Λύσεις Ασκήσεων — Κεφάλαιο 4: Το Εναλλασσόμενο Ρεύμα – ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Α΄ ΕΠΑΛ

(Πηγή: Βιβλίο Μαθητή, σελ. 127-129. Οι εκφωνήσεις είναι του σχολικού βιβλίου· οι λύσεις πρωτότυπες. Οι υπολογισμοί έχουν επαληθευτεί.)

Ερώτηση 1 (σελ. 127)

Να περιγράψετε την κίνηση των ηλεκτρονίων στο συνεχές και το εναλλασσόμενο ρεύμα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκρίνουμε τη φορά κίνησης των ηλεκτρονίων στα δύο είδη ρεύματος.

Λύση:

1. Στο συνεχές ρεύμα (DC) τα ηλεκτρόνια κινούνται συνεχώς προς την ίδια, σταθερή κατεύθυνση.
2. Στο εναλλασσόμενο ρεύμα (AC) τα ηλεκτρόνια εκτελούν παλινδρομική κίνηση, αλλάζοντας φορά κάθε ημιπερίοδο (σαν έμβολο).

Ενδεικτική απάντηση: Στο συνεχές ρεύμα τα ηλεκτρόνια κινούνται με σταθερή φορά, πάντα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο εναλλασσόμενο ρεύμα κινούνται παλινδρομικά, αλλάζοντας φορά κίνησης σε κάθε ημιπερίοδο, καθώς η πηγή αλλάζει διαρκώς πολικότητα.

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: σταθερή φορά (DC) vs παλινδρομική/εναλλασσόμενη φορά (AC).

Ερώτηση 2 (σελ. 127)

Τι ονομάζουμε περίοδο και συχνότητα ενός εναλλασσόμενου ρεύματος και σε τι μονάδες μετρούνται;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνουμε ορισμούς περιόδου και συχνότητας με τις μονάδες τους.

Λύση:

1. Περίοδος T: ο χρόνος μιας πλήρους εναλλαγής· μετριέται σε s.
2. Συχνότητα f: ο αριθμός εναλλαγών στη μονάδα του χρόνου· μετριέται σε Hz.
3. Σχέση: f = 1/T.

Ενδεικτική απάντηση: Περίοδος (T) ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μία πλήρη εναλλαγή του ρεύματος και μετριέται σε δευτερόλεπτα (s). Συχνότητα (f) ονομάζεται ο αριθμός των εναλλαγών στη μονάδα του χρόνου και μετριέται σε Hz (Hertz), όπου 1 Hz = 1 εναλλαγή ανά δευτερόλεπτο. Ισχύει η σχέση \(f = \dfrac{1}{T}\).

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: ορισμοί + μονάδες (s, Hz) + σχέση f=1/T.

Ερώτηση 3 (σελ. 127)

Να σχεδιάσετε τη μορφή μιας ημιτονοειδούς τάσης και να σημειώσετε στο σχήμα την περίοδο και τη μέγιστη τιμή της.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ζητείται σχεδίαση ημιτονοειδούς τάσης με σημειωμένη περίοδο και μέγιστη τιμή (περιγράφουμε το σχήμα).

Λύση:

1. Σχεδιάζουμε άξονες: κατακόρυφος U (τάση), οριζόντιος t (χρόνος).
2. Η καμπύλη είναι ημίτονο: ξεκινά από το 0, ανεβαίνει στο +Um, κατεβαίνει στο 0, φτάνει στο −Um και επιστρέφει στο 0.
3. Σημειώνουμε με διακεκομμένες γραμμές τις στάθμες +Um και −Um (μέγιστη τιμή) και με διπλό βέλος στον άξονα του χρόνου το διάστημα μιας πλήρους περιόδου T.

Ενδεικτική απάντηση: Σχεδιάζουμε ένα ημίτονο σε άξονες τάσης–χρόνου (U–t): η καμπύλη ξεκινά από το μηδέν, ανεβαίνει έως τη μέγιστη θετική τιμή +Um, κατεβαίνει διασχίζοντας το μηδέν έως τη −Um και επιστρέφει στο μηδέν, ολοκληρώνοντας μία περίοδο. Σημειώνουμε τη μέγιστη τιμή Um (η κορυφή της καμπύλης, με διακεκομμένη οριζόντια γραμμή) και την περίοδο T (το χρονικό διάστημα μιας πλήρους εναλλαγής, με διπλό βέλος στον οριζόντιο άξονα).

Πρόσεξε:

• Είναι άσκηση σχεδίασης: το ζητούμενο είναι το ημίτονο με σημειωμένα Um και T.
• Η θετική και η αρνητική ημιπερίοδος έχουν ίση διάρκεια (T/2).

Ερώτηση 4 (σελ. 127)

Πώς ορίζεται η ενεργός ένταση του εναλλασσόμενου ρεύματος;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνουμε τον ορισμό της ενεργού έντασης.

Λύση:

1. Η ενεργός τιμή ορίζεται μέσω των θερμικών αποτελεσμάτων.
2. Είναι η τιμή ενός συνεχούς ρεύματος που παράγει τα ίδια θερμικά αποτελέσματα με το εναλλασσόμενο.

Ενδεικτική απάντηση: Ενεργός ένταση του εναλλασσόμενου ρεύματος ορίζεται η ένταση ενός συνεχούς ρεύματος που παράγει, σε μια αντίσταση, τα ίδια θερμικά αποτελέσματα (την ίδια ισχύ/θερμότητα) με το εναλλασσόμενο ρεύμα.

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: ορισμός μέσω ισοδύναμων θερμικών αποτελεσμάτων.

Ερώτηση 5 (σελ. 127)

Ποια σχέση συνδέει την ενεργό τιμή με τη μέγιστη τιμή σε ένα εναλλασσόμενο μέγεθος (τάση ή ένταση);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ζητείται η σχέση ενεργού και μέγιστης τιμής.

Λύση:

1. Η ενεργός τιμή ισούται με 0,707 (= √2/2) επί τη μέγιστη τιμή.

Ενδεικτική απάντηση: Η ενεργός τιμή ισούται με το \(0{,}707\) (δηλαδή \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)) της μέγιστης τιμής: για την τάση \(U = 0{,}707\,U_m\) και για την ένταση \(I = 0{,}707\,I_m\).

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: U=0,707·Um (ή I=0,707·Im).
• Αντίστροφα: Um = U·√2 ≈ 1,41·U.

Ερώτηση 6 (σελ. 127)

Τι ονομάζουμε αγωγό φάσης και τι ουδέτερο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνουμε ορισμούς αγωγού φάσης και ουδέτερου.

Λύση:

1. Αγωγός φάσης: συνδέεται στον θετικό πόλο της πηγής, με δυναμικό που μεταβάλλεται ημιτονοειδώς (σύμβολο L).
2. Ουδέτερος: συνδέεται στον αρνητικό πόλο, με δυναμικό ίσο με μηδέν (σύμβολο N).

Ενδεικτική απάντηση: Αγωγός φάσης (σύμβολο L) ονομάζεται ο αγωγός που συνδέεται στον θετικό πόλο της πηγής, του οποίου το δυναμικό μεταβάλλεται ημιτονοειδώς (μεταξύ +Vm και −Vm). Ουδέτερος αγωγός (σύμβολο N) ονομάζεται ο αγωγός που συνδέεται στον αρνητικό πόλο και θεωρείται ότι έχει δυναμικό ίσο με μηδέν.

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: φάση = μεταβαλλόμενο δυναμικό (L) / ουδέτερος = μηδενικό δυναμικό (N).

Ερώτηση 7 (σελ. 127)

Με ποια προϋπόθεση δεν περνά ρεύμα στον κοινό ουδέτερο αγωγό ενός τριφασικού συστήματος ρευμάτων;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ζητείται η προϋπόθεση για μηδενικό ρεύμα στον κοινό ουδέτερο.

Λύση:

1. Ο κοινός ουδέτερος διαρρέεται από το αλγεβρικό άθροισμα των τριών ρευμάτων.
2. Όταν το σύστημα είναι ισορροπημένο (I1=I2=I3), το άθροισμα αυτό είναι μηδέν.

Ενδεικτική απάντηση: Στον κοινό ουδέτερο αγωγό δεν περνά ρεύμα όταν το τριφασικό σύστημα είναι ισορροπημένο, δηλαδή όταν οι τρεις εντάσεις έχουν την ίδια ενεργό τιμή (\(I_1 = I_2 = I_3\)). Τότε το αλγεβρικό άθροισμα των στιγμιαίων ρευμάτων των τριών φάσεων είναι μηδέν και ο ουδέτερος μπορεί να καταργηθεί.

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: ισορροπημένο σύστημα (ίσα ρεύματα στις 3 φάσεις).

Ερώτηση 8 (σελ. 127)

Τι ονομάζεται φασική και τι πολική τάση σε ένα τριφασικό σύστημα ρευμάτων;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνουμε ορισμούς φασικής και πολικής τάσης.

Λύση:

1. Φασική τάση Uφ: ανάμεσα σε μία φάση και τον ουδέτερο.
2. Πολική τάση Uπ: ανάμεσα σε δύο φάσεις.
3. Σχέση: Uπ = √3·Uφ.

Ενδεικτική απάντηση: Φασική τάση (\(U_φ\)) ονομάζεται η τάση ανάμεσα σε μία φάση και τον ουδέτερο. Πολική τάση (\(U_π\)) ονομάζεται η τάση ανάμεσα σε δύο φάσεις. Συνδέονται με τη σχέση \(U_π = \sqrt{3}\cdot U_φ\) (\(\sqrt{3}\approx1{,}73\)). Στο δίκτυο χαμηλής τάσης της ΔΕΗ, \(U_φ = 220\ \text{V}\) και \(U_π = 380\ \text{V}\).

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: φασική (φάση-ουδέτερος) / πολική (φάση-φάση) + σχέση √3.

Ερώτηση 9 (σελ. 127)

Γιατί χρησιμοποιείται το τριφασικό σύστημα ρευμάτων στις γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εξηγούμε γιατί χρησιμοποιείται το τριφασικό σύστημα στις γραμμές μεταφοράς.

Λύση:

1. Το τριφασικό σύστημα μειώνει τους απαιτούμενους αγωγούς (από 6 σε 4 ή 3).
2. Σε συνδυασμό με την υψηλή τάση (μέσω μετασχηματιστών) επιτρέπει μεταφορά με μικρότερο ρεύμα, άρα λιγότερες απώλειες θερμότητας.

Ενδεικτική απάντηση: Το τριφασικό σύστημα χρησιμοποιείται γιατί επιτυγχάνει σημαντική εξοικονόμηση στο κόστος των γραμμών μεταφοράς: αντί για 6 αγωγούς (για τρεις μονοφασικές καταναλώσεις) απαιτούνται 4 (με κοινό ουδέτερο) ή μόλις 3 (σε ισορροπημένο σύστημα, χωρίς ουδέτερο). Επιπλέον, σε συνδυασμό με τη μεταφορά σε υψηλή τάση, το ίδιο ποσό ισχύος μεταφέρεται με μικρότερο ρεύμα, μειώνοντας τις απώλειες θερμότητας στους αγωγούς (\(P_θ=R\cdot I^2\)).

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: οικονομία αγωγών + μείωση απωλειών.

Ερώτηση 10 (σελ. 127)

Από τι αποτελείται ο πυκνωτής;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ζητείται από τι αποτελείται ο πυκνωτής.

Λύση:

1. Δύο αγώγιμες παράλληλες πλάκες (οπλισμοί).
2. Ένα μονωτικό υλικό ανάμεσά τους (διηλεκτρικό).

Ενδεικτική απάντηση: Ο πυκνωτής αποτελείται από δύο αγώγιμες παράλληλες πλάκες, που ονομάζονται οπλισμοί, και από ένα μονωτικό υλικό που παρεμβάλλεται ανάμεσά τους και ονομάζεται διηλεκτρικό.

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: οπλισμοί + διηλεκτρικό.

Ερώτηση 11 (σελ. 127)

Τι ονομάζεται χωρητικότητα ενός πυκνωτή και με ποια μονάδα μετριέται;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνουμε τον ορισμό της χωρητικότητας και τη μονάδα της.

Λύση:

1. Το φορτίο που αποθηκεύει ο πυκνωτής είναι ανάλογο της τάσης· ο λόγος Q/U είναι σταθερός.
2. Ο σταθερός αυτός λόγος ονομάζεται χωρητικότητα C = Q/U· μονάδα το Farad (F).

Ενδεικτική απάντηση: Χωρητικότητα (C) ενός πυκνωτή ονομάζεται ο σταθερός λόγος του φορτίου Q που αποθηκεύει προς την τάση U στα άκρα του: \(C = \dfrac{Q}{U}\). Μονάδα της χωρητικότητας είναι το F (Farad). Επειδή είναι μεγάλη μονάδα, στην πράξη χρησιμοποιούνται υποπολλαπλάσια (μF, nF, pF).

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: ορισμός C=Q/U + μονάδα Farad.

Ερώτηση 12 (σελ. 128)

Πώς συμπεριφέρεται ο πυκνωτής στο συνεχές ρεύμα και πώς στο εναλλασσόμενο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Περιγράφουμε τη συμπεριφορά του πυκνωτή σε DC και AC.

Λύση:

1. Στο συνεχές: φορτίζεται και, μόλις φορτιστεί πλήρως, διακόπτει το ρεύμα.
2. Στο εναλλασσόμενο: με τη συνεχή αλλαγή πολικότητας φορτίζεται και εκφορτίζεται διαρκώς, οπότε συντηρείται ρεύμα στο κύκλωμα (χωρίς φορτία να περνούν μέσα από το διηλεκτρικό).

Ενδεικτική απάντηση: Στο συνεχές ρεύμα ο πυκνωτής φορτίζεται και, μόλις ολοκληρωθεί η φόρτισή του, διακόπτει τη ροή του ρεύματος (το «κόβει»). Στο εναλλασσόμενο ρεύμα, επειδή η πολικότητα της τάσης αλλάζει σε κάθε περίοδο, ο πυκνωτής φορτίζεται και εκφορτίζεται συνεχώς· έτσι συντηρείται ρεύμα στο κύκλωμα, παρόλο που κανένα φορτίο δεν περνά μέσα από το διηλεκτρικό.

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: DC → κόβει το ρεύμα / AC → συντηρεί ρεύμα (φόρτιση-εκφόρτιση).

Ερώτηση 13 (σελ. 128)

Τι ονομάζεται χωρητική αντίσταση ενός πυκνωτή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνουμε τον ορισμό της χωρητικής αντίστασης.

Λύση:

1. Στο εναλλασσόμενο ρεύμα ο πυκνωτής παρουσιάζει μια αντίσταση στη ροή του ρεύματος.
2. Αυτή ονομάζεται χωρητική αντίσταση Xc, μετριέται σε Ω και δίνεται από Xc=1/(2πfC).

Ενδεικτική απάντηση: Χωρητική αντίσταση (\(X_c\)) ονομάζεται η αντίσταση που παρουσιάζει ο πυκνωτής στο εναλλασσόμενο ρεύμα. Μετριέται σε Ω (όπως η ωμική αντίσταση) και δίνεται από τη σχέση \(X_c = \dfrac{1}{2\pi f C}\), δηλαδή είναι αντιστρόφως ανάλογη της συχνότητας.

Πρόσεξε:

• Κριτήρια: ορισμός + Xc=1/(2πfC) + εξάρτηση από συχνότητα.

Άσκηση 14 (σελ. 128)

Ποια είναι η συχνότητα εναλλασσόμενου ρεύματος που έχει περίοδο \(T = 0{,}001\,\mathrm{s}\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνεται η περίοδος, ζητείται η συχνότητα. Εφαρμόζουμε f=1/T.

Λύση:

1. Δεδομένο: T = 0,001 s.
2. \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}001} = 1000\ \text{Hz} = 1\ \text{kHz}\).

Απάντηση: Η συχνότητα είναι \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}001} = 1000\ \text{Hz} = 1\ \text{kHz}\).

Πρόσεξε:

• 1000 Hz = 1 kHz.
• Προσοχή στις μονάδες: T σε s δίνει f σε Hz.

Άσκηση 15 (σελ. 128)

Αν διπλασιαστεί η συχνότητα ενός εναλλασσόμενου ρεύματος τι θα συμβεί στην περίοδό του;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ερώτημα σχέσης: αν διπλασιαστεί η συχνότητα, τι γίνεται η περίοδος. Χρησιμοποιούμε T=1/f.

Λύση:

1. Η περίοδος και η συχνότητα είναι αντιστρόφως ανάλογες: T = 1/f.
2. Αν η f διπλασιαστεί (2f), τότε T' = 1/(2f) = (1/2)·(1/f) = T/2.

Απάντηση: Η περίοδος θα υποδιπλασιαστεί (θα γίνει η μισή). Επειδή \(T = \dfrac{1}{f}\), αν η συχνότητα διπλασιαστεί, η περίοδος μειώνεται στο μισό: \(T' = \dfrac{1}{2f} = \dfrac{T}{2}\).

Πρόσεξε:

• Περίοδος και συχνότητα είναι αντιστρόφως ανάλογες.
• Δεν χρειάζονται αριθμοί: αρκεί η σχέση T=1/f.

Άσκηση 16 (σελ. 128)

Ποια είναι η μέγιστη τιμή \(U_m\) μιας εναλλασσόμενης τάσης ενεργού τιμής 220 V;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνεται η ενεργός τιμή, ζητείται η μέγιστη. Από U=0,707·Um λύνουμε ως προς Um.

Λύση:

1. Ενεργός τιμή: U = 220 V.
2. Από \(U = 0{,}707\,U_m\) προκύπτει \(U_m = \dfrac{U}{0{,}707} = U\cdot\sqrt{2}\).
3. \(U_m = 220\cdot\sqrt{2} \approx 220\cdot 1{,}414 \approx 311\ \text{V}\).

Απάντηση: Η μέγιστη τιμή είναι \(U_m = \dfrac{U}{0{,}707} = U\cdot\sqrt{2} = 220\cdot 1{,}414 \approx 311\ \text{V}\).

Πρόσεξε:

• Η γνωστή τάση «220 V» της πρίζας είναι η ΕΝΕΡΓΟΣ τιμή· η μέγιστη είναι ≈311 V.
• Um = U·√2 (αντίστροφη της U=0,707·Um).

Άσκηση 17 (σελ. 128)

Ηλεκτρικός κινητήρας συνδέεται σε εναλλασσόμενη τάση 220 V και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 15A. Ζητείται: α) Αν ο συντελεστής ισχύος του κινητήρα είναι συνφ = 0,8, η ισχύς που παίρνει ο κινητήρας από το ηλεκτρικό δίκτυο. β) Η σύνθετη αντίσταση \(Z\) του κινητήρα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μονοφασικός κινητήρας σε AC. α) ισχύς με συντελεστή ισχύος, β) σύνθετη αντίσταση με νόμο Ωμ.

Λύση:

1. Δεδομένα: U=220 V, I=15 A, συνφ=0,8.
2. α) Ισχύς: \(P = U\cdot I\cdot\text{συν}\varphi = 220\cdot 15\cdot 0{,}8 = 2640\ \text{W}\).
3. β) Σύνθετη αντίσταση (νόμος Ωμ στο AC): \(Z = \dfrac{U}{I} = \dfrac{220}{15} \approx 14{,}67\ \Omega\).

Απάντηση: α) Η ισχύς που παίρνει ο κινητήρας είναι \(P = U\cdot I\cdot\text{συν}\varphi = 220\cdot 15\cdot 0{,}8 = 2640\ \text{W}\). β) Η σύνθετη αντίσταση είναι \(Z = \dfrac{U}{I} = \dfrac{220}{15} \approx 14{,}67\ \Omega\).

Πρόσεξε:

• Στον κινητήρα (σύνθετη αντίσταση) η ισχύς έχει τον όρο συνφ.
• Το Z υπολογίζεται με τον νόμο του Ωμ, U/I, χωρίς το συνφ.

Άσκηση 18 (σελ. 128)

Μια ηλεκτρική συσκευή συνδέεται σε δίκτυο εναλλασσόμενου ρεύματος 220 V και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 3A. Ένα βατόμετρο μετρά την ισχύ που παίρνει η συσκευή από το δίκτυο και δείχνει 502 W. Ζητείται η τιμή του συντελεστή ισχύος (συνφ) της συσκευής.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δίνονται U, I και η μετρημένη ισχύς (βατόμετρο). Ζητείται ο συντελεστής ισχύος. Λύνουμε το P=U·I·συνφ ως προς συνφ.

Λύση:

1. Δεδομένα: U=220 V, I=3 A, P=502 W.
2. Από \(P = U\cdot I\cdot\text{συν}\varphi\) λύνουμε: \(\text{συν}\varphi = \dfrac{P}{U\cdot I}\).
3. \(\text{συν}\varphi = \dfrac{502}{220\cdot 3} = \dfrac{502}{660} \approx 0{,}76\).

Απάντηση: Ο συντελεστής ισχύος είναι \(\text{συν}\varphi = \dfrac{P}{U\cdot I} = \dfrac{502}{220\cdot 3} = \dfrac{502}{660} \approx 0{,}76\).

Πρόσεξε:

• Ο συντελεστής ισχύος είναι καθαρός αριθμός (0 έως 1)· εδώ 0,76 είναι λογικό για συσκευή με κινητήρα.
• Το βατόμετρο δίνει την πραγματική ισχύ P (όχι το γινόμενο U·I).

Άσκηση 19 (σελ. 128)

Ποια είναι η χωρητική αντίσταση ενός πυκνωτή χωρητικότητας \(C = 0{,}2\,\mu\mathrm{F}\), α) όταν συνδεθεί σε τάση συχνότητας 1 KHz; β) όταν συνδεθεί σε τάση 10πλάσιας συχνότητας (10 KHz);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χωρητική αντίσταση πυκνωτή σε δύο συχνότητες. Εφαρμόζουμε Xc=1/(2πfC).

Λύση:

1. Δεδομένο: C = 0,2 μF = 0,2×10⁻⁶ F.
2. α) f = 1 kHz = 1000 Hz: \(X_c = \dfrac{1}{2\pi f C} = \dfrac{1}{2\pi\cdot 1000\cdot 0{,}2\times10^{-6}} \approx 795{,}8\ \Omega\).
3. β) f = 10 kHz (10πλάσια): επειδή \(X_c\) είναι αντιστρόφως ανάλογη της f, γίνεται 10 φορές μικρότερη: \(X_c \approx 79{,}6\ \Omega\).

Απάντηση: α) Στη συχνότητα 1 kHz: \(X_c = \dfrac{1}{2\pi\cdot 1000\cdot 0{,}2\times10^{-6}} \approx 795{,}8\ \Omega\). β) Στη 10πλάσια συχνότητα (10 kHz), επειδή η χωρητική αντίσταση είναι αντιστρόφως ανάλογη της συχνότητας, γίνεται 10 φορές μικρότερη: \(X_c \approx 79{,}6\ \Omega\).

Πρόσεξε:

• Προσοχή στη μετατροπή: 0,2 μF = 0,2×10⁻⁶ F.
• Επειδή Xc ~ 1/f, όταν η f δεκαπλασιάζεται, η Xc υποδεκαπλασιάζεται (δεν χρειάζεται νέος υπολογισμός).

Άσκηση 20 (σελ. 129)

Ένας πυκνωτής συνδέεται σε δίκτυο εναλλασσόμενης τάσης 220V, συχνότητας 50 Hz και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 0,1A. (Η ωμική αντίσταση του πυκνωτή θεωρείται αμελητέα). Να ευρεθούν: α) Η χωρητική αντίσταση του πυκνωτή. β) Η χωρητικότητα του πυκνωτή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πυκνωτής σε AC. α) χωρητική αντίσταση με νόμο Ωμ, β) χωρητικότητα από Xc=1/(2πfC).

