Λύσεις — Κεφάλαιο 7: Σύνθετος Τόκος ή Ανατοκισμός (σελ. 153-170) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 7: Σύνθετος Τόκος ή Ανατοκισμός (σελ. 153-170)

Το κεφάλαιο δεν έχει ξεχωριστή ενότητα «Ερωτήσεις» — μόνο «Προβλήματα Ανατοκισμού» (11 συνολικά, σελ. 169-170). Επιλέχθηκαν 5 προβλήματα (#1, 2, 7, 9, 11). Μικρές αποκλίσεις (<0,1%) από τις απαντήσεις του βιβλίου οφείλονται στη στρογγυλοποίηση των συντελεστών των Πινάκων Ανατοκισμού που χρησιμοποιεί το βιβλίο.

Πρόβλημα 1 · Τελική αξία με μεικτό αριθμό ετών-μηνών (σελ. 169)

Εκφώνηση: Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 200.000 €, το οποίο ανατοκίστηκε με 4¼% επί 8 έτη και 10 μήνες.

Λύση:

• Εφαρμόζουμε τον τύπο για μεικτό αριθμό περιόδων (ακέραια περίοδος = έτος): \(K_n=K_0(1+i)^n(1+i)^{\mu/12}\).
• \(K_n=200.000\cdot(1{,}0425)^8\cdot(1{,}0425)^{10/12}\approx288.869{,}63\) €.

Απάντηση: ≈288.870 €

Πρόβλημα 2 · Τελική αξία με έτη, μήνες και ημέρες (σελ. 169)

Εκφώνηση: Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 100.000 €, το οποίο ανατοκίστηκε επί 12 έτη 7 μήνες και 13 ημέρες με ετήσιο επιτόκιο 4,5%.

Λύση:

• Όταν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη, μήνες και ημέρες, μετατρέπουμε τους μήνες σε ημέρες και εφαρμόζουμε τον τύπο (7.8): \(K_n=K_0(1+i)^n\left(1+\dfrac{\nu}{360}\,i\right)\).
• \(n=12\) έτη, \(\nu=7\cdot30+13=223\) ημέρες, \(i=0{,}045\).
• \(K_n=100.000\cdot(1{,}045)^{12}\cdot\left(1+\dfrac{223}{360}\cdot0{,}045\right)=100.000\cdot1{,}695881\cdot1{,}027875\approx174.315\) €.

Απάντηση: ≈174.315 €

Σημείωση: το βιβλίο δίνει 174.310 €· η μικρή διαφορά οφείλεται στη στρογγυλοποίηση των συντελεστών των πινάκων.

Πρόβλημα 7 · Εύρεση αρχικού κεφαλαίου από τελική αξία (παρούσα αξία) (σελ. 170)

Εκφώνηση: Ποιο κεφάλαιο, αν ανατοκιστεί με ετήσιο επιτόκιο 6%, θα δώσει μετά 14 έτη και 3 μήνες τελικό κεφάλαιο 300.000 €;

Λύση:

• Λύνουμε τον τύπο ανατοκισμού ως προς \(K_0\): \(K_0=\dfrac{K_n}{(1+i)^{n}(1+i)^{\mu/12}}\).
• \(K_0=\dfrac{300.000}{(1{,}06)^{14}\cdot(1{,}06)^{3/12}}\approx130.771{,}37\) €.

Απάντηση: ≈130.771 € (βιβλίο: 130.772 €)

Πρόβλημα 9 · Προεξόφληση συναλλαγματικής με ανατοκισμό (σελ. 170)

Εκφώνηση: Συναλλαγματική ονομαστικής αξίας 10.000 € προεξοφλείται 3 έτη και 8 μήνες προτού λήξει, με ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 6%. Να βρεθεί η παρούσα αξία και το προεξόφλημα.

Λύση:

• Παρούσα αξία: \(A=\dfrac{K}{(1+i)^n(1+i)^{\mu/12}}=\dfrac{10.000}{(1{,}06)^3\cdot(1{,}06)^{8/12}}\approx8.076{,}29\) €.
• Προεξόφλημα: \(E=K-A=10.000-8.076{,}29\approx1.923{,}71\) €.

Απάντηση: Παρούσα αξία ≈8.076,29 €, Προεξόφλημα ≈1.923,71 €

Σημείωση: το βιβλίο δίνει 8.076,33 € και 1.923,77 €· οι μικρές διαφορές οφείλονται στη στρογγυλοποίηση των συντελεστών των πινάκων (επιπλέον 10.000 − 8.076,33 = 1.923,67).

Πρόβλημα 11 · Ισοδύναμος χρόνος με απλό τόκο για το ίδιο τελικό κεφάλαιο (σελ. 170)

Εκφώνηση: Δάνεισε κάποιος κεφάλαιο 60.000 € με ανατοκισμό και με ετήσιο επιτόκιο 5,5% για 8 χρόνια. Επί πόσο χρόνο πρέπει να δανείσει το ίδιο κεφάλαιο και με το ίδιο επιτόκιο, με απλό τόκο, για να εισπράξει το ίδιο τελικό κεφάλαιο και στις δύο περιπτώσεις;

Λύση:

• Τελικό κεφάλαιο με ανατοκισμό: \(K_n=60.000\cdot(1{,}055)^8\approx92.081{,}19\) €.
• Με απλό τόκο, \(K_n=K_0(1+n_{\alpha}\cdot i)\), λύνουμε ως προς \(n_\alpha\): \(n_\alpha=\dfrac{K_n/K_0-1}{i}=\dfrac{92081{,}19/60000-1}{0{,}055}\approx9{,}7216\) έτη.
• Σε ημέρες (έτος 360 ημερών): \(9{,}7216\cdot360\approx3.500\) ημέρες, δηλαδή 9 έτη και \(0{,}7216\cdot360\approx260\) ημέρες = 9 έτη, 8 μήνες και 20 ημέρες.

Απάντηση: ≈3.500 ημέρες, δηλαδή 9 έτη, 8 μήνες και 20 ημέρες