Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 3 (σελ. 84-87) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ

ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 3 (σελ. 84-87) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 3

Πλήρεις λύσεις και των 20 ασκήσεων — μορφές ρεύματος, ενεργές τιμές, ισχύς σε αντιστάτη, μετασχηματιστής ως ανυψωτής και υποβιβαστής, και υπολογισμοί απωλειών στη γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας.

Άσκηση 1 — Τι είδους ρεύμα δείχνει η γραφική παράσταση

Ερώτηση: Στην απέναντι εικόνα φαίνεται η εξάρτηση ενός ρεύματος από τον χρόνο. Το ρεύμα είναι: Α. Συνεχές σταθερό Β. Μεταβαλλόμενο Γ. Εναλλασσόμενο ημιτονοειδές Δ. Συνεχές μεταβλητό.

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Δ. Συνεχές μεταβλητό.

Τι δείχνει η εικόνα: μια πριονωτή κυματομορφή — το ρεύμα ανεβαίνει γραμμικά από το μηδέν, πέφτει απότομα στο μηδέν και η διαδικασία επαναλαμβάνεται.
```
   I │      ╱│    ╱│    ╱│
     │    ╱  │  ╱  │  ╱  │
     │  ╱    │╱    │╱    │
     └──────────────────────► t
     όλες οι τιμές ΘΕΤΙΚΕΣ — το ρεύμα ΔΕΝ αλλάζει ποτέ φορά
```
Τα δύο κριτήρια που πρέπει να ελεγχθούν: 1. Αλλάζει φορά; ΟΧΙ — η καμπύλη μένει πάντα πάνω από τον άξονα του χρόνου. Άρα το ρεύμα είναι συνεχές (τα ηλεκτρόνια κινούνται πάντοτε προς την ίδια κατεύθυνση). 2. Είναι σταθερό; ΟΧΙ — η τιμή του μεταβάλλεται συνεχώς. Άρα είναι μεταβλητό. Συνδυάζοντας: συνεχές μεταβλητό.

Γιατί αποκλείονται οι υπόλοιπες: Α. Συνεχές σταθερό: θα ήταν οριζόντια ευθεία. Β. Μεταβαλλόμενο: η απάντηση είναι ελλιπής — δεν λέει αν το ρεύμα αλλάζει φορά. Γ. Εναλλασσόμενο ημιτονοειδές: θα έπρεπε η καμπύλη να είναι ημίτονο και να παίρνει και αρνητικές τιμές.

Η κρίσιμη διάκριση: «συνεχές» δεν σημαίνει «σταθερό». Σημαίνει ότι η φορά του ρεύματος δεν αντιστρέφεται ποτέ. Ένα ανορθωμένο ρεύμα, το ρεύμα φόρτισης μιας μπαταρίας ή η πριονωτή κυματομορφή της εικόνας είναι όλα συνεχή μεταβλητά. Πού συναντάται η πριονωτή κυματομορφή: στους παλμογράφους και στις παλιές τηλεοράσεις, ως ρεύμα σάρωσης — η γραμμική άνοδος «σέρνει» τη δέσμη κατά μήκος της οθόνης και η απότομη πτώση την επαναφέρει στην αρχή.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Δ, δηλαδή το ρεύμα είναι συνεχές μεταβλητό. Η εικόνα δείχνει πριονωτή κυματομορφή: το ρεύμα ανεβαίνει γραμμικά από το μηδέν, πέφτει απότομα και η διαδικασία επαναλαμβάνεται, με όλες τις τιμές θετικές. Ελέγχουμε δύο κριτήρια: πρώτον, το ρεύμα δεν αλλάζει ποτέ φορά, αφού η καμπύλη μένει πάνω από τον άξονα του χρόνου, άρα είναι συνεχές· δεύτερον, η τιμή του μεταβάλλεται, άρα είναι μεταβλητό. Η απάντηση Α αποκλείεται γιατί το σταθερό συνεχές θα ήταν οριζόντια ευθεία, η Β είναι ελλιπής γιατί δεν διευκρινίζει αν αλλάζει φορά, και η Γ αποκλείεται γιατί το εναλλασσόμενο ημιτονοειδές θα έπαιρνε και αρνητικές τιμές. Κρίσιμη είναι η διάκριση ότι συνεχές δεν σημαίνει σταθερό, αλλά ότι η φορά του ρεύματος δεν αντιστρέφεται· τέτοια είναι και η πριονωτή κυματομορφή, η οποία χρησιμοποιείται ως ρεύμα σάρωσης σε παλμογράφους και οθόνες καθοδικού σωλήνα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 2 — Ρεύμα από επαλληλία συνεχούς και εναλλασσόμενης τάσης

Ερώτηση: Στα άκρα ενός αντιστάτη εφαρμόζουμε μία συνεχή σταθερή τάση V0 και μία εναλλασσόμενη τάση με πλάτος V0. Το ρεύμα το οποίο θα κυκλοφορήσει είναι: Α. Συνεχές σταθερό Β. Εναλλασσόμενο Γ. Συνεχές μεταβλητό.

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Γ. Συνεχές μεταβλητό.

Η ανάλυση: η ολική τάση στα άκρα του αντιστάτη είναι το άθροισμα των δύο:
```
   u = V  +  V ·ημωt  =  V ·(1 + ημωt)
        0     0            0

   ημωt ∈ [−1, +1]   ⇒   u ∈ [0, 2V ]
                                    0
```
Άρα από τον νόμο του Ohm:
```
   i = u/R = (V /R)·(1 + ημωt)     ⇒   i ∈ [0, 2V /R]
               0                                 0
```
```
   i │        ╭─╮         ╭─╮
     │      ╱    ╲      ╱    ╲        μέγιστο 2V /R
     │    ╱        ╲  ╱        ╲              0
     │──╱────────────╲────────────  μέσο V /R
     └────────────────────────────► t        0
     ελάχιστο 0 — το ρεύμα ΑΓΓΙΖΕΙ το μηδέν αλλά ΔΕΝ γίνεται αρνητικό
```
Το συμπέρασμα: το ρεύμα μεταβάλλεται αλλά ποτέ δεν αλλάζει φορά — άρα είναι συνεχές μεταβλητό.

Το κρίσιμο σημείο: το πλάτος της εναλλασσόμενης συνιστώσας είναι ακριβώς ίσο με τη συνεχή τάση V₀. Έτσι η ολική τάση μόλις που αγγίζει το μηδέν στα ελάχιστά της, χωρίς να το περνά. Τι θα άλλαζε αν το πλάτος ήταν μεγαλύτερο: αν η εναλλασσόμενη είχε πλάτος 2V₀, τότε u = V₀(1 + 2ημωt) θα έπαιρνε και αρνητικές τιμές — το ρεύμα θα άλλαζε φορά και η σωστή απάντηση θα ήταν Β. Εναλλασσόμενο. Γιατί επιτρέπεται η απλή πρόσθεση των τάσεων: ο αντιστάτης είναι γραμμικό στοιχείο και ισχύει η αρχή της επαλληλίας — η απόκριση στο άθροισμα δύο διεγέρσεων είναι το άθροισμα των αποκρίσεων. Η πρακτική σημασία: η συνεχής συνιστώσα μαζί με μια εναλλασσόμενη είναι ακριβώς η κατάσταση στην έξοδο ενός ανορθωτή με φίλτρο ή στο σήμα ενός ενισχυτή με πόλωση — η μία «σηκώνει» την άλλη ώστε να μην περνά ποτέ στις αρνητικές τιμές.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Γ, δηλαδή συνεχές μεταβλητό. Η ολική τάση στα άκρα του αντιστάτη είναι το άθροισμα της συνεχούς και της εναλλασσόμενης, δηλαδή η συνεχής τάση επί ένα συν το ημίτονο. Επειδή το ημίτονο κυμαίνεται από μείον ένα έως συν ένα, η ολική τάση κυμαίνεται από μηδέν έως το διπλάσιο της συνεχούς, χωρίς ποτέ να γίνεται αρνητική. Άρα και το ρεύμα, από τον νόμο του Ohm, μεταβάλλεται από μηδέν έως το διπλάσιο της μέσης τιμής του χωρίς να αλλάζει ποτέ φορά, δηλαδή είναι συνεχές μεταβλητό. Κρίσιμο είναι ότι το πλάτος της εναλλασσόμενης συνιστώσας ισούται ακριβώς με τη συνεχή τάση, οπότε η ολική τάση μόλις που αγγίζει το μηδέν· αν το πλάτος ήταν μεγαλύτερο, η τάση θα έπαιρνε αρνητικές τιμές και το ρεύμα θα ήταν εναλλασσόμενο. Η απλή πρόσθεση των τάσεων επιτρέπεται γιατί ο αντιστάτης είναι γραμμικό στοιχείο και ισχύει η αρχή της επαλληλίας.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 3 — Υπολογισμός αντίστασης από πλάτος τάσης και ενεργό ρεύμα

Ερώτηση: Στα άκρα ενός αντιστάτη εφαρμόζουμε εναλλασσόμενη ημιτονοειδή τάση με πλάτος U0 = 8 2Volt . Η ενεργός τιμή του ρεύματος είναι Ιεν=4Α. Η αντίσταση του αντιστάτη είναι: Α. 2 2Α Β. 2Ω Γ. 4Ω Δ. 1 Ω 2

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Β. 2 Ω.

Τα δεδομένα: U₀ = 8√2 V (πλάτος), Ιεν = 4 A (ενεργός).

Η παγίδα: δίνεται πλάτος τάσης και ενεργό ρεύμα. Πρέπει πρώτα να τα φέρουμε στο ίδιο είδος.
```
   U    =  U /√2  =  8√2 / √2  =  8 V
    εν      0

   R  =  U   / Ι    =  8 / 4  =  2 Ω
          εν    εν
```
Απάντηση: R = 2 Ω.

Ο εναλλακτικός δρόμος — μετατροπή προς τα πλάτη:
```
   Ι  = √2 · Ι    = 4√2 A
    0         εν

   R = U /Ι  = 8√2 / (4√2) = 2 Ω      ✔  ίδιο αποτέλεσμα
        0  0
```
Γιατί ο νόμος του Ohm ισχύει και με τα δύο ζεύγη: επειδή στον καθαρά ωμικό αντιστάτη τάση και ρεύμα είναι σε φάση, ο λόγος τους είναι σταθερός — ισχύει για τις στιγμιαίες τιμές, για τα πλάτη και για τις ενεργές τιμές. Αυτό δεν ισχύει αν συμμετέχουν πηνία ή πυκνωτές.

Γιατί αποκλείονται οι υπόλοιπες: Α. 2√2 Α: έχει λάθος μονάδα (ampere αντί για ohm) — προκύπτει αν κάποιος διαιρέσει λανθασμένα. Γ. 4 Ω: προκύπτει αν διαιρέσουμε κατευθείαν το πλάτος 8√2 με το √2·4 = 5,66… ή αν συγχέουμε πλάτος με ενεργό στη λάθος κατεύθυνση. Δ. 1/2 Ω: το αντίστροφο του σωστού, από αντιστροφή αριθμητή-παρονομαστή.

Το γενικό δίδαγμα: σε κάθε άσκηση εναλλασσόμενου, το πρώτο βήμα είναι να ελεγχθεί αν τα δεδομένα είναι πλάτη ή ενεργές τιμές. Το βιβλίο μάλιστα το δηλώνει ρητά στην αρχή του μπλοκ (σελ. 84): Όταν αναφερόμαστε σε σταθερές τιμές τάσης ή έντασης, εννοούμε τις ενεργές τιμές αυτών. Γιατί το βιβλίο διάλεξε U₀ = 8√2: για να απλοποιηθεί το √2 και να προκύψει «στρογγυλή» ενεργός τιμή 8 V.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Β, δηλαδή δύο ωμ. Η παγίδα της άσκησης είναι ότι δίνεται το πλάτος της τάσης και η ενεργός τιμή του ρεύματος, οπότε πρέπει πρώτα να τα φέρουμε στο ίδιο είδος. Η ενεργός τιμή της τάσης είναι το πλάτος διά ρίζα δύο, δηλαδή οκτώ ρίζα δύο διά ρίζα δύο, ίση με οκτώ volt. Άρα η αντίσταση είναι οκτώ διά τέσσερα, δηλαδή δύο ωμ. Το ίδιο προκύπτει και αν εργαστούμε με πλάτη, αφού το πλάτος του ρεύματος είναι τέσσερα ρίζα δύο και ο λόγος των πλατών δίνει πάλι δύο ωμ. Ο νόμος του Ohm ισχύει και για τα πλάτη και για τις ενεργές τιμές, γιατί σε καθαρά ωμικό αντιστάτη τάση και ρεύμα είναι σε φάση· αυτό δεν ισχύει όταν στο κύκλωμα υπάρχουν πηνία ή πυκνωτές. Η επιλογή Α έχει λάθος μονάδα, ενώ οι Γ και Δ προκύπτουν από λανθασμένη μετατροπή ή αντιστροφή του κλάσματος. Γενικό δίδαγμα είναι ότι σε κάθε άσκηση εναλλασσόμενου ελέγχουμε πρώτα αν τα δεδομένα είναι πλάτη ή ενεργές τιμές.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 4 — Σε ποιο πηνίο εφαρμόζουμε την τάση για ανύψωση

Ερώτηση: Θέλουμε να αυξήσουμε το πλάτος μιας εναλλασσόμενης τάσης με τη βοήθεια ενός μετασχηματιστή. Για να το επιτύχουμε αυτό πρέπει να εφαρμόσουμε την τάση: Α. Στο πηνίο με τις πολλές σπείρες Β. Στο πηνίο με τις λίγες σπείρες Γ. Σε οποιοδήποτε πηνίο

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Β. Στο πηνίο με τις λίγες σπείρες.

