Λύσεις ασκήσεων κεφ. 5 (σελ. 142-143) – ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Γ΄ ΕΠΑΛ
Λύσεις ασκήσεων κεφ. 5
Πλήρεις λύσεις και των δεκατεσσάρων ασκήσεων του κεφαλαίου 5 — φίλτρα χαμηλών και υψηλών συχνοτήτων 1ης και 2ης τάξης Sallen-Key, φίλτρα στενής ζώνης διέλευσης και αποκοπής, φίλτρο δοντιού και φίλτρα με αναστροφή.
5-1 — dc ενίσχυση και συχνότητα αποκοπής φίλτρου 1ου βαθμού
Ερώτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ: 5-1. Ένα φίλτρο 1ου βαθμού έχει R1 = 1 kΩ, και R2 = 6 kΩ, R = 4.7 kΩ, και C = 6.8 nF. Υπολογίστε την dc ενίσχυση του φίλτρου σε dB και τη συχνότητα αποκοπής αυτού. Επίσης σχεδιάστε την καπύλη απόκρισης του φίλτρου.
Απάντηση:
-
1. Η dc ενίσχυση (Εξ. 5.6.2, σελ. 126): K = 1 + R2/R1
K = 1 + 6/1 = 7Σε dB
K(dB) = 20·log(7) = 20 × 0,845 = 16,9 dB2. Η συχνότητα αποκοπής (Εξ. 5.6.3): f1 = 1/(2π·R·C)
f1 = 1/(2π × 4700 × 6,8 × 10⁻⁹) f1 = 1/(2π × 3,196 × 10⁻⁵) f1 = 1/(2,008 × 10⁻⁴) = 4980 Hz ≅ 5 kHzΑπαντήσεις | Μέγεθος | Τιμή | |---|---| | dc ενίσχυση Κ | 7 | | σε dB | ≅ 16,9 dB | | συχνότητα αποκοπής f1 | ≅ 4980 Hz ≅ 5 kHz |
3. Η καμπύλη απόκρισης (ΦΧΣ 1ης τάξης, κλίση −20 dB/δεκάδα)
|H| (dB) 16,9 ┤━━━━━━━━━━━━━━━╮ │ ╰╮ −3 dB στα 5 kHz 13,9 ┤ - - - - - - - - ● │ ╲ │ ╲ −20 dB/δεκάδα │ ╲ 0 └──┴────┴────┴────┴───╲──► f (Hz) 10 100 1K 5K 10K 100KΤο κριτήριο (σελ. 126): στη f1 το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς γίνεται |Η(jω)| = Κ/√2 ή 0.707·Κ ή 20·log Κ − 3 dB, δηλ. 3 dB κάτω από τη μέγιστη απολαβή — δηλαδή 16,9 − 3 = 13,9 dB, ή σε γραμμικές μονάδες 0,707 × 7 = 4,95.
Η κλίση: το φίλτρο είναι 1ης τάξης (ένας πυκνωτής), άρα η κλίση μετά τη f1 είναι −20 dB/δεκάδα ή −6 dB/οκτάβα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Πρώτον, η ενίσχυση στο συνεχές δίνεται από τη σχέση K ίσον ένα συν R2 διά R1, δηλαδή ένα συν έξι διά ένα, ίσον επτά· εκφρασμένη σε ντεσιμπέλ είναι είκοσι επί τον λογάριθμο του επτά, δηλαδή περίπου δεκαέξι κόμμα εννέα ντεσιμπέλ. Δεύτερον, η συχνότητα αποκοπής δίνεται από τη σχέση f1 ίσον ένα διά δύο π R C, δηλαδή ένα διά δύο π επί τέσσερις χιλιάδες επτακόσια επί έξι κόμμα οκτώ νανοφαράντ, που δίνει τέσσερις χιλιάδες εννιακόσια ογδόντα χερτς, δηλαδή περίπου πέντε κιλοχερτς. Ως προς την καμπύλη απόκρισης, πρόκειται για φίλτρο χαμηλών συχνοτήτων πρώτης τάξης: η απολαβή παραμένει σταθερή στα δεκαέξι κόμμα εννέα ντεσιμπέλ μέχρι τη συχνότητα αποκοπής, όπου πέφτει κατά τρία ντεσιμπέλ, δηλαδή στα δεκατρία κόμμα εννέα, και στη συνέχεια μειώνεται με κλίση είκοσι ντεσιμπέλ ανά δεκάδα, ή έξι ανά οκτάβα, αφού το φίλτρο έχει ένα μόνο στοιχείο αποθήκευσης ενέργειας.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-2 — ΦΧΣ 1ου βαθμού με ενίσχυση 1
Ερώτηση: 5-2. Υπολογίστε ΦΧΣ 1ου βαθμού με ενίσχυση 1 και συχνότητα αποκοπής 500 Ηz. Σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισής του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: Κ = 1, f1 = 500 Hz.
1. Το δικτύωμα ενίσχυσης (Εξ. 5.6.5, σελ. 126): R2 = (Κ − 1)·R1
R2 = (1 − 1)·R1 = 0Άρα R2 = 0 (βραχυκύκλωμα) και R1 = ∞ (ανοικτό κύκλωμα) — ο ΤΕ συνδεσμολογείται ως ακόλουθος τάσης (απομονωτής), σύμφωνα με το κεφ. 4 (σελ. 90): η μικρότερη ενίσχυση που μπορεί να επιτευχθεί με το μη-αναστρέφοντα ενισχυτή… είναι ίση με 1. Αυτή η περίπτωση, που συμβαίνει, όταν R2 = 0.
2. Το δικτύωμα φίλτρου (Εξ. 5.6.4): R = 1/(2π·f1·C). Δεχόμαστε C = 100 nF
R = 1/(2π × 500 × 100 × 10⁻⁹) R = 1/(2π × 5 × 10⁻⁵) = 1/(3,1416 × 10⁻⁴) = 3183 ΩΤυποποίηση Ε12: R = 3,3 kΩ.
Το κύκλωμα
R = 3,3 KΩ Ui ────────[ ]───┬────────┐ │ ┌───┴────┐ ═╪═ │+ │ C │ │ ΤΕ ├──┬── U0 100nF│ │− │ │ ─┴─ └───┬────┘ │ ΓΗ └───────┘ (ακόλουθος τάσης: R2 = 0)3. Η καμπύλη απόκρισης
|H| (dB) 0 ┤━━━━━━━━━━━╮ (Κ = 1 → 20·log 1 = 0 dB) │ ╰╮ −3 dB στα 500 Hz −3 ┤ - - - - - - ● │ ╲ −20 dB/δεκάδα −20 ┤ ╲ │ ╲ −40 └──┴───┴────┴─────╲──► f (Hz) 10 100 500 5K 50KΑπαντήσεις | Στοιχείο | Τιμή | |---|---| | C | 100 nF (επιλογή) | | R | 3183 Ω → 3,3 kΩ (Ε12) | | R2 | 0 (βραχυκύκλωμα) | | R1 | ∞ (ανοικτό) | | Κ σε dB | 0 dB |
Η χρησιμότητα ενός φίλτρου με Κ = 1: δεν ενισχύει, αλλά απομονώνει — ο ακόλουθος τάσης απομονώνει μια μεγάλη αντίσταση από μια μικρή (σελ. 91), οπότε το παθητικό δικτύωμα R-C δεν φορτίζεται από το επόμενο στάδιο και η f1 παραμένει ακριβώς στα 500 Hz.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ζητείται φίλτρο χαμηλών συχνοτήτων πρώτης τάξης με ενίσχυση μονάδα και συχνότητα αποκοπής πεντακόσια χερτς. Ως προς το δικτύωμα ενίσχυσης, από τη σχέση R2 ίσον K μείον ένα επί R1 προκύπτει R2 ίσον μηδέν, δηλαδή βραχυκύκλωμα, με την R1 ανοικτή· ο τελεστικός ενισχυτής δηλαδή συνδεσμολογείται ως ακόλουθος τάσης, αφού, όπως αναφέρει το βιβλίο, η ενίσχυση μονάδα επιτυγχάνεται ακριβώς όταν η R2 είναι μηδέν. Ως προς το δικτύωμα του φίλτρου, δεχόμαστε αυθαίρετα χωρητικότητα εκατό νανοφαράντ, οπότε από τη σχέση R ίσον ένα διά δύο π f1 C προκύπτει αντίσταση τρεις χιλιάδες εκατόν ογδόντα τρία ωμ, την οποία τυποποιούμε στα τρία κόμμα τρία κιλοόμ της σειράς Ε12. Η καμπύλη απόκρισης είναι οριζόντια στα μηδέν ντεσιμπέλ μέχρι τα πεντακόσια χερτς, όπου πέφτει κατά τρία ντεσιμπέλ, και στη συνέχεια κατέρχεται με κλίση είκοσι ντεσιμπέλ ανά δεκάδα. Η αξία του φίλτρου αυτού είναι η απομόνωση: το παθητικό δικτύωμα δεν φορτίζεται από το επόμενο στάδιο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-3 — ΦΥΣ 1ου βαθμού — υπολογισμός αντιστάσεων
Ερώτηση: 5-3. Ένα ΦΥΣ 1ου βαθμού έχει Κ=6 και R2 = 10 kΩ , C = 10 nF. Υπολογίστε τις αντιστάσεις R3 και R4, καθώς και τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. Σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισής του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: Κ = 6, R2 = 10 kΩ (η αντίσταση του δικτυώματος R-C του φίλτρου), C = 10 nF· ζητούνται οι R3, R4 του διαιρέτη ενίσχυσης και η f2.
1. Η συχνότητα αποκοπής (Εξ. 5.7.2, σελ. 128): f2 = 1/(2π·R·C), με R = R2 = 10 kΩ
f2 = 1/(2π × 10⁴ × 10 × 10⁻⁹) f2 = 1/(2π × 10⁻⁴) = 1/(6,2832 × 10⁻⁴) f2 = 1592 Hz ≅ 1,6 kHz2. Οι αντιστάσεις της ενίσχυσης (Εξ. 5.6.2, που εξακολουθεί να δίνεται και για το ΦΥΣ, σελ. 128): K = 1 + R4/R3
R4 = (Κ − 1)·R3 = 5·R3Δεχόμαστε R3 = 10 kΩ:
R4 = 5 × 10 kΩ = 50 kΩ → R4 = 47 kΩ (σειρά Ε12)Απαντήσεις | Στοιχείο | Τιμή | |---|---| | f2 | ≅ 1592 Hz ≅ 1,6 kHz | | R3 | 10 kΩ (επιλογή) | | R4 | 50 kΩ → 47 kΩ (Ε12) | | Κ σε dB | 20·log 6 = 15,6 dB |
3. Η καμπύλη απόκρισης (ΦΥΣ 1ης τάξης, +20 dB/δεκάδα πριν τη f2)
|H| (dB) 15,6 ┤ ╭━━━━━━━━━━━ │ ╱ 12,6 ┤ - - - - - -● −3 dB στα 1,6 kHz │ ╱ │ ╱ +20 dB/δεκάδα │ ╱ 0 └────────╱──┴─────┴────► f (Hz) 10 100 1,6K 10K 100KΠώς προκύπτει το ΦΥΣ (σελ. 128): αν αντιμεταθέσουμε τη θέση του πυκνωτή C και της αντίστασης R στο κύκλωμα του Σχ.5.11, προκύπτει ΦΥΣ Sallen-Key — δηλαδή ο πυκνωτής μπαίνει σε σειρά με την είσοδο και η αντίσταση προς τη γη.
Ο έλεγχος του κριτηρίου των 3 dB: στη f2 = 1592 Hz η απολαβή είναι 0,707 × 6 = 4,24, δηλαδή 12,6 dB — ακριβώς 3 dB κάτω από τα 15,6 dB.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται ενίσχυση έξι, αντίσταση του δικτυώματος του φίλτρου δέκα κιλοόμ και χωρητικότητα δέκα νανοφαράντ. Πρώτον, η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου υψηλών συχνοτήτων δίνεται από τη σχέση f2 ίσον ένα διά δύο π R C, δηλαδή ένα διά δύο π επί δέκα χιλιάδες επί δέκα νανοφαράντ, που δίνει χίλια πεντακόσια ενενήντα δύο χερτς, δηλαδή περίπου ένα κόμμα έξι κιλοχερτς. Δεύτερον, η ενίσχυση εξακολουθεί να δίνεται από τη σχέση K ίσον ένα συν R4 διά R3, οπότε R4 ίσον K μείον ένα επί R3, δηλαδή πέντε επί R3. Δεχόμενοι R3 ίση με δέκα κιλοόμ, προκύπτει R4 ίση με πενήντα κιλοόμ, την οποία τυποποιούμε στα σαράντα επτά κιλοόμ της σειράς Ε12. Η καμπύλη απόκρισης ανέρχεται με κλίση είκοσι ντεσιμπέλ ανά δεκάδα μέχρι τη συχνότητα αποκοπής, όπου βρίσκεται τρία ντεσιμπέλ κάτω από τη μέγιστη απολαβή των δεκαπέντε κόμμα έξι ντεσιμπέλ, και στη συνέχεια παραμένει σταθερή.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-4 — ΦΥΣ 1ου βαθμού με ενίσχυση 4
Ερώτηση: 5-4. Να υπολογίσετε ΦΥΣ 1ου βαθμού με ενίσχυση 4 και συχνότητα αποκοπής 1,5 kHz. Σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισής του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: Κ = 4, f2 = 1,5 kHz = 1500 Hz.
Η μεθοδολογία (σελ. 127-128): δεχόμαστε (έστω και αυθαίρετα) μια κατάλληλη τιμή για τη χωρητικότητα C και μια κατάλληλη τιμή της R1 και μετά υπολογίζουμε τις αντιστάσεις R και R2· ο υπολογισμός του ΦΥΣ γίνεται όπως ακριβώς και με το αντίστοιχο ΦΧΣ.
1. Επιλογές: C = 10 nF και R1 = 10 kΩ.
2. Η αντίσταση του φίλτρου (Εξ. 5.6.4 / 5.7.2)
R = 1/(2π·f2·C) = 1/(2π × 1500 × 10 × 10⁻⁹) R = 1/(2π × 1,5 × 10⁻⁵) = 1/(9,4248 × 10⁻⁵) R = 10.610 ΩΤυποποίηση Ε12: R = 10 kΩ.
3. Η αντίσταση ενίσχυσης (Εξ. 5.6.5)
R2 = (Κ − 1)·R1 = 3 × 10 kΩ = 30 kΩΤυποποίηση Ε12: R2 = 33 kΩ.
Το κύκλωμα
C = 10 nF Ui ────┤├────┬────────┐ │ ┌───┴────┐ ┌┴┐ │+ │ R=10KΩ │ │ │ ΤΕ ├──┬── U0 └┬┘ │− │ │ ─┴─ └───┬────┘ │ ΓΗ │ │ ┌┴┐ ┌┴┐ R1=10K │ │ R2 │ │ 33K └┬┘ └┬┘ ─┴─ └──── (προς έξοδο) ΓΗ4. Η καμπύλη απόκρισης (Κ = 4 → 20·log 4 = 12 dB)
|H| (dB) 12 ┤ ╭━━━━━━━━━━━━━ │ ╱ 9 ┤ - - - - - ● −3 dB στα 1,5 kHz │ ╱ │ ╱ +20 dB/δεκάδα 0 ┤ ╱ │ ╱ −20 └──────╱──┴──────┴────► f (Hz) 10 150 1,5K 15K 150KΑπαντήσεις | Στοιχείο | Τιμή | |---|---| | C | 10 nF (επιλογή) | | R | 10.610 Ω → 10 kΩ (Ε12) | | R1 | 10 kΩ (επιλογή) | | R2 | 30 kΩ → 33 kΩ (Ε12) |
Ο επανυπολογισμός με τις τυποποιημένες τιμές
f2 = 1/(2π × 10.000 × 10⁻⁸) = 1592 Hz (αντί 1500 — απόκλιση 6%) Κ = 1 + 33/10 = 4,3 (αντί 4 — απόκλιση 7,5%)Οι αποκλίσεις είναι αποδεκτές για τη σειρά Ε12, όπως και στα παραδείγματα του βιβλίου.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ζητείται φίλτρο υψηλών συχνοτήτων πρώτης τάξης με ενίσχυση τέσσερα και συχνότητα αποκοπής ενάμισι κιλοχερτς. Ακολουθώντας τη μεθοδολογία του βιβλίου, δεχόμαστε αυθαίρετα χωρητικότητα δέκα νανοφαράντ και αντίσταση R1 δέκα κιλοόμ. Η αντίσταση του φίλτρου προκύπτει από τη σχέση R ίσον ένα διά δύο π f2 C, δηλαδή ένα διά δύο π επί χίλια πεντακόσια επί δέκα νανοφαράντ, που δίνει δέκα χιλιάδες εξακόσια δέκα ωμ, την οποία τυποποιούμε στα δέκα κιλοόμ. Η αντίσταση ενίσχυσης προκύπτει από τη σχέση R2 ίσον K μείον ένα επί R1, δηλαδή τρία επί δέκα κιλοόμ, ίσον τριάντα κιλοόμ, την οποία τυποποιούμε στα τριάντα τρία κιλοόμ της σειράς Ε12. Η καμπύλη απόκρισης ανέρχεται με κλίση είκοσι ντεσιμπέλ ανά δεκάδα και σταθεροποιείται στα δώδεκα ντεσιμπέλ, με τη συχνότητα αποκοπής στο σημείο των τριών ντεσιμπέλ κάτω. Με τις τυποποιημένες τιμές η πραγματική συχνότητα γίνεται χίλια πεντακόσια ενενήντα δύο χερτς και η ενίσχυση τέσσερα κόμμα τρία, αποκλίσεις απολύτως αποδεκτές.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-5 — ΦΧΣ 2ης τάξης — συχνότητα και ενίσχυση
Ερώτηση: 5-5. Ένα ΦΧΣ 2ης τάξης έχει R= 10 kΩ, C1 = 10 nF, C2 = 1.5 nF, R1 =10 kΩ και R2 = 82 kΩ. Υπολογίστε τη συχνότητα αποκοπής και την ενίσχυση του φίλτρου. Επίσης, σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισης του φίλτρου.
Απάντηση:
-
1. Η ενίσχυση (Εξ. 5.6.2, σελ. 126, που δίνεται και πάλι για το φίλτρο 2ης τάξης, σελ. 130)
K = 1 + R2/R1 = 1 + 82/10 = 1 + 8,2 = 9,2Σε dB: 20·log(9,2) = 19,3 dB.
2. Η συχνότητα αποκοπής (Εξ. 5.8.2): f1 = 1/(2π·R·√(C1·C2))
√(C1·C2) = √(10 × 1,5) nF = √15 nF = 3,873 nF f1 = 1/(2π × 10⁴ × 3,873 × 10⁻⁹) f1 = 1/(2π × 3,873 × 10⁻⁵) = 1/(2,4335 × 10⁻⁴) f1 = 4109 Hz ≅ 4,1 kHzΑπαντήσεις | Μέγεθος | Τιμή | |---|---| | ενίσχυση Κ | 9,2 (19,3 dB) | | συχνότητα αποκοπής f1 | ≅ 4109 Hz ≅ 4,1 kHz |
3. Η καμπύλη απόκρισης — 2ης τάξης, άρα κλίση −40 dB/δεκάδα (σελ. 129: η κλίση του φίλτρου είναι −40 dB/δεκ. ή −12 dB/οκτ.)
|H| (dB) 19,3 ┤━━━━━━━━━━━━━━━╮ │ ╰╮ −3 dB στα 4,1 kHz 16,3 ┤ - - - - - - - - ● │ ╲ │ ╲╲ −40 dB/δεκάδα │ ╲╲ 0 ┤ ╲╲ │ ╲╲ −20 └──┴────┴────┴────┴─────────╲╲─► f (Hz) 100 1K 4,1K 10K 40K 100KΟ έλεγχος του συντελεστή — από τις Εξ. (5.8.3) και (5.8.4) μπορούμε να βρούμε το λ που «κρύβεται» πίσω από τις δοθείσες τιμές:
C1/C2 = [λ/(4ω1R)]/[4/(λω1R)] = λ²/16 λ = 4·√(C1/C2) = 4·√(10/1,5) = 4 × 2,582 = 10,33Επαλήθευση με την Εξ. (5.8.5) για Κ = 9,2 και Butterworth α = 1,414
λ = α + √(α² + 8(Κ − 1)) = 1,414 + √(2 + 8 × 8,2) λ = 1,414 + √67,6 = 1,414 + 8,222 = 9,64— πολύ κοντά στο 10,33 που δίνουν οι τυποποιημένες τιμές των πυκνωτών, άρα τα δεδομένα είναι συνεπή με φίλτρο Butterworth 2ης τάξης.
Γιατί είναι 2ης τάξης (σελ. 129): επειδή ο παρονομαστής της συνάρτησης μεταφοράς… είναι πολυώνυμο δεύτερου βαθμού. (Αυτό οφείλεται στο ότι το κύκλωμα έχει δυο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας, δηλ. τους δυο πυκνωτές).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Πρώτον, η ενίσχυση δίνεται από τη σχέση K ίσον ένα συν R2 διά R1, δηλαδή ένα συν ογδόντα δύο διά δέκα, ίσον εννέα κόμμα δύο, που σε ντεσιμπέλ αντιστοιχεί σε δεκαεννέα κόμμα τρία. Δεύτερον, η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου δεύτερης τάξης δίνεται από τη σχέση f1 ίσον ένα διά δύο π R επί τη ρίζα του γινομένου C1 επί C2. Η ρίζα του γινομένου δέκα επί ενάμισι νανοφαράντ είναι τρία κόμμα οκτακόσια εβδομήντα τρία νανοφαράντ, οπότε η συχνότητα προκύπτει ένα διά δύο π επί δέκα χιλιάδες επί τρία κόμμα οκτακόσια εβδομήντα τρία νανοφαράντ, δηλαδή τέσσερις χιλιάδες εκατόν εννέα χερτς, περίπου τέσσερα κόμμα ένα κιλοχερτς. Ως προς την καμπύλη απόκρισης, επειδή το φίλτρο είναι δεύτερης τάξης, δηλαδή έχει δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας, η απολαβή παραμένει σταθερή στα δεκαεννέα κόμμα τρία ντεσιμπέλ, πέφτει κατά τρία ντεσιμπέλ στη συχνότητα αποκοπής και στη συνέχεια κατέρχεται με κλίση σαράντα ντεσιμπέλ ανά δεκάδα ή δώδεκα ανά οκτάβα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-6 — ΦΧΣ 2ου βαθμού με f=400 Hz και K=9
Ερώτηση: 5-6. Υπολογίστε ΦΧΣ 2ου βαθμού με συχνότητα αποκοπής 400 Ηz ενίσχυση 9. Σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισής του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: f1 = 400 Hz, Κ = 9· φίλτρο Butterworth, άρα (σελ. 130) α = 1.414.
1. Ο συντελεστής λ (Εξ. 5.8.5)
λ = α + √(α² + 8(Κ − 1)) λ = 1,414 + √(1,414² + 8 × 8) = 1,414 + √(2 + 64) λ = 1,414 + √66 = 1,414 + 8,124 = 9,5382. Επιλογή: R = 10 kΩ· ω1 = 2π·f1 = 2π × 400 = 2513,3 rad/s.
3. Οι πυκνωτές (Εξ. 5.8.3 και 5.8.4)
C1 = λ/(4·ω1·R) = 9,538/(4 × 2513,3 × 10⁴) C1 = 9,538/(1,0053 × 10⁸) = 9,49 × 10⁻⁸ F = 94,9 nF → C1 = 100 nF (σειρά Ε12) C2 = 4/(λ·ω1·R) = 4/(9,538 × 2513,3 × 10⁴) C2 = 4/(2,3972 × 10⁸) = 1,669 × 10⁻⁸ F = 16,7 nF → C2 = 15 nF (σειρά Ε12)4. Το δικτύωμα ενίσχυσης (Εξ. 5.6.5), με R1 = 10 kΩ
R2 = (Κ − 1)·R1 = 8 × 10 kΩ = 80 kΩ → R2 = 82 kΩ (Ε12)Απαντήσεις | Στοιχείο | Υπολογισμένη | Ε12 | |---|---|---| | R (και οι δύο) | 10 kΩ (επιλογή) | 10 kΩ | | C1 | 94,9 nF | 100 nF | | C2 | 16,7 nF | 15 nF | | R1 | 10 kΩ (επιλογή) | 10 kΩ | | R2 | 80 kΩ | 82 kΩ |
5. Η καμπύλη απόκρισης (Κ = 9 → 19,1 dB, κλίση −40 dB/δεκάδα)
|H| (dB) 19,1 ┤━━━━━━━━━━━╮ │ ╰╮ −3 dB στα 400 Hz 16,1 ┤ - - - - - - ● │ ╲╲ │ ╲╲ −40 dB/δεκάδα 0 ┤ ╲╲ │ ╲╲ −20 ┤ ╲╲ └──┴────┴────┴──────────╲╲──► f (Hz) 10 100 400 1K 4K 10KΟ έλεγχος με τις τυποποιημένες τιμές (Εξ. 5.8.2)
f1 = 1/(2π·R·√(C1·C2)) = 1/(2π × 10⁴ × √(100 × 15) × 10⁻⁹) = 1/(2π × 10⁴ × 38,73 × 10⁻⁹) = 411 Hz— απόκλιση μόλις 2,7% από τα ζητούμενα 400 Hz ✓
Η αντιπαραβολή με το Παράδειγμα 5-3 (σελ. 130-131): εκεί, για Κ = 5, το λ = 7,245 — δηλαδή μεγαλύτερη ενίσχυση δίνει μεγαλύτερο λ, άρα μεγαλύτερο C1 και μικρότερο C2, δηλαδή μεγαλύτερο λόγο C1/C2.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ζητείται φίλτρο χαμηλών συχνοτήτων δεύτερου βαθμού με συχνότητα αποκοπής τετρακόσια χερτς και ενίσχυση εννέα. Για φίλτρο Butterworth δεύτερης τάξης ο συντελεστής άλφα είναι ένα κόμμα τετρακόσια δεκατέσσερα, οπότε ο συντελεστής λάμδα, που ισούται με άλφα συν τη ρίζα του άλφα στο τετράγωνο συν οκτώ επί K μείον ένα, προκύπτει εννέα κόμμα πεντακόσια τριάντα οκτώ. Δεχόμαστε αντίσταση δέκα κιλοόμ. Ο πρώτος πυκνωτής, που ισούται με λάμδα διά τέσσερα ω1 R, προκύπτει ενενήντα τέσσερα κόμμα εννέα νανοφαράντ, τυποποιημένος στα εκατό νανοφαράντ, ενώ ο δεύτερος, που ισούται με τέσσερα διά λάμδα ω1 R, προκύπτει δεκαέξι κόμμα επτά νανοφαράντ, τυποποιημένος στα δεκαπέντε νανοφαράντ. Για την ενίσχυση, με R1 δέκα κιλοόμ, η R2 προκύπτει ογδόντα κιλοόμ, τυποποιημένη στα ογδόντα δύο. Με τις τυποποιημένες τιμές η πραγματική συχνότητα αποκοπής επαληθεύεται στα τετρακόσια έντεκα χερτς. Η καμπύλη απόκρισης είναι επίπεδη στα δεκαεννέα κόμμα ένα ντεσιμπέλ και κατέρχεται με κλίση σαράντα ντεσιμπέλ ανά δεκάδα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-7 — ΦΥΣ με δοσμένα στοιχεία
Ερώτηση: 5-7. Ένα ΦΥΣ έχει C = 1 nF, και R1 =8,2 kΩ, R2=47 kΩ και Κ = 8. Υπολογίστε το φίλτρο και σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισής του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: C = 1 nF, R1 = 8,2 kΩ, R2 = 47 kΩ, Κ = 8 — πρόκειται για ΦΥΣ 2ης τάξης Sallen-Key (Σχ. 5.17), όπου οι R1, R2 είναι οι αντιστάσεις του δικτυώματος φίλτρου και ο C και οι δύο πυκνωτές.
1. Η συχνότητα αποκοπής (Εξ. 5.9.2, σελ. 132): f2 = 1/(2π·C·√(R1·R2))
√(R1·R2) = √(8200 × 47.000) = √(3,854 × 10⁸) = 19.632 Ω f2 = 1/(2π × 10⁻⁹ × 19.632) = 1/(1,2336 × 10⁻⁴) f2 = 8106 Hz ≅ 8,1 kHz2. Ο συντελεστής λ — από τον λόγο των δύο αντιστάσεων (Εξ. 5.9.3 και 5.9.4)
R2/R1 = [λ/(4ω2C)]/[4/(λω2C)] = λ²/16 λ = 4·√(R2/R1) = 4·√(47/8,2) = 4·√5,732 = 4 × 2,394 = 9,58Επαλήθευση με την Εξ. (5.9.5) για Κ = 8 και Butterworth α = 1,414
λ = α + √(α² + 8(Κ − 1)) = 1,414 + √(2 + 56) = 1,414 + 7,616 = 9,03— η μικρή διαφορά (9,58 vs 9,03) οφείλεται στην τυποποίηση Ε12 των δοθεισών αντιστάσεων ✓
3. Το δικτύωμα ενίσχυσης (Εξ. 5.6.2): Κ = 1 + R4/R3 = 8
R4 = 7·R3Δεχόμαστε R3 = 10 kΩ → R4 = 70 kΩ → 68 kΩ (Ε12).
Απαντήσεις — το πλήρες φίλτρο | Στοιχείο | Τιμή | |---|---| | C (και οι δύο) | 1 nF | | R1 | 8,2 kΩ | | R2 | 47 kΩ | | R3 | 10 kΩ (επιλογή) | | R4 | 70 kΩ → 68 kΩ (Ε12) | | f2 | ≅ 8,1 kHz | | Κ σε dB | 20·log 8 = 18,1 dB |
4. Η καμπύλη απόκρισης (ΦΥΣ 2ης τάξης, +40 dB/δεκάδα)
|H| (dB) 18,1 ┤ ╭━━━━━━━━━ │ ╱╱ 15,1 ┤ - - - - - - - ● −3 dB στα 8,1 kHz │ ╱╱ 0 ┤ ╱╱ +40 dB/δεκάδα │ ╱╱ −20 ┤ ╱╱ │ ╱╱ −40 └────╱╱──┴──────┴─────► f (Hz) 100 800 8,1K 80KΗ δομή (σελ. 128, 132): το ΦΥΣ προκύπτει από το ΦΧΣ με αντιμετάθεση πυκνωτών και αντιστάσεων — γι' αυτό εδώ οι δύο πυκνωτές είναι ίσοι (C) σε σειρά με το σήμα και οι δύο αντιστάσεις άνισες (R1, R2) προς τη γη και την ανασύζευξη.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται χωρητικότητα ενός νανοφαράντ, αντιστάσεις οκτώ κόμμα δύο και σαράντα επτά κιλοόμ, και ενίσχυση οκτώ· πρόκειται για φίλτρο υψηλών συχνοτήτων δεύτερης τάξης τύπου Sallen-Key. Πρώτον, η συχνότητα αποκοπής δίνεται από τη σχέση f2 ίσον ένα διά δύο π C επί τη ρίζα του γινομένου R1 επί R2. Η ρίζα του γινομένου οκτώ χιλιάδες διακόσια επί σαράντα επτά χιλιάδες είναι δεκαεννέα χιλιάδες εξακόσια τριάντα δύο ωμ, οπότε η συχνότητα προκύπτει οκτώ χιλιάδες εκατόν έξι χερτς, δηλαδή περίπου οκτώ κόμμα ένα κιλοχερτς. Δεύτερον, από τον λόγο των δύο αντιστάσεων προκύπτει ο συντελεστής λάμδα ίσος με τέσσερα επί τη ρίζα του λόγου, δηλαδή εννέα κόμμα πενήντα οκτώ, τιμή που επαληθεύει τον τύπο του Butterworth για ενίσχυση οκτώ, με μικρή απόκλιση λόγω τυποποίησης. Τρίτον, για την ενίσχυση οκτώ, δεχόμενοι αντίσταση δέκα κιλοόμ, η αντίσταση ανασύζευξης προκύπτει εβδομήντα κιλοόμ, τυποποιημένη στα εξήντα οκτώ. Η καμπύλη απόκρισης ανέρχεται με κλίση σαράντα ντεσιμπέλ ανά δεκάδα και σταθεροποιείται στα δεκαοκτώ κόμμα ένα ντεσιμπέλ.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-8 — ΦΥΣ 2ης τάξης με f=800 Hz και K=5,5
Ερώτηση: 5-8. Υπολογίστε ΦΥΣ 2ης τάξης με συχνότητα αποκοπής 800 Ηz και ενίσχυση 5.5. Σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισής του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: f2 = 800 Hz, Κ = 5,5· Butterworth 2ης τάξης → α = 1,414.
1. Ο συντελεστής λ (Εξ. 5.9.5)
λ = α + √(α² + 8(Κ − 1)) λ = 1,414 + √(2 + 8 × 4,5) = 1,414 + √(2 + 36) λ = 1,414 + √38 = 1,414 + 6,164 = 7,5782. Επιλογή: C = 10 nF· ω2 = 2π × 800 = 5026,5 rad/s.
3. Οι αντιστάσεις του φίλτρου (Εξ. 5.9.3 και 5.9.4)
R1 = 4/(λ·ω2·C) = 4/(7,578 × 5026,5 × 10⁻⁸) R1 = 4/(3,809 × 10⁻⁴) = 10.501 Ω → R1 = 10 kΩ (Ε12) R2 = λ/(4·ω2·C) = 7,578/(4 × 5026,5 × 10⁻⁸) R2 = 7,578/(2,0106 × 10⁻⁴) = 37.690 Ω → R2 = 39 kΩ (Ε12)4. Το δικτύωμα ενίσχυσης, με R3 = 10 kΩ
R4 = (Κ − 1)·R3 = 4,5 × 10 kΩ = 45 kΩ → R4 = 47 kΩ (Ε12)Απαντήσεις | Στοιχείο | Υπολογισμένη | Ε12 | |---|---|---| | C (και οι δύο) | 10 nF (επιλογή) | 10 nF | | R1 | 10.501 Ω | 10 kΩ | | R2 | 37.690 Ω | 39 kΩ | | R3 | 10 kΩ (επιλογή) | 10 kΩ | | R4 | 45 kΩ | 47 kΩ |
5. Η καμπύλη απόκρισης (Κ = 5,5 → 20·log 5,5 = 14,8 dB)
|H| (dB) 14,8 ┤ ╭━━━━━━━━━━━━ │ ╱╱ 11,8 ┤ - - - - - ● −3 dB στα 800 Hz │ ╱╱ 0 ┤ ╱╱ +40 dB/δεκάδα │ ╱╱ −20 ┤ ╱╱ │ ╱╱ −40 └╱╱──┴───┴──────┴─────► f (Hz) 10 80 800 8K 80KΟ έλεγχος με τις τυποποιημένες τιμές (Εξ. 5.9.2)
f2 = 1/(2π·C·√(R1·R2)) = 1/(2π × 10⁻⁸ × √(10.000 × 39.000)) = 1/(2π × 10⁻⁸ × 19.748) = 806 Hz— απόκλιση μόλις 0,7% ✓
Η αντιπαραβολή με το Παράδειγμα 5-4 (σελ. 133, f2 = 100 Hz, Κ = 10): εκεί λ = 10,016, R1 = 6,36 kΩ → 6,8 kΩ, R2 = 39,9 kΩ → 39 kΩ, R4 = 90 kΩ → 82 kΩ — η ίδια ακριβώς διαδικασία.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ζητείται φίλτρο υψηλών συχνοτήτων δεύτερης τάξης με συχνότητα αποκοπής οκτακόσια χερτς και ενίσχυση πέντε κόμμα πέντε. Για φίλτρο Butterworth δεύτερης τάξης το άλφα είναι ένα κόμμα τετρακόσια δεκατέσσερα, οπότε ο συντελεστής λάμδα προκύπτει επτά κόμμα πεντακόσια εβδομήντα οκτώ. Δεχόμαστε χωρητικότητα δέκα νανοφαράντ. Η πρώτη αντίσταση, που ισούται με τέσσερα διά λάμδα ω2 C, προκύπτει δέκα χιλιάδες πεντακόσια ένα ωμ, τυποποιημένη στα δέκα κιλοόμ, ενώ η δεύτερη, που ισούται με λάμδα διά τέσσερα ω2 C, προκύπτει τριάντα επτά χιλιάδες εξακόσια ενενήντα ωμ, τυποποιημένη στα τριάντα εννέα κιλοόμ. Για την ενίσχυση, με αντίσταση δέκα κιλοόμ, η αντίσταση ανασύζευξης προκύπτει σαράντα πέντε κιλοόμ, τυποποιημένη στα σαράντα επτά. Με τις τυποποιημένες τιμές η πραγματική συχνότητα αποκοπής επαληθεύεται στα οκτακόσια έξι χερτς, δηλαδή απόκλιση μικρότερη του ενός τοις εκατό. Η καμπύλη ανέρχεται με κλίση σαράντα ντεσιμπέλ ανά δεκάδα και σταθεροποιείται στα δεκατέσσερα κόμμα οκτώ ντεσιμπέλ.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-9 — ΦΣΖΔ — συχνότητα και ενίσχυση
Ερώτηση: 5-9. Ένα ΦΣΖΔ έχει τα εξής στοιχεία: R1 =22 kΩ, R2 =47 kΩ, R3 =120 kΩ. Υπολογίστε τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου και την ενίσχυσή του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: R1 = 22 kΩ, R2 = 47 kΩ, R3 = 120 kΩ. Η χωρητικότητα δεν δίνεται — δεχόμαστε, όπως στο Παράδειγμα 5-5 (σελ. 135), C = 100 nF.
1. Η ενίσχυση (Εξ. 5.10.6, σελ. 135): K = R2/(2·R1)
K = 47.000/(2 × 22.000) = 47/44 = 1,068Σε dB: 20·log(1,068) = 0,57 dB — δηλαδή το φίλτρο έχει σχεδόν μοναδιαία ενίσχυση στην κεντρική συχνότητα.
2. Η συχνότητα συντονισμού (Εξ. 5.10.2): f0 = (1/2πC)·√((1/R2)·(1/R1 + 1/R3))
1/R1 = 1/22.000 = 4,545 × 10⁻⁵ 1/R3 = 1/120.000 = 8,333 × 10⁻⁶ άθροισμα = 5,379 × 10⁻⁵ (1/R2) × 5,379 × 10⁻⁵ = (1/47.000) × 5,379 × 10⁻⁵ = 1,1445 × 10⁻⁹ √(1,1445 × 10⁻⁹) = 3,383 × 10⁻⁵ f0 = 3,383 × 10⁻⁵/(2π × 100 × 10⁻⁹) f0 = 3,383 × 10⁻⁵/(6,2832 × 10⁻⁷) = 53,8 HzΑπαντήσεις (για C = 100 nF) | Μέγεθος | Τιμή | |---|---| | ενίσχυση Κ | 1,068 ≅ 1 (0,57 dB) | | συχνότητα συντονισμού f0 | ≅ 53,8 Hz |
3. Ο έλεγχος του συντελεστή ποιότητας — από την Εξ. (5.10.4) R2 = 2Q/(ω0·C)
Q = R2·ω0·C/2 = 47.000 × (2π × 53,8) × 10⁻⁷/2 Q = 47.000 × 3,380 × 10⁻⁴/2 = 15,89/2 ≅ 7,9Ο έλεγχος του ορίου (σελ. 134): μ' αυτό το φίλτρο μπορούμε να έχουμε Q μέχρι 10, αν θέλουμε να δουλεύει σωστά — Q ≅ 7,9 < 10 ✓
Το εύρος ζώνης
BW = f0/Q = 53,8/7,9 ≅ 6,8 HzΗ φυσιογνωμία του φίλτρου: με f0 ≅ 54 Hz και Q ≅ 8, πρόκειται για πολύ στενό φίλτρο γύρω από τα 50 Hz — τυπική εφαρμογή σε δικτυακές συχνότητες.
Η σημείωση για την επιλογή του C: αν είχε επιλεγεί C = 10 nF, η f0 θα δεκαπλασιαζόταν σε 538 Hz και το Q θα παρέμενε το ίδιο — η χωρητικότητα κλιμακώνει τη συχνότητα χωρίς να αλλάζει τη μορφή της καμπύλης.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται οι τρεις αντιστάσεις είκοσι δύο, σαράντα επτά και εκατόν είκοσι κιλοόμ· η χωρητικότητα δεν δίνεται, οπότε δεχόμαστε εκατό νανοφαράντ, όπως στο αντίστοιχο παράδειγμα του βιβλίου. Πρώτον, η ενίσχυση στην κεντρική συχνότητα δίνεται από τη σχέση K ίσον R2 διά δύο R1, δηλαδή σαράντα επτά διά σαράντα τέσσερα, που δίνει ένα κόμμα μηδέν εξήντα οκτώ, δηλαδή σχεδόν μοναδιαία ενίσχυση, ή μηδέν κόμμα πενήντα επτά ντεσιμπέλ. Δεύτερον, η συχνότητα συντονισμού δίνεται από τη σχέση ένα διά δύο π C επί τη ρίζα του γινομένου ένα διά R2 επί το άθροισμα ένα διά R1 συν ένα διά R3, και προκύπτει περίπου πενήντα τρία κόμμα οκτώ χερτς. Ελέγχοντας τον συντελεστή ποιότητας από τη σχέση της R2, προκύπτει περίπου επτά κόμμα εννέα, τιμή μικρότερη του δέκα, οπότε το φίλτρο πολλαπλών ανασυζεύξεων λειτουργεί σωστά. Το εύρος ζώνης προκύπτει περίπου έξι κόμμα οκτώ χερτς, δηλαδή πρόκειται για πολύ στενό φίλτρο γύρω από τη συχνότητα του δικτύου.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-10 — Υπολογισμός ΦΣΖΔ
Ερώτηση: 5-10. Να υπολογίσετε ΦΣΖΔ με συχνότητα συντονισμού 1 kHz, ενίσχυση 7 και Q = 5.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: f0 = 1 kHz = 1000 Hz, Κ = 7, Q = 5. Ο έλεγχος (σελ. 134): μ' αυτό το φίλτρο μπορούμε να έχουμε Q μέχρι 10 — Q = 5 < 10 ✓
Επιλογή: C = 10 nF· ω0 = 2π·f0 = 2π × 1000 = 6283,2 rad/s.
1. Η R1 (Εξ. 5.10.3, σελ. 135): R1 = Q/(ω0·C·K)
R1 = 5/(6283,2 × 10⁻⁸ × 7) R1 = 5/(4,398 × 10⁻⁴) = 11.369 Ω → R1 = 12 kΩ (σειρά Ε12)2. Η R2 (Εξ. 5.10.4): R2 = 2Q/(ω0·C)
R2 = (2 × 5)/(6283,2 × 10⁻⁸) R2 = 10/(6,2832 × 10⁻⁵) = 159.155 Ω → R2 = 150 kΩ (σειρά Ε12)3. Η R3 (Εξ. 5.10.5): R3 = Q/(ω0·C·(2Q² − K))
2Q² − K = 2 × 25 − 7 = 50 − 7 = 43 R3 = 5/(6,2832 × 10⁻⁵ × 43) R3 = 5/(2,7018 × 10⁻³) = 1851 Ω → R3 = 1,8 kΩ (σειρά Ε12)Απαντήσεις | Στοιχείο | Υπολογισμένη | Ε12 | |---|---|---| | C | 10 nF (επιλογή) | 10 nF | | R1 | 11.369 Ω | 12 kΩ | | R2 | 159.155 Ω | 150 kΩ | | R3 | 1851 Ω | 1,8 kΩ |
Ο έλεγχος της ενίσχυσης (Εξ. 5.10.6) με τις τυποποιημένες τιμές
K = R2/(2·R1) = 150.000/(2 × 12.000) = 150/24 = 6,25— απόκλιση 10,7% από το ζητούμενο 7, αποδεκτή για τη σειρά Ε12.
Το εύρος ζώνης
BW = f0/Q = 1000/5 = 200 Hzδηλαδή το φίλτρο διέρχεται πρακτικά τη ζώνη 900-1100 Hz.
Το κύκλωμα (Σχ. 5.19, σελ. 134) — ΦΣΖΔ πολλαπλών ανασυζεύξεων
R2 = 150 KΩ ┌──────[ ]──────┐ │ C │ ├──────┤├───────┤ │ │ Ui ─[R1]──┬──┤├──────┤ ┌────────┐ 12KΩ │ C └───┤− │ ┌┴┐ │ ΤΕ ├──── U0 R3=1,8│ │ ΓΗ ──┤+ │ KΩ └┬┘ └────────┘ ─┴─ ΓΗΤο αρνητικό πρόσημο (σελ. 134): ανατροφοδοτείται η αναστρέφουσα (−) είσοδος του ΤΕ… πράγμα που δημιουργεί διαφορά φάσης 180° στο σήμα εισόδου και γι' αυτό η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου αυτού έχει αρνητικό πρόσημο.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ζητείται φίλτρο στενής ζώνης διέλευσης με συχνότητα συντονισμού ένα κιλοχερτς, ενίσχυση επτά και συντελεστή ποιότητας πέντε· ο συντελεστής αυτός είναι μικρότερος του δέκα, οπότε το φίλτρο πολλαπλών ανασυζεύξεων λειτουργεί σωστά. Δεχόμαστε χωρητικότητα δέκα νανοφαράντ. Η πρώτη αντίσταση, που ισούται με Q διά ω μηδέν C K, προκύπτει έντεκα χιλιάδες τριακόσια εξήντα εννέα ωμ, τυποποιημένη στα δώδεκα κιλοόμ. Η δεύτερη, που ισούται με δύο Q διά ω μηδέν C, προκύπτει εκατόν πενήντα εννέα χιλιάδες εκατόν πενήντα πέντε ωμ, τυποποιημένη στα εκατόν πενήντα κιλοόμ. Και η τρίτη, που ισούται με Q διά ω μηδέν C επί τη διαφορά δύο Q στο τετράγωνο μείον K, δηλαδή διά σαράντα τρία, προκύπτει χίλια οκτακόσια πενήντα ένα ωμ, τυποποιημένη στα ένα κόμμα οκτώ κιλοόμ. Ελέγχοντας με τις τυποποιημένες τιμές, η ενίσχυση προκύπτει έξι κόμμα είκοσι πέντε, απόκλιση αποδεκτή για τη σειρά Ε12, ενώ το εύρος ζώνης, ίσο με τη συχνότητα διά τον συντελεστή ποιότητας, είναι διακόσια χερτς.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-11 — ΦΣΖΑ — συχνότητα αποκοπής
Ερώτηση: 5-11. Ένα ΦΣΖΑ έχει τα εξής στοιχεία: R1 =220 Ω, R2 =56 kΩ, R3 =150 kΩ και C = 0.85 μF. Υπολογίστε τη συχνότητα αποκοπής του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: R1 = 220 Ω, R2 = 56 kΩ, R3 = 150 kΩ, C = 0,85 μF.
Η μέθοδος: από τις δύο σχέσεις υπολογισμού του φίλτρου δοντιού (σελ. 137)
R1 = 1/(2Q·ω0·C) (5.11.3) R2 = 2Q/(ω0·C) (5.11.4)πολλαπλασιάζοντάς τες απαλείφεται το Q:
R1·R2 = [1/(2Q·ω0·C)] × [2Q/(ω0·C)] = 1/(ω0·C)²άρα
ω0 = 1/(C·√(R1·R2))Υπολογισμός
√(R1·R2) = √(220 × 56.000) = √(1,232 × 10⁷) = 3510 Ω ω0 = 1/(0,85 × 10⁻⁶ × 3510) ω0 = 1/(2,9835 × 10⁻³) = 335,2 rad/s f0 = ω0/(2π) = 335,2/6,2832 = 53,4 HzΑπάντηση: f0 ≅ 53,4 Hz.
Ο συντελεστής ποιότητας — από την Εξ. (5.11.4)
Q = R2·ω0·C/2 = 56.000 × 335,2 × 0,85 × 10⁻⁶/2 Q = 56.000 × 2,849 × 10⁻⁴/2 = 15,95/2 ≅ 8Το εύρος της ζώνης αποκοπής
BW = f0/Q = 53,4/8 ≅ 6,7 HzΗ αναγνώριση της εφαρμογής (σελ. 136): στη ζώνη αποκοπής εξασθενίζονται οι ανεπιθύμητες συχνότητες. Π.χ. πολλές φορές είναι απαραίτητο να εξασθενήσουμε τα 50 Hz ή τα 400 Ηz που προέρχονται από το δίκτυο ή στη δεύτερη περίπτωση από έναν κινητήρα. Με f0 ≅ 53 Hz και στενή ζώνη ≅ 7 Hz, το φίλτρο αυτό είναι σχεδιασμένο ακριβώς για την απόρριψη της συχνότητας του δικτύου (50 Hz).
Η τέταρτη αντίσταση (Εξ. 5.11.5): R4 = 2Q²·R3
R4 = 2 × 8² × 150.000 = 2 × 64 × 150.000 = 19,2 ΜΩ— πολύ μεγάλη τιμή, χαρακτηριστική των φίλτρων δοντιού με υψηλό Q.
Η καμπύλη απόκρισης
|H| (dB) 0 ┤━━━━━━━━━╮ ╭━━━━━━━━━ │ ╲ ╱ −20 ┤ ╲ ╱ │ ╲╱ βαθύ «δόντι» −40 ┤ ● στα 53 Hz └──┴─────┴───┴───┴─────► f (Hz) 1 10 53 100 1K
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται αντιστάσεις διακόσια είκοσι ωμ, πενήντα έξι κιλοόμ και εκατόν πενήντα κιλοόμ, και χωρητικότητα μηδέν κόμμα ογδόντα πέντε μικροφαράντ. Για να βρούμε τη συχνότητα αποκοπής, πολλαπλασιάζουμε τις δύο σχέσεις υπολογισμού του φίλτρου δοντιού, δηλαδή R1 ίσον ένα διά δύο Q ω μηδέν C και R2 ίσον δύο Q διά ω μηδέν C· έτσι απαλείφεται ο συντελεστής ποιότητας και προκύπτει ότι το γινόμενο R1 επί R2 ισούται με ένα διά το τετράγωνο του γινομένου ω μηδέν επί C, οπότε ω μηδέν ίσον ένα διά C επί τη ρίζα του γινομένου των δύο αντιστάσεων. Η ρίζα του γινομένου διακόσια είκοσι επί πενήντα έξι χιλιάδες είναι τρεις χιλιάδες πεντακόσια δέκα ωμ, οπότε η κυκλική συχνότητα προκύπτει τριακόσια τριάντα πέντε κόμμα δύο ακτίνια ανά δευτερόλεπτο και η συχνότητα πενήντα τρία κόμμα τέσσερα χερτς. Ελέγχοντας τον συντελεστή ποιότητας, αυτός προκύπτει περίπου οκτώ, και το εύρος της ζώνης αποκοπής περίπου έξι κόμμα επτά χερτς: πρόκειται δηλαδή για φίλτρο σχεδιασμένο να απορρίπτει τη συχνότητα των πενήντα χερτς του δικτύου.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-12 — Υπολογισμός φίλτρου δοντιού
Ερώτηση: 5-12. Να υπολογίσετε φίλτρο δοντιού συχνότητας 400 Ηz και Q = 6.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: f0 = 400 Hz, Q = 6. Η εφαρμογή (σελ. 136): τα 400 Ηz είναι μία από τις δύο συχνότητες που αναφέρει ρητά το βιβλίο — τα 400 Ηz που προέρχονται… από έναν κινητήρα.
Η μεθοδολογία (σελ. 137): ο υπολογισμός γίνεται δεχόμενοι κατάλληλες τιμές των C και R3. Επιλογές: C = 100 nF και R3 = 1 kΩ· ω0 = 2π × 400 = 2513,3 rad/s.
1. Η R1 (Εξ. 5.11.3): R1 = 1/(2Q·ω0·C)
R1 = 1/(2 × 6 × 2513,3 × 100 × 10⁻⁹) R1 = 1/(12 × 2513,3 × 10⁻⁷) = 1/(3,016 × 10⁻³) R1 = 331,6 Ω → R1 = 330 Ω (σειρά Ε12)2. Η R2 (Εξ. 5.11.4): R2 = 2Q/(ω0·C)
R2 = 12/(2513,3 × 10⁻⁷) = 12/(2,5133 × 10⁻⁴) R2 = 47.746 Ω → R2 = 47 kΩ (σειρά Ε12)3. Η R4 (Εξ. 5.11.5): R4 = 2Q²·R3
R4 = 2 × 6² × 1000 = 2 × 36 × 1000 = 72.000 Ω → R4 = 68 kΩ (σειρά Ε12)Απαντήσεις | Στοιχείο | Υπολογισμένη | Ε12 | |---|---|---| | C | 100 nF (επιλογή) | 100 nF | | R3 | 1 kΩ (επιλογή) | 1 kΩ | | R1 | 331,6 Ω | 330 Ω | | R2 | 47.746 Ω | 47 kΩ | | R4 | 72.000 Ω | 68 kΩ |
Ο έλεγχος με τις τυποποιημένες τιμές
ω0 = 1/(C·√(R1·R2)) = 1/(10⁻⁷ × √(330 × 47.000)) = 1/(10⁻⁷ × 3939) = 1/(3,939 × 10⁻⁴) = 2539 rad/s f0 = 2539/6,2832 = 404 Hz— απόκλιση μόλις 1% από τα ζητούμενα 400 Hz ✓
Το εύρος της ζώνης αποκοπής
BW = f0/Q = 400/6 ≅ 67 HzΗ αντιπαραβολή με το Παράδειγμα 5-6 (σελ. 137, f0 = 50 Hz, Q = 10): εκεί με C = 1 μF και R3 = 1 kΩ προκύπτουν R1 = 159,2 Ω → 150 Ω, R2 = 63,7 kΩ → 68 kΩ, R4 = 200 kΩ → 180 kΩ — η ίδια ακριβώς διαδικασία, με μεγαλύτερο C επειδή η συχνότητα είναι οκταπλάσια μικρότερη.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ζητείται φίλτρο δοντιού συχνότητας τετρακοσίων χερτς και συντελεστή ποιότητας έξι· τα τετρακόσια χερτς είναι, όπως αναφέρει το βιβλίο, τυπική ανεπιθύμητη συχνότητα προερχόμενη από κινητήρα. Ακολουθώντας τη μεθοδολογία, δεχόμαστε χωρητικότητα εκατό νανοφαράντ και αντίσταση R3 ενός κιλοόμ. Η πρώτη αντίσταση, που ισούται με ένα διά δύο Q ω μηδέν C, προκύπτει τριακόσια τριάντα ένα κόμμα έξι ωμ, τυποποιημένη στα τριακόσια τριάντα. Η δεύτερη, που ισούται με δύο Q διά ω μηδέν C, προκύπτει σαράντα επτά χιλιάδες επτακόσια σαράντα έξι ωμ, τυποποιημένη στα σαράντα επτά κιλοόμ. Και η τέταρτη, που ισούται με δύο Q στο τετράγωνο επί R3, προκύπτει εβδομήντα δύο χιλιάδες ωμ, τυποποιημένη στα εξήντα οκτώ κιλοόμ. Ελέγχοντας με τις τυποποιημένες τιμές, η πραγματική συχνότητα προκύπτει τετρακόσια τέσσερα χερτς, δηλαδή απόκλιση μόλις ενός τοις εκατό, ενώ το εύρος της ζώνης αποκοπής είναι περίπου εξήντα επτά χερτς.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-13 — ΦΧΣ με αναστροφή
Ερώτηση: 5-13. Το παρακάτω φίλτρο είναι ΦΧΣ με ΤΕ συνδεσμολογημένο με αναστροφή. Υπολογίστε το φίλτρο αυτό για συχνότητα αποκοπής 1.3 kHz και ενίσχυση 10 και σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισής του.
Απάντηση:
-
Οι τύποι που δίνει η εκφώνηση (σελ. 143): για το φίλτρο με αναστροφή
H(s) = −K/(1 + s/ω1) Κ = R2/R1 f1 = 1/(2π·R2·C)Δεδομένα: f1 = 1,3 kHz = 1300 Hz, Κ = 10.
Η δομή: πρόκειται για τον αναστρέφοντα ενισχυτή του κεφ. 4 (Σχ. 4.7), με έναν πυκνωτή C παράλληλα στην R2 — δηλαδή η σύνθετη αντίσταση ανασύζευξης μειώνεται με τη συχνότητα, οπότε μειώνεται και η ενίσχυση: φίλτρο χαμηλών συχνοτήτων.
1. Η R2 — από τη σχέση f1 = 1/(2π·R2·C), δεχόμενοι C = 10 nF
R2 = 1/(2π·f1·C) = 1/(2π × 1300 × 10 × 10⁻⁹) R2 = 1/(2π × 1,3 × 10⁻⁵) = 1/(8,168 × 10⁻⁵) R2 = 12.243 Ω → R2 = 12 kΩ (σειρά Ε12)2. Η R1 — από τη σχέση Κ = R2/R1
R1 = R2/Κ = 12.000/10 = 1200 Ω → R1 = 1,2 kΩ (σειρά Ε12)Απαντήσεις | Στοιχείο | Τιμή | |---|---| | C | 10 nF (επιλογή) | | R2 | 12.243 Ω → 12 kΩ (Ε12) | | R1 | 1200 Ω → 1,2 kΩ (Ε12) | | Κ σε dB | 20·log 10 = 20 dB |
Το κύκλωμα
C = 10 nF ┌───────┤├────────┐ │ R2 = 12 KΩ │ ├──────[ ]────────┤ │ │ Ui ──[R1]──┬──┤− │ │ 1,2 KΩ │ │ ΤΕ ├──┴── U0 (ανεστραμμένο) │ │+ │ ΓΗ ──┴──┤ │ └────────┘3. Η καμπύλη απόκρισης (1ης τάξης, −20 dB/δεκάδα)
|H| (dB) 20 ┤━━━━━━━━━━━━━╮ │ ╰╮ −3 dB στα 1,3 kHz 17 ┤ - - - - - - - ● │ ╲ │ ╲ −20 dB/δεκάδα 0 ┤ ╲ │ ╲ −20 └──┴────┴─────┴──────╲──► f (Hz) 10 100 1,3K 13K 130K(η φάση είναι 180° στη ζώνη διέλευσης, λόγω της αναστροφής)
Η σύγκριση με το Sallen-Key ΦΧΣ 1ης τάξης | | Sallen-Key (Σχ. 5.11) | Με αναστροφή (Σχ. άσκησης) | |---|---|---| | ενίσχυση | Κ = 1 + R2/R1 ≥ 1 | Κ = R2/R1, μπορεί να είναι < 1 | | φάση | 0° | 180° | | αντίσταση εισόδου | πολύ υψηλή | = R1 (μόλις 1,2 kΩ) | | θέση του C | στη μη αναστρέφουσα είσοδο | στην ανασύζευξη |
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η εκφώνηση δίνει για το φίλτρο με αναστροφή τους τύπους ενίσχυση ίσον R2 διά R1 και συχνότητα αποκοπής ίσον ένα διά δύο π R2 C. Ζητούνται συχνότητα αποκοπής ένα κόμμα τρία κιλοχερτς και ενίσχυση δέκα. Δεχόμαστε χωρητικότητα δέκα νανοφαράντ. Η αντίσταση ανασύζευξης προκύπτει από τη σχέση R2 ίσον ένα διά δύο π f1 C, δηλαδή ένα διά δύο π επί χίλια τριακόσια επί δέκα νανοφαράντ, που δίνει δώδεκα χιλιάδες διακόσια σαράντα τρία ωμ, τυποποιημένη στα δώδεκα κιλοόμ. Η αντίσταση εισόδου προκύπτει από τη σχέση R1 ίσον R2 διά K, δηλαδή δώδεκα χιλιάδες διά δέκα, ίσον χίλια διακόσια ωμ, τυποποιημένη στα ένα κόμμα δύο κιλοόμ. Η καμπύλη απόκρισης είναι επίπεδη στα είκοσι ντεσιμπέλ, πέφτει κατά τρία ντεσιμπέλ στη συχνότητα αποκοπής και στη συνέχεια κατέρχεται με κλίση είκοσι ντεσιμπέλ ανά δεκάδα, με τη φάση να είναι εκατόν ογδόντα μοίρες λόγω της αναστροφής. Σε αντίθεση με το Sallen-Key, εδώ η ενίσχυση μπορεί να είναι και μικρότερη της μονάδας, αλλά η αντίσταση εισόδου είναι μόλις ίση με την R1.
Κριτήρια αξιολόγησης:
5-14 — ΦΥΣ 1ης τάξης με αναστροφή
Ερώτηση: 5-14. Το παρακάτω φίλτρο είναι ΦΥΣ 1ης τάξης με τον ΤΕ συνδεσμολογημένο να δημιουργεί διαφορά φάση 180ο μεταξύ εισόδου και εξόδου. Να υπολογισθεί το φίλτρο αυτό για Κ=8 και συχνότητα αποκοπής 350 Ηz. Σχεδιάστε την καμπύλη απόκρισής του.
Απάντηση:
-
Οι τύποι που δίνει η εκφώνηση (σελ. 144): για το ΦΥΣ με αναστροφή
H(s) = −K·(s/ω2)/(1 + s/ω2) Κ = R2/R1 f2 = 1/(2π·R1·C)Προσοχή στη διαφορά από το 5-13: εδώ η συχνότητα καθορίζεται από την R1 (την αντίσταση εισόδου, σε σειρά με τον C), όχι από την R2.
Δεδομένα: Κ = 8, f2 = 350 Hz.
Η δομή: ο πυκνωτής C μπαίνει σε σειρά με την R1 στην είσοδο — στις χαμηλές συχνότητες η χωρητική αντίσταση XC = 1/(ωC) είναι μεγάλη και εμποδίζει το σήμα· στις υψηλές γίνεται αμελητέα και η ενίσχυση σταθεροποιείται στο −R2/R1: φίλτρο υψηλών συχνοτήτων.
1. Η R1 — από τη σχέση f2 = 1/(2π·R1·C), δεχόμενοι C = 100 nF
R1 = 1/(2π·f2·C) = 1/(2π × 350 × 100 × 10⁻⁹) R1 = 1/(2π × 3,5 × 10⁻⁵) = 1/(2,199 × 10⁻⁴) R1 = 4547 Ω → R1 = 4,7 kΩ (σειρά Ε12)2. Η R2 — από τη σχέση Κ = R2/R1
R2 = Κ·R1 = 8 × 4700 = 37.600 Ω → R2 = 39 kΩ (σειρά Ε12)Απαντήσεις | Στοιχείο | Υπολογισμένη | Ε12 | |---|---|---| | C | 100 nF (επιλογή) | 100 nF | | R1 | 4547 Ω | 4,7 kΩ | | R2 | 37.600 Ω | 39 kΩ | | Κ σε dB | 20·log 8 = 18,1 dB | |
Το κύκλωμα
R2 = 39 KΩ ┌──────[ ]───────┐ │ │ C │ R1 │ Ui ─┤├──[ 4,7 KΩ ]──┬───┤ 100nF │ │ ┌───┴──┴─┐ │− │ │ ΤΕ ├──── U0 (ανεστραμμένο) ΓΗ ──┤+ │ └────────┘3. Η καμπύλη απόκρισης (ΦΥΣ 1ης τάξης, +20 dB/δεκάδα)
|H| (dB) 18,1 ┤ ╭━━━━━━━━━━━━━ │ ╱ 15,1 ┤ - - - - - -● −3 dB στα 350 Hz │ ╱ 0 ┤ ╱ +20 dB/δεκάδα │ ╱ −20 ┤ ╱ │ ╱ −40 └──────╱──┴──────┴─────► f (Hz) 1 35 350 3,5K 35K(με αναστροφή φάσης 180° στη ζώνη διέλευσης)
Ο έλεγχος με τις τυποποιημένες τιμές
f2 = 1/(2π × 4700 × 10⁻⁷) = 339 Hz (αντί 350 — απόκλιση 3%) Κ = 39/4,7 = 8,30 (αντί 8 — απόκλιση 3,7%)Η αντιπαραβολή των δύο ασκήσεων 5-13 και 5-14 | | 5-13 (ΦΧΣ) | 5-14 (ΦΥΣ) | |---|---|---| | θέση του C | παράλληλα στην R2 (ανασύζευξη) | σε σειρά με την R1 (είσοδος) | | f | 1/(2π·R2·C) | 1/(2π·R1·C) | | Κ | R2/R1 | R2/R1 | | κλίση | −20 dB/δεκ. μετά τη f1 | +20 dB/δεκ. πριν τη f2 | Είναι δηλαδή ακριβώς η ίδια αντιμετάθεση που το βιβλίο περιγράφει και για τα φίλτρα Sallen-Key (σελ. 128).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η εκφώνηση δίνει για το φίλτρο υψηλών συχνοτήτων με αναστροφή τους τύπους ενίσχυση ίσον R2 διά R1 και συχνότητα αποκοπής ίσον ένα διά δύο π R1 C· προσοχή, εδώ τη συχνότητα καθορίζει η αντίσταση εισόδου R1, σε σειρά με τον πυκνωτή, και όχι η R2. Ζητούνται ενίσχυση οκτώ και συχνότητα αποκοπής τριακόσια πενήντα χερτς. Δεχόμαστε χωρητικότητα εκατό νανοφαράντ. Η αντίσταση εισόδου προκύπτει ένα διά δύο π επί τριακόσια πενήντα επί εκατό νανοφαράντ, δηλαδή τέσσερις χιλιάδες πεντακόσια σαράντα επτά ωμ, τυποποιημένη στα τέσσερα κόμμα επτά κιλοόμ. Η αντίσταση ανασύζευξης προκύπτει οκτώ επί τέσσερις χιλιάδες επτακόσια, δηλαδή τριάντα επτά χιλιάδες εξακόσια ωμ, τυποποιημένη στα τριάντα εννέα κιλοόμ. Με τις τυποποιημένες τιμές η πραγματική συχνότητα γίνεται τριακόσια τριάντα εννέα χερτς και η ενίσχυση οκτώ κόμμα τρία. Η καμπύλη ανέρχεται με κλίση είκοσι ντεσιμπέλ ανά δεκάδα και σταθεροποιείται στα δεκαοκτώ κόμμα ένα ντεσιμπέλ, με αναστροφή φάσης εκατόν ογδόντα μοιρών.
Κριτήρια αξιολόγησης:
