Λύσεις — Κεφάλαιο 5: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 156) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 5: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 156) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 5: Ερωτήσεις ΚΑΙ Ασκήσεις (σελ. 156)

Απαντήσεις στις 13 ερωτήσεις κατανόησης, πλήρεις λύσεις των 11 ασκήσεων (Ομάδα Α και Β) και του Φύλλου Αυτοελέγχου.

Ερώτηση 1 — Τι είναι τα μέτρα διασποράς

Ερώτηση: Παράμετροι ή μέτρα διασποράς λέγονται οι αριθμοί: ……………

Απάντηση:

Ορισμός. Παράμετροι ή μέτρα διασποράς λέγονται οι αριθμοί που μας πληροφορούν πόσο διάσπαρτες (απλωμένες) γύρω από τα μέτρα θέσης — και ιδίως γύρω από τη μέση τιμή — είναι οι παρατηρήσεις μας.
Τα μέτρα του κεφαλαίου: το εύρος μεταβολής · η μέση απόλυτη απόκλιση · η διακύμανση · η τυπική απόκλιση. (Και ο συντελεστής μεταβλητότητας, §5.8.)
Γιατί χρειάζονται — το παράδειγμα των δύο μηχανών. Δύο μηχανές συσκευασίας δίνουν πακέτα με ακριβώς την ίδια μέση τιμή βάρους (\( \bar{x} = 200 \)). Η μία όμως δίνει βάρη 196-205 και η άλλη 192-208. Η μέση τιμή δεν τις ξεχωρίζει — η μηχανή με τη μικρότερη διασπορά είναι σαφώς πιο αξιόπιστη.

Ο ρόλος τους με μία πρόταση: τα μέτρα διασποράς μάς δείχνουν τον βαθμό αντιπροσωπευτικότητας και αξιοπιστίας των μέτρων θέσης. Όσο μικρότερα είναι, τόσο πιο συγκεντρωμένες οι παρατηρήσεις — και τόσο πιο αξιόπιστη η μέση τιμή.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Μέτρα διασποράς λέγονται οι αριθμοί που μας πληροφορούν πόσο διάσπαρτες (απλωμένες) γύρω από τα μέτρα θέσης, και ιδίως γύρω από τη μέση τιμή, είναι οι παρατηρήσεις μας. Είναι το εύρος μεταβολής, η μέση απόλυτη απόκλιση, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση (καθώς και ο συντελεστής μεταβλητότητας). Δείχνουν τον βαθμό αντιπροσωπευτικότητας και αξιοπιστίας των μέτρων θέσης.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η έννοια της διασποράς γύρω από τη μέση τιμή.
Θετικό: απαρίθμηση των τεσσάρων μέτρων.
Θετικό: σύνδεση με την αξιοπιστία των μέτρων θέσης.
Παγίδα: σύγχυση με τα μέτρα θέσης του κεφ. 4.

Ερώτηση 2 — Το εύρος μεταβολής

Ερώτηση: Το εύρος (R) είναι η διαφορά …………… και ισούται με: R = …… . Το εύρος δε χρησιμοποιείται συνήθως ως αντιπροσωπευτικό μέτρο διασποράς, γιατί για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούνται μόνο ……………

Απάντηση:

Ορισμός. Το εύρος μεταβολής (range) είναι η διαφορά της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη τιμή της μεταβλητής Χ:
\[ R = \text{μεγαλύτερη τιμή της Χ} - \text{μικρότερη τιμή της Χ} \tag{5.1} \]
Το μειονέκτημα: για τον υπολογισμό του λαμβάνονται υπόψη μόνο οι δύο ακραίες τιμές της μεταβλητής — αγνοούνται όλες οι ενδιάμεσες.
Το πλεονέκτημα: είναι το απλούστερο μέτρο διασποράς, και υπολογίζεται ευκολότερα όταν οι τιμές έχουν διαταχθεί σε αύξουσα τάξη.
Παρόλα αυτά χρησιμοποιείται στην πράξη από τους οικονομολόγους: ως μέτρο διασποράς στο χρηματιστήριο για τις τιμές των μετοχών, και στη μελέτη της μεταβολής των μισθών.
Παράδειγμα των μηχανών: \( R_A = 205 - 196 = 9 \) ενώ \( R_B = 208 - 192 = 16 \). Ήδη από το εύρος φαίνεται ότι η μηχανή Α είναι πιο σταθερή.

Προσοχή στη σύγχυση ορολογίας. Στο κεφ. 3 το ίδιο μέγεθος λεγόταν απλώς «εύρος του δείγματος» και χρησίμευε για τον καθορισμό των κλάσεων. Εδώ το ξαναβρίσκουμε ως μέτρο διασποράς. Είναι το ίδιο μέγεθος με δύο ρόλους.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Το εύρος R είναι η διαφορά της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη τιμή της μεταβλητής Χ: R = μεγαλύτερη τιμή − μικρότερη τιμή. Δεν χρησιμοποιείται συνήθως ως αντιπροσωπευτικό μέτρο, γιατί για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούνται μόνο οι δύο ακραίες τιμές της μεταβλητής, ενώ αγνοούνται όλες οι ενδιάμεσες.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ο τύπος R = M − m.
Κριτήριο: το μειονέκτημα να διατυπωθεί ως «μόνο οι δύο ακραίες τιμές».
Θετικό: αναφορά στις πρακτικές χρήσεις (χρηματιστήριο, μισθοί).

Ερώτηση 3 — Το εύρος από διάγραμμα (πολλαπλή επιλογή)

Ερώτηση: Το εύρος των παρατηρήσεων που παριστάνονται στο παραπάνω διάγραμμα είναι: Α: 60 Β: 14 Γ: 64 Δ: 16 Ε: 28

Απάντηση:

Ανάγνωση του διαγράμματος (σελ. 156). Πρόκειται για ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων (%) με τέσσερις συνεχόμενες κλάσεις ίσου πλάτους, με ύψη 20 %, 40 %, 30 % και 10 % (άθροισμα 100 %). Η πρώτη στήλη ξεκινά από την αρχή του οριζόντιου άξονα (0) και η τελευταία τελειώνει μετά την ένδειξη 60, στο 64· οι κλάσεις είναι [0, 16), [16, 32), [32, 48), [48, 64), πλάτους 16.
(Οι ενδείξεις του άξονα στο βιβλίο δεν είναι σχεδιασμένες με απόλυτη ακρίβεια· η ανάγνωση στηρίζεται στις τέσσερις στήλες ίσου πλάτους.)
Εφαρμογή του τύπου (5.1). Το εύρος είναι η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη τιμή. Σε ομαδοποιημένα δεδομένα παίρνουμε το κατώτερο όριο της πρώτης κλάσης και το ανώτερο όριο της τελευταίας:
\[ R = 64 - 0 = 64 \]
Σωστή απάντηση: Γ. 64
Γιατί απορρίπτονται οι άλλες επιλογές:
Α: 60 — είναι η τελευταία ένδειξη του άξονα, όχι το τέλος της τελευταίας κλάσης.
Δ: 16 — είναι το πλάτος μιας κλάσης, όχι το εύρος όλων των παρατηρήσεων.
Β: 14 και Ε: 28 — δεν προκύπτουν από τα όρια των κλάσεων του διαγράμματος.

Το εύρος διαβάζεται στον οριζόντιο άξονα (τιμές της μεταβλητής) — όχι στον κατακόρυφο, που δίνει τις σχετικές συχνότητες.

Σύνοψη: Γ. 64. Το ιστόγραμμα έχει τέσσερις συνεχόμενες κλάσεις ίσου πλάτους 16, από 0 έως 64· άρα R = 64 − 0 = 64. (Το 60 είναι απλώς ένδειξη του άξονα και το 16 το πλάτος μιας κλάσης.)

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ανάγνωση των ορίων των κλάσεων στον οριζόντιο άξονα.
Κριτήριο: R = ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης − κατώτερο όριο της πρώτης.
Παγίδα: να δοθεί το πλάτος κλάσης (16) ή η τελευταία ένδειξη του άξονα (60).

Ερώτηση 4 — Η μέση απόλυτη απόκλιση

Ερώτηση: Ως μέση απόλυτη απόκλιση των τιμών της μεταβλητής Χ ορίζεται …… Διατυπώστε ανάλογο τύπο αν τα δεδομένα περιέχονται σε πίνακα συχνοτήτων.

Απάντηση:

Ορισμός. Αν μια μεταβλητή Χ παίρνει ν τιμές \( x_1, x_2, \dots, x_\nu \) με μέση τιμή \( \bar{x} \), τότε ως μέση απόλυτη απόκλιση ορίζεται η μέση τιμή των απολύτων τιμών των διαφορών \( x_i - \bar{x} \):
\[ \text{Μ.Α.Α.} = \frac{|x_1-\bar{x}| + |x_2-\bar{x}| + \dots + |x_\nu-\bar{x}|}{\nu} = \frac{\sum_{i=1}^{\nu}|x_i-\bar{x}|}{\nu} \tag{5.2} \]
Σε πίνακα συχνοτήτων — κάθε απόκλιση σταθμίζεται με τη συχνότητά της:
\[ \text{Μ.Α.Α.} = \frac{\sum \nu_i\,|x_i - \bar{x}|}{\nu} \]
Σε ομαδοποιημένα δεδομένα: ακολουθούμε παρόμοια διαδικασία, μόνο που ως \( x_i \) παίρνουμε τις κεντρικές τιμές \( x_i' \) των κλάσεων.
Γιατί απόλυτες τιμές — η αναγκαιότητα, όχι η σύμβαση. Το βιβλίο το δείχνει με το παράδειγμα της μηχανής Β: οι αποκλίσεις είναι \( -8, -6, -5, -2, 0, 1, 3, 4, 6, 7 \) και ο μέσος τους:
\[ \frac{-20+20}{10} = 0 \]
Πάντα \( \sum(x_i - \bar{x}) = 0 \) (ιδιότητα 4 της μέσης τιμής, κεφ. 4). Άρα ο απλός μέσος των αποκλίσεων είναι άχρηστος ως μέτρο — δίνει μηδέν για κάθε κατανομή. Με απόλυτες τιμές:
\[ \text{Μ.Α.Α.}_B = \frac{8+6+5+2+0+1+3+4+6+7}{10} = \frac{42}{10} = 4{,}2 \]
Ερμηνεία: πόσο, κατά μέσο όρο, απέχουν οι παρατηρήσεις από τη μέση τιμή. Για τη μηχανή Α βγαίνει 1,8 — άρα η Α είναι πιο αξιόπιστη, αφού \( 4{,}2 > 1{,}8 \).

Γιατί δεν είναι το βασικό μας μέτρο. Η Μ.Α.Α. παρουσιάζει δυσκολία στους αλγεβρικούς υπολογισμούς λόγω των απόλυτων τιμών — γι' αυτό προτιμούμε τη διακύμανση, που λύνει το ίδιο πρόβλημα των προσήμων με ύψωση στο τετράγωνο.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Μ.Α.Α. = Σ|xi − x̄|/ν, δηλαδή η μέση τιμή των απολύτων τιμών των αποκλίσεων από τη μέση τιμή. Σε πίνακα συχνοτήτων: Μ.Α.Α. = Σνi|xi − x̄|/ν. Σε ομαδοποιημένα δεδομένα χρησιμοποιούνται οι κεντρικές τιμές x′i. Οι απόλυτες τιμές είναι απαραίτητες γιατί Σ(xi − x̄) = 0 πάντα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι δύο τύποι (αταξινόμητα και πίνακας συχνοτήτων).
Κριτήριο: αιτιολόγηση των απόλυτων τιμών μέσω του Σ(xi−x̄) = 0.
Θετικό: η ερμηνεία («πόσο κατά μέσο όρο απέχουν»).
Παγίδα: να ξεχαστεί το νi στον τύπο του πίνακα συχνοτήτων.

Ερώτηση 5 — Διακύμανση και τυπική απόκλιση

Ερώτηση: Ως διακύμανση των τιμών της μεταβλητής Χ ορίζουμε …… και τη συμβολίζουμε με s² = …… . Η τυπική απόκλιση ορίζεται …… . Οι μονάδες στις οποίες εκφράζεται η διακύμανση είναι ……, γι' αυτό αντί της διακύμανσης χρησιμοποιούμε την τυπική απόκλιση, η οποία έχει ……

Απάντηση:

Διακύμανση. Ορίζουμε τη μέση τιμή των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών της μεταβλητής από τον μέσο αριθμητικό της:
\[ s^2 = \frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \dots + (x_\nu-\bar{x})^2}{\nu} = \frac{\sum_{i=1}^{\nu}(x_i-\bar{x})^2}{\nu} \tag{5.3} \]
Τυπική απόκλιση. Ορίζεται ως η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
\[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{\nu}} \]
Οι μονάδες της διακύμανσης είναι τα τετράγωνα των μονάδων στις οποίες εκφράζονται οι τιμές της μεταβλητής (€², kg², έτη²).
Γι' αυτό χρησιμοποιούμε την τυπική απόκλιση: έχει τις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις τιμές της μεταβλητής.
Γιατί τετράγωνα και όχι απόλυτες τιμές. Ο βαθμός συγκέντρωσης προσδιορίζεται «ευκολότερα» με τη βοήθεια των θετικών αριθμών \( (x_i-\bar{x})^2 \). Το τετράγωνο πετυχαίνει το ίδιο με την απόλυτη τιμή (εξουδετερώνει τα πρόσημα) αλλά είναι αλγεβρικά χειρίσιμο — παραγωγίσιμο, αναπτύξιμο, αθροίσιμο.
Πότε ισχύει ο τύπος με το ν στον παρονομαστή: (i) όταν οι τιμές αποτελούν συνολικό πληθυσμό· (ii) όταν αποτελούν δείγμα και ζητάμε τη διασπορά μέσα στο ίδιο το δείγμα.
Συμβολισμός. Τα \( s^2 \) και \( s \) αναφέρονται σε δείγμα. Για όλο τον πληθυσμό μεγέθους Ν χρησιμοποιούμε \( \sigma^2 \) και \( \sigma \):
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}, \qquad \mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} \]

Ερμηνεία. Όσο μικρότερες οι τιμές της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης, τόσο πιο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή είναι οι παρατηρήσεις — και τόσο πιο αντιπροσωπευτικό στατιστικό μέτρο αποτελεί η μέση τιμή.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Διακύμανση s² είναι η μέση τιμή των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών από τη μέση τιμή: s² = Σ(xi − x̄)²/ν. Τυπική απόκλιση s είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Οι μονάδες της διακύμανσης είναι τα τετράγωνα των μονάδων της μεταβλητής, γι' αυτό χρησιμοποιούμε την τυπική απόκλιση, η οποία έχει τις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις τιμές της μεταβλητής.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ο τύπος της διακύμανσης, όχι μόνο η περιγραφή.
Κριτήριο: η τυπική απόκλιση ως θετική τετραγωνική ρίζα.
Κριτήριο: οι μονάδες — τετράγωνα ↔ ίδιες μονάδες.
Θετικό: η διάκριση συμβολισμού s ↔ σ (δείγμα ↔ πληθυσμός).

Ερώτηση 6 — Τυπική απόκλιση με άγνωστο (πολλαπλή επιλογή)

Ερώτηση: Η μέση τιμή των αριθμών 3, 6, 7, α, 14 είναι 8. Η τυπική απόκλιση είναι: Α: 6,5 Β: 1,5 Γ: 3,74 Δ: 2

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Γ. 3,74
Βήμα 1 — βρίσκουμε το α. Οι αριθμοί είναι \( \nu = 5 \) με \( \bar{x} = 8 \):
\[ \sum x_i = 8 \cdot 5 = 40 \]
\[ 3+6+7+14 = 30 \;\Longrightarrow\; \alpha = 40 - 30 = \mathbf{10} \]
Βήμα 2 — υπολογίζουμε τη διακύμανση (τύπος 5.3). Οι αριθμοί είναι 3, 6, 7, 10, 14:

\( x_i \)	\( x_i - \bar{x} \)	\( (x_i-\bar{x})^2 \)
3	−5	25
6	−2	4
7	−1	1
10	2	4
14	6	36
Σύνολο	0 ✓	70

\[ s^2 = \frac{70}{5} = 14 \qquad s = \sqrt{14} \approx \mathbf{3{,}74} \]
Έλεγχος: το άθροισμα της μεσαίας στήλης βγαίνει 0 — επιβεβαιώνει ότι η μέση τιμή 8 είναι σωστή.
Επαλήθευση με τον εύχρηστο τύπο (5.5):
\[ \sum x_i^2 = 9+36+49+100+196 = 390 \;\Rightarrow\; s^2 = \frac{390}{5} - 8^2 = 78 - 64 = 14 \;✓ \]
Γιατί οι άλλες επιλογές είναι στημένες.
Α: 6,5 — δεν αντιστοιχεί σε κανένα σωστό βήμα· για σύγκριση, η Μ.Α.Α. των αριθμών είναι \( \frac{5+2+1+2+6}{5} = 3{,}2 \) και το μισό εύρος \( \frac{14-3}{2} = 5{,}5 \).
Β: 1,5 — πολύ μικρή για δεδομένα που απλώνονται από 3 ως 14.
Δ: 2 — θα προέκυπτε αν κατά λάθος πάρεις τη ρίζα δύο φορές ή διαιρέσεις με λάθος πλήθος.

Ο έλεγχος λογικής που γλιτώνει λάθη. Η τυπική απόκλιση έχει τις ίδιες μονάδες με τα δεδομένα και είναι πάντα μικρότερη από το εύρος (εδώ \( R = 11 \)) αλλά της ίδιας τάξης μεγέθους με τις τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο. Το 3,74 ταιριάζει· το 1,5 είναι πολύ μικρό, το 6,5 πολύ μεγάλο.

Σύνοψη: Γ. 3,74. Από Σxi = 8·5 = 40 και 3+6+7+14 = 30 προκύπτει α = 10. Οι αποκλίσεις είναι −5, −2, −1, 2, 6 με τετράγωνα 25, 4, 1, 4, 36 και άθροισμα 70. Άρα s² = 70/5 = 14 και s = √14 ≈ 3,74. Επαλήθευση με τον τύπο 5.5: Σx² = 390 → s² = 390/5 − 64 = 14 ✓

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: εύρεση του α = 10 μέσω του ολικού αθροίσματος.
Κριτήριο: έλεγχος Σ(xi − x̄) = 0.
Θετικό: επαλήθευση με τον εύχρηστο τύπο (5.5).
Παγίδα: να παραλειφθεί η τετραγωνική ρίζα (απάντηση 14 αντί 3,74).

Ερώτηση 7 — Τυπική απόκλιση από το άθροισμα τετραγώνων

Ερώτηση: Αν για τις 9 τιμές μιας μεταβλητής ισχύει ότι Σ(x − x̄)² = 234, τότε η τυπική απόκλιση είναι: Α: 26 Β: 5,1 Γ: 9 Δ: 2

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Β. 5,1
Άμεση εφαρμογή του ορισμού (5.3):
\[ s^2 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{\nu} = \frac{234}{9} = 26 \]
\[ s = \sqrt{26} \approx \mathbf{5{,}0990} \approx 5{,}1 \]
Η άσκηση ελέγχει ένα και μόνο πράγμα: ότι δεν ξεχνάς τη ρίζα. Και οι τρεις λάθος επιλογές είναι ενδιάμεσα αποτελέσματα ή σφάλματα διαδικασίας:
Α: 26 — η διακύμανση \( s^2 \), όχι η τυπική απόκλιση. Είναι το πιο κοινό λάθος.
Γ: 9 — το πλήθος ν. Θα προέκυπτε αν μπερδέψεις αριθμητή και παρονομαστή στο μυαλό σου.
Δ: 2 — δεν αντιστοιχεί σε κανένα βήμα· είναι «διακοσμητική».

Ο έλεγχος μονάδων. Το \( \sum(x-\bar{x})^2 \) έχει μονάδες τετραγωνικές· διαιρώντας με το ν (καθαρός αριθμός) μένουμε σε τετραγωνικές — άρα το 26 δεν μπορεί να είναι τυπική απόκλιση. Χρειάζεται ρίζα για να επιστρέψουμε στις μονάδες της μεταβλητής.

Πρόσεξε τι ΔΕΝ χρειάστηκε. Δεν χρειάστηκαν ούτε οι τιμές \( x_i \), ούτε η μέση τιμή \( \bar{x} \). Το \( \sum(x-\bar{x})^2 \) και το \( \nu \) αρκούν — γιατί ακριβώς αυτά τα δύο είναι ο ορισμός της διακύμανσης.

Σύνοψη: Β. 5,1. s² = Σ(x − x̄)²/ν = 234/9 = 26, άρα s = √26 ≈ 5,0990 ≈ 5,1. Η επιλογή Α (26) είναι η διακύμανση, όχι η τυπική απόκλιση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστή διαίρεση με ν = 9.
Κριτήριο: να μη λησμονηθεί η τετραγωνική ρίζα.
Παγίδα: η επιλογή Α (26) — απάντηση με τη διακύμανση αντί για την τυπική απόκλιση.

Ερώτηση 8 — Ο εύχρηστος τύπος της διακύμανσης

Ερώτηση: Η διακύμανση σε αταξινόμητα δεδομένα δίνεται από τον πιο εύχρηστο τύπο: s² = ……

Απάντηση:

Ο εύχρηστος τύπος (5.5):
\[ s^2 = \frac{\sum x_i^2}{\nu} - \bar{x}^2 \]

Με λόγια: «η διακύμανση ισούται με τη μέση τιμή των τετραγώνων των τιμών της μεταβλητής μείον το τετράγωνο της μέσης τιμής».

Γιατί είναι «πιο εύχρηστος» από τον ορισμό \( s^2 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{\nu} \):
Ένα πέρασμα αντί για δύο. Με τον ορισμό πρέπει πρώτα να υπολογίσεις τη \( \bar{x} \), μετά να ξαναδιατρέξεις όλα τα δεδομένα για τις αποκλίσεις. Με τον 5.5 μαζεύεις \( \sum x_i \) και \( \sum x_i^2 \) ταυτόχρονα.
Χωρίς αφαιρέσεις σε κάθε γραμμή. Αποφεύγεις 20-30 αφαιρέσεις, καθεμία ευκαιρία για αριθμητικό λάθος.
Δουλεύει καθαρά με δεκαδική μέση τιμή. Αν η \( \bar{x} \) βγει π.χ. 69,3, ο ορισμός σε αναγκάζει να υψώνεις στο τετράγωνο δεκαδικές αποκλίσεις· ο 5.5 χρησιμοποιεί μόνο ακέραια \( x_i^2 \) και μία ύψωση της \( \bar{x} \).
Απόδειξη — γιατί οι δύο τύποι είναι ισοδύναμοι:
\[ \frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{\nu} = \frac{\sum(x_i^2 - 2\bar{x}x_i + \bar{x}^2)}{\nu} = \frac{\sum x_i^2}{\nu} - 2\bar{x}\cdot\frac{\sum x_i}{\nu} + \bar{x}^2 \]
\[ = \frac{\sum x_i^2}{\nu} - 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 = \frac{\sum x_i^2}{\nu} - \bar{x}^2 \]

Ο έλεγχος ορθότητας που πρέπει να κάνεις πάντα. Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι θετικό (ή μηδέν). Αν σου βγει αρνητική διακύμανση, έχεις κάνει λάθος — συνηθέστερα ξέχασες να υψώσεις στο τετράγωνο τη μέση τιμή, ή διαίρεσες μόνο τον πρώτο όρο με το ν.

Σύνοψη: (ενδεικτική) s² = Σxi²/ν − x̄²: η διακύμανση ισούται με τη μέση τιμή των τετραγώνων των τιμών της μεταβλητής μείον το τετράγωνο της μέσης τιμής.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ο ακριβής τύπος, με το x̄ υψωμένο στο τετράγωνο.
Θετικό: διατύπωση και με λόγια.
Θετικό: η απόδειξη ισοδυναμίας με τον ορισμό.
Παγίδα: να γραφεί s² = Σxi²/ν − x̄ (χωρίς τετράγωνο).

Ερώτηση 9 — Η διακύμανση σε ταξινομημένα και ομαδοποιημένα δεδομένα

Ερώτηση: Η διακύμανση σε δεδομένα που περιέχονται σε πίνακα συχνοτήτων δίνεται από: s² = …… και σε ομαδοποιημένα δεδομένα δίνεται από: s² = ……

Απάντηση:

Σε πίνακα συχνοτήτων (τιμές \( x_1, \dots, x_\kappa \) με συχνότητες \( \nu_1, \dots, \nu_\kappa \)):
\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{\kappa} \nu_i (x_i - \bar{x})^2}{\nu} = \frac{\sum_{i=1}^{\kappa} \nu_i x_i^2}{\nu} - \bar{x}^2 \tag{5.6} \]
Σε ομαδοποιημένα δεδομένα (κλάσεις ίσου πλάτους, με κεντρικές τιμές \( x_i' \)):
\[ s^2 = \frac{\sum \nu_i (x_i' - \bar{x})^2}{\nu} = \frac{\sum \nu_i x_i'^2}{\nu} - \bar{x}^2 \tag{5.7} \]
όπου \( x_i' \) είναι η κεντρική τιμή κάθε κλάσης, που αντιπροσωπεύει τις τιμές που περιέχονται σε αυτήν.
Η μοναδική διαφορά των δύο τύπων είναι το \( x_i \) → \( x_i' \). Όλα τα υπόλοιπα είναι πανομοιότυπα. Αυτό δεν είναι σύμπτωση: η σύμβαση ότι «η κεντρική τιμή αντιπροσωπεύει την κλάση» (κεφ. 3) είναι ακριβώς αυτό που επιτρέπει να επαναχρησιμοποιήσουμε τους ίδιους τύπους.
Ο πρακτικός πίνακας εργασίας. Και στις δύο περιπτώσεις φτιάχνεις τέσσερις στήλες:

\( x_i \) (ή \( x_i' \))	\( \nu_i \)	\( \nu_i x_i \)	\( \nu_i x_i^2 \)
…	…	…	…
Σύνολο	ν	Σνx	Σνx²

και μετά: \( \bar{x} = \dfrac{\Sigma\nu x}{\nu} \) και \( s^2 = \dfrac{\Sigma\nu x^2}{\nu} - \bar{x}^2 \).
Παράδειγμα 5.2 του βιβλίου (τοξοβολία, 50 αγωνιζόμενοι): \( \Sigma\nu x = 3.465 \) και \( \Sigma\nu x^2 = 240.269 \), άρα \( \bar{x} = \frac{3465}{50} = 69{,}3 \) και:
\[ s^2 = \frac{240.269}{50} - (69{,}3)^2 = 4.805{,}38 - 4.802{,}49 = 2{,}89 \;\Rightarrow\; s = 1{,}7 \]

Η μεγαλύτερη πηγή λάθους εδώ. Το \( \nu_i x_i^2 \) σημαίνει \( \nu_i \cdot (x_i)^2 \) — όχι \( (\nu_i x_i)^2 \). Στο παράδειγμα: για \( x=66, \nu=2 \) έχουμε \( 2 \cdot 4.356 = 8.712 \), όχι \( 132^2 = 17.424 \).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σε πίνακα συχνοτήτων: s² = Σνi(xi − x̄)²/ν = Σνixi²/ν − x̄² (τύπος 5.6). Σε ομαδοποιημένα δεδομένα ίσου πλάτους: s² = Σνi(x′i − x̄)²/ν = Σνix′i²/ν − x̄² (τύπος 5.7), όπου x′i η κεντρική τιμή κάθε κλάσης.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και οι δύο τύποι, με το νi σε αριθμητή.
Κριτήριο: στα ομαδοποιημένα να χρησιμοποιηθούν οι κεντρικές τιμές x′i.
Θετικό: η μορφή με τα αθροίσματα Σνx και Σνx².
Παγίδα: σύγχυση νixi² με (νixi)².

Ερώτηση 10 — Η κανονική κατανομή

Ερώτηση: Κανονική κατανομή λέγεται η κατανομή συχνοτήτων: ……………

Απάντηση:

Ορισμός. Κανονική κατανομή λέγεται η κατανομή συχνοτήτων που είναι συμμετρική — δηλαδή εκείνη στην οποία η μέση τιμή \( \bar{x} \), η διάμεσος \( \delta \) και η επικρατούσα τιμή (Ε.Τ.) συμπίπτουν (κεφ. 4, §4.5).
Γραφικά έχει καμπανοειδές σχήμα, με μία κορυφή στο κέντρο και συμμετρικά φθίνουσες ουρές εκατέρωθεν.
Τα ποσοστά που πρέπει να ξέρεις. Σε κανονική κατανομή, τα ποσοστά των παρατηρήσεων γύρω από τη μέση τιμή είναι σταθερά και ανεξάρτητα από τα δεδομένα:

Διάστημα	Ποσοστό
\( \bar{x} \pm \frac{2}{3}s \)	50 %
\( \bar{x} \pm 1s \)	68,3 %
\( \bar{x} \pm 2s \)	95 %
\( \bar{x} \pm 3s \)	99,7 %

Παράδειγμα 5.4 του βιβλίου: μισθοί με \( \bar{x} = 1.400 \) €, \( s = 240 \) € και κανονική κατανομή:
68,3 % παίρνει \( 1.400 \pm 240 \), δηλαδή 1.160 – 1.640 €
95 % παίρνει \( 1.400 \pm 480 \), δηλαδή 920 – 1.880 €
99,7 % παίρνει \( 1.400 \pm 720 \), δηλαδή 680 – 2.120 €
50 % παίρνει \( 1.400 \pm \frac{2}{3}\cdot 240 = 1.400 \pm 160 \), δηλαδή 1.240 – 1.560 €

Η προϋπόθεση δεν είναι διακοσμητική. Όλα τα παραπάνω ισχύουν ΜΟΝΟ αν η κατανομή είναι κανονική. Αν την εφαρμόσεις σε ασύμμετρη κατανομή, οι εκτιμήσεις θα είναι λάθος.

Και το αντίστροφο είναι χρήσιμο εργαλείο. Αν υπολογίσεις το πραγματικό ποσοστό στο \( [\bar{x}-s, \bar{x}+s] \) και βρεις π.χ. 60 % αντί για 68,3 %, αυτό είναι απόδειξη ότι η κατανομή ΔΕΝ είναι κανονική — δηλαδή είναι ασύμμετρη. Αυτό ακριβώς ζητά η άσκηση 4 της Ομάδας Β.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Κανονική κατανομή λέγεται η συμμετρική κατανομή συχνοτήτων, στην οποία η μέση τιμή, η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή συμπίπτουν· γραφικά έχει καμπανοειδές σχήμα. Σε αυτήν, το 68,3 % των παρατηρήσεων βρίσκεται στο x̄ ± s, το 95 % στο x̄ ± 2s, το 99,7 % στο x̄ ± 3s και το 50 % στο x̄ ± (2/3)s.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η συμμετρία και η σύμπτωση x̄ = δ = Ε.Τ.
Κριτήριο: τουλάχιστον τα ποσοστά 68,3 % και 95 %.
Θετικό: το 50 % στα 2/3 της τυπικής απόκλισης.
Θετικό: η χρήση της απόκλισης από το 68,3 % ως δείκτη ασυμμετρίας.

Ερώτηση 11 — Ο συντελεστής μεταβλητότητας

Ερώτηση: Ο Συντελεστής μεταβλητότητας εκφράζει …………… και ισούται με CV = ……………

Απάντηση:

Τι εκφράζει. Ο συντελεστής μεταβλητότητας (coefficient of variation) συσχετίζει την τυπική απόκλιση με τη μέση τιμή των τιμών της μεταβλητής και είναι καθαρός αριθμός — γι' αυτό μας δίνει τη δυνατότητα συγκρίσεων μεταξύ κατανομών με διαφορετική κλίμακα ή μονάδες.
Ο τύπος. Ορίζεται ως ο λόγος της τυπικής απόκλισης προς τη μέση τιμή και εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό:
\[ CV = \frac{\text{τυπική απόκλιση}}{\text{μέση τιμή}} \cdot 100 = \frac{s}{\bar{x}} \cdot 100\ \% \]
Το πρόβλημα που λύνει — το παράδειγμα των δύο ομίλων (§5.8).

	Όμιλος Α	Όμιλος Β
Εύρος \( R \)	150	150
Μέση τιμή \( \bar{x} \)	280	5.080
Διακύμανση \( s^2 \)	2.600	2.600
Τυπική απόκλιση \( s \)	≈ 51	≈ 51
\( CV \)	18,21 %	≈ 1,00 %

Οι δύο όμιλοι έχουν ταυτόσημη απόλυτη διασπορά. Έχουν όμως οι 51.000 € «την ίδια βαρύτητα» σε επιχειρήσεις με μέσες δαπάνες 280.000 € και 5.080.000 €; Ένας τέτοιος ισχυρισμός θα ήταν λανθασμένος — η σχέση των τιμών με την απόκλιση είναι διαφορετική.
Η ερμηνεία: όσο μικρότερο το ποσοστό, τόσο περισσότερη ομοιογένεια υπάρχει στις τιμές της μεταβλητής. Εδώ η διασπορά του Α σε σχέση με τον μέσο είναι πολύ μεγαλύτερη από του Β.
Γιατί είναι «καθαρός αριθμός». Το \( s \) και το \( \bar{x} \) έχουν τις ίδιες μονάδες — άρα ο λόγος τους είναι αδιάστατος. Αυτό ακριβώς επιτρέπει να συγκρίνεις π.χ. τη διασπορά μισθών (σε €) με τη διασπορά αναστημάτων (σε cm).
(Ο συντελεστής μεταβλητότητας προτάθηκε από τον Karl Pearson — τον ίδιο που το κεφ. 1 αναφέρει ως θεμελιωτή της σύγχρονης Στατιστικής.)

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο συντελεστής μεταβλητότητας συσχετίζει την τυπική απόκλιση με τη μέση τιμή και είναι καθαρός αριθμός, οπότε δίνει τη δυνατότητα συγκρίσεων μεταξύ κατανομών διαφορετικής κλίμακας ή μονάδων. Ισούται με CV = (s/x̄)·100 %. Όσο μικρότερο είναι το ποσοστό, τόσο περισσότερη ομοιογένεια υπάρχει στις τιμές της μεταβλητής.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ο τύπος με το ·100.
Κριτήριο: ο χαρακτηρισμός «καθαρός αριθμός» και η δυνατότητα σύγκρισης.
Κριτήριο: η ερμηνεία μικρό CV → μεγάλη ομοιογένεια.
Παγίδα: να γραφεί ως λόγος διακύμανσης (όχι τυπικής απόκλισης) προς μέση τιμή.

Ερώτηση 12 — Τυπική απόκλιση από τον CV (πολλαπλή επιλογή)

Ερώτηση: Αν η μέση τιμή είναι 2 και ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι 50 %, τότε η τυπική απόκλιση είναι: Α: 0,5 Β: 50 Γ: 1 Δ: 5

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Γ. 1
Λύνουμε τον τύπο του CV ως προς \( s \):
\[ CV = \frac{s}{\bar{x}}\cdot 100 \;\Longrightarrow\; s = \frac{CV \cdot \bar{x}}{100} \]
\[ s = \frac{50 \cdot 2}{100} = \frac{100}{100} = \mathbf{1} \]
Επαλήθευση: \( CV = \frac{1}{2}\cdot 100 = 50\ \% \) ✓
Ο εναλλακτικός, γρηγορότερος δρόμος. \( CV = 50\ \% \) σημαίνει, κατά κυριολεξία, ότι η τυπική απόκλιση είναι το 50 % της μέσης τιμής — δηλαδή το μισό της. Το μισό του 2 είναι 1.
Γιατί οι άλλες επιλογές είναι στημένες:
Α: 0,5 — είναι το CV γραμμένο ως δεκαδικός (50 % = 0,5)· δεν είναι η τυπική απόκλιση.
Β: 50 — το ίδιο το CV, χωρίς να γίνει καμία πράξη.
Δ: 5 — προκύπτει αν ξεχάσεις τη διαίρεση με 100 σε λάθος σημείο.

Ο έλεγχος λογικής. \( CV = 50\ \% \) είναι πολύ υψηλός — δηλώνει κατανομή με μεγάλη σχετική διασπορά, καθόλου ομοιογενή. Μια τυπική απόκλιση ίση με το μισό της μέσης τιμής είναι πράγματι υψηλή. Σύγκρινε με το παράδειγμα του βιβλίου, όπου ο όμιλος Β είχε \( CV \approx 1\ \% \) — πολύ ομοιογενής.

Το γενικό μοτίβο. Ο τύπος του CV συνδέει τρία μεγέθη: \( CV \), \( s \), \( \bar{x} \). Δίνοντάς σου δύο, μπορεί να ζητηθεί οποιοδήποτε από τα τρία. Απομνημόνευσε τη σχέση, όχι μία συγκεκριμένη μορφή της.

Σύνοψη: Γ. 1. Από CV = (s/x̄)·100 προκύπτει s = CV·x̄/100 = 50·2/100 = 1. Επαλήθευση: (1/2)·100 = 50 % ✓. Ισοδύναμα, CV = 50 % σημαίνει ότι η τυπική απόκλιση είναι το μισό της μέσης τιμής.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: σωστή επίλυση του τύπου ως προς s.
Κριτήριο: επαλήθευση του αποτελέσματος.
Θετικό: η ερμηνεία «CV = 50 % → s = μισό της μέσης τιμής».
Παγίδα: η επιλογή Β (50) — απάντηση με το ίδιο το CV.

Ερώτηση 13 — Γιατί είναι σημαντικά τα μέτρα διασποράς

Ερώτηση: Τα μέτρα διασποράς είναι σημαντικά γιατί: ……………

Απάντηση:

Ο πυρήνας της απάντησης (§5.9). Τα μέτρα διασποράς είναι στατιστικά μέτρα που μας πληροφορούν πόσο διάσπαρτες (απλωμένες) γύρω από τα μέτρα θέσης είναι οι παρατηρήσεις μας — και έτσι αποτελούν επιπλέον εργαλείο στα χέρια των αναλυτών, για να αντιληφθούν τον βαθμό αντιπροσωπευτικότητας και αξιοπιστίας των μέτρων θέσης.
Το επιχείρημα του βιβλίου: αν θέλουμε πληρέστερη και ασφαλέστερη εικόνα για ένα πρόβλημα, επιβάλλεται η χρησιμοποίηση των μέτρων θέσης μαζί με αυτά της διασποράς.
Η πρακτική συνέπεια. Αν ένας οικονομικός ερευνητής διαπιστώσει την ύπαρξη υψηλού βαθμού διακύμανσης, αυτό «θα πρέπει να τον προβληματίσει και να τον οδηγήσει σε περαιτέρω έρευνα και μελέτη των δεδομένων του».
Παραδείγματα χρήσης στον οικονομικό χώρο:
η διακύμανση των ποσοτήτων που πωλούνται από τις επιχειρήσεις·
το ύψος των διακυμάνσεων στις τιμές των μετοχών των εταιρειών του Χρηματιστηρίου·
η διακύμανση στις συναλλαγματικές ισοτιμίες του Ευρώ σε σχέση με άλλα νομίσματα.

Το επιχείρημα με ένα παράδειγμα που πείθει. Δύο μηχανές συσκευασίας δίνουν πακέτα με ίδια μέση τιμή βάρους (200 g). Η μέση τιμή δεν τις ξεχωρίζει καθόλου. Μόνο η διασπορά αποκαλύπτει ότι η μία δίνει βάρη 196-205 και η άλλη 192-208 — δηλαδή ότι η πρώτη είναι σαφώς πιο αξιόπιστη. Χωρίς μέτρα διασποράς, η επιχείρηση θα αγόραζε λάθος μηχανή.

Η ουσία σε μία πρόταση: η μέση τιμή σου λέει πού είναι το κέντρο· τα μέτρα διασποράς σου λένε αν αξίζει να το εμπιστευτείς.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Είναι σημαντικά γιατί μας πληροφορούν πόσο διάσπαρτες γύρω από τα μέτρα θέσης είναι οι παρατηρήσεις μας και αποτελούν επιπλέον εργαλείο για να αντιληφθούμε τον βαθμό αντιπροσωπευτικότητας και αξιοπιστίας των μέτρων θέσης. Για πληρέστερη και ασφαλέστερη εικόνα επιβάλλεται η χρήση των μέτρων θέσης μαζί με αυτά της διασποράς· υψηλός βαθμός διακύμανσης πρέπει να οδηγεί σε περαιτέρω έρευνα. Χρησιμοποιούνται ευρύτατα (πωλήσεις, τιμές μετοχών, συναλλαγματικές ισοτιμίες).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: η σύνδεση με την αξιοπιστία των μέτρων θέσης.
Κριτήριο: η θέση ότι επιβάλλεται η από κοινού χρήση θέσης και διασποράς.
Θετικό: τουλάχιστον ένα παράδειγμα από τον οικονομικό χώρο.
Θετικό: παράδειγμα όπου η ίδια μέση τιμή κρύβει διαφορετική αξιοπιστία.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 1 — Οι αριθμοί 2, 3, 6, 9 και η προσθήκη δύο αριθμών

Ερώτηση: Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη μέση απόλυτη απόκλιση και την τυπική απόκλιση των αριθμών: 2, 3, 6, 9. Δύο αριθμοί α και β προστίθενται στο σύνολο των τεσσάρων αριθμών έτσι ώστε η μέση τιμή αυξάνεται κατά 1 και η διακύμανση κατά 2,5. Να βρεθούν οι α και β.

Απάντηση:

ΜΕΡΟΣ Α — τα τρία μέτρα των αρχικών αριθμών (\( \nu = 4 \)).
\[ \bar{x} = \frac{2+3+6+9}{4} = \frac{20}{4} = \mathbf{5} \]

\( x_i \)	\( x_i - \bar{x} \)	\( \|x_i-\bar{x}\| \)	\( (x_i-\bar{x})^2 \)
2	−3	3	9
3	−2	2	4
6	1	1	1
9	4	4	16
Σύνολο	0 ✓	10	30

\[ \text{Μ.Α.Α.} = \frac{10}{4} = \mathbf{2{,}5} \qquad s^2 = \frac{30}{4} = \mathbf{7{,}5} \qquad s = \sqrt{7{,}5} \approx \mathbf{2{,}74} \]
ΜΕΡΟΣ Β — εύρεση των α, β. Το πλήθος γίνεται \( \nu' = 6 \).
Βήμα 1 — τα νέα δεδομένα. Νέα μέση τιμή \( \bar{x}' = 5+1 = \mathbf{6} \)· νέα διακύμανση \( s'^2 = 7{,}5 + 2{,}5 = \mathbf{10} \).
Βήμα 2 — πρώτη εξίσωση, από τη μέση τιμή.
\[ \frac{20 + \alpha + \beta}{6} = 6 \;\Longrightarrow\; 20+\alpha+\beta = 36 \;\Longrightarrow\; \boxed{\alpha + \beta = 16} \]
Βήμα 3 — δεύτερη εξίσωση, από τη διακύμανση. Με τον εύχρηστο τύπο \( s^2 = \frac{\sum x^2}{\nu} - \bar{x}^2 \):
\[ 10 = \frac{\sum x'^2}{6} - 6^2 \;\Longrightarrow\; \sum x'^2 = 6\,(10+36) = 276 \]
Το αρχικό άθροισμα τετραγώνων είναι \( 4+9+36+81 = 130 \), άρα:
\[ \boxed{\alpha^2 + \beta^2 = 276 - 130 = 146} \]
Βήμα 4 — λύνουμε το σύστημα με τους τύπους Vieta.
\[ \alpha\beta = \frac{(\alpha+\beta)^2 - (\alpha^2+\beta^2)}{2} = \frac{16^2 - 146}{2} = \frac{256-146}{2} = \frac{110}{2} = 55 \]
Οι α, β είναι οι ρίζες της \( t^2 - 16t + 55 = 0 \):
\[ \Delta = 256 - 220 = 36, \quad \sqrt{\Delta} = 6 \;\Longrightarrow\; t = \frac{16 \pm 6}{2} = 11 \ \text{ή} \ 5 \]
\[ \boxed{\alpha = 5,\ \beta = 11} \quad \text{(ή αντίστροφα)} \]
Επαλήθευση. Οι έξι αριθμοί είναι 2, 3, 5, 6, 9, 11:
\( \bar{x}' = \frac{36}{6} = 6 \) ✓ (αύξηση κατά 1)
\( \sum x'^2 = 4+9+25+36+81+121 = 276 \) → \( s'^2 = \frac{276}{6} - 36 = 46 - 36 = 10 \) ✓ (αύξηση κατά 2,5)

Γιατί ο εύχρηστος τύπος (5.5) είναι εδώ απαραίτητος. Με τον ορισμό \( s^2 = \frac{\sum(x-\bar{x})^2}{\nu} \) θα έπρεπε να γράψεις \( (\alpha-6)^2 + (\beta-6)^2 \) και να αναπτύξεις — καταλήγεις στην ίδια εξίσωση αλλά με περισσότερα βήματα. Ο τύπος 5.5 δίνει κατευθείαν το \( \alpha^2+\beta^2 \), που είναι ακριβώς η δεύτερη συμμετρική συνάρτηση που χρειάζεσαι.

Σύνοψη: Αρχικοί αριθμοί: x̄ = 5, Μ.Α.Α. = 10/4 = 2,5, s² = 30/4 = 7,5, s = √7,5 ≈ 2,74. Με προσθήκη των α, β (ν = 6): νέα μέση 6 και νέα διακύμανση 10. Από τη μέση τιμή: α+β = 36−20 = 16. Από τη διακύμανση: Σx'² = 6(10+36) = 276, άρα α²+β² = 276−130 = 146. Τότε αβ = (256−146)/2 = 55 και οι α, β είναι ρίζες της t²−16t+55 = 0, δηλαδή α = 5 και β = 11. Επαλήθευση με τους αριθμούς 2, 3, 5, 6, 9, 11: x̄ = 6 ✓, s² = 276/6 − 36 = 10 ✓

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: το πλήθος να γίνει 6 και στις δύο εξισώσεις.
Κριτήριο: χρήση του εύχρηστου τύπου (5.5) για τη δεύτερη εξίσωση.
Κριτήριο: σύστημα α+β = 16 και α²+β² = 146.
Κριτήριο: επαλήθευση και της μέσης τιμής και της διακύμανσης.
Παγίδα: να διατηρηθεί ν = 4 μετά την προσθήκη των δύο αριθμών.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 2 — Μηνιαίοι μισθοί 5 υπαλλήλων

Ερώτηση: Οι μηνιαίοι μισθοί 5 υπαλλήλων μιας επιχείρησης σε ευρώ είναι 800, 1000, 1000, 1200, 1400. Να βρεθούν και να ερμηνευθούν: α) η μέση τιμή, β) η μέση απόλυτη απόκλιση και γ) η τυπική απόκλιση.

Απάντηση:

α) Μέση τιμή (\( \nu = 5 \)):
\[ \bar{x} = \frac{800+1000+1000+1200+1400}{5} = \frac{5.400}{5} = \mathbf{1.080}\ \text{€} \]
Ερμηνεία: ο μέσος μηνιαίος μισθός στην επιχείρηση είναι 1.080 €.
Ο πίνακας εργασίας:

\( x_i \)	\( x_i - \bar{x} \)	\( \|x_i-\bar{x}\| \)	\( (x_i-\bar{x})^2 \)
800	−280	280	78.400
1.000	−80	80	6.400
1.000	−80	80	6.400
1.200	120	120	14.400
1.400	320	320	102.400
Σύνολο	0 ✓	880	208.000

β) Μέση απόλυτη απόκλιση:
\[ \text{Μ.Α.Α.} = \frac{880}{5} = \mathbf{176}\ \text{€} \]
Ερμηνεία: ο μισθός κάθε υπαλλήλου απέχει, κατά μέσο όρο, 176 € από τον μέσο μισθό των 1.080 €.
γ) Διακύμανση και τυπική απόκλιση:
\[ s^2 = \frac{208.000}{5} = 41.600\ \text{€}^2 \qquad s = \sqrt{41.600} \approx \mathbf{203{,}96}\ \text{€} \]
Ερμηνεία: η τυπική απόκλιση των μισθών είναι περίπου 204 €. Πρόσεξε ότι η διακύμανση (41.600 €²) δεν ερμηνεύεται — οι μονάδες «ευρώ στο τετράγωνο» δεν έχουν φυσικό νόημα. Γι' αυτό ερμηνεύουμε πάντα το \( s \).
Επαλήθευση με τον εύχρηστο τύπο (5.5):
\[ \sum x_i^2 = 640.000+1.000.000+1.000.000+1.440.000+1.960.000 = 6.040.000 \]
\[ s^2 = \frac{6.040.000}{5} - 1.080^2 = 1.208.000 - 1.166.400 = 41.600 \;✓ \]
Η σύγκριση των δύο μέτρων — γιατί \( s > \text{Μ.Α.Α.} \). Πάντα ισχύει \( s \ge \text{Μ.Α.Α.} \) (εδώ 204 έναντι 176). Ο λόγος: η ύψωση στο τετράγωνο δίνει δυσανάλογα μεγάλο βάρος στις μεγάλες αποκλίσεις. Στα δεδομένα μας, οι δύο ακραίοι μισθοί (800 και 1.400) συνεισφέρουν \( \frac{78.400+102.400}{208.000} = 87\ \% \) της διακύμανσης, ενώ στη Μ.Α.Α. συνεισφέρουν μόλις \( \frac{280+320}{880} = 68\ \% \).
Συνολική εικόνα. \( CV = \frac{203{,}96}{1.080}\cdot 100 \approx 18{,}9\ \% \) — μέτρια σχετική διασπορά. Οι μισθοί απλώνονται σε εύρος \( R = 600 \) €, με τη διάμεσο (1.000 €) μικρότερη από τη μέση τιμή → θετική ασυμμετρία: ο ένας υψηλός μισθός των 1.400 € τραβά τον μέσο πάνω.

Σύνοψη: α) x̄ = 5.400/5 = 1.080 €: ο μέσος μηνιαίος μισθός. β) Μ.Α.Α. = 880/5 = 176 €: κάθε μισθός απέχει κατά μέσο όρο 176 € από τον μέσο. γ) s² = 208.000/5 = 41.600 €², άρα s ≈ 203,96 €. Η διακύμανση δεν ερμηνεύεται (μονάδες €²)· ερμηνεύεται η τυπική απόκλιση. Επαλήθευση με τον τύπο 5.5: Σx² = 6.040.000 → s² = 1.208.000 − 1.166.400 = 41.600 ✓. CV ≈ 18,9 %.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα τρία μέτρα με ερμηνεία — το ζητά η εκφώνηση.
Κριτήριο: έλεγχος Σ(xi − x̄) = 0.
Κριτήριο: η διακύμανση σε €² να μην ερμηνεύεται ως ποσό.
Θετικό: επαλήθευση με τον εύχρηστο τύπο.
Θετικό: η παρατήρηση ότι πάντα s ≥ Μ.Α.Α.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 3 — Οι ιδιότητες της διακύμανσης στην πράξη

Ερώτηση: Να δείξετε ότι η τυπική απόκλιση των αριθμών 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 είναι 2. Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα που βρήκατε υπολογίστε την τυπική απόκλιση των αριθμών: i) 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 · ii) 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700

Απάντηση:

ΜΕΡΟΣ Α — απόδειξη ότι \( s = 2 \). \( \nu = 7 \):
\[ \bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7} = \frac{28}{7} = 4 \]

\( x_i \)	1	2	3	4	5	6	7	Σ
\( x_i-\bar{x} \)	−3	−2	−1	0	1	2	3	0 ✓
\( (x_i-\bar{x})^2 \)	9	4	1	0	1	4	9	28

\[ s^2 = \frac{28}{7} = 4 \;\Longrightarrow\; s = \sqrt{4} = \mathbf{2} \quad ✓ \]

Η κομψή σύμπτωση: εδώ \( \sum x_i = \sum(x_i-\bar{x})^2 = 28 \), οπότε \( \bar{x} = 4 \) και \( s^2 = 4 \) — τυχαίο, αλλά βολικό για απομνημόνευση.

ΜΕΡΟΣ Β — εδώ ζητείται ΡΗΤΑ να χρησιμοποιηθεί το αποτέλεσμα, όχι νέος υπολογισμός.
i) Οι αριθμοί 11, 12, …, 17. Παρατήρησε ότι \( y_i = x_i + \mathbf{10} \): κάθε τιμή αυξήθηκε κατά τη σταθερά 10.
Ιδιότητα ① της §5.7: αν σε κάθε τιμή προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε σταθερό αριθμό κ, η διακύμανση παραμένει αμετάβλητη.
\[ s_y^2 = s_x^2 = 4 \;\Longrightarrow\; s_y = \mathbf{2} \]
Γιατί. Η πρόσθεση σταθεράς μετατοπίζει ολόκληρη την κατανομή (η μέση τιμή γίνεται 14), αλλά οι αποστάσεις μεταξύ των τιμών μένουν ίδιες — και η διασπορά μετρά ακριβώς αυτές τις αποστάσεις.
ii) Οι αριθμοί 100, 200, …, 700. Εδώ \( y_i = \mathbf{100}\,x_i \): κάθε τιμή πολλαπλασιάστηκε επί 100.
Ιδιότητα ② της §5.7: η διακύμανση πολλαπλασιάζεται επί το τετράγωνο του αριθμού:
\[ s_y^2 = 100^2 \cdot s_x^2 = 10.000 \cdot 4 = 40.000 \;\Longrightarrow\; s_y = \sqrt{40.000} = \mathbf{200} \]
Ισοδύναμα και ταχύτερα: \( s_y = |\alpha|\,s_x = 100 \cdot 2 = 200 \).
Επαλήθευση (μόνο για έλεγχο — δεν ήταν το ζητούμενο): για τους 100…700, \( \bar{y} = 400 \), αποκλίσεις −300, −200, −100, 0, 100, 200, 300 → τετράγωνα με άθροισμα 280.000 → \( s^2 = 40.000 \) → \( s = 200 \) ✓

Το δίδαγμα της άσκησης — γιατί μπήκε. Οι δύο μετασχηματισμοί μοιάζουν «αντίστοιχοι» αλλά έχουν τελείως διαφορετική επίδραση:

	Μέση τιμή	Διακύμανση	Τυπική απόκλιση
\( +\kappa \) (μετατόπιση)	\( \bar{x}+\kappa \) → 4 → 14	αμετάβλητη (4)	αμετάβλητη (2)
\( \times\alpha \) (κλιμάκωση)	\( \alpha\bar{x} \) → 4 → 400	\( \times\alpha^2 \) → 4 → 40.000	\( \times\alpha \) → 2 → 200

Η διαισθητική εξήγηση. Αν όλοι οι μισθοί αυξηθούν κατά 100 €, η ανισότητα μεταξύ τους μένει ίδια. Αν αυξηθούν επί 100, η ανισότητα εκατονταπλασιάζεται.

Σύνοψη: Για τους 1..7: x̄ = 28/7 = 4, Σ(xi−x̄)² = 28, άρα s² = 4 και s = 2 ✓. i) Οι 11..17 προκύπτουν με πρόσθεση της σταθεράς 10: η διακύμανση παραμένει αμετάβλητη (ιδιότητα ①), άρα s = 2. ii) Οι 100..700 προκύπτουν με πολλαπλασιασμό επί 100: s² × 100² = 40.000 (ιδιότητα ②), άρα s = 100·2 = 200.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: απόδειξη του s = 2 με πλήρη υπολογισμό.
Κριτήριο: τα (i) και (ii) να λυθούν με τις ιδιότητες, όχι με νέο υπολογισμό — το ζητά ρητά η εκφώνηση.
Κριτήριο: στο (ii) η διακύμανση επί α², η τυπική απόκλιση επί α.
Παγίδα: στο (i) να αλλάξει η τυπική απόκλιση κατά 10.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 4 — Σύγκριση δύο ομάδων εργαζομένων

Ερώτηση: Οι μηνιαίες αποδοχές δύο ομάδων εργαζομένων σε ευρώ δίνονται παρακάτω — Α′ ομάδα: 1000, 1200, 1250, 1000, 1200, 1300 · Β′ ομάδα: 1000, 1100, 1200, 1000, 1250, 1400. Να βρεθούν: i) Η μέση τιμή των αποδοχών της κάθε ομάδας εργαζομένων. ii) Η τυπική απόκλιση της κάθε ομάδας. iii) Η μέση απόλυτη απόκλιση κάθε ομάδας. iv) Να συγκριθούν και να σχολιαστούν τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

i) Μέσες τιμές — και η έκπληξη της άσκησης. \( \nu = 6 \) σε κάθε ομάδα:
\[ \Sigma_A = 1000+1200+1250+1000+1200+1300 = 6.950 \]
\[ \Sigma_B = 1000+1100+1200+1000+1250+1400 = 6.950 \]
\[ \bar{x}_A = \bar{x}_B = \frac{6.950}{6} = \frac{3.475}{3} \approx \mathbf{1.158{,}33}\ \text{€} \]

Οι δύο ομάδες έχουν ΑΚΡΙΒΩΣ την ίδια μέση τιμή. Αυτό δεν είναι σύμπτωση — είναι ο σκοπός της άσκησης. Με μόνο τη μέση τιμή οι δύο ομάδες είναι αδιάκριτες.

ii) ΚΑΙ iii) Οι πίνακες εργασίας.
Ομάδα Α΄ (ταξινομημένα: 1000, 1000, 1200, 1200, 1250, 1300):

\( x_i \)	\( x_i-\bar{x} \)	\( \|x_i-\bar{x}\| \)	\( (x_i-\bar{x})^2 \)
1.000	−158,33	158,33	25.069
1.000	−158,33	158,33	25.069
1.200	41,67	41,67	1.736
1.200	41,67	41,67	1.736
1.250	91,67	91,67	8.403
1.300	141,67	141,67	20.069
Σύνολο	0 ✓	633,33	82.083

\[ \text{Μ.Α.Α.}_A = \frac{633{,}33}{6} \approx \mathbf{105{,}56}\ \text{€} \]
\[ s_A^2 = \frac{82.083}{6} \approx 13.680{,}56 \;\Longrightarrow\; s_A \approx \mathbf{116{,}96}\ \text{€} \]
Ομάδα Β΄ (ταξινομημένα: 1000, 1000, 1100, 1200, 1250, 1400):

\( x_i \)	\( \|x_i-\bar{x}\| \)	\( (x_i-\bar{x})^2 \)
1.000	158,33	25.069
1.000	158,33	25.069
1.100	58,33	3.403
1.200	41,67	1.736
1.250	91,67	8.403
1.400	241,67	58.403
Σύνολο	750,00	122.083

\[ \text{Μ.Α.Α.}_B = \frac{750}{6} = \mathbf{125{,}00}\ \text{€} \]
\[ s_B^2 = \frac{122.083}{6} \approx 20.347{,}22 \;\Longrightarrow\; s_B \approx \mathbf{142{,}64}\ \text{€} \]
iv) Σύγκριση και σχολιασμός.

	Ομάδα Α΄	Ομάδα Β΄
Μέση τιμή	1.158,33 €	1.158,33 € (ίδια)
Εύρος \( R \)	1.300 − 1.000 = 300 €	1.400 − 1.000 = 400 €
Μ.Α.Α.	105,56 €	125,00 €
Διακύμανση \( s^2 \)	13.680,56	20.347,22
Τυπική απόκλιση \( s \)	116,96 €	142,64 €
\( CV \)	10,10 %	12,31 %

Το συμπέρασμα. Και τα τρία μέτρα διασποράς (εύρος, Μ.Α.Α., τυπική απόκλιση) συμφωνούν: η ομάδα Α΄ είναι πιο ομοιογενής. Η \( s_B \) είναι κατά 22 % μεγαλύτερη από την \( s_A \), και η διακύμανση της Β΄ σχεδόν 50 % μεγαλύτερη.
Πού οφείλεται η διαφορά. Στα άκρα: η ομάδα Β΄ έχει έναν μισθό 1.400 €, ενώ ο υψηλότερος της Α΄ είναι 1.300 €. Στη διακύμανση, αυτή η μία τιμή συνεισφέρει 58.403 από τα 122.083 — δηλαδή σχεδόν το μισό της συνολικής διασποράς της ομάδας.
Η επιχειρησιακή ανάγνωση. Στην Α΄ οι αμοιβές είναι πιο συμπιεσμένες — η μέση τιμή είναι αντιπροσωπευτική του τι πραγματικά παίρνει ένας εργαζόμενος. Στη Β΄ υπάρχει μεγαλύτερη μισθολογική διαφοροποίηση: ένας εργαζόμενος αμείβεται σαφώς καλύτερα από τους υπόλοιπους. Ποια δομή είναι «καλύτερη» εξαρτάται από την πολιτική της επιχείρησης — η Στατιστική απλώς την αποκαλύπτει.

Το δίδαγμα σε μία πρόταση. Δύο σύνολα δεδομένων με ταυτόσημη μέση τιμή μπορεί να περιγράφουν τελείως διαφορετικές πραγματικότητες. Αυτός είναι όλος ο λόγος ύπαρξης του κεφαλαίου 5.

Σύνοψη: i) Και οι δύο ομάδες έχουν Σ = 6.950 και x̄ = 3.475/3 ≈ 1.158,33 € — ταυτόσημη μέση τιμή. ii) sA ≈ 116,96 € (s²A ≈ 13.680,56) και sB ≈ 142,64 € (s²B ≈ 20.347,22). iii) Μ.Α.Α.A ≈ 105,56 € και Μ.Α.Α.B = 125,00 €. iv) Και τα τρία μέτρα διασποράς (R: 300 έναντι 400, Μ.Α.Α., s) δείχνουν ότι η ομάδα Α΄ είναι πιο ομοιογενής· CV: 10,10 % έναντι 12,31 %. Η διαφορά οφείλεται κυρίως στον μισθό των 1.400 € της Β΄, που συνεισφέρει σχεδόν το μισό της διακύμανσής της.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: να διαπιστωθεί η ταυτόσημη μέση τιμή — είναι το κλειδί της άσκησης.
Κριτήριο: και τα τρία μέτρα για κάθε ομάδα.
Κριτήριο: σχολιασμός με συμπέρασμα ποια ομάδα είναι πιο ομοιογενής.
Θετικό: εντοπισμός της αιτίας (ο μισθός των 1.400 €).
Θετικό: υπολογισμός του CV για σχετική σύγκριση.
Παγίδα: να δοθεί απάντηση μόνο με τη μέση τιμή, χωρίς διασπορά.

Ομάδα Α΄, Άσκηση 5 — Ενοίκια 25 εμπορικών επιχειρήσεων

Ερώτηση: Το ύψος των μηνιαίων εξόδων ενοικίου που καταβάλλουν 25 εμπορικές επιχειρήσεις δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα σε χιλιάδες ευρώ — Ενοίκια: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 · Επιχειρήσεις: 1, 2, 6, 7, 4, 2, 2, 1. Να βρεθούν και να ερμηνευθούν: i) Η μέση τιμή του ενοικίου. ii) Η διάμεση τιμή του ενοικίου. iii) Το εύρος μεταβολής. iv) Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση.

Απάντηση:

Ο πίνακας εργασίας (δεδομένα ταξινομημένα διακριτά — τύπος 5.6):

\( x_i \)	\( \nu_i \)	\( \nu_i x_i \)	\( x_i^2 \)	\( \nu_i x_i^2 \)	\( N_i \)
2	1	2	4	4	1
3	2	6	9	18	3
5	6	30	25	150	9
6	7	42	36	252	16
7	4	28	49	196	20
8	2	16	64	128	22
9	2	18	81	162	24
10	1	10	100	100	25
Σύνολο	25	152	—	1.010	—

Έλεγχοι: \( \Sigma\nu_i = 25 \) ✓ · \( N_8 = 25 = \nu \) ✓
i) Μέση τιμή (τύπος 4.3):
\[ \bar{x} = \frac{\sum \nu_i x_i}{\nu} = \frac{152}{25} = \mathbf{6{,}08}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: το μέσο μηνιαίο ενοίκιο είναι 6.080 €.
ii) Διάμεσος. Δεδομένα διακριτά → θέση \( \dfrac{\nu+1}{2} = \dfrac{26}{2} = 13 \). Από τη στήλη \( N_i \): \( N(5) = 9 < 13 \le 16 = N(6) \):
\[ \delta = \mathbf{6}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: οι μισές επιχειρήσεις πληρώνουν ενοίκιο έως 6.000 € και οι άλλες μισές περισσότερο.
iii) Εύρος μεταβολής (τύπος 5.1):
\[ R = 10 - 2 = \mathbf{8}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: η διαφορά μεταξύ του ακριβότερου και του φθηνότερου ενοικίου είναι 8.000 €.
iv) Διακύμανση και τυπική απόκλιση (τύπος 5.6):
\[ s^2 = \frac{\sum \nu_i x_i^2}{\nu} - \bar{x}^2 = \frac{1.010}{25} - (6{,}08)^2 = 40{,}40 - 36{,}9664 = \mathbf{3{,}4336} \]
\[ s = \sqrt{3{,}4336} \approx \mathbf{1{,}853}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: τα ενοίκια αποκλίνουν, τυπικά, κατά περίπου 1.853 € από τον μέσο των 6.080 €.
Η συνολική εικόνα.
\( \bar{x} = 6{,}08 \approx \delta = 6 = \) Ε.Τ. (η τιμή 6 έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα, \( \nu = 7 \)) — και τα τρία μέτρα θέσης πρακτικά συμπίπτουν, άρα η κατανομή είναι σχεδόν συμμετρική (κοντά στην κανονική).
\( CV = \frac{1{,}853}{6{,}08}\cdot 100 \approx 30{,}5\ \% \) — αρκετά υψηλή σχετική διασπορά: παρά τη συμμετρία, τα ενοίκια απλώνονται σημαντικά.
Το 56 % των επιχειρήσεων (\( 6+7 = 13 \)) πληρώνει 5 ή 6 χιλ. €, δηλαδή συγκεντρώνεται γύρω από τον μέσο.

Έλεγχος ευλογοφάνειας. Αφού η κατανομή είναι σχεδόν κανονική, στο \( [\bar{x}-s, \bar{x}+s] = [4{,}23,\ 7{,}93] \) θα περιμέναμε ~68 % των παρατηρήσεων. Πράγματι, οι τιμές 5, 6, 7 δίνουν \( 6+7+4 = 17 \) επιχειρήσεις, δηλαδή 68 % — ακριβώς το αναμενόμενο. Καλή επιβεβαίωση της συμμετρίας.

Σύνοψη: ν = 25, Σνx = 152, Σνx² = 1.010. i) x̄ = 152/25 = 6,08 χιλ. € (μέσο ενοίκιο 6.080 €). ii) δ = 6 χιλ. € (θέση 13, μεταξύ Ν=9 και Ν=16): οι μισές επιχειρήσεις πληρώνουν έως 6.000 €. iii) R = 10 − 2 = 8 χιλ. €. iv) s² = 1.010/25 − 6,08² = 40,40 − 36,9664 = 3,4336 και s ≈ 1,853 χιλ. €. Μέση τιμή, διάμεσος και επικρατούσα τιμή (6) πρακτικά συμπίπτουν — κατανομή σχεδόν συμμετρική· CV ≈ 30,5 %.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: στήλες νixi και νixi² και έλεγχος Σνi = 25.
Κριτήριο: θέση διαμέσου (ν+1)/2 — δεδομένα διακριτά.
Κριτήριο: χρήση του τύπου 5.6 για τη διακύμανση.
Κριτήριο: ερμηνεία και των τεσσάρων μεγεθών.
Παγίδα: σύγχυση νixi² με (νixi)².

Ομάδα Α΄, Άσκηση 6 — Διαφημιστικά έξοδα 30 επιχειρήσεων (ομαδοποιημένα)

Ερώτηση: Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα ύψη των ετήσιων διαφημιστικών εξόδων σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τις 30 πρώτες σε πωλήσεις επιχειρήσεις ενός εμπορικού κλάδου — Διαφημιστικά έξοδα / Αριθμός επιχειρήσεων: 0-20: 2 · 20-40: 3 · 40-60: 8 · 60-80: 10 · 80-100: 4 · 100-120: 2 · 120-140: 1 (Σύνολο 30). Ζητείται να υπολογισθούν και να ερμηνευθούν: i) Η μέση τιμή. ii) Η διακύμανση. iii) Η τυπική απόκλιση.

Απάντηση:

Δεδομένα ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ — χρησιμοποιούμε τις κεντρικές τιμές \( x_i' \) και τον τύπο 5.7. Πλάτος κλάσης \( c = 20 \) παντού.

Ο πίνακας εργασίας:

Κλάση	\( x_i' \)	\( \nu_i \)	\( \nu_i x_i' \)	\( \nu_i x_i'^2 \)	\( N_i \)
[0, 20)	10	2	20	200	2
[20, 40)	30	3	90	2.700	5
[40, 60)	50	8	400	20.000	13
[60, 80)	70	10	700	49.000	23
[80, 100)	90	4	360	32.400	27
[100, 120)	110	2	220	24.200	29
[120, 140)	130	1	130	16.900	30
Σύνολο	—	30	1.920	145.400	—

Έλεγχοι: \( \Sigma\nu_i = 30 \) ✓ · \( N_7 = 30 \) ✓
i) Μέση τιμή (τύπος 4.4):
\[ \bar{x} = \frac{\sum \nu_i x_i'}{\nu} = \frac{1.920}{30} = \mathbf{64}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: οι 30 επιχειρήσεις δαπάνησαν κατά μέσο όρο 64.000 € ετησίως για διαφήμιση.
ii) Διακύμανση (τύπος 5.7):
\[ s^2 = \frac{\sum \nu_i x_i'^2}{\nu} - \bar{x}^2 = \frac{145.400}{30} - 64^2 = 4.846{,}67 - 4.096 \approx \mathbf{750{,}67} \]
Ερμηνεία: η διακύμανση εκφράζεται σε (χιλ. €)² — δεν ερμηνεύεται άμεσα, είναι ενδιάμεσο μέγεθος.
iii) Τυπική απόκλιση:
\[ s = \sqrt{750{,}67} \approx \mathbf{27{,}40}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: τα διαφημιστικά έξοδα αποκλίνουν, τυπικά, κατά 27.400 € από τον μέσο των 64.000 €.
Η συνολική εικόνα.
Διάμεσος (τύπος 4.5, θέση \( \nu/2 = 15 \), κλάση [60,80) με \( N_{i-1} = 13 \), \( \nu_i = 10 \)):
\[ \delta = 60 + \frac{20}{10}(15-13) = 60 + 4 = \mathbf{64}\ \text{χιλ. €} \]

Η διάμεσος βγαίνει ΑΚΡΙΒΩΣ ίση με τη μέση τιμή (64). Η κατανομή είναι πρακτικά συμμετρική — και μάλιστα η επικρατούσα κλάση είναι η ίδια, η [60,80), με \( \nu = 10 \). Κλασικό παράδειγμα κανονικής κατανομής.

\( CV = \frac{27{,}40}{64}\cdot 100 \approx \mathbf{42{,}8\ \%} \) — πολύ υψηλή σχετική διασπορά.
Η διοικητική ανάγνωση — και εδώ είναι το ενδιαφέρον. Παρότι η κατανομή είναι συμμετρική, ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι πολύ υψηλός (43 %). Δηλαδή: οι επιχειρήσεις κατανέμονται ισορροπημένα γύρω από τον μέσο, αλλά οι διαφημιστικές τους δαπάνες διαφέρουν δραματικά — από κάτω από 20.000 € ως πάνω από 120.000 €, δηλαδή εξαπλάσια διαφορά.

Το μάθημα: συμμετρία ≠ ομοιογένεια. Η μία περιγράφει το σχήμα της κατανομής, η άλλη το πόσο απλωμένη είναι. Μια κατανομή μπορεί να είναι τέλεια συμμετρική και ταυτόχρονα εξαιρετικά διάσπαρτη.

Σύνοψη: ν = 30, Σνx′ = 1.920, Σνx′² = 145.400. i) x̄ = 1.920/30 = 64 χιλ. €: μέση ετήσια διαφημιστική δαπάνη 64.000 €. ii) s² = 145.400/30 − 64² = 4.846,67 − 4.096 ≈ 750,67 (χιλ. €)² — δεν ερμηνεύεται άμεσα. iii) s ≈ 27,40 χιλ. €: τυπική απόκλιση 27.400 € από τον μέσο. Η διάμεσος βγαίνει επίσης 64 και η επικρατούσα κλάση είναι η [60,80) — κατανομή πρακτικά συμμετρική· CV ≈ 42,8 %, δηλαδή πολύ υψηλή σχετική διασπορά παρά τη συμμετρία.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: κεντρικές τιμές x′i και έλεγχος Σνi = 30.
Κριτήριο: τύπος 5.7 με το x̄ υψωμένο στο τετράγωνο.
Κριτήριο: ερμηνεία και των τριών μεγεθών· η διακύμανση σε (χιλ. €)².
Θετικό: υπολογισμός της διαμέσου και διαπίστωση της συμμετρίας.
Θετικό: η διάκριση συμμετρία ≠ ομοιογένεια μέσω του CV.

Ομάδα Β΄, Άσκηση 1 — Σάκοι αλατιού: μέση τιμή και τυπική απόκλιση από μετατοπισμένα αθροίσματα

Ερώτηση: Σε εργοστάσιο συσκευασίας αλατιού, ο υπεύθυνος ισχυρίζεται ότι σε κάθε σάκο αλάτι περιέχονται 25 kg. Επιλέχθηκαν 80 σάκοι και μετρήθηκε η μάζα (x σε kg) του κάθε σάκου. Τα αποτελέσματα ήταν τα εξής: Σ(x − 25) = 27,2 και Σ(x − 25)² = 85,1. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των μαζών.

Απάντηση:

Η άσκηση λύνεται ΧΩΡΙΣ να ξέρουμε ούτε μία από τις 80 μετρήσεις. Αρκούν τα δύο αθροίσματα και οι ιδιότητες της §5.7. Αυτή είναι η ουσία της.

Το κόλπο: εργαζόμαστε με τη μετατοπισμένη μεταβλητή. Θέτουμε
\[ y = x - 25 \]
Δίνονται \( \sum y = 27{,}2 \), \( \sum y^2 = 85{,}1 \) και \( \nu = 80 \).
Βήμα 1 — μέση τιμή του y:
\[ \bar{y} = \frac{\sum y}{\nu} = \frac{27{,}2}{80} = 0{,}34 \]
Βήμα 2 — μέση τιμή του x. Από την ιδιότητα 1 της μέσης τιμής (κεφ. 4): αν \( y = x - 25 \), τότε \( \bar{y} = \bar{x} - 25 \), άρα:
\[ \bar{x} = \bar{y} + 25 = 0{,}34 + 25 = \mathbf{25{,}34}\ \text{kg} \]
Βήμα 3 — διακύμανση του y (εύχρηστος τύπος 5.5):
\[ s_y^2 = \frac{\sum y^2}{\nu} - \bar{y}^2 = \frac{85{,}1}{80} - (0{,}34)^2 = 1{,}063750 - 0{,}115600 = \mathbf{0{,}948150} \]
Βήμα 4 — διακύμανση του x. Εδώ μπαίνει η ιδιότητα ① της §5.7:

«Αν σε κάθε τιμή της μεταβλητής προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε έναν σταθερό αριθμό κ, τότε η διακύμανση παραμένει αμετάβλητη.»

\[ s_x^2 = s_y^2 = 0{,}948150 \;\Longrightarrow\; s_x = \sqrt{0{,}948150} \approx \mathbf{0{,}9737}\ \text{kg} \]
Άρα: \( \bar{x} = 25{,}34 \) kg και \( s \approx 0{,}97 \) kg.
Η απάντηση στο πραγματικό ερώτημα — ισχύει ο ισχυρισμός των 25 kg;
Η μέση μάζα είναι 25,34 kg, δηλαδή 0,34 kg πάνω από τον ισχυρισμό. Το εργοστάσιο δεν υπολείπεται — αντίθετα, δίνει ελαφρώς περισσότερο αλάτι.
Η τυπική απόκλιση 0,97 kg όμως είναι σημαντική: αν η κατανομή είναι κανονική, το 68,3 % των σάκων βρίσκεται στο \( 25{,}34 \pm 0{,}97 \), δηλαδή 24,37 – 26,31 kg, και το 95 % στο 23,4 – 27,3 kg.
Δηλαδή αρκετοί σάκοι περιέχουν λιγότερο από 25 kg — ζήτημα συνέπειας παραγωγής, όχι μέσου όρου. \( CV = \frac{0{,}97}{25{,}34}\cdot 100 \approx 3{,}8\ \% \).

Γιατί έχει σημασία η διασπορά για τον ισχυρισμό. Αν η μέση μάζα ήταν ακριβώς 25,00 kg, περίπου οι μισοί σάκοι θα είχαν λιγότερο από 25 kg. Όσο μεγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο πάνω από τα 25 kg πρέπει να βρίσκεται η μέση μάζα, ώστε να μειωθεί το ποσοστό των «ελλιπών» σάκων. Τα μέτρα διασποράς καθορίζουν πόσο αξιόπιστος είναι ο ισχυρισμός.

Σύνοψη: Θέτουμε y = x − 25 με Σy = 27,2, Σy² = 85,1, ν = 80. Τότε ȳ = 27,2/80 = 0,34 και, από την ιδιότητα της μέσης τιμής, x̄ = 25 + 0,34 = 25,34 kg. Η διακύμανση: s²y = 85,1/80 − 0,34² = 1,06375 − 0,1156 = 0,94815· επειδή η αφαίρεση σταθεράς δεν μεταβάλλει τη διακύμανση (§5.7), s²x = 0,94815 και s ≈ 0,9737 kg. Η μέση μάζα υπερβαίνει τα 25 kg, αλλά με s ≈ 0,97 kg αρκετοί σάκοι περιέχουν λιγότερο από 25 kg.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: χρήση της μετατόπισης y = x − 25 αντί για ανακατασκευή των δεδομένων.
Κριτήριο: ρητή επίκληση της ιδιότητας «η διακύμανση δεν αλλάζει με πρόσθεση/αφαίρεση σταθεράς».
Κριτήριο: σωστός εύχρηστος τύπος s² = Σy²/ν − ȳ².
Θετικό: σχολιασμός του ισχυρισμού των 25 kg με βάση και τη διασπορά.
Παγίδα: να προστεθεί το 25 και στην τυπική απόκλιση.

Ομάδα Β΄, Άσκηση 2 — Ετήσια κέρδη 20 επιχειρήσεων

Ερώτηση: Το ύψος των ετήσιων κερδών μίας ομάδας 20 επιχειρήσεων σε χιλιάδες ευρώ είναι — Κέρδη: 25, 30, 35, 40, 45, 50 · Επιχειρήσεις: 3, 3, 6, 5, 2, 1. Ζητείται να υπολογισθούν και να ερμηνευθούν: i) Η μέση τιμή. ii) Η διάμεσος. iii) Το εύρος μεταβολής. iv) Η τυπική απόκλιση. v) Ο συντελεστής μεταβλητότητας.

Απάντηση:

Ο πίνακας εργασίας (ταξινομημένα διακριτά δεδομένα):

\( x_i \)	\( \nu_i \)	\( \nu_i x_i \)	\( \nu_i x_i^2 \)	\( N_i \)
25	3	75	1.875	3
30	3	90	2.700	6
35	6	210	7.350	12
40	5	200	8.000	17
45	2	90	4.050	19
50	1	50	2.500	20
Σύνολο	20	715	26.475	—

Έλεγχοι: \( \Sigma\nu_i = 20 \) ✓ · \( N_6 = 20 \) ✓
i) Μέση τιμή:
\[ \bar{x} = \frac{715}{20} = \mathbf{35{,}75}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: τα μέσα ετήσια κέρδη ανά επιχείρηση είναι 35.750 €.
ii) Διάμεσος. Δεδομένα διακριτά → θέση \( \dfrac{\nu+1}{2} = \dfrac{21}{2} = 10{,}5 \). Από τη στήλη \( N_i \): \( N(30) = 6 < 10{,}5 \le 12 = N(35) \) — τόσο η 10η όσο και η 11η παρατήρηση είναι 35:
\[ \delta = \mathbf{35}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: οι μισές επιχειρήσεις είχαν κέρδη έως 35.000 €.
iii) Εύρος μεταβολής:
\[ R = 50 - 25 = \mathbf{25}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: η πιο κερδοφόρα επιχείρηση κέρδισε 25.000 € περισσότερα από τη λιγότερο κερδοφόρα — δηλαδή διπλάσια (50 έναντι 25).
iv) Τυπική απόκλιση (τύπος 5.6):
\[ s^2 = \frac{26.475}{20} - (35{,}75)^2 = 1.323{,}75 - 1.278{,}0625 = \mathbf{45{,}6875} \]
\[ s = \sqrt{45{,}6875} \approx \mathbf{6{,}76}\ \text{χιλ. €} \]
Ερμηνεία: τα κέρδη αποκλίνουν, τυπικά, κατά 6.760 € από τον μέσο των 35.750 €.
v) Συντελεστής μεταβλητότητας:
\[ CV = \frac{s}{\bar{x}}\cdot 100 = \frac{6{,}76}{35{,}75}\cdot 100 \approx \mathbf{18{,}91\ \%} \]
Ερμηνεία: η τυπική απόκλιση είναι περίπου το 19 % της μέσης τιμής — μέτρια σχετική διασπορά, δηλαδή ομάδα επιχειρήσεων με αρκετά ομοιογενή κερδοφορία.
Η συνολική εικόνα.
\( \bar{x} = 35{,}75 > \delta = 35 = \) Ε.Τ. (η τιμή 35 έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα, \( \nu = 6 \)) → ΘΕΤΙΚΗ ασυμμετρία, αν και ήπια.
Η αιτία είναι ορατή στον πίνακα: υπάρχει «ουρά» προς τα δεξιά — 2 επιχειρήσεις με 45 και 1 με 50 χιλ. €, ενώ κάτω από τη διάμεσο η κατανομή σταματά απότομα στο 25.
Το 55 % των επιχειρήσεων (\( 6+5 = 11 \) από τις 20) βρίσκεται στο 35-40, δηλαδή συγκεντρωμένο γύρω από το κέντρο.

Ποιο μέτρο θέσης να αναφέρει ο αναλυτής; Με \( CV \approx 19\ \% \) και ήπια ασυμμετρία, η μέση τιμή παραμένει αντιπροσωπευτική — η διαφορά της από τη διάμεσο είναι μόλις 750 €. Αν όμως υπήρχε μία επιχείρηση με κέρδη 200 χιλ. €, η εικόνα θα άλλαζε ριζικά και η διάμεσος θα ήταν υποχρεωτική.

Σύνοψη: ν = 20, Σνx = 715, Σνx² = 26.475. i) x̄ = 35,75 χιλ. €. ii) δ = 35 χιλ. € (θέση 10,5, μεταξύ Ν=6 και Ν=12). iii) R = 50 − 25 = 25 χιλ. €. iv) s² = 1.323,75 − 1.278,0625 = 45,6875, άρα s ≈ 6,76 χιλ. €. v) CV = (6,76/35,75)·100 ≈ 18,91 %, δηλαδή μέτρια σχετική διασπορά. Επειδή x̄ > δ = Ε.Τ. = 35, η κατανομή έχει ήπια θετική ασυμμετρία, λόγω της ουράς προς τα υψηλά κέρδη (45 και 50).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα πέντε μεγέθη με ερμηνεία.
Κριτήριο: θέση διαμέσου (ν+1)/2 = 10,5 — δεδομένα διακριτά.
Κριτήριο: το CV ως ποσοστό, με σχολιασμό της ομοιογένειας.
Θετικό: εντοπισμός της θετικής ασυμμετρίας και της αιτίας της.
Παγίδα: υπολογισμός του CV με τη διακύμανση αντί για την τυπική απόκλιση.

Ομάδα Β΄, Άσκηση 3 — Αποδοχές 30 υπαλλήλων (ομαδοποιημένα)

Ερώτηση: Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις ετήσιες ακαθάριστες αποδοχές (σε χιλιάδες ευρώ) μιας ομάδας 30 υπαλλήλων σε μια επιχείρηση — Αποδοχές / Αριθμός υπαλλήλων: 20-25: 5 · 25-30: 15 · 30-35: 5 · 35-40: 3 · 40-45: 1 · 45-50: 1 (Σύνολο 30). Ζητείται: i) Πόσος είναι ο μέσος ετήσιος ακαθάριστος μισθός; ii) Ποιος είναι ο ετήσιος ακαθάριστος μισθός κάτω από τον οποίο βρίσκεται το 50% των αποδοχών των εργαζομένων. iii) Να υπολογισθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας.

Απάντηση:

Δεδομένα ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ, πλάτος κλάσης \( c = 5 \). Ισχύουν οι τύποι 4.4 (μέση τιμή), 4.5 (διάμεσος) και 5.7 (διακύμανση).

Ο πίνακας εργασίας:

Κλάση	\( x_i' \)	\( \nu_i \)	\( \nu_i x_i' \)	\( \nu_i x_i'^2 \)	\( N_i \)
[20, 25)	22,5	5	112,5	2.531,25	5
[25, 30)	27,5	15	412,5	11.343,75	20
[30, 35)	32,5	5	162,5	5.281,25	25
[35, 40)	37,5	3	112,5	4.218,75	28
[40, 45)	42,5	1	42,5	1.806,25	29
[45, 50)	47,5	1	47,5	2.256,25	30
Σύνολο	—	30	890	27.437,50	—

Έλεγχοι: \( \Sigma\nu_i = 30 \) ✓ · \( N_6 = 30 \) ✓
i) Μέσος ετήσιος ακαθάριστος μισθός (τύπος 4.4):
\[ \bar{x} = \frac{890}{30} = \frac{89}{3} \approx \mathbf{29{,}67}\ \text{χιλ. €} \]
Δηλαδή περίπου 29.667 € ετησίως.
ii) «Ο μισθός κάτω από τον οποίο βρίσκεται το 50 % των αποδοχών» = η ΔΙΑΜΕΣΟΣ.
Βήμα 1 — θέση: ομαδοποιημένα δεδομένα → \( \dfrac{\nu}{2} = \dfrac{30}{2} = 15 \).
Βήμα 2 — κλάση: από τη στήλη \( N_i \), \( 5 < 15 \le 20 \) → η διάμεσος περιέχεται στην [25, 30), με \( \alpha_{i-1} = 25 \), \( \nu_i = 15 \), \( c = 5 \), \( N_{i-1} = 5 \).
Βήμα 3 — τύπος 4.5:
\[ \delta = 25 + \frac{5}{15}\,(15 - 5) = 25 + \frac{1}{3}\cdot 10 = 25 + \frac{10}{3} = \frac{85}{3} \approx \mathbf{28{,}33}\ \text{χιλ. €} \]
Απάντηση: κάτω από τα ≈ 28.333 € βρίσκεται το 50 % των αποδοχών.
iii) Συντελεστής μεταβλητότητας. Χρειάζεται πρώτα η τυπική απόκλιση (τύπος 5.7):
\[ s^2 = \frac{27.437{,}50}{30} - \left(\frac{89}{3}\right)^2 = 914{,}583\overline{3} - 880{,}111\overline{1} \approx \mathbf{34{,}47} \]
\[ s = \sqrt{34{,}47} \approx \mathbf{5{,}87}\ \text{χιλ. €} \]
\[ CV = \frac{5{,}87}{29{,}67}\cdot 100 \approx \mathbf{19{,}79\ \%} \]
Ερμηνεία και συνολική εικόνα.
\( \bar{x} = 29{,}67 > \delta = 28{,}33 \) → ΘΕΤΙΚΗ ασυμμετρία. Η διαφορά είναι 1,33 χιλ. € — όχι αμελητέα.
Η αιτία φαίνεται στον πίνακα: η επικρατούσα κλάση [25,30) συγκεντρώνει 15 από τους 30 υπαλλήλους (50 %), αλλά υπάρχει ουρά προς τα δεξιά — 3 υπάλληλοι στο [35,40), 1 στο [40,45) και 1 στο [45,50). Αυτοί οι 5 υψηλόμισθοι τραβούν τη μέση τιμή πάνω από τη διάμεσο.
\( CV \approx 19{,}8\ \% \) — μέτρια σχετική διασπορά· η μισθολογική δομή είναι σχετικά συμπιεσμένη στον κορμό της.

Ποιο νούμερο πρέπει να ανακοινώσει η επιχείρηση; Αν θέλει να περιγράψει τον τυπικό υπάλληλο, η διάμεσος (28.333 €) είναι ειλικρινέστερη: οι μισοί παίρνουν λιγότερα από αυτήν. Η μέση τιμή (29.667 €) ακούγεται καλύτερα, αλλά 19 από τους 30 υπαλλήλους (63 %) παίρνουν λιγότερα από αυτήν — ακριβώς το φαινόμενο που περιέγραφε η ενότητα 4.5.

Σύνοψη: ν = 30, Σνx′ = 890, Σνx′² = 27.437,50. i) x̄ = 890/30 = 89/3 ≈ 29,67 χιλ. € (≈ 29.667 €). ii) Το ζητούμενο είναι η διάμεσος: θέση ν/2 = 15, κλάση [25,30) με α = 25, νi = 15, c = 5, N(i−1) = 5 → δ = 25 + (5/15)(15−5) = 85/3 ≈ 28,33 χιλ. € (≈ 28.333 €). iii) s² = 914,583 − 880,111 ≈ 34,47, s ≈ 5,87 χιλ. €, άρα CV ≈ 19,79 %. Επειδή x̄ > δ, υπάρχει θετική ασυμμετρία λόγω των 5 υψηλόμισθων υπαλλήλων.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: το (ii) να αναγνωριστεί ως διάμεσος — δεν κατονομάζεται στην εκφώνηση.
Κριτήριο: θέση ν/2 = 15 (ομαδοποιημένα), όχι (ν+1)/2.
Κριτήριο: για το CV να υπολογιστεί πρώτα η τυπική απόκλιση.
Θετικό: εντοπισμός της θετικής ασυμμετρίας και σύγκριση x̄ ↔ δ.
Παγίδα: να ληφθεί ως N(i−1) η αθροιστική συχνότητα της ίδιας κλάσης (20).

Ομάδα Β΄, Άσκηση 4 — Ηλικίες 42.700 εργαζομένων και ο έλεγχος κανονικότητας

Ερώτηση: Σε μια βιομηχανία αυτοκινήτων ο αριθμός των εργαζομένων το έτος 1995, κατανεμημένος σε ομάδες ηλικιών, φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Υπολογίστε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση των ηλικιών των εργαζομένων σ' αυτή τη βιομηχανία. Εκτιμήστε το ποσοστό των υπαλλήλων των οποίων οι ηλικίες βρίσκονται σε απόσταση μιας τυπικής απόκλισης γύρω από το μέσο (δηλαδή σε διάστημα x̄ − s, x̄ + s). Τι παρατηρείτε; Εξηγήστε τον ισχυρισμό σας με κατάλληλο διάγραμμα. Ηλικία / Αριθμός εργαζομένων: 15-20: 6.600 · 20-25: 6.500 · 25-30: 5.600 · 30-35: 5.000 · 35-40: 4.200 · 40-45: 3.700 · 45-50: 3.500 · 50-55: 3.000 · 55-60: 2.400 · 60-65: 2.200 (Σύνολο 42.700).

Απάντηση:

Ο πίνακας εργασίας (ομαδοποιημένα, \( c = 5 \), σε χιλιάδες εργαζομένων για συντομία):

Κλάση	\( x_i' \)	\( \nu_i \)	\( N_i \)
[15, 20)	17,5	6.600	6.600
[20, 25)	22,5	6.500	13.100
[25, 30)	27,5	5.600	18.700
[30, 35)	32,5	5.000	23.700
[35, 40)	37,5	4.200	27.900
[40, 45)	42,5	3.700	31.600
[45, 50)	47,5	3.500	35.100
[50, 55)	52,5	3.000	38.100
[55, 60)	57,5	2.400	40.500
[60, 65)	62,5	2.200	42.700
Σύνολο	—	42.700	—

Μέση τιμή (τύπος 4.4):
\[ \bar{x} = \frac{\sum \nu_i x_i'}{\nu} \approx \mathbf{34{,}95}\ \text{έτη} \]
Διάμεσος (τύπος 4.5). Θέση \( \dfrac{\nu}{2} = \dfrac{42.700}{2} = 21.350 \). Από τη στήλη \( N_i \): \( 18.700 < 21.350 \le 23.700 \) → κλάση [30, 35) με \( \nu_i = 5.000 \), \( N_{i-1} = 18.700 \):
\[ \delta = 30 + \frac{5}{5.000}\,(21.350 - 18.700) = 30 + \frac{5 \cdot 2.650}{5.000} = 30 + 2{,}65 = \mathbf{32{,}65}\ \text{έτη} \]
Διακύμανση και τυπική απόκλιση (τύπος 5.7):
\[ s^2 \approx \mathbf{186{,}46} \qquad s = \sqrt{186{,}46} \approx \mathbf{13{,}66}\ \text{έτη} \]
Το διάστημα \( [\bar{x}-s,\ \bar{x}+s] \):
\[ [34{,}95 - 13{,}66,\ 34{,}95 + 13{,}66] = [\mathbf{21{,}29},\ \mathbf{48{,}60}]\ \text{έτη} \]
Εκτίμηση του ποσοστού. Με γραμμική παρεμβολή μέσα στις κλάσεις (υπόθεση ομοιόμορφης κατανομής — η ίδια που στηρίζει τους τύπους 4.5 και 4.6):
Κάτω από 21,29: \( 6.600 + 6.500\cdot\frac{21{,}29-20}{5} \approx 6.600 + 1.677 = 8.277 \)
Κάτω από 48,60: \( 35.100 - 3.500\cdot\frac{50-48{,}60}{5} \approx 35.100 - 980 = 34.120 \)
Στο διάστημα: \( 34.120 - 8.277 \approx \mathbf{25.842} \) εργαζόμενοι
\[ \frac{25.842}{42.700}\cdot 100 \approx \mathbf{60{,}5\ \%} \]
«Τι παρατηρείτε;» — Η ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ.

Σε κανονική κατανομή θα περιμέναμε 68,3 % στο \( \bar{x} \pm s \). Βρήκαμε ≈ 60,5 % — σαφώς λιγότερο. Άρα η κατανομή των ηλικιών ΔΕΝ είναι κανονική· είναι ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ.

Η επιβεβαίωση με τα μέτρα θέσης:
\[ \bar{x} = 34{,}95 \;>\; \delta = 32{,}65 \;>\; \text{Ε.Τ.} \approx 17{,}5\ (\text{κλάση } [15,20)) \]
Η σχέση \( \bar{x} > \delta > \text{Ε.Τ.} \) είναι ακριβώς ο ορισμός της ΘΕΤΙΚΗΣ ασυμμετρίας (§4.5).
«Εξηγήστε με κατάλληλο διάγραμμα» — το ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ. Σχεδίασε ιστόγραμμα με τις 10 κλάσεις (πλάτος 5, χωρίς κενά) και ύψη 6.600, 6.500, 5.600, 5.000, 4.200, 3.700, 3.500, 3.000, 2.400, 2.200.
Τι θα δεις: μονότονα φθίνουσα μορφή — η ψηλότερη στήλη είναι η πρώτη και κάθε επόμενη είναι χαμηλότερη. Δεν υπάρχει καμπάνα: δεν υπάρχει κορυφή στο κέντρο ούτε συμμετρία. Το σχήμα έχει μακριά ουρά προς τα δεξιά (μεγάλες ηλικίες).
Η ερμηνεία του φαινομένου. Πρόκειται για βιομηχανία με νεανικό εργατικό δυναμικό: η μεγαλύτερη ομάδα είναι 15-20 ετών και ο αριθμός μειώνεται σταθερά με την ηλικία. Λογικές αιτίες: αποχωρήσεις/συνταξιοδοτήσεις, αλλά και επέκταση της βιομηχανίας που προσλαμβάνει νέους.

Το μεθοδολογικό δίδαγμα — και ο λόγος που η άσκηση είναι στην Ομάδα Β΄. Ο κανόνας του 68,3 % δεν είναι μόνο εργαλείο πρόβλεψης· είναι και διαγνωστικό τεστ κανονικότητας. Συγκρίνοντας το πραγματικό ποσοστό με το θεωρητικό, ελέγχεις αν επιτρέπεται να εφαρμόσεις τα υπόλοιπα συμπεράσματα της κανονικής κατανομής. Εδώ δεν επιτρέπεται.

Σύνοψη: ν = 42.700. Μέση τιμή x̄ ≈ 34,95 έτη. Διάμεσος: θέση 21.350 → κλάση [30,35) → δ = 30 + (5/5.000)(21.350−18.700) = 32,65 έτη. Διακύμανση s² ≈ 186,46 και s ≈ 13,66 έτη. Το διάστημα [x̄−s, x̄+s] = [21,29 · 48,60] περιέχει ≈ 25.842 εργαζομένους, δηλαδή ≈ 60,5 % — σαφώς λιγότερο από το 68,3 % της κανονικής κατανομής. Άρα η κατανομή ΔΕΝ είναι κανονική: ισχύει x̄ > δ > Ε.Τ. (κλάση [15,20)), δηλαδή θετική ασυμμετρία. Το ιστόγραμμα είναι μονότονα φθίνον, χωρίς καμπανοειδή μορφή, με μακριά ουρά προς τις μεγάλες ηλικίες — νεανικό εργατικό δυναμικό.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: και τα τέσσερα μεγέθη (x̄, δ, s², s).
Κριτήριο: θέση διαμέσου ν/2 = 21.350 (ομαδοποιημένα).
Κριτήριο: εκτίμηση του ποσοστού στο [x̄−s, x̄+s] με παρεμβολή.
Κριτήριο: η σύγκριση με το 68,3 % και το συμπέρασμα περί ασυμμετρίας.
Κριτήριο: ιστόγραμμα (χωρίς κενά) με περιγραφή της φθίνουσας μορφής.
Θετικό: η σχέση x̄ > δ > Ε.Τ. ως ανεξάρτητη επιβεβαίωση.
Παγίδα: να εφαρμοστεί ο κανόνας του 68,3 % ως δεδομένο αντί να ελεγχθεί.

Ομάδα Β΄, Άσκηση 5 — Πωλήσεις 15 καταστημάτων και σύγκριση δύο επιχειρήσεων

Ερώτηση: Οι ετήσιες πωλήσεις (X) των 15 καταστημάτων-παραρτημάτων (αλυσίδα καταστημάτων), που έχει μεγάλη εμπορική επιχείρηση, δίνονται σε δεκάδες χιλιάδες ευρώ, από τον παρακάτω πίνακα — xi: 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110 · νi: 1, 2, 4, 4, 2, 1, 1. Ζητείται να υπολογισθούν: i) Το μέσο ετήσιο ύψος πωλήσεων των 15 καταστημάτων. ii) Το εύρος μεταβολής. iii) Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση. iv) Ο συντελεστής μεταβλητότητας. Μια άλλη επιχείρηση του ίδιου εμπορικού κλάδου παρουσίασε μέσο ετήσιο ποσό πωλήσεων 700.000 ευρώ και τυπική απόκλιση 170.000 ευρώ. Να συγκρίνετε και να σχολιάσετε τη δραστηριότητα των δύο επιχειρήσεων.

Απάντηση:

Ο πίνακας εργασίας (ταξινομημένα διακριτά):

\( x_i \)	\( \nu_i \)	\( \nu_i x_i \)	\( \nu_i x_i^2 \)
50	1	50	2.500
60	2	120	7.200
70	4	280	19.600
80	4	320	25.600
90	2	180	16.200
100	1	100	10.000
110	1	110	12.100
Σύνολο	15	1.160	93.200

Έλεγχος: \( \Sigma\nu_i = 15 \) ✓
i) Μέσο ετήσιο ύψος πωλήσεων:
\[ \bar{x} = \frac{1.160}{15} = \frac{232}{3} \approx \mathbf{77{,}33}\ \text{δεκ. χιλ. €} \]
Δηλαδή περίπου 773.333 € ανά κατάστημα ετησίως.
ii) Εύρος μεταβολής:
\[ R = 110 - 50 = \mathbf{60}\ \text{δεκ. χιλ. €} = 600.000\ \text{€} \]
iii) Διακύμανση και τυπική απόκλιση (τύπος 5.6):
\[ s^2 = \frac{93.200}{15} - \left(\frac{232}{3}\right)^2 = 6.213{,}\overline{3} - 5.980{,}\overline{4} \approx \mathbf{232{,}89} \]
\[ s = \sqrt{232{,}89} \approx \mathbf{15{,}26}\ \text{δεκ. χιλ. €} = 152.607\ \text{€} \]
iv) Συντελεστής μεταβλητότητας:
\[ CV_A = \frac{15{,}26}{77{,}33}\cdot 100 \approx \mathbf{19{,}73\ \%} \]
Η ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΔΥΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ — το ζουμί της άσκησης.

Πρώτα ένα πρακτικό βήμα: ενοποίησε τις μονάδες. Η δική μας επιχείρηση δίνεται σε δεκάδες χιλιάδες €, η άλλη σε ευρώ. Χωρίς μετατροπή, η σύγκριση είναι αδύνατη.

	Επιχείρηση Α (η δική μας)	Επιχείρηση Β
Μέσες πωλήσεις \( \bar{x} \)	773.333 €	700.000 €
Τυπική απόκλιση \( s \)	152.607 €	170.000 €
\( CV \)	≈ 19,73 %	≈ 24,29 %

\[ CV_B = \frac{170.000}{700.000}\cdot 100 = \frac{17}{70}\cdot 100 \approx \mathbf{24{,}29\ \%} \]
Τα συμπεράσματα — δύο διαφορετικά πράγματα, μην τα μπερδέψεις:
① Επίπεδο δραστηριότητας. Η Α έχει υψηλότερες μέσες πωλήσεις ανά κατάστημα (773.333 € έναντι 700.000 €), δηλαδή είναι κατά ≈ 10,5 % πιο αποδοτική κατά μέσο όρο.
② Ομοιογένεια. Η Α έχει και μικρότερο CV (19,73 % έναντι 24,29 %), άρα τα καταστήματά της αποδίδουν πιο ομοιόμορφα. Στη Β οι επιδόσεις των σημείων πώλησης αποκλίνουν περισσότερο μεταξύ τους.

Γιατί δεν αρκεί η σύγκριση των τυπικών αποκλίσεων. Η Α έχει \( s = 152.607 \) € και η Β \( s = 170.000 \) € — η διαφορά είναι μόλις 11 %. Σε σχετικούς όμως όρους η διαφορά είναι μεγαλύτερη (19,73 % έναντι 24,29 %, δηλαδή 23 % μεγαλύτερη σχετική διασπορά για τη Β), γιατί η Β έχει και μικρότερη μέση τιμή. Ο CV είναι καθαρός αριθμός και λαμβάνει υπόψη και τα δύο.

Το τελικό συμπέρασμα. Η επιχείρηση Α υπερτερεί και στα δύο κριτήρια: πουλάει περισσότερα ανά κατάστημα και πιο σταθερά. Η Β έχει χαμηλότερη και λιγότερο προβλέψιμη απόδοση — πιθανώς με ορισμένα καταστήματα να υπολειτουργούν σοβαρά, κάτι που θα άξιζε περαιτέρω έρευνα (ακριβώς η σύσταση της §5.9 όταν διαπιστώνεται υψηλή διακύμανση).
Η κατανομή της Α — μικρή παρατήρηση. \( \bar{x} = 77{,}33 \), \( \delta = 80 \) (θέση 8, από τη στήλη \( N_i \)), Ε.Τ. = 70 και 80 (και οι δύο με \( \nu = 4 \) — δικόρυφη). Εδώ \( \bar{x} < \delta \), δηλαδή ελαφρά αρνητική ασυμμετρία: το κατάστημα των 50 δεκ. χιλ. € τραβά τον μέσο κάτω.

Σύνοψη: ν = 15, Σνx = 1.160, Σνx² = 93.200. i) x̄ = 232/3 ≈ 77,33 δεκ. χιλ. € = 773.333 €. ii) R = 110 − 50 = 60 δεκ. χιλ. € = 600.000 €. iii) s² ≈ 232,89 και s ≈ 15,26 δεκ. χιλ. € = 152.607 €. iv) CV_A ≈ 19,73 %. Σύγκριση: CV_B = (170.000/700.000)·100 ≈ 24,29 %. Η επιχείρηση Α υπερτερεί και στα δύο κριτήρια — υψηλότερες μέσες πωλήσεις (773.333 € έναντι 700.000 €) και μικρότερο CV, δηλαδή πιο ομοιόμορφη απόδοση των καταστημάτων της.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κριτήριο: ενοποίηση μονάδων πριν από τη σύγκριση.
Κριτήριο: υπολογισμός του CV και για τις δύο επιχειρήσεις.
Κριτήριο: διάκριση επιπέδου δραστηριότητας από ομοιογένεια.
Κριτήριο: αιτιολόγηση γιατί η σκέτη σύγκριση των s δεν αρκεί.
Θετικό: εντοπισμός της δικόρυφης κατανομής (Ε.Τ. = 70 και 80).
Παγίδα: σύγκριση 15,26 με 170.000 χωρίς μετατροπή μονάδων.

Φύλλο Αυτοελέγχου στα μέτρα θέσεως και διασποράς (13 ερωτήσεις)

Ερώτηση: ΦΥΛΛΟ ΑΥΤΟΕΛΕΓΧΟΥ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Η τιμή της μεταβλητής, η οποία χωρίζει το σύνολο των παρατηρήσεών μας σε δυο ισοπληθείς ομάδες, ονομάζεται: α) Μέση τιμή β) Διάμεσος γ) Πρώτο τεταρτημόριο δ) Επικρατούσα τιμή. 2. Η τιμή που παρουσιάζεται περισσότερες φορές σε μια ομάδα στατιστικών στοιχείων ονομάζεται: α) Μέση τιμή β) Διάμεσος γ) Επικρατούσα τιμή δ) Πρώτο τεταρτημόριο. 3. Το δεύτερο τεταρτημόριο είναι: α) Η μέση τιμή β) Η διάμεσος γ) Η επικρατούσα τιμή δ) Τίποτα από τα παραπάνω. 4. Η μέση τιμή και η διάμεσος: α) Έχουν πάντα την ίδια τιμή β) Ποτέ δεν έχουν την ίδια τιμή γ) Μπορεί να έχουν είτε την ίδια είτε διαφορετική τιμή. 5. Το πηλίκο του αθροίσματος των τιμών μιας μεταβλητής Χ προς το πλήθος των τιμών της ονομάζεται: α) Επικρατούσα τιμή β) Διάμεσος γ) Μέση τιμή δ) Πρώτο τεταρτημόριο. 6. Στις ίδιες μονάδες που εκφράζονται οι τιμές της μεταβλητής Χ εκφράζεται και: α) Η τυπική απόκλιση β) Η διακύμανση γ) Ο συντελεστής μεταβλητότητας. 7. Δεν προσφέρεται για αλγεβρικούς υπολογισμούς: α) Η διακύμανση β) Η τυπική απόκλιση γ) Η μέση απόλυτη απόκλιση δ) Ο συντελεστής μεταβλητότητας. 8. Στα μέτρα θέσης ανήκουν: α) Η διάμεσος και η μέση τιμή β) Η διάμεσος και η διακύμανση γ) Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση δ) Το εύρος μεταβολής και η επικρατούσα τιμή. 9. Αν όλες οι τιμές μιας μεταβλητής πολλαπλασιασθούν επί μια σταθερή ποσότητα α τότε: α) Η διακύμανση πολλαπλασιάζεται επί α β) Η διακύμανση πολλαπλασιάζεται επί α² γ) Η διακύμανση παραμένει αμετάβλητη. 10. Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της: α) Διαμέσου β) Διακύμανσης γ) Μέσης τιμής. 11. Η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη τιμή των δεδομένων μας, δίνεται από: α) Την επικρατούσα τιμή β) Το εύρος μεταβολής γ) Το συντελεστή μεταβλητότητας δ) Την τυπική απόκλιση. 12. Ο συντελεστής μεταβλητότητας δίνεται από το πηλίκο της: α) Διακύμανσης προς τη μέση τιμή β) Διακύμανσης προς την τυπική απόκλιση γ) Τυπικής απόκλισης προς τη μέση τιμή δ) Μέσης τιμής προς την τυπική απόκλιση. 13. Από τα παρακάτω μεγέθη καθαρός αριθμός είναι: α) Η διακύμανση β) Η τυπική απόκλιση γ) Η μέση τιμή δ) Ο συντελεστής μεταβλητότητας.

Απάντηση:

ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

#	Απάντηση	Αιτιολόγηση
1	β) Διάμεσος	ο ορισμός της (§4.4): χωρίζει σε δύο ισοπληθείς ομάδες
2	γ) Επικρατούσα τιμή	η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα (§4.5)
3	β) Η διάμεσος	\( Q_2 = \delta \) εξ ορισμού (§4.6)
4	γ) Μπορεί να έχουν είτε την ίδια είτε διαφορετική τιμή	συμπίπτουν μόνο σε συμμετρική (κανονική) κατανομή
5	γ) Μέση τιμή	ο ορισμός της (§4.3)
6	α) Η τυπική απόκλιση	η διακύμανση έχει τετραγωνικές μονάδες· ο CV είναι αδιάστατος
7	γ) Η μέση απόλυτη απόκλιση	λόγω των απόλυτων τιμών (§5.3)
8	α) Η διάμεσος και η μέση τιμή	οι υπόλοιπες επιλογές περιέχουν μέτρα διασποράς
9	β) Η διακύμανση πολλαπλασιάζεται επί α²	ιδιότητα ② της §5.7
10	β) Διακύμανσης	\( s = \sqrt{s^2} \)
11	β) Το εύρος μεταβολής	\( R = M - m \) (§5.2)
12	γ) Τυπικής απόκλισης προς τη μέση τιμή	\( CV = \frac{s}{\bar{x}}\cdot 100 \) (§5.8)
13	δ) Ο συντελεστής μεταβλητότητας	λόγος ομοειδών μεγεθών → αδιάστατος

ΟΙ ΠΕΝΤΕ ΠΑΓΙΔΕΣ ΤΟΥ ΦΥΛΛΟΥ — τι ελέγχει πραγματικά καθεμία.
① Ερώτηση 4 — «πάντα / ποτέ / μπορεί». Η σωστή απάντηση είναι το «μπορεί». Η μέση τιμή και η διάμεσος συμπίπτουν σε συμμετρική κατανομή, αλλά διαφέρουν σε ασύμμετρη. Απόλυτες διατυπώσεις («πάντα», «ποτέ») είναι σχεδόν πάντα λάθος στη Στατιστική.
② Ερωτήσεις 6 και 13 — το ζεύγος των μονάδων. Απαντούν σε αντίθετα ερωτήματα και μαζί ελέγχουν αν κατάλαβες τις μονάδες:
Ίδιες μονάδες με τη μεταβλητή → τυπική απόκλιση (και η μέση τιμή, το εύρος, η Μ.Α.Α.)
Τετραγωνικές μονάδες → διακύμανση
Καθαρός αριθμός (χωρίς μονάδες) → συντελεστής μεταβλητότητας
③ Ερώτηση 8 — θέση ή διασπορά; Μάθε τον διαχωρισμό απέξω:
Μέτρα ΘΕΣΗΣ: μέσο εύρος · μέση τιμή · διάμεσος · επικρατούσα τιμή · τεταρτημόρια
Μέτρα ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ: εύρος μεταβολής · μέση απόλυτη απόκλιση · διακύμανση · τυπική απόκλιση (και ο CV)

Πρόσεξε τη λεκτική παγίδα: «μέσο εύρος» = μέτρο θέσης \( \left(\frac{M+m}{2}\right) \), ενώ «εύρος μεταβολής» = μέτρο διασποράς \( (M-m) \). Δύο σχεδόν ίδια ονόματα, αντίθετες κατηγορίες.

④ Ερώτηση 9 — α ή α²; Η διακύμανση επί α², η τυπική απόκλιση επί α. Λογικό: \( s = \sqrt{s^2} \), και η ρίζα «ακυρώνει» το τετράγωνο.
⑤ Ερώτηση 12 — ο αριθμητής του CV. Είναι η τυπική απόκλιση, όχι η διακύμανση. Μνημονικός κανόνας: και τα δύο μεγέθη του κλάσματος πρέπει να έχουν τις ίδιες μονάδες για να προκύψει καθαρός αριθμός — άρα \( s \) (ίδιες μονάδες με το \( \bar{x} \)) και όχι \( s^2 \).

Το φύλλο καλύπτει ΚΑΙ το κεφ. 4 ΚΑΙ το κεφ. 5 — γι' αυτό τιτλοφορείται «στα μέτρα θέσεως και διασποράς». Αν κάνεις λάθος στις 1-5 και 8, ξαναδές το κεφ. 4· αν στις 6-7 και 9-13, το κεφ. 5.

Σύνοψη: (ενδεικτική) 1) β Διάμεσος · 2) γ Επικρατούσα τιμή · 3) β Η διάμεσος (Q₂ = δ) · 4) γ Μπορεί να έχουν είτε την ίδια είτε διαφορετική τιμή · 5) γ Μέση τιμή · 6) α Η τυπική απόκλιση · 7) γ Η μέση απόλυτη απόκλιση · 8) α Η διάμεσος και η μέση τιμή · 9) β Η διακύμανση πολλαπλασιάζεται επί α² · 10) β Διακύμανσης · 11) β Το εύρος μεταβολής · 12) γ Τυπικής απόκλισης προς τη μέση τιμή · 13) δ Ο συντελεστής μεταβλητότητας.

Κριτήρια αξιολόγησης: