Λύσεις — Κεφάλαιο 3: Ροπή δύναμης και ισορροπία (σελ. 83-87) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 3: Ροπή δύναμης και ισορροπία (σελ. 83-87) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 3: Ροπή δύναμης και ισορροπία (σελ. 83-87)

Λύσεις των 20 ερωτήσεων και ασκήσεων του μπλοκ «Ερωτήσεις - Προβληματισμοί - Ασκήσεις» (σελ. 83-87): ροπή δύναμης, συνθήκη ισορροπίας ΣΜ = 0, είδη ισορροπίας, κέντρο βάρους και ανατροπή.

Ερώτηση 3.1 — Μέτρο της ροπής ως προς το Ο

Ερώτηση: Το μέτρο της ροπής της δύναμης F ως προς το σημείο Ο είναι: α. Μ = F. (ΟΑ) β. Μ = - F. (ΟΑ) γ. Μ = F(OO΄) δ. M = -F(ΟΟ΄) Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι η σωστή; [Σχήμα: η δύναμη F ασκείται στο σημείο Α και ο φορέας της κατευθύνεται προς τα κάτω-αριστερά· το Ο΄ είναι το ίχνος της κάθετης από το Ο στον φορέα της F, δηλαδή το ΟΟ΄ είναι κάθετο στον φορέα, ενώ το ΟΑ είναι λοξό.]

Απάντηση:

Η ροπή ορίζεται ως \(M = F\cdot\ell\), όπου ℓ η απόσταση του φορέα της δύναμης από το σημείο περιστροφής (σελ. 67).
Απόσταση σημείου από ευθεία είναι το κάθετο τμήμα από το σημείο στην ευθεία (σελ. 68, «Ας προσέξουμε»). Εδώ αυτό είναι το ΟΟ΄, όχι το ΟΑ (που ενώνει το Ο με το σημείο εφαρμογής και δεν είναι κάθετο στον φορέα).
Το μέτρο είναι θετική ποσότητα, άρα απορρίπτονται τα (β) και (δ). Με τη σύμβαση της σελ. 68 η F στρέφει το σώμα γύρω από το Ο σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού, οπότε η αλγεβρική τιμή της ροπής θα ήταν −F(ΟΟ΄).

Σύνοψη: Σωστή η γ: Μ = F·(ΟΟ΄).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αν ο μαθητής απαντήσει (δ) εξηγώντας ότι η ροπή είναι αρνητική (δεξιόστροφη), η σκέψη του για τη φορά είναι σωστή, αλλά η ερώτηση ζητά το μέτρο.

Ερώτηση 3.2 — Γιατί η πόρτα δεν περιστρέφεται

Ερώτηση: Στην πόρτα του δωματίου σου ασκείται δύναμη F, και η πόρτα δεν περιστρέφεται. Αυτό συμβαίνει διότι: α. Η δύναμη τέμνει τον άξονα περιστροφής. β. Η δύναμη ασκείται σε μεγάλη απόσταση από τον άξονα περιστροφής. γ. Η δύναμη είναι παράλληλη προς τον άξονα περιστροφής Ποιες από τις προτάσεις είναι λανθασμένες.

Απάντηση:

α. Αν ο φορέας τέμνει τον άξονα, η απόστασή του από τον άξονα είναι μηδέν, άρα \(M = F\cdot0 = 0\) (σελ. 65: τιμόνι, ℓ3 = 0, «μένει ακίνητο») — σωστή εξήγηση.
β. Μεγάλη απόσταση σημαίνει μεγάλη ροπή (M = F·ℓ), άρα η πόρτα θα στρεφόταν πιο εύκολα (σελ. 65, Εικόνα 3.1) — λανθασμένη.
γ. Δύναμη παράλληλη στον άξονα (π.χ. κατακόρυφη στην πόρτα) δεν βρίσκεται στο επίπεδο περιστροφής, που είναι κάθετο στον άξονα (σελ. 65-66), και δεν μπορεί να στρέψει την πόρτα γύρω από τους μεντεσέδες — σωστή εξήγηση.

Σύνοψη: Λανθασμένη είναι μόνο η β. Οι α και γ εξηγούν σωστά γιατί η πόρτα δεν περιστρέφεται.

Ερώτηση 3.3 — Αντιστοίχιση αποτελεσμάτων και ειδών ισορροπίας

Ερώτηση: Απομακρύνουμε ένα σώμα από τη θέση ισορροπίας του. Αντιστοίχισε τα αποτελέσματα της αριστερής στήλης με τα είδη της ισορροπίας στη δεξιά στήλη: Αποτελέσματα: α. Το σώμα επανέρχεται στην αρχική θέση του. β. Το σώμα απομακρύνεται χωρίς επιστροφή. γ. Το σώμα παραμένει ακίνητο στη νέα θέση. Είδη ισορροπίας: Ασταθής ισορροπία, Ευσταθής ισορροπία, Ουδέτερη ισορροπία.

Απάντηση:

Σελ. 81: «αν … απομακρυνθούν λίγο από τη θέση ισορροπίας, ξαναγυρίζουν στην αρχική θέση τους … ευσταθής»· «δεν ξαναγυρίζουν στην αρχική θέση τους … ασταθής»· «ισορροπούν σε μια νέα θέση … ουδέτερη ή αδιάφορη».

Σύνοψη: α → Ευσταθής, β → Ασταθής, γ → Ουδέτερη ισορροπία.

Ερώτηση 3.4 — Οι τρεις θέσεις του πύργου του σκακιού

Ερώτηση: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι τρεις θέσεις ενός πύργου από σκάκι. Σημειώστε σε ποια θέση ο πύργος έχει: α. Αδιάφορη ισορροπία β. Ευσταθή ισορροπία γ. Ασταθή ισορροπία. Αιτιολογήστε τις επιλογές σας. [Σχήμα: (1) αριστερά ο πύργος ανάποδα, στηριγμένος στη μικρή κορυφή με τις επάλξεις, με τη φαρδιά βαριά βάση ψηλά· (2) στη μέση όρθιος, στηριγμένος στη φαρδιά βάση του· (3) δεξιά ξαπλωμένος στο πλάι.]

Απάντηση:

Κριτήρια (σελ. 81): η ευστάθεια είναι μεγαλύτερη όσο χαμηλότερα είναι το κέντρο βάρους και όσο μεγαλύτερη η βάση στήριξης.
Ευσταθής: η μεσαία θέση (όρθιος στη βάση του). Φαρδιά βάση στήριξης και χαμηλό κέντρο βάρους (η βαριά βάση είναι κάτω)· αν γείρει λίγο, η κατακόρυφος από το κ.β. τέμνει ακόμη τη βάση και η ροπή του βάρους τον επαναφέρει, όπως ο κώνος στη βάση του.
Αδιάφορη: η δεξιά θέση (ξαπλωμένος). Στηρίζεται στην παράπλευρη (κυλινδρική) επιφάνεια· αν κυλήσει λίγο ισορροπεί σε νέα θέση, όπως ο κώνος στην παράπλευρη επιφάνεια ή η σφαίρα στο θρανίο.
Ασταθής: η αριστερή θέση (ανάποδα). Η βάση στήριξης είναι μικρή (η κορυφή) και το κέντρο βάρους ψηλά (η βαριά βάση είναι πάνω)· με μικρή εκτροπή η κατακόρυφος από το κ.β. βγαίνει έξω από τη μικρή βάση και ο πύργος ανατρέπεται χωρίς να επιστρέψει.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α. Αδιάφορη: ξαπλωμένος (δεξιά). β. Ευσταθής: όρθιος στη βάση του (μέση). γ. Ασταθής: ανάποδα στην κορυφή του (αριστερά).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η ανάποδη θέση έχει μικρή βάση και ψηλό κέντρο βάρους, άρα είναι η λιγότερο ευσταθής· αποδεκτή η αιτιολόγηση με το ύψος του κ.β. και το μέγεθος της βάσης.

Ερώτηση 3.5 — Κέντρο βάρους ακανόνιστης πλάκας

Ερώτηση: Πώς θα βρείτε το κέντρο βάρους ακανόνιστης πλάκας; Να περιγράψετε τα στάδια που θα ακολουθήσετε.

Απάντηση:

Μέθοδος της διπλής ανάρτησης (σελ. 79, Εικόνα 3.15):
1. Κρεμάμε την πλάκα από ένα σημείο Α κοντά στην άκρη της, ώστε να μπορεί να στρέφεται ελεύθερα.
1. Από το ίδιο σημείο κρεμάμε ένα σχοινί με μικρό βάρος στην άκρη του και σημειώνουμε πάνω στην πλάκα τη διεύθυνση ΑΓ του σχοινιού (κατακόρυφος).
1. Κρεμάμε την πλάκα από ένα άλλο σημείο Δ και σημειώνουμε με τον ίδιο τρόπο τη διεύθυνση ΔΕ.
1. Το σημείο τομής Κ των ΑΓ και ΔΕ είναι το κέντρο βάρους.
Εξήγηση: όταν η πλάκα κρέμεται ακίνητη, το βάρος της (που ασκείται στο κ.β.) πρέπει να μην έχει ροπή ως προς το σημείο ανάρτησης, άρα το κ.β. βρίσκεται στην κατακόρυφο από το σημείο ανάρτησης. Επαλήθευση: αν στερεώσουμε την πλάκα στο Κ, ισορροπεί σε όποια θέση τη στρέψουμε.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Με τη μέθοδο της διπλής ανάρτησης: κρεμάμε την πλάκα από δύο διαφορετικά σημεία και κάθε φορά σημειώνουμε την κατακόρυφο με νήμα με βαρίδι· το σημείο τομής των δύο γραμμών είναι το κέντρο βάρους.

Άσκηση 3.6 — Ισορροπούν οι δύο μπόμπιρες;

Ερώτηση: Μελετήστε τις δύο περιπτώσεις ισορροπίας, όπως φαίνονται στην παρακάτω εικόνα. Είναι δυνατόν να ισορροπούν οι δύο μπόμπιρες και στις δύο περιπτώσεις; [Σχήμα: (1) σανίδα με υπομόχλιο Ο· δεξιά κάθεται παιδί 500 N σε απόσταση 1,5 m από το Ο· αριστερά, σε απόσταση 3 m από το Ο, κρέμεται κούνια με σχοινιά μήκους 4 m όπου κάθεται παιδί 250 N. (2) σανίδα με υπομόχλιο Ο· αριστερά παιδί 250 N σε απόσταση 3 m και δεξιά παιδί 500 N σε απόσταση 1,5 m από το Ο.]

Απάντηση:

Συνθήκη ισορροπίας (σελ. 75): \(M(+) = M(-)\), με μοχλοβραχίονα την οριζόντια απόσταση του κατακόρυφου φορέα κάθε βάρους από το Ο.
(2) \(250\ \text{N}\cdot3\ \text{m} = 750\ \text{N·m}\) και \(500\ \text{N}\cdot1{,}5\ \text{m} = 750\ \text{N·m}\): ίσες ροπές, άρα ισορροπεί.
(1) Το βάρος του παιδιού στην κούνια μεταφέρεται με τα σχοινιά (σελ. 28, μεταφορά δύναμης με σχοινί) στο σημείο ανάρτησης, 3 m από το Ο. Ο φορέας του είναι η ίδια κατακόρυφος, οπότε το μήκος 4 m των σχοινιών δεν επηρεάζει τον μοχλοβραχίονα: \(250\cdot3 = 750\ \text{N·m} = 500\cdot1{,}5\). Ισορροπεί κι αυτή.

Σύνοψη: Ναι, ισορροπούν και στις δύο περιπτώσεις: σε κάθε πλευρά η ροπή είναι 750 N·m, γιατί ο μοχλοβραχίονας του παιδιού των 250 N είναι 3 m και στις δύο περιπτώσεις (το μήκος 4 m των σχοινιών δεν παίζει ρόλο).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Κρίσιμη παρατήρηση: η ροπή εξαρτάται από την απόσταση του φορέα από τον άξονα, όχι από το πόσο χαμηλά βρίσκεται το σώμα.

Ερώτηση 3.7 — Γιατί διαφέρουν οι ροπές στα τρία στιγμιότυπα

Ερώτηση: Ελέγξετε γιατί στα τρία διπλανά στιγμιότυπα οι ροπές διαφέρουν; [Σχήμα: τρία στιγμιότυπα ενός χεριού που στρίβει βίδα με γερμανοκλειδο· στο 1ο το χέρι πιάνει το κλειδί κοντά στο μέσο και η δύναμη ασκείται λοξά· στο 2ο πιάνει στο μέσο με τη δύναμη κάθετα στο κλειδί· στο 3ο πιάνει ένα μακρύτερο κλειδί στην άκρη του.]

Απάντηση:

Η ροπή είναι \(M = F\cdot\ell\) (σελ. 67) και εξαρτάται από το μέτρο της δύναμης και από τον μοχλοβραχίονα ℓ, δηλαδή την κάθετη απόσταση του φορέα της δύναμης από τον άξονα της βίδας (σελ. 68).
Στο 1ο στιγμιότυπο η δύναμη ασκείται λοξά και κοντά στη βίδα, οπότε ο φορέας της περνά πιο κοντά στον άξονα: μικρός μοχλοβραχίονας, μικρή ροπή.
Στο 2ο η δύναμη είναι κάθετη στο κλειδί, οπότε ο μοχλοβραχίονας ισούται με την απόσταση του χεριού από τη βίδα: μεγαλύτερη ροπή.
Στο 3ο το χέρι πιάνει την άκρη μακρύτερου κλειδιού με κάθετη δύναμη: ο μεγαλύτερος μοχλοβραχίονας, άρα με την ίδια δύναμη η μεγαλύτερη ροπή (γι' αυτό τα «σφιγμένα» παξιμάδια λύνονται με μακριά κλειδιά).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Με την ίδια δύναμη οι ροπές διαφέρουν γιατί διαφέρει ο μοχλοβραχίονας, δηλαδή η κάθετη απόσταση του φορέα της δύναμης από τον άξονα της βίδας: μικρός όταν η δύναμη είναι λοξή και κοντά, μεγαλύτερος όταν είναι κάθετη και μεγαλύτερος ακόμη όταν ασκείται στην άκρη μακριού κλειδιού.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η απάντηση πρέπει να αναφέρει τόσο την απόσταση όσο και τη διεύθυνση της δύναμης.

Ερώτηση 3.8 — Γιατί τα λεωφορεία έχουν μεγάλα τιμόνια

Ερώτηση: Γιατί τα λεωφορεία και τα φορτηγά έχουν μεγάλα τιμόνια;

Απάντηση:

Ο οδηγός στρέφει το τιμόνι ασκώντας δυνάμεις στην περιφέρειά του, οπότε ο μοχλοβραχίονας είναι η ακτίνα R (σελ. 65, Εικόνα 3.2) και η ροπή \(M = F\cdot R\) (σελ. 67). Με τα δύο χέρια ασκεί ζεύγος δυνάμεων με ροπή \(M = F\cdot d\), όπου d η διάμετρος (σελ. 70-71).
Για να στρίψουν οι τροχοί ενός βαρέος οχήματος χρειάζεται μεγάλη ροπή. Από \(F = \dfrac{M}{R}\), όσο μεγαλύτερη η ακτίνα του τιμονιού τόσο μικρότερη δύναμη χρειάζεται για την ίδια ροπή.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Επειδή με μεγάλη ακτίνα αυξάνεται ο μοχλοβραχίονας: ο οδηγός πετυχαίνει τη μεγάλη ροπή που χρειάζεται για να στρίψει ένα βαρύ όχημα ασκώντας μικρότερη δύναμη (M = F·R).

Ερώτηση 3.9 — Ποιο φορτηγό θα ανατραπεί στην ανηφόρα

Ερώτηση: Τρία φορτηγά αυτοκίνητα έχουν παρκάρει σε έναν ανηφορικό δρόμο. Το κέντρο βάρους των αυτοκινήτων έχει σημειωθεί στις εικόνες. Θα ανατραπεί κάποιο από τα αυτοκίνητα και ποιο/α θα είναι αυτό/α; [Σχήμα: τρία φορτηγά σε δρόμο που ανεβαίνει προς τα δεξιά· στο 1ο (κάτω αριστερά) το κ.β. είναι χαμηλά αλλά στην αριστερή (κατηφορική) άκρη της καρότσας· στο 2ο στο κέντρο της καρότσας· στο 3ο ψηλά, προς τη δεξιά (ανηφορική) πλευρά.]

Απάντηση:

Κριτήριο (σελ. 80): το σώμα ισορροπεί όταν η κατακόρυφος που περνά από το κέντρο βάρους τέμνει τη βάση στήριξης, εδώ το τμήμα του δρόμου ανάμεσα στους τροχούς.
Φέρνουμε από κάθε κ.β. την κατακόρυφο (όχι κάθετα στον δρόμο, αλλά κάθετα στο οριζόντιο). Στον ανηφορικό δρόμο η κατακόρυφος μετατοπίζεται προς την κατηφορική πλευρά.
1ο φορτηγό: το κ.β. είναι στην άκρη της καρότσας προς την κατηφόρα· η κατακόρυφος πέφτει έξω (πίσω) από τον κατηφορικό τροχό, οπότε η ροπή του βάρους ως προς το σημείο επαφής του τροχού αυτού το ανατρέπει.
2ο και 3ο φορτηγό: παρότι στο 3ο το κ.β. είναι ψηλά, βρίσκεται προς την ανηφορική πλευρά, και και στα δύο η κατακόρυφος από το κ.β. τέμνει τη βάση στήριξης ανάμεσα στους τροχούς: ισορροπούν.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Θα ανατραπεί μόνο το πρώτο (το χαμηλότερο στον δρόμο), γιατί η κατακόρυφος από το κέντρο βάρους του πέφτει έξω από τη βάση στήριξης (πέρα από τους πίσω τροχούς). Τα άλλα δύο ισορροπούν.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η απάντηση διαβάζεται από το σχήμα· κρίσιμο είναι να χρησιμοποιηθεί η κατακόρυφος (και όχι η κάθετη στον δρόμο) από το κ.β.

Άσκηση 3.10 — Συμπλήρωση κενών σε ισορροπία δοκαριού

Ερώτηση: Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω περιπτώσεις ισορροπίας ενός δοκαριού αμελητέου βάρους: [Σχήμα: τέσσερα δοκάρια με υπομόχλιο (Δ)· (1) 7 N προς τα κάτω σε απόσταση 0,3 m αριστερά και 3 N προς τα κάτω σε απόσταση ℓ δεξιά: ℓ = ...... m· (2) 7 N σε 0,3 m αριστερά, 4 N σε 0,2 m δεξιά και 2 N σε απόσταση ℓ δεξιά, όλες προς τα κάτω: ℓ = ...... m· (3) 5 N προς τα κάτω σε 0,2 m αριστερά, F προς τα κάτω σε 0,3 m δεξιά και 4 N προς τα πάνω σε 0,5 m δεξιά: F = ...... N· (4) 3 N σε 0,4 m και 4 N σε 0,2 m αριστερά, 5 N σε 0,3 m και F σε 0,5 m δεξιά, όλες προς τα κάτω: F = ...... N.]

Απάντηση:

Συνθήκη ισορροπίας (σελ. 75): \(M(+) = M(-)\) ως προς το υπομόχλιο· οι δυνάμεις αριστερά προς τα κάτω στρέφουν αντίθετα με τους δείκτες, οι δεξιά προς τα κάτω σύμφωνα με τους δείκτες.
(1) \(7\cdot0{,}3 = 3\cdot\ell \Rightarrow \ell = \dfrac{2{,}1}{3} = 0{,}7\ \text{m}\).
(2) \(7\cdot0{,}3 = 4\cdot0{,}2 + 2\cdot\ell \Rightarrow 2{,}1 = 0{,}8 + 2\ell \Rightarrow \ell = 0{,}65\ \text{m}\).
(3) Η 4 N προς τα πάνω δεξιά στρέφει αντίθετα με τους δείκτες, όπως και η 5 N αριστερά: \(5\cdot0{,}2 + 4\cdot0{,}5 = F\cdot0{,}3 \Rightarrow 3 = 0{,}3F \Rightarrow F = 10\ \text{N}\).
(4) \(3\cdot0{,}4 + 4\cdot0{,}2 = 5\cdot0{,}3 + F\cdot0{,}5 \Rightarrow 2{,}0 = 1{,}5 + 0{,}5F \Rightarrow F = 1\ \text{N}\).

Σύνοψη: (1) ℓ = 0,7 m· (2) ℓ = 0,65 m· (3) F = 10 N· (4) F = 1 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στο (3) πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η δύναμη των 4 N είναι προς τα πάνω, άρα η ροπή της έχει το ίδιο πρόσημο με της 5 N.

Άσκηση 3.11 — Απόδειξη ισορροπίας χάρακα με δίσκους

Ερώτηση: Στο διπλανό σχήμα ο χάρακας έχει μήκος 50cm και είναι βαθμολογημένος κατά διαστήματα 5cm. Μεταλλικοί δίσκοι έχουν τοποθετηθεί όπως φαίνεται στις περιπτώσεις α και β. Και στις δύο περιπτώσεις ο χάρακας ισορροπεί. Αποδείξτε τον παραπάνω ισχυρισμό με μαθηματικές σχέσεις. [Σχήμα: ο χάρακας στηρίζεται στο μέσο του (25 cm)· όλοι οι δίσκοι είναι ίδιοι, βάρους w ο καθένας. (α) 1 δίσκος στα 10 cm (15 cm αριστερά του υπομοχλίου) και 3 δίσκοι στα 30 cm (5 cm δεξιά). (β) 3 δίσκοι στα 10 cm (15 cm αριστερά), 1 δίσκος στα 30 cm (5 cm δεξιά) και 2 δίσκοι στα 45 cm (20 cm δεξιά).]

Απάντηση:

Ο χάρακας στηρίζεται στο μέσο του, άρα το βάρος του περνά από το υπομόχλιο και δεν έχει ροπή (σελ. 77). Έστω w το βάρος κάθε δίσκου· ελέγχουμε τη συνθήκη \(M(+) = M(-)\) (σελ. 75).
(α) Αριστερά: \(1w\cdot15\ \text{cm} = 15w\). Δεξιά: \(3w\cdot5\ \text{cm} = 15w\). Ίσες ροπές ⇒ ισορροπία.
(β) Αριστερά: \(3w\cdot15 = 45w\). Δεξιά: \(1w\cdot5 + 2w\cdot20 = 5w + 40w = 45w\). Ίσες ροπές ⇒ ισορροπία.

Σύνοψη: (α) 1·15 = 3·5 = 15 (σε μονάδες w·cm)· (β) 3·15 = 1·5 + 2·20 = 45. Και στις δύο περιπτώσεις ΣΜ = 0, άρα ο χάρακας ισορροπεί.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Οι θέσεις και τα πλήθη των δίσκων διαβάζονται από το σχήμα· δεν χρειάζεται η τιμή του w γιατί απλοποιείται.

Άσκηση 3.12 — Ροπή στο πεντάλ του ποδηλάτου

Ερώτηση: Η εικόνα 3.3 (σελ. 66) δείχνει τρεις διαφορετικές θέσεις του πεντάλ ενός ποδηλάτου. Εάν το σημείο εφαρμογής της δύναμης στο πεντάλ απέχει από το κέντρο του οδοντωτού δίσκου κατά 20cm και η δύναμη που εφαρμόζεται σε κάθε περίπτωση είναι 25Ν, πόση είναι η ροπή της δύναμης σε κάθε περίπτωση; [Σχήμα (Εικόνα 3.3): η δύναμη F είναι κάθε φορά κατακόρυφη προς τα κάτω· (1) ο βραχίονας του πεντάλ είναι κατακόρυφος, με το πεντάλ ακριβώς πάνω από το κέντρο· (2) ο βραχίονας σχηματίζει γωνία 45° με την οριζόντια· (3) ο βραχίονας είναι οριζόντιος.]

Απάντηση:

\(M = F\cdot\ell\), όπου ℓ η κάθετη απόσταση του κατακόρυφου φορέα της F από το κέντρο, δηλαδή η οριζόντια απόσταση του πεντάλ από το κέντρο: \(\ell = r\,\text{συν}\theta\), με \(r = 0{,}2\ \text{m}\) και θ η γωνία του βραχίονα με την οριζόντια.
(1) θ = 90°: ο φορέας περνά από το κέντρο, \(\ell = 0\) ⇒ \(M = 0\) (όπως το σημείο Γ του τιμονιού, σελ. 65): ο δίσκος δεν στρέφεται.
(2) θ = 45°: \(\ell = 0{,}2\cdot0{,}707 \approx 0{,}141\ \text{m}\) ⇒ \(M = 25\cdot0{,}141 \approx 3{,}54\ \text{N·m}\).
(3) θ = 0°: \(\ell = 0{,}2\ \text{m}\) ⇒ \(M = 25\cdot0{,}2 = 5\ \text{N·m}\) (η μέγιστη ροπή).
Και στις (2), (3) η δύναμη στρέφει τον δίσκο αντίθετα με τους δείκτες του ρολογιού, όπως φαίνεται στην εικόνα, άρα με τη σύμβαση της σελ. 68 η ροπή είναι θετική.

Σύνοψη: (1) 0 N·m· (2) ≈ 3,54 N·m· (3) 5 N·m.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ο μοχλοβραχίονας δεν είναι πάντα 20 cm: είναι η κάθετη απόσταση του φορέα της δύναμης από το κέντρο.

Άσκηση 3.13 — Ομογενής δοκός σε ισορροπία με βάρος στην άκρη

Ερώτηση: Το βάρος μιας ομογενούς δοκού είναι 100Ν. Με την επίδραση του βάρους B1 ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις: α. Πόση είναι η ροπή του βάρους Β1; β. Πόσο είναι το μέτρο του Β1; [Σχήμα: οριζόντια δοκός μήκους 4 m στηρίζεται σε υπομόχλιο Ο που απέχει 1 m από το αριστερό άκρο· στο αριστερό άκρο είναι τοποθετημένο το βάρος Β1.]

Απάντηση:

Η δοκός είναι ομογενής, άρα το βάρος της \(B = 100\ \text{N}\) ασκείται στο μέσο της (σελ. 78), 2 m από το αριστερό άκρο, δηλαδή \(2 - 1 = 1\ \text{m}\) δεξιά του Ο.
Ροπή του βάρους της δοκού ως προς το Ο: \(M_B = -100\ \text{N}\cdot1\ \text{m} = -100\ \text{N·m}\) (σύμφωνα με τους δείκτες).
α. Για ισορροπία \(\Sigma M = 0\) (σελ. 75), άρα η ροπή του Β1 είναι αντίθετη: \(M_{B_1} = +100\ \text{N·m}\) (στρέφει αντίθετα με τους δείκτες).
β. \(M_{B_1} = B_1\cdot1\ \text{m} = 100\ \text{N·m} \Rightarrow B_1 = 100\ \text{N}\).

Σύνοψη: α. Η ροπή του Β1 είναι 100 N·m (θετική, αντίθετη της ροπής του βάρους της δοκού). β. Β1 = 100 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Πρέπει να ληφθεί υπόψη το βάρος της δοκού στο μέσο της· η αντίδραση του υπομοχλίου δεν έχει ροπή ως προς το Ο.

Άσκηση 3.14 — Χάρακας 10 N με βάρος 3 N

Ερώτηση: Στη διπλανή εικόνα ο χάρακας έχει βάρος 10Ν και είναι βαθμολογημένος σε εκατοστά. Αν κρεμάσετε ένα βάρος των 3Ν και στηρίξετε το χάρακα όπως φαίνεται στην εικόνα, τι θα συμβεί; [Σχήμα: χάρακας 0-100 cm· το βάρος των 3 N κρέμεται στη χαραγή 10 cm και το υποστήριγμα βρίσκεται στη χαραγή 40 cm.]

Απάντηση:

Ο χάρακας είναι ομογενής, άρα το βάρος του \(B = 10\ \text{N}\) ασκείται στο μέσο, στα 50 cm (σελ. 78), δηλαδή 10 cm δεξιά του υποστηρίγματος.
Ροπή του βάρους των 3 N (30 cm αριστερά, αντίθετα με τους δείκτες): \(M(+) = 3\ \text{N}\cdot0{,}30\ \text{m} = 0{,}9\ \text{N·m}\).
Ροπή του βάρους του χάρακα (10 cm δεξιά, σύμφωνα με τους δείκτες): \(M(-) = 10\ \text{N}\cdot0{,}10\ \text{m} = 1{,}0\ \text{N·m}\).
\(M(-) \gt M(+)\): η συνθήκη ισορροπίας (σελ. 75) δεν ισχύει· ο χάρακας θα περιστραφεί σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού, δηλαδή θα γείρει η δεξιά πλευρά του (προς τα 100 cm).
Για να ισορροπήσει, το βάρος των 3 N πρέπει να κρεμαστεί σε απόσταση \(x\) με \(3x = 1{,}0\), δηλαδή \(x \approx 33{,}3\ \text{cm}\) αριστερά του υποστηρίγματος (περίπου στη χαραγή 6,7 cm).

Σύνοψη: Δεν θα ισορροπήσει: η ροπή του βάρους του χάρακα (1,0 N·m) είναι μεγαλύτερη από τη ροπή των 3 N (0,9 N·m), οπότε ο χάρακας θα γείρει προς τη μεριά των 100 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Οι θέσεις (10 cm για το βάρος, 40 cm για το υποστήριγμα) διαβάζονται από το σχήμα· το βάρος του χάρακα ασκείται στα 50 cm.

Άσκηση 3.15 — Δύναμη για να σηκωθεί το καροτσάκι

Ερώτηση: Μια κοπέλα κουβαλάει χώμα για τον κήπο της με το καροτσάκι, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Να υπολογίσετε τη δύναμη με την οποία η κοπέλα σηκώνει το καροτσάκι. [Σχήμα: το συνολικό βάρος 400 N ασκείται σε οριζόντια απόσταση 0,20 m από τον άξονα του τροχού· η κοπέλα ασκεί κατακόρυφη δύναμη προς τα πάνω στις λαβές, σε οριζόντια απόσταση 1,20 m από τον άξονα του τροχού.]

Απάντηση:

Το καροτσάκι στρέφεται γύρω από τον άξονα του τροχού, οπότε παίρνουμε ροπές ως προς αυτόν (η δύναμη του εδάφους στον τροχό δεν έχει ροπή).
Ροπή του βάρους: \(400\ \text{N}\cdot0{,}20\ \text{m} = 80\ \text{N·m}\). Ροπή της δύναμης F: \(F\cdot1{,}20\ \text{m}\).
Ισορροπία (σελ. 75): \(F\cdot1{,}20 = 80 \Rightarrow F = \dfrac{80}{1{,}20} \approx 66{,}7\ \text{N}\).

Σύνοψη: Η κοπέλα σηκώνει το καροτσάκι με δύναμη ≈ 66,7 N (περίπου το 1/6 του βάρους).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η απόσταση 1,20 m μετριέται από τον άξονα του τροχού ως τη δύναμη της κοπέλας, όπως στο σχήμα.

Άσκηση 3.16 — Δυνάμεις στους στύλους γέφυρας

Ερώτηση: Μια γέφυρα έχει βάρος 20.000Ν, μήκος ℓ και στηρίζεται σε δύο στύλους, όπως φαίνεται στην εικόνα. Στη γέφυρα σταμάτησε ένα αυτοκίνητο Α βάρους 10000Ν σε απόσταση ℓ/4 από το αριστερό άκρο. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που δέχονται οι δυο στύλοι. (Η γέφυρα θεωρείται ομογενής). [Σχήμα: η γέφυρα στηρίζεται σε δύο στύλους στα δύο άκρα της.]

Απάντηση:

Δυνάμεις στη γέφυρα: βάρος \(B = 20000\ \text{N}\) στο μέσο (ℓ/2, ομογενής), βάρος αυτοκινήτου \(B_A = 10000\ \text{N}\) στα ℓ/4, αντιδράσεις \(N_1\) (αριστερός στύλος) και \(N_2\) (δεξιός στύλος) προς τα πάνω.
Ροπές ως προς τον αριστερό στύλο (σελ. 75): \(N_2\cdot\ell = B\cdot\dfrac{\ell}{2} + B_A\cdot\dfrac{\ell}{4} \Rightarrow N_2 = 10000 + 2500 = 12500\ \text{N}\).
\(\Sigma F_y = 0\): \(N_1 + N_2 = 30000\ \text{N} \Rightarrow N_1 = 17500\ \text{N}\).
Έλεγχος με ροπές ως προς τον δεξιό στύλο: \(N_1\cdot\ell = 20000\cdot\dfrac{\ell}{2} + 10000\cdot\dfrac{3\ell}{4} = 17500\,\ell\) ✓.
Κατά τον 3ο νόμο του Νεύτωνα οι στύλοι δέχονται από τη γέφυρα δυνάμεις ίσες και αντίθετες, δηλαδή προς τα κάτω.

Σύνοψη: Ο αριστερός στύλος δέχεται 17 500 N και ο δεξιός 12 500 N (προς τα κάτω, από τη γέφυρα).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το ℓ απλοποιείται· ο στύλος πιο κοντά στο αυτοκίνητο δέχεται τη μεγαλύτερη δύναμη.

Άσκηση 3.17 — Δύναμη στο υποστήριγμα του μπαλκονιού

Ερώτηση: Υπολογίστε τη δύναμη F που δέχεται η δοκός (υποστήριγμα) στην εικόνα που ακολουθεί. [Σχήμα: οριζόντια πλάκα (μπαλκόνι) πακτωμένη στον αριστερό τοίχο· μετρώντας οριζόντια από τον αριστερό τοίχο: το υποστήριγμα (κάτω κολόνα) που ασκεί τη δύναμη F προς τα πάνω απέχει 3 m· ένα βάρος 2000 N ασκείται στα 4 m· ο δεξιός τοίχος, που ασκεί στην πλάκα 1800 N προς τα κάτω, απέχει 5 m (1 m από το βάρος των 2000 N)· μια γυναίκα βάρους 800 N στέκεται στο μπαλκόνι 3 m πιο πέρα από τον δεξιό τοίχο, δηλαδή στα 8 m.]

Απάντηση:

Παίρνουμε ροπές ως προς το σημείο όπου η πλάκα στηρίζεται στον αριστερό τοίχο, ώστε η άγνωστη δύναμη του τοίχου να έχει μηδενική ροπή (σελ. 75, 3.5).
Ροπή της F (αντίθετα με τους δείκτες): \(M(+) = F\cdot3\ \text{m}\).
Ροπές των φορτίων (σύμφωνα με τους δείκτες): \(M(-) = 2000\cdot4 + 1800\cdot5 + 800\cdot8 = 8000 + 9000 + 6400 = 23400\ \text{N·m}\).
\(F\cdot3 = 23400 \Rightarrow F = 7800\ \text{N}\).
Τότε από \(\Sigma F_y = 0\) ο αριστερός τοίχος ασκεί στην πλάκα \(7800 - (2000 + 1800 + 800) = 3200\ \text{N}\) προς τα κάτω (συγκρατεί την πλάκα να μη σηκωθεί)· το υποστήριγμα δέχεται από την πλάκα 7800 N προς τα κάτω (3ος νόμος).

Σύνοψη: F = 7800 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Οι αποστάσεις διαβάζονται από το σχήμα· το αποτέλεσμα στηρίζεται στην παραδοχή ότι οι ροπές παίρνονται ως προς το σημείο στήριξης στον αριστερό τοίχο.
Αμφίβολο σημείο: το σχήμα δεν δηλώνει ρητά αν τα 2000 N είναι το βάρος της πλάκας· η λύση χρησιμοποιεί μόνο τη θέση του (4 m).

Άσκηση 3.18 — Κέντρο βάρους τετράγωνης πλάκας χωρίς ένα τρίγωνο

Ερώτηση: Από μια τετράγωνη πλάκα πλευράς 10cm αφαιρείται ένα από τα τέσσερα τρίγωνα που σχηματίζουν οι διαγώνιοί της. Να βρείτε τη θέση του κέντρου βάρους της πλάκας που απέμεινε. [Σχήμα: έχει αφαιρεθεί το δεξί τρίγωνο, με βάση τη δεξιά πλευρά και κορυφή το κέντρο του τετραγώνου.]

Απάντηση:

Οι διαγώνιοι χωρίζουν το τετράγωνο σε 4 ίσα ισοσκελή τρίγωνα· για ομογενή πλάκα το καθένα έχει βάρος \(w\) και το τετράγωνο \(4w\), με κ.β. στο κέντρο Ο (κέντρο συμμετρίας, σελ. 78).
Η πλάκα που απέμεινε είναι συμμετρική ως προς την οριζόντια ευθεία που περνά από το Ο, άρα το κ.β. της είναι πάνω σε αυτή την ευθεία (άξονας συμμετρίας, σελ. 78).
Το κ.β. κάθε τριγώνου είναι το σημείο τομής των διαμέσων του, στα 2/3 της διαμέσου από την κορυφή (Γεωμετρία). Για το δεξί τρίγωνο η διάμεσος από το Ο έχει μήκος 5 cm, άρα το κ.β. του απέχει \(\tfrac23\cdot5 = \tfrac{10}{3}\ \text{cm}\) δεξιά του Ο. Ομοίως το αριστερό απέχει \(\tfrac{10}{3}\) αριστερά, ενώ το πάνω και το κάτω έχουν κ.β. στην κατακόρυφο από το Ο.
Θεώρημα των ροπών (σελ. 69) για τα βάρη, ως προς άξονα από το Ο: η ροπή του βάρους \(3w\) της πλάκας που απέμεινε ισούται με το άθροισμα των ροπών των τριών τριγώνων: \(3w\cdot x = w\cdot0 + w\cdot0 + w\cdot\left(-\tfrac{10}{3}\right)\) (το αριστερό) \(\Rightarrow x = -\tfrac{10}{9}\ \text{cm} \approx -1{,}11\ \text{cm}\).
Ισοδύναμα: τετράγωνο (4w στο Ο) μείον δεξί τρίγωνο (w στα +10/3): \(x = \dfrac{4w\cdot0 - w\cdot\tfrac{10}{3}}{3w} = -\dfrac{10}{9}\ \text{cm}\).

Σύνοψη: Το κέντρο βάρους βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα συμμετρίας, 10/9 ≈ 1,1 cm από το κέντρο του τετραγώνου, προς την πλευρά απέναντι από το τρίγωνο που αφαιρέθηκε (δηλαδή ≈ 3,9 cm από την αριστερή πλευρά).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το βιβλίο δεν δίνει τύπο για το κ.β. σύνθετων σχημάτων· η λύση χρησιμοποιεί τη συμμετρία και το θεώρημα των ροπών για τα βάρη των τμημάτων.

Άσκηση 3.19 — Κέντρο βάρους επιφάνειας σχήματος Γ

Ερώτηση: Μια ομογενής επιφάνεια σε σχήμα Γ έχει τις διαστάσεις που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Να βρείτε το κέντρο βάρους της επιφάνειας. [Σχήμα: το πάνω οριζόντιο σκέλος έχει μήκος 6 cm και πλάτος 2 cm· το κατακόρυφο σκέλος, στην αριστερή πλευρά, έχει πλάτος 2 cm και ύψος 6 cm κάτω από το πάνω σκέλος (συνολικό ύψος 8 cm).]

Απάντηση:

Χωρίζουμε την επιφάνεια σε δύο ορθογώνια. Βάζουμε αρχή αξόνων την κάτω αριστερή γωνία (x προς τα δεξιά, y προς τα πάνω).
Πάνω σκέλος: \(6\times2 = 12\ \text{cm}^2\), κ.β. στο κέντρο του (σελ. 78): \((3, 7)\) cm. Κατακόρυφο σκέλος: \(2\times6 = 12\ \text{cm}^2\), κ.β. \((1, 3)\) cm.
Για ομογενή πλάκα τα βάρη είναι ανάλογα με τα εμβαδά, εδώ ίσα (w και w). Θεώρημα των ροπών (σελ. 69): \(2w\cdot x_K = w\cdot3 + w\cdot1 \Rightarrow x_K = 2\ \text{cm}\) και \(2w\cdot y_K = w\cdot7 + w\cdot3 \Rightarrow y_K = 5\ \text{cm}\).
Δηλαδή το κ.β. είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα κέντρα των δύο ορθογωνίων (ίσα βάρη).

Σύνοψη: Το κέντρο βάρους βρίσκεται 2 cm από την αριστερή πλευρά και 5 cm από τη βάση (3 cm κάτω από την πάνω πλευρά), δηλαδή πάνω στη δεξιά ακμή του κατακόρυφου σκέλους, στη μέση της απόστασης των κέντρων των δύο ορθογωνίων.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η διάσταση «6cm» της κάθετης πλευράς διαβάζεται από το σχήμα ως το μήκος κάτω από το πάνω σκέλος· αν ήταν το συνολικό ύψος (εμβαδά 12 και 8 cm²), το κ.β. θα ήταν στο (2,2 cm, 3,8 cm).
Το κ.β. μπορεί να βρίσκεται και στο όριο ή έξω από το σώμα (σελ. 79).

Άσκηση 3.20 — Ράβδος σε τοίχο με νήμα και φορτίο

Ερώτηση: Ομογενής ράβδος βάρους Β=50Ν ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια ενός σχοινιού, όπως δείχνει η εικόνα. Στο σημείο Κ κρέμεται σώμα Σ βάρους Β1=10Ν. Αν το μήκος της ράβδου είναι L=4m, η απόσταση AK=3m και η γωνία φ=30º, ζητούνται: α) η τάση Τ του νήματος, β) η δύναμη που ασκεί ο τοίχος στη ράβδο στο σημείο Α. [Σχήμα: η ράβδος στηρίζεται με άρθρωση στον τοίχο στο Α· το νήμα δένεται στο σημείο Κ της ράβδου και στον τοίχο πιο πάνω, σχηματίζοντας γωνία φ με τη ράβδο· από το Κ κρέμεται το σώμα Σ.]

Απάντηση:

Δυνάμεις στη ράβδο: βάρος \(B = 50\ \text{N}\) στο μέσο (2 m από το Α), \(B_1 = 10\ \text{N}\) στο Κ (3 m), τάση \(T\) στο Κ προς τον τοίχο υπό γωνία 30° με τη ράβδο, και δύναμη \(F_A\) του τοίχου στο Α (άγνωστη κατεύθυνση).
α) Ροπές ως προς το Α (η \(F_A\) δεν έχει ροπή). Ο μοχλοβραχίονας της Τ είναι \(ΑΚ\cdot\text{ημ}30° = 1{,}5\ \text{m}\): \(T\cdot3\cdot\text{ημ}30° = 50\cdot2 + 10\cdot3 = 130\ \text{N·m} \Rightarrow T = \dfrac{130}{1{,}5} \approx 86{,}7\ \text{N}\).
β) Συνιστώσες της Τ: οριζόντια \(T\,\text{συν}30° \approx 75{,}1\ \text{N}\) προς τον τοίχο, κατακόρυφη \(T\,\text{ημ}30° \approx 43{,}3\ \text{N}\) προς τα πάνω.
\(\Sigma F_x = 0\): \(F_{Ax} = T\,\text{συν}30° \approx 75{,}1\ \text{N}\), οριζόντια, με φορά από τον τοίχο προς τη ράβδο.
\(\Sigma F_y = 0\): \(F_{Ay} + T\,\text{ημ}30° = B + B_1 \Rightarrow F_{Ay} = 60 - 43{,}3 \approx 16{,}7\ \text{N}\), προς τα πάνω.
\(F_A = \sqrt{75{,}1^2 + 16{,}7^2} \approx 76{,}9\ \text{N}\), με \(\text{εφ}\theta = \dfrac{16{,}7}{75{,}1} \approx 0{,}222\), δηλαδή \(\theta \approx 12{,}5°\) πάνω από τη ράβδο.

Σύνοψη: α) Τ ≈ 86,7 N. β) Ο τοίχος ασκεί στο Α δύναμη ≈ 76,9 N, με οριζόντια συνιστώσα ≈ 75,1 N (προς τη ράβδο) και κατακόρυφη ≈ 16,7 N (προς τα πάνω), σε γωνία ≈ 12,5° με τη ράβδο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ο μοχλοβραχίονας της τάσης είναι ΑΚ·ημφ, όχι ΑΚ.
Η δύναμη του τοίχου δεν είναι κάθετη στον τοίχο, γιατί η ράβδος είναι αρθρωμένη (δέχεται και κατακόρυφη συνιστώσα).