Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Δύναμη και ισορροπία (σελ. 43-44, 61-64) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Δύναμη και ισορροπία (σελ. 43-44, 61-64) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Δύναμη και ισορροπία (σελ. 43-44, 61-64)

Λύσεις των 36 ερωτήσεων και ασκήσεων των δύο μπλοκ «Ερωτήσεις - Προβληματισμοί - Ασκήσεις» (σελ. 43-44 και 61-64): νόμος του Hooke, χαρακτηριστικά δύναμης, σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων, δράση-αντίδραση, ισορροπία.

Ερώτηση 2.1 — Ελαστική και πλαστική παραμόρφωση

Ερώτηση: Ποια παραμόρφωση χαρακτηρίζεται ως ελαστική και ποια ως πλαστική;

Απάντηση:

Σελ. 35: σε ορισμένα στερεά «οι παραμορφώσεις εξαφανίζονται, όταν παύσουν οι δυνάμεις που τις προκάλεσαν»· αυτές λέγονται ελαστικές παραμορφώσεις (π.χ. επιμήκυνση ή συσπείρωση χαλύβδινου ελατηρίου, στρέψη σύρματος, κάμψη ράβδου από χάλυβα ή καουτσούκ).
Σελ. 35: τα σώματα που «δεν ξαναπαίρνουν το αρχικό σχήμα τους» λέγονται πλαστικά· η παραμόρφωσή τους είναι πλαστική και παραμένει μετά την παύση της δύναμης (πλαστελίνη, ράβδος μολύβδου).
Σελ. 37: και ένα ελαστικό σώμα παθαίνει πλαστική παραμόρφωση όταν η δύναμη ξεπεράσει το όριο ελαστικότητας.

Σύνοψη: Ελαστική είναι η παραμόρφωση που εξαφανίζεται όταν πάψει η δύναμη (το σώμα ξαναπαίρνει το αρχικό σχήμα)· πλαστική είναι αυτή που παραμένει και μετά την παύση της δύναμης.

Άσκηση 2.2 — Διπλάσια δύναμη σε ελατήριο

Ερώτηση: Ένα ελατήριο με την επίδραση δυνάμεως F επιμηκύνεται κατά διάστημα x. Αν στο ελατήριο ασκηθεί διπλάσια δύναμη, πόση θα γίνει η επιμήκυνσή του;

Απάντηση:

Νόμος του Hooke (σελ. 36): \(F = kx\), με k σταθερό για το ελατήριο.
Για \(F' = 2F\): \(x' = \dfrac{F'}{k} = \dfrac{2F}{k} = 2x\).
Προϋπόθεση: η 2F να μην ξεπερνά το όριο ελαστικότητας, αλλιώς η αναλογία δεν ισχύει (σελ. 37).

Σύνοψη: Η επιμήκυνση διπλασιάζεται: x΄ = 2x (εφόσον δεν ξεπεραστεί το όριο ελαστικότητας).

Ερώτηση 2.3 — Σωστό ή Λάθος για ελαστικά και πλαστικά σώματα

Ερώτηση: Να χαρακτηρίσετε με Σ τις παρακάτω προτάσεις, αν είναι σωστές, και με Λ, αν είναι λανθασμένες, και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. α. Η συσπείρωση ενός ελατηρίου από χάλυβα είναι ελαστική. β. Η επιμήκυνση μιας μολύβδινης ράβδου είναι πλαστική. γ. Μια χάλκινη ράβδος είναι πιο ελαστική από μια ράβδο των ίδιων διαστάσεων από καουτσούκ.

Απάντηση:

α. Σ — σελ. 35: «Ελαστικές παραμορφώσεις είναι η επιμήκυνση ή η συσπείρωση ενός ελατηρίου από χαλύβδινο σύρμα».
β. Σ — σελ. 35: οι ράβδοι από μόλυβδο είναι πλαστικά σώματα· «η ράβδος θα παραμορφωθεί και το αποτέλεσμα αυτό θα παραμείνει και μετά την παύση της δύναμης».
γ. Λ — η ράβδος από καουτσούκ κάμπτεται πολύ και επανέρχεται (σελ. 35, κάμψη ράβδου από καουτσούκ ως ελαστική παραμόρφωση)· μια χάλκινη ράβδος ίδιων διαστάσεων, αν τη λυγίσουμε τόσο, παραμορφώνεται μόνιμα. Ο χαλκός έχει μεγαλύτερο όριο θραύσης (3000 έναντι 200 kp/cm², Πίνακας 2.1), αλλά αυτό δείχνει αντοχή, όχι ελαστικότητα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α. Σ, β. Σ, γ. Λ (το καουτσούκ δέχεται πολύ μεγαλύτερες ελαστικές παραμορφώσεις από τον χαλκό).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στο (γ) δεν πρέπει να συγχέεται η αντοχή (όριο θραύσης) με την ελαστικότητα.
Το βιβλίο δεν συγκρίνει ρητά χαλκό-καουτσούκ· η κρίση στηρίζεται στο καθημερινό νόημα της «πιο ελαστικής» (μεγάλες ελαστικές παραμορφώσεις).

Ερώτηση 2.4 — Σκληρότητα και διάμετρος σύρματος

Ερώτηση: Το σύρμα ενός ελατηρίου από χάλυβα έχει διπλάσια διάμετρο από το σύρμα ενός άλλου ελατηρίου του ίδιου υλικού και με το ίδιο μήκος. Τότε: α. Το πρώτο είναι πιο σκληρό από το δεύτερο. β. Έχουν τη ίδια σκληρότητα.

Απάντηση:

Σελ. 37: η σταθερά k (σκληρότητα) εξαρτάται από τη φύση του σύρματος και είναι «ανάλογη με το εμβαδόν διατομής Α του σύρματος» και αντιστρόφως ανάλογη με το φυσικό μήκος.
Ίδιο υλικό και μήκος· η διατομή είναι κυκλική με \(A = \pi\dfrac{d^2}{4}\), άρα με διπλάσια διάμετρο \(A_1 = 4A_2\).
Μεγαλύτερο εμβαδόν διατομής ⇒ μεγαλύτερο k ⇒ πιο σκληρό ελατήριο.

Σύνοψη: Σωστό το α: το πρώτο είναι πιο σκληρό, γιατί έχει τετραπλάσιο εμβαδόν διατομής.

Ερώτηση 2.5 — Χαρακτηριστική με μικρή κλίση

Ερώτηση: Πώς θα χαρακτηρίζατε ένα ελατήριο που η χαρακτηριστική του έχει μικρή κλίση; α. Σκληρό. β. Μαλακό.

Απάντηση:

Σελ. 37: η κλίση της χαρακτηριστικής είναι \(\lambda = \dfrac{x}{F} = \dfrac{1}{k}\) και «μεγάλη κλίση λ σημαίνει μαλακό ελατήριο και αντίστροφα».
Μικρή κλίση ⇒ μικρή επιμήκυνση για την ίδια δύναμη ⇒ μεγάλο k.

Σύνοψη: Σωστό το α: σκληρό.

Ερώτηση 2.6 — Παραδείγματα ελαστικών και πλαστικών παραμορφώσεων

Ερώτηση: Να αναφέρετε και να σχολιάσετε δύο παραδείγματα από την καθημερινή εμπειρία σας: α. Ελαστικών παραμορφώσεων. β. Πλαστικών παραμορφώσεων.

Απάντηση:

α. Ελαστικές (σελ. 35): ένα λαστιχάκι που τεντώνουμε και επανέρχεται· το ελατήριο ενός στυλό ή μιας ζυγαριάς μπάνιου· η κάμψη ενός χάρακα ή μιας σανίδας καταδύσεων. Η παραμόρφωση εξαφανίζεται όταν πάψει η δύναμη, εφόσον δεν ξεπεραστεί το όριο ελαστικότητας.
β. Πλαστικές (σελ. 35): η πλαστελίνη ή ο πηλός που πλάθουμε· ένα τσαλακωμένο αλουμινόχαρτο ή ένα βουλιαγμένο λαμαρίνι αυτοκινήτου· ένα σύρμα που λυγίσαμε πολύ. Η παραμόρφωση παραμένει μετά την παύση της δύναμης.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ελαστικές: π.χ. λαστιχάκι, ελατήριο στυλό — επανέρχονται. Πλαστικές: π.χ. πλαστελίνη, βουλιαγμένη λαμαρίνα — η παραμόρφωση μένει.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αποδεκτό κάθε σωστό παράδειγμα· το σχόλιο πρέπει να αναφέρει αν το σώμα επανέρχεται ή όχι.

Ερώτηση 2.7 — Συμπλήρωση κενών για τον νόμο του Hooke

Ερώτηση: Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Εάν ένα υλικό υπακούει στο νόμο του Hooke, οι ............................. του είναι ανάλογες με .......................................... που .......................................... β. Ένα σύρμα, το οποίο υπακούει στο νόμο του Hooke, παραμορφώνεται μόνιμα, όταν μια δύναμη που ασκείται σ’ αυτό ξεπεράσει το ................................................................ και θραύεται, όταν μια δύναμη ξεπεράσει το .......................................... γ. Η σταθερά k ενός ελατηρίου είναι 0,1 N/mm. Αυτό σημαίνει ότι .......................................................................................................................

Απάντηση:

α. Σελ. 35: «Οι ελαστικές παραμορφώσεις των στερεών σωμάτων είναι ανάλογες με τις αιτίες που τις προκαλούν».
β. Σελ. 37: μετά το όριο ελαστικότητας η επιμήκυνση είναι πλαστική· για να κοπεί πρέπει να ξεπεραστεί το όριο θραύσης.
γ. Από \(k = F/x\): 0,1 N/mm σημαίνει ότι για κάθε 1 mm επιμήκυνσης (ή συσπείρωσης) χρειάζεται δύναμη 0,1 N· ισοδύναμα \(k = 100\ \text{N/m}\).

Σύνοψη: α. ελαστικές παραμορφώσεις … τις αιτίες (δυνάμεις) … τις προκαλούν. β. όριο ελαστικότητας … όριο θραύσης. γ. για να επιμηκυνθεί το ελατήριο κατά 1 mm απαιτείται δύναμη 0,1 N (k = 100 N/m).

Άσκηση 2.8 — Ποιο ελατήριο είναι σκληρότερο

Ερώτηση: Δύο ελατήρια έχουν σταθερές k1 = 20N/m και k2 = 2N/cm. Ποιο από τα δύο είναι το πιο σκληρό;

Απάντηση:

Μετατρέπουμε στην ίδια μονάδα: \(k_2 = 2\ \dfrac{\text{N}}{\text{cm}} = \dfrac{2\ \text{N}}{0{,}01\ \text{m}} = 200\ \text{N/m}\).
\(k_2 = 200\ \text{N/m} > k_1 = 20\ \text{N/m}\): το δεύτερο χρειάζεται δεκαπλάσια δύναμη για την ίδια επιμήκυνση (σελ. 37, σταθερά = σκληρότητα).

Σύνοψη: Πιο σκληρό είναι το δεύτερο (k2 = 200 N/m, δεκαπλάσια από το k1).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η σύγκριση γίνεται μόνο αφού οι σταθερές εκφραστούν στην ίδια μονάδα.

Άσκηση 2.9 — Δύναμη για μήκος 13,5 cm

Ερώτηση: Ένα ελατήριο έχει μήκος 10 cm. Με την επίδραση μιας δύναμης 10Ν το μήκος του γίνεται 12,5 cm. Ποια δύναμη θα χρειαστεί, για να αποκτήσει το ελατήριο μήκος 13,5 cm;

Απάντηση:

Η παραμόρφωση είναι η διαφορά μηκών: \(x_1 = 12{,}5 - 10 = 2{,}5\ \text{cm}\).
Σταθερά: \(k = \dfrac{F_1}{x_1} = \dfrac{10\ \text{N}}{2{,}5\ \text{cm}} = 4\ \text{N/cm}\) (= 400 N/m).
Για μήκος 13,5 cm: \(x_2 = 3{,}5\ \text{cm}\), \(F_2 = kx_2 = 4\cdot3{,}5 = 14\ \text{N}\).

Σύνοψη: Χρειάζεται δύναμη 14 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στον νόμο του Hooke μπαίνει η επιμήκυνση, όχι το τελικό μήκος.

Άσκηση 2.10 — Δύναμη από επιμήκυνση και σταθερά

Ερώτηση: Ένα ελατήριο επιμηκύνεται με την επίδραση μιας δύναμης. Εάν η επιμήκυνση είναι 50mm και η σταθερά του ελατηρίου είναι 100 N/m, πόση είναι η δύναμη που προκάλεσε την επιμήκυνση αυτή; Τι θα συμβεί στο ελατήριο, αν ασκηθεί σ’ αυτό δύναμη 10Ν;

Απάντηση:

\(x = 50\ \text{mm} = 0{,}05\ \text{m}\): \(F = kx = 100\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot0{,}05\ \text{m} = 5\ \text{N}\).
Με \(F' = 10\ \text{N}\) (διπλάσια): \(x' = \dfrac{F'}{k} = \dfrac{10}{100} = 0{,}1\ \text{m} = 10\ \text{cm}\), δηλαδή η επιμήκυνση διπλασιάζεται.
Αυτό ισχύει εφόσον τα 10 N δεν ξεπερνούν το όριο ελαστικότητας· αν το ξεπερνούσαν, το ελατήριο θα παραμορφωνόταν μόνιμα (σελ. 37).

Σύνοψη: Η δύναμη είναι 5 N. Με 10 N το ελατήριο θα επιμηκυνθεί κατά 10 cm (διπλάσια), εφόσον δεν ξεπεραστεί το όριο ελαστικότητας.

Άσκηση 2.11 — Σταθερά και χαρακτηριστική ελατηρίου

Ερώτηση: Σε ένα ελατήριο ασκείται μια δύναμη 8Ν, οπότε το ελατήριο επιμηκύνεται από το αρχικό μήκος του των 18cm σε τελικό μήκος 20,4cm. α. Να βρείτε τη σταθερά του ελατηρίου. β. Να σχεδιάσετε τη χαρακτηριστική του ελατηρίου. γ. Να βρείτε από το διάγραμμα την επιμήκυνση του ελατηρίου, όταν σε αυτό ασκείται δύναμη 10Ν. δ. Πόση δύναμη απαιτείται, για να επιμηκυνθεί το ελατήριο μέχρι τα 25 cm.

Απάντηση:

α. \(x = 20{,}4 - 18 = 2{,}4\ \text{cm}\): \(k = \dfrac{F}{x} = \dfrac{8\ \text{N}}{2{,}4\ \text{cm}} \approx 3{,}33\ \text{N/cm} \approx 333\ \text{N/m}\).
β. Η χαρακτηριστική (σελ. 37) είναι ευθεία από την αρχή των αξόνων (F στον οριζόντιο, x στον κατακόρυφο), που περνά από το σημείο (8 N, 2,4 cm)· κλίση \(\lambda = x/F = 0{,}3\ \text{cm/N}\).
γ. Από το διάγραμμα (ή \(x = F/k\)): για 10 N, \(x = 0{,}3\cdot10 = 3\ \text{cm}\).
δ. Μέχρι τα 25 cm η επιμήκυνση είναι \(x = 25 - 18 = 7\ \text{cm}\): \(F = kx = \dfrac{8}{2{,}4}\cdot7 \approx 23{,}3\ \text{N}\).

Σύνοψη: α. k ≈ 3,33 N/cm (≈ 333 N/m)· β. ευθεία από την αρχή που περνά από το (8 N, 2,4 cm)· γ. 3 cm· δ. ≈ 23,3 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το 4ο υποερώτημα τυπώνεται στο βιβλίο ως «6.» (τυπογραφικό· εννοείται δ.).
Σε όλα τα ερωτήματα χρησιμοποιείται η επιμήκυνση (τελικό − αρχικό μήκος).

Άσκηση 2.12 — Πίνακας πειράματος και όριο ελαστικότητας

Ερώτηση: Στον παρακάτω πίνακα γράφτηκαν τα αποτελέσματα ενός πειράματος. Δύναμη (Ν): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Μήκος του ελατηρίου (cm): 40, 49, 58, 67, 76, 88, 110. Επιμήκυνση του ελατηρίου (cm): …… α. Να συμπληρωθεί ο πίνακας. β. Να γίνει το διάγραμμα επιμήκυνσης-δύναμης. γ. Ποιο φαίνεται να είναι το όριο ελαστικότητας του ελατηρίου; δ. Τι θα συμβεί στο ελατήριο, αν ασκηθεί σε αυτό δύναμη μεγαλύτερη του ορίου ελαστικότητάς του;

Απάντηση:

α. Επιμήκυνση = μήκος − 40 cm: για F = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 N προκύπτει x = 0, 9, 18, 27, 36, 48, 70 cm.
β. Στο διάγραμμα F-x τα σημεία ως τα 4 N βρίσκονται σε ευθεία από την αρχή (9 cm ανά 1 N, k = 1/9 N/cm ≈ 11,1 N/m)· μετά η γραμμή γίνεται καμπύλη (σελ. 37, τμήμα ΑΓ).
γ. Στα 5 N η αναλογία θα έδινε 45 cm, αλλά μετρήθηκαν 48 cm· στα 6 N αναμέναμε 54 cm και μετρήθηκαν 70 cm. Άρα η αναλογία ισχύει ως τα 4 N: το όριο ελαστικότητας είναι περίπου (4 N, 36 cm).
δ. Πάνω από το όριο ελαστικότητας «η επιμήκυνση ονομάζεται πλαστική και μπορεί να οδηγήσει σε θραύση» (σελ. 37): το ελατήριο δεν θα επανέλθει στο αρχικό μήκος και, αν η δύναμη αυξηθεί πολύ, θα κοπεί.

Σύνοψη: Επιμηκύνσεις: 0, 9, 18, 27, 36, 48, 70 cm. Αναλογία ως τα 4 N, οπότε όριο ελαστικότητας ≈ 4 N (36 cm). Πέρα από αυτό η παραμόρφωση είναι πλαστική (μόνιμη) και μπορεί να φτάσει σε θραύση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το όριο ελαστικότητας προσδιορίζεται ως το τελευταίο σημείο της ευθείας· αποδεκτό «μεταξύ 4 και 5 N».

Ερώτηση 2.13 — Γιατί η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος

Ερώτηση: Γιατί κατά τη γνώμη σας η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος; Να αναφέρετε δύο παραδείγματα που να υποστηρίζουν αυτή την άποψη.

Απάντηση:

Σελ. 26-27: για να καθορίσουμε μια δύναμη δεν αρκεί το μέτρο της· χρειάζονται και η διεύθυνση, η φορά και το σημείο εφαρμογής, γιατί από αυτά εξαρτώνται τα αποτελέσματά της. «Είναι, επομένως, φανερό ότι η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος».
Παράδειγμα 1 (Εικόνα 2.2): το ίδιο βάρος τοποθετημένο στο μέσο Μ μιας σανίδας που στηρίζεται στα άκρα της τη λυγίζει πολύ, ενώ κοντά στο άκρο Α σχεδόν καθόλου· το αποτέλεσμα εξαρτάται από το σημείο εφαρμογής. Το ίδιο ισχύει όταν σπρώχνουμε μια πόρτα κοντά στους μεντεσέδες ή στο πόμολο.
Παράδειγμα 2 (Εικόνα 2.3): με τα χέρια στα άκρα ενός ξύλου, δυνάμεις προς τα μέσα το συμπιέζουν, προς τα έξω το τεντώνουν, ενώ δυνάμεις με άλλη διεύθυνση το στρίβουν ή το λυγίζουν· το αποτέλεσμα εξαρτάται από τη διεύθυνση και τη φορά. Επιπλέον οι δυνάμεις προστίθενται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου (σελ. 48).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Επειδή τα αποτελέσματά της δεν εξαρτώνται μόνο από το μέτρο της, αλλά και από τη διεύθυνση, τη φορά και το σημείο εφαρμογής, και επειδή οι δυνάμεις προστίθενται διανυσματικά. Π.χ. ένα βάρος λυγίζει μια σανίδα πολύ περισσότερο όταν τοποθετηθεί στο μέσο της παρά κοντά στο στήριγμα· δυνάμεις στα άκρα ενός ξύλου το συμπιέζουν ή το τεντώνουν ανάλογα με τη φορά τους.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αποδεκτό κάθε παράδειγμα όπου το αποτέλεσμα αλλάζει με την κατεύθυνση ή το σημείο εφαρμογής.

Ερώτηση 2.14 — Τα χαρακτηριστικά μιας δύναμης

Ερώτηση: Ποια κατά τη γνώμη σας είναι τα χαρακτηριστικά μιας δύναμης;

Απάντηση:

Σελ. 26: «χρειάζεται να γνωρίζουμε τρία στοιχεία: α. το μέτρο της δύναμης (αριθμητική τιμή και μονάδα μέτρησης) β. τη διεύθυνση και τη φορά της δύναμης γ. το σημείο εφαρμογής της».

Σύνοψη: Το μέτρο (αριθμητική τιμή και μονάδα, π.χ. N), η διεύθυνση και η φορά (κατεύθυνση) και το σημείο εφαρμογής.

Ερώτηση 2.15 — Σύνθεση, συνισταμένη, συνιστώσες

Ερώτηση: Τι ονομάζουμε: α. σύνθεση δυνάμεων β. συνισταμένη δυνάμεων γ. συνιστώσες δυνάμεις; Δώστε παραδείγματα για τις περιπτώσεις β και γ.

Απάντηση:

α. Σελ. 45: σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία αντικατάστασης των δυνάμεων που δέχεται ένα σώμα από μία δύναμη, που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα με όλες μαζί.
β. Σελ. 46: συνισταμένη είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο ή περισσότερων δυνάμεων. Παράδειγμα: η δύναμη F = F1 + F2 ενός άνδρα που σέρνει μόνος του το κιβώτιο που έσερναν δύο παιδιά (Εικόνα 2.21).
γ. Σελ. 46: συνιστώσες είναι οι δυνάμεις που αντικαθίστανται από τη συνισταμένη. Παράδειγμα: οι δυνάμεις F1, F2 των δύο παιδιών ή οι τάσεις T1, T2 των δύο ρυμουλκών που τραβούν ένα πλοίο (Εικόνα 2.23).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σύνθεση: η αντικατάσταση πολλών δυνάμεων από μία με το ίδιο αποτέλεσμα. Συνισταμένη: η δύναμη που προκύπτει από τη σύνθεση (π.χ. η δύναμη ενός άνδρα αντί δύο παιδιών). Συνιστώσες: οι δυνάμεις που αντικαθίστανται (π.χ. οι δυνάμεις των δύο ρυμουλκών).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αποδεκτά και άλλα σωστά παραδείγματα.

Ερώτηση 2.16 — Ποιο διάνυσμα είναι η συνισταμένη

Ερώτηση: Στο σχήμα που ακολουθεί υπάρχουν δύο δυνάμεις που ασκούνται στο σημείο Ο. Ποιο από τα διανύσματα Α, Β, Γ, Δ είναι η συνισταμένη των δύο δυνάμεων; [Σχήμα: από το Ο ξεκινούν η F1 προς τα πάνω-αριστερά και η F2 προς τα κάτω-αριστερά, συμμετρικές ως προς την οριζόντια διεύθυνση και με ίσα μέτρα· τα Α και Β είναι σχεδόν κατακόρυφα διανύσματα, το Γ οριζόντιο προς τα δεξιά και το Δ οριζόντιο προς τα αριστερά.]

Απάντηση:

Με τον κανόνα του παραλληλογράμμου (σελ. 48) η συνισταμένη έχει τη διεύθυνση της διαγωνίου του παραλληλογράμμου με πλευρές τις F1, F2.
Επειδή οι F1, F2 έχουν ίσα μέτρα και είναι συμμετρικές ως προς την οριζόντια, οι κατακόρυφες συνιστώσες τους (μία προς τα πάνω, μία προς τα κάτω) αλληλοαναιρούνται και μένουν οι οριζόντιες συνιστώσες, που είναι και οι δύο προς τα αριστερά.
Άρα η συνισταμένη είναι οριζόντια προς τα αριστερά: τα Α, Β (κατακόρυφα) και το Γ (προς τα δεξιά) αποκλείονται.

Σύνοψη: Η συνισταμένη είναι το διάνυσμα Δ (οριζόντιο προς τα αριστερά).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η απάντηση στηρίζεται στη συμμετρία του σχήματος· απαιτείται αιτιολόγηση με τον κανόνα του παραλληλογράμμου ή με ανάλυση.

Ερώτηση 2.17 — Διαδικασία εύρεσης της συνισταμένης

Ερώτηση: Ποια διαδικασία ακολουθείται, για να προσδιοριστεί η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα; Αριθμήστε και περιγράψτε βήμα βήμα τα διάφορα στάδια.

Απάντηση:

Σελ. 51-52 (ανάλυση και σύνθεση):
1. Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα (από πού προέρχεται η καθεμιά, σελ. 31).
1. Επιλέγουμε δύο κάθετους άξονες xx΄ και yy΄ ανάλογα με το πρόβλημα.
1. Αναλύουμε κάθε δύναμη στους άξονες: \(F_x = F\,\text{συν}\theta\), \(F_y = F\,\text{ημ}\theta\), με πρόσημο ανάλογα με τη φορά.
1. Αθροίζουμε αλγεβρικά τις συνιστώσες κάθε άξονα: \(\Sigma F_x\), \(\Sigma F_y\) (2.10).
1. Βρίσκουμε το μέτρο: \(F_{ολ} = \sqrt{\Sigma F_x^2 + \Sigma F_y^2}\) (2.11).
1. Βρίσκουμε την κατεύθυνση: \(\text{εφ}\theta = \dfrac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}\) (2.12), γωνία με τον xx΄.
Για δύο μόνο δυνάμεις αρκούν οι σχέσεις 2.2-2.7 (συγγραμμικές ή με γωνία φ, κανόνας παραλληλογράμμου).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις, επιλέγουμε κάθετους άξονες, αναλύουμε κάθε δύναμη σε συνιστώσες, αθροίζουμε αλγεβρικά τις συνιστώσες σε κάθε άξονα, υπολογίζουμε το μέτρο με το Πυθαγόρειο και την κατεύθυνση με την εφαπτομένη.

Άσκηση 2.18 — Συνισταμένη 3 N και 4 N σε διάφορες γωνίες

Ερώτηση: Να βρεθεί η συνισταμένη δύο δυνάμεων, οι οποίες έχουν κοινό σημείο εφαρμογής, μέτρα 3Ν και 4Ν αντίστοιχα και σχηματίζουν γωνία: α. 0º β. 60º γ. 90º δ. 180°

Απάντηση:

Τύπος (2.6): \(F_{ολ} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\,\text{συν}\varphi}\), με \(F_1 = 3\ \text{N}\), \(F_2 = 4\ \text{N}\)· κατεύθυνση (2.7): \(\text{εφ}\theta = \dfrac{F_1\,\text{ημ}\varphi}{F_2 + F_1\,\text{συν}\varphi}\), γωνία με τη F2.
α. φ = 0° (ομόρροπες): \(F_{ολ} = 3 + 4 = 7\ \text{N}\), ίδια κατεύθυνση.
β. φ = 60°: \(F_{ολ} = \sqrt{9 + 16 + 2\cdot3\cdot4\cdot0{,}5} = \sqrt{37} \approx 6{,}08\ \text{N}\)· \(\text{εφ}\theta = \dfrac{3\cdot0{,}866}{4 + 1{,}5} \approx 0{,}472\), \(\theta \approx 25{,}3°\) με τη F2.
γ. φ = 90°: \(F_{ολ} = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{N}\)· \(\text{εφ}\theta = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\), \(\theta \approx 36{,}9°\) με τη F2.
δ. φ = 180° (αντίρροπες): \(F_{ολ} = 4 - 3 = 1\ \text{N}\), με τη φορά της F2 = 4 N (2.4).

Σύνοψη: α. 7 N· β. √37 ≈ 6,08 N (≈ 25,3° με τη δύναμη των 4 N)· γ. 5 N (≈ 36,9° με τη δύναμη των 4 N)· δ. 1 N με τη φορά της δύναμης των 4 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η συνισταμένη μικραίνει όσο μεγαλώνει η γωνία, από 7 N έως 1 N.

Άσκηση 2.19 — Συνισταμένη τριών ομάδων δυνάμεων

Ερώτηση: Να βρεθεί η συνισταμένη (μέτρο και διεύθυνση) των παρακάτω δυνάμεων: [Σχήμα: (α) F1 = 5 N και F2 = 5 N από κοινό σημείο, η F2 οριζόντια προς τα δεξιά και η F1 σχηματίζει μαζί της γωνία 120° (προς τα πάνω-αριστερά). (β) F1 = 8 N οριζόντια προς τα δεξιά, F2 = 4 N και F3 = 12 N κατακόρυφες προς τα πάνω από το ίδιο σημείο. (γ) F1 = 8 N προς τα δεξιά, F4 = 3 N προς τα αριστερά, F2 = 5 N και F3 = 10 N προς τα πάνω, F5 = 4 N προς τα κάτω.]

Απάντηση:

(α) Δύο ίσες δυνάμεις με φ = 120° (όπως στο παράδειγμα της σελ. 49): \(F_{ολ}^2 = 25 + 25 + 2\cdot25\cdot(-0{,}5) = 25 \Rightarrow F_{ολ} = 5\ \text{N}\)· \(\text{εφ}\theta = \dfrac{5\,\text{ημ}120°}{5 + 5\,\text{συν}120°} = \sqrt3 \Rightarrow \theta = 60°\) με τη F2, δηλαδή διχοτόμος της γωνίας.
(β) \(\Sigma F_x = 8\ \text{N}\), \(\Sigma F_y = 4 + 12 = 16\ \text{N}\) (ομόρροπες, 2.3). \(F_{ολ} = \sqrt{8^2 + 16^2} = \sqrt{320} \approx 17{,}9\ \text{N}\)· \(\text{εφ}\theta = \dfrac{16}{8} = 2 \Rightarrow \theta \approx 63{,}4°\) με τη F1.
(γ) \(\Sigma F_x = 8 - 3 = 5\ \text{N}\) (2.5), \(\Sigma F_y = 5 + 10 - 4 = 11\ \text{N}\). \(F_{ολ} = \sqrt{25 + 121} = \sqrt{146} \approx 12{,}1\ \text{N}\)· \(\text{εφ}\theta = \dfrac{11}{5} = 2{,}2 \Rightarrow \theta \approx 65{,}6°\) με τον θετικό ημιάξονα x (προς τη F1).

Σύνοψη: (α) 5 N, σε γωνία 60° με κάθε δύναμη (διχοτόμος)· (β) ≈ 17,9 N, σε γωνία ≈ 63,4° με τη F1· (γ) ≈ 12,1 N, σε γωνία ≈ 65,6° με τη διεύθυνση της F1, προς τα πάνω-δεξιά.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στο (β) οι F2 και F3 διαβάζονται από το σχήμα ως ομόρροπες κατακόρυφες δυνάμεις στο ίδιο σημείο.
Οι γωνίες βρίσκονται με την εφαπτομένη (2.12) από πίνακα ή αριθμομηχανή.

Ερώτηση 2.20 — Συμπλήρωση κενών για δυνάμεις και ισορροπία

Ερώτηση: Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Οι δυνάμεις είναι διανυσματικά μεγέθη, διότι έχουν .............................. και .............................. και προστίθενται .............................. β. Συνισταμένη δυο ή περισσότερων δυνάμεων είναι η δύναμη που προκαλεί .............................. γ. Ένα σώμα ισορροπεί με την επίδραση τριών δυνάμεων, όταν ................ δ. Σύμφωνα με τον 3ο νόμο του Νεύτωνα οι δυνάμεις εμφανίζονται .............................. και έχουν ............ μέτρα, .............................. διεύθυνση, .............................. φορά, .............................. σημείο εφαρμογής.

Απάντηση:

α. Σελ. 26-27, 48: εκτός από μέτρο έχουν διεύθυνση και φορά και προστίθενται διανυσματικά (γεωμετρικά, με τον κανόνα του παραλληλογράμμου).
β. Σελ. 45: προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα με εκείνα που θα προκαλούσαν όλες οι δυνάμεις μαζί.
γ. Σελ. 58: η συνισταμένη των δύο είναι αντίθετη με την τρίτη (η συνισταμένη και των τριών είναι μηδέν).
δ. Σελ. 54-56: κατά ζεύγη (δράσης-αντίδρασης) και έχουν ίσα μέτρα, ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά, διαφορετικό σημείο εφαρμογής.

Σύνοψη: α. διεύθυνση … φορά … διανυσματικά (κανόνας παραλληλογράμμου)· β. τα ίδια αποτελέσματα με όλες μαζί· γ. η συνισταμένη των δύο είναι αντίθετη με την τρίτη· δ. κατά ζεύγη, ίσα, ίδια, αντίθετη, διαφορετικό.

Ερώτηση 2.21 — Σχεδίαση δυνάμεων σε τρία σώματα

Ερώτηση: Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στα παρακάτω σώματα: [Σχήμα: (1) μια σφαίρα ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δάπεδο· (2) μια οριζόντια σανίδα (πάγκος) που στηρίζεται στα δύο άκρα της σε δύο κατακόρυφα στηρίγματα· (3) μια σφαίρα κρεμασμένη από κατακόρυφο νήμα.]

Απάντηση:

Κανόνες σχεδίασης (σελ. 31-32): το βάρος κατακόρυφο προς τα κάτω στο κέντρο βάρους· δύναμη από επιφάνεια κάθετη σε αυτήν (χωρίς τριβές)· δύναμη από νήμα κατά μήκος του νήματος, προς το νήμα. Τόσες δυνάμεις επαφής όσα τα σώματα που ακουμπά, και μία από το πεδίο βαρύτητας (σελ. 30).
(1) Σφαίρα στο δάπεδο: βάρος Β (στο κέντρο, προς τα κάτω) και δύναμη N από το δάπεδο (στο σημείο επαφής, κατακόρυφη προς τα πάνω)· ισορροπεί, άρα N = B (σελ. 57).
(2) Σανίδα σε δύο στηρίγματα: βάρος Β στο μέσο της και δύο κατακόρυφες δυνάμεις N1, N2 προς τα πάνω στα σημεία στήριξης· ισορροπία: N1 + N2 = B (με συμμετρικά στηρίγματα N1 = N2 = B/2).
(3) Κρεμασμένη σφαίρα: βάρος Β προς τα κάτω και τάση Τ του νήματος κατακόρυφη προς τα πάνω (κατά μήκος του νήματος)· Τ = Β.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σφαίρα στο δάπεδο: Β και N (N = B). Σανίδα: Β στο μέσο και δύο αντιδράσεις N1, N2 προς τα πάνω (N1 + N2 = B). Κρεμασμένη σφαίρα: Β και τάση Τ (Τ = Β).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ο έλεγχος αφορά τη σωστή κατεύθυνση και το σημείο εφαρμογής κάθε δύναμης· δεν πρέπει να σχεδιαστούν δυνάμεις που το σώμα ασκεί σε άλλα σώματα.

Άσκηση 2.22 — Δυνατές τιμές της συνισταμένης 3 N και 4 N

Ερώτηση: Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν με τη σύνθεση δύο δυνάμεων με μέτρα F1 = 3Ν και F2 = 4Ν να βρεθεί συνισταμένη, που να έχει μέτρο: α. 1Ν β. 5Ν γ. 12Ν δ. 7Ν ε. 0,5Ν Επίσης, να σχεδιάσετε τις δυνάμεις σε κάθε περίπτωση.

Απάντηση:

Από τη σχέση 2.6, όσο η γωνία φ αυξάνει από 0° έως 180° η συνισταμένη μειώνεται από \(F_1 + F_2 = 7\ \text{N}\) (ομόρροπες, 2.2) έως \(F_2 - F_1 = 1\ \text{N}\) (αντίρροπες, 2.4). Άρα πρέπει \(1\ \text{N} \le F_{ολ} \le 7\ \text{N}\).
α. 1 N: δυνατόν, με αντίρροπες δυνάμεις (φ = 180°)· σχέδιο: δύο βέλη στην ίδια ευθεία με αντίθετη φορά, συνισταμένη προς τη φορά της F2.
β. 5 N: δυνατόν, με κάθετες δυνάμεις (φ = 90°): \(\sqrt{9+16} = 5\)· σχέδιο: ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαγώνιο 5 N.
γ. 12 N: αδύνατον, γιατί 12 N > 7 N (το 12 είναι το γινόμενο, όχι το άθροισμα).
δ. 7 N: δυνατόν, με ομόρροπες δυνάμεις (φ = 0°)· σχέδιο: δύο διαδοχικά βέλη στην ίδια φορά.
ε. 0,5 N: αδύνατον, γιατί 0,5 N < 1 N.

Σύνοψη: Δυνατές: α (1 N, αντίρροπες), β (5 N, κάθετες), δ (7 N, ομόρροπες). Αδύνατες: γ (12 N) και ε (0,5 N), γιατί η συνισταμένη βρίσκεται πάντα μεταξύ 1 N και 7 N.

Ερώτηση 2.23 — Ανάλυση δύναμης σε συνιστώσες

Ερώτηση: Τι ονομάζουμε ανάλυση δύναμης σε δύο συνιστώσες και σε ποιες περιπτώσεις χρειάζεται η ανάλυση μιας δύναμης;

Απάντηση:

Ανάλυση δύναμης σε δύο συνιστώσες είναι η αντίστροφη διαδικασία της σύνθεσης: η αντικατάσταση μιας δύναμης από δύο δυνάμεις (συνιστώσες) που μαζί έχουν το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή η δύναμη είναι η συνισταμένη τους (σελ. 51). Συνηθέστερα οι συνιστώσες είναι κάθετες: \(F_x = F\,\text{συν}\theta\), \(F_y = F\,\text{ημ}\theta\).
Χρειάζεται (σελ. 50-52): όταν ένα σώμα βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο (συνιστώσα του βάρους κατά μήκος και κάθετα στο επίπεδο)· όταν ένα σώμα σηκώνεται ή κρατιέται με δύο σχοινιά που σχηματίζουν γωνία· όταν θέλουμε τη συνισταμένη πολλών μη συγγραμμικών δυνάμεων (ΣFx, ΣFy)· και στα προβλήματα ισορροπίας (ΣFx = 0, ΣFy = 0, σελ. 59).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Είναι η αντικατάσταση μιας δύναμης από δύο (συνήθως κάθετες) δυνάμεις που έχουν μαζί το ίδιο αποτέλεσμα. Χρειάζεται π.χ. σε κεκλιμένο επίπεδο, σε σώματα που κρατιούνται με σχοινιά σε γωνία, στην εύρεση συνισταμένης πολλών δυνάμεων και στη λύση προβλημάτων ισορροπίας.

Άσκηση 2.24 — Ανάλυση δύναμης 12 N με γωνία 30°

Ερώτηση: Να αναλυθεί μια δύναμη 12Ν σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες, έτσι ώστε η μία από αυτές να σχηματίζει γωνία 30º με τη δύναμη.

Απάντηση:

Με τον άξονα xx΄ στη διεύθυνση της συνιστώσας που σχηματίζει 30° με την F (σελ. 51): \(F_x = F\,\text{συν}30° = 12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 \approx 10{,}39\ \text{N}\).
\(F_y = F\,\text{ημ}30° = 12\cdot\dfrac12 = 6\ \text{N}\)· η Fy σχηματίζει 60° με την F.
Έλεγχος: \(\sqrt{10{,}39^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = 12\ \text{N}\).

Σύνοψη: Οι συνιστώσες είναι ≈ 10,39 N (σε γωνία 30° με τη δύναμη) και 6 N (σε γωνία 60° με τη δύναμη).

Ερώτηση 2.25 — Συνθήκη ισορροπίας για δύο, τρεις, πολλές δυνάμεις

Ερώτηση: Ποια είναι η συνθήκη ισορροπίας ενός σώματος, όταν δέχεται: α. δύο δυνάμεις β. τρεις δυνάμεις γ. πολλές δυνάμεις;

Απάντηση:

α. Σελ. 57: «Όταν σε ένα σώμα ασκούνται δύο αντίθετες δυνάμεις, το σώμα ισορροπεί»: ίσα μέτρα, ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά.
β. Σελ. 58: «η συνισταμένη των δύο δυνάμεων να είναι αντίθετη με την τρίτη δύναμη»· η συνισταμένη των τριών είναι μηδέν (ισχύει και ο νόμος των ημιτόνων).
γ. Σελ. 58: η συνισταμένη όλων είναι μηδέν: \(F_{ολ} = 0\) ή \(\Sigma F_x = 0\) και \(\Sigma F_y = 0\) (2.13).

Σύνοψη: α. Οι δύο δυνάμεις να είναι αντίθετες. β. Η συνισταμένη δύο από αυτές να είναι αντίθετη με την τρίτη. γ. Η συνισταμένη όλων να είναι μηδέν (ΣFx = 0 και ΣFy = 0).

Ερώτηση 2.26 — Δύο επιπλέον δυνάμεις σε σώμα που ισορροπεί

Ερώτηση: Τρεις δυνάμεις που ασκούνται πάνω σε ένα σώμα αμελητέων διαστάσεων βρίσκονται σε ισορροπία. Ασκούμε άλλες δύο δυνάμεις πάνω στο σώμα, και το σώμα ισορροπεί και πάλι. Τι μπορείτε να πείτε για τις δύο επιπρόσθετες αυτές δυνάμεις;

Απάντηση:

Οι τρεις αρχικές δυνάμεις ισορροπούν, άρα η συνισταμένη τους είναι μηδέν (σελ. 58).
Μετά την προσθήκη των \(F_4, F_5\) το σώμα ισορροπεί ξανά, οπότε η συνισταμένη και των πέντε είναι μηδέν (2.13): \(0 + \vec F_4 + \vec F_5 = 0 \Rightarrow \vec F_4 = -\vec F_5\).
Δηλαδή οι δύο νέες δυνάμεις είναι αντίθετες (σελ. 57): ίσα μέτρα, ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά — η συνισταμένη τους είναι μηδέν.

Σύνοψη: Οι δύο επιπλέον δυνάμεις είναι αντίθετες μεταξύ τους (ίσα μέτρα, ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά), ώστε η συνισταμένη τους να είναι μηδέν.

Ερώτηση 2.27 — Σχέσεις για σφαίρα που στηρίζεται σε βραχίονα

Ερώτηση: Η μεταλλική σφαίρα ισορροπεί και υποστηρίζεται με ένα μεταλλικό βραχίονα Υ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το διάγραμμα δείχνει τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα. Ποια (ή ποιες) από τις ακόλουθες σχέσεις ισχύουν; α) Τ2 = B2 + F2 β) Β = Τημθ γ) F = Τσυνθ δ) Β = Fεφθ ε) B + F+T = 0 [Σχήμα: η σφαίρα κρέμεται από νήμα δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο· το νήμα σχηματίζει γωνία θ με τον τοίχο (με την κατακόρυφο)· ένας οριζόντιος βραχίονας Υ από τον τοίχο σπρώχνει τη σφαίρα. Δυνάμεις: τάση Τ κατά μήκος του νήματος προς τα πάνω-αριστερά, οριζόντια F προς τα δεξιά, βάρος Β προς τα κάτω.]

Απάντηση:

Αναλύουμε την Τ: η θ είναι γωνία με την κατακόρυφο, άρα \(T_y = T\,\text{συν}\theta\) (κατακόρυφη) και \(T_x = T\,\text{ημ}\theta\) (οριζόντια).
Ισορροπία (σελ. 58): \(\Sigma F_y = 0 \Rightarrow B = T\,\text{συν}\theta\) και \(\Sigma F_x = 0 \Rightarrow F = T\,\text{ημ}\theta\).
α) Υψώνοντας στο τετράγωνο και προσθέτοντας: \(B^2 + F^2 = T^2(\text{συν}^2\theta + \text{ημ}^2\theta) = T^2\) — ισχύει (η Τ είναι αντίθετη της συνισταμένης των κάθετων B, F).
β) \(B = T\,\text{ημ}\theta\) — δεν ισχύει (σωστό: \(B = T\,\text{συν}\theta\)).
γ) \(F = T\,\text{συν}\theta\) — δεν ισχύει (σωστό: \(F = T\,\text{ημ}\theta\)).
δ) Διαιρώντας: \(\dfrac{F}{B} = \text{εφ}\theta \Rightarrow F = B\,\text{εφ}\theta\), όχι \(B = F\,\text{εφ}\theta\) — δεν ισχύει (εκτός αν θ = 45°).
ε) Ως διανυσματική σχέση \(\vec B + \vec F + \vec T = 0\) — ισχύει (συνθήκη ισορροπίας, 2.13)· ως άθροισμα μέτρων δεν θα είχε νόημα.

Σύνοψη: Ισχύουν οι α (Τ² = Β² + F²) και ε (διανυσματικά Β + F + Τ = 0). Οι β, γ, δ είναι λάθος· σωστά είναι Β = Τσυνθ, F = Τημθ και F = Βεφθ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η γωνία θ μετριέται από την κατακόρυφο (τον τοίχο)· με αυτό καθορίζεται ποια συνιστώσα παίρνει ημίτονο και ποια συνημίτονο.

Ερώτηση 2.28 — Συνισταμένη δύο δυνάμεων σε γωνία 60°

Ερώτηση: Δύο δυνάμεις F1 και F2 σχηματίζουν γωνία 60o. Το μέτρο της συνισταμένης τους είναι: α. Ίσο με το άθροισμα των μέτρων των δύο δυνάμεων: F = F1 + F2. β. Μεγαλύτερο από το άθροισμα των μέτρων των δύο δυνάμεων: F> F1 + F2. γ. Μικρότερο από το άθροισμα των μέτρων των δύο δυνάμεων: F < F1 + F2. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστή;

Απάντηση:

Από τη σχέση 2.6 με συν60° = 0,5: \(F^2 = F_1^2 + F_2^2 + F_1F_2\).
Ενώ \((F_1 + F_2)^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\), που είναι μεγαλύτερο κατά \(F_1F_2 > 0\).
Άρα F < F1 + F2. Το άθροισμα των μέτρων προκύπτει μόνο για ομόρροπες δυνάμεις (φ = 0°, σελ. 47).

Σύνοψη: Σωστή η γ: F < F1 + F2.

Ερώτηση 2.29 — Σωστό σχήμα δυνάμεων σε κεκλιμένο επίπεδο

Ερώτηση: Ένα σώμα ισορροπεί πάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει σωστά τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα; [Σχήμα: πέντε σχήματα (Α)-(Ε) με το ίδιο σώμα Σ σε κεκλιμένο επίπεδο, που σε όλα δέχεται το βάρος Β κατακόρυφα προς τα κάτω και μία δύναμη N από το επίπεδο: (Α) N οριζόντια προς τα αριστερά· (Β) N κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο, προς τα πάνω-αριστερά· (Γ) N κατακόρυφη προς τα πάνω, αντίθετη του Β· (Δ) N οριζόντια προς τα δεξιά· (Ε) N παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο, προς τα πάνω-δεξιά.]

Απάντηση:

Σε κάθε σχήμα το σώμα δέχεται δύο δυνάμεις: το βάρος Β από τη Γη και μία δύναμη από το επίπεδο (σελ. 30: μία δύναμη για κάθε σώμα σε επαφή και μία για κάθε πεδίο).
Αφού το σώμα ισορροπεί με δύο δυνάμεις, αυτές πρέπει να είναι αντίθετες (σελ. 57): ίσα μέτρα, ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά. Επειδή το Β είναι κατακόρυφο, και η δύναμη του επιπέδου πρέπει να είναι κατακόρυφη προς τα πάνω.
Στα (Α), (Δ), (Ε) η δύναμη του επιπέδου δεν έχει τη διεύθυνση του Β, άρα δεν ισορροπούν. Στο (Β) η δύναμη είναι κάθετη στο επίπεδο· αυτή θα ήταν η δύναμη αν δεν υπήρχαν τριβές (σελ. 31), αλλά τότε η συνισταμένη της με το Β δεν θα ήταν μηδέν και το σώμα θα γλιστρούσε.
Άρα για σώμα που ισορροπεί σωστό είναι το (Γ): η συνολική δύναμη που του ασκεί το επίπεδο είναι αντίθετη του βάρους (περιέχει την κάθετη αντίδραση και την τριβή, που θα γνωρίσουμε στο επόμενο κεφάλαιο).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστό το (Γ): αφού το σώμα ισορροπεί με δύο μόνο δυνάμεις, η δύναμη του επιπέδου πρέπει να είναι αντίθετη του βάρους, δηλαδή κατακόρυφη προς τα πάνω.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αμφίβολο σημείο: κάποιοι θα επέλεγαν το (Β) (η κάθετη αντίδραση)· όμως με μόνο Β και κάθετη αντίδραση το σώμα δεν μπορεί να ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο. Αποδεκτό το (Β) μόνο αν ο μαθητής εξηγεί ότι λείπει η τριβή.

Άσκηση 2.30 — Δύναμη ανθρώπου στη Γη

Ερώτηση: Το βάρος ενός ανθρώπου είναι 660Ν. Πόση δύναμη ασκεί ο άνθρωπος πάνω στη γη, όταν στέκεται σε οριζόντιο έδαφος;

Απάντηση:

Στον άνθρωπο ασκούνται το βάρος B = 660 N και η δύναμη N από το έδαφος. Αφού ισορροπεί, οι δύο δυνάμεις είναι αντίθετες: N = B = 660 N (σελ. 57).
Κατά τον 3ο νόμο του Νεύτωνα (σελ. 54-56), ο άνθρωπος ασκεί στο έδαφος δύναμη N΄ ίση και αντίθετη της N: N΄ = 660 N, κατακόρυφη προς τα κάτω, με σημείο εφαρμογής το έδαφος (όπως στο παράδειγμα της σελ. 59 για το γραφείο).
Επιπλέον, ως αντίδραση του βάρους, ο άνθρωπος έλκει τη Γη (από απόσταση) με 660 N προς τα πάνω (σελ. 56, μήλο-Γη).

Σύνοψη: Ασκεί στο έδαφος δύναμη 660 N, κατακόρυφη προς τα κάτω.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Πρέπει να φαίνεται ο συνδυασμός ισορροπίας (N = B) και 3ου νόμου (N΄ = N).

Άσκηση 2.31 — Τρεις δυνάμεις σε γωνία 120°

Ερώτηση: Τρεις δυνάμεις έχουν μέτρα 10Ν, 20Ν και 30Ν και σχηματίζουν ανά δύο γωνία 120º. Να βρεθεί η συνισταμένη δύναμη.

Απάντηση:

Τοποθετούμε την \(F_3 = 30\ \text{N}\) στον θετικό άξονα x, την \(F_2 = 20\ \text{N}\) σε 120° και την \(F_1 = 10\ \text{N}\) σε 240° (σελ. 52, ανάλυση).
\(\Sigma F_x = 30 + 20\,\text{συν}120° + 10\,\text{συν}240° = 30 - 10 - 5 = 15\ \text{N}\).
\(\Sigma F_y = 0 + 20\,\text{ημ}120° + 10\,\text{ημ}240° = 17{,}32 - 8{,}66 = 8{,}66\ \text{N}\).
\(F_{ολ} = \sqrt{15^2 + 8{,}66^2} = \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} \approx 17{,}3\ \text{N}\)· \(\text{εφ}\theta = \dfrac{8{,}66}{15} \approx 0{,}577 \Rightarrow \theta = 30°\) με την F3, προς τη μεριά της F2.
Έλεγχος: τρεις ίσες δυνάμεις 10 N σε 120° έχουν συνισταμένη μηδέν, άρα το σύστημα ισοδυναμεί με 10 N (κατά την F2) και 20 N (κατά την F3) σε γωνία 120°: \(\sqrt{100 + 400 + 2\cdot10\cdot20\cdot(-0{,}5)} = \sqrt{300}\) ✓.

Σύνοψη: Η συνισταμένη είναι 10√3 ≈ 17,3 N, σε γωνία 30° με τη δύναμη των 30 N, προς τη μεριά της δύναμης των 20 N (δηλαδή κάθετη στη δύναμη των 10 N).

Άσκηση 2.32 — Σώμα κρεμασμένο από τρία νήματα

Ερώτηση: Ένα σώμα βάρους Β = 10Ν συγκρατείται με τη βοήθεια τριών νημάτων όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα νήματα σχηματίζουν γωνίες 30° με την οροφή. Να σχεδιαστούν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σημείο Ο και στο σώμα και να υπολογιστούν τα μέτρα τους. [Σχήμα: δύο νήματα από την οροφή, συμμετρικά, σχηματίζουν το καθένα γωνία 30° με την οροφή και ενώνονται στο σημείο Ο· από το Ο ένα κατακόρυφο νήμα κρατά το σώμα.]

Απάντηση:

Σώμα: βάρος \(B = 10\ \text{N}\) προς τα κάτω και τάση \(T_3'\) του κατακόρυφου νήματος προς τα πάνω· ισορροπία: \(T_3' = B = 10\ \text{N}\).
Σημείο Ο: η \(T_3 = T_3' = 10\ \text{N}\) προς τα κάτω (δράση-αντίδραση, όπως στο 2ο παράδειγμα της σελ. 60) και οι τάσεις \(T_1, T_2\) των δύο λοξών νημάτων, κατά μήκος τους προς την οροφή.
\(\Sigma F_x = 0:\ T_1\,\text{συν}30° = T_2\,\text{συν}30° \Rightarrow T_1 = T_2 = T\).
\(\Sigma F_y = 0:\ T\,\text{ημ}30° + T\,\text{ημ}30° = T_3 \Rightarrow 2T\cdot0{,}5 = 10 \Rightarrow T = 10\ \text{N}\).
Παρατήρηση: οι τρεις τάσεις στο Ο είναι ίσες (10 N) και σχηματίζουν ανά δύο γωνία 120°, όπως αναμένεται για τρεις ίσες δυνάμεις σε ισορροπία.

Σύνοψη: Στο σώμα: Β = 10 N και Τ3΄ = 10 N. Στο σημείο Ο: Τ3 = 10 N προς τα κάτω, Τ1 = Τ2 = 10 N κατά μήκος των λοξών νημάτων.

Άσκηση 2.33 — Σφαίρα σε λείο κεκλιμένο επίπεδο με οριζόντιο νήμα

Ερώτηση: Η σφαίρα στο διπλανό σχήμα έχει βάρος Β = 18Ν. Η σφαίρα ισορροπεί με τη βοήθεια ενός νήματος. Πόση είναι η τάση του οριζόντιου νήματος και πόση δύναμη ασκεί το επίπεδο στη σφαίρα; Τριβές δεν υπάρχουν. [Σχήμα: κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 60° με το οριζόντιο· η σφαίρα ακουμπά στην κεκλιμένη πλευρά και συγκρατείται από οριζόντιο νήμα που ξεκινά από το κέντρο της και δένεται στο κεκλιμένο σώμα (τραβάει προς το επίπεδο).]

Απάντηση:

Δυνάμεις στη σφαίρα: βάρος \(B = 18\ \text{N}\) κατακόρυφα κάτω· τάση \(T\) οριζόντια προς το επίπεδο· δύναμη \(N\) από το λείο επίπεδο, κάθετη σε αυτό (σελ. 31). Επειδή το επίπεδο σχηματίζει 60° με το οριζόντιο, η N σχηματίζει 60° με την κατακόρυφο (30° με το οριζόντιο), προς τα πάνω και μακριά από το επίπεδο.
\(\Sigma F_y = 0:\ N\,\text{συν}60° = B \Rightarrow N = \dfrac{18}{0{,}5} = 36\ \text{N}\).
\(\Sigma F_x = 0:\ T = N\,\text{ημ}60° = 36\cdot0{,}866 \approx 31{,}2\ \text{N}\) \((= 18\sqrt3\ \text{N})\).

Σύνοψη: Η τάση του νήματος είναι ≈ 31,2 N (18√3 N) και η δύναμη του επιπέδου 36 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η γωνία της N με την κατακόρυφο ισούται με τη γωνία του κεκλιμένου επιπέδου (60°).

Άσκηση 2.34 — Μπάλα δεμένη σε τοίχο

Ερώτηση: Μια μπάλα βάρους Β = 120Ν και διαμέτρου δ = 6 cm είναι δεμένη με νήμα μήκους 6 cm όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Η μπάλα ισορροπεί: α. Να σχεδιαστούν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στην μπάλα. β. Να υπολογιστεί η αντίδραση του τοίχου στο σημείο επαφής με την μπάλα. γ. Να υπολογιστεί η τάση του νήματος. Τριβές δεν υπάρχουν. [Σχήμα: η μπάλα ακουμπά σε λείο κατακόρυφο τοίχο· το νήμα δένεται στον τοίχο πιο πάνω και στην επιφάνεια της μπάλας, με την προέκτασή του να περνά από το κέντρο της.]

Απάντηση:

α. Δυνάμεις: βάρος Β στο κέντρο προς τα κάτω· τάση Τ κατά μήκος του νήματος προς το σημείο πρόσδεσης (πάνω, προς τον τοίχο)· αντίδραση N του λείου τοίχου, οριζόντια και κάθετη στον τοίχο (σελ. 31), με φορέα που περνά από το κέντρο.
Γεωμετρία: από το σημείο πρόσδεσης ως το κέντρο η απόσταση είναι \(6 + 3 = 9\ \text{cm}\) (νήμα + ακτίνα) και η οριζόντια απόσταση του κέντρου από τον τοίχο είναι η ακτίνα 3 cm. Αν φ η γωνία του νήματος με τον τοίχο: \(\text{ημ}\varphi = \dfrac{3}{9} = \dfrac13\), \(\text{συν}\varphi = \sqrt{1 - \tfrac19} = \dfrac{2\sqrt2}{3} \approx 0{,}943\).
γ. \(\Sigma F_y = 0:\ T\,\text{συν}\varphi = B \Rightarrow T = \dfrac{120}{0{,}943} \approx 127{,}3\ \text{N}\) \((= 90\sqrt2\ \text{N})\).
β. \(\Sigma F_x = 0:\ N = T\,\text{ημ}\varphi = \dfrac{127{,}3}{3} \approx 42{,}4\ \text{N}\) (ισοδύναμα \(N = B\,\text{εφ}\varphi = 120/\sqrt8\)).

Σύνοψη: Αντίδραση τοίχου ≈ 42,4 N (οριζόντια) και τάση νήματος ≈ 127,3 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το κρίσιμο βήμα είναι η γεωμετρία: η υποτείνουσα είναι νήμα + ακτίνα = 9 cm και η απέναντι πλευρά η ακτίνα 3 cm.

Άσκηση 2.35 — Δύο σώματα, τροχαλία και πλάγιο νήμα

Ερώτηση: Τα σώματα Σ1 και Σ2 με βάρη αντίστοιχα Β1=36Ν και Β2=12Ν ισορροπούν σε λείο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. α. Να σχεδιάσετε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα. β. Να γράψετε τις εξισώσεις ισορροπίας των σωμάτων. γ. Να υπολογίσετε όλες τις άγνωστες δυνάμεις. [Σχήμα: το Σ1 βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο· από την αριστερή του πλευρά ένα νήμα πηγαίνει προς τα πάνω-αριστερά σε κατακόρυφο τοίχο, σχηματίζοντας γωνία 30° με την οριζόντια· από τη δεξιά του πλευρά ένα οριζόντιο νήμα περνά από τροχαλία στην άκρη του επιπέδου και κρατά κρεμασμένο το Σ2.]

Απάντηση:

α. Σ2: βάρος \(B_2\) προς τα κάτω, τάση \(T\) του νήματος προς τα πάνω. Σ1: βάρος \(B_1\) προς τα κάτω, δύναμη \(N\) του λείου επιπέδου κάθετα προς τα πάνω, τάση \(T\) του νήματος της τροχαλίας οριζόντια προς τα δεξιά (ίδια σε όλο το σκοινί, σελ. 45) και τάση \(T'\) του πλάγιου νήματος σε γωνία 30° με την οριζόντια προς τα πάνω-αριστερά.
β. Σ2: \(T - B_2 = 0\). Σ1: \(\Sigma F_x = 0:\ T'\,\text{συν}30° - T = 0\) και \(\Sigma F_y = 0:\ N + T'\,\text{ημ}30° - B_1 = 0\).
γ. \(T = B_2 = 12\ \text{N}\)· \(T' = \dfrac{T}{\text{συν}30°} = \dfrac{12}{0{,}866} \approx 13{,}86\ \text{N}\)· \(N = B_1 - T'\,\text{ημ}30° = 36 - 6{,}93 \approx 29{,}07\ \text{N}\).

Σύνοψη: Τ = 12 N (τάση του νήματος με την τροχαλία), Τ΄ ≈ 13,86 N (πλάγιο νήμα) και N ≈ 29,07 N (δύναμη του επιπέδου στο Σ1).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η γωνία 30° διαβάζεται από το σχήμα ως γωνία του πλάγιου νήματος με την οριζόντια· αν ήταν με τον τοίχο, τα αποτελέσματα θα άλλαζαν.
Η N δεν είναι ίση με το Β1, γιατί το πλάγιο νήμα σηκώνει μέρος του βάρους.

Άσκηση 2.36 — Ισορροπία αλεξιπτωτιστή

Ερώτηση: Ο αλεξιπτωτιστής του παρακάτω σχήματος ισορροπεί κάποια στιγμή όπως φαίνεται στο σχήμα με την επίδραση τριών δυνάμεων: του βάρους του Β=700Ν, της τάσης του νήματος Τ1, που δέχεται από το αλεξίπτωτο, και της τάσης Τ2, που δέχεται από ένα άλλο σχοινί. Να υπολογίσετε τις τάσεις Τ1 και Τ2. [Σχήμα: η Τ1 σχηματίζει γωνία 36° με την κατακόρυφο, προς τα πάνω-αριστερά (προς το αλεξίπτωτο)· η Τ2 σχηματίζει γωνία 25° κάτω από την οριζόντια, προς τα κάτω-δεξιά· το Β = 700 N κατακόρυφα προς τα κάτω.]

Απάντηση:

Άξονες: x οριζόντιος, y κατακόρυφος. Συνιστώσες: \(T_{1x} = -T_1\,\text{ημ}36°\), \(T_{1y} = T_1\,\text{συν}36°\)· \(T_{2x} = T_2\,\text{συν}25°\), \(T_{2y} = -T_2\,\text{ημ}25°\).
\(\Sigma F_x = 0:\ T_1\,\text{ημ}36° = T_2\,\text{συν}25° \Rightarrow 0{,}588\,T_1 = 0{,}906\,T_2\) (1)
\(\Sigma F_y = 0:\ T_1\,\text{συν}36° = B + T_2\,\text{ημ}25° \Rightarrow 0{,}809\,T_1 = 700 + 0{,}423\,T_2\) (2)
Από (1): \(T_1 = 1{,}542\,T_2\). Στη (2): \(0{,}809\cdot1{,}542\,T_2 - 0{,}423\,T_2 = 700 \Rightarrow 0{,}825\,T_2 = 700 \Rightarrow T_2 \approx 849\ \text{N}\).
\(T_1 = 1{,}542\cdot849 \approx 1309\ \text{N}\).
Έλεγχος με τον νόμο των ημιτόνων (σελ. 58), με γωνίες ανάμεσα στις δύο άλλες δυνάμεις (Τ2-Β: 65°, Τ1-Β: 144°, Τ1-Τ2: 151°): \(\dfrac{T_1}{\text{ημ}65°} = \dfrac{T_2}{\text{ημ}144°} = \dfrac{700}{\text{ημ}151°} \approx 1444\ \text{N}\), άρα \(T_1 \approx 1309\ \text{N}\) και \(T_2 \approx 849\ \text{N}\) ✓.

Σύνοψη: Τ1 ≈ 1309 N και Τ2 ≈ 849 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η Τ2 έχει συνιστώσα προς τα κάτω, οπότε η κατακόρυφη συνιστώσα της Τ1 πρέπει να ισορροπεί και το βάρος και αυτή.
Οι γωνίες διαβάζονται από το σχήμα (36° από την κατακόρυφο, 25° κάτω από την οριζόντια).