Κεφάλαιο 6.1 – Τροχιακό – Κβαντικοί αριθμοί (σελ. 240-244) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ερωτήσεις - Ασκήσεις - Προβλήματα

Άσκηση 1 (σελ. 241)

Τι είναι τα κβάντα;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση θεωρίας Planck.

Απάντηση: Τα κβάντα είναι τα «πακέτα» ενέργειας με τα οποία εκπέμπεται ή απορροφάται η ακτινοβολία (κατά Planck), και όχι με συνεχή τρόπο. Τα κβάντα φωτός ή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας γενικότερα ονομάζονται φωτόνια, με ενέργεια \(E=h\nu\).

Άσκηση 2 (σελ. 241)

Ποιες είναι οι δυο συνθήκες του Bohr;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση θεωρίας Bohr.

Απάντηση: 1η συνθήκη (μηχανική): τα ηλεκτρόνια περιστρέφονται γύρω από τον πυρήνα σε ορισμένες κυκλικές τροχιές καθορισμένης (κβαντισμένης) ενέργειας. 2η συνθήκη (οπτική): το ηλεκτρόνιο απορροφά ή εκπέμπει ενέργεια υπό μορφή ακτινοβολίας μόνο όταν μεταπηδά από μια τροχιά σε άλλη, δηλαδή όταν αλλάζει ενεργειακή στάθμη.

Άσκηση 3 (σελ. 241)

Ποια πειραματικά δεδομένα επαληθεύουν τη θεωρία του Bohr και ποια τη διαψεύδουν;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σύγκριση προβλέψεων-πειράματος.

Απάντηση: Το πρότυπο του Bohr ερμήνευσε επιτυχώς το γραμμικό φάσμα εκπομπής του ατόμου του υδρογόνου (κάθε φασματική γραμμή αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη μετάπτωση ηλεκτρονίου μεταξύ ενεργειακών σταθμών) — αυτό το επαληθεύει. Δεν κατάφερε όμως να ερμηνεύσει τα φάσματα εκπομπής πολυπλοκότερων (πολυηλεκτρονικών) ατόμων, π.χ. He, Li, ούτε τον χημικό δεσμό — αυτά το διαψεύδουν, γι' αυτό και εγκαταλείφθηκε δώδεκα χρόνια μετά.

Άσκηση 4 (σελ. 241)

Τι είναι θεμελιώδης και τι διεγερμένη κατάσταση ενός ατόμου;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ορισμοί.

Απάντηση: Θεμελιώδης κατάσταση: όταν τα ηλεκτρόνια ενός ατόμου βρίσκονται όσο το δυνατόν πλησιέστερα στον πυρήνα (στη στάθμη ελάχιστης ενέργειας). Διέγερση: όταν, π.χ. με θέρμανση, ένα ή περισσότερα ηλεκτρόνια μεταπηδούν σε υψηλότερες ενεργειακές στάθμες.

Άσκηση 5 (σελ. 241)

Ποια είναι η συμβολή της θεωρίας του de Broglie και της αρχής της αβεβαιότητας του Heisenberg στην ανάπτυξη της κβαντομηχανικής;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση θεωρίας.

Απάντηση: Ο de Broglie (1924) εισήγαγε την κυματική θεωρία της ύλης: κάθε κινούμενο σωματίδιο (π.χ. ηλεκτρόνιο), όπως και το φως, έχει διττή φύση, σωματιδιακή και κυματική (\(\lambda=h/(mu)\)). Ο Heisenberg (1927) διατύπωσε την αρχή της αβεβαιότητας: είναι αδύνατο να προσδιοριστούν ταυτόχρονα με ακρίβεια η θέση και η ορμή ενός μικρού σωματιδίου. Η αποδοχή της αρχής αυτής καταρρίπτει την ιδέα καθορισμένων κυκλικών τροχιών (άρα και το πρότυπο Bohr) και ανοίγει τον δρόμο για την κβαντομηχανική περιγραφή του ηλεκτρονίου με όρους πιθανότητας.

Άσκηση 6 (σελ. 241)

Τι μπορούμε να προσδιορίσουμε με βάση την κυματική εξίσωση του Schrödinger και σε ποια άτομα αναφέρεται;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση θεωρίας.

Απάντηση: Η εξίσωση Schrödinger, μαθηματικά, συσχετίζει τη σωματιδιακή και κυματική συμπεριφορά του ηλεκτρονίου· η επίλυσή της δίνει τις κυματοσυναρτήσεις \(\psi\) (ατομικά τροχιακά) και την ενέργεια \(E_n\) του ηλεκτρονίου, καθώς και (μέσω του \(\psi^2\)) την πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου σε μια περιοχή του χώρου. Διατυπώθηκε επακριβώς για το άτομο του υδρογόνου (και υδρογονοειδή, π.χ. He⁺, Li²⁺), αλλά με κατάλληλες προσεγγίσεις εφαρμόζεται και σε πολυηλεκτρονικά άτομα.

Άσκηση 7 (σελ. 241)

Τι είναι το ατομικό τροχιακό και τι σχέση έχει με το ηλεκτρονιακό νέφος;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ορισμός.

Απάντηση: Ατομικό τροχιακό ονομάζεται η κυματοσυνάρτηση \(\psi\) που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger και περιγράφει την κατάσταση ενός ηλεκτρονίου με ορισμένη ενέργεια. Το \(\psi^2\) εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε ένα σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα, δηλαδή την κατανομή/πυκνότητα του ηλεκτρονιακού νέφους — άρα το τροχιακό και το ηλεκτρονιακό νέφος περιγράφουν ουσιαστικά την ίδια έννοια (την πιθανή θέση του ηλεκτρονίου), με τη συνηθέστερη απεικόνιση να είναι οι οριακές καμπύλες (90-99% της πυκνότητας).

Άσκηση 8 (σελ. 241)

Τι τιμές παίρνει α) ο κύριος κβαντικός αριθμός (n), β) ο αζιμουθιακός κβαντικός αριθμός (l), γ) ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός (m_l) και δ) ο κβαντικός αριθμός του spin (m_s); Τι εκφράζει ο καθένας απ' αυτούς;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση πίνακα κβαντικών αριθμών.

Απάντηση: α) \(n=1,2,3,...\) — καθορίζει το μέγεθος του ηλεκτρονιακού νέφους (τροχιακού)/τη στιβάδα. β) \(l=0,1,...,(n-1)\) — καθορίζει το σχήμα του νέφους/την υποστιβάδα. γ) \(m_l=-l,...,0,...,+l\) — καθορίζει τον προσανατολισμό του νέφους ως προς τους άξονες x,y,z/το συγκεκριμένο τροχιακό. δ) \(m_s=+1/2\) ή \(-1/2\) — καθορίζει την ιδιοπεριστροφή (spin) του ηλεκτρονίου, ανεξάρτητα από τους άλλους τρεις.

Άσκηση 9 (σελ. 241)

Πόσα τροχιακά s, p, d και f έχει η στιβάδα N ενός ατόμου;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η στιβάδα N αντιστοιχεί σε n=4, άρα l=0,1,2,3 (s,p,d,f).

Λύση:

1. Στιβάδα N: n=4 ⟹ l=0,1,2,3.
2. Τροχιακά ανά l: 2l+1 ⟹ s:1, p:3, d:5, f:7.

Απάντηση: Η στιβάδα Ν έχει n=4, άρα υποστιβάδες 4s, 4p, 4d, 4f με 1, 3, 5 και 7 τροχιακά αντίστοιχα (σύνολο \(n^2=16\) τροχιακά).

Άσκηση 10 (σελ. 241)

Πώς απεικονίζεται το s και πώς το p τροχιακό;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση σχημάτων.

Απάντηση: Το s τροχιακό (\(l=0\)) έχει σφαιρική συμμετρία και απεικονίζεται ως σφαίρα, με ακτίνα ανάλογη του κύριου κβαντικού αριθμού n. Το p τροχιακό έχει σχήμα διπλού λοβού («βαράκι»), με ελάχιστη πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου κοντά στον πυρήνα· τα τρία p τροχιακά (\(p_x,p_y,p_z\)) έχουν το ίδιο σχήμα/μέγεθος αλλά διαφορετικό προσανατολισμό, στους αντίστοιχους άξονες.

Άσκηση 24 (σελ. 242)

Να υπολογίσετε το μήκος κύματος της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας κατά τη μετάβαση ηλεκτρονίου από τη τροχιά n=4 σε n=2 στο άτομο του υδρογόνου. Δίνεται η σταθερά Planck, h=6,63·10⁻³⁴ J·s (και ταχύτητα φωτός c=3·10⁸ m/s).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε \(E_4\), \(E_2\) από τον τύπο του Bohr, βρίσκουμε \(\Delta E\) και μέσω \(\Delta E=hc/\lambda\) υπολογίζουμε το λ.

Λύση:

1. \(E_n=\dfrac{-2{,}18\cdot10^{-18}}{n^2}\ \mathrm{J}\)
2. \(E_4=\dfrac{-2{,}18\cdot10^{-18}}{16}=-1{,}3625\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}\)
3. \(E_2=\dfrac{-2{,}18\cdot10^{-18}}{4}=-5{,}45\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}\)
4. \(|\Delta E|=|E_2-E_4|=4{,}0875\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}\) (εκπέμπεται, αφού n μειώνεται)
5. \(\lambda=\dfrac{hc}{|\Delta E|}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\times3\cdot10^{8}}{4{,}0875\cdot10^{-19}}\approx4{,}865\cdot10^{-7}\ \mathrm{m}=486{,}5\ \mathrm{nm}\)

Απάντηση: λ ≈ 4,87·10⁻⁷ m = 486,5 nm (πράσινο-κυανή γραμμή της σειράς Balmer).

Άσκηση 25 (σελ. 242)

Κατά τη διέγερση ατόμου υδρογόνου, ηλεκτρόνιο μεταπηδά από την ενεργειακή στάθμη με n=1 στην ενεργειακή στάθμη με n=4. Ποια από τα παρακάτω δεδομένα είναι σωστά και ποια λάθος; α. Η ενεργειακή στάθμη με n=4 αποτελεί την πρώτη διεγερμένη κατάσταση του ατόμου του υδρογόνου. β. Χρειάζεται περισσότερη ενέργεια για να ιοντιστεί ένα διεγερμένο άτομο υδρογόνου από ότι όταν το άτομο είναι στη θεμελιώδη του κατάσταση. γ. Το ηλεκτρόνιο όταν βρίσκεται σε κατάσταση διέγερσης είναι κατά μέσο όρο πιο μακριά από τον πυρήνα. δ. Η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας κατά τη μετάπτωση ηλεκτρονίου από n=4 σε n=1 είναι η ίδια με αυτή της ακτινοβολίας που εκπέμπεται κατά τη μετάπτωση του ηλεκτρονίου από n=4 σε n=2. ε. Η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας κατά τη μετάπτωση ηλεκτρονίου από n=4 σε n=1 είναι μεγαλύτερη από αυτή που προκύπτει κατά τη μετάπτωση ηλεκτρονίου από n=4 σε n=2.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εξετάζουμε κάθε πρόταση με βάση τον ορισμό διεγερμένων καταστάσεων και τη σχέση ΔΕ=hν.

Λύση:

1. α: Πρώτη διεγερμένη κατάσταση είναι το n=2, όχι το n=4 (τρίτη διεγερμένη). Λάθος.
2. β: Ένα διεγερμένο άτομο έχει το ηλεκτρόνιό του ήδη πιο κοντά στην ενέργεια ιοντισμού (E=0), άρα χρειάζεται ΛΙΓΟΤΕΡΗ ενέργεια για ιοντισμό, όχι περισσότερη. Λάθος.
3. γ: Σε διέγερση το n μεγαλώνει, άρα το ηλεκτρόνιο απομακρύνεται κατά μέσο όρο από τον πυρήνα. Σωστό.
4. δ και ε είναι αμοιβαία αποκλειόμενες (η μία λέει ίσες συχνότητες, η άλλη ότι η μία είναι μεγαλύτερη). Η μετάπτωση 4→1 έχει μεγαλύτερο ενεργειακό χάσμα |ΔΕ| από τη 4→2 (αφού Ε₁ είναι πολύ πιο αρνητική από Ε₂), άρα μεγαλύτερη συχνότητα (ν=ΔΕ/h). Άρα δ: Λάθος, ε: Σωστό.

Απάντηση: α. Λάθος, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό.

Άσκηση 26 (σελ. 242)

Μερικά γυαλιά ηλίου διαθέτουν ειδικούς φακούς που αλλάζουν χρώμα... οι φακοί διαθέτουν μικρή ποσότητα AgCl το οποίο διασπάται από το φως: AgCl(s)→Ag(s)+Cl. Η ενέργεια που χρειάζεται είναι 310 kJ/mol. Να βρείτε την ελάχιστη συχνότητα ακτινοβολίας που χρειάζεται. Δίνεται h=6,63·10⁻³⁴ J·s και N_A=6,02·10²³ mol⁻¹.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε την ενέργεια ανά μόριο (E/N_A) και εφαρμόζουμε E=hν.

Λύση:

1. E ανά μόριο = 310000 J/mol ÷ 6,02·10²³ mol⁻¹ = 5,15·10⁻¹⁹ J
2. ν = E/h = 5,15·10⁻¹⁹ / 6,63·10⁻³⁴ ≈ 7,77·10¹⁴ s⁻¹

Απάντηση: ν_min ≈ 7,77·10¹⁴ s⁻¹.

Άσκηση 27 (σελ. 242)

Ποιο είναι το μήκος κύματος ηλεκτρονίου, που έχει ταχύτητα 6·10⁶ m/s; Δίνεται η μάζα του ηλεκτρονίου 9·10⁻²⁸ g και σταθερά Planck, h=6,63·10⁻³⁴ J·s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τη σχέση de Broglie λ=h/(mu), μετατρέποντας πρώτα τη μάζα σε kg.

Λύση:

1. m = 9·10⁻²⁸ g = 9·10⁻³¹ kg
2. λ = h/(m·u) = 6,63·10⁻³⁴ / (9·10⁻³¹ × 6·10⁶) = 6,63·10⁻³⁴ / 5,4·10⁻²⁴ ≈ 1,23·10⁻¹⁰ m

Απάντηση: λ ≈ 1,23·10⁻¹⁰ m.

Άσκηση 28 (σελ. 242)

Ποια από τα παρακάτω φάσματα είναι συνεχή και ποια γραμμικά; Ποιο απ' αυτά αντιστοιχεί στο ατομικό φάσμα εκπομπής του Η;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Διάκριση συνεχούς/γραμμικού φάσματος με βάση το σχήμα του βιβλίου.

Λύση:

1. Το επάνω τμήμα (ομαλή χρωματική διαβάθμιση, χωρίς κενά) είναι το συνεχές φάσμα.
2. Οι τρεις κάτω ταινίες (διακριτές φωτεινές γραμμές σε μαύρο φόντο) είναι γραμμικά φάσματα εκπομπής.
3. Το άτομο του υδρογόνου, όντας το απλούστερο (ένα ηλεκτρόνιο), δίνει το γραμμικό φάσμα με τις λιγότερες, πιο αραιές γραμμές — δηλαδή την πρώτη από τις τρεις γραμμικές ταινίες.

Απάντηση: Συνεχές: το πάνω φάσμα. Γραμμικά: οι τρεις κάτω ταινίες. Στο υδρογόνο αντιστοιχεί η γραμμική ταινία με τις λιγότερες γραμμές (η πρώτη), αφού το άτομο Η έχει το απλούστερο φάσμα.

Άσκηση 29 (σελ. 243)

Να αντιστοιχίσετε τα ονόματα Bohr, de Broglie, Heisenberg, Schrödinger με τη θεωρία (ή εξίσωση) που αναφέρεται.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση της συνεισφοράς κάθε επιστήμονα (ο πίνακας του ψηφιοποιημένου κειμένου εμφανίζεται μετατοπισμένος κατά μία θέση — γνωστό σφάλμα ψηφιοποίησης, όπως και σε προηγούμενα κεφάλαια).

Λύση:

1. Bohr → κυκλική καθορισμένη τροχιά (πρότυπο ατόμου).
2. de Broglie → κυματική θεωρία της ύλης.
3. Heisenberg → αρχή της αβεβαιότητας.
4. Schrödinger → κυματική εξίσωση.

Απάντηση: Bohr–κυκλική καθορισμένη τροχιά· de Broglie–κυματική θεωρία της ύλης· Heisenberg–αρχή αβεβαιότητας· Schrödinger–κυματική εξίσωση.

Άσκηση 30 (σελ. 243)

Να συμπληρώσετε τα κενά: Ο κύριος κβαντικός αριθμός συμβολίζεται με ....., παίρνει ακέραιες τιμές ........... και καθορίζει το .................. του τροχιακού. Ο αζιμουθιακός συμβολίζεται με ....., παίρνει τιμές ............. και καθορίζει το .................. του ηλεκτρονιακού νέφους. Ο μαγνητικός συμβολίζεται με ....., παίρνει τιμές ................. και δείχνει σε ποιο .................. ανήκει το ηλεκτρόνιο. Ο μαγνητικός του spin συμβολίζεται με ....., παίρνει τιμές ............. και καθορίζει την .................. του ηλεκτρονίου.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συμπλήρωση με βάση τον πίνακα κβαντικών αριθμών.

Απάντηση: Κύριος: n, τιμές 1,2,3,..., καθορίζει το μέγεθος του τροχιακού. Αζιμουθιακός: l, τιμές 0,1,...,(n-1), καθορίζει το σχήμα του ηλεκτρονιακού νέφους. Μαγνητικός: m_l, τιμές -l,...,0,...,+l, δείχνει σε ποιο τροχιακό (προσανατολισμό) ανήκει το ηλεκτρόνιο. Μαγνητικός του spin: m_s, τιμές +1/2 ή -1/2, καθορίζει την ιδιοπεριστροφή (spin) του ηλεκτρονίου.

Άσκηση 31 (σελ. 243)

Να αιτιολογήσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες: α. Τα ηλεκτρόνια της ίδιας στιβάδας έχουν και τους 4 κβαντικούς αριθμούς ίδιους. β. Τα ηλεκτρόνια της ίδιας υποστιβάδας έχουν τον ίδιο κύριο κβαντικό αριθμό και τον ίδιο αζιμουθιακό κβαντικό αριθμό. γ. Τα ηλεκτρόνια του ίδιου τροχιακού έχουν τον ίδιο κύριο κβαντικό αριθμό, τον ίδιο αζιμουθιακό κβαντικό αριθμό και τον ίδιο μαγνητικό κβαντικό αριθμό. δ. Τα ηλεκτρόνια του τροχιακού 1s έχουν την εξής τετράδα κβαντικών αριθμών (1,1,1,+1/2).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ελέγχουμε κάθε πρόταση με βάση τους ορισμούς στιβάδας/υποστιβάδας/τροχιακού και τους επιτρεπτούς συνδυασμούς κβαντικών αριθμών.

Λύση:

1. α: Τα ηλεκτρόνια της ίδιας στιβάδας έχουν μόνο κοινό το n· μπορούν να διαφέρουν σε l, m_l, m_s (απαγορευτική αρχή Pauli δεν το επιτρέπει καν να έχουν όλα ίδια). Λάθος.
2. β: Ακριβώς αυτός είναι ο ορισμός της υποστιβάδας (ίδιο n και l). Σωστό.
3. γ: Ίδιο n, l, m_l ορίζουν ακριβώς ένα τροχιακό (διαφέρουν μόνο στο spin). Σωστό.
4. δ: Για n=1, το l μπορεί να είναι μόνο 0 (αφού l=0,...,n-1), άρα η τετράδα (1,1,1,+1/2) είναι αδύνατη — έχει λάθος και το l=1 (έπρεπε 0) και το m_l=1 (έπρεπε 0). Λάθος· η σωστή τετράδα για 1s είναι (1,0,0,±1/2).

Απάντηση: α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος.

Άσκηση 32 (σελ. 243)

Να αντιστοιχίσετε τις υποστιβάδες με τις δυάδες των δύο πρώτων κβαντικών αριθμών (n,l).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάθε υποστιβάδα καθορίζεται μονοσήμαντα από το (n,l)· ο πίνακας του ψηφιοποιημένου κειμένου εμφανίζεται μετατοπισμένος (γνωστό σφάλμα ψηφιοποίησης).

Λύση:

1. 1s → (1,0)
2. 2s → (2,0)
3. 2p → (2,1)
4. 3p → (3,1)
5. 3d → (3,2)
6. 4f → (4,3)

Απάντηση: 1s–(1,0)· 2s–(2,0)· 2p–(2,1)· 3p–(3,1)· 3d–(3,2)· 4f–(4,3).

Άσκηση 33 (σελ. 244)

Ποια από τα παρακάτω τροχιακά είναι το 1s, 2s, 2p_z, 3p_x και 3s (με βάση το σχήμα του βιβλίου: α. πολύ μικρό σφαιρικό νέφος, β. δίλοβο p εκτεταμένο οριζόντια, γ. δίλοβο p με επιπλέον εσωτερικό ζεύγος λοβών, δ. σφαιρικό μεγαλύτερο του α., ε. ακόμη μεγαλύτερο σφαιρικό) και να δώσετε τους αντίστοιχους κβαντικούς αριθμούς (n,l,m_l).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το μέγεθος του σφαιρικού s αυξάνει με το n· τα p τροχιακά με ακτινικό κόμβο (επιπλέον λοβούς) αντιστοιχούν σε μεγαλύτερο n.

Λύση:

1. α (πολύ μικρό σφαιρικό) = 1s, (1,0,0)
2. β (απλό δίλοβο p) = 3p_x, (3,1,1)
3. γ (δίλοβο με επιπλέον εσωτερικό ζεύγος, δηλ. ακτινικός κόμβος) = 2p_z, (2,1,0)
4. δ (σφαιρικό, μεσαίο μέγεθος) = 2s, (2,0,0)
5. ε (σφαιρικό, μεγαλύτερο) = 3s, (3,0,0)

Απάντηση: α=1s (1,0,0)· β=3p_x (3,1,1)· γ=2p_z (2,1,0)· δ=2s (2,0,0)· ε=3s (3,0,0).

Άσκηση 34 (σελ. 244)

Ένα ηλεκτρόνιο που ανήκει στο τροχιακό 3p_x μπορεί να έχει την εξής τετράδα κβαντικών αριθμών: α. (3,0,0,+1/2) β. (3,2,-1,-1/2) γ. (3,3,-1,+1/2) δ. (3,1,1,+1/2)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για τροχιακό 3p πρέπει n=3, l=1 (p), και m_l∈{-1,0,+1}.

Λύση:

1. α: l=0 αντιστοιχεί σε s, όχι p — άκυρο.
2. β: l=2 αντιστοιχεί σε d, όχι p — άκυρο.
3. γ: l=3 δεν επιτρέπεται για n=3 (l≤n-1=2) — άκυρο.
4. δ: n=3, l=1 (p), m_l=1 — έγκυρη τετράδα για τροχιακό p (αντιστοιχεί σε ένα από τα 3p, π.χ. 3p_x).

Απάντηση: δ. (3,1,1,+1/2).

Άσκηση 35 (σελ. 244)

Ποιες από τις επόμενες τετράδες κβαντικών αριθμών είναι δυνατές και ποιες όχι; α. (1,0,0,+1/2) β. (1,1,1,-1/2) γ. (2,0,0,+1/2) δ. (2,1,-1,+1/2) ε. (2,0,1,+1/2) στ. (3,2,-2,-1/2)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ελέγχουμε τους περιορισμούς 0≤l≤n-1 και -l≤m_l≤+l για κάθε τετράδα.

Λύση:

1. α: n=1, l=0 (επιτρεπτό, l≤0)· m_l=0 (εντός -0..0). Δυνατή.
2. β: n=1, l=1 — απαιτείται l≤n-1=0, άρα l=1 δεν επιτρέπεται. Αδύνατη.
3. γ: n=2, l=0, m_l=0. Δυνατή.
4. δ: n=2, l=1 (≤1 ✓), m_l=-1 (εντός -1..1). Δυνατή.
5. ε: n=2, l=0, αλλά m_l=1 — για l=0 πρέπει m_l=0 μόνο. Αδύνατη.
6. στ: n=3, l=2 (≤2 ✓), m_l=-2 (εντός -2..2). Δυνατή.

Απάντηση: Δυνατές: α, γ, δ, στ. Αδύνατες: β, ε.

Άσκηση 36 (σελ. 244)

Να δώσετε το συμβολισμό των τροχιακών που καθορίζονται από: α. n=2, l=1, m_l=-1 β. n=3, l=0, m_l=0 γ. n=4, l=1, m_l=1

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το n,l δίνουν στιβάδα/υποστιβάδα (0,1,2,3→s,p,d,f)· το m_l προσδιορίζει ποιο ακριβώς p τροχιακό (κατά τη σύμβαση m_l: +1→p_x, 0→p_z, -1→p_y).

Λύση:

1. α: n=2, l=1 (p) → 2p, με m_l=-1 → 2p_y
2. β: n=3, l=0 (s) → 3s
3. γ: n=4, l=1 (p) → 4p, με m_l=1 → 4p_x

Απάντηση: α. 2p_y β. 3s γ. 4p_x.

Άσκηση 37 (σελ. 244)

Πόσα τροχιακά υπάρχουν σε καθεμιά από τις παρακάτω υποστιβάδες: α. 4s β. 4p γ. 6d δ. 5f

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αριθμός τροχιακών ανά υποστιβάδα = 2l+1 (s:1, p:3, d:5, f:7), ανεξάρτητο του n.

Λύση:

1. α. 4s (l=0): 2·0+1=1
2. β. 4p (l=1): 2·1+1=3
3. γ. 6d (l=2): 2·2+1=5
4. δ. 5f (l=3): 2·3+1=7

Απάντηση: α. 1 β. 3 γ. 5 δ. 7.

Άσκηση 38 (σελ. 244)

Να γράψετε τους τέσσερις κβαντικούς αριθμούς καθενός ηλεκτρονίου που αντιστοιχεί σε ένα συμπληρωμένο 3p τροχιακό (υποστιβάδα).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η υποστιβάδα 3p (n=3,l=1) έχει 3 τροχιακά (m_l=-1,0,+1), καθένα πλήρες με 2 ηλεκτρόνια αντίθετου spin — σύνολο 6 ηλεκτρόνια.

Λύση:

1. (3,1,-1,+1/2) και (3,1,-1,-1/2)
2. (3,1,0,+1/2) και (3,1,0,-1/2)
3. (3,1,1,+1/2) και (3,1,1,-1/2)

Απάντηση: Οι 6 τετράδες: (3,1,-1,+1/2), (3,1,-1,-1/2), (3,1,0,+1/2), (3,1,0,-1/2), (3,1,1,+1/2), (3,1,1,-1/2).