Λύσεις — Κεφάλαιο 3 (Επαναληπτικές ασκήσεις σελ. 54-55) – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ Γ΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 3 (Επαναληπτικές ασκήσεις σελ. 54-55)

Πλήρεις λύσεις στις 5 επαναληπτικές ασκήσεις του κεφαλαίου 3 (ΑΒΓ, εκθετική εξομάλυνση, EOQ, MAD/MSE, γραμμική παλινδρόμηση).

Άσκηση 1 — Νόμος Pareto και κατηγορία Α για τους κωδικούς Α-Κ

Ερώτηση: Ο παρακάτω πίνακας για τους κωδικούς Α, Β,..., Κ δίνει τη ζήτησή τους σε τεμάχια για το προηγούμενο έτος καθώς επίσης και το κόστος πώλησης ανά τεμάχιο. Ισχύει ο νόμος του Pareto; Αν ναι, ποια προϊόντα ανήκουν στην κατηγορία Α;

Απάντηση:

• Δεδομένα: Α 5.200 τεμ. × 6 €· Β 65.000 × 4· Γ 5.200 × 6· Δ 78.000 × 20· Ε 26.000 × 4· Ζ 26.000 × 20· Η 13.000 × 2· Θ 5.200 × 10· Ι 2.600 × 40· Κ 15.600 × 8. Επειδή δίνεται και το κόστος ανά τεμάχιο, η Ανάλυση ΑΒΓ γίνεται αξιακά (σελ. 31: «ο αριθμός των τεμαχίων… ή το κέρδος που φέρνουν είναι υψηλό (αξιακά)»): αξία πωλήσεων = ζήτηση × κόστος τεμαχίου.

• Βήμα 1 — Αξία ανά κωδικό: Α 31.200 € · Β 260.000 · Γ 31.200 · Δ 1.560.000 · Ε 104.000 · Ζ 520.000 · Η 26.000 · Θ 52.000 · Ι 104.000 · Κ 124.800. Σύνολο = 2.813.200 €.

• Βήμα 2 — Φθίνουσα ταξινόμηση, % και αθροιστικά % (όπως ο Πίνακας 3.1):

  Σειρά	Κωδικός	Αξία (€)	%	Αθροιστικά %	Κατηγορία
  1	Δ	1.560.000	55,5	55,5	Α
  2	Ζ	520.000	18,5	73,9	Α
  3	Β	260.000	9,2	83,2	Α/Β
  4	Κ	124.800	4,4	87,6	Β
  5	Ε	104.000	3,7	91,3	Β
  6	Ι	104.000	3,7	95,0	Β
  7	Θ	52.000	1,8	96,9	Γ
  8	Α	31.200	1,1	98,0	Γ
  9	Γ	31.200	1,1	99,1	Γ
  10	Η	26.000	0,9	100,0	Γ

• Ισχύει ο νόμος του Pareto; Ναι. Οι 2 από τους 10 κωδικούς (20 %) — Δ και Ζ — κάνουν το 73,9 % ≈ 3/4 της αξίας, και με τον Β (30 % των κωδικών) το 83 %· αντίστροφα, οι 4 τελευταίοι (40 % των κωδικών) μόλις το 5 %. Η κατανομή είναι σαφώς «20/80» (όπως στο παράδειγμα του βιβλίου, όπου οι 2 πρώτοι κωδικοί έκαναν το 78 %).

• Κατηγορία Α: Δ και Ζ (αθροιστικά 73,9 %)· ο Β βρίσκεται στο όριο (83,2 %) και, αν η επιχείρηση θέσει το όριο της Α στο 80-85 %, εντάσσεται και αυτός στην Α — αλλιώς ανοίγει τη Β. Κατηγορία Β: (Β), Κ, Ε, Ι (ως 95 %). Κατηγορία Γ: Θ, Α, Γ, Η — ελάχιστα ή καθόλου αποθέματα.

• Σημείωση: τεμαχιακά (χωρίς κόστος) η εικόνα είναι ασθενέστερη — Δ 32 %, Β 27 %, Ε 11 %, Ζ 11 % → 4 κωδικοί για το 80,6 % (σύνολο 241.800 τεμ.). Γι' αυτό, όταν δίνεται η αξία, η ΑΒΓ γίνεται αξιακά: ο Ζ (20 €/τεμ.) είναι Α αξιακά αλλά μόνο 4ος τεμαχιακά, ενώ ο Ι (40 €/τεμ., 2.600 τεμ.) ανεβαίνει από τελευταίος σε 6ο.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Αξιακά (ζήτηση × κόστος, σύνολο 2.813.200 €): Δ 55,5 %, Ζ 18,5 % (αθροιστικά 73,9 %), Β 9,2 % (83,2 %), Κ, Ε, Ι (ως 95 %), Θ, Α, Γ, Η. Ο νόμος Pareto ισχύει — 2 από τους 10 κωδικούς (20 %) κάνουν ≈ 74 % της αξίας. Κατηγορία Α: Δ και Ζ (οριακά και ο Β).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Αξιακή ΑΒΓ = ζήτηση × κόστος τεμαχίου.
• Α ως ≈ 80 % αθροιστικά, Β ως ≈ 95 %, Γ το υπόλοιπο.

Άσκηση 2 — Εκθετική εξομάλυνση, πρόβλεψη περιόδου 6

Ερώτηση: Υπολογίστε τη ζήτηση της επόμενης περιόδου (6) με τη μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης.

Απάντηση:

• Δεδομένα: ζήτηση περιόδων 1-5: 200, 220, 240, 220, 250 τεμάχια. Τύπος (σελ. 43): Ft = Ft-1 + α·(At-1 − Ft-1).

• Βήμα 1 — Συντελεστής εξομάλυνσης: N = 5 περίοδοι → α = 2/(N+1) = 2/6 ≈ 0,33.

• Βήμα 2 — Πρώτη πρόβλεψη = πρώτη ζήτηση: F1 = 200.

• Βήμα 3 — Διαδοχικές προβλέψεις (κρατάμε δεκαδικά):

  Περίοδος	Ζήτηση A	Υπολογισμός	Πρόβλεψη F
  1	200	—	200
  2	220	200 + 0,33·(200 − 200)	200
  3	240	200 + 0,33·(220 − 200)	206,6
  4	220	206,6 + 0,33·(240 − 206,6)	217,62
  5	250	217,62 + 0,33·(220 − 217,62)	218,41
  6	;	218,41 + 0,33·(250 − 218,41)	228,83

• Πρόβλεψη περιόδου 6: F6 ≈ 229 τεμάχια (στρογγυλοποίηση μόνο της τελικής πρόβλεψης, όπως συνιστά το βιβλίο).

• Παρατήρηση: αν χρησιμοποιηθεί α = 0,3 (στρογγυλοποίηση όπως στο παράδειγμα του βιβλίου) προκύπτει F3 = 206, F4 = 216,2, F5 = 217,34, F6 = 227,14 ≈ 227· η πρόβλεψη «ακολουθεί» την ανοδική τάση της ζήτησης αλλά με υστέρηση, γι' αυτό μένει κάτω από τις τελευταίες πραγματικές τιμές (240-250).

Σύνοψη: (ενδεικτική) α = 2/(5+1) ≈ 0,33· F1 = 200, F2 = 200, F3 = 206,6, F4 = 217,62, F5 = 218,41, F6 = 218,41 + 0,33·(250 − 218,41) ≈ 229 τεμάχια (με α = 0,3 → ≈ 227).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ft = Ft-1 + α·(At-1 − Ft-1), α = 2/(N+1).
• Πρώτη πρόβλεψη = πρώτη ζήτηση.

Άσκηση 3 — EOQ, χρόνος μεταξύ παραγγελιών και κέρδος

Ερώτηση: Ένα προϊόν έχει ζήτηση 5000 κομμάτια τον χρόνο. Το μοναδιαίο κόστος διατήρησης είναι 9€. Το κόστος προετοιμασίας κάθε παραγγελίας για το συγκεκριμένο προϊόν ανέρχεται στα 25€. Ζητούνται τα εξής: 1) Ποια είναι η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας γι’ αυτό το προϊόν; 2) Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός ημερών μεταξύ διαδοχικών παραγγελιών, θεωρώντας 250 ημέρες ανά έτος, 3) Ποιο είναι το κέρδος αν χρησιμοποιηθεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας;

Απάντηση:

• Δεδομένα: D = 5.000 τεμ./έτος, H = 9 €/τεμ./έτος, O = 25 €/παραγγελία, 250 ημέρες.
• 1) Βέλτιστη ποσότητα: EOQ = √(2·D·O/H) = √(2·5.000·25/9) = √(250.000/9) = √27.778 ≈ 166,7 ≈ 167 τεμάχια.
• 2) Χρόνος μεταξύ παραγγελιών: TBO = EOQ/D = 166,7/5.000 = 0,0333 έτη → × 250 = ≈ 8,3 ημέρες (δηλαδή D/EOQ = 5.000/166,7 = 30 παραγγελίες τον χρόνο, μία κάθε 250/30 ≈ 8,3 εργάσιμες ημέρες).
• 3) Κέρδος από τη βέλτιστη ποσότητα: Στο EOQ το συνολικό κόστος είναι ελάχιστο και τα δύο κόστη ίσα: ΕΚΔΑ = (166,7/2)·9 = 750 €, ΕΚΠ = (5.000/166,7)·25 = 750 € → C(EOQ) = 1.500 € τον χρόνο. Κάθε άλλη ποσότητα κοστίζει περισσότερο — π.χ. Q = 100: C = 50·9 + 50·25 = 450 + 1.250 = 1.700 € (κέρδος 200 €)· Q = 250: C = 125·9 + 20·25 = 1.125 + 500 = 1.625 € (κέρδος 125 €)· Q = 500: 2.250 + 250 = 2.500 € (κέρδος 1.000 €)· Q = 1.000: 4.500 + 125 = 4.625 € (κέρδος 3.125 €)· μία παραγγελία τον χρόνο (Q = 5.000): 22.500 + 25 = 22.525 € (κέρδος 21.025 €). Το «κέρδος» της βέλτιστης ποσότητας είναι λοιπόν η εξοικονόμηση έναντι οποιασδήποτε άλλης πολιτικής, με ελάχιστο ετήσιο κόστος αποθέματος-παραγγελιών 1.500 €.

Σύνοψη: (ενδεικτική) 1) EOQ = √(2·5.000·25/9) ≈ 167 τεμ. 2) TBO = 167/5.000 × 250 ≈ 8,3 ημέρες (30 παραγγελίες/έτος). 3) Στο EOQ ΕΚΔΑ = ΕΚΠ = 750 € → ελάχιστο κόστος 1.500 €/έτος· κέρδος = εξοικονόμηση έναντι κάθε άλλης ποσότητας (π.χ. 200 € έναντι Q = 100, 1.000 € έναντι Q = 500, 21.025 € έναντι μίας ετήσιας παραγγελίας).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• EOQ = √(2DO/H), TBO = EOQ/D × 250.
• Στο EOQ: (Q/2)·H = (D/Q)·O.

Άσκηση 4 — Επιλογή τεχνικής πρόβλεψης με MAD/MSE

Ερώτηση: Δίνονται οι προβλέψεις με τη χρήση δύο τεχνικών: Α και Β. Ποια τεχνική θα χρησιμοποιηθεί την Περίοδο 7 και γιατί;

Απάντηση:

• Δεδομένα: ζήτηση 5, 6, 7, 6, 8, 7· τεχνική Α: 6, 6, 6, 7, 8, 7· τεχνική Β: 7, 7, 8, 8, 7, 6. Σφάλμα Et = At − Ft (σελ. 49).

• Αποκλίσεις, απόλυτες τιμές και τετράγωνα:

  | Περ. | Ζήτηση | Α | Β | Απόκλ. Α | Απόκλ. Β | |Α| | |Β| | Α² | Β² | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 1 | 5 | 6 | 7 | −1 | −2 | 1 | 2 | 1 | 4 | | 2 | 6 | 6 | 7 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 3 | 7 | 6 | 8 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 4 | 6 | 7 | 8 | −1 | −2 | 1 | 2 | 1 | 4 | | 5 | 8 | 8 | 7 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 6 | 7 | 7 | 6 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | Σ | | | | −1 | −4 | 3 | 8 | 3 | 12 |

• MAD: Α = 3/6 = 0,50· Β = 8/6 = 1,33. MSE (για επιβεβαίωση): Α = 3/6 = 0,50· Β = 12/6 = 2,00.

• Επιλογή: η τεχνική Α, γιατί παρουσιάζει τη μικρότερη Μέση Απόλυτη Απόκλιση (MAD 0,5 έναντι 1,33) — ο δείκτης MSE (0,5 έναντι 2) θα χρειαζόταν μόνο σε ισοπαλία των MAD, αλλά και αυτός δείχνει την Α. Επιπλέον, η Β υπερεκτιμά συστηματικά (άθροισμα σφαλμάτων −4, τέσσερις αρνητικές αποκλίσεις) ενώ η Α είναι σχεδόν αμερόληπτη (−1) και πετυχαίνει ακριβώς τη ζήτηση σε 3 από τις 6 περιόδους. Άρα για την Περίοδο 7 χρησιμοποιείται η πρόβλεψη της τεχνικής Α.

Σύνοψη: (ενδεικτική) MAD(Α) = 3/6 = 0,5 < MAD(Β) = 8/6 = 1,33 (MSE 0,5 έναντι 2,0)· επιλέγεται η τεχνική Α για την Περίοδο 7, γιατί έχει τη μικρότερη μέση απόλυτη απόκλιση (και δεν υπερεκτιμά συστηματικά όπως η Β).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• MAD = Σ|At − Ft|/n, MSE = Σ(At − Ft)²/n.
• Μικρότερο MAD → καλύτερη τεχνική.

Άσκηση 5 — Γραμμική παλινδρόμηση, πρόβλεψη 6ης εβδομάδας

Ερώτηση: Ποια είναι η πρόβλεψη για την 6η Εβδομάδα με τη μέθοδο της Γραμμικής Παλινδρόμησης; Μπορείτε να κατασκευάσετε το αντίστοιχο διάγραμμα;

Απάντηση:

• Δεδομένα: περίοδοι X = 1…5, ζήτηση Y = 68, 70, 75, 82, 90. Εξίσωση Y = α + βX με β = (ΣXY − n·X̄·Ȳ)/(ΣX² − n·X̄²), α = Ȳ − β·X̄ (σελ. 46).

• Βήμα 1 — Βοηθητικές στήλες:

  X	X²	Y	X·Y
  1	1	68	68
  2	4	70	140
  3	9	75	225
  4	16	82	328
  5	25	90	450
  X̄ = 3	ΣX² = 55	Ȳ = 77	ΣXY = 1.211

  n = 5.

• Βήμα 2 — Κλίση β: β = (1.211 − 5·3·77)/(55 − 5·3²) = (1.211 − 1.155)/(55 − 45) = 56/10 = 5,6. Σταθερά α: α = 77 − 5,6·3 = 77 − 16,8 = 60,2.

• Βήμα 3 — Εξίσωση: Y = 60,2 + 5,6·X (θετική κλίση: η ζήτηση αυξάνει κατά ≈ 5,6 τεμάχια την εβδομάδα).

• Πρόβλεψη 6ης εβδομάδας: Y6 = 60,2 + 5,6·6 = 60,2 + 33,6 = 93,8 ≈ 94 τεμάχια.

• Διάγραμμα: άξονας X = εβδομάδα (1-6), άξονας Y = ζήτηση· σημεία πραγματικής ζήτησης (1, 68), (2, 70), (3, 75), (4, 82), (5, 90) και ευθεία παλινδρόμησης που περνά από (1, 65,8), (2, 71,4), (3, 77), (4, 82,6), (5, 88,2), (6, 93,8) — σχεδόν όλα τα σημεία πολύ κοντά στην ευθεία (μικρά σφάλματα +2,2, −1,4, −2, −0,6, +1,8), δηλαδή η γραμμική τάση περιγράφει καλά τη χρονοσειρά. Σχηματικά:

  Ζήτηση
   95 |                          o(6: 93,8 πρόβλεψη)
   90 |                     ●  /
   85 |                      /
   80 |                ●   /
   75 |             /●
   70 |     ●  /●
   65 |    /
      +----1----2----3----4----5----6--> Εβδομάδα

Σύνοψη: (ενδεικτική) X̄ = 3, Ȳ = 77, ΣX² = 55, ΣXY = 1.211 → β = (1.211 − 1.155)/(55 − 45) = 5,6, α = 77 − 16,8 = 60,2 → Y = 60,2 + 5,6·X → Y6 = 93,8 ≈ 94 τεμάχια· διάγραμμα με τα 5 πραγματικά σημεία και την ανοδική ευθεία (65,8 → 93,8).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• β = (ΣXY − nX̄Ȳ)/(ΣX² − nX̄²), α = Ȳ − βX̄.
• Διάγραμμα: σημεία + ευθεία τάσης.