfrac{\nu+1}{4} = \dfrac{121}{4} = 30{,}25 $.
Από τη στήλη $ N_i $: $ N(x=2) = 20 < 30{,}25 \le 35 = N(x=3) $:
$$ Q_1 = \mathbf{3}\ \text{ώρες} $$
Ερμηνεία: το 25 % των εργατών πραγματοποίησε έως 3 ώρες υπερωρίας — δηλαδή ένας στους τέσσερις δούλεψε πολύ λίγες υπερωρίες.
Η συνολική εικόνα. $ \bar{x} = 5{,}08 \approx \delta = 5 = $ Ε.Τ. (η τιμή 5 έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα, $ \nu = 20 $). Και τα τρία μέτρα σχεδόν συμπίπτουν — η κατανομή είναι πρακτικά συμμετρική, δηλαδή κανονική κατά την ορολογία της ενότητας 4.5.
Η διοικητική ανάγνωση. Η κατανομή έχει κορυφή στις 5 ώρες και απλώνεται συμμετρικά εκατέρωθεν — δεν υπάρχει ούτε ομάδα εργατών που να επιβαρύνεται δυσανάλογα, ούτε ομάδα που να μένει εκτός. Η υπερωριακή απασχόληση φαίνεται ισομερώς κατανεμημένη.

Σύνοψη: ν = 120, Σνixi = 610. α) x̄ = 610/120 = 61/12 ≈ 5,08 ώρες κατά μέσο όρο ανά εργάτη. β) δ = 5 ώρες (θέση 60,5, μεταξύ Ν=50 και Ν=70): οι μισοί εργάτες έκαναν έως 5 ώρες. γ) Q₁ = 3 ώρες (θέση 30,25, μεταξύ Ν=20 και Ν=35): το 25 % έκανε έως 3 ώρες. Μέση τιμή, διάμεσος και επικρατούσα τιμή (5) σχεδόν συμπίπτουν — κατανομή πρακτικά συμμετρική.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: υπολογισμός του ν = 120 από τις συχνότητες — δεν δίνεται.
Κριτήριο: στήλες νixi και Νi.
Κριτήριο: θέσεις (ν+1)/2 και (ν+1)/4 — δεδομένα διακριτά, χωρίς παρεμβολή στην τιμή.
Κριτήριο: ερμηνεία κάθε αποτελέσματος — το ζητά η εκφώνηση.
Παγίδα: να θεωρηθεί ν = 11 (πλήθος τιμών) αντί για ν = 120 (πλήθος παρατηρήσεων).

Ομάδα Α, Άσκηση 5 — Έξοδα ρεύματος 100 νοικοκυριών (ομαδοποιημένα)

Ερώτηση: Ο πίνακας δείχνει τα ετήσια έξοδα λογαριασμών ηλεκτρικού ρεύματος (σε ευρώ) 100 νοικοκυριών: 40-60: 5 · 60-80: 10 · 80-100: 10 · 100-120: 15 · 120-140: 20 · 140-160: 20 · 160-180: 10 · 180-200: 5 · 200-220: 5. Να υπολογιστούν και να ερμηνευθούν: α) Η μέση τιμή και β) η διάμεσος.

Απάντηση:

⚠️ Δεδομένα ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ — ισχύουν οι τύποι (4.4) και (4.5), και η θέση της διαμέσου είναι $ \nu/2 $, όχι $ (\nu+1)/2 $.
Βήμα 1 — πλήρης πίνακας με κεντρικές τιμές και αθροιστικές συχνότητες. Πλάτος κλάσης $ c = 20 $ παντού.
| Κλάση | $ x_i' $ | $ \nu_i $ | $ \nu_i x_i' $ | $ N_i $ |
|---|---|---|---|---|
| [40, 60) | 50 | 5 | 250 | 5 |
| [60, 80) | 70 | 10 | 700 | 15 |
| [80, 100) | 90 | 10 | 900 | 25 |
| [100, 120) | 110 | 15 | 1.650 | 40 |
| [120, 140) | 130 | 20 | 2.600 | 60 |
| [140, 160) | 150 | 20 | 3.000 | 80 |
| [160, 180) | 170 | 10 | 1.700 | 90 |
| [180, 200) | 190 | 5 | 950 | 95 |
| [200, 220) | 210 | 5 | 1.050 | 100 |
| Σύνολο | — | 100 | 12.800 | — |
Έλεγχος: $ \Sigma\nu_i = 100 $ ✓ · $ N_9 = 100 = \nu $ ✓
α) Μέση τιμή (τύπος 4.4):
$$ \bar{x} = \frac{\sum \nu_i x_i'}{\nu} = \frac{12.800}{100} = \mathbf{128}\ \text{€} $$
Ερμηνεία: κάθε νοικοκυριό δαπάνησε κατά μέσο όρο 128 € ετησίως για ηλεκτρικό ρεύμα.
β) Διάμεσος (τύπος 4.5).
Βήμα 1 — θέση: $ \dfrac{\nu}{2} = \dfrac{100}{2} = 50 $.
Βήμα 2 — εντοπισμός κλάσης: από τη στήλη $ N_i $, το 50 βρίσκεται ανάμεσα στις $ N = 40 $ (κλάση [100,120)) και $ N = 60 $ (κλάση [120, 140)). Άρα η διάμεσος περιέχεται στην [120, 140).
Βήμα 3 — τα μεγέθη: $ \alpha_{i-1} = 120 $, $ \nu_i = 20 $, $ c = 20 $, $ N_{i-1} = 40 $.
Βήμα 4 — αντικατάσταση:
$$ \delta = \alpha_{i-1} + \frac{c}{\nui}\left(\frac{\nu}{2} - N{i-1}\right) = 120 + \frac{20}{20}\,(50 - 40) = 120 + 1\cdot 10 = \mathbf{130}\ \text{€} $$
Ερμηνεία: τα μισά νοικοκυριά δαπάνησαν έως 130 € ετησίως και τα άλλα μισά περισσότερα.
Γιατί το αποτέλεσμα βγαίνει τόσο «καθαρό». Επειδή $ c = \nu_i = 20 $, ο λόγος $ c/\nu_i = 1 $ — κάθε παρατήρηση της κλάσης καταλαμβάνει ακριβώς 1 € πλάτους. Χρειάζεται να προχωρήσουμε 10 παρατηρήσεις (από τη 41η ως την 50ή), άρα 10 € από το κατώτερο όριο: $ 120 + 10 = 130 $.
Η σύγκριση των δύο μέτρων. $ \bar{x} = 128 < \delta = 130 $ — αρνητική ασυμμετρία, αν και πολύ ήπια (διαφορά 2 € σε κλίμακα 40-220). Ο λόγος: υπάρχει μια μικρή «ουρά» χαμηλών καταναλώσεων ([40,60) και [60,80)) που τραβά τη μέση τιμή ελαφρώς κάτω.
Συμπέρασμα: η κατανομή είναι σχεδόν συμμετρική με κορυφή στις κλάσεις [120,140) και [140,160) (και οι δύο με $ \nu = 20 $, άρα δύο επικρατούσες κλάσεις). Το 80 % των νοικοκυριών δαπάνησε έως 160 € — και τα δύο μέτρα, μέση τιμή και διάμεσος, δίνουν συνεπή εικόνα.