Η ρητή διατύπωση του βιβλίου (σελ. 71): Αν, λοιπόν, θέλουμε να αυξήσουμε το πλάτος μιας εναλλασσόμενης τάσης, δεν έχουμε παρά να την εφαρμόσουμε στο πηνίο με τις λίγες σπείρες, οπότε στο πηνίο με τις πολλές σπείρες θα λαμβάνεται εναλλασσόμενη τάση με μεγαλύτερο πλάτος. Στην περίπτωση αυτή ο μετασχηματιστής θα λειτουργεί ως ανυψωτής τάσης.

Ο τύπος (σελ. 71, σχέσεις 28 και 29):
```
   V  / V   =  Ν  / Ν            (και για πλάτη και για ενεργές τιμές)
    1    2      1    2

   ⇒  V  = V · (Ν /Ν )
       2    1    2  1

   Ν  > Ν   ⇒  V  > V     ΑΝΥΨΩΣΗ
    2    1      2    1
```
```
   ΕΙΣΟΔΟΣ στις λίγες σπείρες:        ΕΙΣΟΔΟΣ στις πολλές σπείρες:

     ) ) )  ┃  ) ) ) ) ) ) ) )         ) ) ) ) ) ) ) )  ┃  ) ) )
     Ν =100 ┃  Ν =1000                 Ν =1000         ┃  Ν =100
      1     ┃   2                       1              ┃   2
     220 V  ┃  2200 V                   220 V          ┃   22 V
     ΑΝΥΨΩΤΗΣ ✔                         ΥΠΟΒΙΒΑΣΤΗΣ
```
Γιατί αποκλείεται η Γ: ο μετασχηματιστής δεν είναι συμμετρικός ως προς τη λειτουργία του — η κατεύθυνση έχει σημασία. Το ίδιο εξάρτημα λειτουργεί ως ανυψωτής ή υποβιβαστής ανάλογα με το σε ποιο πηνίο εφαρμόζουμε την είσοδο. Η ορολογία: το πηνίο στο οποίο εφαρμόζουμε την τάση λέγεται πρωτεύον, το άλλο δευτερεύον — και οι όροι δεν συνδέονται με το πλήθος των σπειρών, αλλά με το ποιο τροφοδοτούμε. Το τίμημα της ανύψωσης: σε ιδανικό μετασχηματιστή ισχύει P₁ = P₂, δηλαδή V₁·Ι₁ = V₂·Ι₂. Αν η τάση δεκαπλασιαστεί, το ρεύμα υποδεκαπλασιάζεται. Ο μετασχηματιστής δεν παράγει ενέργεια — απλώς μεταβάλλει τον συνδυασμό τάσης και ρεύματος. Πού αξιοποιείται (σελ. 74): στη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας — ανύψωση στην έξοδο του εργοστασίου, υποβιβασμός κοντά στην κατανάλωση.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Β, δηλαδή πρέπει να εφαρμόσουμε την τάση στο πηνίο με τις λίγες σπείρες. Οι τάσεις των δύο πηνίων, τόσο τα πλάτη όσο και οι ενεργές τιμές, είναι ανάλογες των αριθμών των σπειρών τους, οπότε αν η είσοδος γίνει στις λίγες σπείρες, στο πηνίο με τις πολλές θα λαμβάνεται μεγαλύτερη τάση και ο μετασχηματιστής θα λειτουργεί ως ανυψωτής. Η απάντηση Γ αποκλείεται, γιατί ο μετασχηματιστής δεν είναι συμμετρικός ως προς τη λειτουργία του: το ίδιο εξάρτημα λειτουργεί ως ανυψωτής ή ως υποβιβαστής ανάλογα με το ποιο πηνίο τροφοδοτούμε. Το πηνίο στο οποίο εφαρμόζουμε την τάση ονομάζεται πρωτεύον και το άλλο δευτερεύον, ανεξάρτητα από το πλήθος των σπειρών τους. Σημειώνεται ότι η ανύψωση της τάσης έχει τίμημα, αφού σε ιδανικό μετασχηματιστή η ισχύς διατηρείται και το ρεύμα μειώνεται στην ίδια αναλογία· ο μετασχηματιστής δεν παράγει ενέργεια αλλά μεταβάλλει τον συνδυασμό τάσης και ρεύματος.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 5 — Συνεχής τάση στο πρωτεύον μετασχηματιστή

Ερώτηση: Στο πρωτεύον πηνίο ενός μετασχηματιστή εφαρμόζουμε συνεχή σταθερή τάση. Η τάση στο δευτερεύον θα είναι: Α. Συνεχής σταθερή Β. Συνεχής μεταβλητή Γ. Μεταβαλλόμενη Δ. Μηδέν.

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: Δ. Μηδέν.

Η αιτιολόγηση με τρία βήματα: 1. Συνεχής σταθερή τάση στο πρωτεύον → σταθερό ρεύμα στο πρωτεύον. 2. Σταθερό ρεύμα → σταθερό μαγνητικό πεδίο → σταθερή μαγνητική ροή στον πυρήνα. 3. Σταθερή ροή σημαίνει ΔΦ = 0, και από τον νόμο της επαγωγής (κεφ. 2, σελ. 46):
```
   Ε  = − Ν · ΔΦ/Δt  =  − Ν · 0/Δt  =  0
    2
```
Απάντηση: η τάση στο δευτερεύον είναι μηδέν.
```
   ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΗ ΕΙΣΟΔΟΣ            ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΙΣΟΔΟΣ

   i  μεταβάλλεται                   i  σταθερό
    1                                 1
   Φ  μεταβάλλεται                   Φ  σταθερή
   ΔΦ ≠ 0                            ΔΦ = 0
   V  ≠ 0    ✔ λειτουργεί            V  = 0    ✘ ΔΕΝ λειτουργεί
    2                                 2
```
Η σημαντική εξαίρεση — η στιγμή της σύνδεσης: ακριβώς τη στιγμή που κλείνουμε ή ανοίγουμε τον διακόπτη, το ρεύμα μεταβάλλεται απότομα και εμφανίζεται στιγμιαία τάση στο δευτερεύον. Είναι ακριβώς το πείραμα της αμοιβαίας επαγωγής (κεφ. 2, σελ. 49): Η ένδειξη του αμπερομέτρου στο πηνίο Π2 διαρκεί για πολύ μικρό χρονικό διάστημα μετά το κλείσιμο του διακόπτη. Από τη στιγμή που το ρεύμα στο πηνίο Π1 σταθεροποιηθεί, το αμπερόμετρο στο πηνίο Π2 θα δείχνει μηδέν. Γιατί αυτό είναι θεμελιώδης περιορισμός: ο μετασχηματιστής δεν μπορεί να αλλάξει την τάση ενός συνεχούς ρεύματος. Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος για τον οποίο η μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας γίνεται με εναλλασσόμενο (σελ. 74): Η δυνατότητα αυτή παρέχεται με τη χρήση του εναλλασσόμενου ρεύματος σε συνδυασμό με τους μετασχηματιστές. Ο πρόσθετος κίνδυνος: το πρωτεύον, χωρίς την επαγωγική αντίσταση που εμφανίζεται μόνο στο εναλλασσόμενο, παρουσιάζει μόνο την (πολύ μικρή) ωμική αντίσταση του σύρματος. Με συνεχή τάση δικτύου το ρεύμα γίνεται τεράστιο και το τύλιγμα καίγεται. Η σύγχρονη λύση για DC: για να μεταβληθεί η τάση ενός συνεχούς ρεύματος χρησιμοποιούνται παλμοτροφοδοτικά — το DC τεμαχίζεται ηλεκτρονικά σε παλμούς, οπότε αποκτά μεταβολή και μπορεί να μετασχηματιστεί.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Δ, δηλαδή η τάση στο δευτερεύον είναι μηδέν. Η συνεχής σταθερή τάση δίνει σταθερό ρεύμα στο πρωτεύον, το σταθερό ρεύμα δίνει σταθερό μαγνητικό πεδίο και άρα σταθερή μαγνητική ροή στον πυρήνα, οπότε η μεταβολή της ροής είναι μηδέν και από τον νόμο της επαγωγής μηδενίζεται η ηλεκτρεγερτική δύναμη στο δευτερεύον. Εξαίρεση αποτελεί μόνο η στιγμή που κλείνουμε ή ανοίγουμε τον διακόπτη, οπότε το ρεύμα μεταβάλλεται απότομα και εμφανίζεται στιγμιαία τάση, ακριβώς όπως στο πείραμα της αμοιβαίας επαγωγής του προηγούμενου κεφαλαίου. Ο περιορισμός αυτός είναι θεμελιώδης: ο μετασχηματιστής δεν μπορεί να αλλάξει την τάση συνεχούς ρεύματος, και γι' αυτό ακριβώς η μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας γίνεται με εναλλασσόμενο. Υπάρχει και πρόσθετος κίνδυνος, αφού με συνεχή τάση το πρωτεύον παρουσιάζει μόνο τη μικρή ωμική αντίσταση του σύρματος, οπότε το ρεύμα γίνεται τεράστιο και το τύλιγμα καίγεται.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 6 — Γιατί δεν φαίνεται η αυξομείωση φωτεινότητας του λαμπτήρα

Ερώτηση: Αν στα άκρα ενός λαμπτήρα πυράκτωσης εφαρμόσουμε εναλλασσόμενη ημιτονοειδή τάση, ο λαμπτήρας θα διαρρέεται από εναλλασσόμενο ημιτονοειδές ρεύμα. Το ρεύμα αυτό, όπως γνωρίζετε, αυξομειώνεται παίρνοντας μάλιστα και αρνητικές τιμές, πράγμα που σημαίνει ότι τα ηλεκτρόνια κινούνται περιοδικά και προς τις δύο δυνατές κατευθύνσεις. Γιατί αυτή η αυξομείωση του ρεύματος δε γίνεται αντιληπτή ως αυξομείωση της φωτεινότητας του λαμπτήρα;

Απάντηση:

Δύο είναι οι λόγοι, και συνεργούν:

1. Η θερμική αδράνεια του νήματος Ο λαμπτήρας πυράκτωσης φωτοβολεί επειδή το νήμα του πυρακτώνεται. Το νήμα έχει μάζα και θερμοχωρητικότητα, άρα δεν προλαβαίνει να κρυώσει στα ελάχιστα του ρεύματος. Σε ένα δίκτυο 50 Hz, το ρεύμα μηδενίζεται 100 φορές το δευτερόλεπτο — δηλαδή κάθε 10 ms. Το νήμα χρειάζεται πολύ μεγαλύτερο χρόνο για να ψυχθεί αισθητά, οπότε η θερμοκρασία του (και η φωτεινότητα) παραμένουν πρακτικά σταθερές.

2. Η αδράνεια της όρασης Το ανθρώπινο μάτι δεν διακρίνει μεταβολές φωτεινότητας ταχύτερες από περίπου 1/16 του δευτερολέπτου. Ακόμη και αν η φωτεινότητα αυξομειωνόταν στα 100 Hz, το μάτι θα έβλεπε τον μέσο όρο. (Στην ίδια αρχή στηρίζεται και ο κινηματογράφος με τα 24 καρέ ανά δευτερόλεπτο.)
```
   ρεύμα i          ╱╲    ╱╲    ╱╲          50 φορές/s
                  ╱  ╲  ╱  ╲  ╱  ╲
              ───╱────╲╱────╲╱────╲───► t

   ισχύς Ρ~i²   ╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲        100 φορές/s, ΠΑΝΤΑ θετική
              ──────────────────────► t

   θερμοκρασία  ─────────────────────      ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΤΑΘΕΡΗ
   νήματος                                (θερμική αδράνεια)
```
Το κρίσιμο σημείο για την ισχύ: η ισχύς είναι P = i²·R. Επειδή το ρεύμα μπαίνει στο τετράγωνο, η ισχύς είναι πάντοτε θετική — και στις δύο ημιπεριόδους ο λαμπτήρας παίρνει ενέργεια. Η φορά του ρεύματος δεν έχει σημασία για τη θέρμανση. Πότε η αυξομείωση γίνεται αντιληπτή: σε πολύ χαμηλές συχνότητες. Αν τροφοδοτούσαμε τον λαμπτήρα με εναλλασσόμενο 1 Hz, θα βλέπαμε καθαρά το αναβοσβήσιμο. Γιατί οι λαμπτήρες φθορισμού και τα LED «τρεμοπαίζουν» περισσότερο: εκεί δεν υπάρχει θερμό νήμα με θερμική αδράνεια — το φως παράγεται ακαριαία. Γι' αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό το στροβοσκοπικό φαινόμενο, π.χ. όταν ένας περιστρεφόμενος τροχός φαίνεται ακίνητος. Η σύνδεση με την ενεργό τιμή: αυτό ακριβώς το φαινόμενο —ότι μετράει η μέση εκλυόμενη ενέργεια και όχι η στιγμιαία τιμή— είναι που δικαιολογεί τον ορισμό της ενεργού τιμής (σελ. 68).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Δύο λόγοι συνεργούν. Πρώτον, η θερμική αδράνεια του νήματος: ο λαμπτήρας πυράκτωσης φωτοβολεί επειδή το νήμα πυρακτώνεται, και το νήμα έχει μάζα και θερμοχωρητικότητα, οπότε δεν προλαβαίνει να κρυώσει στα ελάχιστα του ρεύματος. Σε δίκτυο πενήντα hertz το ρεύμα μηδενίζεται εκατό φορές το δευτερόλεπτο, δηλαδή κάθε δέκα χιλιοστά του δευτερολέπτου, χρόνος πολύ μικρότερος από αυτόν που χρειάζεται το νήμα για να ψυχθεί αισθητά. Δεύτερον, η αδράνεια της όρασης: το μάτι δεν διακρίνει μεταβολές φωτεινότητας ταχύτερες από περίπου ένα δέκατο έκτο του δευτερολέπτου, οπότε βλέπει τον μέσο όρο. Κρίσιμο είναι επίσης ότι η ισχύς ισούται με το τετράγωνο του ρεύματος επί την αντίσταση, άρα είναι πάντοτε θετική και ο λαμπτήρας παίρνει ενέργεια και στις δύο ημιπεριόδους, ανεξάρτητα από τη φορά του ρεύματος. Σε πολύ χαμηλές συχνότητες η αυξομείωση θα γινόταν αντιληπτή, ενώ στους λαμπτήρες φθορισμού και στα LED το τρεμοπαίξιμο είναι εντονότερο, γιατί δεν υπάρχει θερμό νήμα με θερμική αδράνεια.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 7 — Απάντηση στον συλλογισμό ότι ο αγωγός δεν θα έπρεπε να θερμαίνεται

Ερώτηση: Ένας μαθητής, κατά τη διάρκεια του μαθήματος της Φυσικής διατύπωσε τον εξής συλλογισμό: Γνωρίζω ότι, όταν ένας αντιστάτης διαρρέεται από εναλλασσόμενο ημιτονικό ρεύμα, τα ηλεκτρόνια κινούνται περιοδικά γύρω από κάποια σταθερή θέση. Γνωρίζω, ακόμα, ότι η θερμότητα που εκλύεται στο περιβάλλον οφείλεται στις κρούσεις των ηλεκτρονίων με τα ιόντα. Αν, λοιπόν, στη διάρκεια της κίνησης των ηλεκτρονίων προς τα δεξιά εκλύεται θερμότητα, στη διάρκεια της κίνησης προς τα αριστερά πρέπει να απορροφάται θερμότητα. Τελικά, ο αγωγός δε θα έπρεπε να θερμαίνεται. Τι θα απαντούσατε σ' αυτό τον μαθητή;

Απάντηση:

Το λάθος του συλλογισμού βρίσκεται στο τελευταίο βήμα: θεωρεί ότι η αντιστροφή της φοράς της κίνησης αντιστρέφει και το πρόσημο της εκλυόμενης θερμότητας. Αυτό είναι λάθος.

Γιατί είναι λάθος: 1. Οι κρούσεις των ηλεκτρονίων με τα ιόντα του πλέγματος αποδίδουν ενέργεια στο πλέγμα — πάντοτε, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση κίνησης των ηλεκτρονίων. Δεν υπάρχει κρούση που να αφαιρεί ενέργεια από το πλέγμα και να τη δίνει στα ηλεκτρόνια· κάτι τέτοιο θα παραβίαζε τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο. 2. Μαθηματικά, η στιγμιαία ισχύς είναι:
```
            2
   P = i · R      με   i = Ι ·ημωt
                            0
            2      2
   P = Ι ·R·ημ ωt   ≥  0      ΠΑΝΤΟΤΕ ΘΕΤΙΚΗ
        0
```
Το τετράγωνο εξαφανίζει το πρόσημο. Ο αντιστάτης δεν επιστρέφει ποτέ ενέργεια στο κύκλωμα. 3. Η αναλογία της τριβής: αν σύρουμε ένα σώμα πάνω σε τραχύ δάπεδο δεξιά και μετά αριστερά, θερμαίνεται και στις δύο διαδρομές. Η τριβή, όπως και η ηλεκτρική αντίσταση, είναι μη αντιστρεπτό φαινόμενο και πάντοτε μετατρέπει έργο σε θερμότητα.
```
   i │  ╱╲      ╱╲            το ΡΕΥΜΑ αλλάζει πρόσημο
     │ ╱  ╲    ╱  ╲
   ──┼╱────╲──╱────╲──► t
     │      ╲╱

   P │ ╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲          η ΙΣΧΥΣ μένει ΘΕΤΙΚΗ
   ──┼──────────────► t      (διπλάσια συχνότητα)
```
Τι είναι σωστό στον συλλογισμό του μαθητή: ότι τα ηλεκτρόνια πράγματι κάνουν παλινδρομική κίνηση γύρω από μια μέση θέση και ότι η θερμότητα οφείλεται στις κρούσεις με τα ιόντα. Το λάθος είναι μόνο στο συμπέρασμα. Η ποσοτική συνέπεια: αν η θερμότητα «αλληλοαναιρούνταν», η μέση ισχύς θα ήταν μηδέν. Αντίθετα, η μέση ισχύς είναι P = Ι²εν·R = Ι₀²·R/2 — ακριβώς η μισή της μέγιστης στιγμιαίας. Γιατί ορίστηκε η ενεργός τιμή (σελ. 68): επειδή ακριβώς το εναλλασσόμενο θερμαίνει κανονικά, μπορούμε να ορίσουμε την ισοδύναμη συνεχή τιμή που δίνει την ίδια θέρμανση — αυτή είναι η ενεργός τιμή. Το πειραματικό επιχείρημα: η πιο απλή απάντηση στον μαθητή είναι ότι κάθε ηλεκτρική θερμάστρα, κάθε λαμπτήρας και κάθε ηλεκτρικό μάτι λειτουργεί με εναλλασσόμενο — και προφανώς θερμαίνεται.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Το λάθος του συλλογισμού βρίσκεται στο τελευταίο βήμα, δηλαδή στην υπόθεση ότι η αντιστροφή της φοράς κίνησης αντιστρέφει και το πρόσημο της εκλυόμενης θερμότητας. Οι κρούσεις των ηλεκτρονίων με τα ιόντα του πλέγματος αποδίδουν πάντοτε ενέργεια στο πλέγμα, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της κίνησης· κρούση που να αφαιρεί ενέργεια από το πλέγμα και να τη δίνει στα ηλεκτρόνια δεν υπάρχει, γιατί θα παραβίαζε τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο. Μαθηματικά, η στιγμιαία ισχύς ισούται με το τετράγωνο του ρεύματος επί την αντίσταση, οπότε το τετράγωνο εξαφανίζει το πρόσημο και η ισχύς είναι πάντοτε θετική. Η αναλογία είναι η τριβή: ένα σώμα που σύρεται πάνω σε τραχύ δάπεδο θερμαίνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις, γιατί η τριβή, όπως και η ηλεκτρική αντίσταση, είναι μη αντιστρεπτό φαινόμενο. Σωστά ο μαθητής παρατηρεί ότι τα ηλεκτρόνια κάνουν παλινδρομική κίνηση και ότι η θερμότητα οφείλεται στις κρούσεις· λάθος είναι μόνο το συμπέρασμα. Άλλωστε η μέση ισχύς ισούται με το τετράγωνο της ενεργού τιμής επί την αντίσταση, ακριβώς πάνω σε αυτό στηρίζεται και ο ορισμός της ενεργού τιμής.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 8 — Συμπλήρωση κενών για θέρμανση αντιστάτη και μετασχηματιστή

Ερώτηση: Να συμπληρώσετε τα κενά στο επόμενο κείμενο: Στο εναλλασσόμενο ημιτονοειδές ρεύμα, το οποίο διαρρέει ένα μεταλλικό αντιστάτη, η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε ............ ενέργεια του αντιστάτη, με αποτέλεσμα να αυξάνεται η ............ του. Λόγω διαφοράς ............ με το περιβάλλον, η ............ ενέργεια ρέει προς το περιβάλλον ως ............ Για να αυξήσουμε το πλάτος μιας εναλλασσόμενης τάσης, πρέπει να την εφαρμόσουμε στο πηνίο με τις ............ σπείρες ενός μετασχηματιστή. Αν ο μετασχηματιστής είναι ............, η ισχύς με την οποία τροφοδοτείται ο μετασχηματιστής στο ............ θα ισούται με την ισχύ η οποία αποδίδεται στην ............ στο ............

Απάντηση:

Το συμπληρωμένο κείμενο:

«Στο εναλλασσόμενο ημιτονοειδές ρεύμα, το οποίο διαρρέει ένα μεταλλικό αντιστάτη, η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ενέργεια του αντιστάτη, με αποτέλεσμα να αυξάνεται η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ του. Λόγω διαφοράς ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ με το περιβάλλον, η ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ενέργεια ρέει προς το περιβάλλον ως ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ. Για να αυξήσουμε το πλάτος μιας εναλλασσόμενης τάσης, πρέπει να την εφαρμόσουμε στο πηνίο με τις ΛΙΓΕΣ σπείρες ενός μετασχηματιστή. Αν ο μετασχηματιστής είναι ΙΔΑΝΙΚΟΣ, η ισχύς με την οποία τροφοδοτείται ο μετασχηματιστής στο ΠΡΩΤΕΥΟΝ θα ισούται με την ισχύ η οποία αποδίδεται στην ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ στο ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ.»

#	Το κενό	Γιατί
1	εσωτερική	η ενέργεια αποθηκεύεται στον αντιστάτη ως αύξηση της κινητικής ενέργειας των δομικών του σωματιδίων
2	θερμοκρασία	η μακροσκοπική εκδήλωση της αύξησης της εσωτερικής ενέργειας
3	θερμοκρασίας	η διαφορά θερμοκρασίας είναι η αιτία της ροής
4	εσωτερική	η ίδια ενέργεια που αποθηκεύτηκε
5	θερμότητα	ο τρόπος μεταφοράς ενέργειας λόγω διαφοράς θερμοκρασίας
6	λίγες	σελ. 71: δεν έχουμε παρά να την εφαρμόσουμε στο πηνίο με τις λίγες σπείρες
7	ιδανικός	μετασχηματιστής χωρίς απώλειες
8	πρωτεύον	το πηνίο εισόδου
9	κατανάλωση στο δευτερεύον	το πηνίο εξόδου και το φορτίο του

Η κρίσιμη ορολογική διάκριση (κενά 1, 4 και 5): εσωτερική ενέργεια είναι το μέγεθος που έχει το σώμα· θερμότητα είναι ο τρόπος με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια από ένα σώμα σε άλλο λόγω διαφοράς θερμοκρασίας. Ένα σώμα δεν «έχει θερμότητα» — έχει εσωτερική ενέργεια και ανταλλάσσει θερμότητα. Η ενεργειακή αλυσίδα σε μία γραμμή:

   ηλεκτρική ενέργεια → εσωτερική ενέργεια αντιστάτη → ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ προς
   (πηγή)                (αύξηση θερμοκρασίας)          το περιβάλλον

Η κρίσιμη σχέση για τον ιδανικό μετασχηματιστή (κενά 7-9): P₁ = P₂, δηλαδή V₁·Ι₁ = V₂·Ι₂. Στους πραγματικούς μετασχηματιστές υπάρχουν απώλειες στα τυλίγματα (φαινόμενο Joule) και στον πυρήνα (υστέρηση και δινορεύματα), οπότε P₂ < P₁ — η απόδοση όμως των μεγάλων μετασχηματιστών ξεπερνά το 98%.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Το συμπληρωμένο κείμενο έχει ως εξής. Στο εναλλασσόμενο ημιτονοειδές ρεύμα που διαρρέει μεταλλικό αντιστάτη, η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια του αντιστάτη, με αποτέλεσμα να αυξάνεται η θερμοκρασία του. Λόγω διαφοράς θερμοκρασίας με το περιβάλλον, η εσωτερική ενέργεια ρέει προς το περιβάλλον ως θερμότητα. Για να αυξήσουμε το πλάτος μιας εναλλασσόμενης τάσης πρέπει να την εφαρμόσουμε στο πηνίο με τις λίγες σπείρες. Αν ο μετασχηματιστής είναι ιδανικός, η ισχύς με την οποία τροφοδοτείται στο πρωτεύον ισούται με την ισχύ που αποδίδεται στην κατανάλωση στο δευτερεύον. Κρίσιμη είναι η ορολογική διάκριση ανάμεσα στην εσωτερική ενέργεια, που είναι μέγεθος του σώματος, και στη θερμότητα, που είναι ο τρόπος μεταφοράς ενέργειας λόγω διαφοράς θερμοκρασίας: ένα σώμα δεν έχει θερμότητα, έχει εσωτερική ενέργεια και ανταλλάσσει θερμότητα. Στους πραγματικούς μετασχηματιστές υπάρχουν απώλειες στα τυλίγματα και στον πυρήνα, αλλά η απόδοση των μεγάλων ξεπερνά το ενενήντα οκτώ τοις εκατό.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 9 — Γιατί η μεταφορά γίνεται με υψηλή τάση και εναλλασσόμενο ρεύμα

Ερώτηση: Για ποιο λόγο η ηλεκτρική ενέργεια ενός εργοστασίου πρέπει να μεταφέρεται στην κατανάλωση με υψηλή τάση; Γιατί πρέπει να χρησιμοποιείται εναλλασσόμενο ρεύμα για τη μεταφορά της ηλεκτρικής ενέργειας; Ποιος είναι ο ρόλος των μετασχηματιστών για τις δύο αυτές απαιτήσεις.

Απάντηση:

Α. Γιατί υψηλή τάση Οι απώλειες στη γραμμή οφείλονται στο φαινόμενο Joule και εξαρτώνται μόνο από το ρεύμα και την αντίσταση της γραμμής:
```
                2
   P     =  Ι  · R
    απωλ          γρ
```
Για δεδομένη μεταφερόμενη ισχύ P = Ι·V, το ρεύμα είναι Ι = P/V, οπότε:
```
                    2
   P     =  (P / V)  · R
    απωλ                γρ
```
Το συμπέρασμα: οι απώλειες είναι αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της τάσης. Δεκαπλάσια τάση σημαίνει δέκα φορές μικρότερο ρεύμα και εκατό φορές μικρότερες απώλειες.
```
   Παράδειγμα: μεταφορά 1 MW σε γραμμή 10 Ω

     V = 500.000 V  →  Ι = 2 A       →  P     = 40 W        (0,004%)
                                         απωλ
     V = 440 V      →  Ι = 2273 A    →  P     ≈ 51,7 MW     (5.165%!)
                                         απωλ
```
Β. Γιατί εναλλασσόμενο ρεύμα Για να αξιοποιηθεί η υψηλή τάση πρέπει να μπορούμε να ανυψώνουμε και να υποβιβάζουμε την τάση εύκολα και με ελάχιστες απώλειες. Το μόνο απλό μέσο για κάτι τέτοιο είναι ο μετασχηματιστής, ο οποίος όμως λειτουργεί μόνο με μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή, δηλαδή μόνο με εναλλασσόμενο ρεύμα (βλ. άσκηση 5). Όπως γράφει το βιβλίο (σελ. 74): Η δυνατότητα αυτή παρέχεται με τη χρήση του εναλλασσόμενου ρεύματος σε συνδυασμό με τους μετασχηματιστές.

Γ. Ο ρόλος των μετασχηματιστών Το δίκτυο έχει πέντε μέρη (σελ. 74): Α. Ένα εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας · Β. Ένα μετασχηματιστή ανύψωσης της τάσης · Γ. Ένα σύστημα μεταφοράς της ηλεκτρικής ενέργειας · Δ. Ένα μετασχηματιστή υποβιβασμού της τάσης · Ε. Καταναλωτές.
```
   ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟ ──► Μ/Σ ΑΝΥΨΩΣΗΣ ──► ΓΡΑΜΜΗ ──► Μ/Σ ΥΠΟΒΙΒΑΣΜΟΥ ──► ΣΠΙΤΙ
    ~15 kV          400 kV        μικρό Ι        230 V
                    ▲                              ▲
           μικρές απώλειες                ασφαλής τάση χρήσης
```
Ο διπλός ρόλος: ο πρώτος μετασχηματιστής ανυψώνει την τάση για να περιοριστούν οι απώλειες στη μεταφορά· ο δεύτερος την υποβιβάζει για λόγους ασφάλειας και συμβατότητας των συσκευών — 400.000 V στην πρίζα θα ήταν θανάσιμα και τεχνικά αδύνατα να μονωθούν.

Γιατί δεν παράγουμε απευθείας σε υψηλή τάση: η μόνωση των τυλιγμάτων της γεννήτριας για εκατοντάδες χιλιάδες volt θα ήταν απαγορευτικά δύσκολη και ακριβή. Είναι ευκολότερο να παραχθεί σε μέση τάση και να ανυψωθεί. Το κόστος της υψηλής τάσης: απαιτεί ψηλούς πυλώνες, μεγάλες αποστάσεις μόνωσης και ειδικούς μονωτήρες — γι' αυτό η επιλογή της τάσης μεταφοράς είναι οικονομικός συμβιβασμός ανάμεσα στο κόστος των απωλειών και στο κόστος της γραμμής.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η μεταφορά γίνεται με υψηλή τάση, γιατί οι απώλειες στη γραμμή οφείλονται στο φαινόμενο Joule και ισούνται με το τετράγωνο του ρεύματος επί την αντίσταση της γραμμής. Επειδή για δεδομένη μεταφερόμενη ισχύ το ρεύμα ισούται με την ισχύ προς την τάση, οι απώλειες είναι αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της τάσης: δεκαπλάσια τάση σημαίνει εκατό φορές μικρότερες απώλειες. Χρησιμοποιείται εναλλασσόμενο ρεύμα, γιατί μόνο έτσι μπορεί η τάση να ανυψωθεί και να υποβιβαστεί εύκολα και με ελάχιστες απώλειες, με μετασχηματιστή, ο οποίος λειτουργεί μόνο με μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή. Ο ρόλος των μετασχηματιστών είναι διπλός: ο πρώτος, στην έξοδο του εργοστασίου, ανυψώνει την τάση ώστε να περιοριστούν οι απώλειες στη μεταφορά, και ο δεύτερος, κοντά στην κατανάλωση, την υποβιβάζει για λόγους ασφάλειας και συμβατότητας των συσκευών. Το δίκτυο περιλαμβάνει εργοστάσιο παραγωγής, μετασχηματιστή ανύψωσης, σύστημα μεταφοράς, μετασχηματιστή υποβιβασμού και καταναλωτές. Δεν παράγουμε απευθείας σε υψηλή τάση, γιατί η μόνωση των τυλιγμάτων της γεννήτριας θα ήταν απαγορευτικά δύσκολη, ενώ η επιλογή της τάσης μεταφοράς αποτελεί οικονομικό συμβιβασμό ανάμεσα στο κόστος των απωλειών και στο κόστος της γραμμής.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 10 — Τι σημαίνουν το πλάτος και η συχνότητα ενός εναλλασσόμενου ρεύματος

Ερώτηση: Ένα εναλλασσόμενο ρεύμα έχει πλάτος ρεύματος l0 = 10 Α και συχνότητα ν = 60Ηz. Τι σημαίνουν αυτά τα μεγέθη;

Απάντηση:

Το πλάτος Ι₀ = 10 A Είναι η μέγιστη τιμή που παίρνει το ρεύμα κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. Από τη σχέση i = Ι₀·ημωt, το ρεύμα κυμαίνεται ανάμεσα σε +10 A και −10 A, και φτάνει τα 10 A όταν ημωt = 1. Η προσοχή: το πλάτος δεν είναι η τιμή που θα μετρούσε ένα κοινό αμπερόμετρο. Εκείνο δείχνει την ενεργό τιμή:
```
   Ι   = Ι /√2 = 10/1,414 ≈ 7,07 A
    εν    0
```
Η συχνότητα ν = 60 Hz Είναι το πλήθος των πλήρων κύκλων που εκτελεί το ρεύμα σε ένα δευτερόλεπτο — εδώ 60 πλήρεις εναλλαγές ανά δευτερόλεπτο. Από αυτήν προκύπτουν:
```
   Περίοδος:          Τ = 1/ν = 1/60 s ≈ 0,0167 s = 16,7 ms

   Γωνιακή ταχύτητα:  ω = 2πν = 2π·60 = 120π ≈ 377 rad/s

   Πλήρης εξίσωση:    i = 10 · ημ(377·t)   (SI)
```
```
   i │  10 ──╱╲──────╱╲──────╱╲
     │      ╱  ╲    ╱  ╲    ╱  ╲       60 πλήρεις κύκλοι
   ──┼─────╱────╲──╱────╲──╱────╲──►   σε 1 δευτερόλεπτο
     │           ╲╱      ╲╱
     │ −10
     │◄── Τ = 1/60 s ──►
```
Πόσες φορές μηδενίζεται το ρεύμα: δύο φορές σε κάθε περίοδο, άρα 120 φορές το δευτερόλεπτο. Ισάριθμες είναι και οι φορές που το ρεύμα αλλάζει φορά. Γιατί 60 Hz και όχι 50: τα 60 Hz είναι η συχνότητα του δικτύου στη Βόρεια Αμερική, ενώ στην Ευρώπη (και στην Ελλάδα) το δίκτυο λειτουργεί στα 50 Hz. Η επιλογή είναι ιστορική, όχι φυσική. Τι μας λέει η συχνότητα για τη γεννήτρια (σελ. 67): αφού U₀ = ω·Ν·Β·Α, η συχνότητα προκύπτει από την ταχύτητα περιστροφής του πλαισίου. Για 60 Hz με δίπολη γεννήτρια, ο δρομέας πρέπει να στρέφεται με 3600 στροφές το λεπτό. Η ισχύς που αντιστοιχεί: αν το ρεύμα αυτό διαρρέει αντιστάτη 10 Ω, η μέση ισχύς είναι P = Ι²εν·R = 7,07²·10 ≈ 500 W — δηλαδή η μισή της μέγιστης στιγμιαίας (Ι₀²·R = 1000 W).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Το πλάτος των δέκα ampere είναι η μέγιστη τιμή που παίρνει το ρεύμα κατά τη διάρκεια μιας περιόδου: το ρεύμα κυμαίνεται από συν δέκα έως μείον δέκα ampere και φτάνει το πλάτος όταν το ημίτονο γίνεται μονάδα. Προσοχή χρειάζεται στο ότι το πλάτος δεν είναι η τιμή που δείχνει ένα κοινό αμπερόμετρο, το οποίο δείχνει την ενεργό τιμή, δηλαδή το πλάτος διά ρίζα δύο, περίπου επτά κόμμα μηδέν επτά ampere. Η συχνότητα των εξήντα hertz είναι το πλήθος των πλήρων κύκλων σε ένα δευτερόλεπτο, δηλαδή εξήντα πλήρεις εναλλαγές· από αυτήν προκύπτει η περίοδος, ίση με ένα εξηκοστό του δευτερολέπτου, δηλαδή περίπου δεκαέξι κόμμα επτά χιλιοστά του δευτερολέπτου, και η γωνιακή ταχύτητα, ίση με δύο πι επί τη συχνότητα, περίπου τριακόσια εβδομήντα επτά ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. Το ρεύμα μηδενίζεται και αλλάζει φορά δύο φορές σε κάθε περίοδο, δηλαδή εκατόν είκοσι φορές το δευτερόλεπτο. Σημειώνεται ότι τα εξήντα hertz είναι η συχνότητα του δικτύου στη Βόρεια Αμερική, ενώ στην Ευρώπη το δίκτυο λειτουργεί στα πενήντα hertz.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 11 — Πλάτος τάσης, πλάτος και ενεργός τιμή ρεύματος σε αντιστάτη

Ερώτηση: Στα άκρα αντιστάτη με αντίσταση R = 40Ω εφαρμόζουμε ημιτονοειδή τάση με ενεργό τιμή Vεν = 120Volt. Να υπολογίσετε: α. Το πλάτος της τάσης β. Το πλάτος του ρεύματος γ. Την ενεργό τιμή του ρεύματος

Απάντηση:

Τα δεδομένα: R = 40 Ω, Vεν = 120 V.

α. Το πλάτος της τάσης
```
   V  = √2 · V    =  1,414 · 120  ≈  169,7 V     (ακριβώς 120√2 V)
    0          εν
```
β. Το πλάτος του ρεύματος (σελ. 67, σχέση 18: Ι₀ = U₀/R)
```
   Ι  = V /R  =  120√2 / 40  =  3√2  ≈  4,24 A
    0    0
```
γ. Η ενεργός τιμή του ρεύματος
```
   Ι   = Ι /√2  =  3√2/√2  =  3 A
    εν    0
```
ή, ισοδύναμα και ταχύτερα, απευθείας από τις ενεργές τιμές:
```
   Ι   = V  /R  =  120/40  =  3 A      ✔  ίδιο αποτέλεσμα
    εν    εν
```
Απαντήσεις: α. V₀ ≈ 169,7 V · β. Ι₀ ≈ 4,24 A · γ. Ιεν = 3 A.

Το βασικό δίδαγμα: ο νόμος του Ohm για ωμικό αντιστάτη ισχύει χωριστά για τα πλάτη και χωριστά για τις ενεργές τιμές — ποτέ όμως ανάμεσά τους:
```
   ✔  Ι  = V /R          ✔  Ι   = V  /R          ✘  Ι  = V  /R
       0    0                 εν    εν                0    εν
```
Ο έλεγχος με την ισχύ:
```
   P = V  · Ι   = 120 · 3 = 360 W
        εν   εν
              2                2
   P = Ι   · R = 3 · 40 = 360 W     ✔
        εν
            2                    2
   P = V   /R = 120 /40 = 360 W     ✔
        εν
```
Και οι τρεις εκφράσεις συμφωνούν. Η πρακτική εικόνα: ένα τέτοιο φορτίο (360 W στα 120 V) είναι π.χ. ένας λαμπτήρας ή μια μικρή θερμική συσκευή. Η στιγμιαία ισχύς όμως φτάνει τα V₀·Ι₀ = 169,7 · 4,24 ≈ 720 W — διπλάσια της μέσης, δύο φορές σε κάθε περίοδο. Γιατί το √2 εμφανίζεται παντού: επειδή η μέση τιμή του ημ²ωt σε μια περίοδο είναι 1/2, οπότε Ι²εν = Ι₀²/2 και Ιεν = Ι₀/√2.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται αντίσταση σαράντα ωμ και ενεργός τιμή τάσης εκατόν είκοσι volt. Το πλάτος της τάσης είναι η ενεργός τιμή επί ρίζα δύο, δηλαδή εκατόν είκοσι ρίζα δύο, περίπου εκατόν εξήντα εννέα κόμμα επτά volt. Το πλάτος του ρεύματος προκύπτει από τον νόμο του Ohm για τα πλάτη, δηλαδή το πλάτος της τάσης προς την αντίσταση, ίσο με τρία ρίζα δύο, περίπου τέσσερα κόμμα είκοσι τέσσερα ampere. Η ενεργός τιμή του ρεύματος είναι το πλάτος διά ρίζα δύο, δηλαδή τρία ampere· το ίδιο προκύπτει ταχύτερα και απευθείας από τις ενεργές τιμές, εκατόν είκοσι διά σαράντα. Βασικό δίδαγμα είναι ότι ο νόμος του Ohm ισχύει χωριστά για τα πλάτη και χωριστά για τις ενεργές τιμές, ποτέ όμως ανάμεσά τους. Ο έλεγχος με την ισχύ επιβεβαιώνει το αποτέλεσμα, αφού και οι τρεις εκφράσεις της ισχύος δίνουν τριακόσια εξήντα watt, ενώ η στιγμιαία ισχύς φτάνει το διπλάσιο, δύο φορές σε κάθε περίοδο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 12 — Ρεύμα και αντίσταση λάμπας πυράκτωσης από τα στοιχεία της

Ερώτηση: Λάμπα πυράκτωσης φέρει τα στοιχεία (60W, 110Volt ).Να υπολογίσετε: α. Την ενεργό τιμή του ρεύματος κανονικής λειτουργίας β. Το πλάτος του ρεύματος κανονικής λειτουργίας γ. Την αντίσταση του σύρματος της λάμπας.

Απάντηση:

Τι σημαίνουν τα στοιχεία: (60 W, 110 V) σημαίνει ότι η λάμπα λειτουργεί κανονικά όταν στα άκρα της εφαρμόζεται τάση με ενεργό τιμή 110 V, οπότε καταναλώνει μέση ισχύ 60 W. (Το βιβλίο δηλώνει στην αρχή του μπλοκ: Όταν αναφερόμαστε σε σταθερές τιμές τάσης ή έντασης, εννοούμε τις ενεργές τιμές αυτών, σελ. 84.)

α. Η ενεργός τιμή του ρεύματος
```
   P = V  · Ι      ⇒   Ι   = P / V   =  60 / 110  ≈  0,545 A
        εν   εν          εν        εν
```
β. Το πλάτος του ρεύματος
```
   Ι  = √2 · Ι    =  1,414 · 0,545  ≈  0,77 A
    0          εν
```
γ. Η αντίσταση του σύρματος
```
              2               2
   R = V   / P  =  110 / 60  =  12.100/60  ≈  201,7 Ω
        εν
```
ή ισοδύναμα:
```
   R = V  / Ι   =  110 / 0,545  ≈  201,7 Ω      ✔
        εν   εν
```
Απαντήσεις: α. Ιεν ≈ 0,545 A · β. Ι₀ ≈ 0,77 A · γ. R ≈ 201,7 Ω.

Η σημαντική επιφύλαξη για την αντίσταση: η τιμή 201,7 Ω είναι η αντίσταση του νήματος σε κανονική λειτουργία, δηλαδή σε θερμοκρασία πυράκτωσης (περίπου 2500 °C). Η αντίσταση του βολφραμίου αυξάνεται πολύ με τη θερμοκρασία — κρύα, η ίδια λάμπα μετριέται με δέκα και πλέον φορές μικρότερη αντίσταση (περίπου 15-20 Ω). Η πρακτική συνέπεια: τη στιγμή που ανάβουμε τον διακόπτη, το νήμα είναι κρύο και το ρεύμα είναι δεκαπλάσιο του κανονικού. Γι' αυτό οι λάμπες πυράκτωσης καίγονται σχεδόν πάντοτε τη στιγμή του ανάμματος και γι' αυτό η ασφάλεια του κυκλώματος πρέπει να αντέχει το κρουστικό ρεύμα. Ο έλεγχος με το πλάτος: η μέγιστη στιγμιαία ισχύς είναι V₀·Ι₀ = 155,6 · 0,77 ≈ 120 W — διπλάσια της ονομαστικής, όπως πάντοτε στο ημιτονοειδές. Γιατί τα 110 V: είναι η τυπική τάση δικτύου της Βόρειας Αμερικής. Αν η ίδια λάμπα συνδεόταν στα 230 V του ελληνικού δικτύου, θα κατανάλωνε ισχύ (230/110)² ≈ 4,4 φορές μεγαλύτερη και θα καιγόταν ακαριαία.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Τα στοιχεία εξήντα watt και εκατόν δέκα volt σημαίνουν ότι η λάμπα λειτουργεί κανονικά με ενεργό τιμή τάσης εκατόν δέκα volt και καταναλώνει τότε μέση ισχύ εξήντα watt. Η ενεργός τιμή του ρεύματος προκύπτει από την ισχύ προς την τάση, δηλαδή εξήντα διά εκατόν δέκα, περίπου μηδέν κόμμα πεντακόσια σαράντα πέντε ampere. Το πλάτος του ρεύματος είναι η ενεργός τιμή επί ρίζα δύο, περίπου μηδέν κόμμα εβδομήντα επτά ampere. Η αντίσταση προκύπτει από το τετράγωνο της τάσης προς την ισχύ, δηλαδή εκατόν δέκα στο τετράγωνο διά εξήντα, περίπου διακόσια ένα κόμμα επτά ωμ· το ίδιο δίνει και ο λόγος της ενεργού τάσης προς το ενεργό ρεύμα. Σημαντική επιφύλαξη είναι ότι η τιμή αυτή αφορά το νήμα σε θερμοκρασία πυράκτωσης· κρύα η ίδια λάμπα έχει δέκα και πλέον φορές μικρότερη αντίσταση, γι' αυτό τη στιγμή του ανάμματος το ρεύμα είναι δεκαπλάσιο του κανονικού και οι λάμπες πυράκτωσης καίγονται σχεδόν πάντοτε τότε.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 13 — Ανάλυση εναλλασσόμενης τάσης δοσμένης με εξίσωση

Ερώτηση: Στα άκρα ενός αντιστάτη με αντίσταση R = 20Ω εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση της μορφής: U = 60 ημ300t (SI) Να υπολογίσετε: Α. Το πλάτος και την ενεργό τιμή της τάσης Β. Τη συχνότητα της τάσης Γ. Το πλάτος και την ενεργό τιμή του ρεύματος στον αντιστάτη Δ. Την ενέργεια που εκλύεται στον αντιστάτη σε χρονικό διάστημα 10 min

Απάντηση:

Η ανάγνωση της εξίσωσης: συγκρίνοντας με τη γενική μορφή U = U₀·ημωt (σελ. 67, σχέση 15):
```
   U  = 60 V           ω = 300 rad/s
    0
```
Α. Πλάτος και ενεργός τιμή της τάσης
```
   U  = 60 V
    0
   U   = U /√2  =  60/1,414  =  30√2  ≈  42,4 V
    εν    0
```
Β. Η συχνότητα
```
   ω = 2πν   ⇒   ν = ω/(2π) = 300/(2·3,14) ≈ 47,7 Hz

   Περίοδος: Τ = 1/ν ≈ 0,021 s
```
Γ. Πλάτος και ενεργός τιμή του ρεύματος
```
   Ι  = U /R  =  60/20  =  3 A
    0    0
   Ι   = Ι /√2  =  3/1,414  =  1,5√2  ≈  2,12 A
    εν    0
```
Δ. Η ενέργεια σε 10 min
```
   Μέση ισχύς:   P = U   · Ι    =  42,4 · 2,12  ≈  90 W
                      εν    εν

   Έλεγχος:      P = U²/(2R) = 3600/40 = 90 W      ✔
                      0

   Χρόνος:       t = 10 min = 600 s

   Ενέργεια:     W = P · t  =  90 · 600  =  54.000 J  =  54 kJ
```
Απαντήσεις: Α. U₀ = 60 V, Uεν ≈ 42,4 V · Β. ν ≈ 47,7 Hz · Γ. Ι₀ = 3 A, Ιεν ≈ 2,12 A · Δ. W = 54 kJ.

Το κρίσιμο σημείο για την ενέργεια: η ισχύς υπολογίζεται πάντοτε με τις ενεργές τιμές. Αν κάποιος χρησιμοποιήσει τα πλάτη (60 · 3 = 180 W), το αποτέλεσμα βγαίνει διπλάσιο — γιατί το V₀·Ι₀ είναι η μέγιστη στιγμιαία ισχύς, όχι η μέση. Ο συμπαγής τύπος: P = V₀·Ι₀/2 — μια χρήσιμη συντόμευση που ενσωματώνει τα δύο √2. Η μονάδα του ω: rad/s. Το 300t μέσα στο ημίτονο είναι σε ακτίνια, όχι σε μοίρες — γι' αυτό και η διαίρεση με 2π για τη συχνότητα. Σε kWh: 54.000 J = 0,015 kWh — ελάχιστη ενέργεια, αφού 1 kWh = 3,6×10⁶ J. Η προσοχή στη μονάδα του χρόνου: 10 min = 600 s. Αν μείνει σε λεπτά, το αποτέλεσμα βγαίνει 60 φορές μικρότερο.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Από τη σύγκριση με τη γενική μορφή, το πλάτος της τάσης είναι εξήντα volt και η γωνιακή ταχύτητα τριακόσια ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. Η ενεργός τιμή της τάσης είναι το πλάτος διά ρίζα δύο, δηλαδή περίπου σαράντα δύο κόμμα τέσσερα volt. Η συχνότητα προκύπτει από τη γωνιακή ταχύτητα προς δύο πι, δηλαδή περίπου σαράντα επτά κόμμα επτά hertz. Το πλάτος του ρεύματος είναι το πλάτος της τάσης προς την αντίσταση, δηλαδή τρία ampere, και η ενεργός τιμή του περίπου δύο κόμμα δώδεκα ampere. Η μέση ισχύς υπολογίζεται από το γινόμενο των ενεργών τιμών και είναι ενενήντα watt, τιμή που επιβεβαιώνεται και από τη σχέση τετράγωνο του πλάτους της τάσης προς δύο επί την αντίσταση. Σε δέκα λεπτά, δηλαδή εξακόσια δευτερόλεπτα, η ενέργεια που εκλύεται είναι πενήντα τέσσερις χιλιάδες joule, δηλαδή πενήντα τέσσερα kilojoule. Κρίσιμο είναι ότι η ισχύς υπολογίζεται πάντοτε με τις ενεργές τιμές: αν χρησιμοποιηθούν τα πλάτη, το αποτέλεσμα βγαίνει διπλάσιο, γιατί το γινόμενο των πλατών δίνει τη μέγιστη στιγμιαία και όχι τη μέση ισχύ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 14 — Αντιστάσεις και ρεύματα δύο παράλληλων λαμπτήρων

Ερώτηση: Δύο λαμπτήρες πυράκτωσης με στοιχεία (120W, 110V) και (90W, 110V) συνδέονται παράλληλα προς πηγή εναλλασσόμενης ημιτονοειδούς τάσης με ενεργό τιμή Vεν = 110 V. Να υπολογίσετε: α. Τις αντιστάσεις των λαμπτήρων β. Τις ενεργές τιμές των ρευμάτων που τις διαρρέουν

Απάντηση:

Η βασική παρατήρηση: οι λαμπτήρες συνδέονται παράλληλα σε τάση 110 V, δηλαδή ακριβώς στην ονομαστική τους τάση. Άρα ο καθένας λειτουργεί κανονικά και αποδίδει την ονομαστική του ισχύ.

α. Οι αντιστάσεις
```
              2
   R = V   / P
        εν
              2
   R  = 110 /120  =  12.100/120  ≈  100,8 Ω     (ο λαμπτήρας 120 W)
    1
              2
   R  = 110 /90   =  12.100/90   ≈  134,4 Ω     (ο λαμπτήρας 90 W)
    2
```
β. Οι ενεργές τιμές των ρευμάτων
```
   Ι    = P /V    =  120/110  ≈  1,09 A
    εν,1   1  εν

   Ι    = P /V    =   90/110  ≈  0,82 A
    εν,2   2  εν
```
Έλεγχος με τον νόμο του Ohm:
```
   Ι    = V  /R  = 110/100,8 ≈ 1,09 A     ✔
    εν,1   εν  1
   Ι    = V  /R  = 110/134,4 ≈ 0,82 A     ✔
    εν,2   εν  2
```
Απαντήσεις: α. R₁ ≈ 100,8 Ω, R₂ ≈ 134,4 Ω · β. Ιεν,1 ≈ 1,09 A, Ιεν,2 ≈ 0,82 A.

Η αντιστροφή που πρέπει να προσεχθεί: ο λαμπτήρας με τη μεγαλύτερη ισχύ (120 W) έχει τη μικρότερη αντίσταση και τραβά το μεγαλύτερο ρεύμα. Είναι το αντίθετο από αυτό που υπαγορεύει η διαίσθηση («μεγαλύτερη ισχύς = μεγαλύτερη αντίσταση») — και προκύπτει αμέσως από το R = V²/P: για σταθερή τάση, η αντίσταση είναι αντιστρόφως ανάλογη της ισχύος.

Το ολικό ρεύμα και η ολική ισχύς:
```
   Ι    = 1,09 + 0,82  =  1,91 A          (παράλληλη σύνδεση)
    ολ
   P    = 120 + 90     =  210 W
    ολ
   Έλεγχος:  P = V ·Ι  = 110 · 1,91 ≈ 210 W     ✔
```
Η ισοδύναμη αντίσταση:
```
   1/R    = 1/100,8 + 1/134,4   ⇒   R   ≈ 57,6 Ω
      ολ                              ολ
   Έλεγχος:  P = V²/R  = 12.100/57,6 ≈ 210 W     ✔
```
Γιατί οι οικιακές συσκευές συνδέονται παράλληλα: για να έχει κάθε μία την ίδια (ονομαστική) τάση και να λειτουργεί ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες. Σε σειρά, η τάση θα μοιραζόταν και καμία δεν θα λειτουργούσε κανονικά. Η υπενθύμιση για την αντίσταση: οι τιμές αφορούν τα νήματα σε πυράκτωση. Κρύα, οι αντιστάσεις είναι πολύ μικρότερες.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι λαμπτήρες συνδέονται παράλληλα σε τάση ίση με την ονομαστική τους, οπότε ο καθένας λειτουργεί κανονικά και αποδίδει την ονομαστική του ισχύ. Οι αντιστάσεις προκύπτουν από το τετράγωνο της τάσης προς την ισχύ: για τον λαμπτήρα των εκατόν είκοσι watt περίπου εκατό κόμμα οκτώ ωμ και για τον λαμπτήρα των ενενήντα watt περίπου εκατόν τριάντα τέσσερα κόμμα τέσσερα ωμ. Οι ενεργές τιμές των ρευμάτων προκύπτουν από την ισχύ προς την τάση: περίπου ένα κόμμα μηδέν εννέα ampere και μηδέν κόμμα ογδόντα δύο ampere αντίστοιχα, τιμές που επιβεβαιώνονται και από τον νόμο του Ohm. Προσοχή χρειάζεται στο ότι ο λαμπτήρας με τη μεγαλύτερη ισχύ έχει τη μικρότερη αντίσταση και τραβά το μεγαλύτερο ρεύμα, αφού για σταθερή τάση η αντίσταση είναι αντιστρόφως ανάλογη της ισχύος. Το ολικό ρεύμα είναι το άθροισμα των δύο, περίπου ένα κόμμα ενενήντα ένα ampere, και η ολική ισχύς διακόσια δέκα watt. Οι οικιακές συσκευές συνδέονται παράλληλα ακριβώς για να έχει καθεμία την ονομαστική της τάση και να λειτουργεί ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 15 — Υπολογισμός συχνότητας από τη στιγμή που το ρεύμα φτάνει το μισό

Ερώτηση: Τη χρονική στιγμή t = 0,004 s, το ρεύμα σε ένα κύκλωμα το οποίο περιέχει αντιστάσεις έχει, για πρώτη φορά, τιμή ίση με τα 50% της μέγιστης τιμής του και αυξάνεται. Υποθέτοντας ότι για t = 0 είναι και Ι = 0, να υπολογίσετε τη συχνότητα του ρεύματος.

Απάντηση:

Η εξίσωση του ρεύματος: αφού για t = 0 είναι Ι = 0, το ρεύμα περιγράφεται από i = Ι₀·ημωt (σελ. 67, σχέση 17).

Η συνθήκη: τη στιγμή t = 0,004 s το ρεύμα είναι για πρώτη φορά ίσο με το 50% του μεγίστου και αυξάνεται:
```
   i = 0,5 · Ι      ⇒     Ι ·ημ(ωt) = 0,5·Ι      ⇒   ημ(ωt) = 0,5
              0            0                 0
```
Η επιλογή της γωνίας: το ημίτονο ισούται με 0,5 για ωt = π/6 (30°) και για ωt = 5π/6 (150°). Στην πρώτη το ρεύμα ανεβαίνει, στη δεύτερη κατεβαίνει. Η εκφώνηση λέει ρητά «για πρώτη φορά» και «αυξάνεται», άρα:
```
   ωt = π/6
```
Ο υπολογισμός:
```
   ω · 0,004  =  π/6

   ω  =  π / (6 · 0,004)  =  π/0,024  ≈  130,9 rad/s

   ν  =  ω/(2π)  =  1 / (12 · 0,004)  =  1/0,048  ≈  20,8 Hz
```
Απάντηση: ν ≈ 20,8 Hz (και Τ = 1/ν ≈ 0,048 s = 48 ms).
```
   i │       ╱─╲                  T = 48 ms
     │      ╱   ╲                 T/12 = 4 ms  ← η στιγμή t
   ──┼──╱──╱─────╲──────► t
     │ ╱ ↑
     │   t=4ms, i=0,5·Ι
                     0
```
Ο κομψός έλεγχος: το ρεύμα φτάνει το μισό του μεγίστου όταν η γωνία γίνει π/6, δηλαδή στο 1/12 της περιόδου (αφού πλήρης περίοδος = 2π). Άρα:
```
   Τ/12 = 0,004 s   ⇒   Τ = 0,048 s   ⇒   ν = 1/0,048 ≈ 20,8 Hz   ✔
```
Γιατί η φράση «για πρώτη φορά» είναι απαραίτητη: χωρίς αυτήν, η εξίσωση ημ(ωt) = 0,5 έχει άπειρες λύσεις (π/6 + 2kπ και 5π/6 + 2kπ) και το πρόβλημα θα ήταν αόριστο. Γιατί χρειάζεται και το «αυξάνεται»: για να αποκλειστεί η λύση 5π/6, στην οποία το ρεύμα έχει την ίδια τιμή αλλά μειώνεται. Γιατί λέει «κύκλωμα το οποίο περιέχει αντιστάσεις»: για να είναι το ρεύμα σε φάση με την τάση και να ισχύει η απλή μορφή i = Ι₀·ημωt χωρίς διαφορά φάσης. Ο έλεγχος λογικής: η συχνότητα 20,8 Hz είναι χαμηλότερη από αυτήν του δικτύου (50 Hz), άρα η περίοδος (48 ms) είναι μεγαλύτερη από τα 20 ms του δικτύου — συνεπές με το ότι χρειάστηκαν 4 ms για να φτάσει το ρεύμα μόλις στο μισό του μεγίστου.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Επειδή για μηδενικό χρόνο το ρεύμα είναι μηδέν, αυτό περιγράφεται από ημιτονοειδή σχέση. Η συνθήκη ότι το ρεύμα ισούται με το μισό του μεγίστου δίνει ημίτονο ίσο με μισό, δηλαδή γωνία πι έκτα ή πέντε πι έκτα· επειδή η εκφώνηση λέει ρητά για πρώτη φορά και ότι το ρεύμα αυξάνεται, δεκτή είναι η γωνία πι έκτα. Άρα η γωνιακή ταχύτητα επί τα τέσσερα χιλιοστά του δευτερολέπτου ισούται με πι έκτα, οπότε η γωνιακή ταχύτητα είναι περίπου εκατόν τριάντα κόμμα εννέα ακτίνια ανά δευτερόλεπτο και η συχνότητα περίπου είκοσι κόμμα οκτώ hertz, με περίοδο περίπου σαράντα οκτώ χιλιοστά του δευτερολέπτου. Κομψότερος έλεγχος είναι ότι η γωνία πι έκτα αντιστοιχεί στο ένα δωδέκατο της περιόδου, οπότε η περίοδος είναι δώδεκα φορές τα τέσσερα χιλιοστά, δηλαδή σαράντα οκτώ χιλιοστά του δευτερολέπτου. Η φράση για πρώτη φορά είναι απαραίτητη γιατί αλλιώς η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, ενώ η φράση ότι αυξάνεται αποκλείει τη γωνία πέντε πι έκτα, όπου το ρεύμα έχει την ίδια τιμή αλλά μειώνεται.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 16 — Ενεργός τιμή τάσης στο δεύτερο πηνίο μετασχηματιστή

Ερώτηση: Το ένα πηνίο ενός μετασχηματιστή έχει Ν1 = 100 σπείρες και το άλλο Ν2 =1500 σπείρες. Στο πηνίο με τις λίγες σπείρες εφαρμόζουμε εναλλασσόμενη τάση με πλάτος U1 = 600 Volt. Να υπολογίσετε την ενεργό τιμή της τάσης στο άλλο πηνίο.

Απάντηση:

Τα δεδομένα: Ν₁ = 100, Ν₂ = 1500, U₀,₁ = 600 V (πλάτος).

Βήμα 1 — το πλάτος στο δεύτερο πηνίο (σελ. 71, σχέση 29):
```
   U    / U     =  Ν  / Ν
    0,1    0,2      1    2

   U     =  U    · (Ν /Ν )  =  600 · (1500/100)  =  600 · 15
    0,2      0,1     2  1

         =  9.000 V
```
Βήμα 2 — η ενεργός τιμή:
```
   U     =  U    / √2  =  9.000 / 1,414  ≈  6.364 V
    εν,2     0,2

   (ακριβώς 4500√2 V)
```
Απάντηση: Uεν,2 ≈ 6.364 V ≈ 6,36 kV.

Η διπλή προσοχή που απαιτεί η άσκηση: 1. Ο λόγος μετασχηματισμού εφαρμόζεται αυτούσιος στα πλάτη — δεν χρειάζεται καμία μετατροπή σε αυτό το βήμα (σελ. 71: Τα πλάτη και οι ενεργές τιμές των δύο τάσεων στα πηνία ενός μετασχηματιστή είναι ανάλογα με τον αριθμό των σπειρών τους). 2. Η μετατροπή σε ενεργό τιμή γίνεται στο τέλος, μία μόνο φορά. Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει και με την αντίστροφη σειρά:
```
   U     = 600/√2 ≈ 424,3 V   →   U     = 424,3 · 15 ≈ 6.364 V    ✔
    εν,1                           εν,2
```
Ο έλεγχος της λειτουργίας: η τάση εφαρμόζεται στο πηνίο με τις λίγες σπείρες, άρα ο μετασχηματιστής λειτουργεί ως ανυψωτής — και πράγματι η έξοδος (6.364 V) είναι πολύ μεγαλύτερη από την είσοδο (424,3 V ενεργός). Ο λόγος μετασχηματισμού: Ν₂/Ν₁ = 15 — η τάση δεκαπενταπλασιάζεται. Τι συμβαίνει με το ρεύμα: σε ιδανικό μετασχηματιστή, P₁ = P₂, άρα το ρεύμα υποδεκαπενταπλασιάζεται. Αν η έξοδος τροφοδοτεί φορτίο που τραβά 1 A, το πρωτεύον θα τραβά 15 A. Πού συναντάμε τέτοιες τάσεις: 6,4 kV είναι τάξη μεγέθους τάσης μέσης διανομής ή τροφοδοσίας νέον και βιομηχανικών διατάξεων. Απαιτεί ειδική μόνωση και είναι εξαιρετικά επικίνδυνη.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο λόγος των τάσεων στα δύο πηνία ισούται με τον λόγο των σπειρών τους, και ισχύει τόσο για τα πλάτη όσο και για τις ενεργές τιμές. Επειδή η τάση εφαρμόζεται στο πηνίο με τις εκατό σπείρες και το άλλο έχει χίλιες πεντακόσιες, ο λόγος μετασχηματισμού είναι δεκαπέντε, οπότε το πλάτος στο δεύτερο πηνίο είναι εξακόσια επί δεκαπέντε, δηλαδή εννέα χιλιάδες volt. Η ενεργός τιμή προκύπτει διαιρώντας με ρίζα δύο και είναι περίπου έξι χιλιάδες τριακόσια εξήντα τέσσερα volt. Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει και με την αντίστροφη σειρά, δηλαδή αν μετατρέψουμε πρώτα την είσοδο σε ενεργό τιμή και μετά πολλαπλασιάσουμε με τον λόγο. Επειδή η τάση εφαρμόζεται στις λίγες σπείρες, ο μετασχηματιστής λειτουργεί ως ανυψωτής, όπως επιβεβαιώνει και το αποτέλεσμα. Σε ιδανικό μετασχηματιστή η ισχύς διατηρείται, οπότε το ρεύμα υποδεκαπενταπλασιάζεται· τάσεις της τάξης των έξι κιλοβόλτ απαιτούν ειδική μόνωση και είναι εξαιρετικά επικίνδυνες.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 17 — Αριθμός σπειρών δευτερεύοντος για τροφοδοσία κουδουνιού

Ερώτηση: Μερικές μικροσυσκευές λειτουργούν κανονικά με εναλλασσόμενη τάση πλάτους V0 = 12 Volt. Για την τροφοδοσία τους χρησιμοποιούνται μετασχηματιστές μικρής ισχύος. Ένας τέτοιος μετασχηματιστής θα χρησιμοποιηθεί για τη λειτουργία ενός ηλεκτρικού κουδουνιού που λειτουργεί με αυτή την τάση. Η τάση εισόδου στον μετασχηματιστή είναι 220 Volt και εφαρμόζεται στο πηνίο που έχει 550 σπείρες. Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των σπειρών του άλλου πηνίου;

Απάντηση:

Η προσοχή που απαιτεί η εκφώνηση: η τάση εξόδου δίνεται ρητά ως πλάτος (V₀ = 12 V), ενώ η τάση εισόδου (220 Volt) δίνεται ως «σταθερή τιμή» — και το βιβλίο δηλώνει στην αρχή του μπλοκ (σελ. 84): Όταν αναφερόμαστε σε σταθερές τιμές τάσης ή έντασης, εννοούμε τις ενεργές τιμές αυτών. Άρα τα 220 V είναι ενεργός τιμή.

Η αυστηρή λύση — φέρνουμε και τα δύο σε πλάτη:
```
   V     = √2 · 220  ≈  311,1 V        (πλάτος εισόδου)
    0,1

   Ν  / Ν   =  V    / V
    2    1      0,2    0,1

   Ν   =  Ν  · (V   /V   )  =  550 · (12/311,1)  ≈  21,2
    2      1     0,2  0,1
```
Απάντηση: Ν₂ ≈ 21 σπείρες.

Η «σχολική» λύση — αν κάποιος θεωρήσει (λανθασμένα) ότι και τα 220 V είναι πλάτος:
```
   Ν  = 550 · (12/220)  =  30 σπείρες
    2
```
Το 30 είναι πιθανότατα η επιδιωκόμενη απάντηση του βιβλίου, αλλά έρχεται σε αντίφαση με τη δική του σύμβαση της σελ. 84.
```
   ΤΙ ΔΙΝΕΤΑΙ ΩΣ ΤΙ

   V  = 12 V   → ρητά ΠΛΑΤΟΣ (η εκφώνηση γράφει V )
    0                                            0
   220 Volt    → «σταθερή τιμή» ⇒ ΕΝΕΡΓΟΣ (σύμβαση σελ. 84)

   αυστηρά:  Ν  ≈ 21    ·    αν και τα δύο ως πλάτη:  Ν  = 30
              2                                       2
```
Η δηλωμένη ασυνέπεια: η εκφώνηση αναμειγνύει πλάτος και ενεργό τιμή χωρίς να το επισημαίνει. Η σωστή αντιμετώπιση είναι να δηλωθεί η αμφισημία και να δοθούν και τα δύο αποτελέσματα, με έμφαση στην αρχή: ο λόγος των σπειρών ισούται με τον λόγο των τάσεων του ίδιου είδους. Ο έλεγχος της λογικής: ο μετασχηματιστής είναι υποβιβαστής (από 220 V σε 12 V), άρα το δευτερεύον πρέπει να έχει πολύ λιγότερες σπείρες — και οι δύο απαντήσεις (21 ή 30) το επιβεβαιώνουν. Γιατί τα κουδούνια δουλεύουν με χαμηλή τάση: για ασφάλεια. Ο διακόπτης του κουδουνιού βρίσκεται έξω από την πόρτα, εκτεθειμένος σε βροχή και σε παιδικά χέρια — με 12 V ο κίνδυνος ηλεκτροπληξίας είναι πρακτικά μηδενικός. Η πρακτική λεπτομέρεια: στην πράξη ο κατασκευαστής προσθέτει λίγες επιπλέον σπείρες στο δευτερεύον, για να αντισταθμίσει την πτώση τάσης στο τύλιγμα όταν το κουδούνι τραβά ρεύμα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η εκφώνηση αναμειγνύει πλάτος και ενεργό τιμή: η τάση εξόδου δίνεται ρητά ως πλάτος δώδεκα volt, ενώ τα διακόσια είκοσι volt της εισόδου, ως σταθερή τιμή, εννοούνται κατά τη σύμβαση του βιβλίου ως ενεργός τιμή. Αυστηρά, μετατρέπουμε την είσοδο σε πλάτος, δηλαδή διακόσια είκοσι επί ρίζα δύο, περίπου τριακόσια έντεκα volt, και εφαρμόζουμε τον λόγο των σπειρών ίσο με τον λόγο των τάσεων, οπότε προκύπτουν περίπου είκοσι μία σπείρες. Αν όμως θεωρήσουμε ότι και τα διακόσια είκοσι volt δίνονται ως πλάτος, ο λόγος γίνεται δώδεκα προς διακόσια είκοσι και προκύπτουν τριάντα σπείρες, τιμή που είναι πιθανότατα η επιδιωκόμενη από το βιβλίο αλλά έρχεται σε αντίφαση με τη δική του σύμβαση. Η σωστή αντιμετώπιση είναι να δηλωθεί η αμφισημία και να τονιστεί η αρχή ότι ο λόγος των σπειρών ισούται με τον λόγο τάσεων του ίδιου είδους. Και στις δύο περιπτώσεις ο μετασχηματιστής είναι υποβιβαστής, οπότε το δευτερεύον έχει πολύ λιγότερες σπείρες. Τα κουδούνια λειτουργούν με χαμηλή τάση για λόγους ασφάλειας, αφού ο διακόπτης βρίσκεται εκτεθειμένος έξω από την πόρτα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 18 — Κόστος απωλειών γραμμής μεταφοράς για δύο τάσεις

Ερώτηση: Ας υποθέσουμε ότι το κόστος της ηλεκτρικής ενέργειας είναι, κατά μέσον όρο, 30 δρχ/kWh. Μια γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας αποδίδει στην κατανάλωση ισχύ 1 MW. Η αντίσταση της γραμμής είναι 10 Ω. Να υπολογίσετε το κόστος των απωλειών ενέργειας στη γραμμή μεταφοράς για λειτουργία ενός χρόνου, εάν η τάση στην είσοδο της γραμμής είναι: Α. 500 000 Volt Β. 440 Volt

Απάντηση:

Τα δεδομένα: P = 1 MW = 10⁶ W, R_γρ = 10 Ω, κόστος 30 δρχ/kWh, χρόνος 1 έτος = 8.760 h.

Α. Τάση 500.000 V
```
   Ρεύμα:      Ι = P/V = 10⁶ / (5·10⁵)  =  2 A
                       2          2
   Απώλειες:   P     = Ι ·R  =  2 · 10  =  40 W  =  0,04 kW
                απωλ
   Ενέργεια:   W = 0,04 kW · 8.760 h  =  350,4 kWh

   Κόστος:     350,4 · 30  =  10.512 δρχ
```
Β. Τάση 440 V
```
   Ρεύμα:      Ι = 10⁶ / 440  ≈  2.273 A
                       2              6                    7
   Απώλειες:   P     = Ι ·R ≈ 5,165·10 · 10  ≈  5,165 · 10  W
                απωλ
                     ≈  51.653 kW   =   51,65 MW  (!)

   Ενέργεια:   W ≈ 51.653 · 8.760  ≈  4,52 · 10⁸ kWh

   Κόστος:     4,52·10⁸ · 30  ≈  1,36 · 10¹⁰ δρχ
```
Απαντήσεις: Α. ≈ 10.512 δρχ · Β. ≈ 1,36×10¹⁰ δρχ (περίπου 13,6 δισεκατομμύρια δραχμές).

Ο λόγος των δύο αποτελεσμάτων:
```
                        2               2
   λόγος = (500.000/440)  =  (1.136,4)   ≈  1,29 · 10⁶
```
Δηλαδή οι απώλειες στη χαμηλή τάση είναι περίπου 1,3 εκατομμύρια φορές μεγαλύτερες — ακριβώς όσο το τετράγωνο του λόγου των τάσεων.

Η φυσική αδυναμία της περίπτωσης Β: οι απώλειες (51,65 MW) είναι πενήντα φορές μεγαλύτερες από την ισχύ που θέλουμε να μεταφέρουμε (1 MW)! Το σενάριο είναι πρακτικά αδύνατο — η γραμμή θα έπρεπε να τροφοδοτηθεί με 52,65 MW για να παραδώσει 1 MW, και οι αγωγοί θα έλιωναν από το ρεύμα των 2.273 A. Το δίδαγμα (σελ. 74-75): αυτός ακριβώς είναι ο λόγος για τον οποίο η μεταφορά γίνεται πάντοτε σε πολύ υψηλή τάση, με μετασχηματιστή ανύψωσης στην έξοδο του εργοστασίου και υποβιβασμού κοντά στην κατανάλωση. Η απόδοση της γραμμής:
```
   Α:  απόδοση = 10⁶ / (10⁶ + 40)      ≈  99,996 %
   Β:  απόδοση = 10⁶ / (10⁶ + 5,17·10⁷) ≈  1,9 %
```
Οι δραχμές: η άσκηση προέρχεται από την προ του ευρώ εποχή. Με ισοτιμία 340,75 δρχ/€, τα 10.512 δρχ αντιστοιχούν σε περίπου 31 € τον χρόνο — και το δεύτερο αποτέλεσμα σε περίπου 40 εκατομμύρια €. Η προσοχή στις ώρες του έτους: 365 × 24 = 8.760 h. Αν χρησιμοποιηθούν λάθος οι μέρες ή τα λεπτά, το κόστος βγαίνει τελείως διαφορετικό.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Με ισχύ ένα μεγαβάτ, αντίσταση γραμμής δέκα ωμ, κόστος τριάντα δραχμές ανά κιλοβατώρα και χρόνο ένα έτος, δηλαδή οκτώ χιλιάδες επτακόσιες εξήντα ώρες, υπολογίζουμε ως εξής. Στην πρώτη περίπτωση, με τάση πεντακόσιες χιλιάδες volt, το ρεύμα είναι δύο ampere, οι απώλειες σαράντα watt, η ετήσια ενέργεια τριακόσιες πενήντα κόμμα τέσσερις κιλοβατώρες και το κόστος περίπου δέκα χιλιάδες πεντακόσιες δώδεκα δραχμές. Στη δεύτερη περίπτωση, με τάση τετρακόσια σαράντα volt, το ρεύμα γίνεται περίπου δύο χιλιάδες διακόσια εβδομήντα τρία ampere, οι απώλειες περίπου πενήντα ένα κόμμα επτά μεγαβάτ, η ετήσια ενέργεια περίπου τετρακόσια πενήντα δύο εκατομμύρια κιλοβατώρες και το κόστος περίπου δεκατρία κόμμα έξι δισεκατομμύρια δραχμές. Ο λόγος των δύο αποτελεσμάτων ισούται με το τετράγωνο του λόγου των τάσεων, δηλαδή περίπου ένα κόμμα τρία εκατομμύρια. Η δεύτερη περίπτωση είναι πρακτικά αδύνατη, αφού οι απώλειες είναι πενήντα φορές μεγαλύτερες από τη μεταφερόμενη ισχύ και οι αγωγοί θα έλιωναν· ακριβώς γι' αυτό η μεταφορά γίνεται πάντοτε σε πολύ υψηλή τάση, με μετασχηματιστές ανύψωσης και υποβιβασμού.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 19 — Ρεύμα πρωτεύοντος ιδανικού μετασχηματιστή

Ερώτηση: Το πρωτεύον πηνίο ενός ιδανικού μετασχηματιστή έχει Ν1 = 1200 σπείρες και τροφοδοτείται με τάση V1 = 220 Volt. Το δευτερεύον έχει Ν2 = 40 σπείρες και συνδέεται στα άκρα αντιστάτη. Η μέση ισχύς την οποία καταναλώνει ο αντιστάτης είναι Ρ2 = 88 W. Να υπολογίσετε το ρεύμα στο πρωτεύον πηνίο.

Απάντηση:

Η κρίσιμη ιδιότητα του ιδανικού μετασχηματιστή: δεν έχει απώλειες, άρα
```
   P  =  P     ⇒   V ·Ι  =  V ·Ι
    1     2         1  1     2  2
```
Ο ταχύτερος δρόμος — δεν χρειάζεται καν ο λόγος των σπειρών:
```
   P  =  P   =  88 W
    1     2

   Ι   =  P /V   =  88 / 220  =  0,4 A
    1      1  1
```
Απάντηση: Ι₁ = 0,4 A.

Ο έλεγχος με τη «μακριά» διαδρομή:
```
   V  = V ·(Ν /Ν ) = 220 · (40/1200) = 220/30 ≈ 7,33 V
    2    1   2  1

   Ι  = P /V  = 88 / 7,33 ≈ 12 A
    2    2  2

   Έλεγχος ισχύος:  V ·Ι  = 7,33 · 12 ≈ 88 W  =  P     ✔
                     2  2                        2

   Έλεγχος ρευμάτων: Ι /Ι  = 12/0,4 = 30 = Ν /Ν    ✔
                      2  1                  1  2
```
Ο κανόνας των ρευμάτων: σε ιδανικό μετασχηματιστή τα ρεύματα είναι αντιστρόφως ανάλογα των σπειρών:
```
   Ι  / Ι   =  Ν  / Ν
    1    2      2    1
```
Εδώ ο λόγος σπειρών είναι 1200/40 = 30, άρα ο μετασχηματιστής υποβιβάζει την τάση 30 φορές και αυξάνει το ρεύμα 30 φορές. Η φυσική ερμηνεία: η ενέργεια δεν παράγεται μέσα στον μετασχηματιστή — μεταφέρεται. Ό,τι «χάνει» σε τάση, το «κερδίζει» σε ρεύμα. Γιατί η υπόθεση «ιδανικός» απλοποιεί τόσο: σε πραγματικό μετασχηματιστή θα έπρεπε να συνυπολογιστούν οι απώλειες χαλκού (φαινόμενο Joule στα τυλίγματα) και σιδήρου (υστέρηση και δινορεύματα στον πυρήνα), οπότε P₁ > P₂ και το ρεύμα του πρωτεύοντος θα ήταν λίγο μεγαλύτερο από 0,4 A. Η αντίσταση του φορτίου, για πληρότητα:
```
           2             2
   R = V  /P   =  7,33 /88  ≈  0,61 Ω
        2   2
```
Πολύ μικρή αντίσταση, όπως αναμένεται για τη χαμηλή τάση των 7,33 V και το μεγάλο ρεύμα των 12 A.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Επειδή ο μετασχηματιστής είναι ιδανικός, δεν έχει απώλειες και η ισχύς εισόδου ισούται με την ισχύ εξόδου. Άρα η ισχύς του πρωτεύοντος είναι ογδόντα οκτώ watt και το ρεύμα προκύπτει από την ισχύ προς την τάση, δηλαδή ογδόντα οκτώ διά διακόσια είκοσι, ίσο με μηδέν κόμμα τέσσερα ampere· ο λόγος των σπειρών δεν χρειάζεται καν. Με τη μακρύτερη διαδρομή, η τάση του δευτερεύοντος είναι διακόσια είκοσι επί σαράντα προς χίλια διακόσια, δηλαδή περίπου επτά κόμμα τριάντα τρία volt, και το ρεύμα του δευτερεύοντος περίπου δώδεκα ampere· ο λόγος των ρευμάτων είναι τριάντα, δηλαδή ίσος με τον αντίστροφο λόγο των σπειρών, όπως αναμένεται. Ο μετασχηματιστής υποβιβάζει την τάση τριάντα φορές και αυξάνει το ρεύμα τριάντα φορές, αφού η ενέργεια δεν παράγεται αλλά μεταφέρεται. Σε πραγματικό μετασχηματιστή θα υπήρχαν απώλειες χαλκού και σιδήρου, οπότε το ρεύμα του πρωτεύοντος θα ήταν λίγο μεγαλύτερο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 20 — Υποβιβαστής τάσης με λόγο μετασχηματισμού ένα προς πέντε

Ερώτηση: Ένας μετασχηματιστής χρησιμοποιείται ως υποβιβαστής τάσης και έχει λόγο μετασχηματισμού Ν2/Ν1 = 1/5. Α. Συνδέουμε το πρωτεύον πηνίο με πηγή AC τάσης 220 Volt. Να υπολογίσετε την τάση στο δευτερεύον. Β. Να υποθέσετε ότι ο μετασχηματιστής είναι ιδανικός. Πόσο πρέπει να είναι το ρεύμα το οποίο διαρρέει το πρωτεύον, ώστε ένας αντιστάτης 40 Ω, τοποθετημένος στο δευτερεύον να απορροφά όλη την ισχύ του κυκλώματος;

Απάντηση:

Α. Η τάση στο δευτερεύον
```
   V  / V   =  Ν  / Ν   =  1/5
    2    1      2    1

   V   =  V  / 5  =  220 / 5  =  44 V
    2      1
```
Απάντηση Α: V₂ = 44 V.

Β. Το ρεύμα του πρωτεύοντος Βήμα 1 — η ισχύς που απορροφά ο αντιστάτης:
```
           2               2
   P  = V  / R  =  44 / 40  =  1.936/40  =  48,4 W
    2    2
```
Βήμα 2 — ιδανικός μετασχηματιστής, άρα P₁ = P₂:
```
   Ι   =  P /V   =  48,4 / 220  =  0,22 A
    1      1  1
```
Απάντηση Β: Ι₁ = 0,22 A.

Ο έλεγχος με τον λόγο των ρευμάτων:
```
   Ι  = V /R = 44/40 = 1,1 A       (ρεύμα δευτερεύοντος)
    2    2

   Ι /Ι  = 1,1/0,22 = 5 = Ν /Ν      ✔  (αντίστροφος λόγος σπειρών)
    2  1                   1  2
```
Η σημασία της φράσης «να απορροφά όλη την ισχύ του κυκλώματος»: δηλώνει ότι ο αντιστάτης είναι το μοναδικό φορτίο και ότι δεν υπάρχουν απώλειες πουθενά αλλού — δηλαδή επιβεβαιώνει την υπόθεση του ιδανικού μετασχηματιστή. Ο κανόνας του υποβιβαστή: η τάση υποπενταπλασιάζεται και το ρεύμα πενταπλασιάζεται. Το γινόμενό τους — η ισχύς — παραμένει σταθερό. Η «ανακλώμενη» αντίσταση: το πρωτεύον «βλέπει» φαινόμενη αντίσταση
```
   R  = V /Ι  = 220/0,22 = 1.000 Ω
    1    1  1
```
δηλαδή 25 φορές μεγαλύτερη από τα 40 Ω του δευτερεύοντος — ακριβώς (Ν₁/Ν₂)² = 5² = 25. Αυτή η ιδιότητα (μετασχηματισμός αντίστασης) αξιοποιείται στους ενισχυτές ήχου για την προσαρμογή του ηχείου στην έξοδο. Πού χρησιμοποιείται ένας τέτοιος μετασχηματιστής: για τροφοδοσία συσκευών χαμηλής τάσης — φωτισμός αλογόνου, φορτιστές, κουδούνια (βλ. άσκηση 17). Τα 44 V είναι ασφαλέστερα από τα 220 V, χωρίς να είναι απολύτως ακίνδυνα. Η προσοχή στη διάκριση Ν₂/Ν₁ και Ν₁/Ν₂: εδώ δίνεται Ν₂/Ν₁ = 1/5, δηλαδή το δευτερεύον έχει λιγότερες σπείρες. Αν το διαβάσουμε αντίστροφα, το αποτέλεσμα γίνεται 1.100 V αντί για 44 V.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Στο πρώτο ερώτημα, ο λόγος των τάσεων ισούται με τον λόγο των σπειρών, ο οποίος είναι ένα προς πέντε, οπότε η τάση στο δευτερεύον είναι διακόσια είκοσι διά πέντε, δηλαδή σαράντα τέσσερα volt. Στο δεύτερο ερώτημα, η ισχύς που απορροφά ο αντιστάτης είναι το τετράγωνο της τάσης προς την αντίσταση, δηλαδή σαράντα τέσσερα στο τετράγωνο διά σαράντα, ίση με σαράντα οκτώ κόμμα τέσσερα watt. Επειδή ο μετασχηματιστής είναι ιδανικός, η ίδια ισχύς τροφοδοτεί το πρωτεύον, οπότε το ρεύμα του είναι σαράντα οκτώ κόμμα τέσσερα διά διακόσια είκοσι, δηλαδή μηδέν κόμμα είκοσι δύο ampere. Ο έλεγχος επιβεβαιώνει το αποτέλεσμα, αφού το ρεύμα του δευτερεύοντος είναι ένα κόμμα ένα ampere και ο λόγος των ρευμάτων ίσος με πέντε, δηλαδή αντίστροφος του λόγου των σπειρών. Η φράση ότι ο αντιστάτης απορροφά όλη την ισχύ δηλώνει ότι είναι το μοναδικό φορτίο και ότι δεν υπάρχουν απώλειες. Σημειώνεται ότι το πρωτεύον βλέπει φαινόμενη αντίσταση χίλια ωμ, δηλαδή είκοσι πέντε φορές μεγαλύτερη από την πραγματική, όσο το τετράγωνο του λόγου των σπειρών.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο