Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Απλός Τόκος (σελ. 79-109) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 4: Απλός Τόκος (σελ. 79-109)

4 ερωτήσεις κατανόησης (σελ. 107) + 7 από τα 11 Προβλήματα Απλού Τόκου (σελ. 108-109), όλα λυμένα με πλήρη βήματα και επαληθευμένο αριθμητικά αποτέλεσμα.

Ερώτηση 1 · Καταθέσεις ταμιευτηρίου (σελ. 107)

Εκφώνηση: Τι είναι καταθέσεις ταμιευτηρίου; Πώς γίνεται το «άνοιγμα λογαριασμού», η «κατάθεση», η «ανάληψη» και το «κλείσιμο» σε έναν λογαριασμό ταμιευτηρίου; Πώς γίνεται ο εκτοκισμός στις καταθέσεις ταμιευτηρίου;

Λύση:

• Καταθέσεις Ταμιευτηρίου ονομάζονται οι καταθέσεις σε πρώτη ζήτηση που δέχονται οι Εμπορικές Τράπεζες, οι Κτηματικές Τράπεζες, η Αγροτική Τράπεζα, το Ταχυδρομικό Ταμιευτήριο και το Ταμείο Παρακαταθηκών και Δανείων. Είναι η πιο δημοφιλής μορφή καταθέσεων και καλύπτει το μεγαλύτερο μέρος των τραπεζικών καταθέσεων (σελ. 97).
• Άνοιγμα λογαριασμού: κατά την αρχική κατάθεση συμπληρώνεται ειδική καρτέλα με τα στοιχεία και υπόδειγμα υπογραφής του καταθέτη και εκδίδονται Γραμμάτιο Εισπράξεως και Βιβλιάριο Ταμιευτηρίου, το οποίο παραδίδεται στον καταθέτη· το όνομά του καταχωρίζεται στο Βιβλίο Μητρώου και ο λογαριασμός παίρνει Αριθμό (σελ. 97-98).
• Κατάθεση: συμπληρώνεται «Γραμμάτιο Εισπράξεως» (υποκατάστημα, ημερομηνία, αριθμός λογαριασμού, ονοματεπώνυμο, ποσό), το υπογράφει ο καταθέτης και ενημερώνεται το βιβλιάριό του· εκτός από μετρητά μπορούν να κατατεθούν και επιταγές (σελ. 98).
• Ανάληψη: εκδίδεται «Ένταλμα Πληρωμής», το οποίο υπογράφει ο πελάτης, και ενημερώνεται το βιβλιάριο, που πρέπει απαραιτήτως να προσκομίζεται (σελ. 98).
• Κλείσιμο: όταν ο καταθέτης αναλαμβάνει ολόκληρο το υπόλοιπο, υπολογίζονται οι τόκοι από την ημερομηνία του τελευταίου εκτοκισμού έως την ημερομηνία κλεισίματος και το νέο υπόλοιπο αποδίδεται στον δικαιούχο (σελ. 100).
• Εκτοκισμός (= υπολογισμός τόκων): οι τόκοι υπολογίζονται από την επόμενη εργάσιμη ημέρα της κατάθεσης· η ημέρα της ανάληψης δε θεωρείται τοκοφόρος. Οι τόκοι κεφαλαιοποιούνται και ανατοκίζονται την επόμενη ημέρα του υπολογισμού τους (σελ. 100).

Απάντηση: Καταθέσεις σε πρώτη ζήτηση με βιβλιάριο: άνοιγμα με καρτέλα, Γραμμάτιο Εισπράξεως και βιβλιάριο· κατάθεση με Γραμμάτιο Εισπράξεως· ανάληψη με Ένταλμα Πληρωμής· κλείσιμο με υπολογισμό των τόκων έως την ημέρα κλεισίματος· τόκοι από την επόμενη εργάσιμη ημέρα της κατάθεσης, που κεφαλαιοποιούνται.

Ερώτηση 2 · Καταθέσεις προθεσμίας (σελ. 107)

Εκφώνηση: Τι είναι «καταθέσεις προθεσμίας»;

Λύση:

• Προθεσμιακή κατάθεση είναι η κατάθεση κατά την οποία συμφωνείται μεταξύ καταθέτη και Τράπεζας ότι θα αποδοθεί μετά από ορισμένο χρονικό διάστημα, σε τακτή προθεσμία· γίνεται δεκτή για διάρκεια μεγαλύτερη των τριών (3) μηνών (σελ. 104).
• Διακρίνονται σε καταθέσεις προθεσμίας: α) από 3 έως 6 μήνες, β) από 6 μήνες έως 1 έτος και γ) ενός έτους και πάνω (σελ. 104).
• Δεν εκδίδεται βιβλιάριο· η Τράπεζα δίνει υποχρεωτικά στον καταθέτη «Ομολογία Προθεσμιακής Κατάθεσης». Ο εκτοκισμός και η απόδοση των τόκων γίνονται στη λήξη της προθεσμίας, με βάση την ημερομηνία της κατάθεσης· οι τόκοι μπορεί να καταβάλλονται ανά εξάμηνο ή να ανατοκίζονται («ΕΠΙ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΩ») (σελ. 104-105).

Απάντηση: Καταθέσεις που αποδίδονται σε τακτή προθεσμία, μεγαλύτερη των 3 μηνών (3-6 μήνες, 6-12 μήνες, 1 έτος και πάνω), με Ομολογία Προθεσμιακής Κατάθεσης και εκτοκισμό στη λήξη.

Ερώτηση 3 · Κοινός λογαριασμός (σελ. 107)

Εκφώνηση: Τι είναι «καταθέσεις σε κοινό λογαριασμό»;

Λύση:

• Κατάθεση σε κοινό λογαριασμό είναι η χρηματική κατάθεση που τηρείται στο όνομα δύο ή περισσότερων προσώπων από κοινού, με τον όρο ο κάθε δικαιούχος να μπορεί να κάνει μερική ή ολική χρήση του λογαριασμού χωρίς τη σύμπραξη του άλλου ή των άλλων συνδικαιούχων (σελ. 106).
• Μπορεί να προστεθεί ο όρος ότι, σε περίπτωση θανάτου οποιουδήποτε δικαιούχου, η κατάθεση περιέρχεται αυτοδικαίως στους λοιπούς συνδικαιούχους. Κάθε συνδικαιούχος αποκτά ευθύ, άμεσο και αυτοτελές δικαίωμα στην κατάθεση (σελ. 106).

Απάντηση: Κατάθεση στο όνομα δύο ή περισσότερων προσώπων από κοινού, όπου ο καθένας μπορεί να κάνει μερική ή ολική χρήση του λογαριασμού χωρίς τη σύμπραξη των άλλων.

Ερώτηση 4 · Τρεχούμενοι λογαριασμοί (σελ. 107)

Εκφώνηση: Τι είναι «τρεχούμενοι λογαριασμοί καταθέσεων»;

Λύση:

• Οι Τρεχούμενοι Λογαριασμοί Καταθέσεων (Τ.Λ.Κ.) ανήκουν στους λογαριασμούς καταθέσεων «σε πρώτη ζήτηση»: ο δικαιούχος μπορεί να καταθέτει ή να κάνει ανάληψη οποτεδήποτε. Αποτελούν συνδυασμό των καταθέσεων ταμιευτηρίου και των καταθέσεων όψεως (σελ. 106).
• Μόνο φυσικά πρόσωπα που δεν είναι έμποροι μπορούν να ανοίξουν Τ.Λ.Κ., με υπεύθυνη δήλωση ότι δεν είναι έμποροι, ότι το τελευταίο δωδεκάμηνο δεν έχουν εκδώσει επιταγές χωρίς αντίκρισμα, ότι δεν τηρούν άλλο Τ.Λ.Κ. πέρα από τους προβλεπόμενους και ότι δε θα τον χρησιμοποιήσουν για εμπορικούς σκοπούς (σελ. 106-107).
• Οι πληρωμές γίνονται με επιταγές ή με εντολές (χορηγείται μπλοκ επιταγών) και, αν το επιθυμεί ο πελάτης, η τράπεζα του στέλνει ανά τρίμηνο αντίγραφο κίνησης (σελ. 107).

Απάντηση: Λογαριασμοί «σε πρώτη ζήτηση», συνδυασμός καταθέσεων ταμιευτηρίου και όψεως, μόνο για φυσικά πρόσωπα που δεν είναι έμποροι, με πληρωμές μέσω επιταγών ή εντολών.

Πρόβλημα 2 · Κεφάλαιο από συνολικό τόκο δύο περιόδων με διαφορετικά επιτόκια (σελ. 108)

Εκφώνηση: Τόκισε κάποιος (με απλό τόκο) ένα χρηματικό ποσό πριν από έξι (6) χρόνια. Τα δύο πρώτα χρόνια ο τόκος υπολογίστηκε με 5% και τα υπόλοιπα χρόνια με 7%. Στο τέλος των 6 ετών εισέπραξε για τόκους και κεφάλαιο 138.000 €. Ποιο ήταν το κεφάλαιο που τοκίστηκε;

Λύση:

• Συνολικός τόκος: \(I=K_0\cdot2\cdot0{,}05+K_0\cdot4\cdot0{,}07=K_0(0{,}10+0{,}28)=0{,}38\,K_0\).
• Τελικό κεφάλαιο: \(K_0+I=K_0\cdot1{,}38=138.000 \Rightarrow K_0=100.000\) €.

Απάντηση: 100.000 €

Πρόβλημα 4 · Εύρεση αρχικού κεφαλαίου από αλυσίδα τοκισμού-επένδυσης (σελ. 108)

Εκφώνηση: Ο έμπορος Ε κατέθεσε σε μια Τράπεζα ένα χρηματικό ποσό X με απλό τόκο 12%. Ύστερα από 27 μήνες ο Ε απέσυρε το ποσό που είχε συγκεντρωθεί και αγόρασε ομόλογα, τα οποία του αποφέρουν ετήσιο τόκο 15%. Αν είναι γνωστό ότι από τα ομόλογα ο Ε έχει ετήσιο εισόδημα 19.050 €, να βρεθεί το ποσό X.

Λύση:

• Ποσό μετά από 27 μήνες κατάθεσης: \(X\left(1+\dfrac{27}{12}\cdot0{,}12\right)=X(1+0{,}27)=1{,}27X\).
• Αυτό το ποσό αποφέρει ετήσιο εισόδημα 15%: \(0{,}15\cdot1{,}27X=19.050\).
• \(1{,}27X=19050/0{,}15=127.000 \Rightarrow X=100.000\) €.

Απάντηση: 100.000 €

Πρόβλημα 6 · Εύρεση επιτοκίου απόδοσης ακινήτου (σελ. 109)

Εκφώνηση: Ο εισοδηματίας Ε αγόρασε ένα ακίνητο, αξίας 9.000.000 €. Το ακίνητο είναι επιβαρημένο με ενυπόθηκο δάνειο 3.000.000 € με 10% το χρόνο. Ο ετήσιος φόρος ανέρχεται σε 60.000 €. Για επισκευές και λοιπά έξοδα απαιτούνται 40.000 €. Αν το ετήσιο ενοίκιο ανέρχεται σε 1.300.000 €, με ποιο επιτόκιο τοκίζεται το κεφάλαιο που αντιπροσωπεύει το ακίνητο; Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο Ε θέλει να πουλήσει το ακίνητο και να τοποθετήσει τα 9.000.000 € σε μια Τράπεζα, με προθεσμία ενός έτους και με επιτόκιο 20%. Τι θα συμβουλεύατε να κάνει ο Ε;

Λύση:

• Ετήσιος τόκος ενυπόθηκου δανείου: \(3.000.000\cdot0{,}10=300.000\) €.
• Καθαρό ετήσιο εισόδημα ακινήτου: \(1.300.000-60.000-40.000-300.000=900.000\) €.
• Επιτόκιο απόδοσης επί της συνολικής αξίας: \(i=\dfrac{900.000}{9.000.000}=0{,}10=10\%\).
• Δεύτερο ερώτημα: αν ο Ε πουλήσει το ακίνητο και τοποθετήσει τα 9.000.000 € στην Τράπεζα με 20%, θα εισπράξει σε ένα έτος τόκο \(9.000.000\cdot0{,}20=1.800.000\) €, ενώ το ακίνητο του αποδίδει καθαρά 900.000 € τον χρόνο.
• Επειδή \(20\%>10\%\) (1.800.000 € > 900.000 €), τον συμφέρει να πουλήσει το ακίνητο και να κάνει την προθεσμιακή κατάθεση.

Απάντηση: i = 10%· συμφέρει τον Ε να πουλήσει το ακίνητο και να καταθέσει τα χρήματα με 20% (τόκος 1.800.000 € έναντι 900.000 € καθαρού εισοδήματος από το ακίνητο).

Ακόμη κι αν από τα 9.000.000 € εξοφληθεί πρώτα το ενυπόθηκο δάνειο των 3.000.000 € και κατατεθούν 6.000.000 €, ο τόκος \(6.000.000\cdot0{,}20=1.200.000\) € είναι πάλι μεγαλύτερος από τα 900.000 €.

Πρόβλημα 7 · Εύρεση ημέρας αλλαγής επιτοκίου δανείου (σελ. 109)

Εκφώνηση: Δάνεισε κάποιος, με απλό τόκο, 24.000 €. Το επιτόκιο του δανείου συμφωνήθηκε στην αρχή 5% και ύστερα από μερικές ημέρες έγινε 4%. Ύστερα από πόσες ημέρες (από την αρχή του δανείου) άλλαξε το επιτόκιο, αν είναι γνωστό ότι το σύνολο των τόκων στο τέλος του έτους ήταν 1.010 €; Έτος μεικτό.

Λύση:

• Έστω \(d\) οι ημέρες με 5%· οι υπόλοιπες \((360-d)\) ημέρες με 4% (έτος μεικτό = 360 ημέρες).
• \(I=\dfrac{24000\cdot d\cdot0{,}05}{360}+\dfrac{24000\cdot(360-d)\cdot0{,}04}{360}=1.010\).
• \(\dfrac{24000}{360}\left(0{,}05d+0{,}04(360-d)\right)=1010 \Rightarrow 66{,}667(0{,}01d+14{,}4)=1010\).
• \(0{,}01d+14{,}4=15{,}15 \Rightarrow 0{,}01d=0{,}75 \Rightarrow d=75\) ημέρες.

Απάντηση: 75 ημέρες

Πρόβλημα 8 · Κεφάλαιο δανεισμένο σε δύο τμήματα με διαφορετικό επιτόκιο και χρόνο (σελ. 109)

Εκφώνηση: Δάνεισε κάποιος ένα χρηματικό ποσό Κ. Το 1/3 του ποσού το δάνεισε για 2 χρόνια και 4 μήνες με 8% και το υπόλοιπο για 3 χρόνια και 20 ημέρες με 10%, και εισέπραξε και από τα δύο ποσά συνολικό τόκο 15.955,55 €. Να βρεθεί το ποσό Κ.

Λύση:

• Πρώτο τμήμα: \(\tfrac{K}{3}\), χρόνος \(2\tfrac{4}{12}=\tfrac{28}{12}\) έτη, επιτόκιο 8%: \(I_1=\tfrac{K}{3}\cdot\tfrac{28}{12}\cdot0{,}08\).
• Δεύτερο τμήμα: \(\tfrac{2K}{3}\), χρόνος \(3+\tfrac{20}{360}\) έτη (εμπορικό έτος), επιτόκιο 10%: \(I_2=\tfrac{2K}{3}\cdot\left(3+\tfrac{20}{360}\right)\cdot0{,}10\).
• \(I_1+I_2=K\left(0{,}062222+0{,}203704\right)=0{,}265926\,K=15.955{,}55 \Rightarrow K\approx60.000\) €.
• Έλεγχος: \(I_1=3.733{,}33\), \(I_2=12.222{,}22\), άθροισμα \(=15.955{,}55\) ✓.

Απάντηση: 60.000 €

Πρόβλημα 9 · Εύρεση κεφαλαίου από διαφορά τόκων δύο τμημάτων (σελ. 109)

Εκφώνηση: Ο έμπορος Ε τόκισε το 1/6 του κεφαλαίου του με 9% και το υπόλοιπο με 2%. Το β’ τμήμα του κεφαλαίου έφερε ετήσιο τόκο 300 € περισσότερο από το α’ τμήμα. Ποιο ήταν το κεφάλαιο που τόκισε ο Ε;

Λύση:

• Πρώτο τμήμα \(=\tfrac{K}{6}\), τόκος \(I_1=\tfrac{K}{6}\cdot0{,}09=0{,}015K\). Δεύτερο τμήμα \(=\tfrac{5K}{6}\), τόκος \(I_2=\tfrac{5K}{6}\cdot0{,}02=0{,}01\overline{6}K\).
• \(I_2-I_1=300 \Rightarrow 0{,}001\overline{6}\,K=300 \Rightarrow K=180.000\) €.

Απάντηση: 180.000 €

Πρόβλημα 10 · Εύρεση αρχικού κεφαλαίου και επιτοκίου από δύο διαδοχικές τοκοφόρες περιόδους (σελ. 109)

Εκφώνηση: Κεφάλαιο τοκίστηκε επί 10 μήνες και έγινε μαζί με τους τόκους του 12.600 €. Το τοκοκεφάλαιο 12.600 € τοκίστηκε επί 2 έτη και 6 μήνες, με το ίδιο επιτόκιο, και έγινε μαζί με τους τόκους του 14.490 €. Ποιο ήταν το αρχικό κεφάλαιο και ποιο το επιτόκιο;

Λύση:

• Από τη δεύτερη περίοδο: \(12.600(1+2{,}5\,i)=14.490 \Rightarrow 1+2{,}5i=1{,}15 \Rightarrow i=0{,}06=6\%\).
• Από την πρώτη περίοδο: \(K_0\left(1+\tfrac{10}{12}\cdot0{,}06\right)=12.600 \Rightarrow K_0\cdot1{,}05=12.600 \Rightarrow K_0=12.000\) €.

Απάντηση: Αρχικό κεφάλαιο: 12.000 €, επιτόκιο: 6%