Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 195) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 195) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 195)

Απαντήσεις στις 12 ερωτήσεις κατανόησης, πλήρεις λύσεις των 9 ασκήσεων (Ομάδα Α΄ και Β΄) και του Φύλλου Αυτοελέγχου.

Ερώτηση 1 — Διμεταβλητές κατανομές

Ερώτηση: Κατανομές που προκύπτουν από τη μελέτη ενός πληθυσμού ως προς δύο μεταβλητές ονομάζονται ……………

Απάντηση:

Ονομάζονται ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ή κατανομές διμεταβλητών πληθυσμών).
Η θέση τους στο βιβλίο. Στα κεφάλαια 3-5 μελετούσαμε μονομεταβλητά δεδομένα — μία μεταβλητή τη φορά, με μέτρα θέσης και διασποράς. Από εδώ και πέρα εξετάζουμε δύο μεταβλητές ταυτόχρονα και ρωτάμε πώς σχετίζονται.
Η επέκταση. Εκτός από την ταυτόχρονη μελέτη δύο μεταβλητών — που αποτελεί την περίπτωση της απλής παλινδρόμησης — υπάρχει και η πολλαπλή παλινδρόμηση (multiple regression), όπου μελετώνται συγχρόνως περισσότερες από δύο μεταβλητές.
Η σύνδεση με το κεφ. 3. Οι διμεταβλητές κατανομές εμφανίστηκαν ήδη εκεί, με άλλο όνομα: οι πίνακες διπλής εισόδου είναι ακριβώς η παρουσίαση μιας διμεταβλητής κατανομής. Εδώ προχωράμε στην ανάλυσή της.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ονομάζονται διμεταβλητές κατανομές (κατανομές διμεταβλητών πληθυσμών). Η ταυτόχρονη μελέτη δύο μεταβλητών αποτελεί την περίπτωση της απλής παλινδρόμησης· όταν μελετώνται περισσότερες από δύο, μιλάμε για πολλαπλή παλινδρόμηση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ο όρος διμεταβλητές.
Θετικό: αναφορά στην πολλαπλή παλινδρόμηση.
Θετικό: σύνδεση με τους πίνακες διπλής εισόδου του κεφ. 3.

Ερώτηση 2 — Το διάγραμμα διασποράς

Ερώτηση: Αν απεικονίσουμε τις τιμές των μεταβλητών πάνω σε ένα κανονικό σύστημα αξόνων, τότε τα ζεύγη τιμών (xi, yi) των παρατηρήσεων δημιουργούν ……, το οποίο ονομάζεται διάγραμμα ……

Απάντηση:

Τα ζεύγη δημιουργούν ένα ΝΕΦΟΣ ΣΗΜΕΙΩΝ, το οποίο ονομάζεται διάγραμμα ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ (scatter diagram).
Πώς κατασκευάζεται. Στον οριζόντιο άξονα τοποθετούμε την ανεξάρτητη (ερμηνευτική) μεταβλητή Χ, στον κατακόρυφο την εξαρτημένη Υ. Κάθε παρατήρηση $ (x_i, y_i) $ γίνεται ένα σημείο.
Γιατί είναι το πρώτο βήμα κάθε ανάλυσης. Από μόνο το σχήμα του νέφους διαβάζεις:
· Είδος σχέσης: αν τα σημεία απλώνονται γύρω από ευθεία (γραμμική) ή γύρω από καμπύλη.
· Κατεύθυνση: νέφος ανοδικό → θετική σχέση · καθοδικό → αρνητική.
· Ισχύς: νέφος στενό γύρω από τη γραμμή → ισχυρή συσχέτιση · διάχυτο → ασθενής.
· Ακραία σημεία που θα αλλοίωναν τους υπολογισμούς.
⚠️ Γιατί ΔΕΝ αρκεί ο συντελεστής συσχέτισης. Ο $ r $ μετρά μόνο ΓΡΑΜΜΙΚΗ συσχέτιση. Δύο μεταβλητές μπορεί να συνδέονται με τέλεια αλλά καμπυλόγραμμη σχέση και να δίνουν $ r \approx 0 $. Το διάγραμμα διασποράς είναι το μόνο που το αποκαλύπτει.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Δημιουργούν ένα νέφος σημείων, το οποίο ονομάζεται διάγραμμα διασποράς (scatter diagram). Στον οριζόντιο άξονα τοποθετείται η ανεξάρτητη μεταβλητή Χ και στον κατακόρυφο η εξαρτημένη Υ· από το σχήμα του νέφους φαίνεται το είδος, η κατεύθυνση και η ισχύς της σχέσης.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: «νέφος σημείων» και «διάγραμμα διασποράς».
Θετικό: ο ρόλος του ως πρώτο βήμα της ανάλυσης.
Θετικό: η επισήμανση ότι ο r μετρά μόνο γραμμική συσχέτιση.

Ερώτηση 3 — Τι δίνει η ευθεία παλινδρόμησης

Ερώτηση: Η ευθεία παλινδρόμησης δίνει την καλύτερη δυνατή περιγραφή ……………

Απάντηση:

Η ευθεία παλινδρόμησης δίνει την καλύτερη δυνατή περιγραφή της ΣΧΕΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χ και Υ — δηλαδή είναι η ευθεία που περνά όσο το δυνατόν πιο κοντά από τα σημεία των παρατηρήσεών μας στο διάγραμμα διασποράς.
Η μέθοδος. Ο προσδιορισμός της γίνεται «σχεδόν αποκλειστικά» με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (method of least squares).
Η εξίσωσή της:
$$ \hat{y} = \hat{\alpha} + \hat{\beta}x $$
Τι μας επιτρέπει να κάνουμε. Με βάση τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής, εκτιμούμε-προβλέπουμε με προσέγγιση τις αντίστοιχες τιμές της εξαρτημένης (§6.5). Αυτό είναι το πρακτικό της νόημα για την επιχείρηση: πρόβλεψη.
💡 Η λέξη «καλύτερη» έχει ακριβές μαθηματικό νόημα — δεν είναι εκτίμηση. Σημαίνει: ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων. Από όλες τις άπειρες ευθείες του επιπέδου, αυτή και μόνο αυτή έχει την ιδιότητα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνει την καλύτερη δυνατή περιγραφή της σχέσης μεταξύ των δύο μεταβλητών Χ και Υ, δηλαδή είναι η ευθεία που περνά όσο το δυνατόν πιο κοντά από τα σημεία των παρατηρήσεων. Προσδιορίζεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και έχει εξίσωση ŷ = α̂ + β̂x, επιτρέποντας την εκτίμηση-πρόβλεψη τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών.
Θετικό: αναφορά στη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.
Θετικό: ο ρόλος της στην πρόβλεψη.

Ερώτηση 4 — Το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων

Ερώτηση: Η ευθεία παλινδρόμησης, η οποία προσδιορίζεται από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, θα είναι η ευθεία για την οποία ……………

Απάντηση:

Το κριτήριο. Θα είναι η ευθεία για την οποία το άθροισμα των ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ των διαφορών των προβλεπόμενων τιμών $ \hat{y}_i $ της Υ από τις αντίστοιχες πραγματικές τιμές $ y_i $ γίνεται ΕΛΑΧΙΣΤΟ:
$$ \Sigma = (\hat{y}_1-y_1)^2 + (\hat{y}_2-y_2)^2 + (\hat{y}_3-y_3)^2 + \dots \;\longrightarrow\; \text{ελάχιστο} $$
Ισοδύναμα, με $ \hat{y}_i = \alpha + \beta x_i $:
$$ \Sigma = (\alpha+\beta x_1 - y_1)^2 + (\alpha+\beta x_2 - y_2)^2 + \dots $$
Οι διαφορές έχουν όνομα. Οι $ \hat{y}_i - y_i $ συμβολίζονται διεθνώς με $ \varepsilon_i $ όταν αναφερόμαστε σε πληθυσμό και με $ e_i $ όταν εξετάζουμε δείγματα. Λέγονται κατάλοιπα και μετρώνται κατακόρυφα — από το σημείο $ A_i(x_i, y_i) $ ως το σημείο $ B_i $ της ευθείας με την ίδια τετμημένη.
⚠️ Γιατί ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ και όχι σκέτες διαφορές — η υποσημείωση του βιβλίου. «Λαμβάνουμε το άθροισμα $ \sum(\hat{y}-y)^2 $ και όχι το $ \sum(\hat{y}-y) $, επειδή οι θετικές και αρνητικές διαφορές αθροιζόμενες αλληλοαναιρούνται, δηλαδή $ \sum(\hat{y}-y) = 0 $.»
Το ίδιο επιχείρημα, τρίτη φορά στο βιβλίο. Το συναντήσαμε στη μέση απόλυτη απόκλιση (§5.3) και στη διακύμανση (§5.4). Κάθε φορά που πρέπει να μετρηθεί «απόσταση» με πρόσημα, η λύση είναι απόλυτες τιμές ή τετράγωνα — και τα τετράγωνα προτιμώνται γιατί είναι αλγεβρικά χειρίσιμα.
(Σημείωση του βιβλίου: η πλήρης διατύπωση του μοντέλου είναι $ y = \alpha + \beta x + \varepsilon $, όπου $ \varepsilon $ ο όρος τυχαίο σφάλμα.)

Σύνοψη: (ενδεικτική) Θα είναι η ευθεία για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών των προβλεπόμενων τιμών ŷi από τις αντίστοιχες πραγματικές τιμές yi γίνεται ελάχιστο: Σ(ŷi − yi)² → ελάχιστο. Οι διαφορές αυτές (κατάλοιπα) συμβολίζονται με εi για πληθυσμό και ei για δείγμα. Χρησιμοποιούνται τετράγωνα επειδή Σ(ŷ − y) = 0 πάντα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η λέξη «τετραγώνων» και «ελάχιστο».
Κριτήριο: αιτιολόγηση μέσω του Σ(ŷ − y) = 0.
Θετικό: ο συμβολισμός εi / ei.
Παγίδα: να διατυπωθεί ως «άθροισμα των διαφορών» χωρίς τετράγωνα.

Ερώτηση 5 — Οι κανονικές εξισώσεις

Ερώτηση: Οι παράμετροι α̂ και β̂ προσδιορίζονται από την επίλυση του συστήματος των κανονικών εξισώσεων, που είναι οι εξής: ……………

Απάντηση:

Το σύστημα των κανονικών εξισώσεων (normal equations):
$$ \begin{cases} \displaystyle\sum y = \nu\hat{\alpha} + \hat{\beta}\sum x \ \displaystyle\sum xy = \hat{\alpha}\sum x + \hat{\beta}\sum x^2 \end{cases} \tag{6.1} $$
όπου $ \nu $ το σύνολο των πραγματικών τιμών της Υ, δηλαδή το πλήθος των ζευγών των παρατηρήσεων.
Πώς χρησιμοποιούνται στην πράξη — δύο τρόποι.
① Απευθείας επίλυση του συστήματος (μέθοδος αντίθετων συντελεστών ή αντικατάστασης). Είναι ο τρόπος του Παραδείγματος 6.5:
$$ \begin{cases} 63 = 7\hat{\alpha} + 28\hat{\beta} \ 308 = 28\hat{\alpha} + 140\hat{\beta} \end{cases} \;\xrightarrow{\;\times(-4)\;}\; 56 = 28\hat{\beta} \;\Rightarrow\; \hat{\beta} = 2,\ \hat{\alpha} = 1 $$
② Με τους έτοιμους τύπους που προκύπτουν από το σύστημα (6.2 / 6.3 για τη $ \hat{\beta} $, και $ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} $).
Από πού βγαίνει το $ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} $. Διαιρώντας την πρώτη κανονική εξίσωση με το $ \nu $:
$$ \frac{\sum y}{\nu} = \hat{\alpha} + \hat{\beta}\frac{\sum x}{\nu} \;\Longrightarrow\; \bar{y} = \hat{\alpha} + \hat{\beta}\bar{x} \;\Longrightarrow\; \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} $$
🎯 Η ίδια σχέση αποδεικνύει και ότι η ευθεία διέρχεται από το $ M(\bar{x}, \bar{y}) $ — μία από τις πιο χρήσιμες ιδιότητες για έλεγχο των υπολογισμών σου.
Πρακτικά: για να γράψεις το σύστημα χρειάζεσαι τέσσερα αθροίσματα: $ \sum x $, $ \sum y $, $ \sum xy $, $ \sum x^2 $ (και το $ \sum y^2 $ αν θέλεις και τον $ r $).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σy = να̂ + β̂Σx και Σxy = α̂Σx + β̂Σx², όπου ν το πλήθος των ζευγών των παρατηρήσεων. Από την πρώτη, διαιρώντας με ν, προκύπτει ȳ = α̂ + β̂x̄, δηλαδή α̂ = ȳ − β̂x̄ — σχέση που δείχνει και ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο M(x̄, ȳ).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι δύο εξισώσεις, σωστά γραμμένες.
Κριτήριο: το ν στην πρώτη εξίσωση (όχι Σ κάτι).
Θετικό: η παραγωγή του α̂ = ȳ − β̂x̄ από την πρώτη εξίσωση.
Παγίδα: σύγχυση των Σx² και (Σx)².

Ερώτηση 6 — Οι τύποι των α̂ και β̂

Ερώτηση: Να γράψετε τον τύπο που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό της εκτιμήτριας α̂ της ευθείας παλινδρόμησης ŷ = α̂ + β̂x, καθώς και τους τύπους υπολογισμού της εκτιμήτριας β̂.

Απάντηση:

Ο τύπος της $ \hat{\alpha} $ — ένας μόνο, και βγαίνει από την πρώτη κανονική εξίσωση:
$$ \boxed{\hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x}} $$
⚠️ Πρόσεξε τη σειρά υπολογισμών: πρέπει να βρεις ΠΡΩΤΑ τη $ \hat{\beta} $ και ΜΕΤΑ τη $ \hat{\alpha} $. Η $ \hat{\alpha} $ εξαρτάται από τη $ \hat{\beta} $.
Οι τύποι της $ \hat{\beta} $ — το βιβλίο δίνει δύο ισοδύναμους:
① Με τα αθροίσματα (6.2):
$$ \hat{\beta} = \frac{\nu\sum xy - \sum x \sum y}{\nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2} $$
② Με τις μέσες τιμές (6.3) — «ένας εύχρηστος τύπος υπολογισμού»:
$$ \hat{\beta} = \frac{\dfrac{\sum xy}{\nu} - \bar{x}\,\bar{y}}{\dfrac{\sum x^2}{\nu} - \bar{x}^2} $$
Πώς προκύπτει ο δεύτερος από τον πρώτο: διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με $ \nu^2 $ — δηλαδή «με το πλήθος των παρατηρήσεων στο τετράγωνο».
Ποιον να διαλέξεις. «Επιλέγουμε εκείνον που είναι πιο εύχρηστος σύμφωνα με τις τιμές των δεδομένων που έχουμε»:
· Ο (6.2) δουλεύει με ακέραια αθροίσματα — προτιμότερος όταν οι $ \bar{x}, \bar{y} $ βγαίνουν δεκαδικοί, γιατί αποφεύγει σφάλματα στρογγυλοποίησης.
· Ο (6.3) είναι βολικός όταν οι μέσες τιμές είναι στρογγυλές.
Η αναγνωρίσιμη δομή του (6.3). Ο παρονομαστής $ \frac{\sum x^2}{\nu} - \bar{x}^2 $ είναι ακριβώς η διακύμανση $ s_x^2 $ του κεφ. 5 (τύπος 5.5)! Και ο αριθμητής $ \frac{\sum xy}{\nu} - \bar{x}\bar{y} $ είναι το ανάλογο μέγεθος για δύο μεταβλητές (η συνδιακύμανση). Δηλαδή:
$$ \hat{\beta} = \frac{\text{συνδιακύμανση των X, Y}}{\text{διακύμανση της X}} $$
— μια σχέση που δείχνει γιατί το κεφ. 6 έρχεται μετά το κεφ. 5.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α̂ = ȳ − β̂·x̄ (υπολογίζεται ΜΕΤΑ τη β̂). Για τη β̂ υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τύποι: β̂ = (νΣxy − ΣxΣy)/(νΣx² − (Σx)²) και β̂ = (Σxy/ν − x̄ȳ)/(Σx²/ν − x̄²), ο δεύτερος προκύπτοντας από τον πρώτο με διαίρεση αριθμητή και παρονομαστή με ν². Επιλέγουμε τον πιο εύχρηστο ανάλογα με τα δεδομένα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ο τύπος α̂ = ȳ − β̂x̄.
Κριτήριο: τουλάχιστον ένας σωστός τύπος για τη β̂.
Κριτήριο: επισήμανση ότι η β̂ υπολογίζεται πρώτη.
Θετικό: η αναγνώριση της διακύμανσης στον παρονομαστή του (6.3).
Παγίδα: σύγχυση Σx² και (Σx)² στον τύπο (6.2).

Ερώτηση 7 — Το πρόσημο της β̂

Ερώτηση: Έστω ŷ = α̂ + β̂x η εξίσωση της ευθείας παλινδρόμησης της Υ πάνω στη Χ. • Αν β̂ > 0, τότε όταν το x αυξάνεται (ή μειώνεται), το y …… • Αν β̂ < 0, τότε όταν το x αυξάνεται (ή μειώνεται), το y ……

Απάντηση:

Αν $ \hat{\beta} > 0 $: οι τιμές της Υ ΑΥΞΑΝΟΝΤΑΙ όταν αυξάνονται οι τιμές της Χ (και μειώνονται όταν μειώνονται) — δηλαδή οι δύο μεταβλητές μεταβάλλονται προς την ίδια κατεύθυνση.
Αν $ \hat{\beta} < 0 $: οι τιμές της Υ ΜΕΙΩΝΟΝΤΑΙ όταν αυξάνονται οι τιμές της Χ (και αυξάνονται όταν μειώνονται) — μεταβάλλονται προς αντίθετες κατευθύνσεις.
Η ποσοτική διάσταση — μην τη χάσεις. Η $ \hat{\beta} $ δεν δίνει μόνο κατεύθυνση αλλά και μέγεθος: προσδιορίζει τη μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν η ερμηνευτική Χ μεταβληθεί κατά ΜΙΑ μονάδα.
$$ \Delta y = \hat{\beta} \cdot \Delta x $$
Παράδειγμα: αν $ \hat{\beta} = 5{,}2 $ σε σχέση διαφημιστικών δαπανών (x, χιλ. €) και πωλήσεων (y, χιλ. €), τότε κάθε επιπλέον 1.000 € διαφήμισης αποφέρει κατά μέσο όρο 5.200 € πωλήσεις.
Γεωμετρικά. Η $ \hat{\beta} $ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης (γωνιακός συντελεστής) της ευθείας: $ \hat{\beta} = \text{εφ}\,\omega $, όπου $ \omega $ η γωνία κλίσης. Θετική $ \hat{\beta} $ → ανοδική ευθεία· αρνητική → καθοδική.
🎯 Η σύνδεση με τον r. Το πρόσημο του συντελεστή συσχέτισης είναι πάντα το ίδιο με του $ \hat{\beta} $ — δεν είναι σύμπτωση: έχουν τον ίδιο αριθμητή $ (\nu\sum xy - \sum x\sum y) $, και οι παρονομαστές τους είναι πάντα θετικοί.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Αν β̂ > 0, οι τιμές της Υ αυξάνονται όταν αυξάνονται οι τιμές της Χ (και μειώνονται όταν μειώνονται). Αν β̂ < 0, οι τιμές της Υ μειώνονται όταν αυξάνονται οι τιμές της Χ (και αυξάνονται όταν μειώνονται). Ποσοτικά, Δy = β̂·Δx: η β̂ δίνει τη μεταβολή της Υ για μοναδιαία μεταβολή της Χ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι δύο περιπτώσεις, με σωστή κατεύθυνση.
Θετικό: η ποσοτική ερμηνεία (μεταβολή ανά μονάδα).
Θετικό: η γεωμετρική ερμηνεία β̂ = εφω.
Παγίδα: να δοθεί μόνο η αύξηση του x, χωρίς τη μείωση.

Ερώτηση 8 — Τι φανερώνει ο συντελεστής συσχέτισης

Ερώτηση: Ο συντελεστής συσχέτισης φανερώνει ……………

Απάντηση:

Ο συντελεστής συσχέτισης φανερώνει ΠΟΣΟ ΙΣΧΥΡΗ ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΓΓΕΝΕΙΑ Ή Η ΣΥΜΜΕΤΑΒΟΛΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χ ΚΑΙ Υ — δηλαδή τον βαθμό γραμμικής συσχέτισης των δύο μεταβλητών.
Δύο πληροφορίες σε έναν αριθμό:
· Το ΠΡΟΣΗΜΟ → αν η συσχέτιση είναι θετική ή αρνητική. Είναι το ίδιο με του $ \hat{\beta} $.
· Το ΜΕΤΡΟ $ |r| $ → πόσο ισχυρά συσχετισμένες είναι. Ισχυρή συσχέτιση όταν το $ r $ πλησιάζει το +1 ή το −1.
Γιατί χρειάστηκε — το επιχείρημα του βιβλίου. Δύο τελείως διαφορετικά σύνολα δεδομένων (Πίν. 6.5 και 6.7) έδωσαν την ίδια ευθεία παλινδρόμησης. Στο πρώτο όλα τα σημεία ήταν πάνω στην ευθεία· στο δεύτερο απλώς γύρω από αυτήν. Η εξίσωση δεν τα ξεχώριζε — χρειαζόταν νέο μέτρο.
Είναι καθαρός αριθμός. Χωρίς μονάδες — γι' αυτό επιτρέπει σύγκριση σχέσεων μεταξύ οποιωνδήποτε μεταβλητών. (Ονομάζεται και συντελεστής Pearson.)
⚠️ Τι ΔΕΝ φανερώνει: ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ. Υψηλό $ r $ σημαίνει ότι οι μεταβλητές συμμεταβάλλονται, όχι ότι η μία προκαλεί την άλλη. Μπορεί να οφείλεται σε σύμπτωση, σε κοινή τρίτη αιτία ή σε κοινή χρονική τάση. Είναι ακριβώς το θέμα της άσκησης 1 της Ομάδας Β΄ (ηλιακές κηλίδες και ατυχήματα).
⚠️ Και δεύτερο όριο: μετρά ΓΡΑΜΜΙΚΗ συσχέτιση. Μια τέλεια αλλά καμπυλόγραμμη σχέση μπορεί να δώσει $ r \approx 0 $.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Φανερώνει πόσο ισχυρή είναι η συγγένεια ή η συμμεταβολή μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ, δηλαδή τον βαθμό γραμμικής συσχέτισης. Το πρόσημό του δείχνει αν η συσχέτιση είναι θετική ή αρνητική (ίδιο με του β̂) και το μέτρο του πόσο ισχυρή είναι. Είναι καθαρός αριθμός. Δεν φανερώνει αιτιότητα και μετρά μόνο γραμμική συσχέτιση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η ισχύς της συμμεταβολής — όχι απλώς «η σχέση».
Κριτήριο: πρόσημο και μέτρο ως δύο χωριστές πληροφορίες.
Θετικό: ο χαρακτηρισμός «καθαρός αριθμός».
Θετικό: η επισήμανση ότι δεν δηλώνει αιτιότητα.

Ερώτηση 9 — Ο τύπος του συντελεστή συσχέτισης

Ερώτηση: Ο τύπος υπολογισμού του συντελεστή συσχέτισης είναι: r = ……………

Απάντηση:

Ο τύπος (6.4):
$$ r = \frac{\nu\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\left[\nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right]\left[\nu\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right]}} $$
Τι χρειάζεσαι για να τον εφαρμόσεις — πέντε αθροίσματα:
$$ \sum x, \quad \sum y, \quad \sum xy, \quad \sum x^2, \quad \sum y^2 $$
Πρόσεξε ότι είναι τα τέσσερα της παλινδρόμησης συν το $ \sum y^2 $. Γι' αυτό ο πίνακας εργασίας φτιάχνεται μία φορά με πέντε στήλες και εξυπηρετεί και την ευθεία και τη συσχέτιση.
Η δομή του τύπου — γιατί λειτουργεί.
· Ο αριθμητής $ \nu\sum xy - \sum x\sum y $ είναι ακριβώς ο ίδιος με τον αριθμητή της $ \hat{\beta} $ (τύπος 6.2). Γι' αυτό $ r $ και $ \hat{\beta} $ έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο.
· Ο παρονομαστής περιέχει και τις δύο μεταβλητές συμμετρικά — γι' αυτό ο $ r $ είναι αδιάστατος και φραγμένος: $ -1 \le r \le 1 $. (Στη $ \hat{\beta} $ ο παρονομαστής περιέχει μόνο τη Χ — γι' αυτό η $ \hat{\beta} $ έχει μονάδες και δεν είναι φραγμένη.)
💡 Η συμμετρία του τύπου έχει σημασία. Αν εναλλάξεις τα x και y, ο $ r $ δεν αλλάζει — η συσχέτιση της Χ με την Υ είναι η ίδια με της Υ με τη Χ. Αντίθετα, η ευθεία παλινδρόμησης της Υ πάνω στη Χ ΔΕΝ είναι η ίδια με της Χ πάνω στην Υ.
Πρακτικός έλεγχος. Αν ο υπολογισμός σου δώσει $ |r| > 1 $, έχεις σίγουρα κάνει λάθος — συνηθέστερα ξέχασες τη ρίζα ή μπέρδεψες $ \sum x^2 $ με $ (\sum x)^2 $.

Σύνοψη: (ενδεικτική) r = (νΣxy − ΣxΣy)/√{[νΣx² − (Σx)²]·[νΣy² − (Σy)²]}. Απαιτεί πέντε αθροίσματα: Σx, Σy, Σxy, Σx², Σy². Ο αριθμητής είναι ο ίδιος με της β̂, γι' αυτό r και β̂ έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο· ο παρονομαστής κάνει τον r αδιάστατο με −1 ≤ r ≤ 1.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ο πλήρης τύπος με τη ρίζα στον παρονομαστή.
Κριτήριο: διάκριση Σx² από (Σx)².
Θετικό: η παρατήρηση για τον κοινό αριθμητή με τη β̂.
Παγίδα: παράλειψη της τετραγωνικής ρίζας.

Ερώτηση 10 — Το εύρος τιμών του r

Ερώτηση: Ο συντελεστής συσχέτισης παίρνει τιμές: … ≤ r ≤ …

Απάντηση:

$$ \boxed{-1 \le r \le 1} $$
Ο συντελεστής συσχέτισης μεταβάλλεται από −1 έως 1.
Η πλήρης κλίμακα ερμηνείας του βιβλίου — αξίζει να την ξέρεις απέξω:
| Ζώνη | Χαρακτηρισμός |
|---|---|
| $ 0{,}8 \le r < 1 $ ή $ -1 < r \le -0{,}8 $ | πολύ ισχυρή συσχέτιση |
| $ 0{,}7 \le r < 0{,}8 $ ή $ -0{,}8 < r \le -0{,}7 $ | ισχυρή συσχέτιση |
| $ 0{,}5 \le r < 0{,}7 $ ή $ -0{,}7 < r \le -0{,}5 $ | μέση συσχέτιση |
| $ 0{,}3 \le r < 0{,}5 $ ή $ -0{,}5 < r \le -0{,}3 $ | ασθενής συσχέτιση |
| $ -0{,}3 \le r < 0{,}3 $ | δεν έχουμε συσχέτιση |
| $ r = \pm 1 $ | τέλεια συσχέτιση |
💡 Παρατήρησε ότι η κλίμακα είναι ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ. Το $ r = -0{,}85 $ δηλώνει εξίσου ισχυρή συσχέτιση με το $ r = +0{,}85 $ — απλώς αντίθετης κατεύθυνσης. Το πρόσημο δεν κρίνει την ισχύ, μόνο την κατεύθυνση.
⚠️ Ο πιο χρήσιμος έλεγχος όλου του κεφαλαίου. Αν σου βγει $ r = 1{,}3 $ ή $ r = -2 $, το αποτέλεσμα είναι αδύνατο — ξαναδές τους υπολογισμούς. Το ίδιο ισχύει και για ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: οποιαδήποτε επιλογή με $ |r| > 1 $ απορρίπτεται χωρίς υπολογισμό. (Είναι ακριβώς η παγίδα της ερώτησης 12 του Φύλλου Αυτοελέγχου.)

Σύνοψη: (ενδεικτική) −1 ≤ r ≤ 1. Κλίμακα: 0,8 ≤ |r| < 1 πολύ ισχυρή· 0,7 ≤ |r| < 0,8 ισχυρή· 0,5 ≤ |r| < 0,7 μέση· 0,3 ≤ |r| < 0,5 ασθενής· |r| < 0,3 δεν έχουμε συσχέτιση· |r| = 1 τέλεια συσχέτιση. Το πρόσημο δηλώνει κατεύθυνση, το μέτρο ισχύ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: −1 ≤ r ≤ 1 — και τα δύο άκρα.
Θετικό: απόδοση ολόκληρης της κλίμακας ερμηνείας.
Θετικό: η παρατήρηση ότι η κλίμακα είναι συμμετρική.
Παγίδα: να δοθεί εύρος 0 ≤ r ≤ 1.

Ερώτηση 11 — Τέλεια και μηδενική συσχέτιση

Ερώτηση: Αν ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ είναι ίσος με 1, τότε λέμε ότι έχουν …… συσχέτιση, ενώ αν είναι ίσος με −1, τότε λέμε ότι έχουν …… συσχέτιση. Αν ο συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με 0, τότε οι μεταβλητές είναι ……………

Απάντηση:

$ r = 1 $ → ΤΕΛΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗ συσχέτιση. Όλες οι παρατηρήσεις βρίσκονται επάνω στην ευθεία παλινδρόμησης, η οποία έχει θετική κλίση ($ \hat{\beta} > 0 $).
$ r = -1 $ → ΤΕΛΕΙΑ ΑΡΝΗΤΙΚΗ συσχέτιση. Όλες οι παρατηρήσεις βρίσκονται επάνω στην ευθεία παλινδρόμησης, η οποία έχει αρνητική κλίση ($ \hat{\beta} < 0 $).
$ r = 0 $ → οι μεταβλητές είναι ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΣΥΣΧΕΤΙΣΤΕΣ — δεν εμφανίζουν γραμμική συσχέτιση.
Η γεωμετρική εικόνα των τριών περιπτώσεων:
· $ r = \pm 1 $ → το «νέφος» δεν είναι νέφος: τα σημεία σχηματίζουν ακριβώς μια ευθεία, χωρίς καμία απόκλιση. Τα κατάλοιπα είναι όλα μηδέν.
· $ r = 0 $ → τα σημεία απλώνονται χωρίς καμία γραμμική τάση — η ευθεία παλινδρόμησης βγαίνει οριζόντια ($ \hat{\beta} = 0 $), δηλαδή η γνώση του x δεν βοηθά καθόλου στην πρόβλεψη του y.
⚠️ Η ΚΡΙΣΙΜΗ λεπτομέρεια: «ΓΡΑΜΜΙΚΑ» ασυσχέτιστες. Το $ r = 0 $ ΔΕΝ σημαίνει ότι οι μεταβλητές είναι ανεξάρτητες! Σημαίνει μόνο ότι δεν υπάρχει ΓΡΑΜΜΙΚΗ σχέση. Μπορεί να συνδέονται με τέλεια σχέση που είναι όμως καμπυλόγραμμη (π.χ. παραβολική) και να δίνει $ r = 0 $.
Γι' αυτό ακριβώς το βιβλίο βάζει το διάγραμμα διασποράς ΠΡΙΝ από τον r (§6.2 πριν από την §6.4): το διάγραμμα είναι το μόνο που αποκαλύπτει μια καμπυλόγραμμη σχέση.
Παράδειγμα του βιβλίου: στο Παράδειγμα 6.5 ο συντελεστής βγαίνει $ r = 1 $ και πράγματι όλα τα σημεία $ (x_i, y_i) $ βρίσκονται πάνω στην ευθεία $ y = 2x + 1 $ — όπως φαίνεται και στο διάγραμμα διασποράς.

Σύνοψη: (ενδεικτική) r = 1 → τέλεια θετική συσχέτιση: όλες οι παρατηρήσεις βρίσκονται επάνω στην ευθεία παλινδρόμησης, που έχει θετική κλίση (β̂ > 0). r = −1 → τέλεια αρνητική συσχέτιση: όλες πάνω στην ευθεία, με αρνητική κλίση (β̂ < 0). r = 0 → οι μεταβλητές είναι γραμμικά ασυσχέτιστες — δεν εμφανίζουν γραμμική συσχέτιση (χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι ανεξάρτητες).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: τέλεια θετική / τέλεια αρνητική / γραμμικά ασυσχέτιστες.
Κριτήριο: στα r = ±1 να αναφερθεί ότι όλα τα σημεία είναι πάνω στην ευθεία.
Κριτήριο: η λέξη «γραμμικά» στην περίπτωση r = 0.
Θετικό: η επισήμανση ότι r = 0 δεν σημαίνει ανεξαρτησία.

Ερώτηση 12 — Η σχέση προσήμων r και β̂

Ερώτηση: Αν η εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων β̂ είναι: • β̂ > 0, τότε ο συντελεστής συσχέτισης r είναι …… • β̂ < 0, τότε ο συντελεστής συσχέτισης r είναι ……

Απάντηση:

Αν $ \hat{\beta} > 0 $, τότε $ r > 0 $ — ο συντελεστής συσχέτισης είναι ΘΕΤΙΚΟΣ.
Αν $ \hat{\beta} < 0 $, τότε $ r < 0 $ — ο συντελεστής συσχέτισης είναι ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ.
Ο κανόνας: «Το πρόσημο του r … είναι το ίδιο με του συντελεστή παλινδρόμησης» (§6.4).
Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ — και δεν είναι δύσκολη. Σύγκρινε τους δύο τύπους:
$$ \hat{\beta} = \frac{\overbrace{\nu\sum xy - \sum x \sum y}^{\text{αριθμητής } A}}{\underbrace{\nu\sum x^2 - (\sum x)^2}{> 0}} \qquad r = \frac{\overbrace{\nu\sum xy - \sum x \sum y}^{\text{ο ΙΔΙΟΣ αριθμητής } A}}{\underbrace{\sqrt{[\nu\sum x^2 - (\sum x)^2][\nu\sum y^2 - (\sum y)^2]}}{> 0}} $$
Έχουν ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗ, και αμφότεροι οι παρονομαστές είναι θετικοί (ο ένας είναι $ \nu^2 s_x^2 $, ο άλλος τετραγωνική ρίζα γινομένου θετικών). Άρα το πρόσημο και των δύο καθορίζεται αποκλειστικά από τον κοινό αριθμητή $ A $ — και είναι αναγκαστικά το ίδιο.
⚠️ Το ίδιο πρόσημο ΔΕΝ σημαίνει ίδια τιμή! Ο $ \hat{\beta} $ έχει μονάδες (μονάδες Υ ανά μονάδα Χ) και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή — π.χ. $ \hat{\beta} = 16{,}27 $ ή $ \hat{\beta} = 0{,}026 $. Ο $ r $ είναι αδιάστατος και φραγμένος: $ -1 \le r \le 1 $.
Η πρακτική χρησιμότητα του κανόνα — δύο εφαρμογές:
① Έλεγχος υπολογισμών. Αν βρήκες $ \hat{\beta} = 2{,}1 $ και $ r = -0{,}98 $, κάπου έκανες λάθος — τα πρόσημα πρέπει να συμφωνούν.
② Απάντηση χωρίς υπολογισμό. Αν σου δώσουν την ευθεία $ y = 2x - 10 $ και ρωτήσουν για το πρόσημο του $ r $, απαντάς αμέσως θετικός — χωρίς κανένα δεδομένο. Είναι ακριβώς η ερώτηση 14 του Φύλλου Αυτοελέγχου.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Αν β̂ > 0 τότε ο r είναι θετικός· αν β̂ < 0 τότε ο r είναι αρνητικός. Ο λόγος: οι τύποι της β̂ και του r έχουν τον ίδιο αριθμητή (νΣxy − ΣxΣy) και θετικούς παρονομαστές, άρα το πρόσημό τους καθορίζεται από τον κοινό αριθμητή. Το ίδιο πρόσημο δεν σημαίνει ίδια τιμή: ο β̂ έχει μονάδες και δεν είναι φραγμένος, ενώ −1 ≤ r ≤ 1.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι δύο περιπτώσεις.
Θετικό: αιτιολόγηση μέσω του κοινού αριθμητή.
Θετικό: η διάκριση «ίδιο πρόσημο» ≠ «ίδια τιμή».
Παγίδα: να θεωρηθεί ότι r = β̂.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 1 — Επενδυμένα κεφάλαια και κέρδη 10 επιχειρήσεων

Ερώτηση: Η αξία των επενδυμένων κεφαλαίων (x) και τα αντίστοιχα κέρδη (y) ομάδας 10 ομοειδών βιομηχανικών επιχειρήσεων (σε δεκάδες χιλιάδες ευρώ) — x: 80, 90, 100, 120, 150, 180, 200, 250, 300, 350 · y: 15, 20, 25, 25, 30, 30, 40, 40, 60, 80. Ζητείται: i) Να βρεθεί ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r και να σχολιασθεί το αποτέλεσμα. ii) Να ερμηνευθεί η παράμετρος β̂ της ŷ = α̂ + β̂x.

Απάντηση:

Τα αθροίσματα ($ \nu = 10 $):
$$ \sum x = 1.820 \quad \sum y = 365 \quad \sum x^2 = 408.800 \quad \sum y^2 = 16.875 \quad \sum xy = 82.400 $$
$$ \bar{x} = 182 \qquad \bar{y} = 36{,}5 $$
i) Συντελεστής συσχέτισης (τύπος 6.4). Υπολογίζουμε τα τρία δομικά μεγέθη:
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 10\cdot 82.400 - 1.820\cdot 365 = 824.000 - 664.300 = 159.700 $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 10\cdot 408.800 - 1.820^2 = 4.088.000 - 3.312.400 = 775.600 $$
$$ \nu\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2 = 10\cdot 16.875 - 365^2 = 168.750 - 133.225 = 35.525 $$
$$ r = \frac{159.700}{\sqrt{775.600 \cdot 35.525}} = \frac{159.700}{\sqrt{27.553.190.000}} \approx \frac{159.700}{165.992} \approx \mathbf{0{,}9621} $$
Σχολιασμός. Με $ 0{,}8 \le r < 1 $ έχουμε ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΗ ΘΕΤΙΚΗ συσχέτιση. Δηλαδή: όσο μεγαλύτερο το επενδυμένο κεφάλαιο, τόσο μεγαλύτερα τα κέρδη — και η σχέση είναι εξαιρετικά κανονική, σχεδόν γραμμική.
ii) Η παράμετρος β̂ (τύπος 6.2):
$$ \hat{\beta} = \frac{159.700}{775.600} = \frac{1.597}{7.756} \approx \mathbf{0{,}2059} $$
Η ερμηνεία — και είναι το ζητούμενο του ερωτήματος. Η $ \hat{\beta} $ δείχνει τη μεταβολή των κερδών όταν το κεφάλαιο αυξηθεί κατά μία μονάδα:
🎯 Κάθε επιπλέον 1 δεκάδα χιλιάδων ευρώ (10.000 €) επενδυμένου κεφαλαίου αποφέρει, κατά μέσο όρο, αύξηση των κερδών κατά ≈ 0,206 δεκάδες χιλιάδες ευρώ, δηλαδή ≈ 2.060 €.
Ισοδύναμη — και πιο εύγλωττη — διατύπωση: η απόδοση του επενδυμένου κεφαλαίου είναι περίπου 20,6 %. Κάθε 100 € επένδυσης αποφέρουν περίπου 20,60 € κέρδος.
Το πρόσημο. $ \hat{\beta} > 0 $, άρα τα κέρδη αυξάνονται όταν αυξάνεται το κεφάλαιο — σε συμφωνία με το θετικό πρόσημο του $ r $, όπως πρέπει.
Συμπλήρωμα — η πλήρης ευθεία:
$$ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} = 36{,}5 - 0{,}2059\cdot 182 \approx \mathbf{-0{,}975} $$
$$ \hat{y} \approx -0{,}975 + 0{,}206\,x $$
⚠️ Προσοχή στην ερμηνεία της α̂ εδώ. Το $ \hat{\alpha} \approx -0{,}97 $ θα σήμαινε ότι μια επιχείρηση με μηδενικό κεφάλαιο έχει ζημιά ≈ 9.750 €. Η τιμή $ x = 0 $ όμως βρίσκεται πολύ έξω από το εύρος των δεδομένων (80-350), οπότε η προέκταση εκεί δεν είναι αξιόπιστη. Η $ \hat{\alpha} $ εδώ είναι κυρίως μαθηματική παράμετρος, όχι οικονομικό μέγεθος.

Σύνοψη: ν = 10, Σx = 1.820, Σy = 365, Σx² = 408.800, Σy² = 16.875, Σxy = 82.400. i) νΣxy − ΣxΣy = 159.700· νΣx² − (Σx)² = 775.600· νΣy² − (Σy)² = 35.525. Άρα r = 159.700/√(775.600·35.525) ≈ 0,9621 — πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση: όσο μεγαλύτερο το κεφάλαιο, τόσο μεγαλύτερα τα κέρδη. ii) β̂ = 159.700/775.600 = 1.597/7.756 ≈ 0,2059: κάθε επιπλέον δεκάδα χιλιάδων ευρώ κεφαλαίου αποφέρει κατά μέσο όρο ≈ 2.060 € κέρδος, δηλαδή απόδοση ≈ 20,6 %. (α̂ ≈ −0,975, ŷ ≈ −0,975 + 0,206x.)

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστά και τα τρία δομικά μεγέθη του τύπου (6.4).
Κριτήριο: χαρακτηρισμός της συσχέτισης με την κλίμακα του βιβλίου.
Κριτήριο: ερμηνεία της β̂ ως μεταβολή ανά μονάδα — όχι σκέτος αριθμός.
Θετικό: η μετατροπή σε ποσοστό απόδοσης (20,6 %).
Θετικό: επιφύλαξη για την ερμηνεία της α̂ εκτός του εύρους των δεδομένων.
Παγίδα: σύγχυση Σx² (408.800) με (Σx)² (3.312.400).

Ομάδα Α΄, Άσκηση 2 — Υπολογισμοί απευθείας από τα αθροίσματα

Ερώτηση: Η από κοινού μελέτη των μεταβλητών X και Y μας έδωσε τα παρακάτω αθροίσματα: Σx = 30, Σy = 33, Σx² = 196, Σxy = 210, Σy² = 227, ν = 6. Ζητείται: i) Να βρεθεί ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r. ii) Να βρεθεί η εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης ŷ = α̂ + β̂x.

Απάντηση:

🎯 Η άσκηση δίνει ΚΑΤΕΥΘΕΙΑΝ τα πέντε αθροίσματα — δεν υπάρχουν καν δεδομένα. Δείχνει ότι τα $ \sum x, \sum y, \sum xy, \sum x^2, \sum y^2 $ και το $ \nu $ είναι όλη η πληροφορία που χρειάζεται και για την ευθεία και για τη συσχέτιση.
Βήμα 1 — τα τρία δομικά μεγέθη.
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 6\cdot 210 - 30\cdot 33 = 1.260 - 990 = \mathbf{270} $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 6\cdot 196 - 30^2 = 1.176 - 900 = \mathbf{276} $$
$$ \nu\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2 = 6\cdot 227 - 33^2 = 1.362 - 1.089 = \mathbf{273} $$
i) Συντελεστής συσχέτισης (τύπος 6.4):
$$ r = \frac{270}{\sqrt{276 \cdot 273}} = \frac{270}{\sqrt{75.348}} \approx \frac{270}{274{,}50} \approx \mathbf{0{,}9836} $$
Χαρακτηρισμός: $ 0{,}8 \le r < 1 $ → ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΗ ΘΕΤΙΚΗ συσχέτιση. Πολύ κοντά στο 1, δηλαδή τα σημεία βρίσκονται σχεδόν πάνω σε ευθεία με θετική κλίση.
ii) Η εξίσωση παλινδρόμησης.
Η $ \hat{\beta} $ (τύπος 6.2) — πρόσεξε ότι ο αριθμητής και ο πρώτος παράγοντας του παρονομαστή έχουν ήδη υπολογιστεί:
$$ \hat{\beta} = \frac{270}{276} = \frac{45}{46} \approx \mathbf{0{,}9783} $$
Οι μέσες τιμές:
$$ \bar{x} = \frac{\sum x}{\nu} = \frac{30}{6} = 5 \qquad \bar{y} = \frac{\sum y}{\nu} = \frac{33}{6} = \frac{11}{2} = 5{,}5 $$
Η $ \hat{\alpha} $:
$$ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} = 5{,}5 - \frac{45}{46}\cdot 5 = \frac{11}{2} - \frac{225}{46} = \frac{253 - 225}{46} = \frac{28}{46} = \frac{14}{23} \approx \mathbf{0{,}6087} $$
Η ευθεία παλινδρόμησης:
$$ \boxed{\hat{y} \approx 0{,}6087 + 0{,}9783\,x} $$
Επαλήθευση με την ιδιότητα του σημείου $ M(\bar{x}, \bar{y}) $:
$$ \hat{y}(5) = \frac{14}{23} + \frac{45}{46}\cdot 5 = \frac{28}{46} + \frac{225}{46} = \frac{253}{46} = \frac{11}{2} = 5{,}5 = \bar{y} \;✓ $$
Η οικονομία της μεθόδου. Παρατήρησε ότι το μέγεθος 270 χρησιμοποιήθηκε και στον $ r $ και στη $ \hat{\beta} $, και το 276 επίσης. Στην πράξη υπολογίζεις μία φορά τα τρία δομικά μεγέθη και τα ξαναχρησιμοποιείς — γι' αυτό συμφέρει να λύνεις πάντα και τα δύο ερωτήματα μαζί.
Λογικός έλεγχος. $ \hat{\beta} = 0{,}978 > 0 $ και $ r = 0{,}984 > 0 $ — ίδιο πρόσημο, όπως επιβάλλει η θεωρία ✓. Επίσης $ |r| \le 1 $ ✓

Σύνοψη: i) νΣxy − ΣxΣy = 270· νΣx² − (Σx)² = 276· νΣy² − (Σy)² = 273. Άρα r = 270/√(276·273) = 270/√75.348 ≈ 0,9836 — πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση. ii) β̂ = 270/276 = 45/46 ≈ 0,9783· x̄ = 5, ȳ = 5,5· α̂ = 5,5 − (45/46)·5 = 14/23 ≈ 0,6087. Άρα ŷ ≈ 0,6087 + 0,9783x. Επαλήθευση: ŷ(5) = 5,5 = ȳ ✓

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: υπολογισμός και των τριών δομικών μεγεθών.
Κριτήριο: σωστή σειρά — πρώτα β̂, μετά α̂.
Κριτήριο: επαλήθευση μέσω του σημείου M(x̄, ȳ).
Θετικό: έλεγχος συμφωνίας προσήμων r και β̂.
Παγίδα: χρήση του Σx² = 196 απευθείας στον παρονομαστή, χωρίς τον τύπο.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 3 — Εισοδήματα και τηλεφωνικά έξοδα 7 νοικοκυριών

Ερώτηση: Ο πίνακας δείχνει τα ετήσια εισοδήματα x (σε εκατοντάδες ευρώ) και τα αντίστοιχα έξοδα τηλεφωνικών λογαριασμών y (σε εκατοντάδες ευρώ) 7 νοικοκυριών — x: 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600 · y: 9, 8, 10, 13, 13, 16, 15. Ζητείται: i) Να βρεθεί ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r. ii) Να υπολογισθούν οι παράμετροι α̂ και β̂ της εξίσωσης παλινδρόμησης.

Απάντηση:

Ο πίνακας εργασίας ($ \nu = 7 $):
| $ x_i $ | $ y_i $ | $ x_i^2 $ | $ y_i^2 $ | $ x_i y_i $ |
|---|---|---|---|---|
| 300 | 9 | 90.000 | 81 | 2.700 |
| 350 | 8 | 122.500 | 64 | 2.800 |
| 400 | 10 | 160.000 | 100 | 4.000 |
| 450 | 13 | 202.500 | 169 | 5.850 |
| 500 | 13 | 250.000 | 169 | 6.500 |
| 550 | 16 | 302.500 | 256 | 8.800 |
| 600 | 15 | 360.000 | 225 | 9.000 |
| Σύνολο | | | | |
$$ \sum x = 3.150 \quad \sum y = 84 \quad \sum x^2 = 1.487.500 \quad \sum y^2 = 1.064 \quad \sum xy = 39.650 $$
$$ \bar{x} = \frac{3.150}{7} = 450 \qquad \bar{y} = \frac{84}{7} = 12 $$
Τα τρία δομικά μεγέθη:
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 7\cdot 39.650 - 3.150\cdot 84 = 277.550 - 264.600 = \mathbf{12.950} $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 7\cdot 1.487.500 - 3.150^2 = 10.412.500 - 9.922.500 = \mathbf{490.000} $$
$$ \nu\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2 = 7\cdot 1.064 - 84^2 = 7.448 - 7.056 = \mathbf{392} $$
i) Συντελεστής συσχέτισης:
$$ r = \frac{12.950}{\sqrt{490.000 \cdot 392}} = \frac{12.950}{\sqrt{192.080.000}} \approx \frac{12.950}{13.859} \approx \mathbf{0{,}9344} $$
Χαρακτηρισμός: ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΗ ΘΕΤΙΚΗ συσχέτιση ($ 0{,}8 \le r < 1 $).
ii) Οι παράμετροι.
$$ \hat{\beta} = \frac{12.950}{490.000} = \frac{37}{1.400} \approx \mathbf{0{,}02643} $$
$$ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} = 12 - \frac{37}{1.400}\cdot 450 = 12 - \frac{16.650}{1.400} = 12 - \frac{333}{28} = \frac{336-333}{28} = \frac{3}{28} \approx \mathbf{0{,}1071} $$
$$ \boxed{\hat{y} \approx 0{,}107 + 0{,}0264\,x} $$
Επαλήθευση: $ \hat{y}(450) = \frac{3}{28} + \frac{37}{1400}\cdot 450 = \frac{3}{28} + \frac{333}{28} = \frac{336}{28} = 12 = \bar{y} $ ✓
Η ερμηνεία με προσοχή στις μονάδες — και οι δύο μεταβλητές είναι σε εκατοντάδες ευρώ.
· $ \hat{\beta} \approx 0{,}0264 $: κάθε επιπλέον εκατοντάδα ευρώ ετήσιου εισοδήματος συνοδεύεται από αύξηση των τηλεφωνικών εξόδων κατά 0,0264 εκατοντάδες ευρώ ≈ 2,64 €.
· Ισοδύναμα: τα νοικοκυριά ξοδεύουν στο τηλέφωνο περίπου το 2,64 % του εισοδήματός τους — μια πολύ πιο εύγλωττη διατύπωση.
· $ \hat{\alpha} \approx 0{,}107 $ εκατοντάδες € ≈ 10,70 €: το «σταθερό» τηλεφωνικό κόστος ανεξαρτήτως εισοδήματος — δηλαδή το πάγιο. Εδώ, σε αντίθεση με την άσκηση 1, η ερμηνεία της $ \hat{\alpha} $ έχει οικονομικό νόημα, αν και το $ x = 0 $ παραμένει έξω από το εύρος των δεδομένων.
💡 Παρατήρηση για τα δεδομένα. Τα εισοδήματα είναι σε ισαπέχουσες τιμές (300, 350, …, 600, βήμα 50), αλλά τα y δεν αυξάνονται μονότονα (9 → 8 → 10 → 13 → 13 → 16 → 15). Αυτές οι δύο «αναστροφές» είναι που κρατούν τον $ r $ στο 0,93 αντί για 1.

Σύνοψη: ν = 7, Σx = 3.150, Σy = 84, Σx² = 1.487.500, Σy² = 1.064, Σxy = 39.650· x̄ = 450, ȳ = 12. Δομικά μεγέθη: 12.950, 490.000, 392. i) r = 12.950/√(490.000·392) ≈ 0,9344 — πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση. ii) β̂ = 12.950/490.000 = 37/1.400 ≈ 0,02643 και α̂ = 12 − (37/1400)·450 = 3/28 ≈ 0,1071, άρα ŷ ≈ 0,107 + 0,0264x. Ερμηνεία: κάθε επιπλέον εκατοντάδα ευρώ εισοδήματος αυξάνει τα τηλεφωνικά έξοδα κατά ≈ 2,64 € (≈ 2,64 % του εισοδήματος)· η α̂ ≈ 10,70 € αντιστοιχεί στο πάγιο κόστος.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: πλήρης πίνακας με πέντε στήλες.
Κριτήριο: σωστά τα τρία δομικά μεγέθη.
Κριτήριο: και οι δύο παράμετροι, με επαλήθευση στο M(x̄, ȳ).
Θετικό: ερμηνεία με σωστές μονάδες (εκατοντάδες ευρώ).
Παγίδα: να δοθεί η β̂ ως «2,64 €» χωρίς μετατροπή μονάδων.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 4 — Διαφημιστικές δαπάνες και πωλήσεις 10 επιχειρήσεων

Ερώτηση: Ο πίνακας αναφέρεται σε 10 ομοειδείς εμπορικές επιχειρήσεις και δείχνει τις ετήσιες πωλήσεις τους (y) και τις αντίστοιχες ετήσιες διαφημιστικές δαπάνες (x), σε χιλιάδες ευρώ — x: 20, 22, 25, 30, 32, 35, 40, 50, 60, 70 · y: 250, 270, 260, 350, 330, 300, 370, 480, 450, 500. Ζητείται: i) Να βρεθεί ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r και να σχολιασθεί το αποτέλεσμα. ii) Να προσδιορισθεί η εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης.

Απάντηση:

Τα αθροίσματα ($ \nu = 10 $):
$$ \sum x = 384 \quad \sum y = 3.560 \quad \sum x^2 = 17.258 \quad \sum y^2 = 1.344.200 \quad \sum xy = 149.800 $$
$$ \bar{x} = 38{,}4 \qquad \bar{y} = 356 $$
Τα τρία δομικά μεγέθη:
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 10\cdot 149.800 - 384\cdot 3.560 = 1.498.000 - 1.367.040 = \mathbf{130.960} $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 10\cdot 17.258 - 384^2 = 172.580 - 147.456 = \mathbf{25.124} $$
$$ \nu\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2 = 10\cdot 1.344.200 - 3.560^2 = 13.442.000 - 12.673.600 = \mathbf{768.400} $$
i) Συντελεστής συσχέτισης:
$$ r = \frac{130.960}{\sqrt{25.124 \cdot 768.400}} = \frac{130.960}{\sqrt{19.305.281.600}} \approx \frac{130.960}{138.941} \approx \mathbf{0{,}9425} $$
Σχολιασμός. $ 0{,}8 \le r < 1 $ → ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΗ ΘΕΤΙΚΗ συσχέτιση μεταξύ διαφημιστικών δαπανών και πωλήσεων.
⚠️ Και εδώ η κλασική επιφύλαξη: συσχέτιση ≠ αιτιότητα. Η ισχυρή θετική συσχέτιση δεν αποδεικνύει ότι η διαφήμιση προκαλεί τις πωλήσεις. Είναι εξίσου πιθανό οι μεγαλύτερες επιχειρήσεις (που έτσι κι αλλιώς πουλούν περισσότερο) να διαθέτουν μεγαλύτερους διαφημιστικούς προϋπολογισμούς — δηλαδή η αιτιότητα να τρέχει αντίστροφα, ή και οι δύο μεταβλητές να εξαρτώνται από το μέγεθος της επιχείρησης.
ii) Η εξίσωση παλινδρόμησης.
$$ \hat{\beta} = \frac{130.960}{25.124} = \frac{32.740}{6.281} \approx \mathbf{5{,}2125} $$
$$ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} = 356 - 5{,}2125\cdot 38{,}4 \approx 356 - 200{,}16 \approx \mathbf{155{,}84} $$
$$ \boxed{\hat{y} \approx 155{,}84 + 5{,}2125\,x} $$
Επαλήθευση: $ \hat{y}(38{,}4) \approx 155{,}84 + 5{,}2125\cdot 38{,}4 \approx 356 = \bar{y} $ ✓
Η ερμηνεία — και είναι εντυπωσιακή.
· $ \hat{\beta} \approx 5{,}21 $: κάθε επιπλέον 1.000 € διαφημιστικής δαπάνης συνοδεύεται, κατά μέσο όρο, από 5.210 € επιπλέον πωλήσεις.
· $ \hat{\alpha} \approx 155{,}84 $: μια επιχείρηση με μηδενική διαφήμιση θα είχε πωλήσεις περίπου 155.840 € — δηλαδή υπάρχει ένα βασικό επίπεδο πωλήσεων ανεξάρτητο από τη διαφήμιση.
🎯 Το πρακτικό συμπέρασμα για τον επιχειρηματία — και η επιφύλαξή του. Με $ \hat{\beta} \approx 5{,}2 $, κάθε ευρώ διαφήμισης φαίνεται να αποδίδει 5,2 ευρώ πωλήσεων — ελκυστικός λόγος. Προσοχή όμως σε δύο σημεία: (i) οι πωλήσεις δεν είναι κέρδος — πρέπει να αφαιρεθεί το κόστος των πωληθέντων· (ii) η γραμμική σχέση ισχύει μέσα στο εύρος των δεδομένων (20-70 χιλ. €). Δεν προκύπτει ότι διαφήμιση 500 χιλ. € θα έδινε πωλήσεις 2,76 εκατ. € — στην πράξη υπάρχει φθίνουσα απόδοση.

Σύνοψη: ν = 10, Σx = 384, Σy = 3.560, Σx² = 17.258, Σy² = 1.344.200, Σxy = 149.800. Δομικά μεγέθη: 130.960, 25.124, 768.400. i) r = 130.960/√(25.124·768.400) ≈ 0,9425 — πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση (με την επιφύλαξη ότι συσχέτιση δεν σημαίνει αιτιότητα). ii) β̂ = 130.960/25.124 ≈ 5,2125 και α̂ = 356 − 5,2125·38,4 ≈ 155,84, άρα ŷ ≈ 155,84 + 5,2125x. Κάθε επιπλέον 1.000 € διαφήμισης συνοδεύεται από ≈ 5.210 € επιπλέον πωλήσεις· χωρίς διαφήμιση οι πωλήσεις εκτιμώνται σε ≈ 155.840 €.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστά τα τρία δομικά μεγέθη.
Κριτήριο: σχολιασμός του r με την κλίμακα — το ζητά η εκφώνηση.
Κριτήριο: πλήρης εξίσωση παλινδρόμησης με επαλήθευση.
Θετικό: επιφύλαξη συσχέτιση ≠ αιτιότητα.
Θετικό: επισήμανση ότι η σχέση ισχύει μέσα στο εύρος των δεδομένων.
Παγίδα: ταύτιση των πωλήσεων με το κέρδος στην ερμηνεία.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 5 — Εισόδημα, κατανάλωση και τα κατάλοιπα

Ερώτηση: Ο πίνακας δείχνει τη μέση ετήσια κατά κεφαλή κατανάλωση y (σε κιλά) ενός αγαθού σε σχέση με το κατά κεφαλή εισόδημα x (σε εκατοντάδες ευρώ) — x: 65, 68, 70, 73, 75, 78, 85, 90 · y: 40, 40, 41, 43, 45, 48, 50, 50. Ζητείται: i) Να βρεθεί και να σχολιασθεί η τιμή του r. ii) Να προσδιορισθεί η εξίσωση παλινδρόμησης. iii) Να ερμηνευθούν οι τιμές των α̂ και β̂. iv) Να βρεθούν οι διαφορές μεταξύ των πραγματικών τιμών y και των αντίστοιχων τιμών που δίνει η ŷ = α̂ + β̂x.

Απάντηση:

Τα αθροίσματα ($ \nu = 8 $):
$$ \sum x = 604 \quad \sum y = 357 \quad \sum x^2 = 46.112 \quad \sum y^2 = 16.059 \quad \sum xy = 27.198 $$
$$ \bar{x} = 75{,}5 \qquad \bar{y} = 44{,}625 $$
Τα τρία δομικά μεγέθη:
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 8\cdot 27.198 - 604\cdot 357 = 217.584 - 215.628 = \mathbf{1.956} $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 8\cdot 46.112 - 604^2 = 368.896 - 364.816 = \mathbf{4.080} $$
$$ \nu\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2 = 8\cdot 16.059 - 357^2 = 128.472 - 127.449 = \mathbf{1.023} $$
i) Συντελεστής συσχέτισης:
$$ r = \frac{1.956}{\sqrt{4.080 \cdot 1.023}} = \frac{1.956}{\sqrt{4.173.840}} \approx \frac{1.956}{2.043} \approx \mathbf{0{,}9574} $$
Σχολιασμός: ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΗ ΘΕΤΙΚΗ συσχέτιση — όσο μεγαλύτερο το εισόδημα, τόσο μεγαλύτερη η κατανάλωση του αγαθού, με μεγάλη κανονικότητα.
ii) Η εξίσωση παλινδρόμησης:
$$ \hat{\beta} = \frac{1.956}{4.080} = \frac{163}{340} \approx \mathbf{0{,}4794} $$
$$ \hat{\alpha} = 44{,}625 - \frac{163}{340}\cdot 75{,}5 = \frac{1.433}{170} \approx \mathbf{8{,}4294} $$
$$ \boxed{\hat{y} \approx 8{,}4294 + 0{,}4794\,x} $$
iii) Ερμηνεία των παραμέτρων.
· $ \hat{\beta} \approx 0{,}479 $: για κάθε επιπλέον εκατοντάδα ευρώ κατά κεφαλή εισοδήματος, η ετήσια κατανάλωση του αγαθού αυξάνεται κατά ≈ 0,48 κιλά. Δηλαδή κάθε 100 € επιπλέον εισοδήματος → περίπου μισό κιλό παραπάνω κατανάλωση.
· $ \hat{\alpha} \approx 8{,}43 $: αν το κατά κεφαλή εισόδημα ήταν μηδέν, η κατανάλωση θα ήταν ≈ 8,43 κιλά. Ερμηνεύεται ως η βασική, «αναγκαία» κατανάλωση του αγαθού — αυτή που υπάρχει ανεξάρτητα από το εισόδημα.
💡 Οικονομική ανάγνωση. Το $ \hat{\beta} > 0 $ χαρακτηρίζει κανονικό αγαθό (η ζήτηση αυξάνεται με το εισόδημα). Αν ήταν $ \hat{\beta} < 0 $, θα επρόκειτο για κατώτερο αγαθό.
iv) Τα κατάλοιπα $ y - \hat{y} $.
| $ x $ | $ y $ | $ \hat{y} $ | $ y - \hat{y} $ |
|---|---|---|---|
| 65 | 40 | 39,591 | +0,409 |
| 68 | 40 | 41,029 | −1,029 |
| 70 | 41 | 41,988 | −0,988 |
| 73 | 43 | 43,426 | −0,426 |
| 75 | 45 | 44,385 | +0,615 |
| 78 | 48 | 45,824 | +2,176 |
| 85 | 50 | 49,179 | +0,821 |
| 90 | 50 | 51,576 | −1,576 |
| Σύνολο | | | 0,000 |
🎯 Ο έλεγχος που αποδεικνύει ότι η λύση είναι σωστή: $ \sum(y - \hat{y}) = 0 $. Δεν είναι σύμπτωση — είναι μαθηματική ιδιότητα της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων και ακριβώς ο λόγος που η μέθοδος ελαχιστοποιεί τα τετράγωνα και όχι τις σκέτες διαφορές (§6.3). Αν το άθροισμα των καταλοίπων σου δεν βγαίνει μηδέν, οι παράμετροί σου είναι λάθος.
Τι μας λένε τα κατάλοιπα. Το μεγαλύτερο είναι +2,176 στο $ x = 78 $: εκείνη η ομάδα κατανάλωσε περισσότερο απ' ό,τι προβλέπει το εισόδημά της. Το μικρότερο, −1,576, στο $ x = 90 $: η ομάδα με το υψηλότερο εισόδημα κατανάλωσε λιγότερο από την πρόβλεψη — ένδειξη ότι η κατανάλωση κορεσμού πλησιάζει, δηλαδή ότι η γραμμική σχέση ίσως κάμπτεται στα υψηλά εισοδήματα. Πράγματι, οι δύο τελευταίες τιμές του y είναι και οι δύο 50, ενώ το x αυξάνεται από 85 σε 90.

Σύνοψη: ν = 8, Σx = 604, Σy = 357, Σx² = 46.112, Σy² = 16.059, Σxy = 27.198. Δομικά μεγέθη: 1.956, 4.080, 1.023. i) r = 1.956/√(4.080·1.023) ≈ 0,9574 — πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση. ii) β̂ = 1.956/4.080 = 163/340 ≈ 0,4794 και α̂ = 1.433/170 ≈ 8,4294, άρα ŷ ≈ 8,4294 + 0,4794x. iii) Κάθε επιπλέον εκατοντάδα ευρώ εισοδήματος αυξάνει την κατανάλωση κατά ≈ 0,48 κιλά· χωρίς εισόδημα η κατανάλωση εκτιμάται σε ≈ 8,43 κιλά (βασική κατανάλωση). iv) Κατάλοιπα: +0,409 · −1,029 · −0,988 · −0,426 · +0,615 · +2,176 · +0,821 · −1,576, με άθροισμα 0 — μαθηματική ιδιότητα της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα τέσσερα ερωτήματα.
Κριτήριο: ερμηνεία και της α̂ και της β̂ με μονάδες.
Κριτήριο: υπολογισμός όλων των οκτώ καταλοίπων.
Κριτήριο: έλεγχος Σ(y − ŷ) = 0 — η βασική επαλήθευση.
Θετικό: σχολιασμός του μεγαλύτερου καταλοίπου και της πιθανής κάμψης της σχέσης.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 6 — Πρόγραμμα ελάττωσης βάρους και αντίστροφη πρόβλεψη

Ερώτηση: Πέντε άτομα μετέχουν σε πρόγραμμα ελάττωσης βάρους. Ο αριθμός των εβδομάδων (x) που κάθε άτομο συμμετέχει, καθώς και τα κιλά (y) που έχασε — x: 3, 2, 1, 4, 5 · y: 3, 2,5, 2, 4,5, 5,5. Ζητείται: i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων. ii) Πόσες εβδομάδες πρέπει κάποιος να συμμετέχει στο πρόγραμμα για να χάσει 10 κιλά;

Απάντηση:

Ο πίνακας εργασίας ($ \nu = 5 $):
| $ x_i $ | $ y_i $ | $ x_i^2 $ | $ x_i y_i $ | $ y_i^2 $ |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 9 | 9 | 9 |
| 2 | 2,5 | 4 | 5 | 6,25 |
| 1 | 2 | 1 | 2 | 4 |
| 4 | 4,5 | 16 | 18 | 20,25 |
| 5 | 5,5 | 25 | 27,5 | 30,25 |
| Σ | 17,5 | 55 | 61,5 | 69,75 |
$$ \sum x = 15 \quad \sum y = 17{,}5 \quad \sum x^2 = 55 \quad \sum xy = 61{,}5 \quad \sum y^2 = 69{,}75 $$
$$ \bar{x} = 3 \qquad \bar{y} = 3{,}5 $$
i) Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων.
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 5\cdot 61{,}5 - 15\cdot 17{,}5 = 307{,}5 - 262{,}5 = \mathbf{45} $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 5\cdot 55 - 15^2 = 275 - 225 = \mathbf{50} $$
$$ \hat{\beta} = \frac{45}{50} = \mathbf{0{,}9} $$
$$ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} = 3{,}5 - 0{,}9\cdot 3 = 3{,}5 - 2{,}7 = \mathbf{0{,}8} $$
$$ \boxed{\hat{y} = 0{,}8 + 0{,}9\,x} $$
Επαλήθευση: $ \hat{y}(3) = 0{,}8 + 2{,}7 = 3{,}5 = \bar{y} $ ✓
(Συμπληρωματικά, $ \nu\sum y^2 - (\sum y)^2 = 5\cdot 69{,}75 - 17{,}5^2 = 348{,}75 - 306{,}25 = 42{,}5 $, άρα $ r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 42{,}5}} \approx 0{,}9762 $ — πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση.)
Ερμηνεία: κάθε επιπλέον εβδομάδα συμμετοχής αποφέρει απώλεια 0,9 κιλών. Το $ \hat{\alpha} = 0{,}8 $ κιλά είναι η «αρχική» απώλεια που αποδίδεται στην έναρξη του προγράμματος, ανεξάρτητα από τη διάρκεια.
ii) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ χρήση της ευθείας.
🎯 Προσοχή στη διαφορά. Στα προηγούμενα ερωτήματα δίναμε x και βρίσκαμε y. Εδώ δίνεται y = 10 και ζητείται το x — λύνουμε την εξίσωση ως προς x.
$$ 10 = 0{,}8 + 0{,}9x \;\Longrightarrow\; 0{,}9x = 9{,}2 \;\Longrightarrow\; x = \frac{9{,}2}{0{,}9} = \frac{92}{9} \approx \mathbf{10{,}22} \ \text{εβδομάδες} $$
Απάντηση: χρειάζονται περίπου 10,2 εβδομάδες, δηλαδή πρακτικά 11 εβδομάδες (αφού δεν συμμετέχει κανείς για κλάσμα εβδομάδας — και με 10 εβδομάδες θα έχανε $ 0{,}8 + 9 = 9{,}8 $ κιλά, λίγο λιγότερα από 10).
⚠️ Η επιφύλαξη που πρέπει να διατυπωθεί — και είναι σημαντική. Τα δεδομένα καλύπτουν 1 έως 5 εβδομάδες. Η πρόβλεψη για 10,2 εβδομάδες είναι προεκβολή (extrapolation) — διπλάσια από τη μεγαλύτερη παρατηρούμενη τιμή. Η γραμμική σχέση ενδέχεται να μην ισχύει τόσο μακριά: στην πραγματικότητα η απώλεια βάρους συνήθως επιβραδύνεται με τον χρόνο (φαινόμενο plateau). Άρα το 10,2 είναι κατώτατο όριο — πιθανότατα θα χρειαστούν περισσότερες εβδομάδες.
Ο γενικός κανόνας που κρατάς. Η ευθεία παλινδρόμησης είναι αξιόπιστη μέσα στο εύρος των δεδομένων (παρεμβολή). Έξω από αυτό (προεκβολή) το αποτέλεσμα είναι εκτίμηση με επιφύλαξη, όσο σωστοί κι αν είναι οι υπολογισμοί.

Σύνοψη: ν = 5, Σx = 15, Σy = 17,5, Σx² = 55, Σxy = 61,5. i) νΣxy − ΣxΣy = 45 και νΣx² − (Σx)² = 50, άρα β̂ = 0,9 και α̂ = 3,5 − 0,9·3 = 0,8. Η ευθεία είναι ŷ = 0,8 + 0,9x (επαλήθευση: ŷ(3) = 3,5 = ȳ ✓· r ≈ 0,9762). ii) Λύνοντας ως προς x: 10 = 0,8 + 0,9x → x = 9,2/0,9 = 92/9 ≈ 10,22 εβδομάδες, δηλαδή πρακτικά 11 εβδομάδες. Πρόκειται όμως για προεκβολή έξω από το εύρος των δεδομένων (1-5 εβδομάδες), οπότε η εκτίμηση δίνεται με επιφύλαξη.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστή ευθεία ŷ = 0,8 + 0,9x με επαλήθευση στο M(x̄, ȳ).
Κριτήριο: στο (ii) επίλυση ως προς x — αντίστροφη χρήση της ευθείας.
Θετικό: η παρατήρηση ότι χρειάζονται πρακτικά 11 εβδομάδες.
Θετικό: επιφύλαξη για προεκβολή έξω από το εύρος των δεδομένων.
Παγίδα: αντικατάσταση x = 10 αντί για λύση ως προς x.

Ομάδα Β΄, Άσκηση 1 — Ηλιακές κηλίδες και ατυχήματα (συσχέτιση ≠ αιτιότητα)

Ερώτηση: Ένας ερευνητής μελετά τον αριθμό των ηλιακών κηλίδων (x) και τον αριθμό ατυχημάτων (y) σε μια χώρα για πέντε συνεχή χρόνια. Σύμφωνα με τη θεωρία του, ο αριθμός των ηλιακών κηλίδων συνδέεται με κάποιον τρόπο με τον αριθμό των ατυχημάτων — x: 3, 1, 2, 5, 4 · y (σε χιλιάδες): 9, 5, 7, 14, 10. Ζητείται: i) Να κατασκευαστεί το διάγραμμα διασποράς. ii) Μπορεί να προσαρμοστεί ευθεία γραμμή; Αν ναι, να προσδιοριστεί η εξίσωσή της. iii) Να βρεθεί ο συντελεστής συσχέτισης. Τι παρατηρείτε; iv) Αν δεν παρατηρηθούν ηλιακές κηλίδες, πόσα ατυχήματα προβλέπετε ότι θα συμβούν;

Απάντηση:

i) Το διάγραμμα διασποράς. Στον οριζόντιο άξονα ο αριθμός ηλιακών κηλίδων (1-5), στον κατακόρυφο ο αριθμός ατυχημάτων σε χιλιάδες (5-14). Πέντε σημεία: (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 10), (5, 14) (ταξινομημένα κατά x για ευκολία).
ii) Μπορεί να προσαρμοστεί ευθεία; ΝΑΙ. Τα σημεία εμφανίζουν σαφή ανοδική, σχεδόν γραμμική τάση: καθώς αυξάνεται το x, αυξάνεται συστηματικά και το y, χωρίς καμία αναστροφή.
Ο πίνακας εργασίας ($ \nu = 5 $):
| $ x_i $ | $ y_i $ | $ x_i^2 $ | $ x_i y_i $ | $ y_i^2 $ |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 9 | 9 | 27 | 81 |
| 1 | 5 | 1 | 5 | 25 |
| 2 | 7 | 4 | 14 | 49 |
| 5 | 14 | 25 | 70 | 196 |
| 4 | 10 | 16 | 40 | 100 |
| Σ | 45 | 55 | 156 | 451 |
$$ \sum x = 15 \quad \sum y = 45 \quad \sum x^2 = 55 \quad \sum xy = 156 \quad \sum y^2 = 451 $$
$$ \bar{x} = 3 \qquad \bar{y} = 9 $$
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 5\cdot 156 - 15\cdot 45 = 780 - 675 = \mathbf{105} $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 5\cdot 55 - 225 = 275 - 225 = \mathbf{50} $$
$$ \nu\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2 = 5\cdot 451 - 45^2 = 2.255 - 2.025 = \mathbf{230} $$
$$ \hat{\beta} = \frac{105}{50} = \mathbf{2{,}1} \qquad \hat{\alpha} = 9 - 2{,}1\cdot 3 = 9 - 6{,}3 = \mathbf{2{,}7} $$
$$ \boxed{\hat{y} = 2{,}7 + 2{,}1\,x} $$
Επαλήθευση: $ \hat{y}(3) = 2{,}7 + 6{,}3 = 9 = \bar{y} $ ✓
iii) Ο συντελεστής συσχέτισης:
$$ r = \frac{105}{\sqrt{50 \cdot 230}} = \frac{105}{\sqrt{11.500}} \approx \frac{105}{107{,}24} \approx \mathbf{0{,}9791} $$
«Τι παρατηρείτε;» — ΕΔΩ ΕΙΝΑΙ ΟΛΗ Η ΑΣΚΗΣΗ.
Στατιστικά: $ r \approx 0{,}98 $, δηλαδή ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΗ ΘΕΤΙΚΗ συσχέτιση — σχεδόν τέλεια.
🎯 ΑΛΛΑ: ο συντελεστής συσχέτισης ΔΕΝ αποδεικνύει ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ. Οι ηλιακές κηλίδες δεν προκαλούν τροχαία ατυχήματα. Ο $ r $ μετρά γραμμική συμμεταβολή, δηλαδή ότι τα δύο μεγέθη μεταβάλλονται μαζί — τίποτε παραπάνω.
Οι τρεις πιθανές εξηγήσεις μιας τέτοιας «παράλογης» συσχέτισης:
① Σύμπτωση. Με μόλις 5 παρατηρήσεις, μια υψηλή συσχέτιση μπορεί να προκύψει τυχαία. Το δείγμα είναι πολύ μικρό για οποιοδήποτε ασφαλές συμπέρασμα.
② Κοινή τρίτη αιτία (συγχυτικός παράγοντας). Και οι δύο μεταβλητές μπορεί να εξαρτώνται από κάτι τρίτο — π.χ. και οι ηλιακές κηλίδες και η κυκλοφορία ακολουθούν κύκλους.
③ Κοινή χρονική τάση. Και τα δύο μεγέθη μετρώνται σε πέντε συνεχή χρόνια. Αν και τα δύο απλώς αυξάνονται με τον χρόνο (π.χ. τα ατυχήματα λόγω αύξησης του στόλου οχημάτων, οι κηλίδες λόγω του ηλιακού κύκλου), θα εμφανίσουν υψηλή συσχέτιση χωρίς καμία σχέση μεταξύ τους. Είναι η κλασική ψευδοσυσχέτιση χρονοσειρών — και εδώ η πιθανότερη εξήγηση.
Συμπέρασμα: η θεωρία του ερευνητή ΔΕΝ τεκμηριώνεται. Για αιτιώδη σχέση χρειάζεται θεωρητική εξήγηση του μηχανισμού και, ιδανικά, σχεδιασμός πειράματος — τον τρίτο τομέα της Στατιστικής που αναφέρθηκε στο κεφ. 1.
iv) Πρόβλεψη για x = 0:
$$ \hat{y}(0) = 2{,}7 + 2{,}1\cdot 0 = \hat{\alpha} = \mathbf{2{,}7} \ \text{χιλιάδες} = \mathbf{2.700} \ \text{ατυχήματα} $$
⚠️ Και εδώ επιφύλαξη. Το $ x = 0 $ βρίσκεται έξω από το εύρος των δεδομένων (1-5) — είναι προεκβολή. Σε συνδυασμό με το ότι η ίδια η συσχέτιση είναι πιθανότατα ψευδής, η «πρόβλεψη» των 2.700 ατυχημάτων έχει μηδενική πραγματική αξία. Είναι σωστός υπολογισμός πάνω σε λανθασμένο μοντέλο — και ακριβώς αυτό θέλει να διδάξει η άσκηση.

Σύνοψη: ν = 5, Σx = 15, Σy = 45, Σx² = 55, Σxy = 156, Σy² = 451. i) Διάγραμμα διασποράς με τα σημεία (1,5), (2,7), (3,9), (4,10), (5,14). ii) Ναι, τα σημεία έχουν σαφή γραμμική ανοδική τάση: β̂ = 105/50 = 2,1 και α̂ = 9 − 6,3 = 2,7, άρα ŷ = 2,7 + 2,1x. iii) r = 105/√(50·230) ≈ 0,9791 — πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση. ΟΜΩΣ ο r δεν αποδεικνύει αιτιότητα: οι ηλιακές κηλίδες δεν προκαλούν ατυχήματα. Πιθανές εξηγήσεις: σύμπτωση (μόλις 5 παρατηρήσεις), κοινή τρίτη αιτία ή — πιθανότερα — κοινή χρονική τάση (ψευδοσυσχέτιση χρονοσειρών). iv) x = 0 → ŷ = α̂ = 2,7 χιλιάδες = 2.700 ατυχήματα, με την επιφύλαξη ότι πρόκειται για προεκβολή πάνω σε αμφίβολο μοντέλο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα τέσσερα ερωτήματα.
Κριτήριο: σωστή ευθεία ŷ = 2,7 + 2,1x με επαλήθευση.
Κριτήριο: η κρίσιμη παρατήρηση συσχέτιση ≠ αιτιότητα — είναι το ζητούμενο του (iii).
Θετικό: τουλάχιστον δύο εναλλακτικές εξηγήσεις της υψηλής συσχέτισης.
Θετικό: επισήμανση του μικρού δείγματος (5 παρατηρήσεις).
Παγίδα: να συμπεράνει κανείς ότι «οι ηλιακές κηλίδες προκαλούν ατυχήματα».

Ομάδα Β΄, Άσκηση 2 — Λίπασμα και παραγωγή καλαμποκιού

Ερώτηση: Μελέτη της ποσότητας καλαμποκιού που παράγεται από συγκεκριμένη έκταση σε σχέση με την ποσότητα λιπάσματος — Λίπασμα x (κιλά): 0,3 · 0,6 · 0,9 · 1,2 · 1,5 · 1,8 · 2,1 · 2,4 · Καλαμπόκι y (κιλά): 10, 15, 30, 35, 25, 30, 50, 45. Ζητείται: i) Να παρασταθεί γραφικά η εξαρτημένη μεταβλητή ως συνάρτηση της ανεξάρτητης. ii) Να βρεθεί η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. iii) Να βρεθεί η ποσότητα καλαμποκιού αν δεν χρησιμοποιηθεί λίπασμα. iv) Αν είχαν χρησιμοποιηθεί 3 κιλά λίπασμα, ποια θα είναι η καλύτερη εκτίμηση της ποσότητας;

Απάντηση:

i) Το διάγραμμα διασποράς. Οριζόντιος άξονας: λίπασμα (ανεξάρτητη, 0,3-2,4 κιλά). Κατακόρυφος: καλαμπόκι (εξαρτημένη, 10-50 κιλά). Οκτώ σημεία με ανοδική αλλά όχι μονότονη τάση — πρόσεξε την πτώση από 35 σε 25 κιλά (στο $ x = 1{,}5 $) και ξανά από 50 σε 45 (στο $ x = 2{,}4 $).
Ο πίνακας εργασίας ($ \nu = 8 $):
| $ x_i $ | $ y_i $ | $ x_i^2 $ | $ x_i y_i $ | $ y_i^2 $ |
|---|---|---|---|---|
| 0,3 | 10 | 0,09 | 3,0 | 100 |
| 0,6 | 15 | 0,36 | 9,0 | 225 |
| 0,9 | 30 | 0,81 | 27,0 | 900 |
| 1,2 | 35 | 1,44 | 42,0 | 1.225 |
| 1,5 | 25 | 2,25 | 37,5 | 625 |
| 1,8 | 30 | 3,24 | 54,0 | 900 |
| 2,1 | 50 | 4,41 | 105,0 | 2.500 |
| 2,4 | 45 | 5,76 | 108,0 | 2.025 |
| Σ | 240 | 18,36 | 385,5 | 8.500 |
$$ \sum x = 10{,}8 \quad \sum y = 240 \quad \sum x^2 = 18{,}36 \quad \sum xy = 385{,}5 \quad \sum y^2 = 8.500 $$
$$ \bar{x} = 1{,}35 \qquad \bar{y} = 30 $$
ii) Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων.
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 8\cdot 385{,}5 - 10{,}8\cdot 240 = 3.084 - 2.592 = \mathbf{492} $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 8\cdot 18{,}36 - 10{,}8^2 = 146{,}88 - 116{,}64 = \mathbf{30{,}24} $$
$$ \hat{\beta} = \frac{492}{30{,}24} = \frac{1.025}{63} \approx \mathbf{16{,}2698} $$
$$ \hat{\alpha} = 30 - \frac{1.025}{63}\cdot 1{,}35 = 30 - \frac{1.383{,}75}{63} = \frac{225}{28} \approx \mathbf{8{,}0357} $$
$$ \boxed{\hat{y} \approx 8{,}036 + 16{,}270\,x} $$
Επαλήθευση: $ \hat{y}(1{,}35) \approx 8{,}036 + 21{,}964 = 30 = \bar{y} $ ✓
(Συμπληρωματικά: $ \nu\sum y^2 - (\sum y)^2 = 68.000 - 57.600 = 10.400 $, άρα $ r = \frac{492}{\sqrt{30{,}24\cdot 10.400}} \approx \mathbf{0{,}877} $ — πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση, αλλά σαφώς χαμηλότερη από τις προηγούμενες ασκήσεις, ακριβώς λόγω των δύο «πτώσεων».)
Ερμηνεία της β̂: κάθε επιπλέον κιλό λιπάσματος αποφέρει κατά μέσο όρο ≈ 16,27 κιλά επιπλέον καλαμπόκι.
iii) Χωρίς λίπασμα (x = 0):
$$ \hat{y}(0) = \hat{\alpha} \approx \mathbf{8{,}04} \ \text{κιλά καλαμπόκι} $$
Η ερμηνεία έχει εδώ πραγματικό γεωργικό νόημα: το έδαφος παράγει από μόνο του, χωρίς λίπανση, περίπου 8 κιλά. Το λίπασμα προσθέτει πάνω σε αυτή τη φυσική γονιμότητα.
iv) Με 3 κιλά λιπάσματος:
$$ \hat{y}(3) \approx 8{,}036 + 16{,}270\cdot 3 = 8{,}036 + 48{,}810 \approx \mathbf{56{,}85} \ \text{κιλά} $$
⚠️ Γιατί η εκφώνηση λέει «καλύτερη ΕΚΤΙΜΗΣΗ» και όχι «πρόβλεψη». Τα δεδομένα καλύπτουν 0,3 – 2,4 κιλά. Το $ x = 3 $ είναι προεκβολή — έξω από το εύρος.
Και υπάρχει ισχυρός γεωργικός λόγος επιφύλαξης. Η σχέση λιπάσματος-παραγωγής δεν είναι γραμμική σε όλο το εύρος: ισχύει ο νόμος της φθίνουσας απόδοσης και, πέρα από ένα σημείο, η υπερλίπανση βλάπτει την καλλιέργεια. Η γραμμική επέκταση θα προέβλεπε ότι με 10 κιλά λιπάσματος θα παίρναμε 171 κιλά καλαμπόκι — προφανώς παράλογο.
💡 Η ένδειξη είναι ήδη μέσα στα δεδομένα. Πρόσεξε ότι στο $ x = 2{,}4 $ η παραγωγή έπεσε (45 από 50) — ίσως η πρώτη ένδειξη ότι το σημείο κορεσμού πλησιάζει. Το ίδιο το διάγραμμα διασποράς του ερωτήματος (i) μάς προειδοποιεί.

Σύνοψη: ν = 8, Σx = 10,8, Σy = 240, Σx² = 18,36, Σxy = 385,5, Σy² = 8.500· x̄ = 1,35, ȳ = 30. ii) νΣxy − ΣxΣy = 492 και νΣx² − (Σx)² = 30,24, άρα β̂ = 1.025/63 ≈ 16,27 και α̂ = 225/28 ≈ 8,036: ŷ ≈ 8,036 + 16,270x (r ≈ 0,877). iii) x = 0 → ŷ = α̂ ≈ 8,04 κιλά — η φυσική παραγωγικότητα του εδάφους χωρίς λίπανση. iv) x = 3 → ŷ ≈ 56,85 κιλά, ως εκτίμηση με επιφύλαξη, αφού πρόκειται για προεκβολή έξω από το εύρος 0,3-2,4 και ισχύει ο νόμος της φθίνουσας απόδοσης.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα τέσσερα ερωτήματα.
Κριτήριο: σωστός χειρισμός των δεκαδικών στα Σx² και Σxy.
Κριτήριο: στο (iii) να αναγνωριστεί ότι ŷ(0) = α̂.
Θετικό: γεωργική ερμηνεία της α̂ (φυσική γονιμότητα εδάφους).
Θετικό: επιφύλαξη για προεκβολή και φθίνουσα απόδοση.
Παγίδα: (Σx)² = 116,64 να συγχυθεί με Σx² = 18,36.

Ομάδα Β΄, Άσκηση 3 — Έλεγχος δεξιοτήτων και απόδοση πωλητών

Ερώτηση: Μια εταιρεία θέλει να προβλέψει την απόδοση των πωλητών που εκπαιδεύει. Στην αρχή της διμηνιαίας εκπαίδευσης 10 υποψήφιοι πωλητές απάντησαν σε έλεγχο δεξιοτήτων· η εταιρεία κράτησε αρχεία των πωλήσεων κάθε υπαλλήλου — Επίδοση x: 18, 26, 28, 34, 36, 42, 48, 52, 54, 60 · Πωλήσεις y: 54, 64, 54, 62, 68, 70, 76, 66, 76, 74. Ζητείται: i) Να παρασταθούν γραφικά τα δεδομένα και να βρεθεί η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. ii) Ποιος ο αριθμός των πωλήσεων που περιμένετε από 3 πωλητές με αποτελέσματα 40, 50 και 70 αντίστοιχα;

Απάντηση:

