Λύσεις — Κεφάλαιο 3: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 86) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 3: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 86) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 3: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 86)

Απαντήσεις στις 11 ερωτήσεις κατανόησης και πλήρεις λύσεις των 8 ασκήσεων, με όλους τους πίνακες συχνοτήτων υπολογισμένους.

Ερώτηση 1 — Οι μέθοδοι συλλογής στατιστικών στοιχείων

Ερώτηση: Οι σπουδαιότερες μέθοδοι συλλογής στατιστικών στοιχείων είναι: α) …… β) …… γ) …… Να αναφέρετε περιληπτικά τι γνωρίζετε για την κάθε μέθοδο.

Απάντηση:

α) Η απογραφή (census). Συγκεντρώνονται πληροφορίες για όλα τα άτομα του πληθυσμού και όχι μόνο για ένα δείγμα του. Ιδιαίτερη σημασία έχει η απογραφή του πληθυσμού μιας χώρας: αποτελεί την κύρια πηγή πληροφοριών για τα δημογραφικά, οικονομικά και κοινωνικά δεδομένα. Γίνεται με μεγάλη κρατική φροντίδα.
Συχνότητες στη χώρα μας: πληθυσμού κάθε 10 χρόνια (Ε.Σ.Υ.Ε.) · βιομηχανικών και εμπορικών επιχειρήσεων κάθε 5 χρόνια · γεωργίας, κτηνοτροφίας κ.λπ. χωρίς καθορισμένο χρόνο.
β) Η δειγματοληψία (sampling). Συγκεντρώνονται παρατηρήσεις μόνο για ένα μέρος του πληθυσμού — το δείγμα. Εφαρμόζεται όταν ο πληθυσμός έχει μεγάλο πλήθος στοιχείων ή όταν η απογραφή είναι πρακτικά αδύνατη.
Παράδειγμα: ο έλεγχος αντοχής ελαστικών — η εξέταση ενός ελαστικού συνεπάγεται την καταστροφή του, άρα δεν μπορούμε να τα εξετάσουμε όλα. Καθημερινό παράδειγμα: οι δημοσκοπήσεις (Gallup).
γ) Η συνεχής εγγραφή των ατόμων ενός πληθυσμού. Καταχωρούνται σε ειδικά βιβλία πληροφορίες για τα άτομα: ληξιαρχεία (γεννήσεων, θανάτων, γάμων), κρατικές υπηρεσίες (άδειες κυκλοφορίας αυτοκινήτων).
Η διαφορά που πρέπει να φανεί στην απάντηση. Η απογραφή και η δειγματοληψία διαφέρουν στην κάλυψη (όλος ο πληθυσμός ↔ μέρος του). Η συνεχής εγγραφή διαφέρει και από τις δύο στον χρόνο: δεν είναι μια στιγμιαία επιχείρηση καταγραφής, αλλά διαρκής ροή καταχώρησης γεγονότων καθώς συμβαίνουν.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Απογραφή: πληροφορίες για όλα τα άτομα του πληθυσμού (πληθυσμού κάθε 10 χρόνια, επιχειρήσεων κάθε 5). β) Δειγματοληψία: παρατηρήσεις μόνο για ένα δείγμα· εφαρμόζεται όταν ο πληθυσμός είναι πολύ μεγάλος ή η απογραφή πρακτικά αδύνατη (έλεγχος αντοχής ελαστικών, δημοσκοπήσεις). γ) Συνεχής εγγραφή: καταχώρηση πληροφοριών σε ειδικά βιβλία (ληξιαρχεία, άδειες κυκλοφορίας).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι τρεις μέθοδοι με περιγραφή, όχι μόνο ονόματα.
Κριτήριο: τουλάχιστον ένα παράδειγμα ανά μέθοδο.
Θετικό: οι συχνότητες απογραφής (10 / 5 έτη).
Παγίδα: να παραλειφθεί η συνεχής εγγραφή, που ξεχνιέται συχνότερα.

Ερώτηση 2 — Οι τρόποι παρουσίασης

Ερώτηση: Η παρουσίαση των στατιστικών στοιχείων μπορεί να γίνει με τους εξής τρόπους: α) …… β) …… γ) ……

Απάντηση:

α) Με συνοπτικές εκθέσεις ή αναφορές · β) Με στατιστικούς πίνακες · γ) Με διαγράμματα.
Η γενική απαίτηση. Τα δεδομένα πρέπει να παρουσιάζονται με τρόπο απλό, συνοπτικό και σαφή, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους από κάθε ενδιαφερόμενο.
Γιατί οι εκθέσεις είναι ο πιο αδύναμος τρόπος. Ενσωματώνουν τα στοιχεία στο κείμενο και δεν έχουν το πλεονέκτημα της συνοπτικής παρουσίασης. Ο αναγνώστης κουράζεται και χρειάζεται καλή μνήμη για να συγκρατήσει τα σημαντικά στοιχεία.
Ο πραγματικός τους ρόλος. Χρησιμεύουν ως ερμηνευτικά σημειώματα των αποτελεσμάτων μιας έρευνας — γι' αυτό χρησιμοποιούνται από κοινού με πίνακες και διαγράμματα, όχι αντί αυτών. Το βιβλίο αφιερώνει το υπόλοιπο κεφάλαιο στους πίνακες και τα διαγράμματα, «που είναι απαραίτητα στη Στατιστική».

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Με συνοπτικές εκθέσεις ή αναφορές β) Με στατιστικούς πίνακες γ) Με διαγράμματα. Η παρουσίαση πρέπει να είναι απλή, συνοπτική και σαφής. Οι εκθέσεις δεν προσφέρουν συνοπτική εικόνα και χρησιμεύουν ως ερμηνευτικά σημειώματα, μαζί με τους πίνακες και τα διαγράμματα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι τρεις τρόποι.
Θετικό: αναφορά στο μειονέκτημα των εκθέσεων και στον συμπληρωματικό τους ρόλο.

Ερώτηση 3 — Τι επιτυγχάνουμε με τους στατιστικούς πίνακες

Ερώτηση: Τι επιτυγχάνουμε με τη βοήθεια των στατιστικών πινάκων;

Απάντηση:

Ορισμός. Οι στατιστικοί πίνακες αποτελούν συστηματικές κατατάξεις αριθμητικών δεδομένων σε γραμμές και στήλες.
Τι επιτυγχάνουμε — τρία πράγματα:
① Τη συνοπτική παρουσίαση των δεδομένων.
② Τη διευκόλυνση σε τυχόν συγκρίσεις.
③ Την εύκολη και γρήγορη ενημέρωση κάθε ενδιαφερομένου.
Η διάκριση γενικών / ειδικών πινάκων. Οι γενικοί περιέχουν κάθε πληροφορία μιας μεγάλης έρευνας: είναι μεγάλου μεγέθους, με πολλά λεπτομερειακά στοιχεία, και αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών. Οι ειδικοί αντλούν τα στοιχεία τους από τους γενικούς: είναι μικρού μεγέθους, συνοπτικοί και απλού περιεχομένου.
Η λογική της σχέσης τους. Ο γενικός πίνακας είναι το αρχείο· ο ειδικός είναι η απάντηση σε ένα συγκεκριμένο ερώτημα. Γι' αυτό το βιβλίο συνεχίζει με τους ειδικούς πίνακες: αυτοί χρησιμοποιούνται στην πράξη.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Με τους στατιστικούς πίνακες — συστηματικές κατατάξεις αριθμητικών δεδομένων σε γραμμές και στήλες — επιτυγχάνουμε τη συνοπτική παρουσίαση των δεδομένων, ώστε αφενός να διευκολυνόμαστε σε τυχόν συγκρίσεις και αφετέρου να ενημερώνεται κάθε ενδιαφερόμενος εύκολα και γρήγορα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα τρία οφέλη (συνοπτικότητα, συγκρίσεις, γρήγορη ενημέρωση).
Θετικό: αναφορά στη διάκριση γενικών / ειδικών πινάκων.

Ερώτηση 4 — Τα στοιχεία ενός στατιστικού πίνακα

Ερώτηση: Τα κυριότερα στοιχεία που μπορούμε να διακρίνουμε σε έναν πίνακα είναι: α) …… β) …… γ) …… δ) …… ε) ……

Απάντηση:

α) Το κύριο σώμα (κορμός) — περιέχει, διαχωρισμένα μέσα σε γραμμές και στήλες, τα ίδια τα στατιστικά δεδομένα.
β) Ο τίτλος — γράφεται στο επάνω μέρος· πρέπει με σαφήνεια να δηλώνει το περιεχόμενο του πίνακα και να είναι περιληπτικός.
γ) Οι επικεφαλίδες των στηλών (και γραμμών) — δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τη μονάδα μέτρησης των δεδομένων.
δ) Η πηγή — γράφεται στο κάτω μέρος και δείχνει την προέλευση των στατιστικών δεδομένων.
ε) Οι υποσημειώσεις — γράφονται στο κάτω μέρος και ΠΡΙΝ από την πηγή, αν χρειάζονται επεξηγήσεις για τις επικεφαλίδες ή τις μονάδες μέτρησης.
Οι δύο λεπτομέρειες που ζητούνται συχνά στις εξετάσεις: (i) οι υποσημειώσεις προηγούνται της πηγής, (ii) οι επικεφαλίδες πρέπει να δίνουν και τη μονάδα μέτρησης — «σε χιλιάδες ευρώ», «σε cm». Χωρίς μονάδα ο πίνακας είναι ανερμήνευτος.
Γιατί η πηγή είναι υποχρεωτική. Επιτρέπει τον έλεγχο της αξιοπιστίας — και το κεφάλαιο ξεκίνησε ακριβώς με την προειδοποίηση ότι ανακριβή και αναξιόπιστα στοιχεία οδηγούν σε παραπλανητικά συμπεράσματα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Το κύριο σώμα (κορμός) με τα δεδομένα σε γραμμές και στήλες · β) Ο τίτλος, επάνω, σαφής και περιληπτικός · γ) Οι επικεφαλίδες στηλών και γραμμών, με τη φύση και τη μονάδα μέτρησης · δ) Η πηγή, στο κάτω μέρος · ε) Οι υποσημειώσεις, στο κάτω μέρος και πριν από την πηγή.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα πέντε στοιχεία.
Κριτήριο: σωστή θέση καθενός (τίτλος επάνω, πηγή κάτω, υποσημειώσεις πριν την πηγή).
Θετικό: αναφορά στη μονάδα μέτρησης στις επικεφαλίδες.

Ερώτηση 5 — Πίνακες απλής και διπλής εισόδου

Ερώτηση: Όταν μελετάμε τις μονάδες του πληθυσμού ως προς δύο χαρακτηριστικά συγχρόνως, χρησιμοποιούμε τους πίνακες …… εισόδου, ενώ όταν μελετάμε τις μονάδες του πληθυσμού ως προς ένα χαρακτηριστικό, χρησιμοποιούμε τους πίνακες …… εισόδου.

Απάντηση:

Δύο χαρακτηριστικά συγχρόνως → πίνακες ΔΙΠΛΗΣ εισόδου.
Ένα χαρακτηριστικό → πίνακες ΑΠΛΗΣ εισόδου.
Οι ακριβείς ορισμοί. Απλής εισόδου: όταν οι μονάδες ερευνώνται ως προς ένα ποιοτικό ή ποσοτικό χαρακτηριστικό τους. Διπλής εισόδου: όταν μελετώνται συγχρόνως ως προς δύο ποιοτικά ή ποσοτικά χαρακτηριστικά.
Ο μνημονικός κανόνας. Μέτρα πόσες μεταβλητές ταξινόμησης έχει ο πίνακας — όχι πόσες στήλες. Ένας πίνακας «Άνεργοι ανά κατηγορία κατά τα έτη 1996-1997» έχει δύο στήλες αριθμών, αλλά είναι απλής εισόδου: το έτος είναι απλώς δύο στιγμιότυπα του ίδιου πίνακα.
Παράδειγμα διπλής εισόδου από το βιβλίο (Πίν. 3.4): «Άνεργοι κατά ομάδες ηλικιών, φύλο και επίπεδο εκπαίδευσης» — οι γραμμές δίνουν το ένα χαρακτηριστικό και οι στήλες το άλλο, με τομή σε κάθε κελί.
Πού θα το χρειαστείς: στην άσκηση 8 του κεφαλαίου, όπου ζητείται ρητά πίνακας διπλής εισόδου για φύλο × οικογενειακή κατάσταση.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Δύο χαρακτηριστικά συγχρόνως → πίνακες ΔΙΠΛΗΣ εισόδου. Ένα χαρακτηριστικό → πίνακες ΑΠΛΗΣ εισόδου.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστή σειρά συμπλήρωσης — η εκφώνηση ξεκινά από τα δύο χαρακτηριστικά.
Παγίδα: να μετρηθούν οι στήλες αντί για τις μεταβλητές ταξινόμησης.

Ερώτηση 6 — Ο ορισμός της συχνότητας

Ερώτηση: Συχνότητα μιας τιμής xi της μεταβλητής Χ λέγεται ……………

Απάντηση:

Ορισμός (σελ. 52). Συχνότητα μιας τιμής $ x_i $ της μεταβλητής Χ λέγεται ο φυσικός αριθμός $ \nu_i $ που φανερώνει πόσες φορές παρουσιάζεται στο δείγμα (ή σ' ολόκληρο τον πληθυσμό, αν αναφερόμαστε σ' αυτόν) η τιμή αυτή.
Η βασική ιδιότητα:
$$ \nu_1 + \nu_2 + \nu3 + \dots + \nu\kappa = \nu $$
όπου $ \nu $ το πλήθος των παρατηρήσεων. Το άθροισμα των συχνοτήτων ισούται με το σύνολο των παρατηρήσεων.
Δύο λεπτομέρειες του ορισμού που μετρούν:
· «φυσικός αριθμός» — η συχνότητα είναι πάντα ακέραιη και μη αρνητική. Είναι απαρίθμηση. Αν σου βγει δεκαδική συχνότητα, έχεις κάνει λάθος.
· «στο δείγμα ή σ' ολόκληρο τον πληθυσμό» — ο ορισμός ισχύει και στις δύο περιπτώσεις.
Ο έλεγχος που πρέπει να κάνεις πάντα. Μόλις συμπληρώσεις έναν πίνακα συχνοτήτων, άθροισε τη στήλη $ \nu_i $: πρέπει να δώσει το γνωστό πλήθος παρατηρήσεων. Είναι ο μόνος τρόπος να πιάσεις παράλειψη ή διπλομέτρηση στη διαλογή.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Συχνότητα μιας τιμής xi της μεταβλητής Χ λέγεται ο φυσικός αριθμός νi που φανερώνει πόσες φορές παρουσιάζεται η τιμή αυτή στο δείγμα (ή σε ολόκληρο τον πληθυσμό). Ισχύει ν₁+ν₂+…+νκ = ν, όπου ν το πλήθος των παρατηρήσεων.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ο χαρακτηρισμός «φυσικός αριθμός».
Κριτήριο: η ιδιότητα Σνᵢ = ν.
Παγίδα: να οριστεί η συχνότητα ως ποσοστό — αυτή είναι η σχετική συχνότητα.

Ερώτηση 7 — Αθροιστική και σχετική αθροιστική συχνότητα

Ερώτηση: Αθροιστική συχνότητα Νi μιας τιμής xi λέγεται …………… και σχετική αθροιστική συχνότητα Fi μιας τιμής xi λέγεται ……………

Απάντηση:

Αθροιστική συχνότητα $ N_i $ μιας τιμής $ x_i $ λέγεται το άθροισμα των συχνοτήτων των τιμών της μεταβλητής που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή.
$$ N_i = \nu_1 + \nu_2 + \nu_3 + \dots + \nu_i, \quad i = 1, 2, \dots, \kappa $$
Σχετική αθροιστική συχνότητα $ F_i $ (ή επί τοις εκατό $ F_i\% $) της τιμής $ x_i $ λέγεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων $ f_i $ (ή $ f_i\% $) των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες προς αυτή.
$$ F_i = f_1 + f_2 + f_3 + \dots + f_i \qquad F_i\% = 100 \cdot F_i $$
Η φράση-κλειδί είναι «μικρότερες Ή ΙΣΕΣ». Η τιμή $ x_i $ περιλαμβάνεται στο άθροισμα. Γι' αυτό το $ N_i $ απαντά στην ερώτηση «το πολύ $ x_i $» και όχι «λιγότερο από $ x_i $».
Παράδειγμα του βιβλίου. Σε 30 επιχειρήσεις με 1-7 υπαλλήλους λογιστηρίου: πόσες απασχολούν το πολύ 4; $ 1+3+4+8 = 16 $ επιχειρήσεις, δηλαδή $ N_4 = 16 $. Τι ποσοστό; $ \frac{16}{30} = 0{,}533 = 53{,}3\% $ — που είναι και το άθροισμα $ 3{,}3 + 10 + 13{,}3 + 26{,}7 = 53{,}3\% $, δηλαδή $ F_4\% $.
Δύο έλεγχοι που πρέπει να κάνεις πάντα: η τελευταία αθροιστική συχνότητα πρέπει να δίνει $ N_\kappa = \nu $ και η τελευταία σχετική αθροιστική $ F_\kappa\% = 100\% $. Επίσης, οι στήλες $ N_i $ και $ F_i $ είναι πάντα αύξουσες — αν κάπου μειωθούν, υπάρχει λάθος.
Γιατί θα τις χρειαστείς. Στο κεφ. 4 η διάμεσος και τα τεταρτημόρια εντοπίζονται αποκλειστικά από τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Αθροιστική συχνότητα Νi είναι το άθροισμα των συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή: Νi = ν₁+ν₂+…+νi. Σχετική αθροιστική συχνότητα Fi είναι το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες προς αυτή: Fi = f₁+f₂+…+fi, και Fi% = 100·Fi.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η φράση «μικρότερες ή ίσες» — και στους δύο ορισμούς.
Κριτήριο: οι τύποι, όχι μόνο η περιγραφή.
Θετικό: οι έλεγχοι Νκ = ν και Fκ% = 100%.
Παγίδα: να οριστεί με «αυστηρά μικρότερες».

Ερώτηση 8 — Σωστό/Λάθος και η επί τοις εκατό σχετική αθροιστική συχνότητα

Ερώτηση: Η σχετική αθροιστική συχνότητα ισούται: Fi = f1 + f2 + … + fi, για i = 1, 2, …, κ. (Σ/Λ) — και η επί τοις εκατό σχετική αθροιστική συχνότητα Fi% = ……………

Απάντηση:

ΣΩΣΤΟ (Σ). Ο τύπος $ F_i = f_1 + f_2 + \dots + f_i $ είναι ακριβώς ο ορισμός του βιβλίου (σελ. 54).
Το συμπλήρωμα:
$$ F_i\% = 100 \cdot F_i = f_1\% + f_2\% + \dots + f_i\% $$
Και οι δύο εκφράσεις είναι σωστές και δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα: είτε αθροίζεις τις επί τοις εκατό σχετικές συχνότητες, είτε πολλαπλασιάζεις το δεκαδικό $ F_i $ επί 100.
Γιατί το βιβλίο βάζει εδώ Σ/Λ. Επειδή υπάρχει παρόμοιος αλλά λάθος τύπος που πολλοί γράφουν: $ F_i = \frac{N_i}{\nu} $… που όμως είναι κι αυτός σωστός! Πράγματι:
$$ F_i = f_1 + \dots + f_i = \frac{\nu_1}{\nu} + \dots + \frac{\nu_i}{\nu} = \frac{\nu_1 + \dots + \nu_i}{\nu} = \frac{N_i}{\nu} $$
Άρα υπάρχουν δύο ισοδύναμοι δρόμοι — και είναι χρήσιμο να τους ξέρεις και τους δύο: ο πρώτος (άθροιση των $ f_i $) όταν έχεις ήδη τη στήλη των σχετικών συχνοτήτων· ο δεύτερος ($ N_i / \nu $) όταν έχεις τη στήλη των αθροιστικών. Ο δεύτερος είναι και ασφαλέστερος, γιατί δεν συσσωρεύει σφάλματα στρογγυλοποίησης.

Σύνοψη: (ενδεικτική) ΣΩΣΤΟ. Ισχύει Fi = f₁+f₂+…+fi. Και Fi% = 100·Fi = f₁%+f₂%+…+fi%. Ισοδύναμα, Fi = Νi/ν.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: απάντηση Σ.
Κριτήριο: σωστή συμπλήρωση του Fi% = 100·Fi.
Θετικό: η ισοδύναμη μορφή Fi = Nᵢ/ν με απόδειξη.
Παγίδα: στρογγυλοποιήσεις στα fi% που κάνουν το άθροισμα να μη βγαίνει ακριβώς 100%.

Ερώτηση 9 — Ομαδοποίηση και εύρος του δείγματος

Ερώτηση: α) Πώς καταφεύγουμε σε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; β) Εύρος του δείγματος ονομάζεται ……………

Απάντηση:

α) Πότε ομαδοποιούμε. Όταν η μεταβλητή είναι συνεχής — δηλαδή μπορεί να πάρει κάθε τιμή μεταξύ δύο αριθμών α και β — ή όταν το πλήθος των τιμών που παίρνει η μεταβλητή είναι πολύ μεγάλο. Τότε η παρουσίαση με πίνακες και διαγράμματα των μεμονωμένων τιμών είναι πρακτικά δύσκολη.
💡 Το βιβλίο σημειώνει ρητά σε υποσημείωση: το ίδιο συμβαίνει όταν η μεταβλητή είναι ΔΙΑΚΡΙΤΗ και το πλήθος πολύ μεγάλο. Άρα η ομαδοποίηση δεν είναι αποκλειστικότητα των συνεχών μεταβλητών.
Πώς ομαδοποιούμε. Χωρίζουμε το διάστημα μεταβολής $ (\alpha_0, \alpha_\kappa) $ της μεταβλητής σε υποδιαστήματα της μορφής $ [\alpha_{i-1}, \alpha_i) $, που ονομάζονται κλάσεις ή τάξεις.
β) Εύρος (range). Η διαφορά της μικρότερης τιμής $ m $ από τη μεγαλύτερη $ M $:
$$ R = M - m $$
Παράδειγμα του βιβλίου: αναστήματα 50 μαθητών με $ m = 155 $, $ M = 189 $ → $ R = 189 - 155 = 34 $ cm. Επειδή το εύρος είναι σχετικά μικρό, χωρίζουμε το $ [155, 190) $ σε 7 κλάσεις πλάτους $ c = 5 $ cm.
Πόσες κλάσεις; Υπάρχουν εμπειρικοί τύποι, γενικά όμως πρέπει να επιτυγχάνεται η ομοιογένεια των δεδομένων και η απλότητα της παρουσίασης. Στις πρακτικές εφαρμογές ο αριθμός κυμαίνεται κατά μέσο όρο στις 8 με 10. Συνήθως οι κλάσεις έχουν ίσο πλάτος — υπάρχουν όμως και περιπτώσεις άνισου πλάτους (κατανομές δαπανών, ημερών ανεργίας).
Η πρακτική διαδικασία: βρες $ R = M - m $ → διαίρεσε με το επιθυμητό πλήθος κλάσεων → στρογγυλοποίησε προς τα πάνω σε βολικό αριθμό, ώστε οι κλάσεις να καλύπτουν όλο το εύρος.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Καταφεύγουμε σε ομαδοποίηση όταν η μεταβλητή είναι συνεχής ή όταν το πλήθος των τιμών της (ακόμη και διακριτής) είναι πολύ μεγάλο, οπότε η παρουσίαση των μεμονωμένων τιμών είναι πρακτικά δύσκολη· χωρίζουμε το διάστημα μεταβολής σε κλάσεις [αi-1, αi). β) Εύρος του δείγματος R ονομάζεται η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση: R = M − m. Ο αριθμός των κλάσεων κυμαίνεται συνήθως στις 8 με 10, ίσου πλάτους.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι δύο περιπτώσεις ομαδοποίησης (συνεχής και μεγάλο πλήθος τιμών).
Κριτήριο: ο τύπος R = M − m.
Θετικό: το εύρος 8-10 κλάσεων και η προτίμηση σε ίσο πλάτος.
Παγίδα: να θεωρηθεί ότι η ομαδοποίηση αφορά μόνο συνεχείς μεταβλητές.

Ερώτηση 10 — Τι διακρίνουμε σε έναν στατιστικό πίνακα (κατανομής συχνοτήτων)

Ερώτηση: Σε ένα στατιστικό πίνακα μπορούμε να διακρίνουμε: α) …… β) …… γ) …… δ) ……

Απάντηση:

Η ερώτηση αφορά τις στήλες ενός πίνακα κατανομής συχνοτήτων — τα τέσσερα μεγέθη που ορίστηκαν στην ενότητα 3.3.2:
α) Τη συχνότητα $ \nu_i $ — πόσες φορές εμφανίζεται κάθε τιμή.
β) Τη σχετική συχνότητα $ f_i = \dfrac{\nu_i}{\nu} $ (και $ f_i\% $) — το ποσοστό.
γ) Την αθροιστική συχνότητα $ N_i = \nu_1 + \dots + \nu_i $ — «το πολύ $ x_i $».
δ) Τη σχετική αθροιστική συχνότητα $ F_i = f_1 + \dots + f_i $ (και $ F_i\% $) — «τι ποσοστό έχει το πολύ $ x_i $».
(Πρώτη στήλη είναι πάντα οι τιμές $ x_i $ της μεταβλητής — ή οι κλάσεις και οι κεντρικές τιμές $ x_i' $, αν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα.)
Πρότυπος πλήρης πίνακας:
| $ x_i $ | $ \nu_i $ | $ f_i $ | $ f_i\% $ | $ N_i $ | $ F_i\% $ |
|---|---|---|---|---|---|
| … | … | … | … | … | … |
| Σύνολο | ν | 1 | 100 % | — | — |
Οι τρεις έλεγχοι ορθότητας: $ \Sigma\nu_i = \nu $ · $ \Sigma f_i = 1 $ (ή $ \Sigma f_i\% = 100\% $) · $ N_\kappa = \nu $ και $ F_\kappa\% = 100\% $.
⚠️ Οι στήλες $ N_i $ και $ F_i $ δεν αθροίζονται στο κάτω μέρος του πίνακα — δεν έχει νόημα. Στη γραμμή «Σύνολο» τους μπαίνει παύλα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Η συχνότητα νi · β) Η σχετική συχνότητα fi (και fi%) · γ) Η αθροιστική συχνότητα Νi · δ) Η σχετική αθροιστική συχνότητα Fi (και Fi%). Πρώτη στήλη είναι οι τιμές xi (ή οι κλάσεις με τις κεντρικές τιμές xi′). Έλεγχοι: Σνi = ν, Σfi% = 100%, Νκ = ν, Fκ% = 100%.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα τέσσερα μεγέθη με τα σύμβολά τους.
Θετικό: αναφορά στους ελέγχους ορθότητας.
Παγίδα: να αθροιστούν οι στήλες Νᵢ ή Fᵢ στο σύνολο.

Ερώτηση 11 — Τα κυριότερα είδη διαγραμμάτων

Ερώτηση: Να αναφέρετε μερικά από τα κυριότερα είδη διαγραμμάτων: α) …… β) …… γ) …… δ) ……

Απάντηση:

Ορισμός. Τα στατιστικά διαγράμματα (diagrams) ή γραφικές απεικονίσεις αποτελούν τρόπο παρουσίασης των δεδομένων με τη χρησιμοποίηση γεωμετρικών σχημάτων ή άλλων συμβόλων. Μας δίνουν γρήγορη και σαφή εικόνα· η πληροφορία από το σχήμα της κατανομής είναι σημαντική για την κατανόηση του χαρακτηριστικού.
Τα κυριότερα είδη του βιβλίου:
α) Ραβδόγραμμα (barchart) — ορθογώνια ίσου πλάτους με κενά μεταξύ τους, που λέγονται ράβδοι. Υπάρχει και ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.
β) Κυκλικό διάγραμμα — για ποιοτικές κυρίως μεταβλητές· οι σχετικές συχνότητες παριστάνονται με κυκλικούς τομείς, όπου ο κύκλος (360°) αντιστοιχεί στο 100 %.
γ) Ιστόγραμμα συχνοτήτων — για ομαδοποιημένα δεδομένα· ορθογώνια χωρίς κενά, με βάση το πλάτος της κλάσης.
δ) Πολύγωνο συχνοτήτων — η τεθλασμένη γραμμή που προκύπτει ενώνοντας τα σημεία $ (x_i, \nu_i) $ ή $ (x_i, f_i) $, ή τα μέσα των άνω πλευρών των ορθογωνίων του ιστογράμματος.
(Το βιβλίο παρουσιάζει ακόμη: διάγραμμα συχνοτήτων (τα σημεία $ (x_i, \nu_i) $) · διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων · συγκριτικά διαγράμματα με κυλίνδρους ή κώνους · χρονολογικά διαγράμματα ή χρονοδιαγράμματα (time charts).*)
⚠️ Το λάθος που πρέπει να αποφύγεις: ραβδόγραμμα ΜΕ κενά, ιστόγραμμα ΧΩΡΙΣ. Τα κενά δεν είναι αισθητική επιλογή: δηλώνουν ότι οι κατηγορίες είναι χωριστές, ενώ οι κλάσεις είναι συνεχόμενες (το ανώτερο όριο της μιας είναι το κατώτερο της επόμενης).

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Ραβδόγραμμα (ορθογώνια ίσου πλάτους με κενά) · β) Κυκλικό διάγραμμα (κυκλικοί τομείς, 360° = 100%) · γ) Ιστόγραμμα συχνοτήτων (ορθογώνια χωρίς κενά, για ομαδοποιημένα δεδομένα) · δ) Πολύγωνο συχνοτήτων (ένωση των σημείων (xi, νi)). Επίσης: διάγραμμα συχνοτήτων, διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων, συγκριτικά διαγράμματα και χρονολογικά διαγράμματα (χρονοδιαγράμματα).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: τουλάχιστον τέσσερα είδη με σωστή ονομασία.
Θετικό: αναφορά στο σε ποια δεδομένα ταιριάζει το καθένα.
Παγίδα: σύγχυση ραβδογράμματος και ιστογράμματος.

Άσκηση 1 — Ποσοστιαία σύνθεση προσωπικού (40 άτομα)

Ερώτηση: Δίνεται η ποσοστιαία σύνθεση (%) του προσωπικού μιας επιχείρησης ως προς το μορφωτικό του επίπεδο: Πτυχιούχοι Τριτ/θμιας Εκπαίδευσης 25, Απόφοιτοι Λυκείου 50, Απόφοιτοι Γυμνασίου 25. i) Αν ο αριθμός των υπαλλήλων είναι 40 άτομα, κατασκευάστε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. ii) Να απεικονίσετε τα δεδομένα με ραβδόγραμμα και με κυκλικό διάγραμμα.

Απάντηση:

i) Από τα ποσοστά στις συχνότητες. Μας δίνονται οι $ f_i\% $ και ζητούνται οι $ \nu_i $ — η αντίστροφη διαδρομή από τη συνηθισμένη. Λύνουμε τον τύπο $ f_i\% = \dfrac{\nu_i}{\nu}\cdot 100 $ ως προς $ \nu_i $:
$$ \nu_i = \frac{f_i\% \cdot \nu}{100} $$
$$ \nu_1 = \frac{25 \cdot 40}{100} = \mathbf{10} \qquad \nu_2 = \frac{50 \cdot 40}{100} = \mathbf{20} \qquad \nu_3 = \frac{25 \cdot 40}{100} = \mathbf{10} $$
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
| Επίπεδο μόρφωσης | $ \nu_i $ | $ f_i $ | $ f_i\% $ | Γωνία $ \theta_i $ |
|---|---|---|---|---|
| Πτυχιούχοι Τριτοβάθμιας | 10 | 0,25 | 25 % | 90° |
| Απόφοιτοι Λυκείου | 20 | 0,50 | 50 % | 180° |
| Απόφοιτοι Γυμνασίου | 10 | 0,25 | 25 % | 90° |
| Σύνολο | 40 | 1,00 | 100 % | 360° |
Έλεγχος: $ 10 + 20 + 10 = 40 $ ✓ · $ 0{,}25 + 0{,}50 + 0{,}25 = 1 $ ✓
ii-α) Ραβδόγραμμα. Στον οριζόντιο άξονα οι τρεις κατηγορίες (ποιοτική μεταβλητή), στον κατακόρυφο η συχνότητα. Τρεις ράβδοι ίσου πλάτους με ύψη 10, 20, 10 — και ΜΕ ΚΕΝΑ μεταξύ τους, γιατί οι κατηγορίες είναι χωριστές. (Δεν είναι ιστόγραμμα: δεν υπάρχουν κλάσεις.)
ii-β) Κυκλικό διάγραμμα. Οι επίκεντρες γωνίες υπολογίζονται από $ \theta_i = f_i \cdot 360° $:
$$ \theta_1 = 0{,}25 \cdot 360° = 90° \qquad \theta_2 = 0{,}50 \cdot 360° = 180° \qquad \theta_3 = 0{,}25 \cdot 360° = 90° $$
Έλεγχος: $ 90° + 180° + 90° = 360° $ ✓
Το διάγραμμα βγαίνει εξαιρετικά εύκολο στη σχεδίαση: ο ένας τομέας είναι ημικύκλιο (Λύκειο) και οι άλλοι δύο τεταρτοκύκλια. Οπτικά φαίνεται αμέσως ότι οι μισοί υπάλληλοι είναι απόφοιτοι Λυκείου.
Η παρατήρηση που αξίζει. Το ραβδόγραμμα δείχνει καλύτερα τα απόλυτα μεγέθη (πόσα άτομα), το κυκλικό τη σύνθεση (τι ποσοστό του συνόλου). Για ποιοτική μεταβλητή με λίγες κατηγορίες, το κυκλικό είναι συνήθως πιο εύγλωττο.

Σύνοψη: i) νi = 10 (Τριτοβάθμια), 20 (Λύκειο), 10 (Γυμνάσιο)· Σ = 40. fi = 0,25 / 0,50 / 0,25 (25% / 50% / 25%). ii) Ραβδόγραμμα με τρεις ράβδους ύψους 10, 20, 10 και κενά μεταξύ τους. Κυκλικό διάγραμμα με γωνίες 90°, 180°, 90° (άθροισμα 360°).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστή αντίστροφη χρήση του τύπου (από fi% στα νi).
Κριτήριο: έλεγχος Σνi = 40 και Σfi = 1.
Κριτήριο: γωνίες με άθροισμα 360°.
Κριτήριο: το ραβδόγραμμα με κενά — όχι ιστόγραμμα.
Παγίδα: να σχεδιαστεί ιστόγραμμα σε ποιοτική μεταβλητή.

Άσκηση 2 — Πίνακας συχνοτήτων για 32 βαθμούς

Ερώτηση: Οι βαθμοί των 32 μαθητών της Α΄ τάξης των Τ.Ε.Ε. στην Ιστορία είναι: 15, 9, 18, 20, 12, 18, 12, 11, 10, 14, 16, 10, 18, 20, 19, 16, 14, 15, 13, 15, 8, 17, 19, 11, 13, 15, 14, 11, 15, 16, 12, 17. i) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. ii) Να κατασκευάσετε πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. iii) Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μικρότερο ή ίσο του 14 και πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μεγαλύτερο του 15;

Απάντηση:

Βήμα 1 — διάταξη. Τοποθετούμε τους 32 βαθμούς σε αύξουσα σειρά: 8, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20.
Βήμα 2 — διαλογή και πλήρης πίνακας. Η μεταβλητή «βαθμός» είναι ποσοτική διακριτή και παίρνει 13 διαφορετικές τιμές — άρα δεν χρειάζεται ομαδοποίηση.
| $ x_i $ | $ \nu_i $ | $ f_i $ | $ f_i\% $ | $ N_i $ | $ F_i\% $ |
|---|---|---|---|---|---|
| 8 | 1 | 0,0313 | 3,13 % | 1 | 3,13 % |
| 9 | 1 | 0,0313 | 3,13 % | 2 | 6,25 % |
| 10 | 2 | 0,0625 | 6,25 % | 4 | 12,50 % |
| 11 | 3 | 0,0938 | 9,38 % | 7 | 21,88 % |
| 12 | 3 | 0,0938 | 9,38 % | 10 | 31,25 % |
| 13 | 2 | 0,0625 | 6,25 % | 12 | 37,50 % |
| 14 | 3 | 0,0938 | 9,38 % | 15 | 46,88 % |
| 15 | 5 | 0,1563 | 15,63 % | 20 | 62,50 % |
| 16 | 3 | 0,0938 | 9,38 % | 23 | 71,88 % |
| 17 | 2 | 0,0625 | 6,25 % | 25 | 78,13 % |
| 18 | 3 | 0,0938 | 9,38 % | 28 | 87,50 % |
| 19 | 2 | 0,0625 | 6,25 % | 30 | 93,75 % |
| 20 | 2 | 0,0625 | 6,25 % | 32 | 100 % |
| Σύνολο | 32 | 1,0000 | 100 % | — | — |
Έλεγχοι: $ \Sigma\nu_i = 32 $ ✓ · $ N_{13} = 32 = \nu $ ✓ · $ F\% = 100 $ ✓
iii-α) Βαθμός μικρότερος ή ίσος του 14. Αυτό είναι ακριβώς η αθροιστική συχνότητα της τιμής 14:
$$ N_{14} = 1+1+2+3+3+2+3 = \mathbf{15}\ \text{μαθητές} \qquad (F\% = 46{,}88\ \%) $$
iii-β) Βαθμός μεγαλύτερος του 15. Προσοχή στο «μεγαλύτερος» (αυστηρά) — δεν περιλαμβάνεται το 15. Χρησιμοποιούμε το συμπλήρωμα:
$$ \nu - N_{15} = 32 - 20 = \mathbf{12}\ \text{μαθητές} \qquad (37{,}50\ \%) $$
Επαλήθευση με απευθείας άθροιση: $ 3+2+3+2+2 = 12 $ ✓ (βαθμοί 16, 17, 18, 19, 20).
Η μεθοδολογική ουσία της άσκησης. Η στήλη $ N_i $ απαντά αμέσως σε κάθε ερώτηση «το πολύ x». Για ερώτηση «περισσότερο από x» παίρνεις το συμπλήρωμα $ \nu - N_x $. Το λάθος που γίνεται συχνά είναι το $ \nu - N_{14} = 17 $, που απαντά σε άλλη ερώτηση («μεγαλύτερος του 14»).

Σύνοψη: i) ΚΑΙ ii) Πίνακας: xi = 8…20 με νi = 1, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 5, 3, 2, 3, 2, 2 (Σ = 32) και Νi = 1, 2, 4, 7, 10, 12, 15, 20, 23, 25, 28, 30, 32. iii) Βαθμό ≤ 14 έχουν Ν₁₄ = 15 μαθητές (46,88 %)· βαθμό > 15 έχουν ν − Ν₁₅ = 32 − 20 = 12 μαθητές (37,50 %).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι τέσσερις στήλες (νi, fi, Νi, Fi).
Κριτήριο: Σνi = 32 και Νκ = 32.
Κριτήριο: το «≤ 14» να λυθεί απευθείας από το Ν₁₄.
Κριτήριο: το «> 15» ως συμπλήρωμα ν − Ν₁₅ = 12 — όχι ν − Ν₁₄.
Παγίδα: σύγχυση «μεγαλύτερος του 15» με «μεγαλύτερος ή ίσος του 15».

Άσκηση 3 — Διαγράμματα και ποσοστά για τους 32 βαθμούς

Ερώτηση: Για τα δεδομένα της άσκησης 2 να κατασκευάσετε το διάγραμμα συχνοτήτων, το πολύγωνο συχνοτήτων, καθώς και το διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Από το διάγραμμα ή με κατάλληλους υπολογισμούς να υπολογίσετε: i) Το ποσοστό των μαθητών που απέτυχαν (βαθμός < 10). ii) Το ποσοστό των μαθητών που οι βαθμοί τους κυμαίνονται από 13 ως και 16. iii) Το ποσοστό των μαθητών που αρίστευσαν (βαθμός μεγαλύτερος του 18). Τι παρατηρείτε για τη βαθμολογία της συγκεκριμένης τάξης;

Απάντηση:

Τα διαγράμματα. Η μεταβλητή είναι διακριτή, άρα:
· Διάγραμμα συχνοτήτων: τα σημεία $ (x_i, \nu_i) $ — (8,1), (9,1), (10,2), (11,3), (12,3), (13,2), (14,3), (15,5), (16,3), (17,2), (18,3), (19,2), (20,2).
· Πολύγωνο συχνοτήτων: ενώνουμε διαδοχικά τα παραπάνω σημεία με ευθύγραμμα τμήματα.
· Διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων: τα σημεία $ (x_i, N_i) $ — αύξουσα γραμμή που ξεκινά από (8,1) και τερματίζει στο (20,32). Ο δεύτερος κατακόρυφος άξονας δίνει τα $ F_i\% $ από 3,13 % ως 100 %.
i) Απέτυχαν (βαθμός < 10). Αυστηρά μικρότερος του 10 → μόνο οι βαθμοί 8 και 9:
$$ \frac{1+1}{32} = \frac{2}{32} = 0{,}0625 = \mathbf{6{,}25\ \%} $$
(Ισοδύναμα: $ F_9\% = 6{,}25\ \% $ απευθείας από τη στήλη.)
ii) Από 13 ως και 16 (και τα δύο άκρα περιλαμβάνονται). Δύο δρόμοι:
· Απευθείας: $ \nu_{13}+\nu_{14}+\nu_{15}+\nu_{16} = 2+3+5+3 = 13 $ μαθητές.
· Με αθροιστικές: $ N_{16} - N_{12} = 23 - 10 = 13 $ ✓
$$ \frac{13}{32} = 0{,}40625 = \mathbf{40{,}63\ \%} \quad (\approx 40{,}6\ \%) $$
iii) Αρίστευσαν (βαθμός > 18) — αυστηρά μεγαλύτερος, άρα 19 και 20:
$$ \frac{2+2}{32} = \frac{4}{32} = 0{,}125 = \mathbf{12{,}5\ \%} $$
(Ισοδύναμα: $ \nu - N_{18} = 32 - 28 = 4 $.)
Τι παρατηρούμε για τη βαθμολογία της τάξης.
· Οι αποτυχόντες είναι μόλις 6,25 % — δηλαδή 93,75 % πέρασαν.
· Οι άριστοι είναι 12,5 %, δηλαδή διπλάσιοι από τους αποτυχόντες.
· Το 40,6 % — σχεδόν οι μισοί — συγκεντρώνεται στη ζώνη 13-16, γύρω από την επικρατούσα τιμή 15 ($ \nu = 5 $, η μεγαλύτερη συχνότητα).
· Οι βαθμοί απλώνονται σε όλο το εύρος 8-20 ($ R = 12 $) αλλά συσσωρεύονται στο μέσο, με ελαφρά μετατόπιση προς τα πάνω: $ N_{14} = 15 < 16 $, άρα λίγο περισσότεροι από τους μισούς έχουν βαθμό 15 και άνω.
Συμπέρασμα: πρόκειται για τάξη με ικανοποιητική και σχετικά ομοιόμορφη επίδοση — κατανομή κοντά στη συμμετρική, χωρίς ακραία συγκέντρωση σε χαμηλούς βαθμούς και με περισσότερους άριστους παρά αποτυχόντες.

Σύνοψη: i) Απέτυχαν 2/32 = 6,25 %. ii) Από 13 ως και 16: 13/32 = 40,63 % (= Ν₁₆ − Ν₁₂ = 23 − 10). iii) Αρίστευσαν 4/32 = 12,5 %. Παρατήρηση: μόνο 6,25 % αποτυχία έναντι 12,5 % αριστείας, με σχεδόν το 41 % συγκεντρωμένο στη ζώνη 13-16 γύρω από την επικρατούσα τιμή 15 — τάξη με ικανοποιητική και σχετικά ομοιόμορφη επίδοση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: αυστηρές ανισότητες στο (i) και στο (iii) — το 10 και το 18 δεν μετρώνται.
Κριτήριο: στο (ii) και τα δύο άκρα να περιλαμβάνονται (13 και 16).
Κριτήριο: χρήση των αθροιστικών συχνοτήτων ως εναλλακτικού δρόμου.
Κριτήριο: σχολιασμός της βαθμολογίας — το ζητά ρητά η εκφώνηση.
Παγίδα: να μετρηθεί το 10 στους αποτυχόντες ή το 18 στους άριστους.

Άσκηση 4 — Ομαδοποίηση 50 ηλικιών σε 8 κλάσεις

Ερώτηση: Οι 50 εργάτες ενός εργοστασίου έχουν τις παρακάτω ηλικίες: 21, 43, 50, 25, 55, 30, 28, 40, 31, 51, 18, 47, 52, 34, 47, 32, 27, 41, 35, 54, 30, 48, 36, 43, 38, 33, 27, 39, 41, 43, 32, 22, 46, 52, 29, 32, 34, 34, 42, 36, 35, 28, 57, 56, 20, 38, 35, 27, 40, 35. i) Να ομαδοποιήσετε τις ηλικίες σε 8 κλάσεις. ii) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. iii) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.

Απάντηση:

i) Ο καθορισμός των κλάσεων — τρία βήματα.
Βήμα 1: ακραίες τιμές. $ m = 18 $ (η μικρότερη), $ M = 57 $ (η μεγαλύτερη).
Βήμα 2: εύρος.
$$ R = M - m = 57 - 18 = \mathbf{39} $$
Βήμα 3: πλάτος κλάσης. Ζητούνται 8 κλάσεις:
$$ \frac{R}{8} = \frac{39}{8} = 4{,}875 \;\longrightarrow\; c = \mathbf{5} $$
Στρογγυλοποιούμε ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ — αν παίρναμε $ c = 4 $, οι 8 κλάσεις θα κάλυπταν μόνο 32 μονάδες και δεν θα χωρούσαν όλες οι τιμές. Με $ c = 5 $ καλύπτουμε $ 8 \times 5 = 40 \ge 39 $ ✓
Οι κλάσεις (ξεκινώντας από το $ m = 18 $, ανοικτές δεξιά): [18,23), [23,28), [28,33), [33,38), [38,43), [43,48), [48,53), [53,58).
ii) Πλήρης πίνακας (διαλογή· υπενθύμιση: τιμή ίση με το ανώτερο όριο πάει στην επόμενη κλάση):
| Κλάση | $ x_i' $ | $ \nu_i $ | $ f_i $ | $ f_i\% $ | $ N_i $ | $ F_i\% $ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [18, 23) | 20,5 | 4 | 0,08 | 8 % | 4 | 8 % |
| [23, 28) | 25,5 | 4 | 0,08 | 8 % | 8 | 16 % |
| [28, 33) | 30,5 | 9 | 0,18 | 18 % | 17 | 34 % |
| [33, 38) | 35,5 | 10 | 0,20 | 20 % | 27 | 54 % |
| [38, 43) | 40,5 | 8 | 0,16 | 16 % | 35 | 70 % |
| [43, 48) | 45,5 | 6 | 0,12 | 12 % | 41 | 82 % |
| [48, 53) | 50,5 | 5 | 0,10 | 10 % | 46 | 92 % |
| [53, 58) | 55,5 | 4 | 0,08 | 8 % | 50 | 100 % |
| Σύνολο | — | 50 | 1,00 | 100 % | — | — |
Έλεγχος: $ 4+4+9+10+8+6+5+4 = 50 $ ✓ και $ N_8 = 50 = \nu $ ✓
Οι κεντρικές τιμές προκύπτουν από $ x_i' = \dfrac{\alpha_{i-1}+\alpha_i}{2} $: π.χ. $ \dfrac{18+23}{2} = 20{,}5 $. Διαφέρουν κατά 5 — όσο και το πλάτος $ c $, όπως πρέπει.
iii) Τα διαγράμματα.
· Ιστόγραμμα: στον οριζόντιο άξονα οι κλάσεις με τα πραγματικά τους όρια, στον κατακόρυφο οι συχνότητες. Οκτώ ορθογώνια πλάτους 5 και υψών 4, 4, 9, 10, 8, 6, 5, 4 — ΧΩΡΙΣ κενά μεταξύ τους, γιατί οι κλάσεις είναι συνεχόμενες.
· Πολύγωνο συχνοτήτων: ενώνουμε τα μέσα των άνω πλευρών των ορθογωνίων, δηλαδή τα σημεία $ (x_i', \nu_i) $: (20,5; 4), (25,5; 4), (30,5; 9), (35,5; 10), (40,5; 8), (45,5; 6), (50,5; 5), (55,5; 4). Το προεκτείνουμε εκατέρωθεν ως τον οριζόντιο άξονα — στις υποθετικές κεντρικές τιμές 15,5 και 60,5 με συχνότητα 0 — ώστε να κλείσει το πολύγωνο.
Τι μας λέει η κατανομή. Κορυφή στην κλάση [33, 38) με 10 εργάτες (20 %). Η κατανομή είναι ελαφρώς ασύμμετρη προς τα δεξιά: ανεβαίνει απότομα ως τα 35 και κατεβαίνει πιο ομαλά προς τις μεγάλες ηλικίες. Οι μισοί εργάτες ($ F\% = 54 $) είναι κάτω των 38 ετών — εργατικό δυναμικό μάλλον νεανικό.
⚠️ Η συχνότερη παγίδα. Αν ξεκινήσεις τις κλάσεις από στρογγυλό αριθμό (π.χ. 15 ή 20) αντί από την ελάχιστη τιμή 18, οι συχνότητες αλλάζουν και μπορεί να χρειαστείς 9 κλάσεις. Η εκφώνηση ζητά ρητά 8 — άρα η αφετηρία είναι το $ m = 18 $.

Σύνοψη: i) m = 18, M = 57, R = 39· R/8 = 4,875 → c = 5. Κλάσεις: [18,23), [23,28), [28,33), [33,38), [38,43), [43,48), [48,53), [53,58). ii) νi = 4, 4, 9, 10, 8, 6, 5, 4 (Σ = 50)· Νi = 4, 8, 17, 27, 35, 41, 46, 50· fi% = 8, 8, 18, 20, 16, 12, 10, 8· Fi% = 8, 16, 34, 54, 70, 82, 92, 100. Κεντρικές τιμές 20,5 / 25,5 / 30,5 / 35,5 / 40,5 / 45,5 / 50,5 / 55,5. iii) Ιστόγραμμα με οκτώ ορθογώνια χωρίς κενά και πολύγωνο μέσω των σημείων (xi′, νi). Κορυφή στην [33,38).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστά m, M, R και στρογγυλοποίηση προς τα πάνω του R/8.
Κριτήριο: κλάσεις ανοικτές δεξιά, ξεκινώντας από το m = 18.
Κριτήριο: Σνi = 50 — ο μόνος τρόπος να πιαστεί λάθος διαλογής.
Κριτήριο: ιστόγραμμα χωρίς κενά και πολύγωνο από τις κεντρικές τιμές.
Παγίδα: κλάσεις από στρογγυλό αριθμό, που χαλάνε το πλήθος των 8.

Άσκηση 5 — Χρονολογικό διάγραμμα τροχαίων ατυχημάτων 1988-1997

Ερώτηση: Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων κατά τα έτη 1988-1997: 1988: 20.753 · 1989: 20.299 · 1990: 19.609 · 1991: 20.764 · 1992: 22.006 · 1993: 22.165 · 1994: 22.222 · 1995: 22.798 · 1996: 23.606 · 1997: 24.319 (Πηγή: Ε.Σ.Υ.Ε.). Να παρασταθεί ο αριθμός των οδικών ατυχημάτων κατά τα έτη 1988-1997 με χρονολογικό διάγραμμα και να απεικονισθεί η αυξητική εξέλιξη του αριθμού αυτού.

Απάντηση:

Το ζητούμενο διάγραμμα: χρονολογικό (χρονοδιάγραμμα, time chart). Είναι το κατάλληλο όταν η μία μεταβλητή είναι ο χρόνος.
Κατασκευή. Οριζόντιος άξονας: τα έτη 1988-1997 σε ίσες αποστάσεις. Κατακόρυφος: ο αριθμός ατυχημάτων. Σημειώνουμε τα δέκα σημεία $ (\text{έτος}, \nu) $ και τα ενώνουμε με ευθύγραμμα τμήματα.
⚠️ Η κρίσιμη επιλογή κλίμακας. Οι τιμές κυμαίνονται από 19.609 ως 24.319 — όλες τους πάνω από 19.000. Αν ο κατακόρυφος άξονας ξεκινήσει από το 0, η γραμμή θα φαίνεται σχεδόν επίπεδη και η αύξηση θα εξαφανιστεί οπτικά. Η ορθή πρακτική είναι να ξεκινήσει από περίπου 19.000 (με ένδειξη διακοπής του άξονα), ώστε να φανεί η εξέλιξη — χωρίς όμως να υπερβάλλει.
Η εξέλιξη — τα αριθμητικά γεγονότα:
· Πρώτη τριετία 1988-1990: ΜΕΙΩΣΗ. 20.753 → 20.299 → 19.609, το ελάχιστο της δεκαετίας. Συνολικά $ 19.609 - 20.753 = -1.144 $ ατυχήματα.
· Από το 1991 και μετά: ΣΥΝΕΧΗΣ ΑΥΞΗΣΗ, χωρίς καμία ενδιάμεση πτώση, ως το μέγιστο 24.319 του 1997.
Συνολική μεταβολή 1988 → 1997:
$$ \Delta = 24.319 - 20.753 = \mathbf{+3.566}\ \text{ατυχήματα} $$
$$ \frac{24.319 - 20.753}{20.753}\cdot 100 = \frac{3.566}{20.753}\cdot 100 \approx \mathbf{+17{,}18\ \%} $$
Μεταβολή από το ελάχιστο (1990) ως το τέλος:
$$ \frac{24.319 - 19.609}{19.609}\cdot 100 = \frac{4.710}{19.609}\cdot 100 \approx \mathbf{+24{,}02\ \%} $$
Πώς «απεικονίζεται η αυξητική εξέλιξη». Δύο τρόποι, και οι δύο αποδεκτοί:
① Στο ίδιο χρονολογικό διάγραμμα, χαράσσοντας τη γραμμή τάσης (η γενική ανοδική κατεύθυνση από το 1990 και μετά).
② Με δεύτερο χρονολογικό διάγραμμα της ετήσιας ποσοστιαίας μεταβολής ή του δείκτη με βάση το 1988 = 100 — τεχνική που θα αναπτυχθεί στο κεφ. 7 (Χρονολογικές σειρές).
Παρατήρηση για τον αστερίσκο. Τα έτη 1996* και 1997* φέρουν αστερίσκο στον πίνακα του βιβλίου: πρόκειται για υποσημείωση (συνήθως προσωρινά στοιχεία). Είναι ακριβώς το στοιχείο «υποσημειώσεις» της ερώτησης 4 — και ο λόγος που ένας σωστός πίνακας τις χρειάζεται: τα δύο τελευταία, ανώτερα νούμερα ίσως αναθεωρηθούν.

Σύνοψη: Χρονολογικό διάγραμμα με τα έτη στον οριζόντιο και τον αριθμό ατυχημάτων στον κατακόρυφο άξονα (με διακοπή του άξονα κοντά στο 19.000, ώστε να φανεί η εξέλιξη). Μείωση 1988-1990 ως το ελάχιστο 19.609, και συνεχής αύξηση από το 1991 ως το μέγιστο 24.319 του 1997. Συνολική μεταβολή 1988→1997: +3.566 ατυχήματα, δηλαδή +17,18 %· από το ελάχιστο του 1990: +24,02 %.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: χρονολογικό διάγραμμα — όχι ραβδόγραμμα ή ιστόγραμμα.
Κριτήριο: να εντοπιστεί η αρχική μείωση 1988-1990 και το ελάχιστο του 1990.
Κριτήριο: υπολογισμός της ποσοστιαίας μεταβολής, όχι μόνο της απόλυτης.
Θετικό: σχολιασμός της κλίμακας του κατακόρυφου άξονα.
Παγίδα: να περιγραφεί η δεκαετία ως «συνεχής αύξηση» — τα τρία πρώτα έτη είναι πτωτικά.

Άσκηση 6 — Κυκλικά διαγράμματα εξαγωγών 1996-1997

Ερώτηση: Ο πίνακας δείχνει το σύνολο των εξαγωγών μιας επιχείρησης σε χιλιάδες ευρώ κατά τα έτη 1996-1997: 1996 — Αφρική 80,4 · Αμερική 120,2 · Ασία 150,6 · Ευρώπη 230,8 · 1997 — Αφρική 50,5 · Αμερική 60,7 · Ασία 130,2 · Ευρώπη 190,6. i) Κατασκευάστε δύο κυκλικά διαγράμματα για τα έτη 1996 και 1997 και συγκρίνετε τις ετήσιες εξαγωγές. ii) Πόσο τοις εκατό αυξήθηκαν ή μειώθηκαν οι εξαγωγές σε κάθε ήπειρο;

Απάντηση:

Βήμα 1 — τα σύνολα κάθε έτους (απαραίτητα για τις σχετικές συχνότητες):
$$ \Sigma_{1996} = 80{,}4 + 120{,}2 + 150{,}6 + 230{,}8 = \mathbf{582{,}0}\ \text{χιλ. €} $$
$$ \Sigma_{1997} = 50{,}5 + 60{,}7 + 130{,}2 + 190{,}6 = \mathbf{432{,}0}\ \text{χιλ. €} $$
i) Οι επίκεντρες γωνίες, από $ \theta_i = \dfrac{\nu_i}{\nu}\cdot 360° $:
| Ήπειρος | 1996 | $ f\% $ | $ \theta $ | 1997 | $ f\% $ | $ \theta $ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Αφρική | 80,4 | 13,8 % | 49,7° | 50,5 | 11,7 % | 42,1° |
| Αμερική | 120,2 | 20,7 % | 74,4° | 60,7 | 14,0 % | 50,6° |
| Ασία | 150,6 | 25,9 % | 93,2° | 130,2 | 30,1 % | 108,5° |
| Ευρώπη | 230,8 | 39,7 % | 142,8° | 190,6 | 44,1 % | 158,8° |
| Σύνολο | 582,0 | 100 % | 360° | 432,0 | 100 % | 360° |
Η σύγκριση των δύο διαγραμμάτων — και η παγίδα τους.
⚠️ Τα κυκλικά διαγράμματα δείχνουν ΣΥΝΘΕΣΗ, όχι ΜΕΓΕΘΟΣ. Αν σχεδιάσεις δύο κύκλους ίδιας ακτίνας, φαίνεται ότι το μερίδιο της Ασίας μεγάλωσε (25,9 % → 30,1 %) και της Ευρώπης επίσης (39,7 % → 44,1 %). Στην πραγματικότητα και οι δύο μείωσαν τις εξαγωγές τους σε απόλυτα μεγέθη! Απλώς μειώθηκαν λιγότερο από τις άλλες ηπείρους, άρα το ποσοστό τους μέσα σε ένα μικρότερο σύνολο ανέβηκε.
(Λύση: είτε σχεδιάζεις τους δύο κύκλους με ακτίνες ανάλογες των συνόλων, είτε — καλύτερα — συνοδεύεις τη σύγκριση με τα απόλυτα νούμερα του ερωτήματος ii.)
ii) Ποσοστιαίες μεταβολές, από $ \dfrac{\nu_{1997} - \nu_{1996}}{\nu_{1996}}\cdot 100 $:
$$ \text{Αφρική:}\ \frac{50{,}5-80{,}4}{80{,}4}\cdot 100 = \frac{-29{,}9}{80{,}4}\cdot 100 \approx \mathbf{-37{,}19\ \%} $$
$$ \text{Αμερική:}\ \frac{60{,}7-120{,}2}{120{,}2}\cdot 100 = \frac{-59{,}5}{120{,}2}\cdot 100 \approx \mathbf{-49{,}50\ \%} $$
$$ \text{Ασία:}\ \frac{130{,}2-150{,}6}{150{,}6}\cdot 100 = \frac{-20{,}4}{150{,}6}\cdot 100 \approx \mathbf{-13{,}55\ \%} $$
$$ \text{Ευρώπη:}\ \frac{190{,}6-230{,}8}{230{,}8}\cdot 100 = \frac{-40{,}2}{230{,}8}\cdot 100 \approx \mathbf{-17{,}42\ \%} $$
$$ \text{ΣΥΝΟΛΟ:}\ \frac{432{,}0-582{,}0}{582{,}0}\cdot 100 = \frac{-150{,}0}{582{,}0}\cdot 100 \approx \mathbf{-25{,}77\ \%} $$
Το συμπέρασμα. Καμία ήπειρος δεν παρουσίασε αύξηση — όλες μειώθηκαν, και συνολικά η επιχείρηση έχασε πάνω από το ένα τέταρτο των εξαγωγών της. Η μεγαλύτερη απώλεια ήταν στην Αμερική (σχεδόν στο μισό, −49,5 %), η μικρότερη στην Ασία (−13,6 %). Η Ευρώπη, που ήταν ήδη η κύρια αγορά, ενίσχυσε το μερίδιό της (39,7 % → 44,1 %) παρά την απόλυτη μείωση.
Η διοικητική ανάγνωση: η επιχείρηση συρρικνώνεται και συγκεντρώνεται — γίνεται όλο και πιο εξαρτημένη από Ευρώπη και Ασία, ενώ αποχωρεί ουσιαστικά από την αμερικανική αγορά.

Σύνοψη: Σύνολα: 1996 = 582,0 χιλ. €, 1997 = 432,0 χιλ. €. i) Γωνίες 1996: Αφρική 49,7°, Αμερική 74,4°, Ασία 93,2°, Ευρώπη 142,8°. Γωνίες 1997: 42,1°, 50,6°, 108,5°, 158,8° (άθροισμα 360° και στα δύο). ii) Μεταβολές: Αφρική −37,19 %, Αμερική −49,50 %, Ασία −13,55 %, Ευρώπη −17,42 %· συνολικά −25,77 %. Καμία ήπειρος δεν αυξήθηκε· τα ποσοστά Ασίας και Ευρώπης ανέβηκαν μόνο επειδή μειώθηκε το σύνολο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: υπολογισμός των δύο συνόλων πριν από τις γωνίες.
Κριτήριο: γωνίες με άθροισμα 360° σε κάθε έτος.
Κριτήριο: μεταβολές πάντα ως προς το 1996 (έτος βάσης).
Κριτήριο: να επισημανθεί ότι όλες οι ήπειροι μειώθηκαν.
Παγίδα: να θεωρηθεί ότι Ασία/Ευρώπη «αυξήθηκαν» επειδή μεγάλωσε το μερίδιό τους.

Άσκηση 7 — Σοβαρά τροχαία ατυχήματα 1996-1997 κατά μήνα

Ερώτηση: Η στατιστική υπηρεσία της τροχαίας κατασκεύασε πίνακα με τα σοβαρά ατυχήματα ανά μήνα για τα έτη 1997 (νi) και 1996 (νi): Ιαν 238/190 · Φεβ 201/211 · Μαρ 278/189 · Απρ 326/249 · Μάι 330/294 · Ιούν 454/319 · Ιούλ 538/344 · Αύγ 553/433 · Σεπ 383/317 · Οκτ 372/284 · Νοέ 319/231 · Δεκ 295/215 · Σύνολο 4.287/3.276. i) Συμπληρώστε τον πίνακα με στήλη της μεταβολής Δ = αριθμός 1997 − αριθμός 1996. ii) Υπολογίστε το ποσοστό της μεταβολής ως προς το 1996, δηλαδή (Δ/νi)·100, με προσέγγιση δεκάτου. iii) Κατασκευάστε συγκριτικά μηνιαία ραβδογράμματα. iv) Κατασκευάστε χρονολογικό διάγραμμα της εξέλιξης της ποσοστιαίας μεταβολής.

Απάντηση:

Έλεγχος των τυπωμένων συνόλων πρώτα. $ \Sigma_{1997} = 4.287 $ ✓ και $ \Sigma_{1996} = 3.276 $ ✓ — συμφωνούν με τον πίνακα του βιβλίου.
i) ΚΑΙ ii) Ο συμπληρωμένος πίνακας:
| Μήνας | 1997 $ \nu_i $ | 1996 $ \nu_i^* $ | $ \Delta $ | $ (\Delta/\nu_i^*)\cdot 100 $ |
|---|---|---|---|---|
| Ιανουάριος | 238 | 190 | +48 | +25,3 % |
| Φεβρουάριος | 201 | 211 | −10 | −4,7 % |
| Μάρτιος | 278 | 189 | +89 | +47,1 % |
| Απρίλιος | 326 | 249 | +77 | +30,9 % |
| Μάιος | 330 | 294 | +36 | +12,2 % |
| Ιούνιος | 454 | 319 | +135 | +42,3 % |
| Ιούλιος | 538 | 344 | +194 | +56,4 % |
| Αύγουστος | 553 | 433 | +120 | +27,7 % |
| Σεπτέμβριος | 383 | 317 | +66 | +20,8 % |
| Οκτώβριος | 372 | 284 | +88 | +31,0 % |
| Νοέμβριος | 319 | 231 | +88 | +38,1 % |
| Δεκέμβριος | 295 | 215 | +80 | +37,2 % |
| Σύνολο | 4.287 | 3.276 | +1.011 | +30,9 % |
Έλεγχος: $ \Sigma\Delta = 4.287 - 3.276 = +1.011 $ ✓ — το άθροισμα των μηνιαίων Δ πρέπει να ισούται με τη διαφορά των συνόλων.
⚠️ Η στήλη των ποσοστών ΔΕΝ αθροίζεται. Το $ +30{,}9\ \% $ της τελευταίας γραμμής δεν είναι το άθροισμα (ούτε ο μέσος όρος) των δώδεκα ποσοστών — υπολογίζεται από τα σύνολα: $ \frac{1.011}{3.276}\cdot 100 = 30{,}9\ \% $. Είναι το κλασικότερο λάθος της άσκησης.
iii) Συγκριτικά μηνιαία ραβδογράμματα. Για κάθε μήνα δύο ράβδοι δίπλα-δίπλα (1996 και 1997) με διαφορετική απόχρωση και υποχρεωτικό υπόμνημα. Κενό μεταξύ των ζευγών, όχι μέσα στο ζεύγος.
iv) Χρονολογικό διάγραμμα της ποσοστιαίας μεταβολής. Οριζόντιος άξονας: οι 12 μήνες. Κατακόρυφος: το ποσοστό μεταβολής, με τον άξονα του μηδενός ορατό — γιατί ο Φεβρουάριος είναι αρνητικός και πρέπει να πέσει κάτω από τη γραμμή.
Η ανάγνωση των αποτελεσμάτων:
· Μοναδικός μήνας με μείωση: ο Φεβρουάριος (−10 τραυματίες, −4,7 %). Όλοι οι υπόλοιποι έντεκα αυξήθηκαν.
· Μεγαλύτερη ποσοστιαία αύξηση: Ιούλιος +56,4 %, ακολουθεί ο Μάρτιος +47,1 %.
· Μεγαλύτερη απόλυτη αύξηση: Ιούλιος +194 τραυματίες.
· Απόλυτο μέγιστο και στα δύο έτη: Αύγουστος (553 και 433) — και οι δύο κορυφές πέφτουν στο καλοκαίρι.
Η απάντηση στο ερώτημα που έθεσε η υπηρεσία («ποιοι μήνες εμφανίζουν αύξηση»): η θερινή περίοδος Ιουνίου-Αυγούστου συγκεντρώνει τα περισσότερα σοβαρά ατυχήματα ($ 454+538+553 = 1.545 $ το 1997, δηλαδή το 36 % του έτους σε τρεις μήνες), και εκεί σημειώνεται και η μεγαλύτερη επιδείνωση. Πρόκειται για εποχική διακύμανση — έννοια που θα μελετηθεί συστηματικά στο κεφ. 7.
Προσοχή στη διάκριση απόλυτης / ποσοστιαίας μεταβολής. Ο Μάρτιος έχει αύξηση +89 (μικρότερη από του Ιουλίου) αλλά ποσοστό +47,1 % (πολύ υψηλό), γιατί ξεκινά από χαμηλή βάση (189). Ο Αύγουστος, αντίθετα, έχει μεγάλη απόλυτη αύξηση (+120) αλλά χαμηλότερο ποσοστό (+27,7 %), γιατί η βάση του ήταν ήδη η υψηλότερη (433).

Σύνοψη: i) Δ ανά μήνα: +48, −10, +89, +77, +36, +135, +194, +120, +66, +88, +88, +80· ΣΔ = +1.011 = 4.287 − 3.276 ✓. ii) Ποσοστά: +25,3 · −4,7 · +47,1 · +30,9 · +12,2 · +42,3 · +56,4 · +27,7 · +20,8 · +31,0 · +38,1 · +37,2 %· συνολικά +30,9 % (από τα σύνολα, όχι άθροισμα των ποσοστών). Μόνος μήνας με μείωση ο Φεβρουάριος· μεγαλύτερη ποσοστιαία αύξηση ο Ιούλιος (+56,4 %), μεγαλύτερος απόλυτος αριθμός ο Αύγουστος (553). iii) Συγκριτικά ραβδογράμματα με δύο ράβδους ανά μήνα και υπόμνημα. iv) Χρονολογικό διάγραμμα των ποσοστών με ορατή τη γραμμή του μηδενός.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: έλεγχος ΣΔ = διαφορά των συνόλων.
Κριτήριο: το συνολικό ποσοστό να προκύψει από τα σύνολα — όχι άθροισμα/μέσος όρος των μηνιαίων.
Κριτήριο: εντοπισμός του Φεβρουαρίου ως μοναδικού μήνα με μείωση.
Κριτήριο: προσέγγιση δεκάτου, όπως ζητά η εκφώνηση.
Θετικό: διάκριση απόλυτης και ποσοστιαίας μεταβολής (Μάρτιος ↔ Αύγουστος).
Παγίδα: αρνητικό Δ που γράφεται ως θετικό στον Φεβρουάριο.

Άσκηση 8 — Πίνακας διπλής εισόδου: οικογενειακή κατάσταση υπαλλήλων

Ερώτηση: Τα δεδομένα αφορούν την οικογενειακή κατάσταση των υπαλλήλων μιας επιχείρησης: Άνδρες ανύπαντροι 22 · Γυναίκες ανύπαντρες 8 · Άνδρες παντρεμένοι 50 · Γυναίκες παντρεμένες 15 · Άνδρες διαζευγμένοι 3 · Γυναίκες διαζευγμένες 2. i) Να παρουσιαστεί η οικογενειακή κατάσταση των υπαλλήλων με τη βοήθεια πίνακα διπλής εισόδου. ii) Να απεικονισθούν τα δεδομένα με ραβδόγραμμα.

Απάντηση:

Γιατί διπλής εισόδου. Μελετάμε τις μονάδες του πληθυσμού συγχρόνως ως προς δύο χαρακτηριστικά: το φύλο και την οικογενειακή κατάσταση. Και τα δύο είναι ποιοτικές μεταβλητές.
i) ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΙΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ
Οικογενειακή κατάσταση των υπαλλήλων μιας επιχείρησης κατά φύλο
| Φύλο | Άγαμοι | Έγγαμοι | Διαζευγμένοι | Σύνολο |
|---|---|---|---|---|
| Άνδρες | 22 | 50 | 3 | 75 |
| Γυναίκες | 8 | 15 | 2 | 25 |
| Σύνολο | 30 | 65 | 5 | 100 |
Ο διπλός έλεγχος του πίνακα. Το γενικό σύνολο πρέπει να προκύπτει και από τις δύο κατευθύνσεις:
$$ \text{κατά γραμμές: } 75 + 25 = 100 \qquad \text{κατά στήλες: } 30 + 65 + 5 = 100 \;✓ $$
Αυτό είναι το χαρακτηριστικό πλεονέκτημα του πίνακα διπλής εισόδου — και ο λόγος που τα περιθώρια (η τελευταία γραμμή και στήλη) πρέπει πάντα να συμπληρώνονται.
Τι μας δείχνει ο πίνακας.
· Το προσωπικό είναι 100 άτομα, με σαφή υπεροχή ανδρών: 75 % έναντι 25 %.
· Οι έγγαμοι είναι η μεγαλύτερη ομάδα (65 %), οι άγαμοι 30 %, οι διαζευγμένοι μόλις 5 %.
· Η ενδιαφέρουσα σύγκριση — τα ποσοστά ΜΕΣΑ σε κάθε φύλο:
| | Άγαμοι | Έγγαμοι | Διαζευγμένοι |
|---|---|---|---|
| Άνδρες (επί 75) | 29,3 % | 66,7 % | 4,0 % |
| Γυναίκες (επί 25) | 32,0 % | 60,0 % | 8,0 % |
Οι κατανομές είναι αρκετά παρόμοιες στα δύο φύλα — με τις γυναίκες να εμφανίζουν διπλάσιο ποσοστό διαζευγμένων (8 % έναντι 4 %), αν και σε πολύ μικρούς απόλυτους αριθμούς (2 άτομα έναντι 3), οπότε η διαφορά δεν είναι ασφαλής βάση για συμπέρασμα.
ii) Ραβδόγραμμα. Επειδή έχουμε δύο μεταβλητές, το κατάλληλο είναι συγκριτικό (ομαδοποιημένο) ραβδόγραμμα: για κάθε κατηγορία οικογενειακής κατάστασης δύο ράβδοι δίπλα-δίπλα, μία για τους άνδρες και μία για τις γυναίκες.
· Άγαμοι: 22 και 8 · Έγγαμοι: 50 και 15 · Διαζευγμένοι: 3 και 2.
· Απαραίτητο υπόμνημα (άνδρες / γυναίκες) και κενά μεταξύ των ζευγών — είναι ραβδόγραμμα, όχι ιστόγραμμα, γιατί οι μεταβλητές είναι ποιοτικές.
(Εναλλακτικά: σωρευτικό ραβδόγραμμα με τρεις ράβδους ύψους 30, 65, 5, όπου κάθε ράβδος χωρίζεται σε άνδρες/γυναίκες. Δείχνει καλύτερα τα σύνολα ανά κατηγορία, χειρότερα τη σύγκριση των φύλων.)

Σύνοψη: i) Πίνακας διπλής εισόδου — Άνδρες: 22 άγαμοι, 50 έγγαμοι, 3 διαζευγμένοι (σύνολο 75)· Γυναίκες: 8, 15, 2 (σύνολο 25)· Σύνολα στηλών: 30 άγαμοι, 65 έγγαμοι, 5 διαζευγμένοι· γενικό σύνολο 100, που επαληθεύεται και κατά γραμμές (75+25) και κατά στήλες (30+65+5). ii) Συγκριτικό ραβδόγραμμα με δύο ράβδους ανά κατηγορία (22/8, 50/15, 3/2), με υπόμνημα και κενά μεταξύ των ζευγών.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: πίνακας διπλής εισόδου με συμπληρωμένα περιθώρια.
Κριτήριο: διπλός έλεγχος του γενικού συνόλου (γραμμές και στήλες).
Κριτήριο: συγκριτικό ραβδόγραμμα με υπόμνημα.
Θετικό: σύγκριση των ποσοστών μέσα σε κάθε φύλο, με επιφύλαξη για τους μικρούς αριθμούς.
Παγίδα: δύο χωριστοί πίνακες απλής εισόδου αντί για έναν διπλής.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο