Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Αντικατάσταση Γραμματίων (σελ. 137-148) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 6: Αντικατάσταση Γραμματίων (σελ. 137-148)

Το κεφάλαιο δεν έχει ξεχωριστή ενότητα «Ερωτήσεις» — μόνο «Προβλήματα Αντικατάστασης Γραμματίων» (9 συνολικά, σελ. 148-150). Επιλέχθηκαν 4 προβλήματα (#4,7,8,9) με αριθμητικά πλήρως επαληθεύσιμα δεδομένα (καθαρές μέρες/ποσά, χωρίς εξάρτηση από ημερολογιακούς πίνακες με OCR-αβεβαιότητα). Εξαιρέθηκαν #1,2,3,5,6 λόγω ημερολογιακών ημερομηνιών με OCR-αβεβαιότητα στην εξαγωγή του PDF ή (στο #6) ελλιπών δεδομένων επιτοκίου για ανεξάρτητη επαλήθευση.

Πρόβλημα 4 · Μέση λήξη δύο ισόποσων γραμματίων (σελ. 149)

Εκφώνηση: Δύο γραμμάτια από 5.000 € το καθένα λήγουν: το πρώτο μετά 30 ημέρες και το δεύτερο μετά 100 ημέρες από σήμερα. Πότε πρέπει να λήγει γραμμάτιο 10.000 €, το οποίο αντικαθιστά τα δύο γραμμάτια;

Λύση:

• Επειδή \(10.000=5.000+5.000\), πρόκειται για πρόβλημα μέσης λήξης — το επιτόκιο δεν χρειάζεται.
• Τα δύο γραμμάτια είναι ισόποσα, άρα η μέση λήξη είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των λήξεών τους: \(\nu=\dfrac{30+100}{2}=65\) ημέρες.

Απάντηση: 65 ημέρες από σήμερα

Πρόβλημα 7 · Μέση λήξη με ημερολογιακές ημερομηνίες (σελ. 149)

Εκφώνηση: Πότε πρέπει να λήγει γραμμάτιο 60.000 €, το οποίο την 1η Σεπτεμβρίου αντικαθίσταται από δύο γραμμάτια: α) γραμμάτιο 35.000 € λήξης 20 Νοεμβρίου και β) γραμμάτιο 25.000 € λήξης 11 Οκτωβρίου; Επιτόκιο 9%, έτος πολιτικό.

Λύση:

• Επειδή \(60.000=35.000+25.000\), πρόκειται πάλι για πρόβλημα μέσης λήξης — το επιτόκιο 9% είναι άσχετο με τη λύση (η μέση λήξη είναι ανεξάρτητη του επιτοκίου).
• Ημέρες από 1/9: το γραμμάτιο των 25.000€ λήγει σε 40 ημέρες (11/10), το γραμμάτιο των 35.000€ σε 80 ημέρες (20/11).
• \(\nu=\dfrac{25.000\cdot40+35.000\cdot80}{60.000}=\dfrac{1.000.000+2.800.000}{60.000}=63{,}33\approx63\) ημέρες μετά την 1/9 (δηλ. 3/11).

Απάντηση: ≈63 ημέρες μετά την 1η Σεπτεμβρίου (3 Νοεμβρίου)

Πρόβλημα 8 · Ισόποσα γραμμάτια με ίσα χρονικά διαστήματα (μέση λήξη) (σελ. 149)

Εκφώνηση: Γραμμάτιο 60.000 € πρέπει να πληρωθεί μετά 80 ημέρες από σήμερα. Συμφωνήθηκε να γίνουν 4 ίσα γραμμάτια από 15.000 € το καθένα, τα οποία να λήγουν ανά ίσα χρονικά διαστήματα από σήμερα. Να βρεθούν οι λήξεις των τεσσάρων γραμματίων. Επιτόκιο 12%, έτος μεικτό.

Λύση:

• Επειδή \(4\times15.000=60.000\), πρόκειται για πρόβλημα μέσης λήξης — το επιτόκιο δεν χρειάζεται.
• Τα 4 γραμμάτια είναι ισόποσα, άρα η μέση λήξη είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των 4 λήξεων. Αν οι λήξεις είναι ισαπέχουσες $s, 2s, 3s, 4s$, τότε ο μέσος όρος είναι \(\dfrac{s+2s+3s+4s}{4}=2{,}5s\).
• \(2{,}5s=80 \Rightarrow s=32\). Άρα οι λήξεις είναι: \(\nu_1=32,\ \nu_2=64,\ \nu_3=96,\ \nu_4=128\) ημέρες.

Απάντηση: ν₁=32, ν₂=64, ν₃=96, ν₄=128 ημέρες

Πρόβλημα 9 · Εξόφληση αγοράς με μετρητά + τρία ισόποσα γραμμάτια (Ε.Ι.Η.Υ.) (σελ. 150)

Εκφώνηση: Ο έμπορος Ε αγόρασε εμπορεύματα αξίας 500.000 € και πλήρωσε 140.000 € μετρητά· για το υπόλοιπο ποσόν υπέγραψε τρία ισόποσα γραμμάτια, τα οποία λήγουν μετά 20, 40 και 60 ημέρες από σήμερα. Να βρεθεί η ονομαστική αξία του κάθε γραμματίου, αν το επιτόκιο είναι 6%, το έτος μεικτό και η εποχή ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού.

Λύση:

• Το χρέος που παραμένει σήμερα (Ε.Ι.Η.Υ.): \(500.000-140.000=360.000\) €.
• Έστω $X$ η ονομαστική αξία κάθε γραμματίου. Η εξίσωση οικονομικής ισοδυναμίας (παρούσες αξίες στο σήμερα, εξωτερική προεξόφληση, έτος μεικτό 360): \(X\left(1-\dfrac{20\cdot0{,}06}{360}\right)+X\left(1-\dfrac{40\cdot0{,}06}{360}\right)+X\left(1-\dfrac{60\cdot0{,}06}{360}\right)=360.000\).
• \(X\left[(1-0{,}00333)+(1-0{,}00667)+(1-0{,}01)\right]=360.000 \Rightarrow X\cdot2{,}98=360.000 \Rightarrow X\approx120.805\) €.

Απάντηση: Κ₁=Κ₂=Κ₃≈120.805 €