Σύνοψη: α) Σνix′i = 12.800, ν = 100 → x̄ = 128 €: μέση ετήσια δαπάνη 128 € ανά νοικοκυριό. β) Θέση ν/2 = 50 → κλάση [120,140) με α(i−1) = 120, νi = 20, c = 20, N(i−1) = 40 → δ = 120 + (20/20)·(50−40) = 130 €: τα μισά νοικοκυριά δαπάνησαν έως 130 €. Επειδή x̄ < δ, υπάρχει πολύ ήπια αρνητική ασυμμετρία.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: κεντρικές τιμές x′i για τη μέση τιμή — όχι όρια κλάσεων.
Κριτήριο: θέση διαμέσου ν/2 = 50, όχι (ν+1)/2 = 50,5.
Κριτήριο: σωστός εντοπισμός της κλάσης [120,140) από τη στήλη Νi.
Κριτήριο: ερμηνεία και των δύο αποτελεσμάτων.
Παγίδα: να ληφθεί ως N(i−1) η αθροιστική συχνότητα της ίδιας κλάσης (60) αντί της προηγούμενης (40).

Ομάδα Β, Άσκηση 1 — Ανάγνωση διαγράμματος αθροιστικής συχνότητας

Ερώτηση: Από το διάγραμμα αθροιστικής συχνότητας παρατηρούμε τον χρόνο που πέρασαν 50 άτομα μέσα σε ένα πολυκατάστημα (οριζόντιος άξονας: χρόνος 0-40 min· κατακόρυφος: αθροιστική συχνότητα 0-50). α) Από το διάγραμμα να βρείτε πόσα άτομα έμειναν στο πολυκατάστημα από 17 έως και 27 λεπτά. β) Το 25 % των ατόμων έμεινε λιγότερο ή ίσο με t λεπτά. Να βρείτε το t. γ) Το 50 % των ατόμων πέρασε περισσότερο από s λεπτά. Να βρείτε το s. δ) Υπολογίστε τη διάμεσο. Τι παρατηρείτε;

Απάντηση:

📄 Η άσκηση απαιτεί το ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ του βιβλίου (σελ. 125). Τα αριθμητικά αποτελέσματα εξαρτώνται από την ανάγνωση της καμπύλης, γι' αυτό δίνεται η μεθοδολογία με την οποία βγαίνει καθένα — εφάρμοσέ τη πάνω στο διάγραμμα.
Τι είναι το διάγραμμα. Είναι το διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων $ (x, N) $: για κάθε χρόνο $ x $ διαβάζεις πόσα άτομα έμειναν το πολύ $ x $ λεπτά. Είναι αύξουσα καμπύλη από $ (0,0) $ ως $ (40, 50) $, αφού $ \nu = 50 $.
α) Άτομα με χρόνο από 17 έως και 27 λεπτά. Ζητείται διαφορά δύο αναγνώσεων:
$$ \text{πλήθος} = N(27) - N(17) $$
Διαδικασία: από το 17 στον οριζόντιο άξονα ανεβαίνεις κατακόρυφα ως την καμπύλη και διαβάζεις οριζόντια το $ N(17) $· το ίδιο για το 27· αφαιρείς.
⚠️ Γιατί αφαιρείς και δεν διαβάζεις κατευθείαν. Η καμπύλη δίνει αθροιστικά μεγέθη («το πολύ x»). Για ένα διάστημα χρειάζεσαι πάντα τη διαφορά — ακριβώς όπως στην άσκηση 3 του κεφ. 3, όπου το «13 ως και 16» βγήκε ως $ N_{16} - N_{12} $.
β) Το 25 % έμεινε λιγότερο ή ίσο με t λεπτά → το $ t $ είναι το $ Q_1 $.
$$ 25\%\ \text{των}\ 50 = \frac{\nu}{4} = \frac{50}{4} = 12{,}5\ \text{άτομα} $$
Διαδικασία — αντίστροφη ανάγνωση: εντοπίζεις το 12,5 στον κατακόρυφο άξονα, κινείσαι οριζόντια ως την καμπύλη και κατεβαίνεις στον οριζόντιο άξονα. Εκεί διαβάζεις το $ t = Q_1 $.
γ) Το 50 % πέρασε ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ από s λεπτά.
⚠️ Προσοχή στη διατύπωση — είναι το ζουμί του ερωτήματος. Αν το 50 % πέρασε περισσότερο από $ s $, τότε το υπόλοιπο 50 % πέρασε λιγότερο ή ίσο με $ s $. Άρα:
$$ N(s) = \frac{\nu}{2} = 25\ \text{άτομα} \quad\Longrightarrow\quad s = \delta $$
Το $ s $ είναι η ΔΙΑΜΕΣΟΣ. Διαδικασία: εντοπίζεις το 25 στον κατακόρυφο άξονα, πας οριζόντια ως την καμπύλη, κατεβαίνεις.
δ) Υπολογισμός της διαμέσου — και τι παρατηρούμε.
Η διάμεσος βρίσκεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως το $ s $: θέση $ \nu/2 = 25 $.
🎯 Η παρατήρηση που ζητά η άσκηση: $ s = \delta $. Το ερώτημα (γ) και το ερώτημα (δ) έχουν την ίδια απάντηση. Δεν είναι σύμπτωση — είναι ο ορισμός: η διάμεσος χωρίζει τις παρατηρήσεις σε δύο ισοπληθείς ομάδες, άρα το «50 % πέρασε περισσότερο από s» ισοδυναμεί με «το s είναι η διάμεσος». Ισοδύναμα, $ \delta = Q_2 $.
Η αλγεβρική επαλήθευση, αν προτιμάς τύπο αντί για γραφική ανάγνωση. Αφού διαβάσεις από το διάγραμμα την κλάση μέσα στην οποία πέφτει η 25η παρατήρηση, εφαρμόζεις τον τύπο (4.5) — και για το $ Q_1 $ του ερωτήματος (β) τον τύπο (4.6) με θέση $ \nu/4 = 12{,}5 $. Τα δύο αποτελέσματα (γραφικό και αλγεβρικό) πρέπει να συμφωνούν· αν διαφέρουν αισθητά, η ανάγνωση του διαγράμματος ήταν ανακριβής.
Το γενικό μάθημα. Το διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων απαντά και στους δύο τύπους ερωτήσεων: «πόσοι έως x;» (ανεβαίνεις από τον οριζόντιο) και «ποιο x αφήνει p % από κάτω;» (ξεκινάς από τον κατακόρυφο). Ο δεύτερος δρόμος είναι ακριβώς ο γραφικός υπολογισμός διαμέσου και τεταρτημορίων που περιγράφει η ενότητα 4.6.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Πλήθος = N(27) − N(17), ως διαφορά δύο αναγνώσεων της καμπύλης (η καμπύλη δίνει αθροιστικά μεγέθη, άρα για διάστημα χρειάζεται διαφορά). β) Το t είναι το Q₁: εντοπίζεις το ν/4 = 12,5 στον κατακόρυφο άξονα και διαβάζεις την αντίστοιχη τιμή του χρόνου. γ) Αν το 50 % πέρασε περισσότερο από s, τότε το 50 % πέρασε λιγότερο ή ίσο με s, δηλαδή N(s) = ν/2 = 25 άτομα. δ) Η διάμεσος βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο (θέση 25). Παρατήρηση: s = δ = Q₂ — τα ερωτήματα (γ) και (δ) έχουν την ίδια απάντηση, εξ ορισμού της διαμέσου.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: το (α) ως διαφορά N(27) − N(17), όχι απευθείας ανάγνωση.
Κριτήριο: το (β) να αναγνωριστεί ως Q₁ με θέση ν/4 = 12,5.
Κριτήριο: σωστή μετατροπή του «περισσότερο από s» σε «λιγότερο ή ίσο με s» για το υπόλοιπο 50 %.
Κριτήριο: η παρατήρηση s = δ — είναι το ζητούμενο του (δ).
Θετικό: επαλήθευση με τους τύπους (4.5)/(4.6).
Παγίδα: να απαντηθεί το (γ) με το 3ν/4, από παρανόηση του «περισσότερο από».

