Λύσεις — Κεφάλαιο 7: Ρευστά (σελ. 308-312) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 7: Ρευστά (σελ. 308-312) – ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 7: Ρευστά (σελ. 308-312)

Λύσεις των 20 ερωτήσεων, προβληματισμών και ασκήσεων του κεφαλαίου (7.1-7.20, σελ. 308-312): πυκνότητα, υδροστατική πίεση, αρχές Pascal και Αρχιμήδη, ατμοσφαιρική πίεση, συνέχεια, Bernoulli, Torricelli, ιξώδες και αντίσταση του αέρα.

7.1 Τα ερωτήματα και οι προβληματισμοί του κειμένου

Ερώτηση: Ασχοληθείτε με τα ερωτήματα και με τους προβληματισμούς που βρίσκονται διασκορπισμένα μέσα στο κείμενο του κεφαλαίου.

Απάντηση:

Υγρά με ελαστικότητα όγκου (σελ. 249): ο όγκος δεδομένης μάζας θα άλλαζε εύκολα, οπότε η πώληση καυσίμων με βάση τα λίτρα δεν θα ήταν δίκαιη — θα έπρεπε να γίνεται με βάση τη μάζα.
\(1\ \text{g/cm}^3 = 10^3\ \text{kg/m}^3\) (σελ. 250): \(\frac{10^{-3}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^3} = 10^3\ \text{kg/m}^3\). Και (σελ. 252) η πυκνότητα σε kg/m³ ισούται αριθμητικά με το ειδικό βάρος σε kp/m³, γιατί σώμα μάζας 1 kg έχει βάρος 1 kp.
Έλεγχος πετρελαίου (σελ. 252): κυβική δεξαμενή ακμής 1,2 m, βάση \(1{,}44\) m², στάθμη από 16 σε 90 cm: \(V = 1{,}44\cdot0{,}74 \approx 1{,}066\) m³, \(m = ρV = 900\cdot1{,}066 \approx 959\) kg. Ο πελάτης πήρε περίπου 41 kg λιγότερα από τα 1000 kg που χρεώθηκε — τον ξεγέλασε ο ιδιοκτήτης του βυτιοφόρου (το κόστος = 41 kg × τιμή ανά kg).
Ο τρυγητής (σελ. 253) βυθίζει γλευκόμετρο, πυκνόμετρο που από την πυκνότητα του μούστου δείχνει την περιεκτικότητα σε σάκχαρα· το οινοπνευματόμετρο δείχνει την περιεκτικότητα σε οινόπνευμα, το γαλακτόμετρο αν το γάλα είναι νερωμένο.
«32 μπροστά, 30 πίσω» (σελ. 255-256): υπερπίεση \(32\ \text{lb/in}^2 = \frac{32\cdot0{,}453\ \text{kp}}{(2{,}54\ \text{cm})^2} \approx 2{,}25\ \text{kp/cm}^2 = 2{,}25\) at \(\approx 2{,}2\cdot10^5\) Pa.
Βάθος με πίεση 3 at (σελ. 259): \(3\cdot10^5 = 10^5 + 10^3\cdot10\cdot h\), άρα \(h = 20\) m. Αυτοκίνητο στη θάλασσα: σε βάθος λίγων μέτρων η υδροστατική πίεση στην εξωτερική πλευρά της πόρτας δίνει δύναμη \(F = ρgAh_K\) πολλών χιλιάδων N (π.χ. 1 m² σε μέσο βάθος 2 m: \(2\cdot10^4\) N), ενώ μέσα η πίεση είναι η ατμοσφαιρική — οι πόρτες δεν ανοίγουν μέχρι να μπει νερό και να εξισωθούν οι πιέσεις.
Ρυθμοί (σελ. 259): ναι, ο οργανισμός καταπονείται από τον ρυθμό μεταβολής (\(Δp/Δt = ρgυ\)), όπως και με την επιτάχυνση ή τις απότομες αλλαγές θερμοκρασίας.
Νερό και λάδι στο ποτήρι (σελ. 260): διάγραμμα p-h από δύο ευθύγραμμα τμήματα — από \(p_α\) με κλίση \(ρ_{λαδιού}g\) ως τη διαχωριστική επιφάνεια και μετά με μεγαλύτερη κλίση \(ρ_{νερού}g\).
Γλυφό νερό του αγρότη (σελ. 261): κοντά στη θάλασσα το υδροφόρο στρώμα επικοινωνεί με τη θάλασσα (συγκοινωνούντα δοχεία)· με την άντληση η στάθμη του γλυκού νερού πέφτει και εισχωρεί θαλασσινό νερό.
Οικονομία και συγκοινωνούντα δοχεία (σελ. 263): όπως η αύξηση της στάθμης σε ένα δοχείο ανεβάζει τη στάθμη σε όλα τα συγκοινωνούντα, η αύξηση της τιμής των καυσίμων «περνά» σε όλα τα είδη που εξαρτώνται από τη μεταφορά και την ενέργεια.
Πιεστήριο με διαμέτρους 1:4 (σελ. 267): εμβαδά 1:16· \(p_1 = p_2\), \(F_2 = 16F_1\), \(\ell_1 = 16\ell_2\), \(W_1 = W_2\)· μηχανικό κέρδος 16.
Γιατί ο Torricelli δούλεψε με Hg (σελ. 279-280): με νερό \(h = \frac{p_α}{ρg} = \frac{1{,}033\cdot10^5}{10^3\cdot10} \approx 10{,}3\) m — ανέφικτα ψηλός σωλήνας.
15W/50 (σελ. 296): βαθμοί ιξώδους του λαδιού για κρύο (W) και για υψηλή θερμοκρασία λειτουργίας· ο χειμερινός αριθμός είναι μικρότερος γιατί στο κρύο το ιξώδες αυξάνεται και το λάδι πρέπει να μένει αρκετά λεπτόρρευστο για την εκκίνηση.
Σφαίρα σε λάδι (σελ. 296): βάρος και άνωση σταθερά, η τριβή \(6\pi ηrυ\) αυξάνεται με την ταχύτητα ώσπου \(B = A + T\) — τότε ΣF = 0 και η κίνηση γίνεται ομαλή.
Οριζόντιος σωλήνας ανοιχτός στα δύο άκρα (σελ. 300): \(p_1 = p_2\), άρα από τον νόμο Poiseuille \(Π = 0\) — δεν υπάρχει ροή.
Χαρταετός σε άπνοια (σελ. 307): τρέχοντας δημιουργούμε σχετική ταχύτητα αέρα-χαρταετού, που παράγει δυναμική άνωση και αντίσταση.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Κυριότερα: η πώληση καυσίμων με τον όγκο προϋποθέτει ασυμπίεστα υγρά· ο πελάτης πήρε ≈ 959 kg αντί 1000 kg· 32 psi ≈ 2,25 at· πίεση 3 at σε βάθος 20 m· με νερό η βαρομετρική στήλη θα ήταν ≈ 10,3 m· σε οριζόντιο σωλήνα ανοιχτό στα δύο άκρα δεν υπάρχει ροή.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Γενικό item· η λύση συγκεντρώνει τα κυριότερα ερωτήματα του κειμένου.

7.2 Συμπλήρωση προτάσεων: ελαστικότητα, πίεση δύτη, πιεστήριο, στένωση

Ερώτηση: Να συμπληρωθούν οι προτάσεις: α: Τα υγρά έχουν ελαστικότητα ............. , ενώ τα αέρια έχουν ελαστικότητα ............. και ............. . β: Δύτης κατεβαίνει στο ίδιο βάθος στη λίμνη Βουλιαγμένης και θάλασσα του Σαρωνικού. Η πίεση που δέχεται είναι μεγαλύτερη στη ............. παρά στη ............. . Αυτό συμβαίνει, επειδή η ............... της λίμνης είναι ............. από εκείνη της θάλασσας. γ: Στα υδραυλικά πιεστήρια ασκούμε ............... δύναμη στο ............... έμβολο και δημιουργούμε ............. δύναμη στο ............. έμβολο. δ: Στα σημεία όπου ένας σωλήνας είναι στενός, η ταχύτητα είναι ............. και η στατική πίεση ............. .

Απάντηση:

α: τα υγρά «εμφανίζουν ελαστικότητα σχήματος», τα αέρια «ελαστικότητα όγκου» και μεταβλητό σχήμα (σελ. 249) → σχήματος · όγκου και σχήματος.
β: \(p = p_α + ρgh\) (σελ. 258): στο ίδιο βάθος μεγαλύτερη πίεση στο πυκνότερο υγρό. Το θαλασσινό νερό (\(1{,}03\cdot10^3\) kg/m³) είναι πυκνότερο από το λιγότερο αλμυρό νερό της λίμνης → μεγαλύτερη στη θάλασσα παρά στη λίμνη, γιατί η πυκνότητα της λίμνης είναι μικρότερη.
γ: \(F_2 = F_1A_2/A_1\) (σελ. 264-265) → μικρή δύναμη στο μικρό έμβολο, μεγάλη δύναμη στο μεγάλο έμβολο.
δ: νόμος της συνέχειας και Bernoulli (σελ. 288-290) → ταχύτητα μεγάλη, στατική πίεση μικρή.

Σύνοψη: α: σχήματος · όγκου, σχήματος · β: θάλασσα, λίμνη, πυκνότητα, μικρότερη · γ: μικρή, μικρό, μεγάλη, μεγάλο · δ: μεγάλη, μικρή.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στο β η απάντηση στηρίζεται στο ότι το νερό της λίμνης (υφάλμυρο) έχει μικρότερη πυκνότητα από το θαλασσινό· αν δοθεί η αντίστροφη υπόθεση, η λογική ρ ↔ p παραμένει ίδια.

7.3 Ανώσεις σε ξύλινη και μεταλλική σφαίρα ίδιας ακτίνας

Ερώτηση: Ξύλινη και μεταλλική σφαίρα έχουν ίδια ακτίνα. Αν τις βυθίσετε στο νερό μιας πισίνας, να συγκρίνετε τις ανώσεις που δέχονται.

Απάντηση:

Άνωση \(A = ε_{νερού}V_{βυθ}\) (σελ. 272-273): εξαρτάται μόνο από το ειδικό βάρος του υγρού και τον βυθισμένο όγκο, όχι από το υλικό του σώματος.
Ίδια ακτίνα → ίδιος όγκος \(V = \frac43\pi r^3\). Αν βυθιστούν ολόκληρες (η ξύλινη κρατιέται κάτω από το νερό), δέχονται ίσες ανώσεις.
Αν αφεθούν ελεύθερες, η μεταλλική βυθίζεται ολόκληρη (\(A = ε_νV\)), ενώ η ξύλινη (πυκνότητα μικρότερη του νερού) ανεβαίνει και επιπλέει με μέρος της βυθισμένο· τότε η άνωσή της ισούται με το βάρος της και είναι μικρότερη από της μεταλλικής.

Σύνοψη: Ολόκληρα βυθισμένες, δέχονται ίσες ανώσεις (ίδιος όγκος, ίδιο υγρό). Αν η ξύλινη αφεθεί ελεύθερη επιπλέει, οπότε η άνωσή της (ίση με το βάρος της) είναι μικρότερη από της μεταλλικής.

7.4 Πλοίο από το ποτάμι στη θάλασσα

Ερώτηση: Πλοίο πλέει σε ποτάμι και στη συνέχεια προχωρά στη θάλασσα, όπου συνεχίζει το ταξίδι του. Δέχεται ίδια άνωση στα δύο υγρά; Πώς εξηγείτε το γεγονός ότι όλα εξελίσσονται ομαλά;

Απάντηση:

Σε πλεύση το πλοίο ισορροπεί: άνωση = βάρος του πλοίου (σελ. 275-276). Το βάρος δεν αλλάζει, άρα η άνωση είναι ίδια στο ποτάμι και στη θάλασσα.
Όμως \(A = ρgV_{βυθ}\) (σελ. 272-273): το θαλασσινό νερό είναι πυκνότερο (\(1{,}03\cdot10^3\) έναντι \(1{,}0\cdot10^3\) kg/m³), άρα στη θάλασσα αρκεί μικρότερος βυθισμένος όγκος — το πλοίο ανεβαίνει λίγο (περίπου 3% λιγότερος όγκος κάτω από το νερό).
Η ισορροπία αποκαθίσταται αυτόματα με μικρή αλλαγή του βυθίσματος, και η ευστάθεια (μετάκεντρο πάνω από το κέντρο βάρους) διατηρείται — γι' αυτό όλα εξελίσσονται ομαλά.

Σύνοψη: Ναι, η άνωση είναι ίδια (ίση με το βάρος του πλοίου). Στη θάλασσα, επειδή το νερό είναι πυκνότερο, χρειάζεται μικρότερος βυθισμένος όγκος για την ίδια άνωση — το πλοίο απλώς ανεβαίνει λίγο και συνεχίζει να πλέει ομαλά.

7.5 Είναι γνήσιο το ασημένιο κόσμημα;

Ερώτηση: Διαθέτετε κόσμημα που υποτίθεται ότι είναι ασημένιο. Επίσης, έχετε δυναμόμετρο και ποτήρι με νερό. Πώς θα διαπιστώσετε ότι το κόσμημα είναι γνήσιο;

Απάντηση:

Ζυγίζουμε το κόσμημα με το δυναμόμετρο στον αέρα (\(B_1\)) και ολόκληρο βυθισμένο στο νερό, χωρίς να ακουμπά στο ποτήρι (\(B_2\)).
Άνωση \(A = B_1 - B_2 = ρ_{ν}gV\) και \(B_1 = ρgV\) (μέθοδος σελ. 275), άρα \(ρ = ρ_ν\frac{B_1}{B_1 - B_2}\).
Συγκρίνουμε με την πυκνότητα του αργύρου του πίνακα 7.1, \(10{,}5\cdot10^3\) kg/m³ (σελ. 251): αν συμπίπτει, το κόσμημα είναι (πιθανότατα) γνήσιο· αν βγει μικρότερη (π.χ. χαλκός 8,9, ορείχαλκος 8,6·10³ kg/m³), είναι κράμα ή απομίμηση. (Είναι η μέθοδος του Αρχιμήδη για το στέμμα του Ιέρωνα, σελ. 274.)

Σύνοψη: Μετράμε το βάρος στον αέρα (B₁) και μέσα στο νερό (B₂)· βρίσκουμε την πυκνότητα ρ = ρνερού·B₁/(B₁ − B₂) και τη συγκρίνουμε με την πυκνότητα του αργύρου, 10,5·10³ kg/m³. Αν ταιριάζει, το κόσμημα είναι γνήσιο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η μέθοδος προϋποθέτει συμπαγές κόσμημα· κοιλότητες ή πέτρες αλλοιώνουν την πυκνότητα (βλ. 7.6).

7.6 Συμπαγές ή κούφιο μεταλλικό αντικείμενο

Ερώτηση: Θέλετε να ελέγξετε αν κάποιο μεταλλικό αντικείμενο είναι συμπαγές ή κοίλο («κούφιο»). Έχοντας δυναμόμετρο και ποτήρι με νερό πώς μπορείτε να εργαστείτε; Αν διαπιστώσετε την ύπαρξη κοιλότητας, πώς θα υπολογίσετε τον όγκο της;

Απάντηση:

Ζυγίζουμε στον αέρα (\(B_1\)) και ολόκληρο βυθισμένο στο νερό (\(B_2\)). Άνωση \(A = B_1 - B_2\), άρα εξωτερικός (ολικός) όγκος \(V_{ολ} = \frac{B_1 - B_2}{ρ_νg}\) (σελ. 272-275).
Αν ξέρουμε το μέταλλο (πίνακας 7.1), ο όγκος του μετάλλου είναι \(V_μ = \frac{B_1}{ρ_μg}\) (σελ. 250-252).
Αν \(V_{ολ} = V_μ\), το αντικείμενο είναι συμπαγές· αν \(V_{ολ} > V_μ\), έχει κοιλότητα. Ισοδύναμα, η μέση πυκνότητα \(ρ_ν B_1/(B_1 - B_2)\) βγαίνει μικρότερη από την πυκνότητα του μετάλλου.
Όγκος κοιλότητας: \(V_κ = V_{ολ} - V_μ = \frac{B_1 - B_2}{ρ_νg} - \frac{B_1}{ρ_μg}\).

Σύνοψη: Από τη ζύγιση στον αέρα (B₁) και στο νερό (B₂) βρίσκουμε τον ολικό όγκο V = (B₁ − B₂)/(ρνg) και τον όγκο του μετάλλου Vμ = B₁/(ρμg). Αν V > Vμ το αντικείμενο είναι κούφιο, με όγκο κοιλότητας V − Vμ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Απαιτείται να είναι γνωστό το μέταλλο (η πυκνότητά του από τον πίνακα 7.1).

7.7 Πίνακας μάζας, διαστάσεων, πυκνότητας και ειδικού βάρους

Ερώτηση: Συμπληρώστε τα στοιχεία που λείπουν (παύλες) από τον παρακάτω πίνακα: Στήλες: Σώμα, Μάζα (g), Μήκος (cm), Πλάτος (cm), Ύψος (cm), Διάμετρος βάσης (cm), Ακτίνα σφαίρας (cm), Πυκνότητα (kg/m³), Ειδικό βάρος (N/m³). Α: 156, 1, 2, 10, πυκνότητα -, ειδικό βάρος -. Β: 113, ύψος 20, διάμετρος βάσης 2,5, πυκνότητα -, ειδικό βάρος -. Γ: 114, ακτίνα σφαίρας -, πυκνότητα 11400, ειδικό βάρος -. Δ: μάζα -, 2, 3, 5, πυκνότητα -, ειδικό βάρος 780. Ε: 125, ύψος 7,5, διάμετρος βάσης -, πυκνότητα 2500, ειδικό βάρος -.

Απάντηση:

Τύποι: \(ρ = m/V\) (7.1), \(ε = ρg\) (7.3) με g = 10 m/s²· \(1\ \text{g/cm}^3 = 10^3\ \text{kg/m}^3\).
Α (ορθογώνιο): \(V = 1\cdot2\cdot10 = 20\) cm³, \(ρ = 156/20 = 7{,}8\) g/cm³ \(= 7800\) kg/m³ (σίδηρος/ατσάλι), \(ε = 78000\) N/m³.
Β (κύλινδρος): \(V = \pi(1{,}25)^2\cdot20 \approx 98{,}2\) cm³, \(ρ = 113/98{,}2 \approx 1{,}15\) g/cm³ \(\approx 1151\) kg/m³, \(ε \approx 11510\) N/m³.
Γ (σφαίρα): \(V = m/ρ = 114/11{,}4 = 10\) cm³, \(r = \sqrt[3]{3V/4\pi} \approx 1{,}34\) cm, \(ε = 114000\) N/m³.
Δ (ορθογώνιο): \(V = 2\cdot3\cdot5 = 30\) cm³, \(ρ = ε/g = 78\) kg/m³ \(= 0{,}078\) g/cm³, \(m = 0{,}078\cdot30 \approx 2{,}34\) g.
Ε (κύλινδρος): \(V = 125/2{,}5 = 50\) cm³, εμβαδόν βάσης \(50/7{,}5 \approx 6{,}67\) cm², διάμετρος \(δ = 2\sqrt{A/\pi} \approx 2{,}91\) cm, \(ε = 25000\) N/m³.

Σύνοψη: Α: ρ = 7800 kg/m³, ε = 78000 N/m³ · Β: ρ ≈ 1151 kg/m³, ε ≈ 11510 N/m³ · Γ: r ≈ 1,34 cm, ε = 114000 N/m³ · Δ: m ≈ 2,34 g, ρ = 78 kg/m³ · Ε: δ ≈ 2,91 cm, ε = 25000 N/m³.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Τα σώματα Β και Ε θεωρούνται κύλινδροι (δίνεται διάμετρος βάσης), το Γ σφαίρα, τα Α και Δ ορθογώνια παραλληλεπίπεδα· g = 10 m/s² (σελ. 308).

7.8 Σωστό-λάθος: λεπίδα παγοδρόμου, ισοϋψή δοχεία, Hg-νερό, διατομή

Ερώτηση: Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και γιατί; α: Ο παγοδρόμος φορά παπούτσια με κατακόρυφη λεπίδα στη βάση για να ασκεί μεγάλη δύναμη στην παγωμένη πίστα. β: Τα υγρά απορρυπαντικά ασκούν στη βάση των ισοϋψών δοχείων που τα περιέχουν ίδια δύναμη. γ: Το ύψος υδραργυρικής στήλης σε συγκοινωνούντα δοχεία είναι 13,6 φορές μεγαλύτερο από το ύψος της υδάτινης. δ: Όταν επιδιώκουμε μεγάλες στατικές πιέσεις σε σωλήνες, πρέπει να επιλέγουμε περιοχές με μεγάλη διατομή.

Απάντηση:

α — Λάθος. Η δύναμη στην πίστα είναι το βάρος του παγοδρόμου, ίδια με οποιοδήποτε παπούτσι. Η λεπτή λεπίδα έχει πολύ μικρή επιφάνεια, άρα ασκεί μεγάλη πίεση \(p = F/A\) (σελ. 254-255), όπως τα κοπτικά εργαλεία.
β — Λάθος (ελλιπής). Στον πυθμένα \(F = ρgAh\) (σελ. 268): στο ίδιο ύψος υγρού η πίεση είναι ίδια μόνο για ίδια πυκνότητα, και η δύναμη ίδια μόνο αν και τα εμβαδά των πυθμένων είναι ίσα. Σωστή διατύπωση: ίδιο απορρυπαντικό σε ισοϋψή δοχεία ασκεί ίδια πίεση στη βάση· ίδια δύναμη μόνο σε ίσους πυθμένες (ανεξάρτητα από το σχήμα — υδροστατικό παράδοξο).
γ — Λάθος. Από \(h_1/h_2 = ρ_2/ρ_1\) (σελ. 262-263) το ύψος είναι αντίστροφα ανάλογο της πυκνότητας: η υδάτινη στήλη είναι 13,6 φορές ψηλότερη από την υδραργυρική (όπως η βαρομετρική στήλη: 10,3 m νερού έναντι 76 cm Hg).
δ — Σωστό. Μεγάλη διατομή → μικρή ταχύτητα (νόμος της συνέχειας) → μεγάλη στατική πίεση (Bernoulli, σελ. 289-290).

Σύνοψη: Σωστή: δ. Λάθος: α (η λεπίδα δίνει μεγάλη πίεση, όχι μεγάλη δύναμη), β (ίδια πίεση για ίδιο υγρό· ίδια δύναμη μόνο με ίσους πυθμένες), γ (η υδάτινη στήλη είναι 13,6 φορές ψηλότερη).

7.9 Οι διατάξεις της εικ. 7.62 και οι πιέσεις των αερίων

Ερώτηση: Εξηγήστε τη λειτουργία των διατάξεων στην εικόνα 7.62. Με την προϋπόθεση ότι το σκούρο υγρό είναι Hg να υπολογίσετε την πίεση των αερίων που συμμετέχουν. [Σχήμα: (1) σωλήνας U με υδράργυρο συνδεδεμένος με παροχή υγραερίου, με κλίμακα σε cm: η στάθμη στο σκέλος του αερίου (Α) είναι στο 10, ενώ στο ανοιχτό σκέλος (Γ) περίπου στο 35· (2) ανοιχτό μανόμετρο με ασετυλίνη, διαφορά σταθμών h· (3) κλειστό μανόμετρο με ασετυλίνη και «κενό» στο κλειστό σκέλος, ύψος στήλης x.]

Απάντηση:

(1) και (2) — ανοιχτά μανόμετρα (σελ. 283): η διαφορά πίεσης αερίου-ατμόσφαιρας ισούται με την πίεση της στήλης Hg: \(p_A - p_α = εh\). Στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ΑΒ οι πιέσεις είναι ίσες (συγκοινωνούντα δοχεία, σελ. 260).
(1) Υγραέριο: διαφορά σταθμών \(h \approx 35 - 10 = 25\) cm Hg, άρα \(p = p_α + 25\ \text{cm Hg} \approx 76 + 25 = 101\) cm Hg \(\approx 1{,}33\) atm \(\approx 1{,}37\cdot10^5\) Pa (υπερπίεση ≈ \(3{,}4\cdot10^4\) Pa).
(2) Ασετυλίνη: η στάθμη στο ανοιχτό σκέλος είναι ψηλότερα κατά h, άρα \(p = p_α + h\) (σε cm Hg), δηλαδή \(p = p_α + ρ_{Hg}gh\).
(3) — κλειστό μανόμετρο (σελ. 283): πάνω από τη στήλη υπάρχει «κενό», άρα η πίεση του αερίου μετριέται απευθείας: \(p = x\) cm Hg \(= ρ_{Hg}gx\).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Υγραέριο (ανοιχτό μανόμετρο): p ≈ 76 + 25 = 101 cm Hg ≈ 1,33 atm. Ασετυλίνη στο ανοιχτό μανόμετρο: p = pα + h (cm Hg). Ασετυλίνη στο κλειστό μανόμετρο: p = x (cm Hg) απευθείας.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Οι στάθμες της πρώτης διάταξης διαβάζονται από την κλίμακα του σχήματος (≈ 10 και ≈ 35)· τα h και x δεν δίνονται αριθμητικά.

7.10 Κίνδυνος σύγκρουσης για τις βάρκες της εικ. 7.63

Ερώτηση: Βλέπετε κίνδυνο σύγκρουσης για τις βάρκες της εικ. 7.63; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. [Σχήμα: δύο βάρκες κινούνται παράλληλα και πολύ κοντά η μία στην άλλη· βέλη δείχνουν δυνάμεις από τις εξωτερικές πλευρές προς τα μέσα.]

Απάντηση:

Ναι. Όπως στα αυτοκίνητα που τρέχουν παράλληλα (σελ. 290): το νερό ανάμεσα στις βάρκες περνά από μικρότερη διατομή, άρα κατά τον νόμο της συνέχειας κινείται (ως προς τις βάρκες) με μεγαλύτερη ταχύτητα από το νερό στις εξωτερικές πλευρές.
Με ίδια υψομετρική πίεση, ο νόμος Bernoulli \(p_σ + \frac12ρυ^2 = \text{σταθ.}\) δίνει μικρότερη στατική πίεση στον ενδιάμεσο χώρο.
Η μεγαλύτερη πίεση στις εξωτερικές πλευρές δημιουργεί συνισταμένες δυνάμεις που σπρώχνουν τη μία βάρκα προς την άλλη (τα βέλη του σχήματος) — κίνδυνος πλάγιας σύγκρουσης.

Σύνοψη: Ναι. Το νερό ανάμεσα στις βάρκες κινείται ταχύτερα (στενότερη διατομή), άρα κατά Bernoulli έχει μικρότερη στατική πίεση· η μεγαλύτερη πίεση στις εξωτερικές πλευρές σπρώχνει τις βάρκες τη μία προς την άλλη.

7.11 Ταχύτητες και πιέσεις σε σωλήνα με δ₁ = 3δ₂

Ερώτηση: Οι διάμετροι δ1, δ2 των διατομών της εικόνας 7.64 έχουν σχέση δ1 = 3δ2. Να συγκρίνετε τις ταχύτητες υ1 και υ2, καθώς και τις ενδείξεις p1, p2 των οργάνων. [Σχήμα: οριζόντιος σωλήνας με φαρδύ τμήμα 1 και στενό τμήμα 2· μανόμετρα P1 και P2 πάνω από κάθε τμήμα.]

Απάντηση:

Εμβαδά \(A = \pi δ^2/4\): \(\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{δ_1}{δ_2}\right)^2 = 9\).
Νόμος της συνέχειας \(A_1υ_1 = A_2υ_2\) (σελ. 287-288): \(υ_2 = 9υ_1\).
Οριζόντιος σωλήνας, Bernoulli (σελ. 290): \(p_1 + \frac12ρυ_1^2 = p_2 + \frac12ρυ_2^2\), άρα \(p_1 - p_2 = \frac12ρ(81 - 1)υ_1^2 = 40ρυ_1^2 > 0\): \(p_1 > p_2\) — στο στενό τμήμα το όργανο δείχνει μικρότερη στατική πίεση.

Σύνοψη: υ₂ = 9υ₁ και p₁ > p₂, με p₁ − p₂ = 40ρυ₁².

7.12 Πίνακας ροής σε οριζόντιο σωλήνα νερού

Ερώτηση: Συμπληρώστε τα στοιχεία που λείπουν (παύλες) στον παρακάτω πίνακα (τα σημεία 1,2,... βρίσκονται μέσα στον ίδιο οριζόντιο σωλήνα νερού ρ = 10³kg/m³). Συμβουλή: αρχίστε από το σημείο 3 και θυμηθείτε κάποιους νόμους... Στήλες: Σημείο, Ακτίνα r (cm), Διατομή Α (cm²), Ταχύτητα υ (m/s), Παροχή (lt/s), Δυναμική πίεση pδ (N/m²), Στατική πίεση pσ (N/m²), Ολική πίεση pολ (N/m²). Σημείο 1: r = 1,5. Σημείο 2: Α = 3,6. Σημείο 3: r = 1,0, υ = 2. Σημείο 4: r = 0,8, pσ = 10⁵. Σημείο 5: r = 1,2.

Απάντηση:

Σημείο 3: \(A_3 = \pi r^2 \approx 3{,}14\) cm², \(Π = A_3υ_3 = 3{,}14\cdot10^{-4}\cdot2 \approx 6{,}28\cdot10^{-4}\) m³/s \(\approx 0{,}628\) lt/s — ίδια σε όλα τα σημεία (νόμος της συνέχειας, σελ. 287-288).
Σημείο 4: \(A_4 \approx 2{,}01\) cm², \(υ_4 = Π/A_4 = 3{,}125\) m/s, \(p_δ = \frac12ρυ^2 \approx 4883\) N/m²· με \(p_σ = 10^5\): \(p_{ολ} \approx 104883\) N/m², ίδια σε όλα τα σημεία (οριζόντιος σωλήνας, Bernoulli, σελ. 290).
Σε κάθε σημείο: \(υ = Π/A\), \(p_δ = 500υ^2\), \(p_σ = p_{ολ} - p_δ\).
Σημείο 1: \(A \approx 7{,}07\) cm², \(υ \approx 0{,}889\) m/s, \(p_δ \approx 395\), \(p_σ \approx 104488\) N/m².
Σημείο 2: \(r = \sqrt{3{,}6/\pi} \approx 1{,}07\) cm, \(υ \approx 1{,}745\) m/s, \(p_δ \approx 1523\), \(p_σ \approx 103360\) N/m².
Σημείο 3: \(p_δ = 2000\), \(p_σ \approx 102883\) N/m².
Σημείο 5: \(A \approx 4{,}52\) cm², \(υ \approx 1{,}389\) m/s, \(p_δ \approx 965\), \(p_σ \approx 103918\) N/m².

Σύνοψη: Π ≈ 0,628 lt/s και pολ ≈ 104883 N/m² παντού. (1) A ≈ 7,07 cm², υ ≈ 0,89 m/s, pδ ≈ 395, pσ ≈ 104488 · (2) r ≈ 1,07 cm, υ ≈ 1,75 m/s, pδ ≈ 1523, pσ ≈ 103360 · (3) A ≈ 3,14 cm², pδ = 2000, pσ ≈ 102883 · (4) A ≈ 2,01 cm², υ ≈ 3,13 m/s, pδ ≈ 4883 · (5) A ≈ 4,52 cm², υ ≈ 1,39 m/s, pδ ≈ 965, pσ ≈ 103918 (πιέσεις σε N/m²).

7.13 Μπουκάλια με λάδι, σταγονόμετρο-πιεσόμετρο, χαρταετός, προσγείωση

Ερώτηση: Εξηγήστε τα παρακάτω: α. Αρχές Αυγούστου οι ταξιδιώτες του Αιγαίου βλέπουν μπουκάλια γεμάτα λάδι να επιπλέουν με επιθυμητή κατεύθυνση προς την Τήνο. Πώς επιπλέουν; β: Πώς λειτουργούν το σταγονόμετρο και το ιατρικό πιεσόμετρο; γ: Γιατί στην άπνοια μιας Καθαρής Δευτέρας τραβάμε συνέχεια το σχοινί του χαρταετού, για να ανυψωθεί; δ: Γιατί λέμε ότι στην προσγείωσή του το αεροπλάνο ταλαιπωρείται από τα ρεύματα του αέρα περισσότερο από ότι στην απογείωση;

Απάντηση:

α. Το λάδι έχει πυκνότητα μικρότερη από το θαλασσινό νερό (\(1{,}03\cdot10^3\) kg/m³, πίνακας 7.1), και μαζί με τον αέρα που μένει στο μπουκάλι η μέση πυκνότητα του μπουκαλιού είναι μικρότερη από της θάλασσας. Έτσι επιπλέει με μέρος του όγκου βυθισμένο, ώστε η άνωση (βάρος εκτοπισμένου νερού) να ισούται με το βάρος του (σελ. 272-276).
β. Σταγονόμετρο (σιφώνι, σελ. 281): κλείνοντας το πάνω άκρο, το βάρος της στήλης ισορροπεί με τη διαφορά ατμοσφαιρικής πίεσης (από κάτω) και πίεσης του παγιδευμένου αέρα (από πάνω)· ανοιγοκλείνοντας το άκρο ρυθμίζουμε πόσο υγρό στάζει. Ιατρικό πιεσόμετρο (σελ. 281): φουσκώνουμε τον αεροθάλαμο ώσπου να σβήσει ο σφυγμός· με αργή εκτόνωση, όταν ο σφυγμός ξανακούγεται διαβάζουμε στη στήλη Hg τη «μεγάλη» πίεση, και όταν χάνεται ξανά τη «μικρή» (πίεση καρδιάς).
γ. Ο χαρταετός χρειάζεται σχετική ταχύτητα ως προς τον αέρα για να εμφανιστούν δυναμική άνωση και αντίσταση (σελ. 305-307). Σε άπνοια, τραβώντας το σχοινί (ή τρέχοντας) τον κινούμε μέσα στον ακίνητο αέρα· η τάση του σχοινιού είναι η προωστική δύναμη και η δυναμική άνωση εξουδετερώνει το βάρος.
δ. Στην προσγείωση η ταχύτητα είναι μικρή και η προωστική δύναμη μικρότερη από ό,τι σε οριζόντια πτήση (\(K = T_α - B_2\), ο κινητήρας υπολειτουργεί, σελ. 306). Η δυναμική άνωση και η αντίσταση εξαρτώνται από την ταχύτητα ως προς τον αέρα (\(\propto υ^2\)), άρα ένα ρεύμα αέρα αλλάζει σημαντικά τις δυνάμεις, ενώ ο πιλότος έχει μικρό περιθώριο ισχύος για διόρθωση. Στην απογείωση ο κινητήρας δουλεύει στο μέγιστο (\(K = B_2 + T_α\)) και το αεροπλάνο αντιδρά πιο εύκολα στις διαταραχές.

Σύνοψη: (ενδεικτική) α: Η μέση πυκνότητα του μπουκαλιού (λάδι και αέρας) είναι μικρότερη από του θαλασσινού νερού, οπότε επιπλέει με την άνωση ίση με το βάρος του. β: Το σταγονόμετρο συγκρατεί το υγρό με την ατμοσφαιρική πίεση και ρυθμίζει τις σταγόνες ανοιγοκλείνοντας το πάνω άκρο· το πιεσόμετρο μετρά τη μεγάλη και τη μικρή αρτηριακή πίεση με στήλη Hg, από το πότε ακούγεται και πότε χάνεται ο σφυγμός. γ: Για να δημιουργηθεί σχετική ταχύτητα αέρα-χαρταετού και άρα δυναμική άνωση. δ: Στην προσγείωση η ταχύτητα και η ισχύς του κινητήρα είναι μικρές, άρα τα ρεύματα αέρα αλλάζουν σημαντικά την άνωση και η διόρθωση είναι δυσκολότερη.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ερωτήσεις ερμηνείας· αποδεκτή κάθε τεκμηριωμένη εξήγηση με άνωση, ατμοσφαιρική πίεση και νόμο Bernoulli.

7.14 Σωστό-λάθος: Pascal-Αρχιμήδης, δυναμική άνωση, ιξώδες, αντίσταση, πίεση δύτη

Ερώτηση: Χαρακτηρίστε με σωστά (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α: Οι αρχές Pascal και Αρχιμήδη ισχύουν μόνο στα ιδανικά ρευστά. β: Η άνωση είναι δύναμη ηρεμίας από το υγρό στο στερεό, ενώ η δυναμική άνωση εμφανίζεται μόνο κατά τη σχετική κίνησή τους. γ: Το λάδι έχει μεγαλύτερο ιξώδες το χειμώνα από ό,τι το καλοκαίρι. δ: Αν διπλασιαστεί η ταχύτητα αυτοκινήτου, διπλασιάζεται η αντίσταση του αέρα σε αυτό. ε: Ο δύτης δέχεται μεγαλύτερη πίεση όταν κινείται μέσα στη θάλασσα, από αυτήν που δέχεται όταν είναι στάσιμος.

Απάντηση:

α — Λ. Είναι αρχές της στατικής των ρευστών· σε ηρεμία «δε μας απασχολεί συνήθως το ερώτημα: συμπεριφέρεται ιδανικά το ρευστό ή όχι;» (σελ. 285). Ισχύουν και για πραγματικά υγρά και αέρια σε ισορροπία.
β — Σ. Η άνωση (Αρχιμήδης) εμφανίζεται σε ήρεμο υγρό (σελ. 272)· η δυναμική άνωση οφείλεται σε διαφορά πίεσης λόγω σχετικής κίνησης ρευστού-στερεού (Bernoulli, σελ. 298, 305).
γ — Σ. Το ιξώδες «επηρεάζεται από τη θερμοκρασία» (σελ. 296) και αυξάνεται όταν αυτή πέφτει· γι' αυτό η χειμερινή προδιαγραφή (W) είναι μικρότερος αριθμός, για να μένει το λάδι λεπτόρρευστο στο κρύο.
δ — Λ. \(T_α = kAυ^2\) (σελ. 301): διπλάσια ταχύτητα δίνει τετραπλάσια αντίσταση.
ε — Λ. Η υδροστατική πίεση εξαρτάται μόνο από το βάθος, \(p = p_α + ρgh\) (σελ. 258). Η κίνηση αλλάζει τον ρυθμό μεταβολής της πίεσης \(Δp/Δt = ρgυ\) όταν αλλάζει το βάθος (σελ. 258-259), όχι την πίεση σε δεδομένο βάθος (η πρόσθετη δυναμική πίεση στο μέτωπο του δύτη, \(\frac12ρυ^2\), είναι για 1 m/s μόλις ≈ 500 Pa, αμελητέα).

Σύνοψη: α: Λ · β: Σ · γ: Σ · δ: Λ (τετραπλασιάζεται) · ε: Λ (η πίεση εξαρτάται από το βάθος, η κίνηση αλλάζει μόνο τον ρυθμό μεταβολής της).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στο ε, αν θεωρηθεί η δυναμική πίεση στο μέτωπο του δύτη, υπάρχει μια πολύ μικρή αύξηση· η αναμενόμενη απάντηση είναι Λ με βάση τον θεμελιώδη νόμο.

7.15 Γιατί ο σφοδρός άνεμος σηκώνει τη στέγη

Ερώτηση: Με τη βοήθεια του νόμου Bernoulli εξηγήστε γιατί υπάρχει κίνδυνος να αρπάξει σφοδρός άνεμος τη στέγη σπιτιού. (Θυμηθείτε τη λαϊκή έκφραση αγανάκτησης: «Θεέ μου, γιατί αφήνεις καρφωμένα τα κεραμίδια στη στέγη!!...»).

Απάντηση:

Νόμος Bernoulli (σελ. 290): \(p_σ + \frac12ρυ^2 + ρgh = \text{σταθ.}\)· σε ίδιο ύψος, όπου η ταχύτητα του αέρα είναι μεγάλη η στατική πίεση είναι μικρή.
Πάνω από τη στέγη ο σφοδρός άνεμος κινείται με μεγάλη ταχύτητα (οι γραμμές ροής πυκνώνουν πάνω από την κορυφή, όπως στην πτέρυγα, σελ. 305), άρα η στατική πίεση εκεί πέφτει κάτω από την ατμοσφαιρική.
Μέσα στο σπίτι ο αέρας είναι ακίνητος, με πίεση περίπου ατμοσφαιρική. Η διαφορά πίεσης \(Δp = \frac12ρυ^2\) επί τη μεγάλη επιφάνεια της στέγης δίνει μεγάλη δύναμη προς τα πάνω (\(F = Δp\cdot A\)) — δυναμική άνωση που μπορεί να ξεκολλήσει κεραμίδια ή ολόκληρη τη στέγη.
Π.χ. για άνεμο 30 m/s: \(Δp \approx \frac12\cdot1{,}2\cdot900 \approx 540\) Pa, και σε στέγη 100 m² \(F \approx 5{,}4\cdot10^4\) N.

Σύνοψη: Ο γρήγορος άνεμος πάνω από τη στέγη έχει, κατά Bernoulli, μικρότερη στατική πίεση από τον ακίνητο αέρα μέσα στο σπίτι· η διαφορά πίεσης επί τη μεγάλη επιφάνεια της στέγης δίνει μεγάλη δύναμη προς τα πάνω (δυναμική άνωση), που μπορεί να την αρπάξει.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ο αριθμητικός υπολογισμός (ρ_αέρα = 1,2 kg/m³, πίνακας 7.1) δίνεται ενδεικτικά.

7.16 Τρύπα στο κολάρο του ψυγείου: ταχύτητα εκροής και χρόνος

Ερώτηση: Το λάστιχο σύνδεσης στο ψυγείο αυτοκινήτου (κολάρο) έχει διάμετρο δ = 4cm. Από βλάβη του ανεμιστήρα (βεντιλατέρ) και από την υπερθέρμανση που ακολούθησε τρύπησε σε σημείο που βρίσκεται 20cm κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής νερού. Το άνοιγμα είχε διάμετρο 5mm. α) Με ποια ταχύτητα εκρέει αρχικά το νερό; (Γιατί μόνο αρχικά;). β) Αν το ψυγείο δέχεται 1,5lit νερού (δική μας εκτίμηση), σε πόση ώρα θα αδειάσει το ψυγείο; (Ας δεχτούμε ότι η παροχή μειώνεται με σταθερό ρυθμό μέχρι να μηδενιστεί)

Απάντηση:

α) Θεώρημα Torricelli (σελ. 293): \(υ = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot10\cdot0{,}2} = 2\) m/s. Μόνο αρχικά, γιατί καθώς το νερό φεύγει η στάθμη κατεβαίνει, το h μικραίνει και μαζί η ταχύτητα εκροής.
β) Εμβαδό ανοίγματος \(A = \frac{\pi δ^2}{4} = \frac{\pi(5\cdot10^{-3})^2}{4} \approx 1{,}96\cdot10^{-5}\) m²· αρχική παροχή \(Π_0 = Aυ \approx 3{,}93\cdot10^{-5}\) m³/s \(\approx 0{,}039\) lt/s.
Η παροχή μειώνεται ομαλά ως το μηδέν, άρα μέση παροχή \(\bar Π = Π_0/2 \approx 1{,}96\cdot10^{-5}\) m³/s.
\(t = \frac{V}{\bar Π} = \frac{1{,}5\cdot10^{-3}}{1{,}96\cdot10^{-5}} \approx 76\) s, δηλαδή περίπου 1,3 min.

Σύνοψη: α) υ = 2 m/s (αρχικά, γιατί μετά το βάθος h μειώνεται). β) t ≈ 76 s ≈ 1,3 min.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η διάμετρος του κολάρου (4 cm) δεν χρειάζεται στον υπολογισμό· θεωρείται ότι η δεξαμενή είναι αρκετά μεγάλη ώστε να ισχύει το θεώρημα Torricelli.

7.17 Πίεση αίματος στο πέλμα και στον εγκέφαλο εφήβου

Ερώτηση: Η πίεση καρδιάς για έφηβο βρέθηκε 8. Εκτιμήστε αποστάσεις και βρείτε πόση πίεση υπάρχει στο πέλμα του ποδιού και στον εγκέφαλο (για το αίμα ρ = 1055 kg/m³).

Απάντηση:

«Πίεση καρδιάς» είναι η μικρή (χαμηλή) πίεση (σελ. 281): 8 cm Hg υπερπίεση στο ύψος της καρδιάς. Με \(1\ \text{cm Hg} = ρ_{Hg}g\cdot0{,}01 = 13600\cdot10\cdot0{,}01 = 1360\) Pa: \(p_κ = 8\cdot1360 = 10880\) Pa.
Εκτίμηση αποστάσεων για έφηβο ύψους ≈ 1,70 m: καρδιά ≈ 1,30 m πάνω από το πέλμα, εγκέφαλος ≈ 0,40 m πάνω από την καρδιά.
Θεμελιώδης νόμος \(Δp = ρgΔh\) (σελ. 258): πέλμα: \(Δp = 1055\cdot10\cdot1{,}3 \approx 13715\) Pa \(\approx 10{,}1\) cm Hg, άρα \(p \approx 8 + 10{,}1 \approx 18{,}1\) cm Hg \(\approx 2{,}46\cdot10^4\) Pa.
Εγκέφαλος: \(Δp = 1055\cdot10\cdot0{,}4 \approx 4220\) Pa \(\approx 3{,}1\) cm Hg λιγότερο, άρα \(p \approx 8 - 3{,}1 \approx 4{,}9\) cm Hg \(\approx 6{,}7\cdot10^3\) Pa.

Σύνοψη: Με καρδιά ~1,3 m πάνω από το πέλμα και εγκέφαλο ~0,4 m πάνω από την καρδιά: στο πέλμα ≈ 18 cm Hg (≈ 2,5·10⁴ Pa), στον εγκέφαλο ≈ 4,9 cm Hg (≈ 6,7·10³ Pa) — υπερπιέσεις ως προς την ατμοσφαιρική.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Οι αποστάσεις είναι εκτίμηση του μαθητή· το «8» ερμηνεύεται ως 8 cm Hg (μικρή πίεση).

7.18 Υδραυλικό πιεστήριο με λόγο διαμέτρων 1:10

Ερώτηση: Σε υδραυλικό πιεστήριο η σχέση διαμέτρου στα δύο έμβολα είναι 1:10. Η μέγιστη δύναμη που ασκούμε είναι 50kp και η μετατόπιση 10cm. Να βρεθούν: α) το μέγιστο φορτίο που μπορεί να ανυψωθεί, β) η σχέση μετατοπίσεων, έργων και πιέσεων.

Απάντηση:

Λόγος εμβαδών \(\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{δ_2}{δ_1}\right)^2 = 100\).
α) Αρχή Pascal \(F_2 = F_1\frac{A_2}{A_1}\) (σελ. 264): \(F_2 = 50\cdot100 = 5000\) kp \(= 5\) tn \(\approx 5\cdot10^4\) N (g = 10 m/s²).
β) Μετατοπίσεις: \(A_1\ell_1 = A_2\ell_2\) (ασυμπίεστο υγρό, σελ. 264) \(\Rightarrow \ell_2 = \ell_1/100 = 0{,}1\) cm \(= 1\) mm· \(\ell_1 : \ell_2 = 100 : 1\).
Έργα: \(W_1 = F_1\ell_1 = 500\ \text{N}\cdot0{,}1\ \text{m} = 50\) J, \(W_2 = F_2\ell_2 = 5\cdot10^4\cdot10^{-3} = 50\) J — ίσα (χρυσός κανόνας, αμελητέες τριβές).
Πιέσεις: \(p_1 = p_2\) (αρχή Pascal).

Σύνοψη: α) Μέγιστο φορτίο 5000 kp (≈ 5·10⁴ N). β) Μετατοπίσεις 100:1 (το μεγάλο έμβολο ανεβαίνει 1 mm), έργα ίσα (50 J), πιέσεις ίσες.

7.19 Μετάγγιση ορού: ύψος φιάλης και χρόνος

Ερώτηση: Στην εικόνα 7.65 φαίνεται η μετάγγιση ενδοφλέβιου ορού για χειρουργημένο ασθενή σε νοσοκομείο. Αν στο σημείο Α η ολική πίεση δεν πρέπει να ξεπερνά τα 80 Torr και η πυκνότητα του ορού θεωρηθεί ίση με αυτήν του νερού, α) να βρεθεί από ποιο ύψος h πρέπει να αρχίσει η μετάγγιση ώστε η στατική πίεση να μην ξεπεράσει τα 60mm Hg, β) αν η ακτίνα κάθε (υποτίθεται σφαιρικής) σταγόνας που πέφτει είναι 1,5mm και ο ρυθμός εκροής είναι 1Hz, να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται, για να αδειάσει το μπουκάλι του ορού 0,5lit. (Θυμηθείτε: όγκος σφαίρας V = 4/3 π·r³, r =ακτίνα). [Σχήμα: φιάλη ορού κρεμασμένη σε ύψος h πάνω από το σημείο Α στο χέρι του ασθενή, με σωλήνα που καταλήγει στη φλέβα.]

Απάντηση:

Μετατροπή: \(1\ \text{mm Hg} = ρ_{Hg}g\cdot10^{-3} = 13600\cdot10\cdot10^{-3} = 136\) Pa.
α) Η ροή στη σταγόνα-σταγόνα μετάγγιση είναι πολύ αργή, οπότε η στατική πίεση στο Α (υπερπίεση) ισούται πρακτικά με την υδροστατική της στήλης ορού: \(p_σ = ρgh\) (σελ. 258). Από \(ρgh \le 60\cdot136 = 8160\) Pa: \(h \le \frac{8160}{10^3\cdot10} \approx 0{,}82\) m.
Έλεγχος ολικής πίεσης (Bernoulli, σελ. 290): \(p_{ολ} = ρgh\) (από τη στάθμη της φιάλης), και το όριο 80 Torr \(= 10880\) Pa αντιστοιχεί σε \(h \le 1{,}09\) m — ικανοποιείται με h ≈ 0,82 m (το περιθώριο 20 Torr μένει για τη δυναμική πίεση).
β) Όγκος σταγόνας \(V_σ = \frac43\pi(1{,}5\cdot10^{-3})^3 \approx 1{,}41\cdot10^{-8}\) m³. Πλήθος σταγόνων \(N = \frac{0{,}5\cdot10^{-3}}{1{,}41\cdot10^{-8}} \approx 3{,}54\cdot10^4\).
Με 1 σταγόνα ανά δευτερόλεπτο (f = 1 Hz): \(t \approx 3{,}54\cdot10^4\) s \(\approx 9{,}8\) h.

Σύνοψη: α) h ≈ 0,82 m (82 cm) πάνω από το σημείο Α (το όριο ολικής πίεσης 80 Torr θα επέτρεπε έως ≈ 1,09 m). β) t ≈ 3,5·10⁴ s ≈ 9,8 h.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η εκφώνηση συνδυάζει δύο όρια (ολική 80 Torr, στατική 60 mm Hg)· η λύση θεωρεί τη στατική πίεση ίση με την υδροστατική, επειδή η ροή είναι πολύ αργή, και ελέγχει το όριο της ολικής.

7.20 Ταχύτητα απογείωσης αεροπλάνου

Ερώτηση: Αεροπλάνο με συνολικό βάρος 8,6 tn και επιφάνεια πτερύγων 60m3 βρίσκεται στη φάση της απογείωσης. Αν για τον αέρα εκείνη τη στιγμή δεχτούμε συντελεστή αντίστασης k = 0,4 kg/m3, σε ποια ταχύτητα απογειώνεται το αεροπλάνο; (Για εκείνη τη στιγμή δεχτείτε ότι το αεροπλάνο είναι ακόμα σε οριζόντια θέση).

Απάντηση:

Βάρος \(B = 8{,}6\ \text{tn} = 8600\) kp \(= 8{,}6\cdot10^4\) N (g = 10 m/s²)· επιφάνεια πτερύγων \(S = 60\) m².
Στη στιγμή της απογείωσης, σε οριζόντια θέση, η δυναμική άνωση εξισώνεται με το βάρος (\(A = B\), σελ. 306).
Η δυναμική άνωση, όπως η αντίσταση (\(T_α = kAυ^2\), σελ. 301), είναι ανάλογη της επιφάνειας και του τετραγώνου της ταχύτητας: \(A = kSυ^2\).
\(kSυ^2 = B \Rightarrow υ = \sqrt{\frac{B}{kS}} = \sqrt{\frac{8{,}6\cdot10^4}{0{,}4\cdot60}} \approx \sqrt{3583} \approx 59{,}9\) m/s \(\approx 215\) km/h.

Σύνοψη: υ ≈ 60 m/s (≈ 215 km/h).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το «60m3» της εκφώνησης εννοεί επιφάνεια 60 m²· η δυναμική άνωση γράφεται A = kSυ² κατ' αναλογία με τον τύπο της αντίστασης, με τον συντελεστή k που δίνεται.