Λύσεις — Κεφάλαιο 9: Δάνεια (σελ. 197-216) – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 9: Δάνεια (σελ. 197-216)

Το κεφάλαιο έχει ενότητα «Ερωτήσεις» (6 θεωρητικές, δεν περιλαμβάνονται εδώ) και «Προβλήματα Δανείων» (9 συνολικά, σελ. 215-216). Περιλαμβάνονται και τα 9 προβλήματα (πλήρης κάλυψη), όλα με αριθμητικά επαληθευμένα αποτελέσματα και απαντημένα όλα τα υποερωτήματα.

Πρόβλημα 1 · Εξοφλητικό απόθεμα — με και χωρίς ετήσια πληρωμή τόκων (σελ. 215)

Εκφώνηση: Δάνειο 400.000 € πρέπει να εξοφληθεί σε 15 χρόνια με επιτόκιο δανείου 6%. Να βρεθεί το ποσό του εξοφλητικού αποθέματος, όταν το επιτόκιο ανασύστασης είναι 4,5% και όταν οι τόκοι πληρώνονται ή όχι κάθε χρόνο.

Λύση:

• Χρεολύσιο 1 ν.μ.: \(P_{15\rceil0,045}=\dfrac{0{,}045}{(1{,}045)^{15}-1}\approx0{,}0481138\).
• α) Αν οι τόκοι πληρώνονται κάθε χρόνο: \(R=K\cdot P_{15\rceil0,045}=400.000\times0{,}0481138\approx19.245{,}52\) €.
• β) Αν οι τόκοι ΔΕΝ πληρώνονται (ανατοκίζεται όλο το δάνειο): \(R'=K(1{,}06)^{15}P_{15\rceil0,045}=400.000\times2{,}39656\times0{,}0481138\approx46.123{,}02\) €.

Απάντηση: α) ≈19.246 €, β) ≈46.123 € (βιβλίο: 19.244 – 46.119)

Πρόβλημα 2 · Τοκοχρεολύσιο ισόποσων ετήσιων δόσεων (Γαλλικό σύστημα) (σελ. 215)

Εκφώνηση: Δάνειο 1.000.000 € πρέπει να εξοφληθεί σε 20 χρόνια με ίσες ετήσιες τοκοχρεολυτικές δόσεις και με ετήσιο επιτόκιο 5%. Ζητούνται: 1) Το ετήσιο τοκοχρεολύσιο. 2) Ο πίνακας απόσβεσης του δανείου για τα 4 πρώτα χρόνια με τις μεθόδους: α) του σταθερού χρεολυσίου και β) του προοδευτικού χρεολυσίου.

Λύση:

• 1. \(R=K\cdot i+K\cdot P_{n\rceil i}=\dfrac{K}{a_{n\rceil i}}\).
• \(a_{20\rceil0,05}=\dfrac{1-(1{,}05)^{-20}}{0{,}05}\approx12{,}4622\).
• \(R=\dfrac{1.000.000}{12{,}4622}\approx80.242{,}59\) €, δηλαδή τόκος \(1.000.000\cdot0{,}05=50.000\) € και χρεολύσιο 1ου έτους \(1.000.000\cdot P_{20\rceil0,05}\approx30.242{,}59\) €.
• 2α) Μέθοδος σταθερού χρεολυσίου: ο τόκος (50.000 €) και το χρεολύσιο (30.242,59 €) μένουν σταθερά· εξοφλημένο ποσό κάθε έτους = εξοφλημένο του προηγούμενου έτους × 1,05 + χρεολύσιο.
• Τέλος 1ου έτους: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 30.242,59 · ανεξόφλητο 969.757,41 €.
• Τέλος 2ου έτους: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 61.997,31 · ανεξόφλητο 938.002,69 €.
• Τέλος 3ου έτους: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 95.339,77 · ανεξόφλητο 904.660,23 €.
• Τέλος 4ου έτους: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 130.349,35 · ανεξόφλητο 869.650,65 €.
• 2β) Μέθοδος προοδευτικού χρεολυσίου: ο τόκος υπολογίζεται κάθε έτος επί του ανεξόφλητου υπολοίπου και χρεολύσιο = τοκοχρεολύσιο − τόκος.
• Τέλος 1ου έτους: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 30.242,59 · ανεξόφλητο 969.757,41 €.
• Τέλος 2ου έτους: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 48.487,87 · χρεολύσιο 31.754,72 · εξοφλημένο 61.997,31 · ανεξόφλητο 938.002,69 €.
• Τέλος 3ου έτους: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 46.900,13 · χρεολύσιο 33.342,46 · εξοφλημένο 95.339,77 · ανεξόφλητο 904.660,23 €.
• Τέλος 4ου έτους: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 45.233,01 · χρεολύσιο 35.009,58 · εξοφλημένο 130.349,35 · ανεξόφλητο 869.650,65 €.

Απάντηση: 1) R ≈ 80.242,59 €. 2) Με τις δύο μεθόδους, στο τέλος του 4ου έτους το εξοφλημένο ποσό είναι ≈130.349 € και το ανεξόφλητο ≈869.651 € (αναλυτικά οι πίνακες στη λύση).

Πρόβλημα 3 · Δάνειο με εξαμηνιαίες δόσεις (Γαλλικό σύστημα) — τοκοχρεολύσιο, χρεολύσιο, σύνολο τόκων (σελ. 215)

Εκφώνηση: Δάνειο 1.000.000 € πρέπει να εξοφληθεί σε 10 χρόνια με ίσες εξαμηνιαίες δόσεις και με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο 10%. Ζητούνται: 1) Το εξαμηνιαίο τοκοχρεολύσιο. 2) Ο Πίνακας απόσβεσης του δανείου για τα 3 πρώτα εξάμηνα με τις μεθόδους: α) του σταθερού χρεολυσίου και β) του προοδευτικού χρεολυσίου. 3) Το χρεολύσιο του 15ου εξαμήνου. 4) Το εξοφλημένο ποσό στο τέλος του 16ου εξαμήνου. 5) Το υπόλοιπο ανεξόφλητο στο τέλος του 12ου εξαμήνου. 6) Ο τόκος του 13ου εξαμήνου. 7) Το σύνολο των τόκων που θα πληρώσει ο λήπτης του δανείου.

Λύση:

• 10 έτη = 20 εξάμηνα, εξαμηνιαίο επιτόκιο \(i=10\%/2=5\%\).
• 1. Τοκοχρεολύσιο: \(R=\dfrac{K}{a_{20\rceil0,05}}=\dfrac{1.000.000}{12{,}4622}\approx80.242{,}59\) € (τόκος 1ου εξαμήνου 50.000 €, χρεολύσιο 1ου εξαμήνου \(P_1=K\cdot P_{20\rceil0,05}\approx30.242{,}59\) €).
• 2α) Σταθερό χρεολύσιο (τόκος 50.000 € και χρεολύσιο 30.242,59 € σταθερά):
• Τέλος 1ου εξαμήνου: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 30.242,59 · ανεξόφλητο 969.757,41 €.
• Τέλος 2ου εξαμήνου: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 61.997,31 · ανεξόφλητο 938.002,69 €.
• Τέλος 3ου εξαμήνου: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 95.339,77 · ανεξόφλητο 904.660,23 €.
• 2β) Προοδευτικό χρεολύσιο (τόκος επί του ανεξόφλητου υπολοίπου):
• Τέλος 1ου εξαμήνου: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 50.000,00 · χρεολύσιο 30.242,59 · εξοφλημένο 30.242,59 · ανεξόφλητο 969.757,41 €.
• Τέλος 2ου εξαμήνου: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 48.487,87 · χρεολύσιο 31.754,72 · εξοφλημένο 61.997,31 · ανεξόφλητο 938.002,69 €.
• Τέλος 3ου εξαμήνου: τοκοχρεολύσιο 80.242,59 · τόκος 46.900,13 · χρεολύσιο 33.342,46 · εξοφλημένο 95.339,77 · ανεξόφλητο 904.660,23 €.
• 3. Χρεολύσιο 15ου εξαμήνου (τύπος 9.11): \(P_{15}=P_1(1{,}05)^{14}\approx30.242{,}59\cdot1{,}979932\approx59.878{,}25\) €.
• 4. Εξοφλημένο ποσό στο τέλος του 16ου εξαμήνου (τύπος 9.12): \(E_{16}=K\cdot P_{20\rceil0,05}\cdot S_{16\rceil0,05}\approx30.242{,}59\cdot23{,}6575\approx715.463{,}76\) €.
• 5. Υπόλοιπο ανεξόφλητο στο τέλος του 12ου εξαμήνου (τύπος 9.13): \(Y_{12}=K-K\cdot P_{20\rceil0,05}\cdot S_{12\rceil0,05}\approx1.000.000-481.375{,}09\approx518.624{,}91\) €.
• 6. Τόκος 13ου εξαμήνου (τύπος 9.14): \(I_{13}=Y_{12}\cdot i\approx518.624{,}91\cdot0{,}05\approx25.931{,}25\) €.
• 7. Σύνολο τόκων (τύπος 9.15): \(20\cdot R-K\approx20\cdot80.242{,}59-1.000.000\approx604.851{,}74\) €.

Απάντηση: 1) ≈80.242,59 € · 2) πίνακες στη λύση · 3) ≈59.878 € · 4) ≈715.464 € · 5) ≈518.625 € · 6) ≈25.931 € · 7) ≈604.852 €

Σημείωση: το βιβλίο δίνει 80.242 – 59.872 – 481.333 – 24.067 – 604.840. Το 481.333 αντιστοιχεί στο εξοφλημένο ποσό στο τέλος του 12ου εξαμήνου (≈481.375 €) και το 24.067 είναι το 5% αυτού του ποσού· ο τόκος του 13ου εξαμήνου υπολογίζεται όμως επί του ανεξόφλητου υπολοίπου (≈518.624,91 €). Οι υπόλοιπες μικρές διαφορές οφείλονται στη στρογγυλοποίηση των πινάκων.

Πρόβλημα 4 · Εύρεση ετήσιας κατάθεσης για στοχευμένο κεφάλαιο σε συγκεκριμένη ημερομηνία (σελ. 215)

Εκφώνηση: Η Βιομηχανία «ΒΗΤΑ» Α.Ε. θα χρειαστεί 5.000.000 € την 1η Ιουνίου 2009, για να αντικαταστήσει τμήμα του μηχανικού εξοπλισμού της. Για να συγκεντρώσει το πιο πάνω ποσό την 1.6.2009 η βιομηχανία πρέπει να καταθέτει κάθε χρόνο σε μια Τράπεζα ορισμένα χρηματικά ποσά με επιτόκιο 8%. Αν η πρώτη κατάθεση γίνει την 1.6.2004 και η τελευταία την 1.6.2009, ποιο πρέπει να είναι το ύψος κάθε κατάθεσης;

Λύση:

• Οι 6 καταθέσεις γίνονται στις αρχές των ετών 2004-2009 και η αξία τους ζητείται στην ίδια χρονική στιγμή με την τελευταία κατάθεση (1.6.2009) — άρα \(V=R\left[(1{,}08)^5+(1{,}08)^4+\cdots+(1{,}08)^0\right]=R\cdot S_{6\rceil0,08}\).
• \(S_{6\rceil0,08}=\dfrac{(1{,}08)^6-1}{0{,}08}\approx7{,}33593\).
• \(R=\dfrac{5.000.000}{7{,}33593}\approx681.576{,}93\) €.

Απάντηση: ≈681.577 €

Πρόβλημα 5 · Εύρεση επιτοκίου από τη γνωστή δόση δανείου (σελ. 215)

Εκφώνηση: Δάνειο 1.000.000 € πρέπει να εξοφληθεί σε 20 ίσες ετήσιες δόσεις. Κάθε δόση είναι 87.184,50 €. Με ποιο επιτόκιο υπολογίστηκαν οι δόσεις;

Λύση:

• \(R=\dfrac{K}{a_{20\rceil i}}\Rightarrow a_{20\rceil i}=\dfrac{1.000.000}{87.184{,}50}\approx11{,}4703\).
• Αριθμητική επίλυση της \(a_{20\rceil i}=11{,}4703\) ως προς \(i\) δίνει \(i\approx0{,}0600\).

Απάντηση: i ≈ 0,06 (6%)

Πρόβλημα 6 · Εύρεση επιτοκίου δανείου μηχανημάτων (σελ. 216)

Εκφώνηση: Ο Α. Ανδρέου, για να αγοράσει μηχανήματα, δανείστηκε 1.800.000 €. Το δάνειο πρέπει να εξοφληθεί με 10 ετήσιες δόσεις. Κάθε δόση είναι 268.256 €. Με ποιο επιτόκιο υπολογίστηκε κάθε δόση;

Λύση:

• \(a_{10\rceil i}=\dfrac{1.800.000}{268.256}\approx6{,}7101\).
• Αριθμητική επίλυση της \(a_{10\rceil i}=6{,}7101\) ως προς \(i\) δίνει \(i\approx0{,}0800\).

Απάντηση: i ≈ 0,08 (8%)

Πρόβλημα 7 · Γαλλικό σύστημα — δόση και ανεξόφλητο υπόλοιπο μετά την 8η δόση (σελ. 216)

Εκφώνηση: Η απόσβεση δανείου 2.000.000 € με 5% σε 10 έτη γίνεται με το Γαλλικό σύστημα. Ποια είναι η ετήσια δόση και ποιο το υπόλοιπο του χρέους μετά την πληρωμή και της 8ης δόσης;

Λύση:

• \(R=\dfrac{K}{a_{10\rceil0,05}}=\dfrac{2.000.000}{7{,}72173}\approx259.009{,}15\) €.
• Το ανεξόφλητο υπόλοιπο μετά τη \(\mu\)-οστή δόση ισούται με την παρούσα αξία των εναπομεινάντων δόσεων: \(Y_8=R\cdot a_{10-8\rceil0,05}=259.009{,}15\cdot a_{2\rceil0,05}\approx481.604{,}32\) €.

Απάντηση: R ≈ 259.009 €, Y₈ ≈ 481.604 €

Σημείωση: το βιβλίο δίνει 259.000 € και 481.690 €· οι διαφορές οφείλονται στη στρογγυλοποίηση των συντελεστών των πινάκων.

Πρόβλημα 8 · Εύρεση κεφαλαίου δανείου από γνωστό τόκο δόσης (σελ. 216)

Εκφώνηση: Να βρεθεί ποιο είναι το ποσό του δανείου, το οποίο πρέπει να εξοφληθεί σε 10 χρόνια, με τη Γαλλική μέθοδο απόσβεσης με 8%, αν ο τόκος του όγδοου τοκοχρεολυσίου είναι 30.725 €.

Λύση:

• Ο τόκος της 8ης δόσης υπολογίζεται επί του ανεξόφλητου υπολοίπου μετά την 7η δόση, που ισούται με την παρούσα αξία των εναπομεινάντων 3 δόσεων: \(I_8=Y_7\cdot i=R\cdot a_{3\rceil i}\cdot i\), όπου \(R=K/a_{10\rceil i}\).
• Άρα \(I_8=K\cdot i\cdot\dfrac{a_{3\rceil0,08}}{a_{10\rceil0,08}}=30.725\Rightarrow K=\dfrac{30.725}{0{,}08\cdot a_{3\rceil0,08}/a_{10\rceil0,08}}\).
• \(a_{3\rceil0,08}\approx2{,}57710,\ a_{10\rceil0,08}\approx6{,}71008\Rightarrow K\approx999.998\) €, δηλαδή K=1.000.000 € (μικρή απόκλιση στρογγυλοποίησης).

Απάντηση: K ≈ 1.000.000 €

Πρόβλημα 9 · Σύγκριση δύο σχεδίων δανεισμού (τοκοχρεολυτικό vs τόκοι+εξοφλητικό απόθεμα) (σελ. 216)

Εκφώνηση: Ο έμπορος Ε θέλει να δανειστεί 2.000.000 € για 6 χρόνια. Η Τράπεζα Χ δανείζει με 5,5%, αν το δάνειο εξοφληθεί με ίσες ετήσιες τοκοχρεολυτικές δόσεις. Η Τράπεζα Ψ δανείζει με 5% αν οι τόκοι καταβάλονται κάθε χρόνο και το δανεισμένο ποσό επιστραφεί στο τέλος των 6 ετών, και για την ανασύσταση του δανεισμένου ποσού ο Ε πρέπει να κάνει ίσες ετήσιες καταθέσεις με 3%. Ποιο σχέδιο δανεισμού είναι φθηνότερο και πόσα χρήματα εξοικονομεί ο Ε, αν τελικά δανειστεί;

Λύση:

• Τράπεζα Χ (τοκοχρεολυτικά): \(R_X=\dfrac{K}{a_{6\rceil0,055}}=\dfrac{2.000.000}{4{,}99552}\approx400.357{,}90\) €/έτος.
• Τράπεζα Ψ (τόκοι + εξοφλητικό απόθεμα): \(R_\Psi=K\cdot i+K\cdot P_{6\rceil0,03}=2.000.000\times0{,}05+2.000.000\times0{,}154598\approx100.000+309.195\approx409.195{,}00\) €/έτος.
• Σύγκριση: \(R_\Psi-R_X\approx409.195{,}00-400.357{,}90\approx8.837{,}11\) €. Η Τράπεζα Χ είναι φθηνότερη.

Απάντηση: Rx≈400.358 €, Rψ≈409.195 €· η Τράπεζα Χ είναι φθηνότερη κατά ≈8.837 €