Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Κυκλική κίνηση – Περιστροφή στερεού (σελ. 244-247) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Κυκλική κίνηση – Περιστροφή στερεού (σελ. 244-247) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Κυκλική κίνηση - Περιστροφή στερεού (σελ. 244-247)

Λύσεις των 20 ερωτήσεων, προβληματισμών και ασκήσεων του κεφαλαίου (6.1-6.20, σελ. 244-247): ομαλή κυκλική κίνηση, κεντρομόλος δύναμη, μετάδοση κίνησης, ροπή αδράνειας, στροφορμή και κύλιση.

6.1 Τα ερωτήματα και οι προβληματισμοί του κειμένου

Ερώτηση: Επεξεργαστείτε τα ερωτήματα και τους προβληματισμούς που είναι διάσπαρτα στο κείμενο του κεφαλαίου.

Απάντηση:

Δείκτες του ρολογιού (σελ. 218, 221): περίοδοι 60 s, 3600 s, 43200 s, άρα \(ω = 2\pi/T\): δευτερολεπτοδείκτης \(\approx 0{,}105\) rad/s, λεπτοδείκτης \(\approx 1{,}75\cdot10^{-3}\) rad/s, ωροδείκτης \(\approx 1{,}45\cdot10^{-4}\) rad/s — επιβεβαιώνονται οι συχνότητες του πίνακα 6.1 (\(f = 1/T\)). Για ακτίνα π.χ. 1,5 cm, ο δευτερολεπτοδείκτης έχει στην άκρη \(υ = ωr \approx 1{,}6\cdot10^{-3}\) m/s.
Επιτάχυνση σε ομαλή κίνηση; (σελ. 221): στην ομαλή κυκλική ναι — αλλάζει η διεύθυνση της ταχύτητας, άρα υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση \(α_κ = υ^2/r\).
Ο «αντιφατικός» ρόλος της r (σελ. 223): εξαρτάται από το τι μένει σταθερό· με σταθερή υ (περιφερειακή μετάδοση) \(α_κ = υ^2/r\) μικραίνει με την r, με σταθερή ω (ομοαξονική) \(α_κ = ω^2r\) μεγαλώνει.
Από τον μικρό δίσκο στον πίσω τροχό — ποιο μέγεθος αυξάνεται; (σελ. 225): η μετάδοση είναι ομοαξονική (ίδια ω), άρα αυξάνεται η γραμμική ταχύτητα (\(υ_3/υ_2 = r_3/r_2\)).
Ροπή αδράνειας (σελ. 233): «Α περιστρέφεται δυσκολότερα από Β» = μεγαλύτερη I ως προς τον άξονα περιστροφής· «I = 10 kg·m²» δεν είναι σαφές αν δεν δηλωθεί ο άξονας· η ρόδα αγωνιστικού (ίδιου βάρους) έχει μικρότερη I γιατί η μάζα της είναι πιο κοντά στον άξονα, άρα επιταχύνεται και φρενάρει ευκολότερα.
Άνδρας με τα βάρη, παγοδρόμοι, πολυθρόνα (σελ. 239-240): \(I_1ω_1 = I_2ω_2\)· μαζεύοντας τα χέρια (ή συσπειρώνοντας το σώμα) μειώνεται η I, άρα αυξάνεται η ω.
Βρασμένο ή άβραστο αβγό (σελ. 240): το βρασμένο είναι στερεό και περιστρέφεται ενιαία, γρήγορα και σταθερά. Στο άβραστο το υγρό εσωτερικό δεν ακολουθεί αμέσως το τσόφλι, με αποτέλεσμα αργή, «βαριά» περιστροφή που σβήνει γρήγορα· και αν το σταματήσουμε στιγμιαία και το αφήσουμε, ξαναρχίζει να γυρίζει, γιατί το υγρό συνεχίζει να περιστρέφεται (διατηρεί στροφορμή).
Γλιστρήματα στα πρωτοβρόχια και λάδια (σελ. 241): το νερό και τα λάδια μειώνουν τη στατική τριβή που χρειάζεται η κύλιση, οπότε ο τροχός ολισθαίνει.
Ζυγοστάθμιση τροχών (σελ. 242): τα τακάκια μολύβδου διορθώνουν την κατανομή της μάζας, ώστε το κέντρο βάρους να βρίσκεται πάνω στον άξονα και ο τροχός να μην «τρικλίζει».
Γιατί στρογγυλοί τροχοί; (σελ. 244): στην κύλιση η τριβή δεν καταναλώνει έργο, ενώ στην ολίσθηση σε πραγματικό (μη λείο) δρόμο η τριβή ολίσθησης καταναλώνει έργο που γίνεται θερμότητα.
Άλλα σχήματα (σελ. 244): για \(I = kmR^2\), \(υ = \sqrt{2gh/(1+k)}\)· σφαίρα (\(k = 2/5\)) > κύλινδρος (\(k = 1/2\)) > στεφάνι (\(k = 1\)). Μάζα και ακτίνα απαλείφονται, γιατί και οι δύο κινητικές ενέργειες είναι ανάλογες της m και η R φεύγει με \(ω = υ/R\).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Κυριότερα: ω των δεικτών από ω = 2π/T· στην ομαλή κυκλική υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση· ο ρόλος της r εξαρτάται από το αν σταθερή είναι η υ ή η ω· στο ποδήλατο ο πίσω τροχός αυξάνει τη γραμμική ταχύτητα· η ροπή αδράνειας έχει νόημα μόνο με δηλωμένο άξονα· μείωση της I αυξάνει την ω (διατήρηση στροφορμής)· στην κύλιση η τριβή δεν καταναλώνει έργο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Γενικό item· η λύση συγκεντρώνει τα κυριότερα ερωτήματα του κειμένου.

6.2 Συμπλήρωση κενών: κεντρομόλος, ομοαξονικά, κλίση δρόμου

Ερώτηση: Συμπληρώστε τις λέξεις που λείπουν στις παρακάτω φράσεις: α: Στην ομαλή κυκλική κίνηση η ................... επιτάχυνση είναι ................... στη γραμμική ταχύτητα. β: Στα ομοαξονικά συστήματα έχουμε σταθερή ................... ταχύτητα και η ................... ταχύτητα αυξάνεται όσο ................... η απόσταση από τον άξονα περιστροφής. γ: Η κλίση του δρόμου στις στροφές καθορίζει το όριο ................... των οχημάτων για δεδομένη ................... καμπυλότητας.

Απάντηση:

α: η επιτάχυνση «είναι διάνυσμα κάθετο στην ταχύτητα… με φορά προς το κέντρο» (σελ. 221) → κεντρομόλος, κάθετη.
β: «Σε αυτά τα συστήματα έχουμε σταθερή γωνιακή ταχύτητα» (σελ. 224) και \(υ = ωr\) → γωνιακή, γραμμική, αυξάνεται (μεγαλώνει).
γ: \(\text{εφ}α = υ^2/rg\) (6.17, σελ. 227) → όριο ταχύτητας, δεδομένη ακτίνα καμπυλότητας.

Σύνοψη: α: κεντρομόλος, κάθετη · β: γωνιακή, γραμμική, αυξάνεται (μεγαλώνει) · γ: ταχύτητας, ακτίνα.

6.3 Σωστό-λάθος: επιτάχυνση, κεντρομόλος, μετάδοση, κλίση στίβου

Ερώτηση: Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και γιατί; α: Σε κάθε ομαλή κίνηση η επιτάχυνση είναι μηδέν. β: Η κεντρομόλος επιτάχυνση περιστρεφόμενου τροχού στα περιφερειακά σημεία είναι μεγαλύτερη απ’ ότι στα άλλα. γ: Στα συστήματα περιφερειακής μετάδοσης περιστροφής η κίνηση δίνεται στον τροχό με μεγάλη ακτίνα. δ: Τα ποδηλατοδρόμια έχουν στίβο με κλίση, για να διευκολύνεται η κυκλική κίνηση.

Απάντηση:

α — Λάθος. Ισχύει μόνο για την ευθύγραμμη ομαλή. Στην ομαλή κυκλική η διεύθυνση της ταχύτητας αλλάζει, άρα υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση \(α_κ = υ^2/r\) (σελ. 221).
β — Σωστό. Όλα τα σημεία του τροχού έχουν την ίδια ω (ομοαξονικό σύστημα, σελ. 224), άρα \(α_κ = ω^2r\) είναι μέγιστη στη μέγιστη ακτίνα, δηλαδή στην περιφέρεια.
γ — Σωστό. «Στα συστήματα περιφερειακής μετάδοσης επεμβαίνουμε στους τροχούς μεγάλης ακτίνας και πολλαπλασιάζουμε τη γωνιακή ταχύτητα» του μικρού τροχού (σελ. 224, σχέση 6.15) — π.χ. το πεντάλ στρέφει τον μεγάλο δίσκο.
δ — Σωστό. Με κλίση η κάθετη αντίδραση του στίβου αποκτά οριζόντια συνιστώσα που προσφέρει την κεντρομόλο, όπως στην κλίση των δρόμων: \(\text{εφ}α = υ^2/rg\) (σελ. 226-227)· ο ποδηλάτης στρίβει με ασφάλεια σε μεγαλύτερες ταχύτητες.

Σύνοψη: Σωστές: β, γ, δ. Λάθος: α (στην ομαλή κυκλική κίνηση υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η γ είναι σωστή ως η συνήθης πρακτική του βιβλίου (πολλαπλασιασμός συχνότητας)· η κίνηση μπορεί να δοθεί και στον μικρό τροχό, για υποπολλαπλασιασμό.

6.4 Ποδήλατο: δίσκοι r και 3r, τροχός 10r

Ερώτηση: Σε ποδήλατο οι ακτίνες των δύο δίσκων είναι r και 3r, ενώ ο οπίσθιος τροχός έχει ακτίνα 10r. Να συγκριθούν οι γωνιακές και οι γραμμικές ταχύτητές τους.

Απάντηση:

Μπροστινός δίσκος (πεντάλ): ακτίνα 3r· πίσω δίσκος: r, ομοαξονικός με τον τροχό ακτίνας 10r.
Δίσκοι — αλυσίδα (περιφερειακή μετάδοση, σελ. 223-224): ίδια γραμμική ταχύτητα \(υ_1 = υ_2\), και \(\frac{ω_2}{ω_1} = \frac{3r}{r} = 3\).
Πίσω δίσκος — τροχός (ομοαξονική, σελ. 224-225): ίδια γωνιακή ταχύτητα \(ω_3 = ω_2 = 3ω_1\), και \(\frac{υ_3}{υ_2} = \frac{10r}{r} = 10\).
Σύνοψη: \(ω_1 : ω_2 : ω_3 = 1 : 3 : 3\) και \(υ_1 : υ_2 : υ_3 = 1 : 1 : 10\).

Σύνοψη: Γωνιακές ταχύτητες: μεγάλος δίσκος ω, μικρός δίσκος 3ω, τροχός 3ω. Γραμμικές ταχύτητες (στην περιφέρεια): μεγάλος δίσκος υ, μικρός δίσκος υ, τροχός 10υ.

6.5 Κιβώτιο ταχυτήτων: σχέσεις 3,909 και 0,967

Ερώτηση: Ο δίσκος του συμπλέκτη (ο οποίος συνήθως αναφέρεται με τους γαλλικούς όρους αμπραγιάζ ή ντεμπραγιάζ) επικοινωνεί με τους αντίστοιχους των ταχυτήτων εφαπτομενικά. Το «ανέβασμα» της ταχύτητας από την 1η προς την 5η επιτρέπει μεγαλύτερες επιδόσεις; Σε τι πιστεύετε ότι οφείλεται αυτό; Ρωτήστε τι σημαίνει η πληροφορία: «η 1η ταχύτητα και η όπισθεν έχουν σχέση 3,909, ενώ η 5η 0,967»;

Απάντηση:

Εφαπτομενική επικοινωνία = περιφερειακή μετάδοση (τύπος I, σελ. 223): οι οδοντωτοί τροχοί έχουν ίδια γραμμική ταχύτητα και \(\frac{ω_1}{ω_2} = \frac{r_2}{r_1}\) (6.15).
Σχέση μετάδοσης = λόγος στροφών κινητήρα προς στροφές του άξονα εξόδου. «1η: 3,909» σημαίνει ότι ο κινητήρας κάνει 3,909 στροφές για κάθε στροφή εξόδου (ο κινητήριος τροχός είναι μικρός, ο κινούμενος μεγάλος): πολύ μικρότερη γωνιακή ταχύτητα στους τροχούς, αλλά πολύ μεγαλύτερη ροπή/δύναμη — για ξεκίνημα, ανηφόρες και όπισθεν.
«5η: 0,967» σημαίνει ότι ο άξονας εξόδου στρέφεται λίγο γρηγορότερα από τον κινητήρα: μεγάλη γωνιακή ταχύτητα των τροχών για τις ίδιες στροφές κινητήρα, άρα μεγάλη ταχύτητα του αυτοκινήτου (\(υ = ωr\)).
Άρα το «ανέβασμα» επιτρέπει μεγαλύτερες ταχύτητες (επιδόσεις σε ταχύτητα), αλλά με μικρότερη δύναμη στους τροχούς. Είναι ο χρυσός κανόνας της Μηχανικής (κεφ. 5): σε κάθε σχέση κερδίζουμε σε ταχύτητα ό,τι χάνουμε σε δύναμη και αντίστροφα, γιατί η ισχύς του κινητήρα \(P = Fυ\) είναι περιορισμένη.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ναι: οι οδοντωτοί τροχοί μεταδίδουν την κίνηση περιφερειακά, άρα οι γωνιακές ταχύτητες είναι αντιστρόφως ανάλογες των ακτίνων. Στην 1η (σχέση 3,909) ο κινητήρας κάνει ~3,9 στροφές για μία στροφή εξόδου — μικρή ταχύτητα, μεγάλη δύναμη· στην 5η (0,967) ο άξονας εξόδου γυρίζει λίγο πιο γρήγορα από τον κινητήρα — μεγάλη ταχύτητα, μικρή δύναμη. Το ανέβασμα δίνει μεγαλύτερες ταχύτητες με την ίδια ισχύ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ερώτηση που απαιτεί και πληροφόρηση εκτός βιβλίου («ρωτήστε»)· η ερμηνεία της σχέσης μετάδοσης δίνεται ενδεικτικά.

6.6 Σωστές και πλήρεις προτάσεις: ροπή αδράνειας, στιγμιαίος άξονας, τριβή, στροφορμή

Ερώτηση: Θεωρείτε σωστές και πλήρεις τις παρακάτω προτάσεις; Αν όχι, διορθώστε τες ή συμπληρώστε τες. α: Η ροπή αδράνειας σώματος είναι 50kgm². β: Ο στιγμιαίος άξονας περιστροφής τροχού βοηθά την κύλιση να «φαίνεται» σαν περιστροφή. γ: Η τριβή μετατρέπει έργο σε θερμότητα. δ: Σε μονωμένο σύστημα η στροφορμή διατηρείται σταθερή.

Απάντηση:

α — Ελλιπής. Η ροπή αδράνειας «εξαρτάται από τον άξονα περιστροφής» (σελ. 232). Σωστά: «Η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα … είναι 50 kg·m²».
β — Σωστή. «Η παραπάνω εξομοίωση μετατρέπει τη σύνθετη κίνηση (κύλιση) σε απλή (περιστροφική) γύρω από τον άξονα που περνά από το Ο (στιγμιαίος άξονας)» (σελ. 242). Συμπλήρωση: ο άξονας περνά από το σημείο επαφής με το έδαφος, που έχει μηδενική ταχύτητα.
γ — Ελλιπής. Ισχύει για την τριβή ολίσθησης, της οποίας «το έργο γίνεται θερμότητα» (σελ. 205). Στην κύλιση χωρίς ολίσθηση «το έργο της τριβής είναι μηδέν» (σελ. 242), οπότε δεν μετατρέπεται ενέργεια σε θερμότητα.
δ — Σωστή, συμπληρώνεται: σε μονωμένο σύστημα (καμία εξωτερική ροπή, ή συνισταμένη εξωτερικών ροπών μηδέν) η στροφορμή διατηρείται σταθερή διανυσματικά (μέτρο και κατεύθυνση), \(I_1ω_1 = I_2ω_2\) (σελ. 239).

Σύνοψη: α: ελλιπής — πρέπει να δηλώνεται ο άξονας περιστροφής. β: σωστή (ο στιγμιαίος άξονας περνά από το σημείο επαφής). γ: ελλιπής — ισχύει για την τριβή ολίσθησης· στην κύλιση χωρίς ολίσθηση το έργο της τριβής είναι μηδέν. δ: σωστή — διατηρείται διανυσματικά, I₁ω₁ = I₂ω₂.

6.7 Αντιστοιχίες μεγεθών μεταφορικής-περιστροφικής κίνησης και μονάδες S.I.

Ερώτηση: Σημειώστε τις αντιστοιχίες μεγεθών μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης με τις αναφερόμενες μονάδες S.I. Μονάδες S.I.: kgm², Nm, rad/s, kg m/s, m/s², kgm²/s. Μεταφορική κίνηση: Μάζα m, Μετατόπιση s, Ταχύτητα υ, Επιτάχυνση α, Ορμή Ρ, Δύναμη F. Περιστροφική κίνηση: Ροπή Μ, Στροφορμή L, Γωνία θ, Γωνιακή ταχύτητα ω, Ροπή αδράνειας I, Κεντρομόλος επιτάχυνση ακ.

Απάντηση:

Αντιστοιχίες από τον πίνακα 6.2 (σελ. 240):
Μάζα m (kg) ↔ Ροπή αδράνειας I — kgm².
Μετατόπιση s (m) ↔ Γωνία θ (rad), \(s = θr\).
Ταχύτητα υ (m/s) ↔ Γωνιακή ταχύτητα ω — rad/s.
Επιτάχυνση α — m/s² ↔ Κεντρομόλος επιτάχυνση \(α_κ = ω^2r\) — m/s².
Ορμή P — kg m/s ↔ Στροφορμή L — kgm²/s.
Δύναμη F (N) ↔ Ροπή M — Nm.

Σύνοψη: m ↔ I (kgm²) · s ↔ θ · υ ↔ ω (rad/s) · α (m/s²) ↔ ακ (m/s²) · P (kg m/s) ↔ L (kgm²/s) · F ↔ M (Nm). Οι μονάδες που δεν περιλαμβάνονται στη λίστα: m → kg, s → m, υ → m/s, F → N, θ → rad.

6.8 Συμπλήρωση κενών: ροπή, ροπή αδράνειας, άξονας

Ερώτηση: Συμπληρώστε τις λέξεις που λείπουν στο παρακάτω κείμενο: Το αίτιο κάθε περιστροφής στερεού είναι η ................... .Όταν το σώμα έχει ................... ροπή αδράνειας περιστρέφεται δύσκολα. Η ροπή αδράνειας στερεού εξαρτάται από τον ..................., γύρω από τον οποίο ................... . Ο άξονας που αντιστοιχεί στη ................... ροπή αδράνειας είναι αυτός που περνά από το ................... βάρους του στερεού.

Απάντηση:

«Αιτία της περιστροφής είναι κάποια ροπή δύναμης» (σελ. 231) → ροπή (δύναμης).
Η I «εκφράζει την αδράνεια του στερεού, όταν προσπαθούμε να το περιστρέψουμε» (σελ. 232) → μεγάλη.
«Η τιμή εξαρτάται από τον άξονα περιστροφής» (σελ. 232) → άξονα, περιστρέφεται.
«Το σώμα περιστρέφεται ευκολότερα γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο βάρους του» (σελ. 234) → μικρότερη (ελάχιστη), κέντρο.

Σύνοψη: ροπή (δύναμης) · μεγάλη · άξονα · περιστρέφεται · μικρότερη (ελάχιστη) · κέντρο.

6.9 Γιατί οι χορευτές ανοίγουν τα χέρια για να σταματήσουν

Ερώτηση: Εξηγήστε γιατί, μετά τις χορευτικές φιγούρες περιστροφής στο καλλιτεχνικό πατινάζ, οι χορευτές ανοίγουν οριζόντια τα χέρια τους, ώστε να σταματήσουν τελικά;

Απάντηση:

Στον πάγο οι τριβές είναι μικρές και η εξωτερική ροπή σχεδόν μηδέν, άρα η στροφορμή διατηρείται: \(I_1ω_1 = I_2ω_2\) (6.24, σελ. 239).
Ανοίγοντας οριζόντια τα χέρια, μάζα απομακρύνεται από τον άξονα, άρα η ροπή αδράνειας \(I = \Sigma m r^2\) αυξάνεται πολύ (σελ. 232).
Επομένως η γωνιακή ταχύτητα \(ω_2 = ω_1 I_1/I_2\) μειώνεται απότομα (το αντίστροφο της συσπείρωσης των παγοδρόμων, σελ. 240).
Με μικρή πια ω, η μικρή ροπή της τριβής των παγοπέδιλων (και ένα «φρενάρισμα» με το πατίνι) αρκεί για να μηδενίσει την περιστροφή, γιατί \(M = IΔω/Δt\): χρειάζεται να αφαιρεθεί πολύ μικρότερη κινητική ενέργεια \(\frac12 Iω^2 = \frac{L^2}{2I}\).

Σύνοψη: Ανοίγοντας τα χέρια αυξάνουν τη ροπή αδράνειάς τους· επειδή η στροφορμή Iω διατηρείται (σχεδόν μηδενική εξωτερική ροπή), η γωνιακή ταχύτητα μειώνεται απότομα και η περιστροφή σταματά εύκολα.

6.10 Διατήρηση ορμής ή στροφορμής;

Ερώτηση: Εξηγήστε πότε η μελέτη ενός φαινομένου βασίζεται στη διατήρηση της ορμής και πότε στην αντίστοιχη της στροφορμής.

Απάντηση:

Διατήρηση ορμής (πίνακας 6.2, σελ. 240): όταν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων στο σύστημα είναι μηδέν (\(F = ΔP/Δt = 0\)), η ορμή \(P = mυ\) μένει σταθερή. Τη χρησιμοποιούμε σε φαινόμενα μεταφορικής κίνησης: κρούσεις, εκρήξεις, ανάκρουση όπλου, αλληλεπιδράσεις σωμάτων.
Διατήρηση στροφορμής (σελ. 239): όταν η συνισταμένη των εξωτερικών ροπών είναι μηδέν (\(M = ΔL/Δt = 0\)) — μονωμένο σύστημα ή εξωτερικές ροπές με συνισταμένη μηδέν —, η στροφορμή \(L = Iω\) μένει σταθερή. Τη χρησιμοποιούμε σε φαινόμενα περιστροφής, όπου αλλάζει η κατανομή της μάζας ή ο άξονας (παγοδρόμοι, χορευτές, περιστρεφόμενη πολυθρόνα, ράβδος που αλλάζει άξονα).
Μπορεί να ισχύουν και οι δύο ταυτόχρονα, όπως και η διατήρηση της ενέργειας — μαζί είναι οι τρεις αρχές διατήρησης στις οποίες στηρίζεται η φυσική έρευνα (σελ. 239).

Σύνοψη: Στη διατήρηση της ορμής βασιζόμαστε όταν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν (μεταφορικά φαινόμενα, π.χ. κρούσεις, εκρήξεις)· στη διατήρηση της στροφορμής όταν η συνισταμένη των εξωτερικών ροπών είναι μηδέν (περιστροφικά φαινόμενα, π.χ. αλλαγή ροπής αδράνειας σε περιστρεφόμενο σύστημα).

6.11 Πότε γίνονται κάθετοι ωροδείκτης και λεπτοδείκτης

Ερώτηση: Όταν το ρολόι δείχνει 12h 0min 0sec, οι 3 δείκτες συμπίπτουν. Ποια ώρα μετά τις 12 ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης θα γίνουν κάθετοι για πρώτη φορά;

Απάντηση:

Γωνιακές ταχύτητες (\(ω = 360^\circ/T\), σελ. 220): λεπτοδείκτης \(T = 60\) min, \(ω_λ = 6^\circ/\text{min}\)· ωροδείκτης \(T = 12\) h \(= 720\) min, \(ω_ω = 0{,}5^\circ/\text{min}\).
Γωνίες σε χρόνο t (θ = ωt, σελ. 220): \(θ_λ = 6t\), \(θ_ω = 0{,}5t\). Κάθετοι για πρώτη φορά όταν \(θ_λ - θ_ω = 90^\circ\).
\(5{,}5t = 90 \Rightarrow t = \frac{90}{5{,}5} = \frac{180}{11}\ \text{min} \approx 16{,}36\ \text{min} = 16\ \text{min}\ 21{,}8\ \text{s}\).

Σύνοψη: Περίπου στις 12 h 16 min 21,8 s (t = 180/11 min ≈ 16,36 min).

6.12 Δύο αθλητές των 400 m: ταχύτητες, απόσταση, γωνιακές ταχύτητες

Ερώτηση: Δύο αθλητές των 400m έχουν επιδόσεις 48,2 s και 48,8s αντίστοιχα. α) Ποια μέση ταχύτητα αναπτύσσει καθένας; β) Πόσο θα απέχουν, όταν τερματίσει ο πιο γρήγορος; γ) Αν θεωρήσουμε ότι το στάδιο έχει μέγεθος και σχήμα τέτοιο, ώστε τα 400m να αντιστοιχούν σε μια περιφέρεια, να βρείτε τις γωνιακές ταχύτητές τους. Αλήθεια, γιατί οι αθλητές στίβου παραπονιούνται συχνά: «Με έβαλαν να τρέξω σε δύσκολο διάδρομο (κουλουάρ)...»; Τι εννοούν και πώς εξηγείτε το παράπονό τους;

Απάντηση:

α) \(υ = s/t\): \(υ_1 = \frac{400}{48{,}2} \approx 8{,}30\) m/s (≈ 29,9 km/h), \(υ_2 = \frac{400}{48{,}8} \approx 8{,}20\) m/s.
β) Σε 48,2 s ο δεύτερος διανύει \(8{,}197\cdot48{,}2 \approx 395{,}1\) m, άρα απέχουν \(\approx 4{,}9\) m.
γ) Μία περιφέρεια σε χρόνο T: \(ω = 2\pi/T\) (σελ. 220): \(ω_1 = \frac{2\pi}{48{,}2} \approx 0{,}130\) rad/s, \(ω_2 = \frac{2\pi}{48{,}8} \approx 0{,}129\) rad/s.
Το «δύσκολο κουλουάρ»: στις στροφές ο αθλητής χρειάζεται κεντρομόλο δύναμη \(F_κ = mυ^2/r\) (σελ. 223), που την παράγει με την κλίση του σώματος και την τριβή των ποδιών. Στους εσωτερικούς διαδρόμους η ακτίνα είναι μικρότερη, άρα για την ίδια ταχύτητα απαιτείται μεγαλύτερη κεντρομόλος (μεγαλύτερη κλίση, πιο «σφιχτή» στροφή) — δυσκολότερο τρέξιμο. Στους εξωτερικούς η στροφή είναι πιο ανοιχτή, αλλά ο αθλητής ξεκινά «κλιμακωτά» μπροστά και δεν βλέπει τους αντιπάλους του.

Σύνοψη: α) υ₁ ≈ 8,30 m/s, υ₂ ≈ 8,20 m/s. β) ≈ 4,9 m. γ) ω₁ ≈ 0,130 rad/s, ω₂ ≈ 0,129 rad/s. Το «δύσκολο κουλουάρ» είναι συνήθως ο εσωτερικός διάδρομος: μικρότερη ακτίνα στροφής σημαίνει μεγαλύτερη απαιτούμενη κεντρομόλο δύναμη mυ²/r για την ίδια ταχύτητα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το τελευταίο ερώτημα είναι ανοιχτό· αποδεκτή κάθε τεκμηριωμένη εξήγηση με τη σχέση F = mυ²/r.

6.13 Αθλήτρια 800 m: μεγέθη ομαλής κυκλικής κίνησης

Ερώτηση: Στους αγώνες στίβου «Βενιζέλεια» η καλύτερη Ελληνική επίδοση στο δρόμο 800m γυναικών γράφτηκε στο φωτεινό πίνακα έτσι: 2:10:54. Γράψτε σε μονάδες της Φυσικής την επίδοση αυτή. Αν δεχτούμε πως η περιφέρεια του στίβου αντιστοιχεί σε 400m, να βρεθούν για την αθλήτρια οι μέσες τιμές για τα παρακάτω μεγέθη: περίοδος περιφοράς, συχνότητα, γωνιακή και γραμμική ταχύτητα, κεντρομόλος επιτάχυνση και κεντρομόλος δύναμη (στην τελευταία ζύγιση η αθλήτρια βρέθηκε με βάρος 50kp).

Απάντηση:

Επίδοση: 2:10:54 = 2 min 10,54 s \(= 130{,}54\) s.
800 m = 2 περιφέρειες, άρα περίοδος \(T = \frac{130{,}54}{2} = 65{,}27\) s· συχνότητα \(f = 1/T \approx 1{,}53\cdot10^{-2}\) Hz (6.2).
Γωνιακή ταχύτητα \(ω = 2\pi f \approx 9{,}63\cdot10^{-2}\) rad/s (6.5)· γραμμική \(υ = \frac{800}{130{,}54} \approx 6{,}13\) m/s.
Ακτίνα στίβου: \(2\pi r = 400\) m \(\Rightarrow r = \frac{400}{2\pi} \approx 63{,}7\) m· έλεγχος \(υ = ωr \approx 6{,}13\) m/s.
Κεντρομόλος επιτάχυνση \(α_κ = \frac{υ^2}{r} \approx \frac{37{,}56}{63{,}66} \approx 0{,}59\) m/s² (6.7).
Βάρος 50 kp σημαίνει μάζα \(m = 50\) kg· κεντρομόλος δύναμη \(F_κ = mα_κ \approx 50\cdot0{,}59 \approx 29{,}5\) N (6.11).

Σύνοψη: t = 130,54 s · T ≈ 65,3 s · f ≈ 0,0153 Hz · ω ≈ 0,096 rad/s · υ ≈ 6,13 m/s · ακ ≈ 0,59 m/s² · Fκ ≈ 29,5 N (r ≈ 63,7 m, m = 50 kg).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το «2:10:54» ερμηνεύεται ως 2 min 10,54 s (λεπτά : δευτερόλεπτα : εκατοστά).

6.14 Η συμμετοχή μας στην περιστροφή της Γης (37° Β)

Ερώτηση: Να υπολογίσετε όλα τα μεγέθη για τη συμμετοχή σας στην περιφορά της Γης γύρω από τον άξονά της (συχνότητα, ταχύτητες, επιτάχυνση και κεντρομόλο δύναμη. Τη μάζα σας την ξέρετε καλύτερα από τον καθένα...). Να συγκρίνετε, ύστερα, την κεντρομόλο δύναμη με το βάρος σας. (RΓ = 6400km, γεωγραφικό πλάτος 37º βόρειο).

Απάντηση:

Σε γεωγραφικό πλάτος 37° περιφερόμαστε σε κύκλο ακτίνας \(r = R_Γ\,\text{συν}37^\circ = 6400\cdot0{,}799 \approx 5111\) km \(\approx 5{,}11\cdot10^6\) m.
Περίοδος \(T = 24\) h \(= 86400\) s, συχνότητα \(f = 1/T \approx 1{,}16\cdot10^{-5}\) Hz (όπως στον πίνακα 6.1).
Γωνιακή ταχύτητα \(ω = 2\pi f \approx 7{,}27\cdot10^{-5}\) rad/s· γραμμική \(υ = ωr \approx 372\) m/s (≈ 1338 km/h).
Κεντρομόλος επιτάχυνση \(α_κ = ω^2r \approx 2{,}70\cdot10^{-2}\) m/s².
Για μάζα π.χ. \(m = 60\) kg: \(F_κ = mα_κ \approx 1{,}62\) N, ενώ \(B = mg \approx 600\) N· \(\frac{F_κ}{B} = \frac{α_κ}{g} \approx 0{,}27\%\) — η κεντρομόλος είναι αμελητέα σε σχέση με το βάρος, γι' αυτό δεν «νιώθουμε» την περιστροφή.

Σύνοψη: r ≈ 5,11·10⁶ m, f ≈ 1,16·10⁻⁵ Hz, ω ≈ 7,27·10⁻⁵ rad/s, υ ≈ 372 m/s, ακ ≈ 0,027 m/s². Για m = 60 kg: Fκ ≈ 1,6 N, δηλαδή περίπου 0,27% του βάρους (ανεξάρτητα από τη μάζα: Fκ/B = ακ/g).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η μάζα επιλέγεται από τον μαθητή· το ποσοστό Fκ/B ≈ 0,27% δεν εξαρτάται από αυτήν.

6.15 Η περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο

Ερώτηση: Υποθέτουμε ότι η Γη περιφέρεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Η μέση ακτίνα της τροχιάς υπολογίστηκε 1,49.10¹¹m και η τροχιά (όπως ξέρουμε) διανύεται σε 365 μέρες. Να βρεθούν τα μεγέθη της ομαλής κυκλικής κίνησης και να συγκριθούν με τα αντίστοιχα της προηγούμενης άσκησης.

Απάντηση:

Περίοδος \(T = 365\cdot86400 \approx 3{,}15\cdot10^7\) s· συχνότητα \(f = 1/T \approx 3{,}17\cdot10^{-8}\) Hz.
Γωνιακή ταχύτητα \(ω = 2\pi/T \approx 1{,}99\cdot10^{-7}\) rad/s.
Γραμμική ταχύτητα \(υ = ωr \approx 1{,}99\cdot10^{-7}\cdot1{,}49\cdot10^{11} \approx 2{,}97\cdot10^4\) m/s (≈ 30 km/s).
Κεντρομόλος επιτάχυνση \(α_κ = ω^2r \approx 5{,}9\cdot10^{-3}\) m/s².
Σύγκριση με την 6.14: f και ω 365 φορές μικρότερες (μία περιφορά τον χρόνο αντί για μία περιστροφή τη μέρα)· υ περίπου 80 φορές μεγαλύτερη (τεράστια ακτίνα)· \(α_κ\) περίπου 4,6 φορές μικρότερη.

Σύνοψη: T ≈ 3,15·10⁷ s, f ≈ 3,17·10⁻⁸ Hz, ω ≈ 1,99·10⁻⁷ rad/s, υ ≈ 2,97·10⁴ m/s, ακ ≈ 5,9·10⁻³ m/s². Σε σχέση με την περιστροφή (6.14): ω 365 φορές μικρότερη, υ ~80 φορές μεγαλύτερη, ακ ~4,6 φορές μικρότερη.

6.16 Παιδί στον τροχό του λούνα-παρκ

Ερώτηση: Ο μεγάλος κατακόρυφος τροχός του λούνα-παρκ ακτίνας 14m περιφέρεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο του. Η γραμμική ταχύτητα παιδιού με μάζα 40kg είναι 8m/s. Να βρεθούν τα μεγέθη της ομαλής κυκλικής κίνησης (έχουν αναφερθεί στις προηγούμενες ασκήσεις).

Απάντηση:

Δεδομένα: \(r = 14\) m, \(υ = 8\) m/s, \(m = 40\) kg.
Γωνιακή ταχύτητα \(ω = υ/r = 8/14 \approx 0{,}571\) rad/s (6.6).
Περίοδος \(T = 2\pi r/υ = 2\pi\cdot14/8 \approx 11{,}0\) s (6.3)· συχνότητα \(f = 1/T \approx 0{,}091\) Hz.
Κεντρομόλος επιτάχυνση \(α_κ = υ^2/r = 64/14 \approx 4{,}57\) m/s² (6.7)· κεντρομόλος δύναμη \(F_κ = mα_κ \approx 183\) N (6.11).
(Επέκταση, με g = 10 m/s²: στο κατώτατο σημείο \(N - B = F_κ\), άρα \(N \approx 583\) N· στο ανώτατο \(B - N = F_κ\), άρα \(N \approx 217\) N.)

Σύνοψη: ω ≈ 0,571 rad/s, T ≈ 11,0 s, f ≈ 0,091 Hz, ακ ≈ 4,57 m/s², Fκ ≈ 183 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Οι αντιδράσεις στο ανώτατο/κατώτατο σημείο δεν ζητούνται ρητά — δίνονται ως επέκταση.

6.17 Κωνικό εκκρεμές: ω, T, f, ακ, Fκ

Ερώτηση: Η σφαίρα της εικόνας 6.2 (β), με μάζα 1kg, περιφέρεται σε οριζόντιο κύκλο με τη βοήθεια του νήματος μήκους ℓ=20cm, που σχηματίζει 60º με την κατακόρυφο. Να βρεθούν: η γωνιακή ταχύτητα, η περίοδος, η συχνότητα, η κεντρομόλος επιτάχυνση και δύναμη. Επιλέξτε κάποια από τις σχέσεις, που χρησιμοποιήσατε, για να δείξετε ότι: «όσο πιο γρήγορα περιφέρεται η σφαίρα, τόσο πιο ψηλά ανεβαίνει ο κύκλος περιφοράς» (Θυμηθείτε από την Τριγωνομετρία: όσο μεγαλώνει η γωνία, μικραίνει το συνημίτονό της).

Απάντηση:

Δυνάμεις: βάρος B και τάση T· η συνισταμένη τους είναι οριζόντια, προς το κέντρο, και ίση με \(F_κ\) (σελ. 222, 230). Ακτίνα κύκλου \(r = \ell\,\text{ημ}φ = 0{,}2\cdot0{,}866 \approx 0{,}173\) m.
\(\text{εφ}φ = \frac{F_κ}{B} = \frac{mω^2\ell\,\text{ημ}φ}{mg} \Rightarrow ω = \sqrt{\frac{g}{\ell\,\text{συν}φ}} = \sqrt{\frac{10}{0{,}2\cdot0{,}5}} = 10\) rad/s (όπως στο παράδειγμα της σελ. 230, g = 10 m/s²).
\(T = 2\pi/ω \approx 0{,}628\) s, \(f = 1/T \approx 1{,}59\) Hz.
\(α_κ = ω^2 r = 100\cdot0{,}173 \approx 17{,}3\) m/s² (\(= g\,\text{εφ}60^\circ\)), \(F_κ = mα_κ \approx 17{,}3\) N.
Απόδειξη: από \(\text{συν}φ = \frac{g}{ω^2\ell}\): όσο μεγαλώνει η ω, μικραίνει το συνφ, άρα μεγαλώνει η γωνία φ. Ο κύκλος βρίσκεται κατά \(\ell\,\text{συν}φ\) κάτω από το σημείο ανάρτησης· η απόσταση αυτή μικραίνει, δηλαδή ο κύκλος περιφοράς ανεβαίνει.

Σύνοψη: ω = 10 rad/s, T ≈ 0,63 s, f ≈ 1,59 Hz, ακ ≈ 17,3 m/s², Fκ ≈ 17,3 N. Από συνφ = g/(ω²ℓ): μεγαλύτερη ω → μικρότερο συνφ → μεγαλύτερη φ → ο κύκλος ανεβαίνει (βρίσκεται κατά ℓσυνφ κάτω από το σημείο ανάρτησης).

6.18 Σφαίρα και τροχός σε κεκλιμένο: λείο και με τριβή

Ερώτηση: Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου αφήνεται μια σφαίρα (IΚ = 2/5 mR²) και ένας τροχός (IΚ = 1/2 mℓ²). Να συγκριθούν οι ταχύτητές τους, όταν φτάνουν στη βάση της κατηφόρας, αν το επίπεδο: α) είναι λείο, β) παρουσιάζει τριβή.

Απάντηση:

α) Λείο: χωρίς τριβή δεν υπάρχει κύλιση, τα σώματα ολισθαίνουν (σελ. 242). \(mgh = \frac12 mυ^2 \Rightarrow υ_σ = υ_τ = \sqrt{2gh}\) — ίσες.
β) Με τριβή: κύλιση χωρίς ολίσθηση, το έργο της τριβής είναι μηδέν και διατηρείται η μηχανική ενέργεια (σελ. 242-243): \(mgh = \frac12 mυ^2 + \frac12 I_Kω^2\) με \(ω = υ/R\).
Σφαίρα: \(mgh = \frac12 mυ^2\left(1 + \frac25\right) \Rightarrow υ_σ = \sqrt{\frac{10}{7}gh} \approx 1{,}195\sqrt{gh}\).
Τροχός (\(I_K = \frac12 mR^2\)): \(mgh = \frac12 mυ^2\left(1 + \frac12\right) \Rightarrow υ_τ = \sqrt{\frac43 gh} \approx 1{,}155\sqrt{gh}\) (όπως ο κύλινδρος, σελ. 244).
\(\frac{υ_σ}{υ_τ} = \sqrt{\frac{30}{28}} \approx 1{,}035\): η σφαίρα φτάνει λίγο γρηγορότερα, γιατί έχει μικρότερη ροπή αδράνειας (σε σχέση με \(mR^2\)) και δεσμεύει μικρότερο μέρος της ενέργειας σε περιστροφή.

Σύνοψη: α) Λείο: ίσες ταχύτητες, υ = √(2gh). β) Με τριβή: υ_σφαίρας = √(10gh/7) > υ_τροχού = √(4gh/3), με λόγο ≈ 1,035.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το «½ mℓ²» της εκφώνησης για τον τροχό είναι τυπογραφικό· εννοείται ½ mR² (όπως ο κύλινδρος της σελ. 243).

6.19 Τροχός 35 kg από ύψος 15 m: ταχύτητα, ενέργεια, συχνότητα

Ερώτηση: Ο τροχός της προηγούμενης άσκησης έχει μάζα 35kg και ακτίνα 60cm και το ύψος, από το οποίο αφήνεται, είναι 15m. Να βρεθούν: α) η ταχύτητα με την οποία φθάνει στη βάση, β) η κινητική ενέργειά του, γ) η τελική συχνότητα περιστροφής. (g=10m/s²).

Απάντηση:

Δεδομένα: \(m = 35\) kg, \(R = 0{,}6\) m, \(h = 15\) m, \(I_K = \frac12 mR^2\). Θεωρούμε κύλιση (επίπεδο με τριβή, περίπτωση β της 6.18).
α) \(υ = \sqrt{\frac43 gh} = \sqrt{\frac43\cdot10\cdot15} = \sqrt{200} \approx 14{,}1\) m/s.
β) Διατήρηση ενέργειας: \(K_{ολ} = mgh = 35\cdot10\cdot15 = 5250\) J, από τα οποία μεταφορική \(\frac12 mυ^2 = 3500\) J και περιστροφική \(\frac12 I_Kω^2 = 1750\) J (6.25).
γ) \(ω = υ/R \approx 23{,}6\) rad/s και \(f = \frac{ω}{2\pi} = \frac{υ}{2\pi R} \approx \frac{14{,}14}{3{,}77} \approx 3{,}75\) Hz.

Σύνοψη: α) υ = √200 ≈ 14,1 m/s. β) K = 5250 J (3500 J μεταφορική + 1750 J περιστροφική). γ) f ≈ 3,75 Hz.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αν το επίπεδο θεωρηθεί λείο: ο τροχός ολισθαίνει, υ = √300 ≈ 17,3 m/s, K = 5250 J (όλη μεταφορική) και f = 0.

6.20 Ράβδος που αλλάζει άξονα περιστροφής

Ερώτηση: Ράβδος περιστρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο βάρους της (Iκ = 1/12 mℓ²). Χωρίς εξωτερική επέμβαση η ράβδος κάποια στιγμή αλλάζει άξονα περιστροφής και περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της (IΑ = 1/3 mℓ²). Να συγκριθούν α) οι γωνιακές ταχύτητες, β) οι κινητικές ενέργειες για τις δύο περιπτώσεις.

Απάντηση:

«Χωρίς εξωτερική επέμβαση» = μονωμένο σύστημα, διατήρηση στροφορμής (σελ. 239, 243): \(I_Kω_K = I_Aω_A\).
α) \(\frac{ω_A}{ω_K} = \frac{I_K}{I_A} = \frac{1/12}{1/3} = \frac14\): η γωνιακή ταχύτητα γίνεται τέσσερις φορές μικρότερη.
β) \(K = \frac12 Iω^2\) (6.19): \(\frac{K_A}{K_K} = \frac{I_A}{I_K}\left(\frac{ω_A}{ω_K}\right)^2 = 4\cdot\frac{1}{16} = \frac14\). Ισοδύναμα \(K = \frac{L^2}{2I}\) με L σταθερή: η κινητική ενέργεια γίνεται επίσης τέσσερις φορές μικρότερη (το υπόλοιπο 75% χάνεται στη διαδικασία αλλαγής άξονα, π.χ. ως θερμότητα).

Σύνοψη: α) ω_A = ω_K/4. β) K_A = K_K/4 — η στροφορμή διατηρείται, η κινητική ενέργεια όχι.