Ομάδα Β, Άσκηση 2 — Βαθμοί 30 μαθητών στη Στατιστική

Ερώτηση: Ο πίνακας δείχνει τους βαθμούς 30 μαθητών στο μάθημα της Στατιστικής — Βαθμοί: 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 · Αριθμός μαθητών: 1, 2, 3, 1, 2, 5, 7, 5, 3, 1. α) Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, το Q1 και το Q3. Τι παρατηρείτε για τη βαθμολογία του τμήματος; β) Αν η βαθμολογία όλων των μαθητών αυξανόταν κατά δύο μονάδες, πόση θα γινόταν η μέση τιμή;

Απάντηση:

Βήμα 1 — πλήρης πίνακας (δεδομένα ταξινομημένα διακριτά):
| $ x_i $ | $ \nu_i $ | $ \nu_i x_i $ | $ N_i $ |
|---|---|---|---|
| 7 | 1 | 7 | 1 |
| 8 | 2 | 16 | 3 |
| 11 | 3 | 33 | 6 |
| 12 | 1 | 12 | 7 |
| 13 | 2 | 26 | 9 |
| 14 | 5 | 70 | 14 |
| 15 | 7 | 105 | 21 |
| 16 | 5 | 80 | 26 |
| 17 | 3 | 51 | 29 |
| 18 | 1 | 18 | 30 |
| Σύνολο | 30 | 418 | — |
Έλεγχος: $ \Sigma\nu_i = 30 $ ✓ · $ N_{10} = 30 $ ✓
α) Τα τέσσερα μέτρα.
Μέση τιμή (τύπος 4.3):
$$ \bar{x} = \frac{\sum \nu_i x_i}{\nu} = \frac{418}{30} = \frac{209}{15} \approx \mathbf{13{,}93} $$
Διάμεσος: θέση $ \dfrac{\nu+1}{2} = \dfrac{31}{2} = 15{,}5 $. Από τη στήλη $ N_i $: $ N(14) = 14 < 15{,}5 \le 21 = N(15) $, άρα και η 15η και η 16η παρατήρηση είναι 15:
$$ \delta = \mathbf{15} $$
$ Q_1 $: θέση $ \dfrac{\nu+1}{4} = \dfrac{31}{4} = 7{,}75 $. Από τη στήλη: $ N(12) = 7 < 7{,}75 \le 9 = N(13) $:
$$ Q_1 = \mathbf{13} $$
$ Q_3 $: θέση $ \dfrac{3(\nu+1)}{4} = \dfrac{93}{4} = 23{,}25 $. Από τη στήλη: $ N(15) = 21 < 23{,}25 \le 26 = N(16) $:
$$ Q_3 = \mathbf{16} $$
Τι παρατηρούμε για τη βαθμολογία του τμήματος.
· Η επικρατούσα τιμή είναι το 15 ($ \nu = 7 $, η μεγαλύτερη συχνότητα) — και συμπίπτει με τη διάμεσο.
· $ \bar{x} = 13{,}93 < \delta = 15 = $ Ε.Τ. → αρνητική ασυμμετρία. Η μέση τιμή βρίσκεται πάνω από μία μονάδα κάτω από τη διάμεσο.
· Ο λόγος φαίνεται στον πίνακα: υπάρχει μια «ουρά» χαμηλών βαθμών — 1 μαθητής με 7, 2 με 8, 3 με 11 (συνολικά 6 μαθητές κάτω από τη βάση ή οριακά). Αυτοί τραβούν τη μέση τιμή προς τα κάτω, ενώ η συντριπτική πλειοψηφία συγκεντρώνεται στο 14-16.
· Το μεσαίο 50 % βρίσκεται στο διάστημα $ [Q_1, Q_3] = [13, 16] $ — πολύ στενό εύρος: το τμήμα είναι ομοιογενές στον κορμό του.
· Πράγματι, $ N(16) - N(12) = 26 - 7 = 19 $ μαθητές (63 %) έχουν βαθμό 13-16.
Συμπέρασμα: τμήμα με καλή και συνεκτική επίδοση, που όμως έχει μια μικρή ομάδα τριών-έξι μαθητών με σαφώς χαμηλότερους βαθμούς. Η διάμεσος (15) περιγράφει την τυπική επίδοση καλύτερα από τη μέση τιμή (13,93), ακριβώς επειδή δεν επηρεάζεται από αυτή την ουρά.
β) Αύξηση όλων των βαθμών κατά 2 μονάδες. Ιδιότητα 1 της μέσης τιμής — δεν χρειάζεται επανυπολογισμός:
$$ \bar{x}_{\text{νέα}} = \bar{x} + 2 = \frac{209}{15} + 2 = \frac{209 + 30}{15} = \frac{239}{15} \approx \mathbf{15{,}93} $$
💡 Επιπλέον παρατήρηση. Η ίδια μετατόπιση ισχύει και για όλα τα άλλα μέτρα θέσης: $ \delta = 17 $, $ Q_1 = 15 $, $ Q_3 = 18 $. Η πρόσθεση σταθεράς μετατοπίζει ολόκληρη την κατανομή χωρίς να αλλάζει το σχήμα της — η αρνητική ασυμμετρία παραμένει.

Σύνοψη: ν = 30, Σνixi = 418. α) x̄ = 418/30 = 209/15 ≈ 13,93 · δ = 15 (θέση 15,5) · Q₁ = 13 (θέση 7,75) · Q₃ = 16 (θέση 23,25). Επικρατούσα τιμή 15. Επειδή x̄ < δ = Ε.Τ., η κατανομή έχει αρνητική ασυμμετρία: λίγοι χαμηλοί βαθμοί (7, 8, 8, 11, 11, 11) τραβούν τη μέση τιμή κάτω, ενώ το 63 % των μαθητών βρίσκεται στο 13-16 και το μεσαίο 50 % στο [13, 16] — τμήμα ομοιογενές με μικρή ομάδα αδύναμων. β) Με +2 σε όλους: x̄ = 209/15 + 2 = 239/15 ≈ 15,93.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα τέσσερα μέτρα, με τις θέσεις σε διακριτά δεδομένα.
Κριτήριο: σχολιασμός της βαθμολογίας — το ζητά ρητά η εκφώνηση.
Κριτήριο: το (β) να λυθεί με την ιδιότητα 1, χωρίς επανυπολογισμό.
Θετικό: εντοπισμός της αρνητικής ασυμμετρίας και της αιτίας της.
Θετικό: αναφορά στο εύρος [Q₁, Q₃] ως δείκτη ομοιογένειας.
Παγίδα: ν = 10 (πλήθος τιμών) αντί για ν = 30 (πλήθος μαθητών).

Ομάδα Β, Άσκηση 3 — Ύψη παικτών μπάσκετ (σταθμικός μέσος)

Ερώτηση: Από τους 10 παίκτες μιας ομάδας μπάσκετ οι 4 είναι Έλληνες με μέση τιμή ύψους 200 εκ., οι 4 είναι κοινοτικοί με μέση τιμή 208 εκ. και οι άλλοι 2 είναι ξένοι με μέση τιμή 204 εκ. α) Ποια είναι η μέση τιμή του ύψους των παικτών της ομάδας; β) Κατά τη διάρκεια της αγωνιστικής περιόδου ο ένας ξένος παίκτης που είχε ύψος 200 εκ. πήρε μεταγραφή σε άλλη ομάδα και ο προπονητής ήθελε στη θέση του να πάρει έναν Έλληνα. Πόσο πρέπει να είναι το ύψος του Έλληνα παίκτη, ώστε η μέση τιμή του ύψους της ομάδας να είναι 205 εκ.;

Απάντηση:

α) Σταθμικός μέσος — ιδιότητα 5 της μέσης τιμής.
$$ \mu = \frac{N_1\mu_1 + N_2\mu_2 + N_3\mu_3}{N_1 + N_2 + N_3} = \frac{4\cdot 200 + 4\cdot 208 + 2\cdot 204}{4+4+2} $$
$$ = \frac{800 + 832 + 408}{10} = \frac{2.040}{10} = \mathbf{204}\ \text{εκ.} $$
⚠️ Η παγίδα της άσκησης. Ο απλός μέσος των τριών μέσων θα έδινε $ \frac{200+208+204}{3} = 204 $ — το ίδιο αποτέλεσμα! Είναι σύμπτωση και μεθοδολογικά λάθος. Ο απλός μέσος ισχύει μόνο αν όλες οι ομάδες έχουν ίδιο μέγεθος — εδώ έχουν 4, 4 και 2. Αν οι ξένοι ήταν π.χ. 5, ο σταθμικός θα έδινε $ \frac{800+832+1.020}{13} = 204{,}0 $… ενώ με άλλα μεγέθη οι δύο μέθοδοι αποκλίνουν. Πάντα σταθμικός.
β) Αντικατάσταση παίκτη.
Βήμα 1 — το αρχικό ολικό ύψος. Από το (α):
$$ \Sigma_{\text{αρχικό}} = \bar{x}\cdot\nu = 204 \cdot 10 = 2.040\ \text{εκ.} $$
Βήμα 2 — αφαιρούμε τον παίκτη που έφυγε (ύψος 200 εκ.):
$$ 2.040 - 200 = 1.840\ \text{εκ.} \quad (\text{9 παίκτες}) $$
Βήμα 3 — προσθέτουμε τον νέο παίκτη ύψους $ x $. Η ομάδα ξαναγίνεται 10 παίκτες και η νέα μέση τιμή πρέπει να είναι 205 εκ.:
$$ \frac{1.840 + x}{10} = 205 $$
$$ 1.840 + x = 2.050 \;\Longrightarrow\; x = 2.050 - 1.840 = \mathbf{210}\ \text{εκ.} $$
Επαλήθευση: $ \dfrac{1.840 + 210}{10} = \dfrac{2.050}{10} = 205 $ ✓
Δεύτερος, γρηγορότερος δρόμος — μέσω των αποκλίσεων. Θέλουμε η μέση τιμή να ανέβει από 204 σε 205, δηλαδή +1 εκ. Με 10 παίκτες, αυτό απαιτεί αύξηση του ολικού αθροίσματος κατά $ 10\times 1 = 10 $ εκ. Αφού ο νέος παίκτης αντικαθιστά έναν των 200 εκ., πρέπει να είναι:
$$ x = 200 + 10 = 210\ \text{εκ.} $$
Το κρίσιμο σημείο που κρίνει τη λύση. Το πλήθος παραμένει 10 — ένας φεύγει, ένας έρχεται. Αν κατά λάθος διαιρέσεις με 9 ή 11, το αποτέλεσμα αλλάζει τελείως. Σε κάθε άσκηση αυτού του τύπου: (i) μετέτρεψε τη μέση τιμή σε άθροισμα, (ii) κάνε τις αφαιρέσεις και προσθέσεις στο άθροισμα, (iii) διαίρεσε με το σωστό τελικό πλήθος.
Παρατήρηση για τα δεδομένα. Το ότι ο παίκτης που έφυγε είχε 200 εκ. ενώ ο μέσος των ξένων ήταν 204 δεν είναι αντίφαση: οι δύο ξένοι είχαν μέση τιμή 204, άρα ο ένας 200 και ο άλλος 208 εκ. — η πληροφορία είναι συνεπής.

Σύνοψη: α) Σταθμικός μέσος: μ = (4·200 + 4·208 + 2·204)/10 = 2.040/10 = 204 εκ. β) Αρχικό άθροισμα 2.040 εκ.· μετά την αποχώρηση του παίκτη των 200 εκ. μένουν 1.840 εκ. σε 9 παίκτες. Για να γίνει η μέση τιμή 205 εκ. με 10 παίκτες: (1.840 + x)/10 = 205 → x = 2.050 − 1.840 = 210 εκ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σταθμικός μέσος στο (α) — όχι απλός μέσος των τριών μέσων.
Κριτήριο: μετατροπή της μέσης τιμής σε ολικό άθροισμα.
Κριτήριο: το πλήθος να παραμείνει 10 στο (β).
Κριτήριο: επαλήθευση του αποτελέσματος.
Θετικό: ο δεύτερος δρόμος μέσω των αποκλίσεων (+1 εκ. × 10 παίκτες).
Παγίδα: διαίρεση με 9 ή 11 στο (β).

Ομάδα Β, Άσκηση 4 — Εκτιμήσεις ύψους καμπαναριού

Ερώτηση: Δώδεκα μαθητές εκτίμησαν το ύψος ενός καμπαναριού. Οι εκτιμήσεις τους σε μέτρα είναι: 47, 52, 52, 54, 52, 50, 51, 50, 48, 53, 54, 49. α) Υπολογίστε τη διάμεσο των εκτιμήσεων. β) Υπολογίστε την επικρατούσα τιμή. γ) Υπολογίστε τη μέση τιμή (x̄) των 12 εκτιμήσεων. δ) Ένας μαθητής από τους δώδεκα αναθεώρησε την εκτίμησή του και η νέα μέση τιμή των 12 εκτιμήσεων είναι x̄ + 0,5. Βρείτε κατά πόσο αυξήθηκε η εκτίμηση αυτού του μαθητή. ε) Ο καθηγητής έκανε και αυτός μία εκτίμηση και όταν προστέθηκε στις αρχικές 12, η μέση τιμή των 13 πια εκτιμήσεων είναι x̄ + 0,5. Βρείτε την εκτίμηση του καθηγητή.

Απάντηση:

Βήμα 0 — ταξινόμηση. $ \nu = 12 $:
$$ 47,\ 48,\ 49,\ 50,\ 50,\ 51,\ 52,\ 52,\ 52,\ 53,\ 54,\ 54 $$
α) Διάμεσος. Θέση $ \dfrac{\nu+1}{2} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5 $ → άρτιο πλήθος, ημιάθροισμα 6ης (51) και 7ης (52):
$$ \delta = \frac{51+52}{2} = \frac{103}{2} = \mathbf{51{,}5}\ \text{μ.} $$
β) Επικρατούσα τιμή. Συχνότητες: 47→1, 48→1, 49→1, 50→2, 51→1, 52→3, 53→1, 54→2.
$$ \text{Ε.Τ.} = \mathbf{52}\ \text{μ.} \quad (\nu = 3, \text{η μεγαλύτερη συχνότητα}) $$
γ) Μέση τιμή:
$$ \bar{x} = \frac{47+52+52+54+52+50+51+50+48+53+54+49}{12} = \frac{612}{12} = \mathbf{51}\ \text{μ.} $$
Παρατήρηση: $ \bar{x} = 51 < \delta = 51{,}5 < \text{Ε.Τ.} = 52 $ → αρνητική ασυμμετρία: οι χαμηλές εκτιμήσεις (47, 48, 49) απλώνονται πιο μακριά από το κέντρο απ' ό,τι οι υψηλές.
δ) Ένας από τους 12 αναθεώρησε την εκτίμησή του.
⚠️ Το πλήθος ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ 12 — ο ίδιος μαθητής άλλαξε γνώμη, δεν προστέθηκε νέος.
Έστω $ \Delta $ η αύξηση της εκτίμησής του. Το άθροισμα αυξάνεται κατά $ \Delta $:
$$ \frac{612 + \Delta}{12} = \bar{x} + 0{,}5 = 51{,}5 $$
$$ 612 + \Delta = 12 \cdot 51{,}5 = 618 \;\Longrightarrow\; \Delta = 618 - 612 = \mathbf{6}\ \text{μέτρα} $$
Γενικός κανόνας: $ \Delta = \nu \cdot (\text{μεταβολή της μέσης τιμής}) = 12 \times 0{,}5 = 6 $.
ε) Ο καθηγητής προσθέτει 13η εκτίμηση.
⚠️ Εδώ το πλήθος γίνεται 13 — προστίθεται νέα παρατήρηση στις αρχικές 12.
Έστω $ y $ η εκτίμηση του καθηγητή:
$$ \frac{612 + y}{13} = \bar{x} + 0{,}5 = 51{,}5 $$
$$ 612 + y = 13 \cdot 51{,}5 = 669{,}5 \;\Longrightarrow\; y = 669{,}5 - 612 = \mathbf{57{,}5}\ \text{μέτρα} $$
Επαλήθευση: $ \dfrac{612 + 57{,}5}{13} = \dfrac{669{,}5}{13} = 51{,}5 $ ✓
Γιατί το (δ) και το (ε) έχουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ απαντήσεις παρά την ίδια νέα μέση τιμή. Και τα δύο ζητούν μέση τιμή 51,5, αλλά:
| | (δ) αναθεώρηση | (ε) προσθήκη |
|---|---|---|
| Πλήθος | 12 (αμετάβλητο) | 13 |
| Απαιτούμενο νέο άθροισμα | $ 12\times 51{,}5 = 618 $ | $ 13\times 51{,}5 = 669{,}5 $ |
| Μεταβολή αθροίσματος | $ +6 $ | $ +57{,}5 $ |
Στο (ε) ο νέος αριθμός πρέπει και να καλύψει τη δική του θέση στον μέσο και να ανεβάσει τον μέσο των υπολοίπων — γι' αυτό είναι τόσο μεγάλος (57,5 μ., πολύ πάνω από κάθε μαθητική εκτίμηση).
Η γενική μεθοδολογία που πρέπει να κρατήσεις. Πάντα: (i) γράψε το ολικό άθροισμα ($ \Sigma = \bar{x}\cdot\nu $), (ii) διάβασε προσεκτικά αν το πλήθος αλλάζει ή μένει ίδιο, (iii) έξισώσε το νέο άθροισμα με $ (\text{νέα μέση})\times(\text{νέο πλήθος}) $. Το κρίσιμο βήμα είναι πάντα το (ii) — και είναι ακριβώς η ίδια διάκριση με την ερώτηση 9 του κεφαλαίου.

Σύνοψη: Ταξινομημένες: 47, 48, 49, 50, 50, 51, 52, 52, 52, 53, 54, 54 (ν = 12, Σ = 612). α) δ = (51+52)/2 = 51,5 μ. β) Ε.Τ. = 52 μ. (συχνότητα 3). γ) x̄ = 612/12 = 51 μ. δ) Το πλήθος μένει 12: (612+Δ)/12 = 51,5 → Δ = 6 μέτρα αύξηση. ε) Το πλήθος γίνεται 13: (612+y)/13 = 51,5 → y = 669,5 − 612 = 57,5 μέτρα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ταξινόμηση πριν από διάμεσο και επικρατούσα.
Κριτήριο: στο (δ) το πλήθος να μείνει 12, στο (ε) να γίνει 13 — η καρδιά της άσκησης.
Κριτήριο: επαλήθευση τουλάχιστον του (ε).
Θετικό: ο σχολιασμός x̄ < δ < Ε.Τ. (αρνητική ασυμμετρία).
Παγίδα: να δοθεί και στο (ε) η απάντηση 6 μ. ή 57 μ. από λάθος πλήθος.

Ομάδα Β, Άσκηση 5 — 100 μισθοί από αθροιστικά δεδομένα

Ερώτηση: Οι μηνιαίες αποδοχές 100 υπαλλήλων μιας επιχείρησης κυμαίνονται μεταξύ 1400 και 2000 ευρώ. Γνωρίζουμε ότι: 10 υπάλληλοι αμείβονται με 1500 ευρώ και κάτω, 30 υπάλληλοι με 1600 ευρώ και κάτω, 40 υπάλληλοι έχουν μισθούς μεγαλύτερους από 1700 ευρώ και 10 υπάλληλοι έχουν μισθούς μεγαλύτερους από 1800 ευρώ. Ζητείται: α) Να υπολογιστεί η μέση τιμή, β) η διάμεσος και γ) το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο.

Απάντηση:

Βήμα 1 — μετατροπή των δεδομένων σε αθροιστικές συχνότητες. Δύο από τα τέσσερα στοιχεία δίνονται ως «μεγαλύτεροι από» και πρέπει να αντιστραφούν:
· $ N(\le 1.500) = 10 $
· $ N(\le 1.600) = 30 $
· 40 έχουν πάνω από 1.700 → $ N(\le 1.700) = 100 - 40 = \mathbf{60} $
· 10 έχουν πάνω από 1.800 → $ N(\le 1.800) = 100 - 10 = \mathbf{90} $
Βήμα 2 — από τις αθροιστικές στις απλές συχνότητες (διαφορές διαδοχικών $ N_i $):
| Κλάση | $ x_i' $ | $ \nu_i $ | $ \nu_i x_i' $ | $ N_i $ |
|---|---|---|---|---|
| [1.400, 1.500) | 1.450 | 10 | 14.500 | 10 |
| [1.500, 1.600) | 1.550 | 20 | 31.000 | 30 |
| [1.600, 1.700) | 1.650 | 30 | 49.500 | 60 |
| [1.700, 1.800) | 1.750 | 30 | 52.500 | 90 |
| [1.800, 2.000) | 1.900 | 10 | 19.000 | 100 |
| Σύνολο | — | 100 | 166.500 | — |
⚠️ Ρητή υπόθεση για την τελευταία κλάση. Τα δεδομένα λένε ότι 10 υπάλληλοι έχουν μισθό πάνω από 1.800 € και ότι οι αποδοχές φτάνουν ως τα 2.000 € — δεν προσδιορίζουν όμως πώς κατανέμονται αυτοί οι 10 μέσα στο [1.800, 2.000). Τους θεωρούμε ομοιόμορφα κατανεμημένους σε μία κλάση πλάτους 200, με κεντρική τιμή 1.900 €. Μόνο η μέση τιμή επηρεάζεται από την υπόθεση αυτή — η διάμεσος και τα τεταρτημόρια όχι, γιατί βρίσκονται κάτω από τα 1.800 €.
α) Μέση τιμή (τύπος 4.4):
$$ \bar{x} = \frac{\sum \nu_i x_i'}{\nu} = \frac{166.500}{100} = \mathbf{1.665}\ \text{€} $$
β) Διάμεσος (τύπος 4.5). Θέση $ \dfrac{\nu}{2} = 50 $. Από τη στήλη $ N_i $: $ 30 < 50 \le 60 $ → κλάση [1.600, 1.700) με $ \alpha_{i-1} = 1.600 $, $ \nu_i = 30 $, $ c = 100 $, $ N_{i-1} = 30 $:
$$ \delta = 1.600 + \frac{100}{30}\,(50 - 30) = 1.600 + \frac{100\cdot 20}{30} = 1.600 + 66{,}67 \approx \mathbf{1.666{,}67}\ \text{€} $$
γ) Τεταρτημόρια (τύποι 4.6).
$ Q_1 $: θέση $ \dfrac{\nu}{4} = 25 $. Από τη στήλη: $ 10 < 25 \le 30 $ → κλάση [1.500, 1.600) με $ \nu_i = 20 $, $ N_{i-1} = 10 $:
$$ Q_1 = 1.500 + \frac{25 - 10}{20}\cdot 100 = 1.500 + \frac{15}{20}\cdot 100 = 1.500 + 75 = \mathbf{1.575}\ \text{€} $$
$ Q_3 $: θέση $ \dfrac{3\nu}{4} = 75 $. Από τη στήλη: $ 60 < 75 \le 90 $ → κλάση [1.700, 1.800) με $ \nu_i = 30 $, $ N_{i-1} = 60 $:
$$ Q_3 = 1.700 + \frac{75 - 60}{30}\cdot 100 = 1.700 + \frac{15}{30}\cdot 100 = 1.700 + 50 = \mathbf{1.750}\ \text{€} $$
Ερμηνεία. Το 25 % των υπαλλήλων αμείβεται έως 1.575 €, οι μισοί έως ≈1.667 €, το 75 % έως 1.750 €. Το μεσαίο 50 % βρίσκεται στο [1.575 · 1.750] € — εύρος μόλις 175 € σε κλίμακα 600 €: πολύ συμπιεσμένη μισθολογική δομή.
Η σύγκριση $ \bar{x} $ και $ \delta $. $ \bar{x} = 1.665 < \delta \approx 1.667 $ — σχεδόν ταυτίζονται. Η κατανομή είναι πρακτικά συμμετρική.
Γιατί η άσκηση είναι στην Ομάδα Β. Δεν δίνεται πίνακας — τον χτίζεις εσύ. Η δυσκολία δεν είναι στους τύπους, αλλά στα δύο πρώτα βήματα: (i) να αντιστρέψεις τα «μεγαλύτεροι από» σε αθροιστικές συχνότητες, (ii) να πάρεις διαφορές διαδοχικών $ N_i $ για τις απλές συχνότητες. Αν χάσεις κάποιο από τα δύο, όλα τα επόμενα αποτελέσματα βγαίνουν λάθος.

Σύνοψη: Αθροιστικές: Ν(≤1500) = 10, Ν(≤1600) = 30, Ν(≤1700) = 100−40 = 60, Ν(≤1800) = 100−10 = 90, Ν(≤2000) = 100. Συχνότητες: 10, 20, 30, 30, 10. α) Με υπόθεση ότι οι τελευταίοι 10 βρίσκονται στην [1800, 2000) με κεντρική τιμή 1.900: Σνix′i = 166.500 → x̄ = 1.665 €. β) Θέση 50 → κλάση [1600,1700): δ = 1.600 + (100/30)·(50−30) ≈ 1.666,67 €. γ) Θέση 25 → κλάση [1500,1600): Q₁ = 1.500 + (15/20)·100 = 1.575 €· θέση 75 → κλάση [1700,1800): Q₃ = 1.700 + (15/30)·100 = 1.750 €. Η διάμεσος και τα τεταρτημόρια δεν εξαρτώνται από την υπόθεση για την τελευταία κλάση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: αντιστροφή των «μεγαλύτεροι από» σε αθροιστικές συχνότητες (100 − 40, 100 − 10).
Κριτήριο: διαφορές διαδοχικών Νi για τις απλές συχνότητες· έλεγχος Σνi = 100.
Κριτήριο: θέσεις ν/2, ν/4, 3ν/4 — δεδομένα ομαδοποιημένα.
Κριτήριο: ρητή διατύπωση της υπόθεσης για την τελευταία κλάση.
Θετικό: η παρατήρηση ότι δ, Q₁, Q₃ δεν εξαρτώνται από την υπόθεση αυτή.
Παγίδα: να ληφθεί το «40 υπάλληλοι πάνω από 1.700» ως αθροιστική συχνότητα 40.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο