Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Δύναμη και κίνηση (σελ. 119-124, 138-141, 157-161, 177-181) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Δύναμη και κίνηση (σελ. 119-124, 138-141, 157-161, 177-181) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Δύναμη και κίνηση (σελ. 119-124, 138-141, 157-161, 177-181)

Λύσεις και των 80 ερωτήσεων - προβλημάτων του κεφαλαίου (4.1-4.80): κινηματική ευθύγραμμων κινήσεων (σελ. 119-124), 2ος νόμος του Νεύτωνα και βάρος (σελ. 138-141), ορμή και διατήρησή της (σελ. 157-161), τριβή (σελ. 177-181).

4.1 Συμπλήρωση κενών: ομαλή κίνηση, μονάδες, ρυθμοί μεταβολής

Ερώτηση: 4.1 Να συμπληρωθούν τα κενά: α) Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η τροχιά του κινητού είναι ..................... και η ταχύτητά του παραμένει ..................... β) Στο SI μονάδα μέτρησης της ταχύτητας είναι ..................... και της επιτάχυνσης είναι ..................... γ) Η ταχύτητα εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ..................... ενός κινητού, ενώ η επιτάχυνση εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ..................... ενός κινητού.

Απάντηση:

α) Σελ. 104: «η κίνηση... στην οποία το κινητό διαγράφει ευθύγραμμη τροχιά και η ταχύτητά του παραμένει χρονικά σταθερή ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλή κίνηση».
β) Σελ. 99: «Στο SI μονάδα μέτρησης της ταχύτητας είναι το 1m/s»· σελ. 109: «Μονάδα επιτάχυνσης στο SI είναι το 1m/s²».
γ) Σελ. 99: η ταχύτητα εκφράζει «το ρυθμό μεταβολής της θέσης»· σελ. 109: η επιτάχυνση είναι το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας προς τον χρόνο.

Σύνοψη: α) ευθεία γραμμή — σταθερή (χρονικά αμετάβλητη). β) 1 m/s — 1 m/s². γ) θέσης — ταχύτητας.

4.2 Αριθμός συντεταγμένων για τη θέση διάφορων κινητών

Ερώτηση: 4.2 Να συμπληρωθούν τα κενά: Κινητό — Αριθμός συντεταγμένων που χρειάζονται, για να καθοριστεί η θέση του κινητού. Αεροπλάνο ...... Ακροβάτης που περπατάει σε σχοινί ...... Καράβι σε ήρεμη θάλασσα ...... Καράβι σε φουρτουνιασμένη θάλασσα ...... Πιόνι σκακιού ...... Αυτοκίνητο σε πεδινό δρόμο ...... Αυτοκίνητο σε ορεινό δρόμο ......

Απάντηση:

Σελ. 91-92: σε ευθεία χρειάζεται ένας αριθμός (x), στο επίπεδο δύο (x₁, y₁ — π.χ. το πλοίο), στον χώρο τρεις (x₁, y₁, z₁ — π.χ. το αεροσκάφος).
Αεροπλάνο: κινείται στον χώρο → 3.
Ακροβάτης σε σχοινί: κινείται πάνω σε μια γραμμή (το σχοινί) → 1.
Καράβι σε ήρεμη θάλασσα: κινείται σε επίπεδη επιφάνεια → 2.
Καράβι σε φουρτουνιασμένη θάλασσα: εκτός από τη θέση στο επίπεδο ανεβοκατεβαίνει με τα κύματα → 3.
Πιόνι σκακιού: η θέση του στη σκακιέρα (επίπεδο) καθορίζεται από στήλη και γραμμή → 2.
Αυτοκίνητο σε πεδινό δρόμο: κινείται σε επίπεδη (οριζόντια) επιφάνεια → 2.
Αυτοκίνητο σε ορεινό δρόμο: αλλάζει και το υψόμετρο → 3.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Αεροπλάνο 3· ακροβάτης σε σχοινί 1· καράβι σε ήρεμη θάλασσα 2· καράβι σε φουρτουνιασμένη θάλασσα 3· πιόνι σκακιού 2· αυτοκίνητο σε πεδινό δρόμο 2· αυτοκίνητο σε ορεινό δρόμο 3.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αν θεωρήσουμε ότι το αυτοκίνητο ακολουθεί συγκεκριμένο ευθύ δρόμο, η θέση του πάνω στον δρόμο δίνεται και με 1 αριθμό· η αναμενόμενη απάντηση στηρίζεται στη διάκριση επίπεδο (2) / χώρος (3).

4.3 Διαφορά ταχύτητας και επιτάχυνσης

Ερώτηση: 4.3 Μια από τις διαφορές μεταξύ ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι ότι: α) έχουν πάντα αντίθετη φορά β) το ένα μέγεθος είναι διανυσματικό, ενώ το άλλο μονόμετρο. γ) το ένα μέγεθος εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της θέσης, ενώ το άλλο το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας δ) η επιτάχυνση είναι μεγαλύτερη της ταχύτητας. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Απάντηση:

α) Λάθος: στην επιταχυνόμενη κίνηση η επιτάχυνση είναι ομόρροπη με την ταχύτητα (σελ. 110).
β) Λάθος: και τα δύο είναι διανυσματικά (σελ. 99 και σελ. 109).
γ) Σωστό: ταχύτητα = ρυθμός μεταβολής της θέσης (σελ. 99), επιτάχυνση = Δυ/Δt (σελ. 109).
δ) Λάθος: είναι διαφορετικά μεγέθη με διαφορετικές μονάδες (m/s και m/s²) και δεν συγκρίνονται.

Σύνοψη: Σωστή είναι η γ).

4.4 Απόδειξη τύπων της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης

Ερώτηση: 4.4 Διαλέξτε δύο από τους παρακάτω τύπους και αποδείξτε τους: α) υ=υ0+αt γ) \( \upsilon = \sqrt{\upsilon_0^2 + 2\alpha s} \) β) \( s = \upsilon_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2 \) δ) \( s_{Ολ} = \dfrac{\upsilon_0^2}{2|\alpha|} \)

Απάντηση:

α) Από τον ορισμό της επιτάχυνσης (4.3) \( \alpha = \dfrac{\upsilon_2 - \upsilon_1}{t_2 - t_1} \) με \( t_1 = 0 \), \( \upsilon_1 = \upsilon_0 \), \( t_2 = t \), \( \upsilon_2 = \upsilon \): \( \alpha = \dfrac{\upsilon - \upsilon_0}{t} \Rightarrow \upsilon = \upsilon_0 + \alpha t \) (σελ. 111).
β) Στο διάγραμμα υ-t το διάστημα είναι το εμβαδόν του τραπεζίου με βάσεις \( \upsilon_0 \), \( \upsilon \) και ύψος t: \( s = \dfrac{(\upsilon_0 + \upsilon)t}{2} = \dfrac{(\upsilon_0 + \upsilon_0 + \alpha t)t}{2} = \upsilon_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2 \) (σελ. 113).
γ) Απαλοιφή του χρόνου: από την (α) \( t = \dfrac{\upsilon - \upsilon_0}{\alpha} \). Στην (β): \( s = \upsilon_0\dfrac{\upsilon - \upsilon_0}{\alpha} + \dfrac{1}{2}\alpha\dfrac{(\upsilon - \upsilon_0)^2}{\alpha^2} \Rightarrow 2\alpha s = 2\upsilon_0\upsilon - 2\upsilon_0^2 + \upsilon^2 - 2\upsilon\upsilon_0 + \upsilon_0^2 = \upsilon^2 - \upsilon_0^2 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{\upsilon_0^2 + 2\alpha s} \) (σελ. 114).
δ) Στην επιβραδυνόμενη κίνηση (α < 0) η ταχύτητα μηδενίζεται τη στιγμή \( t_{Ολ} \): \( 0 = \upsilon_0 - |\alpha| t_{Ολ} \Rightarrow t_{Ολ} = \dfrac{\upsilon_0}{|\alpha|} \). Στον νόμο του διαστήματος: \( s_{Ολ} = \upsilon_0\dfrac{\upsilon_0}{|\alpha|} - \dfrac{1}{2}|\alpha|\dfrac{\upsilon_0^2}{\alpha^2} = \dfrac{\upsilon_0^2}{|\alpha|} - \dfrac{\upsilon_0^2}{2|\alpha|} = \dfrac{\upsilon_0^2}{2|\alpha|} \) (σελ. 115).

Σύνοψη: Δίνονται και οι τέσσερις αποδείξεις: α) από τον ορισμό της επιτάχυνσης, β) από το εμβαδόν του τραπεζίου στο υ-t, γ) με απαλοιφή του χρόνου μεταξύ (α) και (β), δ) θέτοντας υ = 0 στην (α) για τον \( t_{Ολ} \) και αντικαθιστώντας στη (β).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η άσκηση ζητά δύο από τις τέσσερις· οποιεσδήποτε δύο από τις παραπάνω αρκούν.

4.5 Κινητά με ταχύτητες υ και −υ

Ερώτηση: 4.5 Δύο κινητά που κινούνται στην ίδια ευθεία έχουν ταχύτητες υ και -υ αντίστοιχα. Τι συμπεραίνετε για την κίνησή τους;

Απάντηση:

Η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά (σελ. 99).
Στις ευθύγραμμες κινήσεις το πρόσημο της αλγεβρικής τιμής δείχνει τη φορά ως προς τον θετικό ημιάξονα (σελ. 91, 96).
Ίδια απόλυτη τιμή υ → ίδιο μέτρο ταχύτητας· αντίθετα πρόσημα → αντίθετη φορά.

Σύνοψη: Τα δύο κινητά κινούνται στην ίδια διεύθυνση (την ευθεία) με ταχύτητες ίσου μέτρου αλλά αντίθετης φοράς: το ένα κατά τη θετική και το άλλο κατά την αρνητική φορά του άξονα (π.χ. πλησιάζουν ή απομακρύνονται μεταξύ τους). Σε ίσους χρόνους διανύουν ίσα διαστήματα.

4.6 Σωστό-Λάθος για την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Ερώτηση: 4.6 Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: α) η επιτάχυνση είναι μηδέν β) η ταχύτητα είναι σταθερή γ) ο ρυθμός μεταβολής της θέσης είναι σταθερός δ) ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι μηδέν. Χαρακτηρίστε με Σ τις σωστές προτάσεις και με Λ τις λανθασμένες.

Απάντηση:

Σελ. 104: στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση «η ταχύτητά του παραμένει χρονικά σταθερή» → β) Σ.
Σταθερή ταχύτητα σημαίνει Δυ = 0, άρα α = Δυ/Δt = 0 (σελ. 109) → α) Σ και δ) Σ (ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση).
Η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης (σελ. 99)· αφού είναι σταθερή → γ) Σ.

Σύνοψη: α) Σ, β) Σ, γ) Σ, δ) Σ — όλες σωστές.

4.7 Σωστό-Λάθος για την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση

Ερώτηση: 4.7 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση: α) η επιτάχυνση αυξάνεται β) η ταχύτητα αυξάνεται γ) ο ρυθμός μεταβολής της θέσης είναι σταθερός δ) ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι σταθερός. Χαρακτηρίστε με Σ τις σωστές προτάσεις και με Λ τις λανθασμένες.

Απάντηση:

Σελ. 109: «στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η επιτάχυνση είναι σταθερή» → α) Λ, δ) Σ.
Σελ. 110: στην επιταχυνόμενη κίνηση «η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται» → β) Σ.
Ο ρυθμός μεταβολής της θέσης είναι η ταχύτητα, που αυξάνεται → γ) Λ.

Σύνοψη: α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ.

4.8 Επιλογή διαγράμματος για κάθε είδος κίνησης

Ερώτηση: 4.8 Επιλέξτε το σωστό διάγραμμα για καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις ευθύγραμμης κίνησης: α) ακινησία β) ευθύγραμμη ομαλή κίνηση γ) ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση δ) ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. [Σχήμα: τέσσερα διαγράμματα με κενή παρένθεση ( ) το καθένα — 1) υ-t: ευθεία που κατεβαίνει από θετική τιμή ως τον άξονα t· 2) υ-t: οριζόντια ευθεία πάνω από τον άξονα t· 3) s-t: οριζόντια ευθεία πάνω από τον άξονα t· 4) s-t: ευθεία που ξεκινά από την αρχή των αξόνων και ανεβαίνει.]

Απάντηση:

Ακινησία: η θέση δεν αλλάζει (σελ. 93) → s σταθερό → οριζόντια γραμμή στο s-t (διάγραμμα 3).
Ευθύγραμμη ομαλή: η υ = f(t) είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα t (σελ. 104, εικ. 4.25) → διάγραμμα 2· επίσης η s = f(t) είναι ευθεία από την αρχή (σελ. 105, εικ. 4.26) → και το διάγραμμα 4.
Ομαλά επιβραδυνόμενη: υ = υ₀ + αt με α < 0, ευθεία με αρνητική κλίση στο υ-t (σελ. 111-112, εικ. 4.32) → διάγραμμα 1.
Ομαλά επιταχυνόμενη: θα χρειαζόταν υ-t ευθεία με θετική κλίση ή s-t παραβολή (σελ. 112-114) — κανένα από τα τέσσερα σχήματα δεν έχει αυτή τη μορφή.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) ακινησία → s-t οριζόντια (3)· β) ομαλή → υ-t οριζόντια (2) — αλλά και s-t ευθεία από την αρχή (4)· δ) ομαλά επιβραδυνόμενη → υ-t φθίνουσα ευθεία (1)· γ) ομαλά επιταχυνόμενη → κανένα από τα σχήματα του βιβλίου (θα ήταν υ-t ανερχόμενη ευθεία ή s-t παραβολή).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Τα σχήματα του βιβλίου δεν περιέχουν διάγραμμα επιταχυνόμενης κίνησης· δύο από αυτά (2 και 4) αντιστοιχούν στην ευθύγραμμη ομαλή. Αν ο μαθητής αντιστοιχίσει υποχρεωτικά ένα σχήμα σε κάθε περίπτωση, το 4 πρέπει να δοθεί στην ομαλή, όχι στην επιταχυνόμενη (το s-t της επιταχυνόμενης είναι καμπύλη).

4.9 Ταχύτητα αυτοκινήτου μετά από 1 min

Ερώτηση: 4.9 Ένα αυτοκίνητο που αρχικά ηρεμεί ξεκινάει με σταθερή επιτάχυνση α = 0,5m/s² κινούμενο ευθύγραμμα. Ύστερα από χρόνο t=1 min η ταχύτητά του θα είναι: α) 0,5 m/s β) 30m/s² γ) 108 km/h δ) 3 m/s ε) 30m ζ) 108. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Απάντηση:

Δεδομένα: \( \upsilon_0 = 0 \), \( \alpha = 0{,}5\ \text{m/s}^2 \), \( t = 1\ \text{min} = 60\ \text{s} \). Ζητούμενο: υ.
Νόμος της ταχύτητας (4.4) (σελ. 111): \( \upsilon = \upsilon_0 + \alpha t = 0 + 0{,}5\ \text{m/s}^2\cdot 60\ \text{s} = 30\ \text{m/s} \).
Μετατροπή με \( 1\ \text{m/s} = 3{,}6\ \text{km/h} \) (σελ. 99): \( 30\ \text{m/s} = 30\cdot 3{,}6 = 108\ \text{km/h} \).
Οι β) και ε) έχουν λάθος μονάδες (επιτάχυνσης, μήκους), η ζ) δεν έχει μονάδα, οι α) και δ) είναι λάθος τιμές.

Σύνοψη: υ = 30 m/s = 108 km/h → σωστή η γ).

4.10 Επιτάχυνση από μεταβολή 60 m/min σε 1 s

Ερώτηση: 4.10 Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα μεταβάλλεται κατά 60m/min σε 1s. Η επιτάχυνσή του θα είναι: α) 60m/s² β) 10m/s² γ) 1m/s² δ) 6m/s² Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Απάντηση:

Μετατροπή σε SI: \( \Delta\upsilon = 60\ \text{m/min} = \dfrac{60\ \text{m}}{60\ \text{s}} = 1\ \text{m/s} \), \( \Delta t = 1\ \text{s} \).
Ορισμός επιτάχυνσης (4.3) (σελ. 109): \( \alpha = \dfrac{\Delta\upsilon}{\Delta t} = \dfrac{1\ \text{m/s}}{1\ \text{s}} = 1\ \text{m/s}^2 \).

Σύνοψη: α = 1 m/s² → σωστή η γ).

4.11 Επιτάχυνση οχήματος που διπλασιάζει την ταχύτητα σε 50 m

Ερώτηση: 4.11 Όχημα κινούμενο ευθύγραμμα με ταχύτητα υ=10 m/s αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση α, και, αφού διανύσει διάστημα s=50m, η ταχύτητά του διπλασιάζεται. Ζητούνται τα εξής: α) η επιτάχυνση του κινητού β) τα διαγράμματα (υ-t), (s-t), (α-t).

Απάντηση:

Δεδομένα: \( \upsilon_0 = 10\ \text{m/s} \), \( \upsilon = 2\upsilon_0 = 20\ \text{m/s} \), \( s = 50\ \text{m} \). Ζητούμενα: α, διαγράμματα.
α) Τύπος χωρίς χρόνο (4.6) (σελ. 114): \( \upsilon^2 = \upsilon_0^2 + 2\alpha s \Rightarrow \alpha = \dfrac{\upsilon^2 - \upsilon_0^2}{2s} = \dfrac{400 - 100}{2\cdot 50}\ \text{m/s}^2 = 3\ \text{m/s}^2 \).
Χρόνος κίνησης από (4.4): \( t = \dfrac{\upsilon - \upsilon_0}{\alpha} = \dfrac{20 - 10}{3}\ \text{s} = \dfrac{10}{3}\ \text{s} \approx 3{,}33\ \text{s} \). Έλεγχος με (4.5): \( s = 10\cdot\tfrac{10}{3} + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot\tfrac{100}{9} = 33{,}3 + 16{,}7 = 50\ \text{m} \) ✓.
β) (υ-t): ευθεία \( \upsilon = 10 + 3t \) από 10 m/s (t = 0) ως 20 m/s (t ≈ 3,33 s), με κλίση 3 m/s² (σελ. 112).
(s-t): τμήμα παραβολής \( s = 10t + 1{,}5t^2 \) από την αρχή ως τα 50 m στα 3,33 s, με τα κοίλα προς τα πάνω (σελ. 113-114).
(α-t): οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα στα 3 m/s² από 0 ως 3,33 s (σελ. 111).

Σύνοψη: α) α = 3 m/s² (η κίνηση διαρκεί 10/3 ≈ 3,33 s). β) υ-t: ευθεία από 10 σε 20 m/s· s-t: παραβολή s = 10t + 1,5t² ως τα 50 m· α-t: οριζόντια γραμμή στα 3 m/s².