Λύση:

1. Δεδομένα: U=220 V, f=50 Hz, I=0,1 A.
2. α) Νόμος του Ωμ: \(X_c = \dfrac{U}{I} = \dfrac{220}{0{,}1} = 2200\ \Omega\).
3. β) Από \(X_c = \dfrac{1}{2\pi f C}\) λύνουμε ως προς C: \(C = \dfrac{1}{2\pi f X_c}\).
4. \(C = \dfrac{1}{2\pi\cdot 50\cdot 2200} \approx 1{,}45\times10^{-6}\ \text{F} = 1{,}45\ \mu\text{F}\).

Απάντηση: α) Η χωρητική αντίσταση είναι \(X_c = \dfrac{U}{I} = \dfrac{220}{0{,}1} = 2200\ \Omega\). β) Η χωρητικότητα είναι \(C = \dfrac{1}{2\pi f X_c} = \dfrac{1}{2\pi\cdot 50\cdot 2200} \approx 1{,}45\times10^{-6}\ \text{F} = 1{,}45\ \mu\text{F}\).

Πρόσεξε:

• Πρώτα βρίσκουμε Xc (νόμος Ωμ), μετά λύνουμε τον τύπο ως προς C.
• Το αποτέλεσμα σε F είναι πολύ μικρό — γι' αυτό εκφράζεται σε μF.

Άσκηση 21 (σελ. 129)

Χρησιμοποιώντας τις καμπύλες στο διάγραμμα i - t ενός τριφασικού συμμετρικού συστήματος ρευμάτων (όπως παρουσιάζονται π.χ. στο σχήμα 4.3.β), να δείξετε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των στιγμιαίων τιμών των ρευμάτων στις 3 φάσεις \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\) είναι ίσο με το μηδέν.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Απόδειξη ότι το αλγεβρικό άθροισμα των στιγμιαίων ρευμάτων των 3 φάσεων είναι μηδέν (με βάση τις καμπύλες i-t).

Λύση:

1. Οι τρεις φάσεις είναι ημίτονα ίδιου πλάτους Im, μετατοπισμένα κατά 120° (T/3) η μία από την άλλη.
2. Σε ΚΑΘΕ χρονική στιγμή, το άθροισμα των τριών στιγμιαίων τιμών προκύπτει γραφικά προσθέτοντας τα ύψη των τριών καμπυλών.
3. Παράδειγμα: όταν η μία φάση βρίσκεται σε μέγιστο (+Im), οι άλλες δύο βρίσκονται στο −Im/2 η καθεμία· το άθροισμα είναι +Im + (−Im/2) + (−Im/2) = 0.
4. Αναλυτικά: \(i_1+i_2+i_3 = I_m[\sin\omega t + \sin(\omega t-120°) + \sin(\omega t+120°)] = 0\) για κάθε t.

Απάντηση: Οι τρεις φάσεις είναι ημίτονα ίδιου πλάτους μετατοπισμένα κατά 120°. Σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, αν προσθέσουμε τα ύψη (στιγμιαίες τιμές) των τριών καμπυλών, το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Για παράδειγμα, τη στιγμή που μία φάση φτάνει στο μέγιστο +Im, οι άλλες δύο έχουν τιμή −Im/2 η καθεμία, οπότε \(+I_m - \dfrac{I_m}{2} - \dfrac{I_m}{2} = 0\). Γενικά ισχύει \(i_1+i_2+i_3 = I_m[\sin\omega t + \sin(\omega t-120°)+\sin(\omega t+120°)] = 0\) για κάθε στιγμή t. Άρα το αλγεβρικό άθροισμα των τριών ρευμάτων είναι πάντοτε μηδέν.

Πρόσεξε:

• Χρειάζεται το διάγραμμα i–t (σχ. 4.3.β) για τη γραφική επαλήθευση σε διάφορες στιγμές.
• Το αποτέλεσμα ισχύει μόνο σε ισορροπημένο (συμμετρικό) σύστημα με ίσα πλάτη.