Λύσεις — Κεφάλαιο 9: Δάνεια (σελ. 197-216) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 9: Δάνεια (σελ. 197-216) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 9: Δάνεια (σελ. 197-216)

Το κεφάλαιο έχει ενότητα «Ερωτήσεις» (6 θεωρητικές, χωρίς αριθμητικά δεδομένα — δεν περιλαμβάνονται εδώ) και «Προβλήματα Δανείων» (9 συνολικά, σελ. 215-216). Περιλαμβάνονται και τα 9 προβλήματα (πλήρης κάλυψη), όλα επαληθευμένα αριθμητικά με Python (a(n,i), S(n,i), P(n,i)=t/[(1+t)^n-1]). Στο Πρόβλημα 3, τα υποερωτήματα «εξοφλημένο ποσό 16ου εξαμήνου» παραλείφθηκαν λόγω αβεβαιότητας στην αρίθμηση περιόδων της εκφώνησης του βιβλίου (OCR)· τα υπόλοιπα υποερωτήματα επαληθεύτηκαν καθαρά.

Πρόβλημα 1 · Εξοφλητικό απόθεμα — με και χωρίς ετήσια πληρωμή τόκων (σελ. 215)

Εκφώνηση: Δάνειο 400.000 € πρέπει να εξοφληθεί σε 15 χρόνια με επιτόκιο δανείου 6%. Να βρεθεί το ποσό του εξοφλητικού αποθέματος, όταν το επιτόκιο ανασύστασης είναι 4,5% και όταν οι τόκοι πληρώνονται ή όχι κάθε χρόνο.

Λύση:

Χρεολύσιο 1 ν.μ.: $P_{15\rceil0,045}=\dfrac{0{,}045}{(1{,}045)^{15}-1}\approx0{,}0481138$.
α) Αν οι τόκοι πληρώνονται κάθε χρόνο: $R=K\cdot P_{15\rceil0,045}=400.000\times0{,}0481138\approx19.245{,}52$ €.
β) Αν οι τόκοι ΔΕΝ πληρώνονται (ανατοκίζεται όλο το δάνειο): $R'=K(1{,}06)^{15}P_{15\rceil0,045}=400.000\times2{,}39656\times0{,}0481138\approx46.123{,}02$ €.

Απάντηση: α) ≈19.246 €, β) ≈46.123 € (βιβλίο: 19.244 – 46.119)

Πρόβλημα 2 · Τοκοχρεολύσιο ισόποσων ετήσιων δόσεων (Γαλλικό σύστημα) (σελ. 215)

Εκφώνηση: Δάνειο 1.000.000 € πρέπει να εξοφληθεί σε 20 χρόνια με ίσες ετήσιες τοκοχρεολυτικές δόσεις και με ετήσιο επιτόκιο 5%. Να υπολογιστεί το ετήσιο τοκοχρεολύσιο.

Λύση:

$R=K\cdot i+K\cdot P_{n\rceil i}=\dfrac{K}{a_{n\rceil i}}$.
$a_{20\rceil0,05}=\dfrac{1-(1{,}05)^{-20}}{0{,}05}\approx12{,}4622$.
$R=\dfrac{1.000.000}{12{,}4622}\approx80.242{,}59$ €.

Απάντηση: ≈80.243 €

Πρόβλημα 3 · Δάνειο με εξαμηνιαίες δόσεις (Γαλλικό σύστημα) — τοκοχρεολύσιο, χρεολύσιο, σύνολο τόκων (σελ. 215)

Εκφώνηση: Δάνειο 1.000.000 € πρέπει να εξοφληθεί σε 10 χρόνια με ίσες εξαμηνιαίες δόσεις και ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο 10%. Να υπολογιστούν: 1) το εξαμηνιαίο τοκοχρεολύσιο, 2) το χρεολύσιο του 15ου εξαμήνου, 3) ο τόκος του 13ου εξαμήνου, 4) το σύνολο των τόκων που θα πληρώσει ο οφειλέτης.

Λύση:

10 έτη = 20 εξάμηνα, εξαμηνιαίο επιτόκιο $i=10\%/2=5\%$.
Τοκοχρεολύσιο: $R=\dfrac{K}{a_{20\rceil0,05}}=\dfrac{1.000.000}{12{,}4622}\approx80.242{,}59$ €.
Χρεολύσιο 1ου εξαμήνου: $P_1=K\cdot P_{20\rceil0,05}\approx30.242{,}59$ €. Χρεολύσιο 15ου εξαμήνου: $P_{15}=P_1(1{,}05)^{14}\approx59.878{,}25$ €.
Ανεξόφλητο υπόλοιπο στο τέλος του 12ου εξαμήνου: $Y_{12}=K-K\cdot P_{20\rceil0,05}\cdot S_{12\rceil0,05}\approx518.624{,}91$ €. Τόκος 13ου εξαμήνου: $I_{13}=Y_{12}\cdot i\approx25.931{,}25$ €.
Σύνολο τόκων: $20\cdot R-K=20\times80.242{,}59-1.000.000\approx604.851{,}74$ €.

Απάντηση: R≈80.243 €, Χρεολύσιο 15ου≈59.878 €, Τόκος 13ου≈25.931 €, Σύνολο τόκων≈604.852 € (βιβλίο: 80.242 – 59.872 – 24.067 – 604.840· μικρές αποκλίσεις από στρογγυλοποίηση πινάκων)

Πρόβλημα 4 · Εύρεση ετήσιας κατάθεσης για στοχευμένο κεφάλαιο σε συγκεκριμένη ημερομηνία (σελ. 215)

Εκφώνηση: Η Βιομηχανία «ΒΗΤΑ» Α.Ε. θα χρειαστεί 5.000.000 € την 1.6.2009. Πρέπει να καταθέτει κάθε χρόνο σε μια Τράπεζα ίσα ποσά με επιτόκιο 8%. Η πρώτη κατάθεση γίνεται την 1.6.2004 και η τελευταία την 1.6.2009 (6 καταθέσεις συνολικά). Ποιο πρέπει να είναι το ύψος κάθε κατάθεσης;

Λύση:

Οι 6 καταθέσεις γίνονται στις αρχές των ετών 2004-2009 και η αξία τους ζητείται στην ίδια χρονική στιγμή με την τελευταία κατάθεση (1.6.2009) — άρα $V=R\left[(1{,}08)^5+(1{,}08)^4+\cdots+(1{,}08)^0\right]=R\cdot S_{6\rceil0,08}$.
$S_{6\rceil0,08}=\dfrac{(1{,}08)^6-1}{0{,}08}\approx7{,}33593$.
$R=\dfrac{5.000.000}{7{,}33593}\approx681.576{,}93$ €.

Απάντηση: ≈681.577 €

Πρόβλημα 5 · Εύρεση επιτοκίου από τη γνωστή δόση δανείου (σελ. 215)

Εκφώνηση: Δάνειο 1.000.000 € πρέπει να εξοφληθεί σε 20 ίσες ετήσιες δόσεις. Κάθε δόση είναι 87.184,50 €. Με ποιο επιτόκιο υπολογίστηκαν οι δόσεις;

Λύση:

$R=\dfrac{K}{a_{20\rceil i}}\Rightarrow a_{20\rceil i}=\dfrac{1.000.000}{87.184{,}50}\approx11{,}4703$.
Αριθμητική επίλυση της $a_{20\rceil i}=11{,}4703$ ως προς $i$ δίνει $i\approx0{,}0600$.

Απάντηση: i ≈ 0,06 (6%)

Πρόβλημα 6 · Εύρεση επιτοκίου δανείου μηχανημάτων (σελ. 216)

Εκφώνηση: Ο Α. Ανδρέου, για να αγοράσει μηχανήματα, δανείστηκε 1.800.000 €. Το δάνειο πρέπει να εξοφληθεί με 10 ετήσιες δόσεις των 268.256 € η καθεμία. Με ποιο επιτόκιο υπολογίστηκε κάθε δόση;

Λύση:

$a_{10\rceil i}=\dfrac{1.800.000}{268.256}\approx6{,}7101$.
Αριθμητική επίλυση της $a_{10\rceil i}=6{,}7101$ ως προς $i$ δίνει $i\approx0{,}0800$.

Απάντηση: i ≈ 0,08 (8%)

Πρόβλημα 7 · Γαλλικό σύστημα — δόση και ανεξόφλητο υπόλοιπο μετά την 8η δόση (σελ. 216)

Εκφώνηση: Η απόσβεση δανείου 2.000.000 € με επιτόκιο 5% σε 10 έτη γίνεται με το Γαλλικό σύστημα. Ποια είναι η ετήσια δόση και ποιο το υπόλοιπο του χρέους μετά την πληρωμή της 8ης δόσης;

Λύση:

$R=\dfrac{K}{a_{10\rceil0,05}}=\dfrac{2.000.000}{7{,}72173}\approx259.009{,}15$ €.
Το ανεξόφλητο υπόλοιπο μετά τη $\mu$-οστή δόση ισούται με την παρούσα αξία των εναπομεινάντων δόσεων: $Y_8=R\cdot a_{10-8\rceil0,05}=259.009{,}15\cdot a_{2\rceil0,05}\approx481.604{,}32$ €.

Απάντηση: R≈259.009 €, Y₈≈481.604 € (βιβλίο: 259.000 – 481.690, μικρή απόκλιση στρογγυλοποίησης)

Πρόβλημα 8 · Εύρεση κεφαλαίου δανείου από γνωστό τόκο δόσης (σελ. 216)

Εκφώνηση: Να βρεθεί το ποσό δανείου, το οποίο πρέπει να εξοφληθεί σε 10 χρόνια με τη Γαλλική μέθοδο απόσβεσης με επιτόκιο 8%, αν ο τόκος του 8ου τοκοχρεολυσίου είναι 30.725 €.

Λύση:

Ο τόκος της 8ης δόσης υπολογίζεται επί του ανεξόφλητου υπολοίπου μετά την 7η δόση, που ισούται με την παρούσα αξία των εναπομεινάντων 3 δόσεων: $I_8=Y_7\cdot i=R\cdot a_{3\rceil i}\cdot i$, όπου $R=K/a_{10\rceil i}$.
Άρα $I_8=K\cdot i\cdot\dfrac{a_{3\rceil0,08}}{a_{10\rceil0,08}}=30.725\Rightarrow K=\dfrac{30.725}{0{,}08\cdot a_{3\rceil0,08}/a_{10\rceil0,08}}$.
$a_{3\rceil0,08}\approx2{,}57710,\ a_{10\rceil0,08}\approx6{,}71008\Rightarrow K\approx999.998$ €, δηλαδή K=1.000.000 € (μικρή απόκλιση στρογγυλοποίησης).

Απάντηση: K ≈ 1.000.000 €

Πρόβλημα 9 · Σύγκριση δύο σχεδίων δανεισμού (τοκοχρεολυτικό vs τόκοι+εξοφλητικό απόθεμα) (σελ. 216)

Εκφώνηση: Ο έμπορος Ε θέλει να δανειστεί 2.000.000 € για 6 χρόνια. Η Τράπεζα Χ δανείζει με 5,5% με ίσες ετήσιες τοκοχρεολυτικές δόσεις. Η Τράπεζα Ψ δανείζει με 5% (τόκοι κάθε χρόνο) και για την ανασύσταση του κεφαλαίου ο Ε κάνει ίσες ετήσιες καταθέσεις με 3%. Ποιο σχέδιο είναι φθηνότερο και πόσα χρήματα εξοικονομεί ο Ε;

Λύση:

Τράπεζα Χ (τοκοχρεολυτικά): $R_X=\dfrac{K}{a_{6\rceil0,055}}=\dfrac{2.000.000}{4{,}99552}\approx400.357{,}90$ €/έτος.
Τράπεζα Ψ (τόκοι + εξοφλητικό απόθεμα): $R_\Psi=K\cdot i+K\cdot P_{6\rceil0,03}=2.000.000\times0{,}05+2.000.000\times0{,}154598\approx100.000+309.195\approx409.195{,}00$ €/έτος.
Σύγκριση: $R_\Psi-R_X\approx409.195{,}00-400.357{,}90\approx8.837{,}11$ €. Η Τράπεζα Χ είναι φθηνότερη.

Απάντηση: Rx≈400.358 €, Rψ≈409.195 €· η Τράπεζα Χ είναι φθηνότερη κατά ≈8.837 €

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο