Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Η Μέθοδος των Τριών – Ποσοστά (σελ. 40-58) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Η Μέθοδος των Τριών – Ποσοστά (σελ. 40-58) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 2: Η Μέθοδος των Τριών - Ποσοστά (σελ. 40-58)

Το κεφάλαιο έχει 3 ομάδες Προβλημάτων στο τέλος (Απλή Μέθοδος: 14, Σύνθετη Μέθοδος: 10, Ποσοστά: 20 = 44 συνολικά). Επιλέχθηκε αντιπροσωπευτικό δείγμα 21 προβλημάτων (διαφορετικοί τύποι/δυσκολία ανά ομάδα), όλα λυμένα με πλήρη βήματα και επαληθευμένο αριθμητικά αποτέλεσμα· όλες οι δοθείσες απαντήσεις του βιβλίου επιβεβαιώθηκαν εκτός από ένα λάθος στην απάντηση του βιβλίου (Πρόβλημα Ποσοστών 1, βλ. τη σημείωση της λύσης).

Απλή Μέθοδος των Τριών

Πρόβλημα 1 · Αξία υφάσματος (ανάλογα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Τα 23 μέτρα ενός υφάσματος αξίζουν 25,3 €. Πόσα ευρώ αξίζουν τα 15 μέτρα;

Λύση:

Το μήκος και η αξία είναι ανάλογα ποσά (διπλάσιο μήκος → διπλάσια αξία).
Κατάταξη: 23 m → 25,3 € · 15 m → x €.
Αναλογία: \(\dfrac{23}{15}=\dfrac{25{,}3}{x} \Rightarrow x=\dfrac{25{,}3\cdot 15}{23}=16{,}5\) €.

Απάντηση: 16,5 €

Πρόβλημα 2 · Εργάτες-ημέρες (αντίστροφα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Δέκα εργάτες σκάβουν σε 28 ημέρες ένα κτήμα. Πόσοι εργάτες θα σκάψουν το ίδιο κτήμα σε 8 ημέρες;

Λύση:

Εργάτες και ημέρες είναι αντίστροφα ποσά (περισσότεροι εργάτες → λιγότερες ημέρες, ίδιο έργο).
Κατάταξη: 10 εργάτες → 28 ημέρες · x εργάτες → 8 ημέρες.
Αναλογία (αντίστροφα): \(\dfrac{10}{x}=\dfrac{8}{28} \Rightarrow x=\dfrac{10\cdot 28}{8}=35\) εργάτες.

Απάντηση: 35 εργάτες

Πρόβλημα 3 · Αγορά καφέ (ανάλογα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Με 45 € αγοράζουμε 3 κιλά καφέ. Πόσα κιλά καφέ θα αγοράσουμε με 1.230 €;

Λύση:

Ευρώ και κιλά είναι ανάλογα ποσά.
Κατάταξη: 45 € → 3 kg · 1.230 € → x kg.
Αναλογία: \(\dfrac{45}{1230}=\dfrac{3}{x} \Rightarrow x=\dfrac{3\cdot 1230}{45}=82\) κιλά.

Απάντηση: 82 κιλά

Πρόβλημα 5 · Κατανάλωση βενζίνης (ανάλογα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Ένα αυτοκίνητο με 45 λίτρα βενζίνης διανύει 450 χιλιόμετρα. Αν τώρα τρέχει με την ίδια ταχύτητα, πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει με 35 λίτρα;

Λύση:

Λίτρα καυσίμου και χιλιόμετρα είναι ανάλογα ποσά (ίδια κατανάλωση ανά χιλιόμετρο).
Κατάταξη: 45 L → 450 km · 35 L → x km.
Αναλογία: \(\dfrac{45}{35}=\dfrac{450}{x} \Rightarrow x=\dfrac{450\cdot 35}{45}=350\) km.

Απάντηση: 350 km

Πρόβλημα 6 · Ταχύτητα-χρόνος διαδρομής (αντίστροφα) (σελ. 40)

Εκφώνηση: Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 80 km/h κάνει τη διαδρομή «Αθήνα-Πάτρα» σε 3 ώρες. Με πόση ταχύτητα θα κάνει την ίδια διαδρομή σε 6 ώρες;

Λύση:

Ταχύτητα και χρόνος είναι αντίστροφα ποσά, για σταθερή απόσταση (= 80 · 3 = 240 km).
Κατάταξη: 80 km/h → 3 h · x km/h → 6 h.
Αναλογία (αντίστροφα): \(\dfrac{80}{x}=\dfrac{6}{3} \Rightarrow x=\dfrac{80\cdot 3}{6}=40\) km/h.

Απάντηση: 40 km/h

Πρόβλημα 9 · Επάρκεια τροφίμων με άφιξη ατόμων (σύνθετο-έμμεσο) (σελ. 41)

Εκφώνηση: 240 κατασκηνωτές έχουν τρόφιμα για 30 ημέρες. Έπειτα από 10 ημέρες ήλθαν στην κατασκήνωση 60 τουρίστες χωρίς τρόφιμα. Πόσες ημέρες θα επαρκέσουν τα τρόφιμα;

Λύση:

Συνολικό απόθεμα τροφίμων σε «ατομο-ημέρες»: \(240 \cdot 30 = 7200\).
Μετά από 10 ημέρες καταναλώθηκαν \(240\cdot 10=2400\) ατομο-ημέρες· απομένουν \(7200-2400=4800\) ατομο-ημέρες.
Πλέον τρέφονται \(240+60=300\) άτομα, άρα οι ημέρες που θα αντέξει το απόθεμα: \(x=\dfrac{4800}{300}=16\) ημέρες.

Απάντηση: 16 ημέρες

Πρόβλημα 11 · Ισοδυναμία εργατικής απόδοσης άνδρες-παιδιά (σελ. 41)

Εκφώνηση: Οκτώ άνδρες ή δώδεκα παιδιά εκτελούν ένα έργο σε 30 ημέρες. Έξι άνδρες ή έντεκα παιδιά σε πόσες ημέρες θα εκτελέσουν το ίδιο έργο;

Λύση:

Το έργο ολοκληρώνεται είτε από 8 άνδρες είτε από 12 παιδιά σε 30 ημέρες, άρα ισοδυναμούν: \(8\) άνδρες = \(12\) παιδιά (ίδιο έργο) ⇒ 1 άνδρας = \(12/8=1{,}5\) παιδιά σε απόδοση.
6 άνδρες + 11 παιδιά ισοδυναμούν σε παιδιά-εργάτες: \(6\cdot 1{,}5+11=9+11=20\) «παιδιά».
Το συνολικό έργο σε παιδιά-ημέρες: \(12\cdot 30=360\). Με 20 «παιδιά»-εργάτες: \(x=\dfrac{360}{20}=18\) ημέρες.

Απάντηση: 18 ημέρες

Το δεύτερο «ή» της εκφώνησης διαβάζεται ως «και»: δουλεύουν μαζί 6 άνδρες και 11 παιδιά. Έτσι προκύπτει η απάντηση του βιβλίου (18 ημέρες)· μόνο οι 6 άνδρες θα χρειάζονταν \(240/6=40\) ημέρες και μόνο τα 11 παιδιά περίπου \(360/11\approx32{,}7\) ημέρες.

Πρόβλημα 14 · Ζημιά σε μεικτή πώληση υφάσματος (σελ. 41)

Εκφώνηση: Ένας έμπορος αγόρασε ύφασμα προς 420 € το μέτρο. Πούλησε τα 2/5 της ποσότητας προς 500 € το μέτρο και τα υπόλοιπα προς 350 € το μέτρο. Αν ζημιώθηκε 5.000 €, πόσα μέτρα είχε αγοράσει;

Λύση:

Έστω M τα συνολικά μέτρα. Κόστος: \(420M\). Έσοδα: \(\tfrac{2}{5}M\cdot500+\tfrac{3}{5}M\cdot350=200M+210M=410M\).
Ζημιά = Κόστος − Έσοδα: \(420M-410M=10M\). Δίνεται ζημιά 5.000 €, άρα \(10M=5000\Rightarrow M=500\).

Απάντηση: 500 μέτρα

Σύνθετη Μέθοδος των Τριών

Πρόβλημα 1 · Σκάψιμο αγροκτήματος (εργάτες-ημέρες-στρέμματα) (σελ. 45)

Εκφώνηση: Δεκαέξι εργάτες σε δώδεκα ημέρες σκάβουν ένα αγρόκτημα είκοσι τεσσάρων στρεμμάτων. Σε πόσες ημέρες είκοσι εργάτες θα σκάψουν αγρόκτημα δέκα στρεμμάτων;

Λύση:

Εργάτες-ημέρες ανά στρέμμα: \(\dfrac{16\cdot 12}{24}=8\) εργατο-ημέρες/στρέμμα.
Για 10 στρέμματα χρειάζονται \(8\cdot 10=80\) εργατο-ημέρες· με 20 εργάτες: \(x=\dfrac{80}{20}=4\) ημέρες.

Απάντηση: 4 ημέρες

Πρόβλημα 2 · Ψωμί για στρατιώτες (σελ. 46)

Εκφώνηση: Διακόσιοι στρατιώτες χρειάζονται 400 κιλά ψωμί, για να περάσουν 4 ημέρες. Πόσα κιλά ψωμί θα χρειαστούν 350 στρατιώτες, για να περάσουν 14 ημέρες;

Λύση:

Κατανάλωση ανά στρατιώτη-ημέρα: \(\dfrac{400}{200\cdot 4}=0{,}5\) κιλά.
Για 350 στρατιώτες επί 14 ημέρες: \(x=0{,}5\cdot 350\cdot 14=2450\) κιλά.

Απάντηση: 2.450 κιλά

Πρόβλημα 4 · Σκάψιμο με μεταβλητές ώρες εργασίας (σελ. 46)

Εκφώνηση: Δεκαπέντε εργάτες εργαζόμενοι 8 ώρες την ημέρα, σκάβουν ένα κτήμα 40 στρεμμάτων σε 40 ημέρες. Είκοσι εργάτες, εργαζόμενοι 10 ώρες την ημέρα, σε πόσες ημέρες θα σκάψουν ένα κτήμα 60 στρεμμάτων;

Λύση:

Εργατο-ώρες ανά στρέμμα: \(\dfrac{15\cdot 8\cdot 40}{40}=120\) εργατο-ώρες/στρέμμα.
Για 60 στρέμματα: \(120\cdot 60=7200\) εργατο-ώρες. Με 20 εργάτες επί 10 ώρες/ημέρα = 200 εργατο-ώρες/ημέρα.
Ημέρες: \(x=\dfrac{7200}{200}=36\) ημέρες.

Απάντηση: 36 ημέρες

Πρόβλημα 8 · Πλοίο, τρόφιμα, ναυαγοί (σελ. 46)

Εκφώνηση: Ένα πλοίο έχει πλήρωμα 140 ανδρών και τρόφιμα για 70 ημέρες. Μετά από ταξίδι 10 ημερών παρέλαβε ναυαγούς και ο χρόνος του ταξιδιού αυξήθηκε κατά 10 ημέρες. Ελαττώθηκε τότε η μερίδα κατά τα 2/5 της αρχικής. Πόσους ναυαγούς παρέλαβε;

Λύση:

Απόθεμα σε ατομο-ημέρες πλήρους μερίδας: \(140\cdot 70=9800\). Μετά από 10 ημέρες καταναλώθηκαν \(140\cdot10=1400\)· απομένουν \(9800-1400=8400\) ατομο-ημέρες πλήρους μερίδας.
Υπόλοιπες ημέρες ταξιδιού: \(70-10+10=70\). Η μερίδα μειώθηκε κατά 2/5, άρα έγινε \(3/5\) της αρχικής.
Αν N οι νέοι επιβαίνοντες (140+ναυαγοί): \(N\cdot 70\cdot\tfrac{3}{5}=8400 \Rightarrow N=\dfrac{8400}{42}=200\). Ναυαγοί = \(200-140=60\).

Απάντηση: 60 ναυαγοί

Πρόβλημα 10 · Αξία οικοπέδου (μήκος-πλάτος-αξία) (σελ. 47)

Εκφώνηση: Ένα οικόπεδο μήκους 32 μέτρων και πλάτους 30 μέτρων έχει αξία 48.000 €. Πόσο πλάτος θα είχε το οικόπεδο, αν είχε μήκος 20 μέτρα και τιμή 45.000 €;

Λύση:

Η αξία είναι ανάλογη του εμβαδού (μήκος × πλάτος): \(k=\dfrac{48000}{32\cdot 30}=50\) €/m².
Για τιμή 45.000 € και μήκος 20 m: εμβαδόν \(=45000/50=900\) m². Πλάτος \(=900/20=45\) m.

Απάντηση: 45 μέτρα

Προβλήματα Ποσοστών

Πρόβλημα 1 · Κέρδος % και συνολική είσπραξη (σελ. 56)

Εκφώνηση: Ένας έμπορος πούλησε εμπορεύματα κόστους 22.500 € με κέρδος 28%. α) Πόσα € κέρδισε και β) πόσα € εισέπραξε;

Λύση:

α) Κέρδος \(=22500\cdot 0{,}28=6300\) €.
β) Είσπραξη = Κόστος + Κέρδος \(=22500+6300=28800\) €.

Απάντηση: α) 6.300 €, β) 28.800 €

Σημείωση: το βιβλίο δίνει για το β) 28.000 €· το σωστό αποτέλεσμα είναι 22.500 + 6.300 = 28.800 €.

Πρόβλημα 2 · Ασφάλιστρα ‰ και αξία εμπορευμάτων (σελ. 56)

Εκφώνηση: Κάποιος ασφάλισε τα εμπορεύματά του, που τα μετέφερε με πλοίο, προς 4‰ και πλήρωσε 720 € για ασφάλιστρα. Ποια ήταν η αξία των εμπορευμάτων;

Λύση:

Αξία \(=\dfrac{720}{4}\cdot 1000=180.000\) €.

Απάντηση: 180.000 €

Πρόβλημα 5 · Έκπτωση και πληρωτέο ποσό (σελ. 56)

Εκφώνηση: Ένα εμπορικό κατάστημα πουλάει τα εμπορεύματά του με έκπτωση 30%. Πόσα € θα πληρώσουμε, αν αγοράσουμε εμπορεύματα αξίας 28.750 € και πόσα € θα είναι η έκπτωση;

Λύση:

Έκπτωση \(=28750\cdot 0{,}30=8625\) €.
Πληρωτέο \(=28750-8625=20125\) €.

Απάντηση: Πληρωτέο 20.125 €, έκπτωση 8.625 €

Πρόβλημα 7 · Εύρεση αξίας από ζημιά % (σελ. 56)

Εκφώνηση: Εμπόρευμα πουλήθηκε με ζημία 20% αντί 16.000 €. Πόση ήταν η αξία του εμπορεύματος;

Λύση:

Η τιμή πώλησης είναι το \(100\%-20\%=80\%\) της αρχικής αξίας.
Αξία \(=\dfrac{16000}{0{,}80}=20.000\) €.

Απάντηση: 20.000 €

Πρόβλημα 10 · Κέρδος % επί κόστους και επί τιμής πώλησης (σελ. 56)

Εκφώνηση: Έμπορος αγόρασε 5.200 μέτρα ύφασμα προς 10 € το μέτρο και πλήρωσε για μεταφορικά 500 €. Το ύφασμα πουλήθηκε προς 14 € το μέτρο. Πόσο τοις % κέρδισε: α) επί του κόστους αγοράς και β) επί της τιμής πωλήσεως;

Λύση:

Συνολικό κόστος \(=5200\cdot 10+500=52.500\) €. Συνολικά έσοδα \(=5200\cdot 14=72.800\) €. Κέρδος \(=72800-52500=20.300\) €.
α) Κέρδος % επί κόστους \(=\dfrac{20300}{52500}\cdot 100\approx 38{,}7\%\).
β) Κέρδος % επί τιμής πώλησης \(=\dfrac{20300}{72800}\cdot 100\approx 27{,}9\%\).

Απάντηση: α) 38,7%, β) 27,9%

Πρόβλημα 13 · Προμήθεια παραγγελιοδόχου και αξία πωλήσεων (σελ. 57)

Εκφώνηση: Ένας παραγγελιοδόχος, όταν πηγαίνει σε επαρχιακές πόλεις, παίρνει έξοδα εκτός έδρας 120 € την ημέρα και 2,5% προμήθεια για τα εμπορεύματα που πουλάει. Ύστερα από περιοδεία 24 ημερών πήρε για προμήθειες και έξοδα 5.880 €. Να βρεθεί η αξία των εμπορευμάτων που πούλησε.

Λύση:

Έξοδα 24 ημερών \(=120\cdot 24=2.880\) €. Προμήθεια \(=5880-2880=3.000\) €.
Αξία εμπορευμάτων \(=\dfrac{3000}{0{,}025}=120.000\) €.

Απάντηση: 120.000 €

Πρόβλημα 16 · Μεικτή πώληση σιταριού με τρία ποσοστά (σελ. 57)

Εκφώνηση: Έμπορος αγόρασε μια ποσότητα σιταριού. Στην αρχή πούλησε το ένα τέταρτο της ποσότητας με κέρδος 5%. Έπειτα πούλησε άλλο ένα τέταρτο με κέρδος 15% και το υπόλοιπο με ζημία 4,67%. Από την πώληση κέρδισε 5.000 €. Πόσο του κόστισε η αγορά;

Λύση:

Έστω C το συνολικό κόστος. Έσοδα \(=\tfrac14 C\cdot 1{,}05+\tfrac14 C\cdot 1{,}15+\tfrac12 C\cdot(1-0{,}0467)\).
Έσοδα \(=C\left(0{,}2625+0{,}2875+0{,}47665\right)=1{,}02665\,C\).
Κέρδος \(=\) Έσοδα \(-\,C=0{,}02665\,C=5000 \Rightarrow C\approx 187.617\) €.

Απάντηση: ≈ 187.617 €

Πρόβλημα 19 · Κέρδος % σε αγορά υφάσματος με μεταφορικά (σελ. 58)

Εκφώνηση: Έμπορος αγόρασε 1.200 μέτρα ύφασμα προς 5,8 € το μέτρο και πλήρωσε για μεταφορικά 20 €. Το ύφασμα πουλήθηκε προς 7,2 € το μέτρο. Να βρεθεί πόσο τοις % κέρδισε: α) επί του κόστους αγοράς και β) επί της τιμής πωλήσεως.

Λύση:

Κόστος \(=1200\cdot 5{,}8+20=6.980\) €. Έσοδα \(=1200\cdot 7{,}2=8.640\) €. Κέρδος \(=8640-6980=1.660\) €.
α) Επί κόστους: \(\dfrac{1660}{6980}\cdot 100\approx 23{,}78\%\).
β) Επί τιμής πώλησης: \(\dfrac{1660}{8640}\cdot 100\approx 19{,}21\%\).

Απάντηση: α) ≈23,78%, β) ≈19,21%