Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 5 (σελ. 128-129) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ
Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 5
Πλήρεις λύσεις και των τεσσάρων ασκήσεων — η συμπεριφορά των Ρ και S κυμάτων στο εσωτερικό της Γης, οι μέθοδοι χαρτογράφησης του εσωτερικού, ο υπολογισμός της απόστασης του επικέντρου από σεισμογράφημα και η απόδειξη της σχέσης που τη δίνει.
Άσκηση 1 — Ποια πρόταση περιγράφει σωστά τη συμπεριφορά των σεισμικών κυμάτων
Ερώτηση: Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις περιγράφει σωστά τη συμπεριφορά των σεισμικών κυμάτων; α) Τα Ρ κύματα απορροφώνται από τον πυρήνα της Γης, ενώ τα S κύματα δεν απορροφώνται. β) Τόσο τα Ρ όσο και τα S κύματα απορροφώνται από τον πυρήνα της Γης. γ) Τόσο τα Ρ όσο και τα S κύματα διαθλώνται στο μάγμα ή στο μανδύα της Γης. δ) Ούτε τα Ρ ούτε τα S κύματα ανακλώνται σε οποιαδήποτε διαχωριστική επιφάνεια στο εσωτερικό της Γης.
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: γ) Τόσο τα Ρ όσο και τα S κύματα διαθλώνται στο μάγμα ή στο μανδύα της Γης.
Η τεκμηρίωση (σελ. 124): Τα εγκάρσια (S) και διαμήκη (Ρ) σεισμικά κύματα, καθώς διαδίδονται στο εσωτερικό της γης συναντούν στρώματα διαφορετικής πυκνότητας. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να αλλάζει η ταχύτητα διάδοσής τους και συνεπώς και η διεύθυνση διάδοσής τους. Δηλαδή, τα σεισμικά κύματα ανάλογα με το είδος των στρωμάτων που συναντούν, διαθλώνται (αλλάζουν κατεύθυνση).
Γιατί αποκλείονται οι υπόλοιπες: α) «Τα Ρ απορροφώνται, τα S όχι»: είναι ακριβώς αντίστροφο. Τα S είναι εγκάρσια και δεν διαδίδονται σε υγρά (κεφ. 4) — άρα σταματούν στον υγρό εξωτερικό πυρήνα. Τα Ρ, ως διαμήκη, περνούν. β) «και τα δύο απορροφώνται»: λάθος, γιατί τα Ρ ανιχνεύονται και στην αντιδιαμετρική πλευρά της Γης. δ) «δεν ανακλώνται πουθενά»: λάθος — τα σεισμικά κύματα ανακλώνται στις διαχωριστικές επιφάνειες (φλοιός–μανδύας, μανδύας–πυρήνας), και ακριβώς αυτές οι ανακλάσεις αποκάλυψαν τη δομή του εσωτερικού της Γης.
Η «ΣΚΙΑ» ΤΩΝ S ΚΥΜΑΤΩΝ — Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΥΓΡΟΥ ΠΥΡΗΝΑ σεισμός ★ ╱ │ ╲ P,S╱ │ ╲P,S ╱ ┌─┴─┐ ╲ │ │ ΥΓΡΟΣ│ │ τα S ΣΤΑΜΑΤΟΥΝ εδώ │ │πυρήνας│ │ τα P περνούν (διαθλώμενα) ╲ └─┬─┘ ╱ ╲ │ ╱ ΖΩΝΗ ΣΚΙΑΣ των S: δεν φτάνει κανένα S κύμαΤο μεγάλο δίδαγμα: η διαφορετική συμπεριφορά Ρ και S είναι το βασικό εργαλείο της σεισμολογίας για τη μελέτη του εσωτερικού της Γης — ένα εσωτερικό στο οποίο κανείς δεν έχει φτάσει. Η σύνδεση με το κεφάλαιο 4: όλα στηρίζονται στον κανόνα ότι τα εγκάρσια κύματα δεν διαδίδονται στο εσωτερικό υγρών και αερίων.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση γ, δηλαδή τόσο τα πρωτογενή όσο και τα δευτερογενή κύματα διαθλώνται στο μάγμα ή στον μανδύα της Γης, όπως αναφέρει ρητά το βιβλίο: καθώς συναντούν στρώματα διαφορετικής πυκνότητας αλλάζει η ταχύτητα και άρα και η διεύθυνση διάδοσής τους. Η απάντηση α είναι ακριβώς αντίστροφη της πραγματικότητας, αφού τα δευτερογενή είναι εγκάρσια και δεν διαδίδονται σε υγρά, οπότε σταματούν στον υγρό εξωτερικό πυρήνα, ενώ τα πρωτογενή, ως διαμήκη, περνούν. Η απάντηση β αποκλείεται για τον ίδιο λόγο, αφού τα πρωτογενή ανιχνεύονται και στην αντιδιαμετρική πλευρά της Γης. Η απάντηση δ αποκλείεται γιατί τα σεισμικά κύματα ανακλώνται στις διαχωριστικές επιφάνειες, όπως ανάμεσα στον μανδύα και στον πυρήνα, και ακριβώς αυτές οι ανακλάσεις αποκάλυψαν τη δομή του εσωτερικού της Γης. Η ζώνη σκιάς των εγκάρσιων κυμάτων αποτελεί την κλασική απόδειξη ότι ο εξωτερικός πυρήνας είναι υγρός.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 2 — Μέθοδοι των γεωλόγων για τη χαρτογράφηση του εσωτερικού της Γης
Ερώτηση: Ποιες μεθόδους χρησιμοποιούν οι γεωλόγοι για να "δουν" στο εσωτερικό της Γης και, ως εκ τούτου, να χαρτογραφήσουν το εσωτερικό της;
Απάντηση:
-
Η κύρια μέθοδος: η μελέτη των σεισμικών κυμάτων. Τα σεισμικά κύματα λειτουργούν σαν ακτίνες Χ για τον πλανήτη — διασχίζουν το εσωτερικό του και «γράφουν» πάνω τους τις ιδιότητες των στρωμάτων που πέρασαν.
Τα τέσσερα «εργαλεία» που δίνουν τα κύματα: 1. Η διάθλαση (σελ. 124): τα σεισμικά κύματα ανάλογα με το είδος των στρωμάτων που συναντούν, διαθλώνται (αλλάζουν κατεύθυνση). Μετρώντας πού και πότε φτάνουν, υπολογίζεται πώς αλλάζει η ταχύτητα — και άρα η πυκνότητα — με το βάθος. 2. Η ανάκλαση στις διαχωριστικές επιφάνειες: αποκαλύπτει τα όρια των στρωμάτων (φλοιός, μανδύας, εξωτερικός και εσωτερικός πυρήνας). 3. Η «ζώνη σκιάς» των S κυμάτων: επειδή τα S είναι εγκάρσια και δεν διαδίδονται σε υγρά, η περιοχή της Γης όπου δεν φτάνουν αποδεικνύει ότι ο εξωτερικός πυρήνας είναι υγρός. 4. Οι χρόνοι διαδρομής: από τη διαφορά άφιξης Ρ και S σε πολλούς σταθμούς προκύπτει ένα πλήρες τρισδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων (σεισμική τομογραφία).
Οι δύο πηγές των κυμάτων: · φυσικοί σεισμοί — δωρεάν, αλλά τυχαίοι σε θέση και χρόνο· · τεχνητές εκρήξεις (και ειδικά δονητικά οχήματα) — ελεγχόμενες σε θέση, χρόνο και ισχύ. Είναι η βάση της σεισμικής διασκόπησης που χρησιμοποιείται στην αναζήτηση πετρελαίου και φυσικού αερίου.
Οι συμπληρωματικές μέθοδοι: · γεωθερμικές μετρήσεις — η ροή θερμότητας από το εσωτερικό· · βαρυτικές μετρήσεις — τοπικές ανωμαλίες του g φανερώνουν διαφορές πυκνότητας· · γεωμαγνητικές μετρήσεις — το πεδίο της Γης δείχνει την κίνηση του υγρού πυρήνα· · μελέτη ηφαιστειακών υλικών και μετεωριτών — δείγματα από βάθος και «ανάλογα» υλικά· · γεωτρήσεις — δίνουν άμεσα δείγματα, φτάνουν όμως μόλις λίγα χιλιόμετρα (η βαθύτερη έφτασε τα 12 km, δηλαδή 0,2% της ακτίνας της Γης).
Γιατί χρειάζονται τα κύματα: η ακτίνα της Γης είναι 6.370 km. Καμία γεώτρηση δεν πλησιάζει ούτε τον μανδύα — άρα η έμμεση μέθοδος των σεισμικών κυμάτων είναι η μόνη πηγή γνώσης για τα βαθιά στρώματα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η κύρια μέθοδος είναι η μελέτη των σεισμικών κυμάτων, τα οποία λειτουργούν για τον πλανήτη όπως οι ακτίνες Χ για το σώμα, αφού διασχίζουν το εσωτερικό του και μεταφέρουν πληροφορίες για τα στρώματα που πέρασαν. Χρησιμοποιούνται τέσσερα εργαλεία: η διάθλαση, αφού τα κύματα αλλάζουν ταχύτητα και κατεύθυνση όταν συναντούν στρώματα διαφορετικής πυκνότητας· η ανάκλαση στις διαχωριστικές επιφάνειες, που αποκαλύπτει τα όρια φλοιού, μανδύα και πυρήνα· η ζώνη σκιάς των δευτερογενών κυμάτων, η οποία, επειδή τα εγκάρσια δεν διαδίδονται σε υγρά, αποδεικνύει ότι ο εξωτερικός πυρήνας είναι υγρός· και οι χρόνοι διαδρομής από πολλούς σταθμούς, που δίνουν τρισδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων, δηλαδή σεισμική τομογραφία. Τα κύματα προέρχονται είτε από φυσικούς σεισμούς είτε από ελεγχόμενες τεχνητές εκρήξεις, τεχνική που χρησιμοποιείται και στην αναζήτηση πετρελαίου. Συμπληρωματικά χρησιμοποιούνται γεωθερμικές, βαρυτικές και γεωμαγνητικές μετρήσεις, η μελέτη ηφαιστειακών υλικών και μετεωριτών, καθώς και γεωτρήσεις, οι οποίες όμως φτάνουν μόλις λίγα χιλιόμετρα, δηλαδή ελάχιστο ποσοστό της ακτίνας της Γης.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 3 — Απόσταση επίκεντρου από σεισμογράφημα με Ρ και S κύματα
Ερώτηση: Η Εικόνα (5.5) δείχνει ένα τυπικό ίχνος ενός σεισμογράφου. Τα P κύματα φθάνουν πριν από τα S κύματα, διότι διαδίδονται πιο γρήγορα. Τα P κύματα διαδίδονται με ταχύτητα 6,0 Km/s και τα S κύματα με ταχύτητα 3,5 Km/s στον ανώτερο φλοιό της γης. Το σεισμογράφημα καταγράφει μόνον τη διαφορά στο χρόνο άφιξης των δύο κυμάτων.
Απάντηση:
-
α) Ο πίνακας των αποστάσεων Κάθε είδος κύματος κινείται με σταθερή ταχύτητα, άρα x = υ·t:
Χρόνος (s) │ 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ────────────┼────────────────────────────────────────────── Ρ (6,0) │ 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 km S (3,5) │ 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 kmβ) Η γραφική παράσταση Και οι δύο γραφικές παραστάσεις απόστασης – χρόνου είναι ευθείες που περνούν από την αρχή των αξόνων, γιατί η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή. Η κλίση κάθε ευθείας είναι η ταχύτητα:
x(km)│ ╱ Ρ (κλίση 6,0) 120 │ ╱ │ ╱ 60 │ ╱ ╱─ S (κλίση 3,5) │ ╱ ╱─ 20 │ ╱─ ╱── └──────────────────────────────────────► t (s) 0 5 10 15 20 Η ευθεία των Ρ είναι ΠΙΟ ΑΠΟΤΟΜΗ — μεγαλύτερη ταχύτητα. Η κατακόρυφη απόσταση των δύο ευθειών μεγαλώνει με τον χρόνο: όσο πιο μακριά ο σεισμός, τόσο μεγαλύτερη η ΔΙΑΦΟΡΑ άφιξης.γ) Η απόσταση του επικέντρου Από το σεισμογράφημα της Εικόνας 5.5, το Ρ φτάνει περίπου στα 10 s και το S περίπου στα 19 s, άρα:
Δt = 19 − 10 = 9 sΜε τη σχέση του επόμενου ερωτήματος:
Δt · υ · υ 9 · 6,0 · 3,5 189 P S L = ─────────────── = ─────────────── = ───── = 75,6 km υ − υ 6,0 − 3,5 2,5 P SΑπάντηση γ: L ≈ 75,6 km.
Ο έλεγχος:
t = L/υ = 75,6/6,0 = 12,6 s P P t = L/υ = 75,6/3,5 = 21,6 s S S Δt = 21,6 − 12,6 = 9,0 s ✔(Οι απόλυτοι χρόνοι διαφέρουν από τους μετρημένους στο διάγραμμα, γιατί το μηδέν του σεισμογράφου δεν συμπίπτει με τη στιγμή του σεισμού — αλλά η διαφορά τους είναι η ίδια, και μόνο αυτή χρειάζεται.) Γιατί το βιβλίο τονίζει ότι «το σεισμογράφημα καταγράφει μόνον τη διαφορά»: ο σεισμογράφος δεν γνωρίζει πότε έγινε ο σεισμός. Ξέρει μόνο πότε έφτασαν σε αυτόν τα δύο κύματα — και αυτό αρκεί για την απόσταση. Γιατί χρειάζονται τρεις σταθμοί για το επίκεντρο: ένας σταθμός δίνει μόνο την απόσταση, δηλαδή έναν κύκλο πιθανών θέσεων. Με τρεις κύκλους από τρεις σταθμούς, το επίκεντρο είναι το μοναδικό κοινό τους σημείο.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Στο πρώτο ερώτημα, επειδή κάθε είδος κύματος κινείται με σταθερή ταχύτητα, η απόσταση ισούται με ταχύτητα επί χρόνο: για τα πρωτογενή προκύπτουν δώδεκα, είκοσι τέσσερα, τριάντα έξι και ούτω καθεξής χιλιόμετρα, ενώ για τα δευτερογενή επτά, δεκατέσσερα, είκοσι ένα και ούτω καθεξής. Στο δεύτερο ερώτημα, οι γραφικές παραστάσεις απόστασης χρόνου είναι ευθείες που περνούν από την αρχή των αξόνων, με κλίση ίση με την ταχύτητα· η ευθεία των πρωτογενών είναι πιο απότομη και η κατακόρυφη απόστασή τους μεγαλώνει με τον χρόνο, δηλαδή όσο πιο μακριά ο σεισμός τόσο μεγαλύτερη η διαφορά άφιξης. Στο τρίτο ερώτημα, από το σεισμογράφημα η διαφορά άφιξης είναι περίπου εννέα δευτερόλεπτα, οπότε η απόσταση του επικέντρου προκύπτει από τη σχέση διαφορά χρόνου επί το γινόμενο των ταχυτήτων προς τη διαφορά τους, δηλαδή περίπου εβδομήντα πέντε κόμμα έξι χιλιόμετρα. Σημειώνεται ότι ο σεισμογράφος δεν γνωρίζει πότε έγινε ο σεισμός, ξέρει μόνο τη διαφορά άφιξης, και ότι για τον προσδιορισμό του επικέντρου χρειάζονται τρεις σταθμοί, ώστε να τμηθούν τρεις κύκλοι σε ένα σημείο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 4 — Απόδειξη της σχέσης για την απόσταση του σεισμού
Ερώτηση: Να δειχθεί ότι η απόσταση L ενός σεισμού από το σεισμογράφο δίνεται από την ακόλουθη σχέση: όπου Δt είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ των χρόνων άφιξης των P και S κυμάτων, που διαδίδονται με ταχύτητες υP και υS αντίστοιχα.
Απάντηση:
-
Η απόδειξη σε τέσσερα βήματα
Βήμα 1 — οι χρόνοι διαδρομής. Και τα δύο κύματα διανύουν την ίδια απόσταση L από την εστία μέχρι τον σεισμογράφο, με σταθερές ταχύτητες:
t = L / υ (χρόνος άφιξης των Ρ) P P t = L / υ (χρόνος άφιξης των S) S SΒήμα 2 — η διαφορά των χρόνων. Επειδή υP > υS, είναι tS > tP:
Δt = t − t = L/υ − L/υ S P S PΒήμα 3 — κοινός παρονομαστής:
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ υ − υ ⎞ ⎜ ─── − ─── ⎟ ⎜ P S ⎟ Δt = L · ⎜ υ υ ⎟ = L · ⎜ ──────── ⎟ ⎝ S P ⎠ ⎝ υ · υ ⎠ P SΒήμα 4 — λύνουμε ως προς L:
Δt · υ · υ P S L = ───────────────── υ − υ P SΗ ζητούμενη σχέση αποδείχθηκε.
Ο αριθμητικός έλεγχος με τα δεδομένα του βιβλίου (υP = 6,0, υS = 3,5 km/s):
Δt · 21 L = ─────────── = 8,4 · Δt (km, με Δt σε s) 2,5Δηλαδή κάθε δευτερόλεπτο διαφοράς αντιστοιχεί σε 8,4 km απόστασης — ένας πρακτικός κανόνας για γρήγορη εκτίμηση. Ο έλεγχος διαστάσεων:
[Δt·υ·υ] / [υ] = s · (km/s) · (km/s) / (km/s) = s · km/s = km ✔Η φυσική ερμηνεία της σχέσης: · Όσο μεγαλύτερο το Δt, τόσο μακρύτερα ο σεισμός — ανάλογη εξάρτηση. · Όσο πιο κοντά οι δύο ταχύτητες (μικρό υP − υS), τόσο μεγαλύτερη η υπολογιζόμενη απόσταση για δεδομένο Δt — και τόσο λιγότερο ακριβής η μέθοδος. · Αν οι δύο ταχύτητες ήταν ίσες, ο παρονομαστής θα μηδενιζόταν και η μέθοδος θα κατέρρεε — δεν θα υπήρχε καμία διαφορά άφιξης για να μετρηθεί. Η αξία της μεθόδου: χρειάζεται μόνο μια διαφορά χρόνου, η οποία μετριέται με έναν σεισμογράφο, χωρίς να απαιτείται συγχρονισμένο ρολόι με την εστία του σεισμού. Η προσοχή στη αρίθμηση: η άσκηση αυτή φέρει στο βιβλίο (σελ. 129) ξανά τον αριθμό 2 — προφανές τυπογραφικό, αφού είναι η τέταρτη κατά σειρά άσκηση του κεφαλαίου.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η απόδειξη γίνεται σε τέσσερα βήματα. Πρώτον, και τα δύο κύματα διανύουν την ίδια απόσταση από την εστία μέχρι τον σεισμογράφο με σταθερές ταχύτητες, οπότε ο χρόνος άφιξης καθενός ισούται με την απόσταση προς την ταχύτητά του. Δεύτερον, επειδή τα πρωτογενή είναι ταχύτερα, η διαφορά των χρόνων ισούται με την απόσταση επί τη διαφορά των αντιστρόφων των ταχυτήτων. Τρίτον, με κοινό παρονομαστή, η διαφορά χρόνου ισούται με την απόσταση επί τη διαφορά των ταχυτήτων προς το γινόμενό τους. Τέταρτον, λύνοντας ως προς την απόσταση προκύπτει ότι αυτή ισούται με τη διαφορά χρόνου επί το γινόμενο των ταχυτήτων προς τη διαφορά τους, δηλαδή η ζητούμενη σχέση. Με τα δεδομένα του βιβλίου, η σχέση δίνει πρακτικά οκτώ κόμμα τέσσερα χιλιόμετρα ανά δευτερόλεπτο διαφοράς. Φυσικά, όσο μεγαλύτερη η διαφορά άφιξης τόσο μακρύτερα ο σεισμός, ενώ αν οι δύο ταχύτητες ήταν ίσες ο παρονομαστής θα μηδενιζόταν και η μέθοδος θα κατέρρεε. Σημειώνεται ότι η άσκηση αυτή φέρει στο βιβλίο εκ παραδρομής ξανά τον αριθμό δύο, ενώ είναι η τέταρτη του κεφαλαίου.
Κριτήρια αξιολόγησης:
