Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Η Μέθοδος των Τριών – Ποσοστά (σελ. 40-58) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Η Μέθοδος των Τριών – Ποσοστά (σελ. 40-58) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Η Μέθοδος των Τριών - Ποσοστά (σελ. 40-58)

Το κεφάλαιο έχει 3 ομάδες Προβλημάτων στο τέλος (Απλή Μέθοδος: 14, Σύνθετη Μέθοδος: 10, Ποσοστά: 20 = 44 συνολικά). Επιλέχθηκε αντιπροσωπευτικό δείγμα 21 προβλημάτων (διαφορετικοί τύποι/δυσκολία ανά ομάδα), όλα λυμένα με πλήρη βήματα και επαληθευμένο αριθμητικά αποτέλεσμα· όλες οι δοθείσες απαντήσεις του βιβλίου επιβεβαιώθηκαν εκτός από ένα typo (Πρόβλημα Ποσοστών #1, βλ. προσεξε).

Απλή Μέθοδος των Τριών

Πρόβλημα 1 · Αξία υφάσματος (ανάλογα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Τα 23 μέτρα ενός υφάσματος αξίζουν 25,3 €. Πόσα ευρώ αξίζουν τα 15 μέτρα;

Λύση:

Το μήκος και η αξία είναι ανάλογα ποσά (διπλάσιο μήκος → διπλάσια αξία).
Κατάταξη: 23 m → 25,3 € · 15 m → x €.
Αναλογία: \(\dfrac{23}{15}=\dfrac{25{,}3}{x} \Rightarrow x=\dfrac{25{,}3\cdot 15}{23}=16{,}5\) €.

Απάντηση: 16,5 €

Πρόβλημα 2 · Εργάτες-ημέρες (αντίστροφα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Δέκα εργάτες σκάβουν σε 28 ημέρες ένα κτήμα. Πόσοι εργάτες θα σκάψουν το ίδιο κτήμα σε 8 ημέρες;

Λύση:

Εργάτες και ημέρες είναι αντίστροφα ποσά (περισσότεροι εργάτες → λιγότερες ημέρες, ίδιο έργο).
Κατάταξη: 10 εργάτες → 28 ημέρες · x εργάτες → 8 ημέρες.
Αναλογία (αντίστροφα): \(\dfrac{10}{x}=\dfrac{8}{28} \Rightarrow x=\dfrac{10\cdot 28}{8}=35\) εργάτες.

Απάντηση: 35 εργάτες

Πρόβλημα 3 · Αγορά καφέ (ανάλογα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Με 45 € αγοράζουμε 3 κιλά καφέ. Πόσα κιλά καφέ θα αγοράσουμε με 1.230 €;

Λύση:

Ευρώ και κιλά είναι ανάλογα ποσά.
Κατάταξη: 45 € → 3 kg · 1.230 € → x kg.
Αναλογία: \(\dfrac{45}{1230}=\dfrac{3}{x} \Rightarrow x=\dfrac{3\cdot 1230}{45}=82\) κιλά.

Απάντηση: 82 κιλά

Πρόβλημα 5 · Κατανάλωση βενζίνης (ανάλογα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Ένα αυτοκίνητο με 45 λίτρα βενζίνης διανύει 450 χιλιόμετρα. Αν τρέχει με την ίδια ταχύτητα, πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει με 35 λίτρα;

Λύση:

Λίτρα καυσίμου και χιλιόμετρα είναι ανάλογα ποσά (ίδια κατανάλωση ανά χιλιόμετρο).
Κατάταξη: 45 L → 450 km · 35 L → x km.
Αναλογία: \(\dfrac{45}{35}=\dfrac{450}{x} \Rightarrow x=\dfrac{450\cdot 35}{45}=350\) km.

Απάντηση: 350 km

Πρόβλημα 6 · Ταχύτητα-χρόνος διαδρομής (αντίστροφα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 80 km/h κάνει τη διαδρομή «Αθήνα-Πάτρα» σε 3 ώρες. Με πόση ταχύτητα θα κάνει την ίδια διαδρομή σε 6 ώρες;

Λύση:

Ταχύτητα και χρόνος είναι αντίστροφα ποσά, για σταθερή απόσταση (= 80 · 3 = 240 km).
Κατάταξη: 80 km/h → 3 h · x km/h → 6 h.
Αναλογία (αντίστροφα): \(\dfrac{80}{x}=\dfrac{6}{3} \Rightarrow x=\dfrac{80\cdot 3}{6}=40\) km/h.

Απάντηση: 40 km/h

Πρόβλημα 9 · Επάρκεια τροφίμων με άφιξη ατόμων (σύνθετο-έμμεσο) (σελ. 41)

Εκφώνηση: 240 κατασκηνωτές έχουν τρόφιμα για 30 ημέρες. Έπειτα από 10 ημέρες ήλθαν 60 τουρίστες χωρίς τρόφιμα. Πόσες ημέρες θα επαρκέσουν τα τρόφιμα;

Λύση:

Συνολικό απόθεμα τροφίμων σε «ατομο-ημέρες»: \(240 \cdot 30 = 7200\).
Μετά από 10 ημέρες καταναλώθηκαν \(240\cdot 10=2400\) ατομο-ημέρες· απομένουν \(7200-2400=4800\) ατομο-ημέρες.
Πλέον τρέφονται \(240+60=300\) άτομα, άρα οι ημέρες που θα αντέξει το απόθεμα: \(x=\dfrac{4800}{300}=16\) ημέρες.

Απάντηση: 16 ημέρες

Πρόβλημα 11 · Ισοδυναμία εργατικής απόδοσης άνδρες-παιδιά (σελ. 41)

Εκφώνηση: Οκτώ άνδρες ή δώδεκα παιδιά εκτελούν ένα έργο σε 30 ημέρες. Έξι άνδρες ή έντεκα παιδιά σε πόσες ημέρες θα εκτελέσουν το ίδιο έργο;

Λύση:

Το έργο ολοκληρώνεται είτε από 8 άνδρες είτε από 12 παιδιά σε 30 ημέρες, άρα ισοδυναμούν: \(8\) άνδρες = \(12\) παιδιά (ίδιο έργο) ⇒ 1 άνδρας = \(12/8=1{,}5\) παιδιά σε απόδοση.
6 άνδρες + 11 παιδιά ισοδυναμούν σε παιδιά-εργάτες: \(6\cdot 1{,}5+11=9+11=20\) «παιδιά».
Το συνολικό έργο σε παιδιά-ημέρες: \(12\cdot 30=360\). Με 20 «παιδιά»-εργάτες: \(x=\dfrac{360}{20}=18\) ημέρες.

Απάντηση: 18 ημέρες

Πρόβλημα 14 · Ζημιά σε μεικτή πώληση υφάσματος (σελ. 41)

Εκφώνηση: Ένας έμπορος αγόρασε ύφασμα προς 420 € το μέτρο. Πούλησε τα 2/5 της ποσότητας προς 500 € το μέτρο και τα υπόλοιπα προς 350 € το μέτρο. Αν ζημιώθηκε 5.000 €, πόσα μέτρα είχε αγοράσει;

Λύση:

Έστω M τα συνολικά μέτρα. Κόστος: \(420M\). Έσοδα: \(\tfrac{2}{5}M\cdot500+\tfrac{3}{5}M\cdot350=200M+210M=410M\).
Ζημιά = Κόστος − Έσοδα: \(420M-410M=10M\). Δίνεται ζημιά 5.000 €, άρα \(10M=5000\Rightarrow M=500\).

Απάντηση: 500 μέτρα

Σύνθετη Μέθοδος των Τριών

Πρόβλημα 1 · Σκάψιμο αγροκτήματος (εργάτες-ημέρες-στρέμματα) (σελ. 45)

Εκφώνηση: Δεκαέξι εργάτες σε δώδεκα ημέρες σκάβουν αγρόκτημα 24 στρεμμάτων. Σε πόσες ημέρες 20 εργάτες θα σκάψουν αγρόκτημα 10 στρεμμάτων;

Λύση:

Εργάτες-ημέρες ανά στρέμμα: \(\dfrac{16\cdot 12}{24}=8\) εργατο-ημέρες/στρέμμα.
Για 10 στρέμματα χρειάζονται \(8\cdot 10=80\) εργατο-ημέρες· με 20 εργάτες: \(x=\dfrac{80}{20}=4\) ημέρες.

Απάντηση: 4 ημέρες

Πρόβλημα 2 · Ψωμί για στρατιώτες (σελ. 46)

Εκφώνηση: Διακόσιοι στρατιώτες χρειάζονται 400 κιλά ψωμί για να περάσουν 4 ημέρες. Πόσα κιλά ψωμί θα χρειαστούν 350 στρατιώτες για να περάσουν 14 ημέρες;

Λύση:

Κατανάλωση ανά στρατιώτη-ημέρα: \(\dfrac{400}{200\cdot 4}=0{,}5\) κιλά.
Για 350 στρατιώτες επί 14 ημέρες: \(x=0{,}5\cdot 350\cdot 14=2450\) κιλά.

Απάντηση: 2.450 κιλά

Πρόβλημα 4 · Σκάψιμο με μεταβλητές ώρες εργασίας (σελ. 46)

Εκφώνηση: Δεκαπέντε εργάτες εργαζόμενοι 8 ώρες την ημέρα σκάβουν κτήμα 40 στρεμμάτων σε 40 ημέρες. Είκοσι εργάτες, εργαζόμενοι 10 ώρες την ημέρα, σε πόσες ημέρες θα σκάψουν κτήμα 60 στρεμμάτων;

Λύση:

Εργατο-ώρες ανά στρέμμα: \(\dfrac{15\cdot 8\cdot 40}{40}=120\) εργατο-ώρες/στρέμμα.
Για 60 στρέμματα: \(120\cdot 60=7200\) εργατο-ώρες. Με 20 εργάτες επί 10 ώρες/ημέρα = 200 εργατο-ώρες/ημέρα.
Ημέρες: \(x=\dfrac{7200}{200}=36\) ημέρες.

Απάντηση: 36 ημέρες

Πρόβλημα 8 · Πλοίο, τρόφιμα, ναυαγοί (σελ. 46)

Εκφώνηση: Ένα πλοίο έχει πλήρωμα 140 ανδρών και τρόφιμα για 70 ημέρες. Μετά από ταξίδι 10 ημερών παρέλαβε ναυαγούς και ο χρόνος του ταξιδιού αυξήθηκε κατά 10 ημέρες. Ελαττώθηκε τότε η μερίδα κατά τα 2/5 της αρχικής. Πόσους ναυαγούς παρέλαβε;

Λύση:

Απόθεμα σε ατομο-ημέρες πλήρους μερίδας: \(140\cdot 70=9800\). Μετά από 10 ημέρες καταναλώθηκαν \(140\cdot10=1400\)· απομένουν \(9800-1400=8400\) ατομο-ημέρες πλήρους μερίδας.
Υπόλοιπες ημέρες ταξιδιού: \(70-10+10=70\). Η μερίδα μειώθηκε κατά 2/5, άρα έγινε \(3/5\) της αρχικής.
Αν N οι νέοι επιβαίνοντες (140+ναυαγοί): \(N\cdot 70\cdot\tfrac{3}{5}=8400 \Rightarrow N=\dfrac{8400}{42}=200\). Ναυαγοί = \(200-140=60\).

Απάντηση: 60 ναυαγοί

Πρόβλημα 10 · Αξία οικοπέδου (μήκος-πλάτος-αξία) (σελ. 47)

Εκφώνηση: Ένα οικόπεδο μήκους 32 μέτρων και πλάτους 30 μέτρων έχει αξία 48.000 €. Πόσο πλάτος θα είχε το οικόπεδο, αν είχε μήκος 20 μέτρα και τιμή 45.000 €;

Λύση:

Η αξία είναι ανάλογη του εμβαδού (μήκος × πλάτος): \(k=\dfrac{48000}{32\cdot 30}=50\) €/m².
Για τιμή 45.000 € και μήκος 20 m: εμβαδόν \(=45000/50=900\) m². Πλάτος \(=900/20=45\) m.

Απάντηση: 45 μέτρα

Προβλήματα Ποσοστών

Πρόβλημα 1 · Κέρδος % και συνολική είσπραξη (σελ. 56)

Εκφώνηση: Ένας έμπορος πούλησε εμπορεύματα κόστους 22.500 € με κέρδος 28%. α) Πόσα € κέρδισε και β) πόσα € εισέπραξε;

Λύση:

α) Κέρδος \(=22500\cdot 0{,}28=6300\) €.
β) Είσπραξη = Κόστος + Κέρδος \(=22500+6300=28800\) €.

Απάντηση: α) 6.300 €, β) 28.800 €

⚠️ Το βιβλίο αναγράφει στο ερώτημα β) «28.000» — πρόκειται για typo του βιβλίου (22.500+6.300=28.800, όχι 28.000)· η λύση δίνει το μαθηματικά ορθό αποτέλεσμα.

Πρόβλημα 2 · Ασφάλιστρα ‰ και αξία εμπορευμάτων (σελ. 56)

Εκφώνηση: Κάποιος ασφάλισε τα εμπορεύματά του, που τα μετέφερε με πλοίο, προς 4‰ και πλήρωσε 720 € για ασφάλιστρα. Ποια ήταν η αξία των εμπορευμάτων;

Λύση:

Αξία \(=\dfrac{720}{4}\cdot 1000=180.000\) €.

Απάντηση: 180.000 €

Πρόβλημα 5 · Έκπτωση και πληρωτέο ποσό (σελ. 56)

Εκφώνηση: Ένα εμπορικό κατάστημα πουλάει τα εμπορεύματά του με έκπτωση 30%. Πόσα € θα πληρώσουμε, αν αγοράσουμε εμπορεύματα αξίας 28.750 € και πόσα € θα είναι η έκπτωση;

Λύση:

Έκπτωση \(=28750\cdot 0{,}30=8625\) €.
Πληρωτέο \(=28750-8625=20125\) €.

Απάντηση: Πληρωτέο 20.125 €, έκπτωση 8.625 €

Πρόβλημα 7 · Εύρεση αξίας από ζημιά % (σελ. 56)

Εκφώνηση: Εμπόρευμα πουλήθηκε με ζημία 20% αντί 16.000 €. Πόση ήταν η αξία του εμπορεύματος;

Λύση:

Η τιμή πώλησης είναι το \(100\%-20\%=80\%\) της αρχικής αξίας.
Αξία \(=\dfrac{16000}{0{,}80}=20.000\) €.

Απάντηση: 20.000 €

Πρόβλημα 10 · Κέρδος % επί κόστους και επί τιμής πώλησης (σελ. 56)

Εκφώνηση: Έμπορος αγόρασε 5.200 μέτρα ύφασμα προς 10 € το μέτρο και πλήρωσε για μεταφορικά 500 €. Το ύφασμα πουλήθηκε προς 14 € το μέτρο. Πόσο τοις % κέρδισε: α) επί του κόστους αγοράς και β) επί της τιμής πωλήσεως;

Λύση:

Συνολικό κόστος \(=5200\cdot 10+500=52.500\) €. Συνολικά έσοδα \(=5200\cdot 14=72.800\) €. Κέρδος \(=72800-52500=20.300\) €.
α) Κέρδος % επί κόστους \(=\dfrac{20300}{52500}\cdot 100\approx 38{,}7\%\).
β) Κέρδος % επί τιμής πώλησης \(=\dfrac{20300}{72800}\cdot 100\approx 27{,}9\%\).

Απάντηση: α) 38,7%, β) 27,9%

Πρόβλημα 13 · Προμήθεια παραγγελιοδόχου και αξία πωλήσεων (σελ. 57)

Εκφώνηση: Ένας παραγγελιοδόχος παίρνει έξοδα εκτός έδρας 120 € την ημέρα και 2,5% προμήθεια για τα εμπορεύματα που πουλάει. Ύστερα από περιοδεία 24 ημερών πήρε για προμήθειες και έξοδα 5.880 €. Να βρεθεί η αξία των εμπορευμάτων που πούλησε.

Λύση:

Έξοδα 24 ημερών \(=120\cdot 24=2.880\) €. Προμήθεια \(=5880-2880=3.000\) €.
Αξία εμπορευμάτων \(=\dfrac{3000}{0{,}025}=120.000\) €.

Απάντηση: 120.000 €

Πρόβλημα 16 · Μεικτή πώληση σιταριού με τρία ποσοστά (σελ. 57)

Εκφώνηση: Έμπορος αγόρασε μια ποσότητα σιταριού. Πούλησε το 1/4 της ποσότητας με κέρδος 5%, άλλο 1/4 με κέρδος 15% και το υπόλοιπο με ζημία 4,67%. Από την πώληση κέρδισε 5.000 €. Πόσο του κόστισε η αγορά;

Λύση:

Έστω C το συνολικό κόστος. Έσοδα \(=\tfrac14 C\cdot 1{,}05+\tfrac14 C\cdot 1{,}15+\tfrac12 C\cdot(1-0{,}0467)\).
Έσοδα \(=C\left(0{,}2625+0{,}2875+0{,}4767\right)=1{,}02666\,C\) (κατά προσέγγιση).
Κέρδος \(=\) Έσοδα \(-\,C=0{,}02666\,C=5000 \Rightarrow C\approx 187.617\) €.

Απάντηση: ≈ 187.617 €

Πρόβλημα 19 · Κέρδος % σε αγορά υφάσματος με μεταφορικά (σελ. 58)

Εκφώνηση: Έμπορος αγόρασε 1.200 μέτρα ύφασμα προς 5,8 € το μέτρο και πλήρωσε για μεταφορικά 20 €. Το ύφασμα πουλήθηκε προς 7,2 € το μέτρο. Να βρεθεί πόσο τοις % κέρδισε: α) επί του κόστους αγοράς και β) επί της τιμής πωλήσεως.

Λύση:

Κόστος \(=1200\cdot 5{,}8+20=6.980\) €. Έσοδα \(=1200\cdot 7{,}2=8.640\) €. Κέρδος \(=8640-6980=1.660\) €.
α) Επί κόστους: \(\dfrac{1660}{6980}\cdot 100\approx 23{,}78\%\).
β) Επί τιμής πώλησης: \(\dfrac{1660}{8640}\cdot 100\approx 19{,}21\%\).

Απάντηση: α) 23,78% (βιβλίο: 23,7%), β) 19,21%

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο