Λύσεις — Κεφάλαιο 8: Ράντες (σελ. 171-196) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 8: Ράντες (σελ. 171-196)

Το κεφάλαιο έχει ενότητα «Ερωτήσεις» (7 θεωρητικές, χωρίς αριθμητικά δεδομένα — δεν περιλαμβάνονται εδώ ως lyseis) και «Προβλήματα Ραντών» (14 συνολικά, σελ. 194-196). Επιλέχθηκαν 11 προβλήματα (#1,2,3,5,7,8,9,10,11,12,13 της αρίθμησης του βιβλίου) που καλύπτουν όλους τους τύπους της ενότητας (παρούσα/τελική αξία, ληξιπρόθεσμη/προκαταβλητέα, εύρεση όρου/επιτοκίου/πλήθους όρων, δύο-φάσεων προβλήματα), όλα πλήρως επαληθευμένα αριθμητικά με Python (ακριβής υπολογισμός των τύπων a(n,i), S(n,i)). Εξαιρέθηκαν #4,6,14 του βιβλίου λόγω αυξημένης πολυπλοκότητας στα δεδομένα ηλικίας/ημερομηνιών που δεν επέτρεψε αξιόπιστη ανεξάρτητη ανακατασκευή εντός εύλογου ορίου απόκλισης από τη δοθείσα απάντηση του βιβλίου.

Πρόβλημα 1 · Τελική αξία προκαταβλητέας ράντας — έτη+μήνες (σελ. 194)

Εκφώνηση: Καταθέτει κάποιος στην αρχή κάθε εξαμήνου 10.000 € με εξαμηνιαίο επιτόκιο 5%. Τι ποσό θα έχει συσσωρευτεί στο ταμιευτήριο μετά 7 έτη και 6 μήνες από την πρώτη κατάθεση;

Λύση:

• 7 έτη και 6 μήνες = 15 εξάμηνα. Οι καταθέσεις γίνονται στην αρχή κάθε εξαμήνου, άρα πρόκειται για προκαταβλητέα ράντα n=15 όρων του 10.000€, με i=0,05, και ζητείται η τελική της αξία 15 εξάμηνα μετά την πρώτη κατάθεση.
• Τελική αξία προκαταβλητέας ράντας: \(V_{τελ.}=R\cdot S_{n\rceil i}(1+i)\).
• \(S_{15\rceil0,05}=\dfrac{(1{,}05)^{15}-1}{0{,}05}\approx21{,}5786\).
• \(V_{τελ.}=10.000\cdot21{,}5786\cdot1{,}05\approx226.574{,}92\) €.

Απάντηση: ≈226.575 €

Πρόβλημα 2 · Τελική αξία ληξιπρόθεσμης ράντας — έλεγχος σταδιακής κατάθεσης (σελ. 194)

Εκφώνηση: Κάποιος πατέρας, μόλις η κόρη του συμπλήρωσε το 10ο έτος της ηλικίας της, άρχισε να καταθέτει με ανατοκισμό στην Τράπεζα Τ στο τέλος κάθε χρόνου 100.000 € με ετήσιο επιτόκιο 5,5%. Τι ποσό θα εισπράξει η κόρη του, όταν θα έχει συμπληρώσει το 30ό έτος της ηλικίας της;

Λύση:

• Οι καταθέσεις γίνονται στο τέλος κάθε έτους, από το 11ο έτος (τέλος) έως το 30ό έτος της κόρης — δηλαδή n=20 όροι ληξιπρόθεσμης ράντας των 100.000 €, i=0,055, και η εποχή υπολογισμού (30ό έτος) συμπίπτει με το τέλος της ράντας — άμεση ράντα.
• \(V_{τελ.}=R\cdot S_{n\rceil i}=100.000\cdot S_{20\rceil0,055}\).
• \(S_{20\rceil0,055}=\dfrac{(1{,}055)^{20}-1}{0{,}055}\approx34{,}8683\).
• \(V_{τελ.}=100.000\cdot34{,}8683\approx3.486.831{,}80\) €.

Απάντηση: ≈3.486.832 €

Πρόβλημα 3 · Τελική αξία ράντας με δεύτερη φάση απλού ανατοκισμού (σελ. 195)

Εκφώνηση: Καταθέτει κάποιος στο τέλος κάθε χρόνου 200.000 € με ετήσιο επιτόκιο 4,5%, και αυτό συνεχίζεται επί 12 έτη. Το κεφάλαιο που έχει σχηματιστεί στο τέλος του 12ου έτους το τοποθετεί στο ίδιο ταμιευτήριο με ανατοκισμό με ετήσιο επιτόκιο 5,5%. Τι ποσό θα εισπράξει ο καταθέτης στο τέλος του 24ου έτους από την αρχική κατάθεση;

Λύση:

• ΦΑΣΗ 1 — Τελική αξία ληξιπρόθεσμης ράντας 12 όρων: \(V_{12}=200.000\cdot S_{12\rceil0,045}\).
• \(S_{12\rceil0,045}=\dfrac{(1{,}045)^{12}-1}{0{,}045}\approx15{,}4640\Rightarrow V_{12}\approx3.092.806{,}37\) €.
• ΦΑΣΗ 2 — Το ποσό αυτό ανατοκίζεται (χωρίς νέες καταθέσεις) για ακόμη 12 έτη με i=0,055: \(V_{24}=V_{12}\cdot(1{,}055)^{12}\approx3.092.806{,}37\times1{,}9012\approx5.880.066{,}62\) €.

Απάντηση: ≈5.880.067 € (βιβλίο: 5.880.074 €, απόκλιση <0,001% από στρογγυλοποίηση ενδιάμεσων συντελεστών)

Πρόβλημα 4 · Τελική αξία προκαταβλητέας ράντας — τριμηνιαία (σελ. 195)

Εκφώνηση: Ο υπάλληλος Υ καταθέτει στην Τράπεζα Τ στην αρχή κάθε τριμήνου 50.000 € με τριμηνιαίο επιτόκιο 2¾%. Τι ποσό θα εμφανίζει ο λογαριασμός του Υ μετά 4 έτη από την πρώτη κατάθεση;

Λύση:

• 4 έτη = 16 τρίμηνα. Καταθέσεις στην αρχή κάθε τριμήνου ⇒ προκαταβλητέα ράντα n=16 όρων, i=0,0275.
• \(V_{τελ.}=R\cdot S_{n\rceil i}(1+i)=50.000\cdot S_{16\rceil0,0275}\cdot1{,}0275\).
• \(S_{16\rceil0,0275}=\dfrac{(1{,}0275)^{16}-1}{0{,}0275}\approx19{,}7663\Rightarrow V_{τελ.}\approx50.000\times19{,}7663\times1{,}0275\approx1.015.374{,}45\) €.

Απάντηση: ≈1.015.374 €

Πρόβλημα 5 · Εύρεση της ετήσιας δόσης (όρου) από ζητούμενη τελική αξία (σελ. 195)

Εκφώνηση: Η βιομηχανία «ΒΗΤΑ» θέλει να αντικαταστήσει τον μηχανικό εξοπλισμό της μετά 10 έτη από σήμερα και πρέπει να έχει συγκεντρώσει 12.000.000 €. Τι ποσό πρέπει να καταθέτει (με ανατοκισμό) στο τέλος κάθε χρόνου, έτσι ώστε στο τέλος του 10ου έτους να έχει συγκεντρωθεί το απαιτούμενο ποσό, αν το ετήσιο επιτόκιο είναι 8%;

Λύση:

• Ζητείται ο όρος $R$ ληξιπρόθεσμης ράντας 10 όρων, με γνωστή την τελική αξία: \(V_{τελ.}=R\cdot S_{n\rceil i}\Rightarrow R=\dfrac{V_{τελ.}}{S_{n\rceil i}}\).
• \(S_{10\rceil0,08}=\dfrac{(1{,}08)^{10}-1}{0{,}08}\approx14{,}4866\).
• \(R=\dfrac{12.000.000}{14{,}4866}\approx828.353{,}86\) €.

Απάντηση: ≈828.354 €

Πρόβλημα 6 · Εύρεση ετήσιας δόσης δανείου — παρούσα αξία ράντας (σελ. 195)

Εκφώνηση: Ο Α δανείστηκε 400.000 € με ανατοκισμό, ετήσιο επιτόκιο 10%. Το δάνειο πρέπει να εξοφληθεί με 10 ετήσιες δόσεις, καταβαλλόμενες στο τέλος κάθε χρόνου. Να υπολογιστεί η ετήσια δόση.

Λύση:

• Το δανεισμένο κεφάλαιο ισούται με την παρούσα αξία ληξιπρόθεσμης ράντας 10 όρων (των ίσων δόσεων): \(400.000=R\cdot a_{10\rceil0,10}\Rightarrow R=\dfrac{400.000}{a_{10\rceil0,10}}\).
• \(a_{10\rceil0,10}=\dfrac{1-(1{,}10)^{-10}}{0{,}10}\approx6{,}1446\).
• \(R=\dfrac{400.000}{6{,}1446}\approx65.098{,}16\) €.

Απάντηση: ≈65.098 €

Πρόβλημα 7 · Εύρεση επιτοκίου από γνωστή δόση και παρούσα αξία (σελ. 196)

Εκφώνηση: Χρέος 900.000 € εξοφλείται με ετήσια ληξιπρόθεσμη ράντα 20 όρων. Ο ετήσιος όρος είναι 75.000 €. Να βρεθεί το επιτόκιο υπολογισμού.

Λύση:

• \(900.000=75.000\cdot a_{20\rceil i}\Rightarrow a_{20\rceil i}=12\).
• Η εξίσωση \(\dfrac{1-(1+i)^{-20}}{i}=12\) δεν λύνεται αλγεβρικά ως προς $i$· λύνεται με αριθμητική μέθοδο (διαδοχικές δοκιμές / γραμμική παρεμβολή στους Πίνακες, ή αριθμητικά με υπολογιστή).
• Αριθμητική επίλυση (bisection): $i\approx0{,}05450$.

Απάντηση: i ≈ 0,0545 (βιβλίο: 0,0546)

Πρόβλημα 8 · Εύρεση επιτοκίου — δάνειο με εξαμηνιαίες καταθέσεις (σελ. 196)

Εκφώνηση: Η βιομηχανία «ΔΕΛΤΑ», για την αγορά σύγχρονου μηχανικού εξοπλισμού, δανείστηκε από την Ε.Τ.Β.Α. 60.000.000 €. Για την εξόφληση του δανείου συμφωνήθηκε να καταθέτει η «ΔΕΛΤΑ» στο ταμιευτήριο της Ε.Τ.Β.Α. 5.000.000 € με ανατοκισμό, στο τέλος κάθε εξαμήνου, επί 10 έτη, ώστε να έχει εξοφληθεί το δάνειο. Με ποιο εξαμηνιαίο επιτόκιο υπολογίστηκε η εξαμηνιαία δόση;

Λύση:

• 10 έτη = 20 εξάμηνα. Το δανεισμένο κεφάλαιο ισούται με την παρούσα αξία ληξιπρόθεσμης ράντας 20 όρων των 5.000.000 €: \(60.000.000=5.000.000\cdot a_{20\rceil i}\Rightarrow a_{20\rceil i}=12\).
• Ίδια εξίσωση με το προηγούμενο πρόβλημα (ο λόγος κεφαλαίου/όρου είναι και εδώ 12) — αριθμητική επίλυση δίνει $i\approx0{,}05450$.

Απάντηση: i ≈ 5,45%

Πρόβλημα 9 · Εύρεση διάρκειας αναλήψεων μετά από φάση ανατοκισμού (σελ. 196)

Εκφώνηση: Κατέθεσε κάποιος με ανατοκισμό 100.000 € για 8 χρόνια και 3 μήνες με ετήσιο επιτόκιο 4%. Μετά τη λήξη του ανατοκισμού άρχισε να αποσύρει κάθε χρόνο (στο τέλος) 20.000 €. Επί πόσα έτη θα συνεχίσει τις αναλήψεις, ώσπου να αποσύρει ολόκληρο το ποσό;

Λύση:

• ΦΑΣΗ 1 — Τελικό κεφάλαιο μετά τον απλό ανατοκισμό (έτη+μήνες): \(K=100.000\cdot(1{,}04)^8\cdot(1{,}04)^{3/12}\approx138.205{,}41\) €.
• ΦΑΣΗ 2 — Το $K$ γίνεται η παρούσα αξία μιας ληξιπρόθεσμης ράντας $n$ όρων των 20.000 €: \(K=20.000\cdot a_{n\rceil0,04}\Rightarrow a_{n\rceil0,04}=6{,}9103\).
• Λύνοντας ως προς $n$: \(n=-\dfrac{\ln(1-i\cdot a)}{\ln(1+i)}=-\dfrac{\ln(1-0{,}04\times6{,}9103)}{\ln(1{,}04)}\approx8{,}25\) έτη.

Απάντηση: n ≈ 8,25 έτη

Πρόβλημα 10 · Εύρεση διάρκειας εξόφλησης δανείου με ισόποσες δόσεις (σελ. 196)

Εκφώνηση: Ο κτηματίας Κ αγόρασε αγροτικά μηχανήματα αξίας 540.000 € και δανείστηκε το ποσό αυτό. Συμφωνήθηκε να εξοφληθεί το δάνειο με ίσες ετήσιες ληξιπρόθεσμες δόσεις των 40.000 € με ετήσιο επιτόκιο 6%. Ύστερα από πόσα χρόνια θα εξοφληθεί το δάνειο;

Λύση:

• \(540.000=40.000\cdot a_{n\rceil0,06}\Rightarrow a_{n\rceil0,06}=13{,}5\).
• \(n=-\dfrac{\ln(1-0{,}06\times13{,}5)}{\ln(1{,}06)}\approx28{,}50\) έτη.
• Ο δεκαδικός όρος τακτοποιείται πρακτικά με μια μικρότερη τελευταία δόση στο 29ο έτος, ώστε η παρούσα αξία της να εξισώνεται με το υπόλοιπο κεφάλαιο.

Απάντηση: n ≈ 28,50 έτη (βιβλίο: 28,497)

Πρόβλημα 11 · Εύρεση διάρκειας αναλήψεων ανά εξάμηνο μετά από φάση προκαταβλητέας ράντας (σελ. 196)

Εκφώνηση: Καταθέτει κάποιος, επί 20 έτη, στην αρχή κάθε χρόνου 10.000 € με ετήσιο επιτόκιο 6%. Κατόπιν αρχίζει να αποσύρει 20.000 € στο τέλος κάθε εξαμήνου, με εξαμηνιαίο επιτόκιο 3%. Επί πόσα εξάμηνα θα αποσύρει τις 20.000 €;

Λύση:

• ΦΑΣΗ 1 — Τελική αξία προκαταβλητέας ράντας 20 όρων: \(V_{20}=10.000\cdot S_{20\rceil0,06}(1{,}06)\).
• \(S_{20\rceil0,06}=\dfrac{(1{,}06)^{20}-1}{0{,}06}\approx36{,}7856\Rightarrow V_{20}\approx10.000\times36{,}7856\times1{,}06\approx389.927{,}27\) €.
• ΦΑΣΗ 2 — Το $V_{20}$ γίνεται παρούσα αξία ληξιπρόθεσμης ράντας $n$ εξαμήνων των 20.000 €, i=0,03: \(a_{n\rceil0,03}=\dfrac{389.927{,}27}{20.000}\approx19{,}4964\).
• \(n=-\dfrac{\ln(1-0{,}03\times19{,}4964)}{\ln(1{,}03)}\approx29{,}74\) εξάμηνα.

Απάντηση: n ≈ 29,74 εξάμηνα (βιβλίο: 29,75 εξάμηνα ≈ 14 έτη, 10 μ., 15 ημ.)