4.12 Πίνακας μετρήσεων υ-t: αρχική ταχύτητα, επιτάχυνση, διάστημα

Ερώτηση: 4.12 Με βάση τον πίνακα μετρήσεων α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου. β) Η αρχική ταχύτητα είναι .............. m/s. γ) Η κίνηση είναι επιταχυνόμενη, διότι .............. δ) Η επιτάχυνση της κίνησης είναι .............. m/s². ε) Το διάστημα για τα πρώτα 4s είναι .............. m. Πίνακας μετρήσεων: t(s) 0, 1, 2, 4, 8, 10 — υ(m/s) 0, 2, 4, 8, 16, 20.

Απάντηση:

α) Τα σημεία (0,0), (1,2), (2,4), (4,8), (8,16), (10,20) βρίσκονται σε ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων με κλίση 2 (σελ. 111-112).
β) Για t = 0 ο πίνακας δίνει υ = 0 → αρχική ταχύτητα 0 m/s.
γ) Η ταχύτητα αυξάνεται, και μάλιστα κατά το ίδιο ποσό (2 m/s) σε κάθε 1 s (σελ. 109-110).
δ) \( \alpha = \dfrac{\Delta\upsilon}{\Delta t} = \dfrac{20 - 0}{10 - 0} = 2\ \text{m/s}^2 \) (ίδιο για οποιοδήποτε ζεύγος σημείων).
ε) \( s = \tfrac{1}{2}\alpha t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4^2 = 16\ \text{m} \)· ή ως εμβαδόν τριγώνου στο υ-t: \( \tfrac{1}{2}\cdot 4\ \text{s}\cdot 8\ \text{m/s} = 16\ \text{m} \) (σελ. 112-113).

Σύνοψη: α) Ευθεία από την αρχή με κλίση 2 m/s². β) 0 m/s. γ) η ταχύτητα αυξάνεται (κατά 2 m/s κάθε δευτερόλεπτο). δ) 2 m/s². ε) 16 m.

4.13 Χαρακτηρισμός κινήσεων από διαγράμματα υ-t και s-t

Ερώτηση: 4.13 Χαρακτηρίστε καθεμιά από τις ευθύγραμμες κινήσεις που παριστάνονται στα δύο διαγράμματα, συμπληρώνοντας το αντίστοιχο κενό: [Σχήμα: δύο διαγράμματα ίδιας μορφής, ένα υ-t και ένα s-t· σε καθένα η γραμμή ξεκινά από την αρχή, ανεβαίνει ευθύγραμμα, μένει οριζόντια και μετά κατεβαίνει ευθύγραμμα ως τον άξονα t· κάτω από κάθε τμήμα υπάρχει κενό ..........]

Απάντηση:

Διάγραμμα υ-t (σελ. 104, 111-112): ανερχόμενη ευθεία → η ταχύτητα αυξάνεται με σταθερό ρυθμό → ομαλά επιταχυνόμενη· οριζόντια → σταθερή ταχύτητα → ευθύγραμμη ομαλή· κατερχόμενη ευθεία ως το 0 → ομαλά επιβραδυνόμενη (ως την ακινητοποίηση).
Διάγραμμα s-t (σελ. 105, 93): ανερχόμενη ευθεία → η θέση αλλάζει με σταθερό ρυθμό → ευθύγραμμη ομαλή· οριζόντια → η θέση δεν αλλάζει → ακινησία (ηρεμία)· κατερχόμενη ευθεία → πάλι ευθύγραμμη ομαλή, αλλά με αντίθετη φορά (το κινητό επιστρέφει στην αρχική θέση).

Σύνοψη: (ενδεικτική) υ-t: ομαλά επιταχυνόμενη — ευθύγραμμη ομαλή — ομαλά επιβραδυνόμενη. s-t: ευθύγραμμη ομαλή — ακινησία (ηρεμία) — ευθύγραμμη ομαλή με αντίθετη φορά (επιστροφή στην αρχική θέση).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στο s-t ο κατακόρυφος άξονας δείχνει θέση· η κατερχόμενη ευθεία σημαίνει σταθερή ταχύτητα με αρνητική αλγεβρική τιμή, όχι επιβράδυνση.

4.14 Χρόνος δρομέα των 200 m

Ερώτηση: 4.14 Δρομέας των 200m αναπτύσσει μέγιστη ταχύτητα 10m/s με επιτάχυνση 5m/s². Ποιος είναι ο χρόνος που έκανε;

Απάντηση:

Όπως στο παράδειγμα 2 της σελ. 117, η κίνηση έχει δύο φάσεις: ομαλά επιταχυνόμενη από την ηρεμία ως τη μέγιστη ταχύτητα και μετά ομαλή.
Φάση 1: \( t_1 = \dfrac{\upsilon}{\alpha} = \dfrac{10}{5} = 2\ \text{s} \), \( s_1 = \tfrac{1}{2}\alpha t_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 4 = 10\ \text{m} \).
Φάση 2: απομένουν \( s_2 = 200 - 10 = 190\ \text{m} \) με \( \upsilon = 10\ \text{m/s} \): \( t_2 = \dfrac{s_2}{\upsilon} = 19\ \text{s} \).
Συνολικά: \( t = t_1 + t_2 = 2 + 19 = 21\ \text{s} \). (Έλεγχος με εμβαδόν τραπεζίου: \( \dfrac{[t + (t - 2)]\cdot 10}{2} = 200 \Rightarrow t = 21\ \text{s} \).)

Σύνοψη: Ο δρομέας έκανε 21 s (2 s επιτάχυνση για 10 m και 19 s με σταθερή ταχύτητα 10 m/s για 190 m).

4.15 Από διάγραμμα υ-t στα διαγράμματα s-t και α-t

Ερώτηση: 4.15 Από το παρακάτω διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου μιας ευθύγραμμης κίνησης να γίνουν τα διαγράμματα α) διαστήματος- χρόνου (s-t) και β) επιτάχυνσης- χρόνου (α-t). [Σχήμα: υ(m/s)-t(s)· από υ = 15 m/s στο t = 0 ευθεία πτώση ως 5 m/s στο t = 2 s, οριζόντια στα 5 m/s ως t = 6 s, ευθεία άνοδος ως 10 m/s στο t = 12 s.]

Απάντηση:

0-2 s: ομαλά επιβραδυνόμενη· \( \alpha_1 = \dfrac{5 - 15}{2 - 0} = -5\ \text{m/s}^2 \)· \( s_1 = \dfrac{(15 + 5)\cdot 2}{2} = 20\ \text{m} \) (εμβαδόν τραπεζίου, σελ. 112-113).
2-6 s: ευθύγραμμη ομαλή· \( \alpha_2 = 0 \)· \( s_2 = 5\cdot 4 = 20\ \text{m} \) (ως t = 6 s συνολικά 40 m).
6-12 s: ομαλά επιταχυνόμενη· \( \alpha_3 = \dfrac{10 - 5}{12 - 6} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83\ \text{m/s}^2 \)· \( s_3 = \dfrac{(5 + 10)\cdot 6}{2} = 45\ \text{m} \) (ως t = 12 s συνολικά 85 m).
α) s-t: 0-2 s καμπύλη (παραβολή με τα κοίλα προς τα κάτω) από 0 ως 20 m· 2-6 s ευθεία από 20 ως 40 m (κλίση 5 m/s)· 6-12 s καμπύλη με τα κοίλα προς τα πάνω από 40 ως 85 m.
β) α-t: οριζόντιο τμήμα στα −5 m/s² (0-2 s), στο 0 (2-6 s), στα +0,83 m/s² (6-12 s).

Σύνοψη: α) s-t: 0 → 20 m (0-2 s, παραβολή), 20 → 40 m (2-6 s, ευθεία), 40 → 85 m (6-12 s, παραβολή)· συνολικό διάστημα 85 m. β) α-t: −5 m/s² (0-2 s), 0 (2-6 s), 5/6 ≈ 0,83 m/s² (6-12 s).

4.16 Συνάντηση δύο οχημάτων που επιταχύνονται αντίθετα

Ερώτηση: 4.16 Δυο οχήματα αρχίζουν να κινούνται ταυτόχρονα πάνω στην ίδια ευθεία με επιταχύνσεις που έχουν μέτρα α1=5m/s² και α2=4m/s² αντίστοιχα. Αν αρχικά η απόστασή τους ήταν d=72m και η κίνησή τους είναι αντίρροπη, α) να βρεθεί πού και πότε θα συναντηθούν τα οχήματα β) να γίνουν τα διαγράμματα (υ-t), (s-t) και (α-t). [Σχήμα: αυτοκίνητο αριστερά με α₁ προς τα δεξιά, φορτηγό δεξιά με α₂ προς τα αριστερά, απόσταση d ανάμεσά τους.]

Απάντηση:

Δεδομένα: \( \upsilon_{01} = \upsilon_{02} = 0 \) (αρχίζουν να κινούνται), \( \alpha_1 = 5\ \text{m/s}^2 \), \( \alpha_2 = 4\ \text{m/s}^2 \), κινούνται το ένα προς το άλλο, d = 72 m.
Μέχρι τη συνάντηση τα διαστήματα αθροίζονται στο d: \( s_1 + s_2 = d \Rightarrow \tfrac{1}{2}\alpha_1 t^2 + \tfrac{1}{2}\alpha_2 t^2 = d \Rightarrow \tfrac{1}{2}(5 + 4)t^2 = 72 \Rightarrow t^2 = 16 \Rightarrow t = 4\ \text{s} \).
Θέση: \( s_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 16 = 40\ \text{m} \) από την αρχική θέση του αυτοκινήτου, \( s_2 = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 16 = 32\ \text{m} \) από την αρχική θέση του φορτηγού (40 + 32 = 72 ✓).
Ταχύτητες τη στιγμή της συνάντησης: \( \upsilon_1 = 5\cdot 4 = 20\ \text{m/s} \), \( \upsilon_2 = 4\cdot 4 = 16\ \text{m/s} \) (αντίθετης φοράς).
β) Με αρχή τη θέση του αυτοκινήτου και θετική φορά προς το φορτηγό: (υ-t) \( \upsilon_1 = 5t \) ευθεία ως 20 m/s, \( \upsilon_2 = -4t \) ευθεία ως −16 m/s· (s-t) \( x_1 = 2{,}5t^2 \) από 0 ως 40 m, \( x_2 = 72 - 2t^2 \) από 72 ως 40 m — οι παραβολές τέμνονται στο (4 s, 40 m)· (α-t) οριζόντιες γραμμές στο +5 και στο −4 m/s².

Σύνοψη: α) Συναντώνται ύστερα από t = 4 s, σε απόσταση 40 m από την αρχική θέση του πρώτου οχήματος (32 m από την αρχική θέση του δεύτερου). β) υ-t: ευθείες υ₁ = 5t και υ₂ = −4t· s-t: παραβολές x₁ = 2,5t² και x₂ = 72 − 2t² που τέμνονται στο (4 s, 40 m)· α-t: οριζόντιες γραμμές +5 και −4 m/s².

Κριτήρια αξιολόγησης:

Θεωρείται ότι και τα δύο οχήματα ξεκινούν από την ηρεμία («αρχίζουν να κινούνται»).

4.17 Αντιστοίχιση ευθειών υ-t και s-t με κινητά

Ερώτηση: 4.17 Αντιστοιχίστε καθεμιά από τις 4 ευθείες με τις παρακάτω περιπτώσεις κινητών, συμπληρώνοντας τα κατάλληλα κενά στα διαγράμματα που ακολουθούν: α) ποδήλατο υ = 25km/h β) αυτοκίνητο α = 3m/s² γ) μοτοσικλέτα υ = 110km/h δ) αεροπλάνο α = 20m/s² [Σχήμα: ένα διάγραμμα υ-t και ένα s-t· στο καθένα δύο ευθείες από την αρχή των αξόνων, μία απότομη και μία με μικρή κλίση, με κενό ........ στο άκρο κάθε ευθείας.]

Απάντηση:

Τα κινητά με δεδομένη σταθερή ταχύτητα (ποδήλατο, μοτοσικλέτα) κάνουν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: η s = f(t) είναι ευθεία από την αρχή με κλίση ίση με την ταχύτητα (σελ. 105) → ανήκουν στο διάγραμμα s-t.
Τα κινητά με δεδομένη σταθερή επιτάχυνση (αυτοκίνητο, αεροπλάνο) ξεκινώντας από την ηρεμία έχουν υ = αt, ευθεία από την αρχή με κλίση ίση με την επιτάχυνση (σελ. 111-112) → ανήκουν στο διάγραμμα υ-t.
Μεγαλύτερη κλίση = μεγαλύτερη ταχύτητα (s-t) ή επιτάχυνση (υ-t).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Διάγραμμα υ-t: απότομη ευθεία → δ) αεροπλάνο (α = 20 m/s²), ευθεία μικρής κλίσης → β) αυτοκίνητο (α = 3 m/s²). Διάγραμμα s-t: απότομη ευθεία → γ) μοτοσικλέτα (110 km/h), ευθεία μικρής κλίσης → α) ποδήλατο (25 km/h).

4.18 Ανάλυση διαγράμματος s-t κινητού που αρχικά ηρεμεί

Ερώτηση: 4.18 Στο παρακάτω διάγραμμα απεικονίζεται η μεταβολή του διαστήματος s με το χρόνο t ενός κινητού που αρχικά ηρεμεί, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση. Ζητούνται: α) να αναγνωριστεί το είδος κάθε επιμέρους κίνησης, β) να βρεθεί η μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα του κινητού, γ) να υπολογιστεί το συνολικό διάστημα και η μετατόπιση του κινητού, δ) να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας- χρόνου (υ-t) και επιτάχυνσης - χρόνου (α-t). [Σχήμα: s(m)-t(s)· 0-2 s καμπύλη από 0 ως 8 m (κοίλα πάνω), 2-4 s ευθεία από 8 ως 20 m, 4-6 s καμπύλη από 20 ως 25 m (κοίλα κάτω), 6-8 s οριζόντια στα 25 m, 8-10 s ευθεία από 25 m ως 0.]

Απάντηση:

α) 0-2 s: καμπύλη με τα κοίλα πάνω, από την ηρεμία → ομαλά επιταχυνόμενη (σελ. 113-114). 2-4 s: ευθεία → ευθύγραμμη ομαλή, \( \upsilon = \dfrac{20 - 8}{2} = 6\ \text{m/s} \). 4-6 s: καμπύλη με τα κοίλα κάτω που καταλήγει οριζόντια → ομαλά επιβραδυνόμενη ως την ακινητοποίηση. 6-8 s: οριζόντια → ακινησία. 8-10 s: κατερχόμενη ευθεία → ευθύγραμμη ομαλή προς την αντίθετη φορά (επιστροφή στην αρχική θέση).
β) Στο 8-10 s: \( \upsilon = \dfrac{0 - 25}{10 - 8} = -12{,}5\ \text{m/s} \), μέτρο 12,5 m/s — μεγαλύτερο από τα 6 m/s της φάσης 2-4 s και από κάθε τιμή των επιταχυνόμενων φάσεων.
γ) Διάστημα: 25 m προς τα εμπρός (0-6 s) + 25 m επιστροφή (8-10 s) = 50 m. Μετατόπιση: τελική θέση 0 = αρχική θέση → μετατόπιση μηδέν (σελ. 94-96).
δ) (υ-t): 0-2 s ευθεία από 0 ως περίπου 6 m/s· 2-4 s οριζόντια στα 6 m/s· 4-6 s ευθεία από 6 m/s ως 0· 6-8 s μηδέν· 8-10 s οριζόντια στα −12,5 m/s. (α-t): 0-2 s θετική σταθερή (≈ 3 m/s²)· 2-4 s μηδέν· 4-6 s αρνητική σταθερή (≈ −3 m/s²)· 6-10 s μηδέν (στο 8-10 s η κίνηση είναι ομαλή).

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) επιταχυνόμενη (0-2 s), ομαλή με 6 m/s (2-4 s), επιβραδυνόμενη (4-6 s), ακινησία (6-8 s), ομαλή με αντίθετη φορά (8-10 s). β) υ_max = 12,5 m/s (στο 8-10 s). γ) συνολικό διάστημα 50 m, μετατόπιση 0. δ) υ-t: 0→6 m/s, 6 m/s, 6→0, 0, −12,5 m/s· α-t: ≈ +3, 0, ≈ −3, 0, 0 m/s².

Κριτήρια αξιολόγησης:

Οι τιμές του σχήματος δεν είναι αυστηρά συμβατές: η καμπύλη 0-2 s φτάνει στα 8 m, που για ομαλά επιταχυνόμενη από ηρεμία θα έδινε α = 4 m/s² και υ(2 s) = 8 m/s, ενώ η κλίση 2-4 s δίνει 6 m/s· ομοίως η επιβράδυνση από 6 m/s σε 2 s θα έδινε 6 m και όχι 5 m. Οι επιταχύνσεις ±3 m/s² προκύπτουν από τη συνέχεια της ταχύτητας (0 → 6 → 0 σε 2 s)· τα ζητούμενα β) και γ) δεν επηρεάζονται.

4.19 Διάγραμμα υ-t: Σωστό-Λάθος, επιλογή, συμπλήρωση

Ερώτηση: 4.19 Στο διάγραμμα απεικονίζεται η μεταβολή της ταχύτητας με το χρόνο ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα. Ζητούνται τα εξής: Ι) Χαρακτηρίστε με Σ τις σωστές προτάσεις και με Λ τις λανθασμένες: ● η ταχύτητα για t = 0s είναι υ = 0m/s ● το συνολικό διάστημα είναι 92m ● η κίνηση στη διάρκεια των 4 πρώτων δευτερολέπτων είναι ομαλή ● η επιταχυνόμενη κίνηση έχει επιτάχυνση 2 m/s². ΙΙ) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση Κατά τη χρονική στιγμή t=14s η ταχύτητα είναι: α) 4m/s β) 5m/s γ) 6m/s δ) 2m/s ΙΙΙ) Να συμπληρώσετε τα κενά: ● Τη χρονική στιγμή t = 18s το κινητό ............................ ● Τη χρονική στιγμή t = 10s το κινητό αποκτά τη .............. ταχύτητα ● Τη χρονική στιγμή t = 12s το κινητό εκτελεί κίνηση .............. ● Το κινητό εκτελεί διαδοχικά τις εξής κινήσεις: αρχικά .............. κίνηση, έπειτα .............. κίνηση και τέλος ..............κίνηση. [Σχήμα: υ(m/s)-t(s)· οριζόντια στα 4 m/s από 0 ως 6 s, ευθεία άνοδος ως 10 m/s στο t = 10 s, ευθεία πτώση ως 0 στο t = 18 s.]

Απάντηση:

Φάσεις: 0-6 s ομαλή με 4 m/s· 6-10 s ομαλά επιταχυνόμενη με \( \alpha = \dfrac{10 - 4}{10 - 6} = 1{,}5\ \text{m/s}^2 \)· 10-18 s ομαλά επιβραδυνόμενη με \( \alpha = \dfrac{0 - 10}{18 - 10} = -1{,}25\ \text{m/s}^2 \) (σελ. 109-112).
Ι) υ(0) = 4 m/s → Λ. Διάστημα (εμβαδά, σελ. 112-113): \( 4\cdot 6 + \dfrac{(4 + 10)\cdot 4}{2} + \dfrac{10\cdot 8}{2} = 24 + 28 + 40 = 92\ \text{m} \) → Σ. Στα 4 πρώτα s η ταχύτητα είναι σταθερή 4 m/s → ομαλή → Σ. Η επιταχυνόμενη έχει 1,5 m/s², όχι 2 → Λ.
ΙΙ) Στο t = 14 s (4 s μετά την αρχή της επιβράδυνσης): \( \upsilon = 10 - 1{,}25\cdot 4 = 5\ \text{m/s} \) → β).
ΙΙΙ) t = 18 s: υ = 0 → το κινητό σταματά (ακινητοποιείται). t = 10 s: αποκτά τη μέγιστη ταχύτητα (10 m/s). t = 12 s: ανήκει στο 10-18 s → ομαλά επιβραδυνόμενη. Διαδοχικά: ευθύγραμμη ομαλή, ομαλά επιταχυνόμενη, ομαλά επιβραδυνόμενη.

Σύνοψη: Ι) Λ, Σ, Σ, Λ (η επιτάχυνση είναι 1,5 m/s²). ΙΙ) β) 5 m/s. ΙΙΙ) στα 18 s σταματά (ακινητοποιείται)· στα 10 s αποκτά τη μέγιστη ταχύτητα· στα 12 s εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση· διαδοχικά: ευθύγραμμη ομαλή, ομαλά επιταχυνόμενη, ομαλά επιβραδυνόμενη.

4.20 Περιπολικό καταδιώκει λεωφορείο

Ερώτηση: 4.20 Περιπολικό της τροχαίας καταδιώκει λεωφορείο που πέρασε με κόκκινο. Το λεωφορείο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ = 1m/s, ενώ το περιπολικό, όταν αρχίζει να κινείται, έχει σταθερή επιτάχυνση α=1m/s² και απέχει από το λεωφορείο απόσταση d=8m. Ζητούνται τα εξής: α) Σε πόσο χρόνο το περιπολικό θα προλάβει το λεωφορείο; β) Σε τι απόσταση από το φανάρι θα συμβεί αυτό; γ) Να παρασταθούν γραφικά οι ταχύτητες τον δυο κινητών με το χρόνο σε κοινό σύστημα αξόνων (υ-t). δ) Να παρασταθούν γραφικά τα διαστήματα των δύο κινητών με το χρόνο σε κοινό σύστημα αξόνων (s-t) και να σημειωθεί το σημείο συνάντησής τους Σ. ε) Υπάρχει κι άλλο σημείο συνάντησης στο διάγραμμα (s-t);

Απάντηση:

Θεωρούμε ότι το περιπολικό ξεκινά από την ηρεμία στο φανάρι (αρχή, x = 0) και το λεωφορείο βρίσκεται τότε 8 m μπροστά. Θέσεις: περιπολικό \( x_Π = \tfrac{1}{2}\alpha t^2 = 0{,}5t^2 \), λεωφορείο \( x_Λ = d + \upsilon t = 8 + t \) (σελ. 105, 113).
α) Συνάντηση: \( 0{,}5t^2 = 8 + t \Rightarrow t^2 - 2t - 16 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 64}}{2} = 1 \pm \sqrt{17} \). Δεκτή η θετική ρίζα: \( t = 1 + \sqrt{17} \approx 5{,}12\ \text{s} \) (όπως στο παράδειγμα 3, σελ. 119, απορρίπτεται η αρνητική λύση).
β) \( x = 8 + t = 8 + 5{,}12 \approx 13{,}1\ \text{m} \) από το φανάρι (έλεγχος: \( 0{,}5\cdot 5{,}12^2 \approx 13{,}1\ \text{m} \)).
γ) (υ-t): λεωφορείο οριζόντια γραμμή στο 1 m/s· περιπολικό ευθεία \( \upsilon = t \) από την αρχή. Τέμνονται στο t = 1 s (ίσες ταχύτητες — τότε η απόσταση είναι μέγιστη, 8,5 m)· στα 5,12 s το περιπολικό έχει 5,12 m/s.
δ) (s-t): λεωφορείο ευθεία \( x = 8 + t \) που ξεκινά από τα 8 m· περιπολικό παραβολή \( x = 0{,}5t^2 \) από την αρχή. Σημείο συνάντησης Σ: (5,12 s, 13,1 m).
ε) Η εξίσωση δίνει και τη ρίζα \( t = 1 - \sqrt{17} \approx -3{,}12\ \text{s} \), που είναι αρνητικός χρόνος (πριν αρχίσει η καταδίωξη) και απορρίπτεται. Για t ≥ 0 η παραβολή τέμνει την ευθεία μόνο μία φορά, και μετά το Σ το περιπολικό προηγείται συνεχώς.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) t = 1 + √17 ≈ 5,12 s. β) περίπου 13,1 m από το φανάρι. γ) υ-t: οριζόντια γραμμή 1 m/s (λεωφορείο) και ευθεία υ = t (περιπολικό). δ) s-t: ευθεία x = 8 + t και παραβολή x = 0,5t² με σημείο τομής Σ (5,12 s, 13,1 m). ε) Όχι· η δεύτερη λύση (t ≈ −3,12 s) είναι αρνητική και απορρίπτεται.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η εκφώνηση δεν λέει ρητά πού βρίσκεται το περιπολικό· θεωρείται ότι ξεκινά από το φανάρι, ενώ το λεωφορείο είναι ήδη 8 m μπροστά.

4.21 Διατύπωση του 2ου νόμου του Νεύτωνα

Ερώτηση: 4.21 Διατυπώστε το 2ο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση των σωμάτων.

Απάντηση:

Σελ. 125: «Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την επιτάχυνση με την οποία κινείται αυτό», δηλαδή ΣF = mα — Θεμελιώδης Νόμος της Δυναμικής (4.9).
Σελ. 125: η ΣF και η α είναι διανύσματα ομόρροπα, διότι η μάζα είναι πάντα θετικός αριθμός.
Σελ. 124-125: η επιτάχυνση είναι ανάλογη της δύναμης και αντιστρόφως ανάλογη της μάζας (πειράματα με τα βαγονάκια).

Σύνοψη: Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του επί την επιτάχυνση με την οποία κινείται: \( \Sigma\vec{F} = m\vec{\alpha} \). Η επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης και μέτρο ανάλογο της δύναμης και αντιστρόφως ανάλογο της μάζας.

4.22 Σώμα με σταθερή ταχύτητα: τι ισχύει για τις δυνάμεις

Ερώτηση: 4.22 Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα. Τι συμπεραίνετε για τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα;

Απάντηση:

Σελ. 102: 1ος νόμος — αν ΣF = 0, τότε Δυ = 0 (υ = 0 ή υ = σταθερή).
Σελ. 104: «Αναγκαία προϋπόθεση για να εκτελεί ένα σώμα ευθύγραμμη ομαλή κίνηση... είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα να ισούται με μηδέν».

Σύνοψη: Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι μηδέν: ή δεν ασκούνται δυνάμεις ή οι δυνάμεις που ασκούνται αλληλοεξουδετερώνονται (ΣF = 0).

4.23 Δύο αντίθετες δυνάμεις σε σώμα που κινείται ομαλά

Ερώτηση: 4.23 Το σώμα της εικόνας κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Αν F1 = 5N, να βρεθεί η F2. [Σχήμα: σώμα σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ προς τα δεξιά· η F₁ ασκείται προς τα δεξιά και η F₂ προς τα αριστερά, στην ίδια ευθεία.]

Απάντηση:

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση → \( \Sigma F = 0 \) (σελ. 104).
Στον οριζόντιο άξονα (θετική φορά προς τα δεξιά): \( F_1 - F_2 = 0 \Rightarrow F_2 = F_1 = 5\ \text{N} \). Κατακόρυφα το βάρος εξουδετερώνεται από την αντίδραση του επιπέδου.

Σύνοψη: F₂ = 5 N, αντίθετης φοράς από την F₁.

4.24 Δυνάμεις σε σώμα που κινείται ομαλά με F = 10 N και Β = 20 Ν

Ερώτηση: 4.24 Το σώμα του σχήματος κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Αν F = 10N και Β = 20Ν, σχεδιάστε τις υπόλοιπες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και υπολογίστε τα μέτρα τους. [Σχήμα: σώμα σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ προς τα δεξιά και οριζόντια δύναμη F προς τα δεξιά.]

Απάντηση:

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση → \( \Sigma F_x = 0 \) και \( \Sigma F_y = 0 \) (σελ. 102, 104).
Κατακόρυφα: βάρος Β προς τα κάτω και κάθετη αντίδραση Ν του επιπέδου προς τα πάνω: \( N - B = 0 \Rightarrow N = 20\ \text{N} \).
Οριζόντια: για να είναι η ταχύτητα σταθερή, πρέπει να υπάρχει δύναμη Τ αντίθετη στην F (τριβή ή αντίσταση): \( F - T = 0 \Rightarrow T = 10\ \text{N} \), με φορά προς τα αριστερά (αντίθετη της ταχύτητας, σελ. 165).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ν = 20 Ν κατακόρυφα προς τα πάνω (αντίδραση επιπέδου) και Τ = 10 Ν οριζόντια προς τα αριστερά (τριβή/αντίσταση), ώστε ΣF = 0.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το μπλοκ δηλώνει «τα επίπεδα θεωρούνται λεία» (σελ. 138), αλλά σε λείο επίπεδο σώμα με μόνη οριζόντια δύναμη F = 10 N θα επιταχυνόταν· η ομαλή κίνηση απαιτεί αντίθετη δύναμη 10 N, που ερμηνεύεται ως τριβή ή αντίσταση.

4.25 Σταθερή δύναμη σε αρχικά ακίνητο σώμα

Ερώτηση: 4.25 Σε ένα σώμα που αρχικά είναι ακίνητο επιδρά σταθερή οριζόντια δύναμη F και το σώμα αρχίζει να κινείται. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση: α) Το σώμα θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. β) Το σώμα θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. γ) Το σώμα θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. δ) Τίποτα από τα παραπάνω.

Απάντηση:

Σελ. 125: «αν ένα σώμα αρχικά ηρεμεί (υ=0m/s) και δεχτεί την επίδραση σταθερής δύναμης F, τότε θα αποκτήσει σταθερή επιτάχυνση α, η οποία θα είναι ομόρροπη της δύναμης, και το σώμα θα εκτελέσει κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη».

Σύνοψη: Σωστή η β): ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (α = F/m σταθερή).

4.26 Η μονάδα δύναμης στο SI

Ερώτηση: 4.26 Ποια είναι και πώς ορίζεται η μονάδα μέτρησης δύναμης στο SI;

Απάντηση:

Σελ. 125: «Με βάση το θεμελιώδη νόμο ορίζεται η μονάδα δύναμης στο S.I. σύστημα και ονομάζεται Newton (1N). 1N είναι η δύναμη η οποία όταν ασκηθεί σε σώμα μάζας 1kg του προσδίδει επιτάχυνση 1m/s² κατά τη διεύθυνσή της. Δηλαδή: 1N = 1kg·1m/s²».

Σύνοψη: Μονάδα δύναμης στο SI είναι το Newton (1 N): η δύναμη που, όταν ασκηθεί σε σώμα μάζας 1 kg, του προσδίδει επιτάχυνση 1 m/s² κατά τη διεύθυνσή της· 1 N = 1 kg·m/s².

4.27 Αντιστοίχιση σχημάτων δύναμης-ταχύτητας με καταστάσεις

Ερώτηση: 4.27 Σε ποιο σχήμα αντιστοιχεί καθεμιά από τις παρακάτω καταστάσεις; ............ Η ταχύτητα μειώνεται. ............ Η ταχύτητα παραμένει σταθερή. ............ Η ταχύτητα αυξάνεται. ............ Ακινησία. [Σχήμα: τέσσερα σώματα (από πάνω προς τα κάτω)· 1ο: υ προς τα δεξιά, F προς τα δεξιά· 2ο: υ προς τα αριστερά, F προς τα δεξιά· 3ο: F προς τα αριστερά και F προς τα δεξιά, υ προς τα δεξιά· 4ο: F προς τα αριστερά και 2F προς τα δεξιά, υ προς τα δεξιά.]

Απάντηση:

Η ΣF και η α είναι ομόρροπες (σελ. 125)· αν η ΣF έχει τη φορά της ταχύτητας, η ταχύτητα αυξάνεται· αν είναι αντίθετη, μειώνεται (σελ. 126)· αν ΣF = 0, η ταχύτητα μένει σταθερή (σελ. 102).
1ο σχήμα: ΣF = F ομόρροπη της υ → η ταχύτητα αυξάνεται.
2ο σχήμα: ΣF = F αντίθετη της υ → η ταχύτητα μειώνεται.
3ο σχήμα: ΣF = F − F = 0 → η ταχύτητα παραμένει σταθερή.
4ο σχήμα: ΣF = 2F − F = F ομόρροπη της υ → η ταχύτητα αυξάνεται.
Ακινησία σημαίνει υ = 0 και ΣF = 0· σε όλα τα σχήματα το σώμα έχει ταχύτητα υ ≠ 0.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η ταχύτητα μειώνεται → 2ο σχήμα· παραμένει σταθερή → 3ο σχήμα· αυξάνεται → 1ο και 4ο σχήμα· ακινησία → κανένα από τα σχήματα (όλα έχουν ταχύτητα).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Τα σχήματα του βιβλίου δεν έχουν αρίθμηση· εδώ μετρώνται από πάνω προς τα κάτω.

4.28 Δύναμη που δίνει 20 m/s σε 2 s σε σώμα 10 kg

Ερώτηση: 4.28 Σώμα μάζας m = 10kg δέχεται την επίδραση σταθερής δύναμης F. Αν το σώμα αρχικά ήταν ακίνητο και σε χρόνο t = 2s αποκτά ταχύτητα υ = 20m/s, το μέτρο της δύναμης είναι: α) F = 1N β) F = 10N γ) F = 100N δ) F = 1000N Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Απάντηση:

Δεδομένα: m = 10 kg, \( \upsilon_0 = 0 \), t = 2 s, υ = 20 m/s.
Νόμος ταχύτητας (σελ. 111): \( \alpha = \dfrac{\upsilon}{t} = \dfrac{20}{2} = 10\ \text{m/s}^2 \).
Θεμελιώδης νόμος (σελ. 125): \( F = m\alpha = 10\ \text{kg}\cdot 10\ \text{m/s}^2 = 100\ \text{N} \) (ή απευθείας \( F = \dfrac{m\upsilon}{t} \), σελ. 126).

Σύνοψη: F = 100 N → σωστή η γ).

4.29 Διάγραμμα υ-t για δύναμη που ασκείται για ορισμένο χρόνο

Ερώτηση: 4.29 Σώμα αρχικά ακίνητο δέχεται την επίδραση δύναμης F, η οποία μεταβάλλεται όπως δείχνει το σχήμα. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει τη μεταβολή της ταχύτητας του σώματος με το χρόνο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. [Σχήμα: F-t: μηδέν, μετά σταθερή τιμή F για ένα χρονικό διάστημα, μετά πάλι μηδέν. Διαγράμματα υ-t: α) μηδέν, σταθερή τιμή, πάλι μηδέν (ορθογώνιος παλμός)· β) μηδέν και μετά απότομη άνοδος σε σταθερή τιμή· γ) μηδέν, ευθεία άνοδος, μετά οριζόντια σταθερή τιμή· δ) μηδέν και μετά καμπύλη που ανεβαίνει όλο και πιο απότομα.]

Απάντηση:

Όσο F = 0 και το σώμα ηρεμεί, μένει ακίνητο (1ος νόμος, σελ. 102) → υ = 0.
Όσο ασκείται σταθερή F, το σώμα αποκτά σταθερή επιτάχυνση α = F/m και κάνει ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (σελ. 125): η υ αυξάνεται γραμμικά, υ = αt (ευθεία στο υ-t).
Όταν η F μηδενιστεί, ΣF = 0 και η ταχύτητα δεν μηδενίζεται αλλά μένει σταθερή στην τιμή που είχε αποκτήσει (1ος νόμος).
Το α) μηδενίζει την ταχύτητα όταν παύει η δύναμη (αντιβαίνει στην αδράνεια) και το β) δείχνει ακαριαία αλλαγή ταχύτητας· το δ) αντιστοιχεί σε αυξανόμενη επιτάχυνση.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστό το διάγραμμα γ): υ = 0 όσο δεν ασκείται δύναμη, γραμμική αύξηση της υ όσο ασκείται η σταθερή F (ομαλά επιταχυνόμενη), και σταθερή υ αφού η δύναμη πάψει (ομαλή κίνηση λόγω αδράνειας).

4.30 Επιτάχυνση σωμάτων M και m σε τροχαλία (M > m)

Ερώτηση: 4.30 Αν M > m, τότε η επιτάχυνση α των δύο σωμάτων είναι: α) \( \alpha = \dfrac{M - m}{M + m}g \) β) \( \alpha = \dfrac{M + m}{M - m}g \) γ) \( \alpha = \dfrac{Mm}{M + m}g \) δ) \( \alpha = \dfrac{m}{M}g \) [Σχήμα: ακίνητη τροχαλία στην οροφή· από τα δύο άκρα του σχοινιού κρέμονται τα σώματα m και M.]

Απάντηση:

Το σύστημα κινείται με το M προς τα κάτω και το m προς τα πάνω (M > m). Στον άξονα κίνησης (που «κάμπτεται» νοητά στην τροχαλία, σελ. 172) οι τάσεις του σχοινιού είναι εσωτερικές και αλληλοαναιρούνται.
Θεμελιώδης νόμος για το σύστημα: \( Mg - mg = (M + m)\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{M - m}{M + m}\,g \).
Έλεγχος: για M = m, α = 0 (ισορροπία)· για M ≫ m, α → g. Η β) δίνει α > g (αδύνατο), η γ) δεν έχει διαστάσεις επιτάχυνσης (kg·m/s²), η δ) αγνοεί την αδράνεια και των δύο μαζών.

Σύνοψη: Σωστή η α): \( \alpha = \dfrac{M - m}{M + m}g \).

4.31 Επιτάχυνση σώματος σε λείο τραπέζι με κρεμασμένο σώμα

Ερώτηση: 4.31 Η επιτάχυνση α των δύο σωμάτων είναι: α) \( \alpha = \dfrac{m}{M + m}g \) β) \( \alpha = \dfrac{Mm}{M - m}g \) γ) \( \alpha = \dfrac{M + m}{M}g \) δ) \( \alpha = \dfrac{M - m}{m}g \) [Σχήμα: σώμα M σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο με σχοινί που περνά από τροχαλία στην άκρη του τραπεζιού· στο άλλο άκρο κρέμεται το σώμα m.]

Απάντηση:

Στο σώμα M το βάρος του εξουδετερώνεται από την αντίδραση του λείου τραπεζιού· η μόνη εξωτερική δύναμη κατά τον άξονα κίνησης είναι το βάρος mg του κρεμασμένου σώματος (οι τάσεις είναι εσωτερικές, σελ. 129, 172).
Θεμελιώδης νόμος για το σύστημα: \( mg = (M + m)\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{m}{M + m}\,g \).
Έλεγχος: α < g πάντα, όπως πρέπει· οι β), γ), δ) δίνουν τιμές που μπορεί να είναι μεγαλύτερες του g ή χωρίς σωστές διαστάσεις.

Σύνοψη: Σωστή η α): \( \alpha = \dfrac{m}{M + m}g \).

4.32 Επιτάχυνση από δύο κάθετες δυνάμεις 3 Ν και 4 Ν

Ερώτηση: 4.32 Σώμα μάζας m = 0,5kg δέχεται την επίδραση δυο κάθετων σταθερών δυνάμεων F1 = 3N και F2 = 4N. Η επιτάχυνση α που αποκτάει το σώμα είναι: α) α = 2m/s² β) α = 10m/s² γ) α = 15m/s² δ) α = 50m/s²

Απάντηση:

Συνισταμένη κάθετων δυνάμεων (όπως στο «Ας εφαρμόσουμε», σελ. 127): \( \Sigma F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{N} \).
Θεμελιώδης νόμος: \( \alpha = \dfrac{\Sigma F}{m} = \dfrac{5\ \text{N}}{0{,}5\ \text{kg}} = 10\ \text{m/s}^2 \), στη διεύθυνση της συνισταμένης (\( \varepsilon\varphi\varphi = 4/3 \) ως προς την F₁).

Σύνοψη: α = 10 m/s² → σωστή η β).

4.33* Σωστό-Λάθος για μάζα, βάρος και επιτάχυνση της βαρύτητας

Ερώτηση: * 4.33 Χαρακτηρίστε με Σ τις σωστές προτάσεις και με Λ τις λανθασμένες: ● Η μάζα ενός σώματος είναι σταθερή, ενώ το βάρος του μπορεί να αλλάζει. ● Το βάρος ενός σώματος είναι μεγαλύτερο στον ισημερινό της γης από ό, τι στους πόλους. ● Η επιτάχυνση της βαρύτητας εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου. ● Ένας αστροναύτης σε τροχιά γύρω από τη γη δεν έχει βάρος.

Απάντηση:

1η: Σελ. 132: «το βάρος ενός σώματος θα είναι μεγαλύτερο στους πόλους, όπως επίσης και το g. Η μάζα όμως του σώματος θα είναι παντού σταθερή» → Σ.
2η: Σελ. 132: στον ισημερινό το σώμα «θα δέχεται μικρότερη έλξη από τη Γη» (g = 9,79 m/s² έναντι 9,83 m/s² στους πόλους) → Λ.
3η: Σελ. 131: «Η επιτάχυνση της βαρύτητας g εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου» → Σ.
4η: Σελ. 133 (εικ. 4.42): «Ο αστροναύτης έξω από την ατμόσφαιρα της Γης εξακολουθεί να έχει βάρος, μόνο που είναι μικρότερο» → Λ.

Σύνοψη: Σ, Λ, Σ, Λ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η ερώτηση έχει αστερίσκο στο βιβλίο: στηρίζεται στην ύλη «Για ανάγνωση και μόνο» για τη μεταβολή του g (σελ. 131-133).

4.34 Μάζες δύο σωμάτων και διάστημα του Σ₂

Ερώτηση: 4.34 Δύο σώματα Σ1 και Σ2 αρχικά ακίνητα σε οριζόντιο επίπεδο και της ίδιας μάζας m δέχονται την επίδραση σταθερών οριζόντιων δυνάμεων F1 = 10Ν και F2 = 20N αντίστοιχα, επί χρόνο t = 10s. Αν το σώμα Σ1 διανύει διάστημα s1 = 50m, ζητούνται οι μάζες των σωμάτων και το διάστημα που διανύει το σώμα Σ2.

Απάντηση:

Και τα δύο ξεκινούν από ηρεμία με σταθερή δύναμη σε λείο επίπεδο → ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (σελ. 125).
Σ₁: \( s_1 = \tfrac{1}{2}\alpha_1 t^2 \Rightarrow \alpha_1 = \dfrac{2s_1}{t^2} = \dfrac{2\cdot 50}{100} = 1\ \text{m/s}^2 \). Θεμελιώδης νόμος: \( m = \dfrac{F_1}{\alpha_1} = \dfrac{10}{1} = 10\ \text{kg} \) (ίδια για τα δύο σώματα).
Σ₂: \( \alpha_2 = \dfrac{F_2}{m} = \dfrac{20}{10} = 2\ \text{m/s}^2 \), \( s_2 = \tfrac{1}{2}\alpha_2 t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 100 = 100\ \text{m} \).

Σύνοψη: m = 10 kg για κάθε σώμα· το Σ₂ διανύει s₂ = 100 m (διπλάσια δύναμη → διπλάσια επιτάχυνση → διπλάσιο διάστημα).

4.35 Ποιο διάγραμμα αντιστοιχεί σε κίνηση με σταθερή δύναμη

Ερώτηση: 4.35 Ποιο από τα επόμενα διαγράμματα παριστάνει την κίνηση σώματος με την επίδραση σταθερής δύναμης; [Σχήμα: α) υ-t: ευθεία από την αρχή που ανεβαίνει· β) α-t: ευθεία από την αρχή που ανεβαίνει· γ) s-t: ευθεία που ανεβαίνει· δ) υ-t: οριζόντια ευθεία.]

Απάντηση:

Σταθερή δύναμη → σταθερή επιτάχυνση α = F/m (σελ. 125) → ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση με υ = υ₀ + αt: ευθεία με κλίση στο υ-t (σελ. 111-112).
β) Η α αυξάνεται με τον χρόνο → η δύναμη θα αυξανόταν, όχι σταθερή.
γ) Ευθεία στο s-t και δ) οριζόντια στο υ-t → ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, δηλαδή ΣF = 0 (σελ. 104-105).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστό το α): ευθεία υ-t με σταθερή κλίση (σταθερή επιτάχυνση, άρα σταθερή δύναμη).

4.36 Τι μετράμε με δυναμόμετρο, ζυγαριά και μια πέτρα

Ερώτηση: 4.36 Διαθέτεις ένα δυναμόμετρο, μια ζυγαριά και μια πέτρα. Ποια από τα παρακάτω φυσικά μεγέθη μπορείς να βρεις; ● Τη μάζα της πέτρας ● Το βάρος της πέτρας ● Τον όγκο της πέτρας ● Την επιτάχυνση της βαρύτητας g.

Απάντηση:

Βάρος: το δυναμόμετρο μετρά δύναμη· κρεμώντας την πέτρα ακίνητη, η ένδειξη ισούται με το βάρος Β (ισορροπία, σελ. 136-137 και σελ. 132 όπου το βάρος μετριέται με δυναμόμετρο).
Μάζα: η ζυγαριά (ζυγός σύγκρισης) δίνει τη μάζα m της πέτρας.
Επιτάχυνση της βαρύτητας: από τη σχέση (4.10) \( B = mg \Rightarrow g = \dfrac{B}{m} \) (σελ. 131).
Όγκος: δεν προκύπτει από αυτά τα όργανα — θα χρειαζόταν π.χ. ογκομετρικό δοχείο με νερό.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Μπορούμε να βρούμε τη μάζα (με τη ζυγαριά), το βάρος (με το δυναμόμετρο) και την επιτάχυνση της βαρύτητας από τη σχέση g = B/m. Τον όγκο της πέτρας δεν μπορούμε να τον βρούμε μόνο με αυτά τα μέσα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αν η «ζυγαριά» είναι ζυγαριά μπάνιου με ελατήριο, μετρά κι αυτή δύναμη (σελ. 136)· τότε η μάζα βρίσκεται μόνο αν το g θεωρηθεί γνωστό.

4.37 Τάσεις σχοινιών σε τρία σώματα που τα σέρνει δύναμη 100 N

Ερώτηση: 4.37 Τρία σώματα μαζών m1=10kg, m2=20kg, m3=30kg συνδέονται με δυο σχοινιά όπως δείχνει το σχήμα, και στο σώμα μάζας m3 ασκείται σταθερή δύναμη F=100N. Να υπολογίσετε τις τάσεις των σχοινιών. [Σχήμα: τα σώματα m₁, m₂, m₃ σε σειρά σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα με σχοινιά m₁-m₂ και m₂-m₃· η F ασκείται στο m₃ προς τα δεξιά.]

Απάντηση:

Θεμελιώδης νόμος για όλο το σύστημα (οι τάσεις είναι εσωτερικές, όπως στο παράδειγμα της ρυμούλκησης, σελ. 129): \( F = (m_1 + m_2 + m_3)\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{100}{60} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\ \text{m/s}^2 \).
Σχοινί m₁-m₂ (εφαρμογή στο m₁, που δέχεται μόνο αυτή την τάση): \( T_1 = m_1\alpha = 10\cdot\dfrac{5}{3} \approx 16{,}7\ \text{N} \).
Σχοινί m₂-m₃ (εφαρμογή στο σύστημα m₁ + m₂): \( T_2 = (m_1 + m_2)\alpha = 30\cdot\dfrac{5}{3} = 50\ \text{N} \). Έλεγχος στο m₃: \( F - T_2 = m_3\alpha \Rightarrow 100 - 50 = 30\cdot\tfrac{5}{3} = 50 \) ✓.

Σύνοψη: α = 5/3 ≈ 1,67 m/s²· τάση του σχοινιού m₁-m₂: T₁ ≈ 16,7 N· τάση του σχοινιού m₂-m₃: T₂ = 50 N.

4.38 Σώματα m και 2m σε διπλό λείο κεκλιμένο επίπεδο 30°

Ερώτηση: 4.38 Στη διάταξη του σχήματος θέλουμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση των σωμάτων και την τάση του σχοινιού που τα συνδέει. (m = 3kg, g = 10 m/s²) [Σχήμα: δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα γωνίας 30° το καθένα, που ενώνονται στην κορυφή όπου υπάρχει τροχαλία· στο αριστερό βρίσκεται το σώμα m, στο δεξί το σώμα 2m, δεμένα με σχοινί που περνά από την τροχαλία.]

Απάντηση:

Οι συνιστώσες του βάρους κατά μήκος των επιπέδων (σελ. 135): για το m, \( mg\,\eta\mu 30^\circ = 3\cdot 10\cdot 0{,}5 = 15\ \text{N} \)· για το 2m, \( 2mg\,\eta\mu 30^\circ = 30\ \text{N} \). Άρα το 2m κατεβαίνει και το m ανεβαίνει.
Θεμελιώδης νόμος για το σύστημα (οι τάσεις αλληλοαναιρούνται): \( 2mg\,\eta\mu 30^\circ - mg\,\eta\mu 30^\circ = 3m\,\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{g\,\eta\mu 30^\circ}{3} = \dfrac{10\cdot 0{,}5}{3} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\ \text{m/s}^2 \).
Τάση από το σώμα m: \( T - mg\,\eta\mu 30^\circ = m\alpha \Rightarrow T = 15 + 3\cdot\dfrac{5}{3} = 20\ \text{N} \). Έλεγχος στο 2m: \( 30 - T = 6\cdot\tfrac{5}{3} = 10 \Rightarrow T = 20\ \text{N} \) ✓.

Σύνοψη: α = g/6 = 5/3 ≈ 1,67 m/s² (το 2m κατεβαίνει, το m ανεβαίνει)· τάση του σχοινιού T = 20 N.

4.39 Σώμα σε ισορροπία με δύο σχοινιά: γωνία φ και επιτάχυνση αν κοπεί ένα

Ερώτηση: 4.39 Σώμα Σ βάρους Β = 10Ν ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα Σ είναι δεμένο με δύο σχοινιά, τα οποία διέρχονται από δύο τροχαλίες που έχουν στα άκρα τους τα σώματα Σ1 και Σ2 με βάρη B1 = 4N και Β2 = 2Ν αντίστοιχα. Αν το ένα σχοινί είναι οριζόντιο, ζητούνται: α) η γωνία φ που σχηματίζει το άλλο σχοινί με το οριζόντιο επίπεδο β) η επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώμα Σ, αν κοπεί ένα από τα δύο σχοινιά. (g = 10m/s²) [Σχήμα: το Σ πάνω στο τραπέζι· αριστερά οριζόντιο σχοινί προς τροχαλία στην άκρη του τραπεζιού, από την οποία κρέμεται το Σ₂· δεξιά σχοινί υπό γωνία φ προς τα πάνω, προς ψηλότερη τροχαλία, από την οποία κρέμεται το Σ₁.]

Απάντηση:

Οι τάσεις των σχοινιών ισούνται με τα βάρη των κρεμασμένων σωμάτων (ισορροπία): \( T_1 = B_1 = 4\ \text{N} \) (πλάγιο σχοινί), \( T_2 = B_2 = 2\ \text{N} \) (οριζόντιο).
α) Ισορροπία του Σ στον οριζόντιο άξονα: \( T_1\,\sigma\upsilon\nu\varphi = T_2 \Rightarrow \sigma\upsilon\nu\varphi = \dfrac{2}{4} = 0{,}5 \Rightarrow \varphi = 60^\circ \). Κατακόρυφα: \( N = B - T_1\,\eta\mu\varphi = 10 - 4\cdot 0{,}866 \approx 6{,}54\ \text{N} > 0 \), άρα το Σ μένει πάνω στο επίπεδο.
Μάζες (g = 10 m/s²): \( m = 1\ \text{kg} \), \( m_1 = 0{,}4\ \text{kg} \), \( m_2 = 0{,}2\ \text{kg} \).
β1) Αν κοπεί το πλάγιο σχοινί: το Σ και το Σ₂ κινούνται μαζί (το Σ₂ πέφτει)· \( B_2 = (m + m_2)\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{2}{1{,}2} \approx 1{,}67\ \text{m/s}^2 \), προς την πλευρά του Σ₂.
β2) Αν κοπεί το οριζόντιο σχοινί: η οριζόντια συνιστώσα της τάσης του πλάγιου σχοινιού επιταχύνει το Σ προς την άλλη πλευρά. Αν αγνοηθεί η αδράνεια του Σ₁, \( \alpha = \dfrac{B_1\,\sigma\upsilon\nu 60^\circ}{m} = \dfrac{2}{1} = 2\ \text{m/s}^2 \). Λαμβάνοντας υπόψη ότι και το Σ₁ επιταχύνεται (τη στιγμή της εκκίνησης με \( \alpha\,\sigma\upsilon\nu\varphi \)): \( T\sigma\upsilon\nu\varphi = m\alpha \) και \( B_1 - T = m_1\alpha\,\sigma\upsilon\nu\varphi \Rightarrow 4 - 2\alpha = 0{,}2\alpha \Rightarrow \alpha \approx 1{,}82\ \text{m/s}^2 \) αρχικά (η γωνία αλλάζει καθώς κινείται).

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) φ = 60°. β) Αν κοπεί το πλάγιο σχοινί: α = B₂/(m + m₂) ≈ 1,67 m/s² προς το Σ₂. Αν κοπεί το οριζόντιο: η κινούσα δύναμη είναι B₁συν60° = 2 N, οπότε α ≈ 2 m/s² (≈ 1,82 m/s² αρχικά, αν ληφθεί υπόψη και η μάζα του Σ₁).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η εκφώνηση δεν λέει ποιο σχοινί κόβεται· δίνονται και οι δύο περιπτώσεις.
Στη δεύτερη περίπτωση η γωνία του σχοινιού μεταβάλλεται κατά την κίνηση, άρα η επιτάχυνση δεν μένει σταθερή· οι τιμές αφορούν την αρχή της κίνησης.

4.40 Άνθρωπος σε αναβατόριο που κρέμεται από τροχαλία

Ερώτηση: 4.40 Άνθρωπος μάζας Μ = 80kg βρίσκεται μέσα σε ένα αναβατόριο μάζας m = 20kg, που συγκρατείται από μια τροχαλία όπως δείχνει το σχήμα. α) Πόση δύναμη πρέπει να ασκεί ο άνθρωπος στο σχοινί, για να ανεβαίνει με επιτάχυνση α = 2m/s²; β) Πόση θα είναι η επιτάχυνση με την οποία θα ανεβαίνει, αν ασκεί δύναμη ίση με το βάρος του; (g = 10m/s²) [Σχήμα: τροχαλία στην οροφή· το ένα άκρο του σχοινιού είναι δεμένο στο αναβατόριο και το άλλο το τραβά ο άνθρωπος που στέκεται μέσα σε αυτό.]

Απάντηση:

Ο άνθρωπος τραβά το σχοινί με δύναμη F· λόγω δράσης - αντίδρασης το σχοινί τον τραβά προς τα πάνω με F, και η ίδια τάση F ασκείται προς τα πάνω και στο αναβατόριο (στο άλλο άκρο). Στο σύστημα «άνθρωπος - αναβατόριο» οι εξωτερικές δυνάμεις είναι 2F προς τα πάνω και το συνολικό βάρος (M + m)g.
α) Θεμελιώδης νόμος: \( 2F - (M + m)g = (M + m)\alpha \Rightarrow F = \dfrac{(M + m)(g + \alpha)}{2} = \dfrac{100\cdot 12}{2} = 600\ \text{N} \).
β) Με \( F = Mg = 800\ \text{N} \): \( 2\cdot 800 - 100\cdot 10 = 100\,\alpha \Rightarrow \alpha = 6\ \text{m/s}^2 \).

Σύνοψη: α) F = 600 N. β) α = 6 m/s² (με F = Mg = 800 N).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η δύναμη μεταξύ ανθρώπου και δαπέδου του αναβατορίου είναι εσωτερική για το σύστημα και δεν χρειάζεται για τα ζητούμενα (για α = 2 m/s²: N = M(g + α) − F = 960 − 600 = 360 N).

4.41 Συμπλήρωση κενών για την ορμή

Ερώτηση: 4.41 Να συμπληρωθούν τα κενά: Η ορμή ενός σώματος είναι ................. μέγεθος, το μέτρο της υπολογίζεται από την εξίσωση ......... και η μονάδα μέτρησής της στο SI είναι ......... ή .........

Απάντηση:

Σελ. 142: «Ορμή P ενός σώματος που κινείται με ταχύτητα υ ονομάζουμε το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την ταχύτητά του. P = mυ (4.11). Η ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος... η μονάδα μέτρησής του στο SI είναι το 1kg·m/s».
Σελ. 143: «Επειδή 1N=1kg·m/s², εύκολα αποδεικνύεται ότι η ορμή μπορεί να μετριέται και σε N·s».

Σύνοψη: διανυσματικό — P = mυ — 1 kg·m/s ή 1 N·s.

4.42 Σύγκριση ορμών φορτηγού, αυτοκινήτου και βλήματος

Ερώτηση: 4.42 Ποιο σώμα έχει τη μεγαλύτερη ορμή; α) φορτηγό μάζας 5tn και ταχύτητας 20km/h β) αυτοκίνητο μάζας 980kg και ταχύτητας 20m/s γ) βλήμα μάζας 100g και ταχύτητας 100km/h.

Απάντηση:

Μετατροπή σε SI (1 m/s = 3,6 km/h, σελ. 99) και P = mυ (σελ. 142):
α) \( m = 5\ \text{tn} = 5000\ \text{kg} \), \( \upsilon = \dfrac{20}{3{,}6} \approx 5{,}56\ \text{m/s} \): \( P \approx 5000\cdot 5{,}56 \approx 27\,800\ \text{kg·m/s} \).
β) \( P = 980\cdot 20 = 19\,600\ \text{kg·m/s} \).
γ) \( m = 0{,}1\ \text{kg} \), \( \upsilon = \dfrac{100}{3{,}6} \approx 27{,}8\ \text{m/s} \): \( P \approx 2{,}78\ \text{kg·m/s} \).

Σύνοψη: Τη μεγαλύτερη ορμή έχει το φορτηγό (α), περίπου 27 800 kg·m/s, έναντι 19 600 kg·m/s του αυτοκινήτου και 2,78 kg·m/s του βλήματος.

4.43 Γιατί οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μεταβάλλουν την ορμή

Ερώτηση: 4.43 Οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν να μεταβάλουν την ορμή ενός συστήματος, επειδή: α) είναι πολύ ασθενείς β) ασκούνται σε διαφορετικά σώματα του συστήματος γ) εμφανίζονται πάντα κατά ζεύγη αντίθετων δυνάμεων δ) αλληλοεξουδετερώνονται Να σημειωθούν με Σ οι σωστές προτάσεις και με Λ οι λανθασμένες.

Απάντηση:

Σελ. 151: «Λόγω του αξιώματος δράσης-αντίδρασης... οι εσωτερικές δυνάμεις εμφανίζονται πάντα κατά ζεύγη αντίθετων δυνάμεων»· έτσι ΔΡ_Ι = FΔt και ΔΡ_ΙΙ = −FΔt, οπότε ΔΡ_ολ = 0 → γ) Σ.
α) Λ: στις κρούσεις οι εσωτερικές δυνάμεις είναι «ισχυρότατες» (σελ. 152) και πάλι δεν μεταβάλλουν την ορμή του συστήματος.
β) Λ ως αιτιολόγηση: το ότι ασκούνται σε διαφορετικά σώματα είναι ο λόγος που μεταβάλλουν τις ταχύτητες (ορμές) των επιμέρους σωμάτων (σελ. 152)· η ορμή του συστήματος μένει σταθερή επειδή οι δύο δυνάμεις κάθε ζεύγους είναι αντίθετες.
δ) Λ: δυνάμεις που ασκούνται σε διαφορετικά σώματα δεν «αλληλοεξουδετερώνονται»· κάθε μία επιταχύνει το σώμα στο οποίο ασκείται· μηδενίζεται μόνο το άθροισμα των μεταβολών των ορμών.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η β) είναι αληθής ως διαπίστωση (δράση και αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώματα), αλλά δεν είναι ο λόγος της διατήρησης της ορμής· γι' αυτό χαρακτηρίζεται Λ ως απάντηση στο «επειδή».

4.44 Από το διάγραμμα s-t στο διάγραμμα ορμής P-t

Ερώτηση: 4.44 Σώμα μάζας m = 10 kg κινείται με τέτοιο τρόπο, ώστε το διάγραμμα μεταβολής του διαστήματός του με το χρόνο (s-t) να έχει τη μορφή του διπλανού σχήματος. Θέλουμε να σχεδιάσουμε το διάγραμμα μεταβολής της ορμής του σώματος με το χρόνο (P-t). [Σχήμα: s(m)-t(s)· ευθεία από 20 m (t = 0) ως 40 m (t = 5 s), οριζόντια στα 40 m ως t = 10 s, ευθεία από 40 m ως 0 στο t = 12 s.]

Απάντηση:

Σε κάθε τμήμα το s-t είναι ευθεία, άρα η κίνηση είναι ομαλή και η ταχύτητα είναι η κλίση (σελ. 105).
0-5 s: \( \upsilon_1 = \dfrac{40 - 20}{5} = 4\ \text{m/s} \) → \( P_1 = m\upsilon_1 = 10\cdot 4 = 40\ \text{kg·m/s} \).
5-10 s: η θέση δεν αλλάζει → \( \upsilon_2 = 0 \), \( P_2 = 0 \).
10-12 s: \( \upsilon_3 = \dfrac{0 - 40}{12 - 10} = -20\ \text{m/s} \) → \( P_3 = -200\ \text{kg·m/s} \) (αντίθετη φορά, επιστροφή).
Διάγραμμα P-t: τρία οριζόντια τμήματα — στα +40 kg·m/s (0-5 s), στο 0 (5-10 s) και στα −200 kg·m/s (10-12 s).

Σύνοψη: P-t: P = +40 kg·m/s για 0-5 s, P = 0 για 5-10 s, P = −200 kg·m/s για 10-12 s (οριζόντια ευθύγραμμα τμήματα).

4.45 Χιονοδρόμος στη μέση παγωμένης λίμνης χωρίς τριβή

Ερώτηση: 4.45 Ένας χιονοδρόμος βρίσκεται στη μέση μιας παγωμένης λίμνης. Υποθέστε ότι δεν υπάρχει τριβή. Τι νομίζετε ότι θα μπορούσε να κάνει, προκειμένου να επιστρέψει στην όχθη;

Απάντηση:

Χωρίς τριβή δεν μπορεί να βαδίσει: για το βάδισμα απαιτείται στατική τριβή (σελ. 164).
Στο σύστημα «χιονοδρόμος - αντικείμενα που κρατά» βάρος και αντίδραση του πάγου έχουν μηδενική συνισταμένη· η αρχική ορμή είναι μηδέν και διατηρείται (σελ. 151).
Αν πετάξει ένα αντικείμενο (π.χ. ένα μπατόν, το σακίδιο, ένα γάντι) με ταχύτητα προς την αντίθετη κατεύθυνση από την όχθη, θα αποκτήσει ο ίδιος ίση και αντίθετη ορμή: 0 = m·υ + M·V ⇒ V = −mυ/M, δηλαδή θα κινηθεί προς την όχθη — όπως η ανάκρουση του όπλου (σελ. 154).
Χωρίς τριβή θα συνεχίσει με σταθερή ταχύτητα (1ος νόμος) ως την όχθη.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Να πετάξει με δύναμη κάποιο αντικείμενο (μπατόν, σακίδιο, γάντι) προς την κατεύθυνση αντίθετη από την όχθη: λόγω διατήρησης της ορμής θα αποκτήσει αντίθετη ορμή και θα γλιστρήσει με σταθερή ταχύτητα προς την όχθη.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Και μια ισχυρή εκπνοή προς την αντίθετη κατεύθυνση δίνει κατ' αρχήν το ίδιο αποτέλεσμα (αρχή του πυραύλου), αλλά με πολύ μικρή ταχύτητα.

4.46 Η κίνηση του κανό και η αρχή διατήρησης της ορμής

Ερώτηση: 4.46 Μπορείτε να εξηγήσετε την κίνηση του “κανό” με βάση την αρχή διατήρησης της ορμής;

Απάντηση:

Στο σύστημα «κανό - κωπηλάτης - νερό» οι δυνάμεις κουπιού - νερού είναι εσωτερικές και εμφανίζονται κατά ζεύγη αντίθετων δυνάμεων (σελ. 151-152).
Με το κουπί ο κωπηλάτης σπρώχνει μάζες νερού προς τα πίσω, δίνοντάς τους ορμή προς τα πίσω.
Για να μείνει σταθερή η ορμή του συστήματος, το κανό με τον κωπηλάτη αποκτά ίση και αντίθετη ορμή, δηλαδή κινείται προς τα εμπρός — όπως ο πύραυλος που εκτοξεύει αέρια (σελ. 155-156).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ναι. Ο κωπηλάτης με το κουπί σπρώχνει νερό προς τα πίσω· αφού η ορμή του συστήματος «κανό - κωπηλάτης - νερό» διατηρείται, το κανό αποκτά ίση και αντίθετη ορμή και κινείται προς τα εμπρός.

4.47 Ανθοδοχείο σε χαλί και σε γυμνό πάτωμα

Ερώτηση: 4.47 Ένα κρυστάλλινο ανθοδοχείο πέφτει σε στρωμένο με χαλί πάτωμα και δε σπάει. Το ίδιο ανθοδοχείο πέφτει στο πάτωμα, όταν δεν υπάρχει το χαλί, και σπάει. Γιατί;

Απάντηση:

Και στις δύο περιπτώσεις το ανθοδοχείο φτάνει με την ίδια ταχύτητα και σταματά: ίδια μεταβολή ορμής ΔΡ.
Σελ. 145-146: ΔΡ = FΔt, άρα F = ΔΡ/Δt· «μεγάλη τιμή δύναμης σημαίνει μικρό χρονικό διάστημα και αντιστρόφως».
Το χαλί υποχωρεί και αυξάνει τη διάρκεια Δt της πρόσκρουσης· έτσι μειώνεται η δύναμη που δέχεται το ανθοδοχείο (σελ. 147-148). Στο γυμνό πάτωμα το Δt είναι πολύ μικρό και η δύναμη πολύ μεγάλη.

Σύνοψη: Η μεταβολή της ορμής είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις· το χαλί όμως αυξάνει τη διάρκεια της πρόσκρουσης, οπότε η δύναμη F = ΔΡ/Δt που δέχεται το ανθοδοχείο είναι μικρή και δεν σπάει. Στο σκληρό πάτωμα ο χρόνος είναι πολύ μικρός, η δύναμη πολύ μεγάλη και το ανθοδοχείο σπάει.

4.48 Πλαστική κρούση δύο σφαιρών που κινούνται κάθετα

Ερώτηση: 4.48 Δύο σφαίρες από πλαστελίνη ίσης μάζας m και ταχύτητας υ κινούμενες σε κάθετες διευθύνσεις συγκρούονται πλαστικά. Θέλουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα V του συσσωματώματος. [Σχήμα: η μία σφαίρα κινείται οριζόντια (υ), η άλλη κατακόρυφα προς τα πάνω (υ)· μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κινείται πλάγια με ταχύτητα V.]

Απάντηση:

Στην κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής (σελ. 152): \( \vec{P}_{πριν} = \vec{P}_{μετά} \).
Οι ορμές πριν είναι κάθετες, ίσου μέτρου mυ: \( P_{πριν} = \sqrt{(m\upsilon)^2 + (m\upsilon)^2} = m\upsilon\sqrt{2} \) (σελ. 144).
Μετά: συσσωμάτωμα μάζας 2m με ταχύτητα V: \( 2mV = m\upsilon\sqrt{2} \Rightarrow V = \dfrac{\upsilon\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\,\upsilon \).
Διεύθυνση: \( \varepsilon\varphi\theta = \dfrac{m\upsilon}{m\upsilon} = 1 \Rightarrow \theta = 45^\circ \) με καθεμιά από τις αρχικές διευθύνσεις.

Σύνοψη: \( V = \dfrac{\upsilon\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\,\upsilon \), σε διεύθυνση που σχηματίζει 45° με καθεμιά από τις αρχικές ταχύτητες.

4.49 Ορμή συστήματος σφαιρών m (2υ) και 2m (υ) με αντίθετες ταχύτητες

Ερώτηση: 4.49 Η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών είναι: α) 4mυ β) μηδέν γ) 4m²υ² δ) τα στοιχεία δεν επαρκούν για να απαντήσω. Επιλέξτε την σωστή απάντηση. [Σχήμα: σφαίρα μάζας m με ταχύτητα 2υ προς τα αριστερά και σφαίρα μάζας 2m με ταχύτητα υ προς τα δεξιά.]

Απάντηση:

Ορμή συστήματος = διανυσματικό άθροισμα (σελ. 143). Με θετική φορά προς τα δεξιά: \( P_{ΣΥΣ} = 2m\cdot\upsilon + m\cdot(-2\upsilon) = 2m\upsilon - 2m\upsilon = 0 \).
Η α) θα ίσχυε αν οι ταχύτητες ήταν ομόρροπες· η γ) δεν έχει καν μονάδες ορμής.

Σύνοψη: Σωστή η β): η ορμή του συστήματος είναι μηδέν (οι δύο ορμές έχουν ίσο μέτρο 2mυ και αντίθετη φορά).

4.50 Πείραμα με σπιρτόξυλα σε αλουμινόχαρτο

Ερώτηση: 4.50 Ένα πείραμα ......... Δύο σπιρτόξυλα τοποθετούνται όπως στο σχήμα και τυλίγονται με αλουμινόχαρτο. Πλησιάζοντας τη φλόγα ενός κεριού τι θα συμβεί; Να ερμηνευτεί το φαινόμενο. [Σχήμα: οριζόντιο «πακετάκι» αλουμινόχαρτου με τα σπιρτόξυλα μέσα, πάνω από τη φλόγα ενός κεριού.]

Απάντηση:

Η φλόγα θερμαίνει το αλουμινόχαρτο ώσπου να αναφλεγούν τα κεφάλια των σπίρτων μέσα στο περιτύλιγμα.
Η καύση παράγει θερμά αέρια που, εγκλωβισμένα, εκρέουν με μεγάλη ταχύτητα από το ανοιχτό άκρο του περιτυλίγματος.
Οι δυνάμεις της καύσης είναι εσωτερικές για το σύστημα «πακετάκι - αέρια»· η ορμή του μένει σταθερή (σελ. 151-152), οπότε το πακετάκι αποκτά ορμή αντίθετη της ορμής των αερίων και εκτινάσσεται προς την αντίθετη κατεύθυνση — όπως ο πύραυλος (σελ. 155-156).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Μόλις αναφλεγούν τα σπίρτα, το περιτύλιγμα θα εκτιναχθεί σαν μικρός πύραυλος. Τα αέρια της καύσης βγαίνουν με μεγάλη ταχύτητα από το ανοιχτό άκρο και, λόγω της αρχής διατήρησης της ορμής, το αλουμινόχαρτο με τα σπίρτα αποκτά αντίθετη ορμή και κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το πείραμα γίνεται μόνο με επίβλεψη καθηγητή, μακριά από εύφλεκτα υλικά.

4.51 Μεταβολή ορμής μοτοσικλετιστή που μπαίνει σε ανηφόρα 60°

Ερώτηση: 4.51 Μοτοσικλετιστής μάζας 80kg κινείται με ταχύτητα υ=10m/s σε οριζόντιο δρόμο. Κάποια στιγμή συναντάει μια ανηφόρα γωνίας κλίσης φ=60° και αρχίζει να την ανεβαίνει με την ίδια ταχύτητα. Πόση είναι η μεταβολή της ορμής του;

Απάντηση:

Μέτρα ορμών: \( P_1 = P_2 = m\upsilon = 80\cdot 10 = 800\ \text{kg·m/s} \)· αλλάζει μόνο η διεύθυνση, κατά γωνία 60° (σελ. 142).
Η μεταβολή είναι διανυσματική: \( \Delta\vec{P} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1 \) (σελ. 145). Από τον νόμο των συνημιτόνων: \( |\Delta\vec{P}| = \sqrt{P_1^2 + P_2^2 - 2P_1P_2\,\sigma\upsilon\nu 60^\circ} = \sqrt{800^2 + 800^2 - 800^2} = 800\ \text{kg·m/s} \).
Με συνιστώσες: \( \Delta P_x = 800\,\sigma\upsilon\nu 60^\circ - 800 = -400 \), \( \Delta P_y = 800\,\eta\mu 60^\circ \approx 692{,}8 \), άρα \( |\Delta\vec{P}| = \sqrt{400^2 + 692{,}8^2} = 800\ \text{kg·m/s} \), με διεύθυνση που σχηματίζει 120° με την αρχική ταχύτητα (το τρίγωνο των ορμών είναι ισόπλευρο).

Σύνοψη: Αν και το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει, η ορμή μεταβάλλεται κατά |ΔP| = 800 kg·m/s, σε διεύθυνση που σχηματίζει 120° με την αρχική κίνηση (προς τα πάνω και προς τα πίσω).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η ορμή είναι διάνυσμα· αλλαγή μόνο της διεύθυνσης είναι μεταβολή ορμής.

4.52 Πότε το βλήμα διατρέχει μεγαλύτερο διάστημα μέσα στο ξύλο

Ερώτηση: 4.52 Ένα βλήμα σφηνώνεται σε ένα κομμάτι ξύλου. Σε ποια περίπτωση θα διατρέξει μεγαλύτερο διάστημα μέσα στο ξύλο; α) Όταν το ξύλο είναι ακίνητο. β) Όταν το ξύλο κινείται προς το βλήμα με ταχύτητα υ. γ) Όταν το ξύλο κινείται απομακρυνόμενο από το βλήμα με ταχύτητα υ. δ) Όταν το ξύλο κινείται προς το βλήμα με ταχύτητα 2υ.

Απάντηση:

Το πόσο εισχωρεί το βλήμα στο ξύλο εξαρτάται από τη σχετική ταχύτητα με την οποία το βλήμα «χτυπά» το ξύλο: όσο μεγαλύτερη είναι, τόσο μεγαλύτερη μεταβολή ορμής πρέπει να υποστεί το βλήμα (ως προς το ξύλο) μέχρι να ακινητοποιηθεί μέσα του (σελ. 152-153).
Σχετική ταχύτητα (για βλήμα ταχύτητας υ_β): α) υ_β· β) υ_β + υ· γ) υ_β − υ· δ) υ_β + 2υ.
Με την (περίπου σταθερή) δύναμη αντίστασης του ξύλου, το βλήμα διανύει μέσα του μεγαλύτερο διάστημα όταν η σχετική ταχύτητα είναι μεγαλύτερη (όπως το ολικό διάστημα s = υ₀²/2|α|, σελ. 115).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Στην περίπτωση δ): το ξύλο κινείται προς το βλήμα με τη μεγαλύτερη ταχύτητα (2υ), οπότε η σχετική ταχύτητα βλήματος - ξύλου είναι η μεγαλύτερη και το βλήμα εισχωρεί βαθύτερα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η πλήρης ποσοτική απόδειξη χρησιμοποιεί την ενέργεια που χάνεται στην πλαστική κρούση (Κεφάλαιο 5)· εδώ αρκεί το επιχείρημα της σχετικής ταχύτητας.

4.53 Ποια οχήματα κινούνται με βάση τη διατήρηση της ορμής

Ερώτηση: 4.53 Ποια από τα παρακάτω οχήματα κινούνται με βάση την αρχή διατήρησης της ορμής; α) ποδήλατο β) βαπόρι γ) πύραυλος δ) αυτοκίνητο ε) ελικοφόρο αεροπλάνο ζ) αερόστατο

Απάντηση:

γ) Πύραυλος: εκτοξεύει αέρια προς τα πίσω και αποκτά αντίθετη ορμή — εσωτερικές δυνάμεις (σελ. 155-156).
β) Βαπόρι: η προπέλα σπρώχνει νερό προς τα πίσω· το πλοίο αποκτά ορμή προς τα εμπρός (όπως το κανό της 4.46).
ε) Ελικοφόρο αεροπλάνο: η έλικα σπρώχνει αέρα προς τα πίσω· το αεροπλάνο αποκτά αντίθετη ορμή.
α) Ποδήλατο και δ) αυτοκίνητο: κινούνται χάρη στη στατική τριβή που ασκεί το έδαφος στους τροχούς — εξωτερική δύναμη από το περιβάλλον (όπως στο βάδισμα, σελ. 164).
ζ) Αερόστατο: ανυψώνεται λόγω της άνωσης του αέρα και μετακινείται οριζόντια με τον άνεμο· δεν εκτοξεύει μάζα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Με βάση την αρχή διατήρησης της ορμής κινούνται: β) το βαπόρι, γ) ο πύραυλος και ε) το ελικοφόρο αεροπλάνο, γιατί σπρώχνουν προς τα πίσω νερό, αέρια ή αέρα και αποκτούν αντίθετη ορμή. Το ποδήλατο και το αυτοκίνητο κινούνται χάρη στην τριβή με το έδαφος, το αερόστατο χάρη στην άνωση και στον άνεμο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αν συμπεριληφθεί η Γη στο σύστημα, η ορμή διατηρείται και για το ποδήλατο ή το αυτοκίνητο· η αναμενόμενη απάντηση διακρίνει όμως τα οχήματα που «εκτοξεύουν» μάζα (νερό, αέρα, αέρια).

4.54 Το όχημα με τον μαγνήτη που έλκει το σιδερένιο πλαίσιο

Ερώτηση: 4.54 Ένας εφευρετικός μαθητής επινόησε το όχημα της εικόνας. Θα μπορέσει κατά τη γνώμη σας να κινηθεί το όχημα; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. [Σχήμα: μαθητής πάνω σε καρότσι κρατά καλάμι από το οποίο κρέμεται μαγνήτης μπροστά από σιδερένιο πλαίσιο στερεωμένο στο ίδιο το καρότσι.]

Απάντηση:

Μαγνήτης, καλάμι, μαθητής, σιδερένιο πλαίσιο και καρότσι ανήκουν όλα στο ίδιο σύστημα.
Η έλξη μαγνήτη - σιδερένιου πλαισίου είναι ζεύγος εσωτερικών δυνάμεων (δράση - αντίδραση): ο μαγνήτης έλκει το πλαίσιο προς τα εμπρός, αλλά και το πλαίσιο έλκει τον μαγνήτη (άρα το καλάμι, τον μαθητή και το καρότσι) προς τα πίσω.
Σελ. 152: «Οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν να μεταβάλουν την ορμή του συστήματος». Η αρχική ορμή είναι μηδέν, άρα μένει μηδέν.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι. Η έλξη μεταξύ μαγνήτη και σιδερένιου πλαισίου είναι εσωτερική δύναμη του συστήματος «όχημα - μαθητής - μαγνήτης» και δεν μπορεί να μεταβάλει την ορμή του, που αρχικά είναι μηδέν. Η δύναμη στο πλαίσιο αναιρείται από την αντίθετη δύναμη που μέσω του καλαμιού ασκείται στο ίδιο το όχημα.

4.55 Σωστό-Λάθος για μεταβολή ορμής και δύναμη

Ερώτηση: 4.55 Σημειώστε με Σ τις σωστές και με Λ τις λανθασμένες από τις παρακάτω προτάσεις: α) Όταν ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα σε μια ανηφόρα, η μεταβολή της ορμής του είναι μηδέν. β) Όταν ένα ποδήλατο κινείται με σταθερή ταχύτητα, η μεταβολή της ορμής του είναι μηδέν. γ) Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα και η μεταβολή της ορμής του είναι διανύσματα αντίρροπα. δ) Για να μεταβληθεί η ορμή ενός συστήματος, πρέπει να δεχτεί δύναμη από το περιβάλλον του.

Απάντηση:

α) Σταθερή ταχύτητα (διάνυσμα) → ΔΡ = mΔυ = 0, ακόμη και στην ανηφόρα (ευθύγραμμη) → Σ.
β) Ομοίως, σταθερή ταχύτητα → ΔΡ = 0 → Σ.
γ) ΔΡ = FΔt (σελ. 145) με Δt > 0 → η δύναμη και η μεταβολή της ορμής είναι ομόρροπα → Λ.
δ) Σελ. 152: «Οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν να μεταβάλουν την ορμή του συστήματος»· ΣF_εξωτ = ΔΡ/Δt (4.13) → Σ.

Σύνοψη: α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στο α) και β) «σταθερή ταχύτητα» εννοείται σταθερό διάνυσμα (ευθύγραμμη ομαλή κίνηση)· σε στροφή με σταθερό μέτρο η ορμή θα άλλαζε (βλ. 4.51).

4.56 Μέγιστη διάρκεια χτυπήματος καράτε για να σπάσει το τούβλο

Ερώτηση: 4.56 Ένας αθλητής του “καράτε” εκτελεί ένα χτύπημα με το πόδι του, προκείμενου να σπάσει ένα τούβλο. Αν η ελάχιστη δύναμη για τη θραύση του τούβλου είναι F0 και η ορμή που αναπτύσσει το πόδι του αθλητή είναι Ρ, να βρεθεί ο μέγιστος χρόνος tm, που επιτρέπεται να διαρκεί το χτύπημα, ώστε να σπάσει το τούβλο.

Απάντηση:

Κατά το χτύπημα το πόδι σταματά: \( \Delta P = 0 - P \), μέτρο P.
Νόμος μεταβολής της ορμής (σελ. 145): \( F = \dfrac{\Delta P}{\Delta t} = \dfrac{P}{\Delta t} \). Ίση δύναμη (δράση - αντίδραση) δέχεται το τούβλο.
Για θραύση: \( F \ge F_0 \Rightarrow \dfrac{P}{\Delta t} \ge F_0 \Rightarrow \Delta t \le \dfrac{P}{F_0} \).

Σύνοψη: \( t_m = \dfrac{P}{F_0} \): το χτύπημα πρέπει να διαρκεί το πολύ τόσο· όσο πιο σύντομο, τόσο μεγαλύτερη η δύναμη.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Θεωρείται ότι το πόδι ακινητοποιείται κατά την επαφή (όλη η ορμή P μεταβιβάζεται).

4.57 Ταχύτητα βαγονιού με όπλο μετά τον πυροβολισμό (διερεύνηση)

Ερώτηση: 4.57 Το πυροβόλο όπλο του σχήματος τοποθετημένο σταθερά πάνω στο βαγόνι, κινείται με σταθερή ταχύτητα υ0. Η συνολική μάζα όπλου και βαγονιού είναι Μ, ενώ η μάζα της σφαίρας είναι m. Κάποια στιγμή το όπλο πυροβολεί και η σφαίρα εξέρχεται από την κάννη με ταχύτητα υ. Να βρεθεί η ταχύτητα του συστήματος “όπλο-βαγόνι” μετά τον πυροβολισμό (διερεύνηση). [Σχήμα: η ταχύτητα υ₀ του βαγονιού και η ταχύτητα υ της σφαίρας έχουν την ίδια φορά (προς τα δεξιά).]

Απάντηση:

Οι δυνάμεις της εκπυρσοκρότησης είναι εσωτερικές· στον οριζόντιο άξονα δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις, άρα η ορμή διατηρείται (σελ. 151, 154).
Πριν: όλο το σύστημα (M + m) κινείται με \( \upsilon_0 \): \( P_{πριν} = (M + m)\upsilon_0 \). Μετά: \( P_{μετά} = m\upsilon + MV \) (θετική φορά: της κίνησης).
\( (M + m)\upsilon_0 = m\upsilon + MV \Rightarrow V = \dfrac{(M + m)\upsilon_0 - m\upsilon}{M} \).
Διερεύνηση: αν \( m\upsilon < (M + m)\upsilon_0 \), V > 0 — το βαγόνι συνεχίζει προς τα εμπρός πιο αργά· αν \( m\upsilon = (M + m)\upsilon_0 \), V = 0 — σταματά· αν \( m\upsilon > (M + m)\upsilon_0 \), V < 0 — κινείται προς τα πίσω.
Για \( \upsilon_0 = 0 \) η σχέση δίνει \( V = -\dfrac{m\upsilon}{M} \), την ταχύτητα ανάκρουσης της σελ. 154.

Σύνοψη: \( V = \dfrac{(M + m)\upsilon_0 - m\upsilon}{M} \). Το βαγόνι επιβραδύνεται και: συνεχίζει προς τα εμπρός αν \( m\upsilon < (M + m)\upsilon_0 \), σταματά αν \( m\upsilon = (M + m)\upsilon_0 \), κινείται προς τα πίσω αν \( m\upsilon > (M + m)\upsilon_0 \).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η υ θεωρείται ταχύτητα της σφαίρας ως προς το έδαφος και η M δεν περιλαμβάνει τη σφαίρα («συνολική μάζα όπλου και βαγονιού»).

4.58 Βάρκα με πανί και ανεμιστήρα: ποιος μαθητής έχει δίκιο

Ερώτηση: 4.58 Σε μια μικρή βάρκα με πανί βρίσκονται τρεις μαθητές. Η λίμνη στην οποία ψαρεύουν είναι απόλυτα ήρεμη και επικρατεί άπνοια. Ο ένας από αυτούς κρατάει στα χέρια του έναν ισχυρό ανεμιστήρα και λέει: «Αν στρέψω τον ανεμιστήρα στο πανί θα είναι σαν να φυσάει ο αέρας, οπότε θα βγούμε στην ακτή». Ο δεύτερος διαφωνεί και λέει: «Δε θα κινηθούμε, διότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής». Ο τρίτος, τέλος, διαφωνώντας με τους άλλους δύο, λέει: «Θα κινηθούμε, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση του ρεύματος αέρα που δημιουργεί ο ανεμιστήρας». Αν θεωρήσουμε την αντίσταση του νερού της λίμνης αμελητέα, συζητήστε ποιος από τους τρεις έχει δίκιο.

Απάντηση:

Σύστημα: βάρκα - πανί - μαθητές - ανεμιστήρας - αέρας που κινείται ανάμεσα σε ανεμιστήρα και πανί. Η αρχική ορμή είναι μηδέν και, χωρίς εξωτερικές οριζόντιες δυνάμεις (αμελητέα αντίσταση νερού), διατηρείται (σελ. 151-152).
Ο ανεμιστήρας σπρώχνει αέρα προς το πανί και δέχεται ο ίδιος (άρα η βάρκα) αντίθετη δύναμη, προς τα πίσω — όπως η ανάκρουση (σελ. 154).
Ο αέρας χτυπά το πανί και του δίνει δύναμη προς τα εμπρός. Αν όλος ο αέρας ανακόπτεται από το πανί, οι δύο δυνάμεις είναι εσωτερικές και αλληλοαναιρούνται: η βάρκα δεν κινείται — δίκιο έχει ο δεύτερος.
Ο τρίτος θα είχε δίκιο αν ο ανεμιστήρας έστελνε τον αέρα έξω από τη βάρκα (π.χ. στραμμένος προς τα πίσω, μακριά από το πανί): τότε η βάρκα θα κινούνταν αντίθετα από το ρεύμα, σαν πύραυλος (σελ. 155-156).
Ο πρώτος συγχέει τον εξωτερικό άνεμο (εξωτερική δύναμη) με τον αέρα του ανεμιστήρα, που ανήκει στο σύστημα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Στην ιδανική περίπτωση που όλο το ρεύμα του ανεμιστήρα σταματά στο πανί, δίκιο έχει ο δεύτερος: οι δυνάμεις ανεμιστήρα - αέρα - πανιού είναι εσωτερικές και η ορμή της βάρκας μένει μηδέν. Ο τρίτος θα είχε δίκιο μόνο αν ο αέρας έφευγε από τη βάρκα χωρίς να χτυπά το πανί. Ο πρώτος κάνει λάθος, γιατί ο αέρας του ανεμιστήρα δεν είναι εξωτερικός άνεμος.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στην πράξη το αποτέλεσμα εξαρτάται από το τι γίνεται ο αέρας: αν ανακλάται από το πανί προς τα πίσω, η βάρκα κινείται ελαφρά προς τα εμπρός· αν μέρος του ξεφεύγει γύρω από το πανί, ελαφρά προς τα πίσω. Αποδεκτή κάθε τεκμηριωμένη συζήτηση με βάση την αρχή διατήρησης της ορμής.

4.59 Βλήμα σφηνώνεται σε ξύλο που μετά ανεβαίνει σε κεκλιμένο

Ερώτηση: 4.59 Βλήμα μάζας m = 100gr κινούμενο με ταχύτητα υ = 300m/s σφηνώνεται σε ακίνητο κομμάτι ξύλου μάζας Μ = 2,9kg. Το συσσωμάτωμα (βλήμα-ξύλο), αφού διατρέξει διάστημα s = 10m σε λείο οριζόντιο δάπεδο, ανέρχεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30º. Να υπολογιστούν: α) Το διάστημα που διατρέχει το συσσωμάτωμα στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι να σταματήσει να κινείται. β) Οι χρόνοι κίνησης στο οριζόντιο και στο κεκλιμένο επίπεδο (g = 10m/s²).

Απάντηση:

Κρούση (διατήρηση ορμής, σελ. 153): \( m\upsilon = (m + M)V \Rightarrow V = \dfrac{0{,}1\cdot 300}{0{,}1 + 2{,}9} = \dfrac{30}{3} = 10\ \text{m/s} \).
Οριζόντιο λείο δάπεδο: ΣF = 0 → ομαλή κίνηση με 10 m/s: \( t_1 = \dfrac{s}{V} = \dfrac{10}{10} = 1\ \text{s} \).
Λείο κεκλιμένο, ανερχόμενο σώμα: \( \alpha = -g\,\eta\mu\varphi = -10\cdot 0{,}5 = -5\ \text{m/s}^2 \) (σελ. 135).
α) Ολικό διάστημα (4.8): \( s_{Ολ} = \dfrac{V^2}{2|\alpha|} = \dfrac{100}{10} = 10\ \text{m} \).
β) Ολικός χρόνος (4.7): \( t_2 = \dfrac{V}{|\alpha|} = \dfrac{10}{5} = 2\ \text{s} \).

Σύνοψη: α) Στο κεκλιμένο επίπεδο διατρέχει 10 m (με αρχική ταχύτητα V = 10 m/s). β) Χρόνος στο οριζόντιο 1 s, στο κεκλιμένο (ως να σταματήσει) 2 s.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η μετάβαση από το οριζόντιο στο κεκλιμένο θεωρείται ομαλή, χωρίς απώλεια ταχύτητας.

4.60 Βόμβα που διασπάται σε τρία κομμάτια

Ερώτηση: 4.60 Μια βόμβα αρχικά ακίνητη εκρήγνυται και διασπάται σε τρία κομμάτια. Τα δύο από αυτά έχουν ίσες μάζες και ταχύτητες και κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις μεταξύ τους. Αν το τρίτο κομμάτι έχει διπλάσια μάζα από τα άλλα, να βρεθεί η ταχύτητά του V. [Σχήμα: κομμάτι m με ταχύτητα υ προς τα πάνω, κομμάτι m με ταχύτητα υ προς τα δεξιά, κομμάτι 2m με ταχύτητα V προς τα κάτω αριστερά.]

Απάντηση:

Οι δυνάμεις της έκρηξης είναι εσωτερικές· η αρχική ορμή είναι μηδέν και διατηρείται (σελ. 151-152): \( \vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{P}_3 = 0 \).
Οι δύο κάθετες ορμές μέτρου mυ έχουν συνισταμένη \( m\upsilon\sqrt{2} \) (σελ. 144), στη διχοτόμο της ορθής γωνίας.
Το τρίτο κομμάτι πρέπει να έχει αντίθετη ορμή: \( 2mV = m\upsilon\sqrt{2} \Rightarrow V = \dfrac{\upsilon\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\,\upsilon \).

Σύνοψη: \( V = \dfrac{\upsilon\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\,\upsilon \), με κατεύθυνση αντίθετη από τη διχοτόμο των διευθύνσεων των δύο άλλων κομματιών (135° από καθεμιά).

4.61 Από τι εξαρτάται η τριβή ολίσθησης

Ερώτηση: 4.61 Η τριβή ολίσθησης εξαρτάται: α) από τη μάζα του σώματος που ολισθαίνει β) από την ταχύτητα ολίσθησης γ) από το είδος της επιφάνειας του σώματος που ολισθαίνει δ) από την επιτάχυνση του σώματος που ολισθαίνει. Χαρακτηρίστε με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) τις παραπάνω προτάσεις.

Απάντηση:

Σελ. 167: η τριβή ολίσθησης «είναι ανεξάρτητη από το εμβαδόν των επιφανειών και από την ταχύτητα ολίσθησης... ενώ εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών και από την κάθετη δύναμη αλληλεπίδρασης», T = ηN (4.16).
α) Μέσω της κάθετης δύναμης: σε οριζόντιο επίπεδο N = B = mg, άρα T = ηmg — μεγαλύτερη μάζα, μεγαλύτερη τριβή → Σ.
β) Ανεξάρτητη από την ταχύτητα (εντός ορίων) → Λ.
γ) Εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών (συντελεστής η, πίνακας 4.5) → Σ.
δ) Η T = ηN δεν περιέχει την επιτάχυνση → Λ.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α) Σ (μέσω της κάθετης δύναμης N), β) Λ, γ) Σ, δ) Λ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η α) εξαρτάται από τη διατύπωση: η τριβή δεν εξαρτάται απευθείας από τη μάζα αλλά από την κάθετη δύναμη N, που συνήθως (οριζόντιο ή κεκλιμένο επίπεδο) είναι ανάλογη της μάζας· αν N οφείλεται σε άλλη δύναμη (π.χ. 4.76), η μάζα δεν παίζει ρόλο.

4.62 Σε ποια περίπτωση είναι μεγαλύτερη η τριβή ολίσθησης

Ερώτηση: 4.62 Σε ποια από τις δυο περιπτώσεις του σχήματος θα είναι μεγαλύτερη η τριβή ολίσθησης; [Σχήμα: δύο ίδια σώματα μάζας m σε οριζόντιο δάπεδο· στο αριστερό η δύναμη F είναι οριζόντια, στο δεξί η F σχηματίζει γωνία προς τα πάνω με το οριζόντιο.]

Απάντηση:

T = ηN (σελ. 167)· η τριβή εξαρτάται από την κάθετη δύναμη, που βρίσκεται από \( \Sigma F_y = 0 \) (σελ. 169).
Οριζόντια F: \( N_1 = mg \Rightarrow T_1 = \eta mg \).
Πλάγια F προς τα πάνω υπό γωνία θ: η κατακόρυφη συνιστώσα \( F\eta\mu\theta \) «σηκώνει» το σώμα: \( N_2 + F\eta\mu\theta - mg = 0 \Rightarrow N_2 = mg - F\eta\mu\theta < mg \Rightarrow T_2 < T_1 \).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Μεγαλύτερη τριβή ολίσθησης έχει η πρώτη περίπτωση (οριζόντια F), γιατί εκεί η κάθετη δύναμη είναι N = mg, ενώ στη δεύτερη η κατακόρυφη συνιστώσα της F μειώνει την κάθετη δύναμη σε N = mg − Fημθ.

4.63 Δυνάμεις σε σώμα που κινείται με σταθερή ταχύτητα

Ερώτηση: 4.63 Το σώμα του σχήματος, που αρχικά ήταν ακίνητο τώρα κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα. Σχεδιάστε και ονομάστε τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό. [Σχήμα: σώμα πάνω σε οριζόντιο δάπεδο.]

Απάντηση:

Για να ξεκινήσει από την ηρεμία, κάποια δύναμη F (π.χ. ένα χέρι που το σπρώχνει) υπερνίκησε την οριακή τριβή (σελ. 163-164)· τώρα κινείται με σταθερή ταχύτητα → ΣF = 0 (1ος νόμος, σελ. 102).
Δυνάμεις πεδίου: το βάρος Β, κατακόρυφα προς τα κάτω (σελ. 131).
Δυνάμεις επαφής: η κάθετη αντίδραση Ν του δαπέδου προς τα πάνω· η τριβή ολίσθησης Τ προς τα αριστερά, αντίθετη της ταχύτητας (σελ. 165)· η οριζόντια δύναμη F προς τα δεξιά, που το κινεί.
Ισορροπία δυνάμεων: Ν = Β (ΣF_y = 0) και F = Τ = ηΝ (ΣF_x = 0, σελ. 169).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Βάρος Β (κάτω), κάθετη αντίδραση Ν (πάνω, Ν = Β), τριβή ολίσθησης Τ (αριστερά, αντίθετη της ταχύτητας) και η δύναμη F που το σπρώχνει (δεξιά, F = Τ), ώστε ΣF = 0 και η ταχύτητα να μένει σταθερή.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αν το δάπεδο θεωρηθεί λείο, δεν υπάρχει τριβή και δεν χρειάζεται F: το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα λόγω αδράνειας, με μόνες δυνάμεις Β και Ν.

4.64 Συμπλήρωση κενών για στατική, οριακή και ολίσθησης τριβή

Ερώτηση: 4.64 Η δύναμη που εμποδίζει τα σώματα να αρχίσουν να κινούνται λέγεται ........... τριβή, και η μέγιστη τιμή της ονομάζεται ........... τριβή. Όταν το σώμα αρχίζει να κινείται, η ........... τριβή μετατρέπεται σε τριβή...........

Απάντηση:

Σελ. 163: «Οι δυνάμεις τριβής οι οποίες αναπτύσσονται μεταξύ επιφανειών που είναι ακίνητες και εμποδίζουν να αρχίσει η κίνησή τους λέγονται δυνάμεις στατικής τριβής».
Σελ. 164: «Η μέγιστη τιμή την οποία μπορεί να πάρει η στατική τριβή λέγεται οριακή τριβή»· όταν η δύναμη την υπερβεί, «η τριβή από στατική μετατρέπεται σε τριβή ολίσθησης».

Σύνοψη: στατική — οριακή — στατική — ολίσθησης.

4.65 Γιατί είναι ευκολότερο να διατηρούμε την ολίσθηση παρά να την ξεκινάμε

Ερώτηση: 4.65 Εξηγήστε γιατί είναι πιο εύκολο να ολισθαίνουμε ένα σώμα με σταθερή ταχύτητα παρά να το αναγκάσουμε να αρχίσει να ολισθαίνει;

Απάντηση:

Για να αρχίσει η ολίσθηση πρέπει η δύναμη να ξεπεράσει την οριακή τριβή T_Ορ (σελ. 163-164): «Η μέγιστη δύναμη στατικής τριβής είναι ίση με την ελάχιστη δύναμη η οποία απαιτείται, για να αρχίσει η ολίσθηση» (σελ. 166).
Για ολίσθηση με σταθερή ταχύτητα αρκεί η δύναμη να ισούται με την τριβή ολίσθησης (ΣF = 0, σελ. 169).
Σελ. 163, 166: «Ισχύει ΤΟλ < ΤΟρ» — «οι δυνάμεις τριβής ολίσθησης είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες δυνάμεις οριακής τριβής» (π.χ. ξύλο - ξύλο: 0,65 έναντι 0,40, πίνακας 4.5).

Σύνοψη: Γιατί η τριβή ολίσθησης είναι μικρότερη από την οριακή (στατική) τριβή: για να ξεκινήσει η ολίσθηση χρειάζεται δύναμη μεγαλύτερη από την οριακή τριβή, ενώ για να συνεχιστεί με σταθερή ταχύτητα αρκεί δύναμη ίση με τη μικρότερη τριβή ολίσθησης.

4.66 Σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο 30° με δύναμη 25 Ν και τριβή

Ερώτηση: 4.66 Σώμα μάζας m=1kg κινείται με την επίδραση δύναμης F=25N σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30º. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι \( \eta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) και g = 10m/s², ζητούνται τα εξής: α) Να σχεδιαστούν οι υπόλοιπες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. β) Να υπολογιστεί η τριβή ολίσθησης. γ) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος. [Σχήμα: σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο· η F ασκείται παράλληλα στο επίπεδο, προς τα πάνω.]

Απάντηση:

α) Βάρος Β = mg = 10 N κατακόρυφα, με συνιστώσες \( B_x = mg\,\eta\mu 30^\circ = 5\ \text{N} \) (προς τη βάση) και \( B_y = mg\,\sigma\upsilon\nu 30^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\ \text{N} \) (κάθετα στο επίπεδο)· κάθετη αντίδραση Ν· τριβή ολίσθησης Τ παράλληλα στο επίπεδο προς τα κάτω, αντίθετη στην κίνηση (σελ. 172-173).
β) \( \Sigma F_y = 0 \Rightarrow N = B_y = 5\sqrt{3}\ \text{N} \)· \( T = \eta N = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5\sqrt{3} = 7{,}5\ \text{N} \) (σελ. 169).
γ) \( \Sigma F_x = m\alpha \Rightarrow F - B_x - T = m\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{25 - 5 - 7{,}5}{1} = 12{,}5\ \text{m/s}^2 \), προς τα πάνω (κατά τη φορά της F).

Σύνοψη: α) Β (με Βx = 5 N και By ≈ 8,66 N), Ν και Τ προς τα κάτω κατά μήκος του επιπέδου. β) Τ = 7,5 N. γ) α = 12,5 m/s² προς τα πάνω.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Θεωρείται ότι το σώμα ανεβαίνει (η F = 25 N υπερβαίνει πολύ τη Bx + T = 12,5 N).

4.67 Δύο σώματα με σχοινί, δύναμη 20 Ν και τριβή

Ερώτηση: 4.67 Δύο σώματα Σ1 και Σ2 μαζών m1=1kg, m2=9kg αντίστοιχα, που αρχικά ηρεμούν, συνδέονται με αβαρές σχοινί. Στο σώμα Σ2 ασκείται οριζόντια δύναμη F=20N. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σωμάτων και επιπέδου είναι η=0,1 και g=10m/s², ζητούνται τα εξής: α) Να σχεδιαστούν οι υπόλοιπες δυνάμεις που ασκούνται στα δύο σώματα. β) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του συστήματος των σωμάτων. γ) Να βρεθεί η τάση του σχοινιού. δ) Πόση θα είναι η ταχύτητα των σωμάτων τη χρονική στιγμή t = 5s; ε) Υποθέστε ότι τη χρονική στιγμή t = 5s η δύναμη F ξαφνικά παύει να ασκείται. Τι είδους κίνηση θα κάνουν τα σώματα; Τι θα συμβεί στο σχοινί; [Σχήμα: Σ₁ αριστερά, Σ₂ δεξιά, δεμένα με σχοινί σε οριζόντιο επίπεδο· η F ασκείται στο Σ₂ προς τα δεξιά.]

Απάντηση:

α) Σ₁: βάρος \( B_1 = 10\ \text{N} \), κάθετη αντίδραση \( N_1 \), τριβή \( T_1 \) προς τα αριστερά, τάση f του σχοινιού προς τα δεξιά. Σ₂: βάρος \( B_2 = 90\ \text{N} \), \( N_2 \), τριβή \( T_2 \) προς τα αριστερά, τάση f΄ προς τα αριστερά, F προς τα δεξιά.
Κάθετες: \( N_1 = B_1 = 10\ \text{N} \), \( N_2 = B_2 = 90\ \text{N} \)· τριβές \( T_1 = \eta N_1 = 1\ \text{N} \), \( T_2 = \eta N_2 = 9\ \text{N} \) (σελ. 169).
β) Σύστημα (οι τάσεις αλληλοαναιρούνται): \( F - T_1 - T_2 = (m_1 + m_2)\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{20 - 10}{10} = 1\ \text{m/s}^2 \).
γ) Σ₁: \( f - T_1 = m_1\alpha \Rightarrow f = 1 + 1 = 2\ \text{N} \). Έλεγχος Σ₂: \( 20 - 2 - 9 = 9 = m_2\alpha \) ✓.
δ) \( \upsilon = \alpha t = 1\cdot 5 = 5\ \text{m/s} \) (από ηρεμία).
ε) Χωρίς F, σε κάθε σώμα η μόνη οριζόντια δύναμη (με χαλαρό σχοινί) είναι η τριβή του: \( \alpha_1 = -\eta g = -1\ \text{m/s}^2 \) και \( \alpha_2 = -\eta g = -1\ \text{m/s}^2 \) — ίδια επιβράδυνση (όπως στο παράδειγμα της σελ. 170, α = −ηg). Άρα και τα δύο εκτελούν ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με ίσες ταχύτητες κάθε στιγμή, η απόστασή τους δεν αλλάζει και το σχοινί χαλαρώνει (τάση μηδέν). Σταματούν μαζί σε \( t_{ολ} = 5/1 = 5\ \text{s} \), αφού διανύσουν \( s_{ολ} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5\ \text{m} \).

Σύνοψη: β) α = 1 m/s². γ) f = 2 N. δ) υ = 5 m/s. ε) Ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με επιβράδυνση ηg = 1 m/s² για κάθε σώμα· επειδή επιβραδύνονται εξίσου, το σχοινί χαλαρώνει (τάση μηδέν) και σταματούν μαζί ύστερα από 5 s και 12,5 m.

4.68 Σωστή πρόταση για τριβή ολίσθησης και τριβή κύλισης

Ερώτηση: 4.68 Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή: α) Η τριβή ολίσθησης είναι μεγαλύτερη από την τριβή κύλισης. β) Η τριβή ολίσθησης είναι δύναμη, ενώ η τριβή κύλισης είναι ροπή. γ) Η τριβή ολίσθησης είναι σταθερή, ενώ η τριβή κύλισης μεταβάλλεται.

Απάντηση:

Σελ. 174: «η τριβή κύλισης είναι μια ροπή, η οποία παρεμποδίζει την περιστροφή του κυλιόμενου σώματος ενώ η τριβή ολίσθησης, είναι μια δύναμη» → β) σωστή.
α) Δύναμη και ροπή είναι διαφορετικά μεγέθη (N και N·m) και δεν συγκρίνονται άμεσα· η κύλιση είναι ευκολότερη (σελ. 176), αλλά η διατύπωση δεν είναι ακριβής.
γ) Και η τριβή κύλισης M = BL (4.17) είναι σταθερή για δεδομένο βάρος και συντελεστή L.

Σύνοψη: Σωστή είναι η β): η τριβή ολίσθησης είναι δύναμη, ενώ η τριβή κύλισης είναι ροπή.

4.69 Ένα φαινόμενο για κάθε είδος τριβής

Ερώτηση: 4.69 Να περιγράψετε ένα φαινόμενο για κάθε είδος τριβής (ολίσθησης, στατική, κύλισης)

Απάντηση:

Τριβή ολίσθησης (σελ. 165): εμφανίζεται σε επιφάνειες σε σχετική κίνηση — π.χ. αυτοκίνητο που φρενάρει απότομα με μπλοκαρισμένους τροχούς και γλιστράει στην άσφαλτο, ή κιβώτιο που το σέρνουμε στο πάτωμα.
Στατική τριβή (σελ. 163-164): εμποδίζει την έναρξη της κίνησης — π.χ. το βάδισμα (το έδαφος μας ωθεί εμπρός με στατική τριβή), ένα βιβλίο που μένει ακίνητο σε κεκλιμένο θρανίο, ένα σταθμευμένο αυτοκίνητο σε ανηφόρα.
Τριβή κύλισης (σελ. 174-176): ροπή που αντιστέκεται στην κύλιση λόγω παραμόρφωσης — π.χ. μια μπάλα που κυλά στο γρασίδι σταματά σιγά-σιγά· ένα ποδήλατο με ξεφούσκωτα λάστιχα απαιτεί περισσότερη δύναμη.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ολίσθησης: αυτοκίνητο με μπλοκαρισμένους τροχούς ή κιβώτιο που σέρνεται. Στατική: το βάδισμα ή ένα βιβλίο που μένει ακίνητο σε κεκλιμένη επιφάνεια. Κύλισης: μπάλα που κυλά και σταματά σιγά-σιγά ή ποδήλατο με ξεφούσκωτα λάστιχα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αποδεκτό κάθε σωστό παράδειγμα που αντιστοιχεί στον ορισμό κάθε τριβής.

4.70 Τραμ ή τρόλεϊ: η τριβή κύλισης

Ερώτηση: 4.70 Έως τα μέσα περίπου της δεκαετίας του 1950 το κύριο συγκοινωνιακό μέσο στην Αθήνα ήταν το τραμ. Το τραμ είναι ένα μικρό ηλεκτρικό βαγόνι, το οποίο κυλάει σε ράγες και χρησιμοποιείται και σήμερα σε πολλές ευρωπαϊκές πόλεις. Πολλοί ισχυρίζονται ότι η αντικατάσταση του τραμ από τα σημερινά τρόλεϊ, τα οποία χρησιμοποιούν συνηθισμένες ρόδες, ήταν λανθασμένη ενέργεια. Πού κατά τη γνώμη σας στηρίζεται ο ισχυρισμός αυτός;

Απάντηση:

Σελ. 176: «Τα τρένα έχουν μεταλλικούς τροχούς που κυλίονται στις σιδηροτροχιές, ακριβώς για να ελαχιστοποιείται η παραμόρφωση και επομένως και ο συντελεστής τριβής κύλισης L».
Πίνακας 4.6: τροχός σιδηροδρόμου L = 0,002 cm, τροχός αυτοκινήτου σε άσφαλτο L = 0,035 cm — περίπου 17 φορές μεγαλύτερος.
Από τη συνθήκη κύλισης F = B·L/R (4.18), για ίδιο βάρος και ακτίνα η απαιτούμενη δύναμη έλξης είναι ανάλογη του L: το τραμ χρειάζεται πολύ μικρότερη δύναμη, άρα και λιγότερη ενέργεια, για να κινηθεί.

Σύνοψη: Στο ότι το τραμ, με μεταλλικούς τροχούς σε μεταλλικές ράγες, έχει πολύ μικρότερο συντελεστή τριβής κύλισης (0,002 cm) από τους λαστιχένιους τροχούς του τρόλεϊ στην άσφαλτο (0,035 cm). Έτσι απαιτεί πολύ μικρότερη δύναμη έλξης (F = B·L/R) για το ίδιο βάρος και καταναλώνει λιγότερη ενέργεια.

4.71 «Σταμάτα-ξεκίνα» και κατανάλωση βενζίνης

Ερώτηση: 4.71 Συζητήστε την ακόλουθη φράση: “Συνάντησα μεγάλη κίνηση στο δρόμο και με το “σταμάτα-ξεκίνα” του αυτοκινήτου μου σχεδόν ξέμεινα από βενζίνη”.

Απάντηση:

Σε κάθε ξεκίνημα το αυτοκίνητο πρέπει να αποκτήσει από την αρχή ορμή: χρειάζεται δύναμη έλξης μεγαλύτερη από τις αντιστάσεις, για να επιταχυνθεί (ΣF = mα, ΔΡ = FΔt, σελ. 125, 145), και ο κινητήρας καταναλώνει γι' αυτό καύσιμο.
Σε κάθε φρενάρισμα η ορμή αυτή «χάνεται» μέσω της τριβής των φρένων, άρα η προσπάθεια του κινητήρα πάει χαμένη και πρέπει να επαναληφθεί στο επόμενο ξεκίνημα.
Αντίθετα, με σταθερή ταχύτητα αρκεί δύναμη ίση με τις αντιστάσεις (τριβή κύλισης, αντίσταση αέρα, σελ. 104, 175-176) — και, όπως στην 4.65, η διατήρηση της κίνησης είναι ευκολότερη από την εκκίνησή της.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η φράση είναι σωστή. Στο «σταμάτα-ξεκίνα» ο κινητήρας πρέπει να επιταχύνει συνεχώς το αυτοκίνητο από την ακινησία (μεγάλη δύναμη για μεταβολή της ορμής), ενώ με κάθε φρενάρισμα η κίνηση που αποκτήθηκε χάνεται στην τριβή των φρένων. Έτσι καταναλώνεται πολύ περισσότερο καύσιμο απ' ό,τι σε κίνηση με σταθερή ταχύτητα, όπου ο κινητήρας απλώς υπερνικά τις αντιστάσεις.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η ποσοτική εξήγηση με την κινητική ενέργεια που χάνεται σε κάθε φρενάρισμα ανήκει στο Κεφάλαιο 5· αποδεκτή κάθε τεκμηριωμένη συζήτηση.

4.72 Γιατί η τριβή είναι μεγαλύτερη στο οριζόντιο απ' ό,τι στο κεκλιμένο

Ερώτηση: 4.72 Ένα σώμα εκτοξεύεται πρώτα σε οριζόντιο επίπεδο και έπειτα σε κεκλιμένο επίπεδο. Η τριβή ολίσθησης για το σώμα είναι μεγαλύτερη στο οριζόντιο επίπεδο απ’ ό,τι στο κεκλιμένο, διότι: α) Στο οριζόντιο κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα. β) Στο οριζόντιο η δύναμη Ν του επιπέδου είναι μεγαλύτερη από ό,τι στο κεκλιμένο. γ) Τίποτα από τα παραπάνω. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι η σωστή; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Απάντηση:

T = ηN (σελ. 167)· η τριβή ολίσθησης είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα → η α) απορρίπτεται.
Οριζόντιο: \( N = mg \)· κεκλιμένο γωνίας φ: \( N = mg\,\sigma\upsilon\nu\varphi < mg \) (σελ. 173), άρα \( T_{κεκλ} = \eta mg\,\sigma\upsilon\nu\varphi < T_{οριζ} = \eta mg \).

Σύνοψη: Σωστή η β): στο οριζόντιο επίπεδο η κάθετη δύναμη είναι N = mg, ενώ στο κεκλιμένο N = mg·συνφ < mg· αφού T = ηN, η τριβή είναι μεγαλύτερη στο οριζόντιο. Η ταχύτητα δεν επηρεάζει την τριβή ολίσθησης.

4.73 Αντιστοίχιση καταστάσεων αυτοκινήτου με είδη τριβής

Ερώτηση: 4.73 Να αντιστοιχίσετε τις καταστάσεις με τα μεγέθη: Φαινόμενο: α) Αυτοκίνητο είναι ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο. β) Αυτοκίνητο είναι ακίνητο σε κεκλιμένο επίπεδο. γ) Αυτοκίνητο ανέρχεται σε κεκλιμένο επίπεδο. δ) Αυτοκίνητο κινείται με μπλοκαρισμένους τους τροχούς. Μέγεθος: Τριβή κύλισης ......... Τριβή ολίσθησης ......... Στατική τριβή .........

Απάντηση:

α) Ακίνητο σε οριζόντιο: καμία οριζόντια δύναμη δεν τείνει να το κινήσει, άρα ΣF_x = 0 χωρίς τριβή (Β = Ν) — δεν αντιστοιχεί σε κανένα από τα μεγέθη (σελ. 163: η στατική τριβή εμφανίζεται μόνο όταν κάποια δύναμη τείνει να κινήσει το σώμα).
β) Ακίνητο σε κεκλιμένο: η συνιστώσα Βx εξουδετερώνεται από στατική τριβή (σελ. 161-162, εικ. 4.55) → στατική τριβή.
γ) Ανέρχεται κυλώντας τους τροχούς → τριβή κύλισης (σελ. 174)· (η ώθηση στους κινητήριους τροχούς δίνεται από στατική τριβή, όπως στο βάδισμα).
δ) Μπλοκαρισμένοι τροχοί που γλιστρούν στον δρόμο → τριβή ολίσθησης (σελ. 165).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Τριβή κύλισης → γ)· Τριβή ολίσθησης → δ)· Στατική τριβή → β). Η κατάσταση α) δεν αντιστοιχεί σε κανένα μέγεθος (ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο δεν δέχεται τριβή).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ο πίνακας έχει τέσσερα φαινόμενα και τρία μεγέθη· το α) μένει χωρίς αντιστοίχιση.

4.74 Σωστό-Λάθος για τις τριβές

Ερώτηση: 4.74 Σημειώστε με Σ τις σωστές και με Λ τις λανθασμένες από τις παρακάτω προτάσεις: α) Η τριβή ολίσθησης οφείλεται στις ανωμαλίες των επιφανειών. β) Η οριακή τριβή είναι μικρότερη από την τριβή ολίσθησης. γ) Ο συντελεστής τριβής κύλισης είναι καθαρός αριθμός. δ) Η κύλιση είναι ευκολότερη από την ολίσθηση.

Απάντηση:

α) Σελ. 165: «Η τριβή ολίσθησης οφείλεται στις ανωμαλίες των επιφανειών» → Σ.
β) Σελ. 166: «οι δυνάμεις τριβής ολίσθησης είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες δυνάμεις οριακής τριβής» — ισχύει το αντίθετο → Λ.
γ) Σελ. 175: «Η απόσταση L ονομάζεται συντελεστής τριβής κύλισης, μετρείται συνήθως σε cm» — έχει διαστάσεις μήκους → Λ.
δ) Σελ. 176: «Είναι βέβαιο ότι η κύλιση είναι ευκολότερη από την ολίσθηση» → Σ.

Σύνοψη: α) Σ, β) Λ, γ) Λ, δ) Σ.

4.75 Διαφορές μεταξύ ειδών τριβής και συντελεστών

Ερώτηση: 4.75 Να αναφέρετε από μία διαφορά μεταξύ: • Στατικής τριβής - Τριβής ολίσθησης • Τριβής ολίσθησης - Τριβής κύλισης • Συντελεστή τριβής ολίσθησης - Συντελεστή τριβής κύλισης • Φρεναρίσματος σε βρεγμένο δρόμο - Φρεναρίσματος σε στεγνό δρόμο.

Απάντηση:

Στατική - ολίσθησης: η στατική εμφανίζεται μεταξύ ακίνητων επιφανειών και μεταβάλλεται (ίση με την ασκούμενη δύναμη ως την οριακή τιμή), ενώ η ολίσθησης εμφανίζεται σε σχετική κίνηση και είναι σταθερή και μικρότερη από την οριακή (σελ. 163-166).
Ολίσθησης - κύλισης: η τριβή ολίσθησης είναι δύναμη, ενώ η τριβή κύλισης είναι ροπή (σελ. 174).
Συντελεστές: ο συντελεστής τριβής ολίσθησης η = T/N είναι καθαρός αριθμός, ενώ ο συντελεστής τριβής κύλισης L είναι μήκος (μετριέται σε cm) (σελ. 167, 175).
Φρενάρισμα: σε βρεγμένο δρόμο ο συντελεστής τριβής είναι πολύ μικρότερος (καουτσούκ - άσφαλτος 0,80, καουτσούκ - βρεγμένη άσφαλτος 0,30 στην ολίσθηση, πίνακας 4.5)· άρα μικρότερη επιβράδυνση \( |\alpha| = \eta g \) και μεγαλύτερο ολικό διάστημα \( s_{ολ} = \dfrac{\upsilon_0^2}{2\eta g} \) (σελ. 169-170).

Σύνοψη: Στατική: σε ακίνητες επιφάνειες, μεταβλητή· ολίσθησης: σε κίνηση, σταθερή και μικρότερη από την οριακή. Ολίσθησης: δύναμη· κύλισης: ροπή. Συντελεστής ολίσθησης: καθαρός αριθμός· κύλισης: μήκος σε cm. Σε βρεγμένο δρόμο ο συντελεστής τριβής είναι μικρότερος, άρα η επιβράδυνση μικρότερη και η απόσταση ακινητοποίησης μεγαλύτερη απ' ό,τι σε στεγνό.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Σε κάθε ζεύγος αρκεί μία τεκμηριωμένη διαφορά.

4.76 Σώμα πιεσμένο σε κατακόρυφο τοίχο με τριβή

Ερώτηση: 4.76 Σώμα μάζας m=1kg στηρίζεται σε κατακόρυφο τοίχο με την επίδραση δύναμης F. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και τοίχου είναι η = 0,1, να υπολογιστεί η δύναμη F, ώστε το σώμα: α) να κατέρχεται με σταθερή ταχύτητα β) να κατέρχεται με επιτάχυνση α=5m/s² γ) να κατέρχεται με επιτάχυνση α=10m/s² (g=10m/s²). [Σχήμα: οριζόντια δύναμη F πιέζει το σώμα πάνω στον κατακόρυφο τοίχο.]

Απάντηση:

Οριζόντια (κάθετα στον τοίχο): \( \Sigma F_x = 0 \Rightarrow N = F \). Τριβή ολίσθησης προς τα πάνω (αντίθετη στην κίνηση): \( T = \eta N = \eta F \). Κατακόρυφα (θετική φορά προς τα κάτω): \( mg - \eta F = m\alpha \) (σελ. 169).
α) α = 0: \( mg = \eta F \Rightarrow F = \dfrac{mg}{\eta} = \dfrac{10}{0{,}1} = 100\ \text{N} \).
β) α = 5 m/s²: \( \eta F = m(g - \alpha) = 5 \Rightarrow F = 50\ \text{N} \).
γ) α = 10 m/s² = g: \( \eta F = 0 \Rightarrow F = 0 \) — το σώμα πέφτει ελεύθερα, χωρίς επαφή με τον τοίχο.

Σύνοψη: α) F = 100 N. β) F = 50 N. γ) F = 0 (ελεύθερη πτώση με α = g).

4.77 Κιβώτιο σε καρότσα φορτηγού που επιταχύνεται

Ερώτηση: 4.77 Κιβώτιο μάζας m είναι τοποθετημένο στο δάπεδο της καρότσας ενός φορτηγού, το οποίο κινείται με επιτάχυνση α. Ο συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ σώματος και δαπέδου είναι η = 0,1. α) Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στο κιβώτιο και να βρεθεί ποια απ’ αυτές το επιταχύνει. β) Πόση πρέπει να γίνει η επιτάχυνση του φορτηγού, ώστε το κιβώτιο να αρχίσει να ολισθαίνει μέσα στη καρότσα; (g=10m/s²) [Σχήμα: φορτηγό με επιτάχυνση α (προς τα αριστερά) και το κιβώτιο m στην καρότσα.]

Απάντηση:

α) Στο κιβώτιο ασκούνται: το βάρος B = mg (κάτω), η κάθετη αντίδραση N του δαπέδου (πάνω, N = mg) και η στατική τριβή T_Σ από το δάπεδο, οριζόντια με τη φορά της επιτάχυνσης του φορτηγού.
Όσο το κιβώτιο δεν γλιστρά, κινείται μαζί με το φορτηγό με επιτάχυνση α· η μόνη οριζόντια δύναμη είναι η στατική τριβή, άρα αυτή το επιταχύνει: \( T_Σ = m\alpha \) (σελ. 125, 163-164) — όπως η στατική τριβή στο βάδισμα.
β) Η στατική τριβή δεν μπορεί να ξεπεράσει την οριακή \( T_{ορ} = \eta N = \eta mg \) (4.14). Ολίσθηση αρχίζει όταν \( m\alpha > \eta mg \Rightarrow \alpha > \eta g = 0{,}1\cdot 10 = 1\ \text{m/s}^2 \).

Σύνοψη: α) Βάρος, κάθετη αντίδραση και στατική τριβή· το κιβώτιο το επιταχύνει η στατική τριβή (T_Σ = mα). β) Το κιβώτιο αρχίζει να ολισθαίνει όταν η επιτάχυνση του φορτηγού ξεπεράσει την τιμή ηg = 1 m/s².

4.78 Δύναμη για να κινηθεί το κάτω σώμα και τάση του νήματος

Ερώτηση: 4.78 Στη διάταξη της εικόνας θέλουμε να υπολογίσουμε την απαιτούμενη δύναμη F, ώστε το σώμα Σ2 να αρχίσει να κινείται. Πόση θα είναι τότε η τάση f του νήματος που συνδέει το σώμα Σ1 με το κατακόρυφο τοίχωμα; Δίνεται ότι οι συντελεστές οριακής τριβής μεταξύ των σωμάτων, καθώς και μεταξύ του σώματος Σ2 και του δαπέδου, είναι η (το g θεωρείται γνωστό). [Σχήμα: σώμα Σ₁ μάζας m πάνω στο σώμα Σ₂ μάζας 2m· το Σ₁ είναι δεμένο με οριζόντιο νήμα στον κατακόρυφο τοίχο αριστερά· η F τραβά το Σ₂ προς τα δεξιά.]

Απάντηση:

Σ₁ (μάζα m): κάθετη δύναμη από το Σ₂ \( N_1 = mg \)· όταν το Σ₂ τείνει να κινηθεί προς τα δεξιά, η τριβή στο Σ₁ είναι προς τα δεξιά και την εξουδετερώνει η τάση f (το Σ₁ μένει ακίνητο): \( f = T_1 = \eta mg \) (οριακή).
Σ₂ (μάζα 2m): δέχεται από το Σ₁ αντίθετη τριβή \( T_1 = \eta mg \) προς τα αριστερά (δράση - αντίδραση)· από το δάπεδο κάθετη \( N_2 = N_1 + 2mg = 3mg \) και οριακή τριβή \( T_2 = \eta\cdot 3mg \) προς τα αριστερά (σελ. 164).
Έναρξη κίνησης του Σ₂: \( F = T_1 + T_2 = \eta mg + 3\eta mg = 4\eta mg \).

Σύνοψη: Απαιτείται F = 4ηmg (ηmg για την τριβή με το Σ₁ και 3ηmg για την τριβή με το δάπεδο)· η τάση του νήματος είναι τότε f = ηmg.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Οι μάζες m (Σ₁) και 2m (Σ₂) διαβάζονται από το σχήμα της σελ. 180.

4.79 Επιτάχυνση σωμάτων σε κεκλιμένο με τριβή και τροχαλία

Ερώτηση: 4.79 Να βρεθεί η επιτάχυνση α, με την οποία κινούνται τα σώματα στην εικόνα, αν είναι γνωστά τα εξής: m1=30kg, m2=10kg, g=10m/s² φ=30º και n=0,1. [Σχήμα: σώμα m₁ σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ, δεμένο με σχοινί που περνά από τροχαλία στην κορυφή του επιπέδου· στο άλλο άκρο κρέμεται κατακόρυφα το σώμα m₂.]

Απάντηση:

Σύγκριση των κινούσων δυνάμεων: \( m_1 g\,\eta\mu 30^\circ = 30\cdot 10\cdot 0{,}5 = 150\ \text{N} \) (προς τη βάση) και \( m_2 g = 100\ \text{N} \). Χωρίς τριβή το m₁ θα κατέβαινε· η μέγιστη τριβή είναι \( T = \eta m_1 g\,\sigma\upsilon\nu 30^\circ = 0{,}1\cdot 300\cdot 0{,}866 \approx 26\ \text{N} < 150 - 100 = 50\ \text{N} \), άρα το m₁ κατεβαίνει και το m₂ ανεβαίνει.
Για το m₁: \( N_1 = m_1 g\,\sigma\upsilon\nu 30^\circ = 150\sqrt{3} \approx 259{,}8\ \text{N} \), \( T = \eta N_1 \approx 26\ \text{N} \) προς τα πάνω (αντίθετη στην κίνηση, σελ. 169).
Θεμελιώδης νόμος για το σύστημα (ο άξονας «κάμπτεται» στην τροχαλία, σελ. 172): \( m_1 g\,\eta\mu 30^\circ - T - m_2 g = (m_1 + m_2)\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{150 - 26 - 100}{40} \approx \dfrac{24}{40} = 0{,}6\ \text{m/s}^2 \).

Σύνοψη: α ≈ 0,6 m/s² (το m₁ κατεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο και το m₂ ανεβαίνει).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η φορά κίνησης δεν δίνεται· βρέθηκε συγκρίνοντας τις κινούσες δυνάμεις (150 Ν έναντι 100 Ν) με τη μέγιστη τριβή (≈ 26 Ν). Ακριβής τιμή: α = (50 − 15√3)/40 ≈ 0,60 m/s².

4.80 Κιβώτιο κολλημένο στο μπροστινό μέρος οχήματος

Ερώτηση: 4.80 Όχημα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση α. Ένα κιβώτιο παρασύρεται από το όχημα και παραμένει προσκολλημένο στο μπροστινό μέρος του χωρίς να έρχεται σε επαφή με το δρόμο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και οχήματος είναι η, να δειχτεί ότι \( \eta = \dfrac{g}{\alpha} \). [Σχήμα: φορτηγάκι με επιτάχυνση α προς τα δεξιά και το κιβώτιο κολλημένο στη μπροστινή του επιφάνεια, πάνω από το έδαφος.]

Απάντηση:

Οριζόντια: το όχημα σπρώχνει το κιβώτιο με την κάθετη δύναμη Ν της μπροστινής του επιφάνειας· αφού το κιβώτιο κινείται μαζί του με επιτάχυνση α: \( N = m\alpha \) (σελ. 125).
Κατακόρυφα: το κιβώτιο δεν πέφτει, άρα το βάρος εξουδετερώνεται από την τριβή με την επιφάνεια του οχήματος, που είναι κατακόρυφη προς τα πάνω: \( T = mg \).
Στο όριο (το κιβώτιο ίσα-ίσα δεν γλιστρά προς τα κάτω) η τριβή παίρνει τη μέγιστη τιμή της, \( T = \eta N \) (σελ. 164, 167): \( mg = \eta m\alpha \Rightarrow \eta = \dfrac{g}{\alpha} \).

Σύνοψη: Από \( N = m\alpha \) (οριζόντια) και \( T = mg = \eta N \) (κατακόρυφα) προκύπτει \( \eta = \dfrac{g}{\alpha} \). Για μεγαλύτερη επιτάχυνση αρκεί και μικρότερος συντελεστής.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η σχέση ισχύει στην οριακή περίπτωση· γενικά η συνθήκη για να μη γλιστρά το κιβώτιο είναι ηα ≥ g. Το βιβλίο μιλά για «τριβή ολίσθησης», ενώ το κιβώτιο δεν ολισθαίνει — αυστηρά πρόκειται για οριακή στατική τριβή (ή για ομαλή ολίσθηση χωρίς επιτάχυνση κατακόρυφα).

Άρθρα απο το Blog

Επόμενο Στοιχείο