i) Το διάγραμμα και η ευθεία.
Στο διάγραμμα διασποράς (x: επίδοση 18-60, y: πωλήσεις 54-76) το νέφος είναι ανοδικό αλλά αισθητά πιο διάχυτο από τις προηγούμενες ασκήσεις — πρόσεξε ότι ο πωλητής με επίδοση 52 έκανε μόλις 66 πωλήσεις, λιγότερες από τον πωλητή με επίδοση 36 (68 πωλήσεις).
Τα αθροίσματα ($ \nu = 10 $):
$$ \sum x = 398 \quad \sum y = 664 \quad \sum x^2 = 17.524 \quad \sum y^2 = 44.680 \quad \sum xy = 27.268 $$
$$ \bar{x} = 39{,}8 \qquad \bar{y} = 66{,}4 $$
Τα τρία δομικά μεγέθη:
$$ \nu\sum xy - \sum x\sum y = 10\cdot 27.268 - 398\cdot 664 = 272.680 - 264.272 = \mathbf{8.408} $$
$$ \nu\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2 = 10\cdot 17.524 - 398^2 = 175.240 - 158.404 = \mathbf{16.836} $$
$$ \nu\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2 = 10\cdot 44.680 - 664^2 = 446.800 - 440.896 = \mathbf{5.904} $$
$$ \hat{\beta} = \frac{8.408}{16.836} = \frac{2.102}{4.209} \approx \mathbf{0{,}4994} $$
$$ \hat{\alpha} = 66{,}4 - 0{,}4994\cdot 39{,}8 \approx 66{,}4 - 19{,}876 \approx \mathbf{46{,}524} $$
$$ \boxed{\hat{y} \approx 46{,}524 + 0{,}4994\,x} $$
Επαλήθευση: $ \hat{y}(39{,}8) \approx 46{,}524 + 19{,}876 = 66{,}4 = \bar{y} $ ✓
Ο συντελεστής συσχέτισης:
$$ r = \frac{8.408}{\sqrt{16.836 \cdot 5.904}} = \frac{8.408}{\sqrt{99.399.744}} \approx \frac{8.408}{9.970} \approx \mathbf{0{,}8433} $$
Χαρακτηρισμός: ΠΟΛΥ ΙΣΧΥΡΗ ΘΕΤΙΚΗ συσχέτιση — αλλά η χαμηλότερη από όλες τις ασκήσεις του κεφαλαίου, οριακά πάνω από το 0,8. Το βλέπουμε και στο διάγραμμα: το νέφος είναι πιο πλατύ.
Ερμηνεία της β̂: για κάθε 1 μονάδα καλύτερης επίδοσης στον έλεγχο δεξιοτήτων, οι πωλήσεις αυξάνονται κατά ≈ 0,5 μονάδες — δηλαδή δύο μονάδες επίδοσης ≈ μία επιπλέον πώληση.
ii) Οι τρεις προβλέψεις.
| Επίδοση $ x $ | Υπολογισμός | Αναμενόμενες πωλήσεις $ \hat{y} $ |
|---|---|---|
| 40 | $ 46{,}524 + 0{,}4994\cdot 40 $ | ≈ 66,5 |
| 50 | $ 46{,}524 + 0{,}4994\cdot 50 $ | ≈ 71,5 |
| 70 | $ 46{,}524 + 0{,}4994\cdot 70 $ | ≈ 81,5 |
⚠️ Οι δύο πρώτες προβλέψεις είναι ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ, η τρίτη ΠΡΟΕΚΒΟΛΗ. Τα $ x = 40 $ και $ x = 50 $ βρίσκονται μέσα στο εύρος των δεδομένων (18-60) — αξιόπιστες. Το $ x = 70 $ είναι έξω από αυτό, άρα η εκτίμηση των ≈ 81,5 πωλήσεων δίνεται με επιφύλαξη.
Η επιχειρησιακή αξιολόγηση — τι πρέπει να πει ο αναλυτής στη διοίκηση.
· Ο έλεγχος δεξιοτήτων έχει προγνωστική αξία: $ r \approx 0{,}84 $ είναι υψηλή συσχέτιση, άρα ο έλεγχος δεν είναι άχρηστος.
· Δεν είναι όμως τέλειος προγνωστικός δείκτης. Το νέφος έχει σημαντικό πλάτος: υπάρχει πωλητής με επίδοση 52 που πούλησε λιγότερο (66) από πωλητή με επίδοση 36 (68). Ατομικά η πρόβλεψη μπορεί να αστοχήσει αισθητά.
· Χρήσιμο συμπέρασμα για την πρόσληψη: ο έλεγχος αξίζει ως ένα από τα κριτήρια επιλογής, αλλά όχι ως το μοναδικό. Ένας υποψήφιος με χαμηλή επίδοση δεν πρέπει να απορρίπτεται αυτόματα.
💡 Παρατήρηση. Η $ \hat{\alpha} \approx 46{,}5 $ σημαίνει ότι ακόμη και με μηδενική επίδοση στον έλεγχο, οι αναμενόμενες πωλήσεις είναι ≈ 46,5 — αρκετά υψηλές. Δηλαδή η βάση της απόδοσης οφείλεται σε άλλους παράγοντες (εκπαίδευση, προϊόν, αγορά) και ο έλεγχος δεξιοτήτων εξηγεί μόνο ένα μέρος της διαφοροποίησης.

Σύνοψη: ν = 10, Σx = 398, Σy = 664, Σx² = 17.524, Σy² = 44.680, Σxy = 27.268. Δομικά μεγέθη: 8.408, 16.836, 5.904. i) β̂ = 8.408/16.836 ≈ 0,4994 και α̂ ≈ 46,524, άρα ŷ ≈ 46,524 + 0,4994x (επαλήθευση: ŷ(39,8) = 66,4 = ȳ ✓)· r ≈ 0,8433, πολύ ισχυρή θετική συσχέτιση αλλά η χαμηλότερη του κεφαλαίου. ii) x = 40 → ≈ 66,5 πωλήσεις· x = 50 → ≈ 71,5· x = 70 → ≈ 81,5 (προεκβολή, με επιφύλαξη). Ο έλεγχος δεξιοτήτων έχει προγνωστική αξία αλλά όχι απόλυτη: υπάρχει πωλητής με επίδοση 52 που πούλησε λιγότερο από πωλητή με επίδοση 36.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστή ευθεία με επαλήθευση στο M(x̄, ȳ).
Κριτήριο: και οι τρεις προβλέψεις.
Κριτήριο: διάκριση παρεμβολής (40, 50) από προεκβολή (70).
Θετικό: υπολογισμός και σχολιασμός του r, παρότι δεν ζητείται ρητά.
Θετικό: επιχειρησιακό συμπέρασμα για τη χρήση του ελέγχου στην πρόσληψη.

Φύλλο Αυτοελέγχου κεφ. 6 (14 ερωτήσεις)

Ερώτηση: ΦΥΛΛΟ ΑΥΤΟΕΛΕΓΧΟΥ (σελ. 201-204): 1) Η σχέση στη γραμμική παλινδρόμηση. 2) Τι δείχνει ο β̂. 3) Το πρόσημο του β̂. 4) Τι συμβολίζει το ŷ. 5) Ο τύπος της α̂. 6) Αν x = 0. 7) Παλινδρόμηση και συσχέτιση χρησιμοποιούνται για. 8) Τιμές του r. 9) Πρόσημα r και β̂. 10) α̂ = −2, β̂ = 1: τιμή του Υ όταν Χ = 0. 11) Το είδος της σχέσης (από διαγράμματα). 12) Ποιος συντελεστής αντιστοιχεί στην ισχυρότερη συσχέτιση. 13) α̂ = 2/3, β̂ = −3: πόσο μεταβάλλεται το y αν το x μεταβληθεί κατά 2 μονάδες. 14) Αν y = 2x − 10, ο συντελεστής συσχέτισης είναι.

Απάντηση:

ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
| # | Απάντηση | Αιτιολόγηση |
|---|---|---|
| 1 | Ι. Ευθείας γραμμής | ο ορισμός της γραμμικής παλινδρόμησης |
| 2 | ΙΙΙ. Τη μεταβολή της εξαρτημένης από μοναδιαία μεταβολή της ανεξάρτητης | §6.3 — όχι ποσοστιαία μεταβολή |
| 3 | ΙΙΙ. Είτε θετικό είτε αρνητικό | εξαρτάται από την κατεύθυνση της σχέσης |
| 4 | ΙΙ. Τις «θεωρητικές» τιμές που δίνει η εξίσωση παλινδρόμησης | το $ \hat{y} $ είναι πρόβλεψη· οι πραγματικές είναι $ y $ |
| 5 | $ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} $ | με μέσες τιμές — όχι με $ \hat{y} $ ή $ x $ |
| 6 | ΙΙ. $ \hat{y} = \hat{\alpha} $ | $ \hat{y} = \hat{\alpha} + \hat{\beta}\cdot 0 = \hat{\alpha} $ |
| 7 | ΙΙ. Μόνο διμεταβλητών πληθυσμών | (απλή παλινδρόμηση· η πολλαπλή αφορά περισσότερες)* |
| 8 | ΙΙΙ. Από −1 έως 1 | $ -1 \le r \le 1 $ |
| 9 | Ι. Πάντοτε το ίδιο πρόσημο | κοινός αριθμητής, θετικοί παρονομαστές |
| 10 | Γ. −2 | $ \hat{y} = -2 + 1\cdot 0 = \hat{\alpha} = -2 $ |
| 11 | (από τα διαγράμματα) | ανοδικό νέφος → θετική · καθοδικό → αρνητική · χωρίς τάση → δεν υπάρχει συσχέτιση |
| 12 | Α. 0,5 | το $ 4/2 = 2 $ είναι απαράδεκτο ($ |r| \le 1 $) |
| 13 | Ε. μειώνεται κατά 6 | $ \Delta y = \hat{\beta}\Delta x = -3\cdot 2 = -6 $ |
| 14 | Δ. θετικός | $ \hat{\beta} = 2 > 0 \Rightarrow r > 0 $ |
ΟΙ ΠΕΝΤΕ ΠΑΓΙΔΕΣ — τι ελέγχει καθεμία.
① Ερώτηση 2 — «μεταβολή» ή «ποσοστιαία μεταβολή»; Οι δύο πρώτες επιλογές μιλούν για ποσοστιαία μεταβολή (1 % και 10 %). Ο $ \hat{\beta} $ δείχνει απόλυτη μεταβολή ανά μοναδιαία μεταβολή της Χ. (Το ποσοστιαίο μέγεθος λέγεται ελαστικότητα και είναι άλλο πράγμα.)
② Ερώτηση 12 — η ωραιότερη παγίδα του φύλλου. Η επιλογή Β = 4/2 = 2 έχει το μεγαλύτερο απόλυτο μέγεθος, οπότε φαίνεται «ισχυρότερη». Είναι όμως ΑΠΑΡΑΔΕΚΤΗ: ο συντελεστής συσχέτισης ικανοποιεί $ -1 \le r \le 1 $, άρα δεν μπορεί να ισούται με 2. Την απορρίπτεις χωρίς κανέναν υπολογισμό. Από τις υπόλοιπες: $ |0{,}5| > |1/3| = 0{,}33 > |{-}99/1000| = 0{,}099 > |5/1000| = 0{,}005 $ → Α.
③ Ερώτηση 13 — μη ξεχάσεις το «κατά 2 μονάδες». $ \Delta y = \hat{\beta}\cdot\Delta x = (-3)\cdot 2 = -6 $. Η επιλογή Γ (μειώνεται κατά 3) είναι η παγίδα για όποιον απαντά με τη σκέτη $ \hat{\beta} $, ξεχνώντας τον πολλαπλασιασμό. Το $ \hat{\alpha} = 2/3 $ είναι εντελώς άσχετο — μπήκε για να αποσπάσει.
④ Ερώτηση 14 — ο r ΔΕΝ είναι ο β̂. Η επιλογή Α = 2 είναι ο συντελεστής $ \hat{\beta} $, όχι ο $ r $ — και είναι αδύνατη τιμή για συντελεστή συσχέτισης. Η Β = −10 είναι το $ \hat{\alpha} $. Το μόνο που μπορούμε να συμπεράνουμε από την εξίσωση είναι το πρόσημο: $ \hat{\beta} = 2 > 0 \Rightarrow r > 0 $ → Δ. θετικός. Την ακριβή τιμή του $ r $ δεν μπορούμε να τη βρούμε από την ευθεία και μόνο — χρειάζονται τα δεδομένα.
⑤ Ερώτηση 5 — τρεις σχεδόν ίδιες επιλογές. Ο σωστός τύπος χρησιμοποιεί μέσες τιμές: $ \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} $. Επιλογές με $ \hat{y} $ (θεωρητική τιμή) ή με σκέτο $ x $ αντί για $ \bar{x} $ είναι λάθος — προκύπτει από την πρώτη κανονική εξίσωση διαιρεμένη με $ \nu $.
🎯 Ερώτηση 11 — πώς διαβάζεται ένα διάγραμμα διασποράς. Νέφος που ανεβαίνει από αριστερά προς τα δεξιά → θετική. Νέφος που κατεβαίνει → αρνητική. Νέφος χωρίς κατεύθυνση (οριζόντιο ή κυκλικό) → δεν υπάρχει (γραμμική) συσχέτιση. Πρόσεξε: αν το νέφος σχηματίζει καμπύλη, υπάρχει σχέση αλλά όχι γραμμική — και ο $ r $ θα την έχανε.

Σύνοψη: (ενδεικτική) 1) Ι Ευθείας γραμμής · 2) ΙΙΙ Τη μεταβολή της εξαρτημένης από μοναδιαία μεταβολή της ανεξάρτητης · 3) ΙΙΙ Είτε θετικό είτε αρνητικό · 4) ΙΙ Τις θεωρητικές τιμές που δίνει η εξίσωση · 5) α̂ = ȳ − β̂x̄ · 6) ΙΙ ŷ = α̂ · 7) ΙΙ Μόνο διμεταβλητών πληθυσμών · 8) ΙΙΙ Από −1 έως 1 · 9) Ι Πάντοτε το ίδιο πρόσημο · 10) Γ −2 · 11) ανοδικό νέφος → θετική, καθοδικό → αρνητική, χωρίς τάση → δεν υπάρχει συσχέτιση · 12) Α 0,5 (το 4/2 = 2 είναι απαράδεκτο, αφού |r| ≤ 1) · 13) Ε μειώνεται κατά 6 (Δy = −3·2) · 14) Δ θετικός (β̂ = 2 > 0).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι 14 απαντήσεις.
Κριτήριο: στην 2 να μην επιλεγεί ποσοστιαία μεταβολή.
Κριτήριο: στην 12 να απορριφθεί το 4/2 = 2 λόγω του −1 ≤ r ≤ 1.
Κριτήριο: στην 13 να πολλαπλασιαστεί με τις 2 μονάδες (−6, όχι −3).
Κριτήριο: στην 14 να δοθεί μόνο το πρόσημο — ο r δεν ισούται με τον β̂.
Παγίδα: σύγχυση του ŷ (θεωρητική τιμή) με το y (πραγματική).

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο