Ενότητα 01.6 – Ερωτήσεις – Ασκήσεις – Σελίδα 20 – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ – Απαντήσεις – Λύσεις – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

(Πηγή: Βιβλίο Μαθητή, Πληροφορική Α΄ Γυμνασίου, §1.6 Ερωτήσεις-Ασκήσεις, σελ. 20. Οι εκφωνήσεις είναι αυτούσιες από το σχολικό βιβλίο.)

Ερωτήσεις - Ασκήσεις

Άσκηση 1 (σελ. 20)

Να σχηματίσετε τη δυαδική αναπαράσταση των παρακάτω αριθμών: i) 2 ii) 2 · 2 iii) 2³ + 1 iv) 2³ + 2² + 2¹ v) 2⁵ + 2³ + 2² + 1 vi) 2⁵ + 2² + 1 vii) 2⁶ + 2² viii) 32 + 16 + 8 + 1

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάθε παράσταση είναι ήδη γραμμένη (ή μπορεί εύκολα να γραφτεί) ως άθροισμα δυνάμεων του 2. Αρκεί να βάλουμε ψηφίο 1 στη θέση κάθε δύναμης που εμφανίζεται στο άθροισμα, και 0 σε όλες τις υπόλοιπες θέσεις.

Λύση:

1. i) 2 = 2¹ → 10
2. ii) 2·2 = 4 = 2² → 100
3. iii) 2³+1 = 8+1 = 9 = 2³+2⁰ → 1001
4. iv) 2³+2²+2¹ = 8+4+2 = 14 → 1110
5. v) 2⁵+2³+2²+1 = 32+8+4+1 = 45 → 101101
6. vi) 2⁵+2²+1 = 32+4+1 = 37 → 100101
7. vii) 2⁶+2² = 64+4 = 68 → 1000100
8. viii) 32+16+8+1 = 2⁵+2⁴+2³+2⁰ = 57 → 111001

Απάντηση: i) 10₂ ii) 100₂ iii) 1001₂ iv) 1110₂ v) 101101₂ vi) 100101₂ vii) 1000100₂ viii) 111001₂

Πρόσεξε:

• Βάλε 1 ΜΟΝΟ στις θέσεις των δυνάμεων που εμφανίζονται στο άθροισμα — όλες οι άλλες θέσεις είναι 0, ακόμη κι αν παραλείπονται ενδιάμεσες δυνάμεις (π.χ. στο vii δεν υπάρχει 2⁵,2⁴,2³,2¹,2⁰).

Άσκηση 2 (σελ. 20)

Να μετατρέψετε τους παρακάτω δυαδικούς αριθμούς στη δεκαδική τους αναπαράσταση: i) 11 ii) 100 iii) 101 iv) 1010 v) 10100 vi) 101010 vii) 100000 viii) 11111 ix) 111 x) 1000 xi) 1111111111 xii) 10000000000

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για κάθε δυαδικό αριθμό, προσθέτουμε τις δυνάμεις του 2 που αντιστοιχούν στις θέσεις όπου υπάρχει ψηφίο 1 (μετρώντας θέσεις από δεξιά, ξεκινώντας από 2⁰).

Λύση:

1. i) 11₂ = 2¹+2⁰ = 2+1 = 3
2. ii) 100₂ = 2² = 4
3. iii) 101₂ = 2²+2⁰ = 4+1 = 5
4. iv) 1010₂ = 2³+2¹ = 8+2 = 10
5. v) 10100₂ = 2⁴+2² = 16+4 = 20
6. vi) 101010₂ = 2⁵+2³+2¹ = 32+8+2 = 42
7. vii) 100000₂ = 2⁵ = 32
8. viii) 11111₂ = 2⁴+2³+2²+2¹+2⁰ = 16+8+4+2+1 = 31
9. ix) 111₂ = 2²+2¹+2⁰ = 4+2+1 = 7
10. x) 1000₂ = 2³ = 8
11. xi) 1111111111₂ (δέκα άσσοι) = 2¹⁰−1 = 1024−1 = 1023
12. xii) 10000000000₂ (1 και δέκα μηδενικά) = 2¹⁰ = 1024

Απάντηση: i) 3 ii) 4 iii) 5 iv) 10 v) 20 vi) 42 vii) 32 viii) 31 ix) 7 x) 8 xi) 1023 xii) 1024

Πρόσεξε:

• Στα xi/xii παρατήρησε το μοτίβο: n άσσοι στο δυαδικό = 2ⁿ−1, ενώ 1 ακολουθούμενο από n μηδενικά = 2ⁿ.

Άσκηση 3 (σελ. 20)

Να μετατρέψετε τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς στη δυαδική τους αναπαράσταση: i) 1 ii) 4 iii) 5 iv) 16 v) 15 vi) 32 vii) 33 viii) 100 ix) 1024 x) 1023 xi) 1025 xii) 255 xiii) 256 xiv) 257

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε τη μεγαλύτερη δύναμη του 2 που χωράει σε κάθε αριθμό και αφαιρούμε διαδοχικά (μέθοδος ανάλυσης σε δυνάμεις του 2), ή εφαρμόζουμε διαδοχικές διαιρέσεις με το 2. Παρατηρούμε ιδιαίτερα τα ζεύγη «δύναμη του 2» / «δύναμη του 2 μείον 1» και «δύναμη του 2 συν 1».

Λύση:

1. i) 1 = 2⁰ → 1
2. ii) 4 = 2² → 100
3. iii) 5 = 4+1 = 2²+2⁰ → 101
4. iv) 16 = 2⁴ → 10000
5. v) 15 = 8+4+2+1 = 2⁴−1 → 1111
6. vi) 32 = 2⁵ → 100000
7. vii) 33 = 32+1 = 2⁵+2⁰ → 100001
8. viii) 100 = 64+32+4 = 2⁶+2⁵+2² → 1100100
9. ix) 1024 = 2¹⁰ → 10000000000
10. x) 1023 = 2¹⁰−1 → 1111111111
11. xi) 1025 = 1024+1 = 2¹⁰+2⁰ → 10000000001
12. xii) 255 = 2⁸−1 → 11111111
13. xiii) 256 = 2⁸ → 100000000
14. xiv) 257 = 256+1 = 2⁸+2⁰ → 100000001

Απάντηση: i) 1 ii) 100 iii) 101 iv) 10000 v) 1111 vi) 100000 vii) 100001 viii) 1100100 ix) 10000000000 x) 1111111111 xi) 10000000001 xii) 11111111 xiii) 100000000 xiv) 100000001

Πρόσεξε:

• Οι αριθμοί που είναι ακριβώς δύναμη του 2 (4, 16, 32, 1024, 256) δίνουν πάντα «1» ακολουθούμενο από μηδενικά.
• Οι αριθμοί «δύναμη του 2 μείον 1» (15, 1023, 255) δίνουν πάντα μόνο άσσους.
• Οι αριθμοί «δύναμη του 2 συν 1» (33, 1025, 257) δίνουν «1 ... 1» με μηδενικά στη μέση.

Άσκηση 4 (σελ. 20)

Να μεταβείτε στην ιστοσελίδα https://www.python.org/ της γλώσσας Python και να κάνετε χρήση του διερμηνευτή για τη μετατροπή των παρακάτω αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε τη δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 496 γράφουμε bin(496). i) 2 ii) 8 iii) 16 iv) 32 v) 64 vi) 1024 vii) 1 viii) 7 ix) 15 x) 31 xi) 63 xii) 1023 Μελετήστε τα αποτελέσματα. Τι παρατηρείτε;

(Συνέχεια, χωρίς δικό της αριθμό κουτιού — ίδια δραστηριότητα 4) Να μεταβείτε ξανά στον διερμηνευτή της Python για τη μετατροπή των παρακάτω αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Τι παρατηρείτε; i) 2¹⁰ ii) 2²⁰ iii) 2¹⁰⁰ iv) 2¹⁰⁰⁰ v) 2¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰ Ο τελεστής της δύναμης στην Python είναι ο (διπλό αστεράκι· π.χ. 280 υπολογίζει το 2⁸⁰). Μπορείτε να μαντέψετε πόσα μηδενικά έχει η δυαδική αναπαράσταση του 2⁸⁰ χωρίς να τα μετρήσετε;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο πρώτο μέρος, χωρίζουμε τους αριθμούς σε δύο ομάδες: αυτούς που είναι ακριβώς δυνάμεις του 2 (2, 8, 16, 32, 64, 1024) και αυτούς που είναι μία μονάδα μικρότεροι από δύναμη του 2 (1, 7, 15, 31, 63, 1023 = 2¹−1, 2³−1, 2⁴−1, 2⁵−1, 2⁶−1, 2¹⁰−1). Στο δεύτερο μέρος εφαρμόζουμε την ίδια παρατήρηση σε πολύ μεγάλες δυνάμεις του 2, χωρίς να χρειάζεται να μετρήσουμε ψηφία με το χέρι — απλώς μετράμε τον εκθέτη.

Λύση:

1. Μέρος Α — τρέχοντας bin() στην Python: bin(2)='0b10', bin(8)='0b1000', bin(16)='0b10000', bin(32)='0b100000', bin(64)='0b1000000', bin(1024)='0b10000000000'.
2. bin(1)='0b1', bin(7)='0b111', bin(15)='0b1111', bin(31)='0b11111', bin(63)='0b111111', bin(1023)='0b1111111111'.
3. Παρατήρηση Α: κάθε δύναμη του 2 (2ⁿ) γράφεται στο δυαδικό ως «1» ακολουθούμενο από n μηδενικά. Κάθε αριθμός της μορφής 2ⁿ−1 γράφεται ως n άσσοι στη σειρά.
4. Μέρος Β — ο ίδιος κανόνας ισχύει και για πολύ μεγάλες δυνάμεις: 2¹⁰ έχει δυαδική αναπαράσταση «1» + 10 μηδενικά (11 ψηφία συνολικά), 2²⁰ έχει «1» + 20 μηδενικά, 2¹⁰⁰ έχει «1» + 100 μηδενικά, 2¹⁰⁰⁰ έχει «1» + 1000 μηδενικά.
5. Άρα το 2⁸⁰, χωρίς να χρειάζεται να μετρήσουμε τίποτα, θα έχει στο δυαδικό ακριβώς 80 μηδενικά μετά το αρχικό 1 (81 δυαδικά ψηφία συνολικά) — αυτό επιβεβαιώνεται και από το bin(2**80) του βιβλίου.

Ενδεικτική απάντηση: Κάθε 2ⁿ γράφεται στο δυαδικό ως «1» + n μηδενικά· κάθε 2ⁿ−1 γράφεται ως n άσσοι. Άρα το bin(2**80) έχει έναν άσσο ακολουθούμενο από ακριβώς 80 μηδενικά, χωρίς να χρειάζεται να τα μετρήσουμε.

Πρόσεξε:

• Το πλήθος των δυαδικών ψηφίων μιας δύναμης 2ⁿ είναι n+1 (το 1 αρχικό ψηφίο + n μηδενικά) — μην μπερδεύεις «αριθμό μηδενικών» με «συνολικό αριθμό ψηφίων».
• Απαιτεί πρόσβαση σε διερμηνευτή Python (python.org) — αν δεν είναι διαθέσιμος, τα αποτελέσματα μπορούν να επαληθευτούν με το πρότυπο 2ⁿ='1'+n μηδενικά που εξηγείται στη λύση.