Λύσεις — Κεφάλαιο 3: Μερισμός σε Μέρη Ανάλογα (σελ. 73-75) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 3: Μερισμός σε Μέρη Ανάλογα (σελ. 73-75)

Όλα τα 12 προβλήματα της ενότητας «Προβλήματα Μερισμού και Εταιρείας» (σελ. 73-75), λυμένα με πλήρη βήματα· όλα τα αποτελέσματα επαληθεύτηκαν αριθμητικά και ταυτίζονται με τις δοθείσες απαντήσεις του βιβλίου.

Πρόβλημα 1 · Μερισμός ημερομισθίων ανάλογα με ημέρες εργασίας (σελ. 73)

Εκφώνηση: Τρεις εργάτες εργάστηκαν με το ίδιο ημερομίσθιο· ο Α εργάστηκε 2 ημέρες, ο Β 3 ημ. και ο Γ 5 ημ. Ο εργοδότης τους έδωσε 400 € να τα μοιράσουν ανάλογα με τις ημέρες που εργάστηκε ο καθένας. Πόσα ευρώ αναλογούν στον καθένα;

Λύση:

• Μεριστέος \(M=400\), αριθμοί αναλογίας: \(2, 3, 5\), άθροισμα \(=10\).
• Α: \(400\cdot 2/10=80\) €. Β: \(400\cdot 3/10=120\) €. Γ: \(400\cdot 5/10=200\) €.
• Επαλήθευση: \(80+120+200=400\) ✓.

Απάντηση: Α: 80 €, Β: 120 €, Γ: 200 €

Πρόβλημα 2 · Μερισμός σε τέσσερις εργάτες ανάλογα με ημέρες (σελ. 74)

Εκφώνηση: Τέσσερις εργάτες έσκαψαν ένα κτήμα και πληρώθηκαν με το ίδιο ημερομίσθιο. Ο α' εργάσθηκε 6 ημέρες, ο β' 7 ημέρες, ο γ' 9 ημέρες και ο δ' 12 ημέρες. Πήραν και οι τέσσερις μαζί 1.360 €. Πόσα ευρώ αναλογούν σε κάθε εργάτη;

Λύση:

• Άθροισμα ημερών: \(6+7+9+12=34\).
• α': \(1360\cdot 6/34=240\) €. β': \(1360\cdot 7/34=280\) €. γ': \(1360\cdot 9/34=360\) €. δ': \(1360\cdot 12/34=480\) €.
• Επαλήθευση: \(240+280+360+480=1360\) ✓.

Απάντηση: α: 240 €, β: 280 €, γ: 360 €, δ: 480 €

Πρόβλημα 3 · Μερισμός κληρονομιάς αντιστρόφως ανάλογα με ηλικίες (σελ. 74)

Εκφώνηση: Θείος άφησε στους τρεις ανεψιούς του 540.000 € και όρισε στη διαθήκη του να τα μοιραστούν σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα με τις ηλικίες τους. Ο α' ήταν 18 χρονών, ο β' 12 και ο γ' 9 χρονών. Πόσα ευρώ θα πάρει ο κάθε ανεψιός;

Λύση:

• Αντιστρόφως ανάλογα των 18, 12, 9 ⇒ ανάλογα των αντιστρόφων \(\tfrac1{18}, \tfrac1{12}, \tfrac1{9}\). Ομώνυμα (ΕΚΠ=36): \(\tfrac{2}{36}, \tfrac{3}{36}, \tfrac{4}{36}\), δηλαδή ανάλογα προς 2, 3, 4 (άθροισμα 9).
• α': \(540000\cdot 2/9=120.000\) €. β': \(540000\cdot 3/9=180.000\) €. γ': \(540000\cdot 4/9=240.000\) €.
• Ο μικρότερος σε ηλικία (γ', 9 ετών) παίρνει το μεγαλύτερο μερίδιο — λογικό αφού ο μερισμός είναι αντιστρόφως ανάλογος της ηλικίας.

Απάντηση: α (18 ετών): 120.000 €, β (12 ετών): 180.000 €, γ (9 ετών): 240.000 €

Πρόβλημα 4 · Μερισμός αξίας οικοπέδου σε κλασματικά μερίδια (σελ. 74)

Εκφώνηση: Τέσσερις αδελφοί πούλησαν ένα οικόπεδο αντί 1.600.000 €. Αν στον Α ανήκε το 1/5 του οικοπέδου, στον Β τα 3/8 αυτού, στον Γ τα 3/10 και στον Δ το υπόλοιπο, πόσα χρήματα αναλογούν στον κάθε αδελφό;

Λύση:

• Δ: υπόλοιπο \(=1-\tfrac15-\tfrac38-\tfrac3{10}=\tfrac18\) (ΕΚΠ=40: \(\tfrac{40}{40}-\tfrac{8}{40}-\tfrac{15}{40}-\tfrac{12}{40}=\tfrac{5}{40}=\tfrac18\)).
• Α: \(1600000\cdot\tfrac15=320.000\) €. Β: \(1600000\cdot\tfrac38=600.000\) €. Γ: \(1600000\cdot\tfrac{3}{10}=480.000\) €. Δ: \(1600000\cdot\tfrac18=200.000\) €.
• Επαλήθευση: \(320000+600000+480000+200000=1.600.000\) ✓.

Απάντηση: Α: 320.000 €, Β: 600.000 €, Γ: 480.000 €, Δ: 200.000 €

Πρόβλημα 5 · Μερισμός με αλυσιδωτές κλασματικές σχέσεις μεριδίων (σελ. 74)

Εκφώνηση: Μοιράστηκαν 36.800 € σε 4 πτωχές οικογένειες ως εξής: Η β' πήρε τα 2/3 του μεριδίου της α', η γ' πήρε το 1/5 του μεριδίου της α' και β' μαζί και η δ' πήρε τα 4/7 του μεριδίου της γ'. Να βρεθεί το μερίδιο κάθε οικογένειας.

Λύση:

• Έστω το μερίδιο της α' \(=A\). Τότε β' \(=\tfrac23 A\), α'+β' \(=\tfrac53 A\), γ' \(=\tfrac15\cdot\tfrac53 A=\tfrac13 A\), δ' \(=\tfrac47\cdot\tfrac13 A=\tfrac{4}{21}A\).
• Άθροισμα: \(A\left(1+\tfrac23+\tfrac13+\tfrac{4}{21}\right)=A\cdot\tfrac{46}{21}=36800 \Rightarrow A=16.800\) €.
• β' \(=\tfrac23\cdot16800=11.200\) €, γ' \(=\tfrac13\cdot16800=5.600\) €, δ' \(=\tfrac{4}{21}\cdot16800=3.200\) €.

Απάντηση: α: 16.800 €, β: 11.200 €, γ: 5.600 €, δ: 3.200 €

Πρόβλημα 6 · Μερισμός περιουσίας σε οικογένεια με αλυσιδωτά κλάσματα (σελ. 74)

Εκφώνηση: Ένας πατέρας όρισε στη διαθήκη του να μοιραστεί η περιουσία του στη σύζυγό του, στην κόρη του και στον γιο του ως εξής: Η κόρη του να πάρει τα 3/4 του μεριδίου της συζύγου και ο γιος τα 3/5 της κόρης. Αν η περιουσία του ήταν 4.400.000 €, να βρεθεί πόσα ευρώ θα πάρει το κάθε μέλος της οικογένειας.

Λύση:

• Σύζυγος \(=W\). Κόρη \(=\tfrac34 W\). Γιος \(=\tfrac35\cdot\tfrac34 W=\tfrac{9}{20}W\).
• Άθροισμα: \(W\left(1+\tfrac34+\tfrac{9}{20}\right)=W\cdot\tfrac{44}{20}=2{,}2\,W=4.400.000 \Rightarrow W=2.000.000\) €.
• Κόρη \(=0{,}75\cdot2000000=1.500.000\) €. Γιος \(=0{,}6\cdot1500000=900.000\) €.

Απάντηση: Σύζυγος: 2.000.000 €, Κόρη: 1.500.000 €, Γιος: 900.000 €

Πρόβλημα 7 · Μερισμός με πολλαπλάσιες αναλογίες μεταξύ κατηγοριών (σελ. 74)

Εκφώνηση: Να μοιραστούν 7.440 € σε 2 εργοδηγούς, 17 τεχνίτες και 30 εργάτες έτσι, ώστε ο κάθε τεχνίτης να πάρει τριπλάσια από κάθε εργάτη και ο κάθε εργοδηγός να πάρει διπλάσια από κάθε τεχνίτη.

Λύση:

• Έστω μερίδιο εργάτη \(=u\). Τεχνίτης \(=3u\), εργοδηγός \(=2\cdot3u=6u\).
• Συνολικές «μονάδες»: \(30\cdot u+17\cdot 3u+2\cdot 6u=30u+51u+12u=93u=7440 \Rightarrow u=80\) €.
• Εργάτης: 80 €, Τεχνίτης: \(3\cdot80=240\) €, Εργοδηγός: \(6\cdot80=480\) €.

Απάντηση: Εργάτης: 80 €, Τεχνίτης: 240 €, Εργοδηγός: 480 €

Πρόβλημα 8 · Κέρδος εταιρείας με αμοιβή διαχειριστή, ανάλογα κεφαλαίων (σελ. 75)

Εκφώνηση: Τρεις έμποροι συνεταιρίστηκαν. Ο α' εισέφερε 120.000 €, ο β' 80.000 € και ο γ' 200.000 €. Στο τέλος του πρώτου έτους η εταιρεία πραγματοποίησε κέρδος 84.000 €. Ο α', που εκτελεί καθήκοντα διαχειριστή, δικαιούται 10% επί πλέον από τα κέρδη. Πόσο κέρδος αναλογεί στον κάθε συνεταίρο;

Λύση:

• Αμοιβή διαχειριστή (α'): \(84000\cdot 0{,}10=8.400\) €. Διανεμητέο κέρδος: \(84000-8400=75.600\) €.
• Άθροισμα κεφαλαίων: \(120000+80000+200000=400.000\).
• α': \(75600\cdot\tfrac{120000}{400000}+8400=22.680+8.400=31.080\) €. β': \(75600\cdot\tfrac{80000}{400000}=15.120\) €. γ': \(75600\cdot\tfrac{200000}{400000}=37.800\) €.

Απάντηση: α: 31.080 €, β: 15.120 €, γ: 37.800 €

Πρόβλημα 9 · Αρχικός μερισμός κεφαλαίου και έπειτα κέρδος εταιρείας (σελ. 75)

Εκφώνηση: Ποσό 420.000 € μοιράστηκε σε τρία άτομα ανάλογα προς τους αριθμούς 12, 15, 18 και με τα χρήματα που πήραν έκαναν μια εταιρεία, αφού αύξησαν τις εισφορές τους κατά 100.000 € ο καθένας. Στο τέλος του πρώτου έτους η εταιρεία πραγματοποίησε κέρδη 300.000 €. Πόσο κέρδος αναλογεί στον κάθε συνεταίρο;

Λύση:

• Πρώτος μερισμός (12+15+18=45): μερίδια \(420000\cdot12/45=112.000\), \(420000\cdot15/45=140.000\), \(420000\cdot18/45=168.000\).
• Τελικά κεφάλαια (+100.000 ο καθένας): \(212.000\), \(240.000\), \(268.000\) — άθροισμα \(720.000\).
• Κέρδος 300.000 € ανάλογα των κεφαλαίων: α': \(300000\cdot212000/720000\approx88.333{,}33\) €. β': \(300000\cdot240000/720000=100.000\) €. γ': \(300000\cdot268000/720000\approx111.666{,}67\) €.

Απάντηση: α: ≈88.333,33 €, β: 100.000 €, γ: ≈111.666,67 €

Πρόβλημα 10 · Κέρδος εταιρείας με χρονικά διαφορετική είσοδο συνεταίρων (σελ. 75)

Εκφώνηση: Έμπορος άρχισε μια επιχείρηση με κεφάλαιο 150.000 €. Δύο μήνες αργότερα πήρε και συνεταίρο, ο οποίος εισέφερε τα 80% του κεφαλαίου του πρώτου. Ύστερα από τρεις ακόμη μήνες πήρε και τρίτο συνεταίρο, ο οποίος εισέφερε τα 4/5 της εισφοράς του β' συνεταίρου. Όταν συμπληρώθηκε ένα έτος από τη συμμετοχή του τρίτου συνεταίρου, βρέθηκε κέρδος 426.800 €. Πόσο κέρδος θα πάρει ο κάθε συνεταίρος;

Λύση:

• Κεφάλαια: α'=150.000 €, β'=\(150000\cdot0{,}8=120.000\) €, γ'=\(120000\cdot\tfrac45=96.000\) €.
• Χρόνος παραμονής μέχρι το τέλος (1 έτος μετά τη γ' είσοδο): γ' μένει 12 μήνες· β' μπήκε 3 μήνες πριν τη γ', άρα μένει \(12+3=15\) μήνες· α' μπήκε 2 μήνες πριν τη β', άρα μένει \(15+2=17\) μήνες.
• Βάρη (κεφάλαιο×μήνες): α'=\(150000\cdot17=2.550.000\), β'=\(120000\cdot15=1.800.000\), γ'=\(96000\cdot12=1.152.000\)· άθροισμα \(=5.502.000\).
• Κέρδος: α'=\(426800\cdot2550000/5502000\approx197.808\) €. β'=\(426800\cdot1800000/5502000\approx139.629\) €. γ'=\(426800\cdot1152000/5502000\approx89.363\) €.

Απάντηση: α: ≈197.808 €, β: ≈139.629 €, γ: ≈89.363 €

Πρόβλημα 11 · Κέρδος εταιρείας ανάλογα κεφαλαίου×χρόνου με κλασματικούς χρόνους (σελ. 75)

Εκφώνηση: Τρεις συνεταίροι κέρδισαν από την εταιρεία τους 165.000 €. Τα κεφάλαια που είχαν εισφέρει στην εταιρεία είναι ανάλογα προς τους αριθμούς 1, 2, 3, ενώ οι χρόνοι παραμονής των κεφαλαίων στην εταιρεία είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς 1, 2/3 και 3/4. Να βρεθεί πόσο κέρδος θα πάρει ο κάθε συνεταίρος.

Λύση:

• Βάρη (κεφάλαιο×χρόνος): α'=\(1\cdot1=1\), β'=\(2\cdot\tfrac23=\tfrac43\), γ'=\(3\cdot\tfrac34=\tfrac94\).
• Άθροισμα βαρών (ΕΚΠ=12): \(\tfrac{12}{12}+\tfrac{16}{12}+\tfrac{27}{12}=\tfrac{55}{12}\).
• α'=\(165000\cdot\tfrac{1}{55/12}=165000\cdot\tfrac{12}{55}=36.000\) €. β'=\(165000\cdot\tfrac{4/3}{55/12}=48.000\) €. γ'=\(165000\cdot\tfrac{9/4}{55/12}=81.000\) €.

Απάντηση: α: 36.000 €, β: 48.000 €, γ: 81.000 €

Πρόβλημα 12 · Διάλυση εταιρείας: κεφάλαιο και κέρδος κάθε συνεταίρου (σελ. 75)

Εκφώνηση: Δύο έμποροι συνεταιρίστηκαν με κεφάλαιο 900.000 €. Μετά δύο έτη, αφού κέρδισαν 300.000 €, διέλυσαν την εταιρεία. Ο ένας από τους συνεταίρους πήρε 720.000 € για κεφάλαιο και κέρδος. Να βρεθούν το κεφάλαιο και το κέρδος χωριστά που πήρε ο κάθε συνεταίρος.

Λύση:

• Και οι δύο συνεταίροι έμειναν στην εταιρεία τον ίδιο χρόνο (2 έτη), άρα το κέρδος μοιράζεται ανάλογα προς τα κεφάλαια: σε κάθε 1 € κεφαλαίου αναλογεί κέρδος \(\dfrac{300.000}{900.000}=\dfrac13\) €.
• Αν \(x\) το κεφάλαιο του α', τότε κεφάλαιο + κέρδος \(=x+\dfrac{x}{3}=\dfrac{4x}{3}=720.000 \Rightarrow x=540.000\) € και κέρδος \(=720.000-540.000=180.000\) €.
• Ο β' εισέφερε \(900.000-540.000=360.000\) € και πήρε κέρδος \(300.000-180.000=120.000\) € (έλεγχος: \(360.000\cdot\tfrac13=120.000\) ✓).

Απάντηση: α: κεφάλαιο 540.000 €, κέρδος 180.000 € · β: κεφάλαιο 360.000 €, κέρδος 120.000 €