Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Απλός Τόκος (σελ. 79-108) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Απλός Τόκος (σελ. 79-108)

4 ερωτήσεις κατανόησης (σελ. 107) + 7 από τα 11 Προβλήματα Απλού Τόκου (σελ. 108-109), όλα λυμένα με πλήρη βήματα και επαληθευμένο αριθμητικά αποτέλεσμα. Εξαιρέθηκαν 4 προβλήματα (#1, #3, #5, #11) που βασίζονται σε πίνακες ημερομηνιών με OCR-αλλοιωμένη μορφοποίηση στο πηγαίο PDF (αδύνατη η αξιόπιστη ανακατασκευή των ακριβών ημερομηνιών).

Ερώτηση 1 · Καταθέσεις ταμιευτηρίου (σελ. 107)

Εκφώνηση: Τι είναι καταθέσεις ταμιευτηρίου; Πώς γίνεται το «άνοιγμα λογαριασμού», η «κατάθεση», η «ανάληψη» και το «κλείσιμο» σε έναν λογαριασμό ταμιευτηρίου; Πώς γίνεται ο εκτοκισμός στις καταθέσεις ταμιευτηρίου;

Λύση:

• Καταθέσεις ταμιευτηρίου είναι ελεύθερες καταθέσεις σε «βιβλιάριο», όπου ο καταθέτης μπορεί ελεύθερα να καταθέτει ή να αναλαμβάνει χρήματα.
• Άνοιγμα λογαριασμού: ο πελάτης καταθέτει το πρώτο ποσό και η τράπεζα εκδίδει βιβλιάριο στο όνομά του. Κατάθεση: προσθήκη ποσού στο υπόλοιπο, καταγράφεται στο βιβλιάριο. Ανάληψη: αφαίρεση ποσού από το υπόλοιπο. Κλείσιμο: ολική ανάληψη του υπολοίπου, ο λογαριασμός παύει να υφίσταται.
• Εκτοκισμός: γίνεται συνήθως δύο φορές τον χρόνο (π.χ. 30/6 και 31/12) με απλό τόκο επί του εκάστοτε υπολοίπου, υπολογιζόμενος με τοκάριθμους ανά χρονικό τμήμα σταθερού υπολοίπου.

Απάντηση: Ελεύθερες καταθέσεις-αναλήψεις σε βιβλιάριο, με εκτοκισμό (απλό τόκο επί υπολοίπου) συνήθως δύο φορές τον χρόνο.

Ερώτηση 2 · Καταθέσεις προθεσμίας (σελ. 107)

Εκφώνηση: Τι είναι «καταθέσεις προθεσμίας»;

Λύση:

• Είναι καταθέσεις δεσμευμένου κεφαλαίου για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα (π.χ. 3, 6, 12 μήνες).
• Ο καταθέτης δεν μπορεί να αναλάβει το ποσό πριν τη λήξη της προθεσμίας (ή χάνει μέρος του τόκου αν το κάνει)· σε αντάλλαγμα της δέσμευσης, το επιτόκιο είναι συνήθως υψηλότερο από αυτό των καταθέσεων ταμιευτηρίου.

Απάντηση: Δεσμευμένο κεφάλαιο για συγκεκριμένο χρόνο, με υψηλότερο επιτόκιο έναντι της δέσμευσης.

Ερώτηση 3 · Κοινός λογαριασμός (σελ. 107)

Εκφώνηση: Τι είναι «καταθέσεις σε κοινό λογαριασμό»;

Λύση:

• Είναι λογαριασμός καταθέσεων με περισσότερους του ενός δικαιούχους (π.χ. σύζυγοι, συγγενείς, συνέταιροι).
• Συνήθως κάθε συνδικαιούχος μπορεί να κινεί (καταθέτει/αναλαμβάνει) μόνος του τον λογαριασμό, χωρίς να χρειάζεται τη συναίνεση των άλλων, εκτός αν έχει οριστεί διαφορετικά.

Απάντηση: Λογαριασμός καταθέσεων με περισσότερους του ενός δικαιούχους, ο καθένας από τους οποίους μπορεί συνήθως να τον κινεί μόνος του.

Ερώτηση 4 · Τρεχούμενοι λογαριασμοί (σελ. 107)

Εκφώνηση: Τι είναι «τρεχούμενοι λογαριασμοί καταθέσεων»;

Λύση:

• Είναι λογαριασμοί όψεως, κυρίως επιχειρήσεων, με συχνές καταθέσεις-αναλήψεις για τις τρέχουσες συναλλαγές τους.
• Έχουν συνήθως χαμηλότερο (ή και μηδενικό) επιτόκιο σε σχέση με τις καταθέσεις ταμιευτηρίου ή προθεσμίας, αφού προτεραιότητά τους είναι η ρευστότητα και όχι η απόδοση.

Απάντηση: Λογαριασμοί όψεως (συνήθως επιχειρήσεων) με συχνή κίνηση και χαμηλό ή μηδενικό επιτόκιο.

Πρόβλημα 2 · Κεφάλαιο από συνολικό τόκο δύο περιόδων με διαφορετικά επιτόκια (σελ. 108)

Εκφώνηση: Τόκισε κάποιος (με απλό τόκο) ένα χρηματικό ποσό πριν από έξι χρόνια. Τα δύο πρώτα χρόνια ο τόκος υπολογίστηκε με 5% και τα υπόλοιπα χρόνια με 7%. Στο τέλος των 6 ετών εισέπραξε για τόκους και κεφάλαιο 138.000 €. Ποιο ήταν το κεφάλαιο που τοκίστηκε;

Λύση:

• Συνολικός τόκος: \(I=K_0\cdot2\cdot0{,}05+K_0\cdot4\cdot0{,}07=K_0(0{,}10+0{,}28)=0{,}38\,K_0\).
• Τελικό κεφάλαιο: \(K_0+I=K_0\cdot1{,}38=138.000 \Rightarrow K_0=100.000\) €.

Απάντηση: 100.000 €

Πρόβλημα 4 · Εύρεση αρχικού κεφαλαίου από αλυσίδα τοκισμού-επένδυσης (σελ. 108)

Εκφώνηση: Ο έμπορος Ε κατέθεσε σε τράπεζα ποσό X με απλό τόκο 12%. Ύστερα από 27 μήνες απέσυρε το συγκεντρωμένο ποσό και αγόρασε ομόλογα με ετήσιο τόκο 15%. Αν το ετήσιο εισόδημα από τα ομόλογα είναι 19.050 €, να βρεθεί το ποσό X.

Λύση:

• Ποσό μετά από 27 μήνες κατάθεσης: \(X\left(1+\dfrac{27}{12}\cdot0{,}12\right)=X(1+0{,}27)=1{,}27X\).
• Αυτό το ποσό αποφέρει ετήσιο εισόδημα 15%: \(0{,}15\cdot1{,}27X=19.050\).
• \(1{,}27X=19050/0{,}15=127.000 \Rightarrow X=100.000\) €.

Απάντηση: 100.000 €

Πρόβλημα 6 · Εύρεση επιτοκίου απόδοσης ακινήτου (σελ. 108)

Εκφώνηση: Ο εισοδηματίας Ε αγόρασε ακίνητο αξίας 9.000.000 €, επιβαρημένο με ενυπόθηκο δάνειο 3.000.000 € με 10% τον χρόνο. Ο ετήσιος φόρος είναι 60.000 € και για επισκευές απαιτούνται 40.000 €. Αν το ετήσιο ενοίκιο είναι 1.300.000 €, με ποιο επιτόκιο τοκίζεται το κεφάλαιο που αντιπροσωπεύει το ακίνητο;

Λύση:

• Ετήσιος τόκος ενυπόθηκου δανείου: \(3.000.000\cdot0{,}10=300.000\) €.
• Καθαρό ετήσιο εισόδημα ακινήτου: \(1.300.000-60.000-40.000-300.000=900.000\) €.
• Επιτόκιο απόδοσης επί της συνολικής αξίας: \(i=\dfrac{900.000}{9.000.000}=0{,}10=10\%\).

Απάντηση: i = 10%

Πρόβλημα 7 · Εύρεση ημέρας αλλαγής επιτοκίου δανείου (σελ. 108)

Εκφώνηση: Δάνεισε κάποιος, με απλό τόκο, 24.000 €. Το επιτόκιο συμφωνήθηκε αρχικά 5% και ύστερα από μερικές ημέρες έγινε 4%. Ύστερα από πόσες ημέρες (από την αρχή) άλλαξε το επιτόκιο, αν το σύνολο των τόκων στο τέλος του έτους ήταν 1.010 €; (Έτος μεικτό.)

Λύση:

• Έστω $d$ οι ημέρες με 5%· οι υπόλοιπες $(360-d)$ ημέρες με 4% (έτος μεικτό = 360 ημέρες).
• \(I=\dfrac{24000\cdot d\cdot0{,}05}{360}+\dfrac{24000\cdot(360-d)\cdot0{,}04}{360}=1.010\).
• \(\dfrac{24000}{360}\left(0{,}05d+0{,}04(360-d)\right)=1010 \Rightarrow 66{,}667(0{,}01d+14{,}4)=1010\).
• \(0{,}01d+14{,}4=15{,}15 \Rightarrow 0{,}01d=0{,}75 \Rightarrow d=75\) ημέρες.

Απάντηση: 75 ημέρες

Πρόβλημα 8 · Κεφάλαιο δανεισμένο σε δύο τμήματα με διαφορετικό επιτόκιο και χρόνο (σελ. 108)

Εκφώνηση: Δάνεισε κάποιος ένα χρηματικό ποσό Κ. Το 1/3 του ποσού το δάνεισε για 2 χρόνια και 4 μήνες με 8%, και το υπόλοιπο για 3 χρόνια και 20 ημέρες με 10%, εισπράττοντας συνολικό τόκο 15.955,55 €. Να βρεθεί το ποσό Κ.

Λύση:

• Πρώτο τμήμα: \(\tfrac{K}{3}\), χρόνος \(2\tfrac{4}{12}=\tfrac{28}{12}\) έτη, επιτόκιο 8%: \(I_1=\tfrac{K}{3}\cdot\tfrac{28}{12}\cdot0{,}08\).
• Δεύτερο τμήμα: \(\tfrac{2K}{3}\), χρόνος \(3+\tfrac{20}{360}\) έτη (εμπορικό έτος), επιτόκιο 10%: \(I_2=\tfrac{2K}{3}\cdot\left(3+\tfrac{20}{360}\right)\cdot0{,}10\).
• \(I_1+I_2=15.955{,}55\). Αντικαθιστώντας \(K=60.000\): \(I_1=3.733{,}33\), \(I_2=12.222{,}22\), άθροισμα \(=15.955{,}55\) ✓.

Απάντηση: 60.000 €

Πρόβλημα 9 · Εύρεση κεφαλαίου από διαφορά τόκων δύο τμημάτων (σελ. 108)

Εκφώνηση: Ο έμπορος Ε τόκισε το 1/6 του κεφαλαίου του με 9% και το υπόλοιπο με 2%. Το δεύτερο τμήμα του κεφαλαίου έφερε ετήσιο τόκο 300 € περισσότερο από το πρώτο. Ποιο ήταν το κεφάλαιο που τόκισε ο Ε;

Λύση:

• Πρώτο τμήμα \(=\tfrac{K}{6}\), τόκος \(I_1=\tfrac{K}{6}\cdot0{,}09=0{,}015K\). Δεύτερο τμήμα \(=\tfrac{5K}{6}\), τόκος \(I_2=\tfrac{5K}{6}\cdot0{,}02=0{,}01\overline{6}K\).
• \(I_2-I_1=300 \Rightarrow 0{,}001\overline{6}\,K=300 \Rightarrow K=180.000\) €.

Απάντηση: 180.000 €

Πρόβλημα 10 · Εύρεση αρχικού κεφαλαίου και επιτοκίου από δύο διαδοχικές τοκοφόρες περιόδους (σελ. 108)

Εκφώνηση: Κεφάλαιο τοκίστηκε επί 10 μήνες και έγινε μαζί με τους τόκους του 12.600 €. Το τοκοκεφάλαιο 12.600 € τοκίστηκε επί 2 έτη και 6 μήνες, με το ίδιο επιτόκιο, και έγινε μαζί με τους τόκους του 14.490 €. Ποιο ήταν το αρχικό κεφάλαιο και ποιο το επιτόκιο;

Λύση:

• Από τη δεύτερη περίοδο: \(12.600(1+2{,}5\,i)=14.490 \Rightarrow 1+2{,}5i=1{,}15 \Rightarrow i=0{,}06=6\%\).
• Από την πρώτη περίοδο: \(K_0\left(1+\tfrac{10}{12}\cdot0{,}06\right)=12.600 \Rightarrow K_0\cdot1{,}05=12.600 \Rightarrow K_0=12.000\) €.

Απάντηση: Αρχικό κεφάλαιο: 12.000 €, επιτόκιο: 6%