Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 1 (σελ. 32-37) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ
Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 1
Πλήρεις λύσεις και των 26 ασκήσεων — από τους πόλους της Γης και τις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού διπόλου μέχρι τα αριθμητικά προβλήματα με κυκλικούς, ευθύγραμμους και ημικυκλικούς αγωγούς, σωληνοειδή και δυνάμεις μεταξύ παράλληλων ρευματοφόρων αγωγών.
Άσκηση 1 — Πού βρίσκεται ο Βόρειος Μαγνητικός Πόλος της Γης
Ερώτηση: Ο βόρειος πόλος μιας μαγνητικής βελόνας στρέφεται προς το Βόρειο Γεωγραφικό Πόλο της Γης. Πού βρίσκεται ο Βόρειος Μαγνητικός Πόλος της Γης;
Απάντηση:
-
Το κλειδί (σελ. 22): οι όμοιοι μαγνητικοί πόλοι απωθούνται και οι ετερώνυμοι έλκονται.
Ο συλλογισμός βήμα-βήμα: 1. Η μαγνητική βελόνα είναι ένας μικρός μαγνήτης που στρέφεται ελεύθερα. 2. Ο βόρειος πόλος της στρέφεται προς τον Βόρειο Γεωγραφικό Πόλο. 3. Άρα ο πόλος της Γης που βρίσκεται εκεί έλκει τον βόρειο πόλο της βελόνας. 4. Έλξη σημαίνει ετερώνυμοι πόλοι. 5. Επομένως, κοντά στον Βόρειο Γεωγραφικό Πόλο βρίσκεται ο Νότιος Μαγνητικός Πόλος της Γης. 6. Συνεπώς ο Βόρειος Μαγνητικός Πόλος της Γης βρίσκεται κοντά στον Νότιο Γεωγραφικό Πόλο, δηλαδή στην Ανταρκτική.
ΒΟΡΕΙΟΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΣ ΠΟΛΟΣ ▲ [ S ] ← εδώ βρίσκεται ο ΝΟΤΙΟΣ μαγνητικός πόλος ╱ ╲ │ ΓΗ │ η βελόνα: N ──────► προς τον Βορρά ╲ ╱ (έλκεται από το S) [ N ] ← ο ΒΟΡΕΙΟΣ μαγνητικός πόλος ▼ ΝΟΤΙΟΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΣ ΠΟΛΟΣΗ αιτία της σύγχυσης: η ονομασία των πόλων της βελόνας είναι συμβατική και προήλθε από τη χρήση της πυξίδας — «βόρειος» ονομάστηκε ο πόλος που δείχνει τον Βορρά. Η ίδια όμως σύμβαση, εφαρμοσμένη στη Γη ως μαγνήτη, οδηγεί αναγκαστικά στο ότι ο γεωγραφικός Βορράς φιλοξενεί νότιο μαγνητικό πόλο. Και μια δεύτερη διάκριση: οι μαγνητικοί πόλοι δεν συμπίπτουν με τους γεωγραφικούς — ο άξονας του γήινου μαγνητικού διπόλου σχηματίζει γωνία με τον άξονα περιστροφής, γι' αυτό και η πυξίδα δείχνει τον μαγνητικό και όχι τον γεωγραφικό Βορρά (η διαφορά ονομάζεται μαγνητική απόκλιση). Η προέλευση του γήινου πεδίου: όπως δείχνει όλο το κεφάλαιο, τα μαγνητικά πεδία μπορούν να δημιουργηθούν από ηλεκτρικά ρεύματα (σελ. 7) — το πεδίο της Γης αποδίδεται σε ρεύματα μέσα στον ρευστό μεταλλικό πυρήνα της.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Επειδή οι ετερώνυμοι μαγνητικοί πόλοι έλκονται και οι όμοιοι απωθούνται, ο πόλος της Γης που έλκει τον βόρειο πόλο της μαγνητικής βελόνας πρέπει να είναι νότιος. Άρα κοντά στον Βόρειο Γεωγραφικό Πόλο βρίσκεται ο Νότιος Μαγνητικός Πόλος της Γης, και επομένως ο Βόρειος Μαγνητικός Πόλος της Γης βρίσκεται κοντά στον Νότιο Γεωγραφικό Πόλο, δηλαδή στην περιοχή της Ανταρκτικής. Η φαινομενική αντίφαση οφείλεται στο ότι η ονομασία των πόλων της βελόνας είναι συμβατική και προήλθε από τη χρήση της πυξίδας: βόρειος ονομάστηκε ο πόλος που δείχνει προς τον Βορρά. Σημειώνεται επίσης ότι οι μαγνητικοί πόλοι δεν συμπίπτουν με τους γεωγραφικούς, γι' αυτό και η πυξίδα δείχνει τον μαγνητικό και όχι τον γεωγραφικό Βορρά, ενώ το ίδιο το μαγνητικό πεδίο της Γης αποδίδεται σε ηλεκτρικά ρεύματα μέσα στον ρευστό μεταλλικό πυρήνα της.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 2 — Σε τι πεδίο οφείλεται η εκτροπή δέσμης ηλεκτρονίων
Ερώτηση: Η δέσμη ηλεκτρονίων ενός παλμογράφου εκτρέπεται προς τα δεξιά της οθόνης για παρατηρητή ο οποίος κοιτάζει προς την οθόνη. Σε τι είδους εξωτερικό πεδίο μπορεί να οφείλεται η εκτροπή αυτή;
Απάντηση:
-
Δύο είναι οι δυνατότητες: ηλεκτρικό πεδίο ή μαγνητικό πεδίο.
Α. Ηλεκτρικό πεδίο: στο ηλεκτρικό πεδίο η δύναμη σε φορτίο q είναι F = qE. Επειδή το ηλεκτρόνιο έχει αρνητικό φορτίο, η δύναμη είναι αντίθετη προς το πεδίο. Για να εκτραπεί η δέσμη προς τα δεξιά του παρατηρητή, το ηλεκτρικό πεδίο πρέπει να είναι στραμμένο προς τα αριστερά.
Β. Μαγνητικό πεδίο: εδώ χρειάζεται προσοχή στη φορά του ρεύματος (σελ. 11): Ο κανόνας χρησιμοποιεί τη συμβατική φορά του ρεύματος. Εάν πρόκειται για ρεύμα που οφείλεται σε δέσμη ηλεκτρονίων, η φορά του ρεύματος είναι αντίθετη προς την ταχύτητά τους.
Ο παρατηρητής κοιτάζει την οθόνη: ταχύτητα ηλεκτρονίων υ → προς την οθόνη (μακριά μας) συμβατικό ρεύμα I → προς τον παρατηρητή (έξω από τη σελίδα) ζητούμενη δύναμη F → προς τα ΔΕΞΙΑ Κανόνας δεξιού χεριού: δάχτυλα κατά Β, αντίχειρας κατά I, παλάμη σπρώχνει κατά F I έξω από τη σελίδα + F προς τα δεξιά ⇒ Β προς τα ΚΑΤΩΤο συμπέρασμα για το μαγνητικό πεδίο: η εκτροπή μπορεί να οφείλεται σε μαγνητικό πεδίο κάθετο στη δέσμη, με φορά από πάνω προς τα κάτω ως προς τον παρατηρητή (δηλαδή κατακόρυφο, προς τα κάτω). Γιατί το πεδίο πρέπει να είναι κάθετο στη δέσμη (σελ. 11): εάν το ρεύμα I έχει την ίδια κατεύθυνση με το πεδίο ή κατεύθυνση αντίθετη από αυτό, το μέτρο της δύναμης Laplace είναι μηδέν — ένα πεδίο παράλληλο στη δέσμη δεν θα την εξέτρεπε καθόλου. Πώς ξεχωρίζουμε πειραματικά τις δύο περιπτώσεις: αν διπλασιάσουμε την τάση επιτάχυνσης (άρα την ταχύτητα των ηλεκτρονίων), η ηλεκτρική εκτροπή μειώνεται (λιγότερος χρόνος μέσα στο πεδίο), ενώ η μαγνητική δύναμη αυξάνεται ανάλογα με την ταχύτητα. Η μεταβολή της εκτροπής μαρτυρά ποιο πεδίο ευθύνεται. Η πρακτική σημασία: γι' αυτό ακριβώς οι παλμογράφοι και οι παλιές τηλεοράσεις καθοδικού σωλήνα θωρακίζονται από εξωτερικά μαγνητικά πεδία — όπως αναφέρει η εισαγωγή του κεφαλαίου (σελ. 7), όταν ξεσπούν κεραυνοί… οι εικόνες της τηλεόρασης παρουσιάζουν παραμόρφωση.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η εκτροπή μπορεί να οφείλεται είτε σε ηλεκτρικό είτε σε μαγνητικό πεδίο. Αν πρόκειται για ηλεκτρικό πεδίο, επειδή το ηλεκτρόνιο έχει αρνητικό φορτίο η δύναμη είναι αντίθετη προς το πεδίο, οπότε για εκτροπή προς τα δεξιά του παρατηρητή το πεδίο πρέπει να δείχνει προς τα αριστερά. Αν πρόκειται για μαγνητικό πεδίο, πρέπει να προσέξουμε ότι η συμβατική φορά του ρεύματος είναι αντίθετη προς την ταχύτητα των ηλεκτρονίων: αφού τα ηλεκτρόνια κινούνται προς την οθόνη, το συμβατικό ρεύμα κατευθύνεται προς τον παρατηρητή, δηλαδή έξω από το επίπεδο της οθόνης. Εφαρμόζοντας τον κανόνα του δεξιού χεριού, για δύναμη προς τα δεξιά χρειάζεται μαγνητικό πεδίο κάθετο στη δέσμη και στραμμένο από πάνω προς τα κάτω. Σε κάθε περίπτωση το πεδίο πρέπει να είναι κάθετο στη δέσμη, γιατί πεδίο παράλληλο ή αντιπαράλληλο προς το ρεύμα δίνει μηδενική δύναμη. Πειραματικά οι δύο περιπτώσεις ξεχωρίζουν αν μεταβάλουμε την ταχύτητα των ηλεκτρονίων: η ηλεκτρική εκτροπή μειώνεται με την αύξηση της ταχύτητας, ενώ η μαγνητική δύναμη αυξάνεται ανάλογα με αυτήν.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 3 — Δυναμικές γραμμές μαγνητικού διπόλου και κυκλικού αγωγού
Ερώτηση: Ένας μικρός ραβδόμορφος μαγνήτης σχηματίζει ένα μαγνητικό δίπολο. Ένας μικρός κυκλικός βρόχος που διαρρέεται από ρεύμα σχηματίζει, επίσης, ένα μαγνητικό δίπολο. Χρησιμοποιήστε αυτή την αναλογία για να σχεδιάσετε τις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου του μαγνητικού διπόλου, αφού πρώτα κάνετε το ίδιο για το μαγνητικό πεδίο του κυκλικού αγωγού.
Απάντηση:
-
Ο κανόνας που χρειαζόμαστε (σελ. 23): Οι δυναμικές γραμμές είναι νοητές καμπύλες σε κάθε σημείο των οποίων το τοπικό πεδίο Β είναι εφαπτόμενο. Συμβατικά οι δυναμικές γραμμές, έξω από τον μαγνήτη, ξεκινούν από το βόρειο πόλο του και καταλήγουν στο νότιο. Οι δυναμικές γραμμές συνεχίζονται στο εσωτερικό του μαγνήτη.
Α. Ο κυκλικός ρευματοφόρος αγωγός
╭───────────────╮ ╭──┼─╮ ╭─┼──╮ │ │ │ ↑ Β │ │ │ │ ╭┴╮ │ │ ╭┴╮ │ ─────┼──┤ ├─┼─────────┼─┤ ├──┼───── επίπεδο του βρόχου │ ╰┬╯ │ Ι │ ╰┬╯ │ │ │ │ │ │ │ ╰──┼─╯ ╰─┼──╯ ╰───────────────╯ ✔ στο ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ του βρόχου όλες οι γραμμές έχουν την ΙΔΙΑ φορά (κάθετη στο επίπεδό του) και το πεδίο είναι ΠΥΚΝΟΤΕΡΟ ✔ έξω από τον βρόχο κλείνουν επιστρέφοντας από την άλλη πλευρά ✔ η φορά δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού: αν τα δάχτυλα δείχνουν τη φορά του ρεύματος, ο αντίχειρας δίνει τη φορά του Β στο εσωτερικόΒ. Ο ραβδόμορφος μαγνήτης (μαγνητικό δίπολο)
╭───────────────╮ ╭──┼─╮ ╭─┼──╮ │ │ │ ┌─────┐ │ │ │ │ ╭┴╮ │ │ N S │ │ ╭┴╮ │ ─────┼──┤ ├─┼──└──┬──┘─┼─┤ ├──┼───── │ ╰┬╯ │ │ │ ╰┬╯ │ │ │ │ S ─┴─ N │ │ │ ╰──┼─╯ ╰─┼──╯ ╰───────────────╯ ✔ ΑΚΡΙΒΩΣ το ίδιο σχήμα γραμμών με τον κυκλικό αγωγό ✔ έξω από τον μαγνήτη: από τον Ν προς τον S ✔ μέσα στον μαγνήτη: από τον S προς τον Ν — οι γραμμές ΚΛΕΙΝΟΥΝΗ αναλογία που ζητά η άσκηση: το εσωτερικό του βρόχου αντιστοιχεί στο εσωτερικό του μαγνήτη, και η πλευρά από την οποία βγαίνουν οι γραμμές αντιστοιχεί στον βόρειο πόλο. Δηλαδή ένας μικρός ρευματοφόρος βρόχος είναι ένας μικροσκοπικός ραβδόμορφος μαγνήτης. Γιατί η αναλογία δεν είναι απλή ομοιότητα: το βιβλίο τη χρησιμοποιεί για να εξηγήσει τον ίδιο τον μαγνητισμό (σελ. 25) — Το περιφερόμενο ηλεκτρόνιο ισοδυναμεί με ηλεκτρικό ρεύμα. Μπορούμε να φανταστούμε ότι είναι ένας κυκλικός ρευματοφόρος αγωγός… Τα άτομα, λοιπόν, μπορούν να αποτελούν τους στοιχειώδεις μαγνήτες. Η μεγάλη διαφορά από το ηλεκτρικό δίπολο: οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές είναι πάντοτε κλειστές — δεν έχουν αρχή και τέλος, γιατί Μεμονωμένοι μαγνητικοί πόλοι δεν υπάρχουν (σελ. 24). Αντίθετα, οι ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές ξεκινούν από θετικά και καταλήγουν σε αρνητικά φορτία.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι δυναμικές γραμμές είναι νοητές καμπύλες στις οποίες το πεδίο είναι σε κάθε σημείο εφαπτόμενο. Για τον κυκλικό ρευματοφόρο αγωγό οι γραμμές περνούν όλες από το εσωτερικό του βρόχου με την ίδια φορά, κάθετα στο επίπεδό του, όπου το πεδίο είναι και πυκνότερο, και κλείνουν έξω από τον βρόχο επιστρέφοντας από την άλλη πλευρά· η φορά τους δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Για τον ραβδόμορφο μαγνήτη το σχήμα των γραμμών είναι ακριβώς το ίδιο: έξω από τον μαγνήτη ξεκινούν από τον βόρειο πόλο και καταλήγουν στον νότιο, ενώ συνεχίζονται και μέσα στον μαγνήτη από τον νότιο προς τον βόρειο, ώστε κάθε γραμμή να είναι κλειστή. Η αντιστοιχία είναι ότι το εσωτερικό του βρόχου παίζει τον ρόλο του εσωτερικού του μαγνήτη και η πλευρά από την οποία βγαίνουν οι γραμμές αντιστοιχεί στον βόρειο πόλο, δηλαδή ένας μικρός ρευματοφόρος βρόχος είναι στην ουσία ένας μικροσκοπικός μαγνήτης. Την αναλογία αυτή χρησιμοποιεί το βιβλίο για να εξηγήσει τον μαγνητισμό της ύλης, αφού το περιφερόμενο ηλεκτρόνιο ισοδυναμεί με κυκλικό ρεύμα και το άτομο αποτελεί τον στοιχειώδη μαγνήτη. Βασική διαφορά από το ηλεκτρικό δίπολο είναι ότι οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές είναι πάντοτε κλειστές, γιατί μεμονωμένοι μαγνητικοί πόλοι δεν υπάρχουν.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 4 — Δυνάμεις ανάμεσα σε δύο κυκλικούς ρευματοφόρους αγωγούς
Ερώτηση: Δύο μικροί κυκλικοί αγωγοί είναι τοποθετημένοι σε οριζόντιο τραπέζι, όπου μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβή. Διαβιβάζουμε στους αγωγούς ηλεκτρικό ρεύμα. Να εξετάσετε εάν θα ασκηθούν δυνάμεις ανάμεσα στους αγωγούς. Να διακρίνετε περιπτώσεις ανάλογα με τη φορά των ρευμάτων.
Απάντηση:
-
Ναι, θα ασκηθούν δυνάμεις: κάθε ρευματοφόρος αγωγός δημιουργεί μαγνητικό πεδίο και κάθε ρευματοφόρος αγωγός μέσα σε πεδίο δέχεται δύναμη Laplace (σελ. 10). Άρα ο καθένας βρίσκεται μέσα στο πεδίο του άλλου.
Ο σωστός τρόπος ανάλυσης — κοιτάμε τα γειτονικά τμήματα, γιατί σε αυτά η απόσταση είναι η μικρότερη και άρα η δύναμη η μεγαλύτερη (F ~ 1/d):
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α: ΟΜΟΡΡΟΠΗ περιφορά (και οι δύο π.χ. δεξιόστροφα) ╭───╮ ╭───╮ στα ΑΠΕΝΑΝΤΙ (γειτονικά) τμήματα │ ↓ │ │ ↑ │ τα ρεύματα είναι ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ ╰───╯ ╰───╯ → ΑΠΩΣΗ (1) (2) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β: ΑΝΤΙΡΡΟΠΗ περιφορά ╭───╮ ╭───╮ στα γειτονικά τμήματα │ ↓ │ │ ↓ │ τα ρεύματα είναι ΟΜΟΡΡΟΠΑ ╰───╯ ╰───╯ → ΕΛΞΗ (1) (2)Ο βασικός κανόνας που εφαρμόζουμε: δύο παράλληλοι αγωγοί με ομόρροπα ρεύματα έλκονται, με αντίρροπα απωθούνται, με δύναμη F = 2·km·I₁·I₂·l/d.
Η προσοχή που χρειάζεται: το αποτέλεσμα φαίνεται αντίστροφο από τον κανόνα των παράλληλων αγωγών, και αυτό μπερδεύει. Ο λόγος είναι ότι στους ομόρροπα περιφερόμενους βρόχους τα απέναντι τμήματα (αυτά που κοιτάζονται) διαρρέονται από αντίθετης φοράς ρεύματα. Η ερμηνεία με δίπολα: κάθε βρόχος είναι ένα μαγνητικό δίπολο με τη ροπή του κάθετη στο τραπέζι. Δύο δίπολα δίπλα-δίπλα με παράλληλες ροπές (ομόρροπη περιφορά) απωθούνται, ενώ με αντιπαράλληλες ροπές έλκονται — δηλαδή δύο μικροί μαγνήτες όρθιοι πάνω στο τραπέζι, με τους ίδιους πόλους προς τα πάνω, σπρώχνονται μακριά. Γιατί το τραπέζι είναι «χωρίς τριβή»: για να είναι η παραμικρή δύναμη ορατή. Οι δυνάμεις αυτές είναι πολύ μικρές — για δύο βρόχους με 1 Α σε απόσταση 1 cm και μήκος αλληλεπίδρασης 1 cm, η δύναμη είναι της τάξης των 2×10⁻⁷ N. Το ίδιο φαινόμενο στην πράξη: στους πυκνά τυλιγμένους αγωγούς ενός σωληνοειδούς όλες οι σπείρες έχουν ομόρροπη περιφορά και έλκονται μεταξύ τους κατά τον άξονα (τα γειτονικά τους τμήματα είναι πλέον παράλληλα και ομόρροπα) — γι' αυτό τα πηνία ισχύος «σφίγγουν» όταν διαρρέονται από μεγάλα ρεύματα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ναι, ασκούνται δυνάμεις, γιατί κάθε ρευματοφόρος αγωγός δημιουργεί μαγνητικό πεδίο και ο καθένας βρίσκεται μέσα στο πεδίο του άλλου, οπότε δέχεται δύναμη Laplace. Για να βρούμε τη φορά της δύναμης εξετάζουμε τα γειτονικά τμήματα των δύο βρόχων, γιατί εκεί η απόσταση είναι μικρότερη και η δύναμη μεγαλύτερη, αφού είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης. Αν οι δύο βρόχοι διαρρέονται με ομόρροπη περιφορά, δηλαδή και οι δύο δεξιόστροφα ή και οι δύο αριστερόστροφα, τότε στα απέναντι τμήματά τους τα ρεύματα είναι αντίρροπα και οι βρόχοι απωθούνται. Αν η περιφορά είναι αντίρροπη, τα γειτονικά τμήματα διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα και οι βρόχοι έλκονται. Το αποτέλεσμα φαίνεται αντίστροφο από τον γνωστό κανόνα των παράλληλων αγωγών, γιατί ακριβώς η ομόρροπη περιφορά συνεπάγεται αντίθετης φοράς ρεύματα στα τμήματα που κοιτάζονται. Ισοδύναμα, κάθε βρόχος είναι μαγνητικό δίπολο με ροπή κάθετη στο τραπέζι, και δύο τέτοια δίπολα δίπλα δίπλα με παράλληλες ροπές απωθούνται, ενώ με αντιπαράλληλες έλκονται. Το τραπέζι θεωρείται χωρίς τριβή γιατί οι δυνάμεις αυτές είναι πολύ μικρές.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 5 — Μία περιέλιξη ή Ν περιελίξεις για ισχυρότερο πεδίο
Ερώτηση: Έχετε ένα σύρμα συγκεκριμένου μήκους και θέλετε να κατασκευάσετε ένα κυκλικό αγωγό. Προκειμένου να έχετε ισχυρότερο μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του, τι είναι προτιμότερο: να κατασκευάσετε μία μοναδική περιέλιξη ή να κατασκευάσετε Ν περιελίξεις;
Απάντηση:
-
Ο τύπος (σελ. 15): το πεδίο στο κέντρο κυκλικού αγωγού με Ν σπείρες είναι B = 2π·km·N·I/R.
Η σύγκριση με σταθερό μήκος σύρματος L:
ΜΙΑ περιέλιξη: L = 2πR₁ ⇒ R₁ = L/(2π) 2 B₁ = 2π·k ·I/R₁ = 4π ·k ·I/L m m Ν περιελίξεις: L = N·2πR ⇒ R = L/(2πΝ) N N 2 2 B = 2π·k ·N·I/R = 4π ·k ·N ·I/L N m N m ΛΟΓΟΣ: B / B = N² N 1Το συμπέρασμα: με Ν περιελίξεις το πεδίο γίνεται Ν² φορές ισχυρότερο. Άρα είναι πολύ προτιμότερες οι Ν περιελίξεις.
Γιατί προκύπτει τετράγωνο και όχι απλή αναλογία: η αύξηση των σπειρών δρα δύο φορές: 1. το πεδίο είναι ανάλογο του Ν (Ν σπείρες, Ν φορές το πεδίο της μιας)· 2. με σταθερό μήκος σύρματος, οι Ν σπείρες έχουν Ν φορές μικρότερη ακτίνα, και το πεδίο είναι αντιστρόφως ανάλογο της ακτίνας. Τα δύο μαζί δίνουν Ν·Ν = Ν². Αριθμητικά: με Ν = 10 το πεδίο γίνεται 100 φορές μεγαλύτερο, με Ν = 100 γίνεται 10.000 φορές. Πού είναι το πρακτικό όριο: η αντίσταση του σύρματος δεν αλλάζει (ίδιο μήκος), άρα με την ίδια πηγή το ρεύμα Ι παραμένει το ίδιο και η θερμική ισχύς επίσης — το κέρδος είναι «δωρεάν». Περιορισμός είναι μόνο ο χώρος: με πολύ μικρή ακτίνα οι σπείρες δεν χωρούν πια η μία δίπλα στην άλλη. Η ίδια λογική στο σωληνοειδές (σελ. 20): B = 4π·km·(N/l)·I — και εκεί αυτό που μετράει είναι οι σπείρες ανά μονάδα μήκους, γι' αυτό και στην κατασκευή του ηλεκτρομαγνήτη το βιβλίο μιλά για πυκνή περιέλιξη (σελ. 29).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Είναι σαφώς προτιμότερες οι Ν περιελίξεις. Το πεδίο στο κέντρο κυκλικού αγωγού με Ν σπείρες είναι δύο πι επί τη σταθερά επί Ν επί το ρεύμα προς την ακτίνα. Με δεδομένο μήκος σύρματος, η μία περιέλιξη έχει ακτίνα ίση με το μήκος προς δύο πι, ενώ οι Ν περιελίξεις έχουν ακτίνα Ν φορές μικρότερη. Αντικαθιστώντας, το πεδίο της μίας περιέλιξης είναι τέσσερα πι στο τετράγωνο επί τη σταθερά επί το ρεύμα προς το μήκος, ενώ το πεδίο των Ν περιελίξεων είναι το ίδιο πολλαπλασιασμένο επί Ν στο τετράγωνο. Δηλαδή με Ν περιελίξεις το πεδίο γίνεται Ν στο τετράγωνο φορές ισχυρότερο. Το τετράγωνο προκύπτει γιατί η αύξηση των σπειρών δρα δύο φορές: το πεδίο είναι ανάλογο του πλήθους των σπειρών και ταυτόχρονα αντιστρόφως ανάλογο της ακτίνας, η οποία με σταθερό μήκος σύρματος μικραίνει κατά Ν φορές. Το κέρδος είναι ουσιαστικά δωρεάν, αφού η αντίσταση του σύρματος δεν αλλάζει και το ρεύμα παραμένει το ίδιο· μοναδικός περιορισμός είναι ο χώρος για την τοποθέτηση των σπειρών.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 6 — Συμπλήρωση κενών για το μαγνητικό πεδίο ρευματοφόρου αγωγού
Ερώτηση: Να συμπληρώσετε τα κενά στο επόμενο κείμενο: Κάθε αγωγός ο οποίος διαρρέεται από ............ δημιουργεί στο χώρο ............ Το πεδίο Β είναι ............ στις δυναμικές γραμμές. Όταν ένας ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός τοποθετηθεί παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές ομογενούς πεδίου Β, η δύναμη που δέχεται είναι ............, ενώ, όταν τοποθετηθεί κάθετα, η δύναμη την οποία δέχεται γίνεται ............ .Οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός είναι ............ Τα επίπεδα των δυναμικών γραμμών είναι ............ στον αγωγό.
Απάντηση:
-
Το συμπληρωμένο κείμενο:
«Κάθε αγωγός ο οποίος διαρρέεται από ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ δημιουργεί στο χώρο ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ. Το πεδίο Β είναι ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ στις δυναμικές γραμμές. Όταν ένας ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός τοποθετηθεί παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές ομογενούς πεδίου Β, η δύναμη που δέχεται είναι ΜΗΔΕΝ, ενώ, όταν τοποθετηθεί κάθετα, η δύναμη την οποία δέχεται γίνεται ΜΕΓΙΣΤΗ. Οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός είναι ΟΜΟΚΕΝΤΡΟΙ ΚΥΚΛΟΙ με κέντρο τον αγωγό. Τα επίπεδα των δυναμικών γραμμών είναι ΚΑΘΕΤΑ στον αγωγό.»
# Το κενό Η τεκμηρίωση 1 ηλεκτρικό ρεύμα σελ. 7: τα μαγνητικά πεδία μπορούν να δημιουργηθούν από ηλεκτρικά ρεύματα 2 μαγνητικό πεδίο το θεμελιώδες συμπέρασμα του πειράματος του Oersted 3 εφαπτόμενο σελ. 23: νοητές καμπύλες σε κάθε σημείο των οποίων το τοπικό πεδίο Β είναι εφαπτόμενο 4 μηδέν σελ. 11: εάν το ρεύμα I έχει την ίδια κατεύθυνση με το πεδίο… το μέτρο της δύναμης Laplace είναι μηδέν 5 μέγιστη (ίση με B·I·l) σελ. 11: το μέτρο της δύναμης Laplace γίνεται μέγιστο, όταν ο αγωγός είναι κάθετος στη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου 6 ομόκεντροι κύκλοι §1.3, το μαγνητικό φάσμα ευθύγραμμου αγωγού με ρινίσματα σιδήρου 7 κάθετα το επίπεδο κάθε δυναμικής γραμμής είναι κάθετο στον αγωγό ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΑΓΩΓΟΥ — ΤΟΜΗ ΚΑΘΕΤΗ ΣΤΟΝ ΑΓΩΓΟ ╭───────────╮ ╭──┼──╮ ╭──┼──╮ │ │ │ │ │ │ │ ╭┴╮ │ ⊙ │ ╭┴╮ │ ⊙ = ρεύμα προς τα έξω │ ╰┬╯ │ I │ ╰┬╯ │ (κανόνας δεξιού χεριού: │ │ │ │ │ │ αντίχειρας κατά Ι, τα ╰──┼──╯ ╰──┼──╯ δάχτυλα «τυλίγουν» το Β) ╰───────────╯ Β εφαπτόμενο στον κύκλο · μέτρο B = 2·k ·I/r → μικραίνει με το r mΗ κρίσιμη διάκριση για το κενό 3: το Β είναι εφαπτόμενο στις δυναμικές γραμμές, όχι κάθετο σε αυτές. Οι δυναμικές γραμμές είναι ακριβώς οι καμπύλες που σχεδιάζονται ώστε να έχουν αυτή την ιδιότητα. Η κρίσιμη διάκριση για τα κενά 4 και 5: η δύναμη Laplace εξαρτάται από το ημφ, όχι από το συνφ — γι' αυτό μηδενίζεται στην παράλληλη θέση και μεγιστοποιείται στην κάθετη.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Το συμπληρωμένο κείμενο έχει ως εξής. Κάθε αγωγός ο οποίος διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα δημιουργεί στον χώρο μαγνητικό πεδίο. Το πεδίο Β είναι εφαπτόμενο στις δυναμικές γραμμές. Όταν ένας ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός τοποθετηθεί παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές ομογενούς πεδίου, η δύναμη που δέχεται είναι μηδέν, ενώ όταν τοποθετηθεί κάθετα η δύναμη γίνεται μέγιστη και ίση με το γινόμενο του πεδίου επί το ρεύμα επί το μήκος. Οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο τον αγωγό, και τα επίπεδα των δυναμικών γραμμών είναι κάθετα στον αγωγό. Δύο σημεία χρειάζονται προσοχή: πρώτον, το πεδίο είναι εφαπτόμενο και όχι κάθετο στις δυναμικές γραμμές, αφού αυτές ορίζονται ακριβώς ως οι καμπύλες με αυτή την ιδιότητα· δεύτερον, η δύναμη Laplace εξαρτάται από το ημίτονο της γωνίας, γι' αυτό μηδενίζεται στην παράλληλη και μεγιστοποιείται στην κάθετη θέση.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 7 — Αντιστοίχιση μεγεθών και μονάδων
Ερώτηση: Να κάνετε τις αντιστοιχίσεις μεγεθών – μονάδων: Α. Ηλεκτρικό ρεύμα Ι α. 1 Τ Β. Δύναμη β. 1 C F γ. 1 Α Γ. Πεδίο Β Δ. Ηλεκτρικό φορτίο q δ. 1 Ν Ε. Σχετική διαπερατότητα
Απάντηση:
-
Οι σωστές αντιστοιχίσεις:
Μέγεθος Μονάδα Γιατί Α. Ηλεκτρικό ρεύμα Ι γ. 1 Α το ampere είναι θεμελιώδης μονάδα του S.I. Β. Δύναμη F δ. 1 Ν το newton, από τον θεμελιώδη νόμο F = m·a Γ. Πεδίο Β α. 1 Τ το tesla, από τον ορισμό B = F/(I·l) (σελ. 11), άρα 1 T = 1 N/(A·m) Δ. Ηλεκτρικό φορτίο q β. 1 C το coulomb, 1 C = 1 A·s Ε. Σχετική διαπερατότητα — καμία μονάδα είναι καθαρός αριθμός Α ── γ (1 A) Β ── δ (1 N) Γ ── α (1 T) Δ ── β (1 C) Ε ── (περισσεύει: ΔΕΝ έχει μονάδα)Η παγίδα της άσκησης: τα μεγέθη είναι πέντε αλλά οι μονάδες τέσσερις. Το μέγεθος που περισσεύει είναι η σχετική διαπερατότητα, και αυτό δεν είναι παράλειψη αλλά το ζητούμενο της άσκησης. Η τεκμηρίωση (σελ. 27): Το πηλίκο του μέτρου του ολικού μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του υλικού και του μέτρου του μαγνητικού πεδίου που προκάλεσε τη μαγνήτιση του υλικού, ονομάζεται σχετική (μαγνητική) διαπερατότητα Κm — Κm = Β/Β₀. Πηλίκο δύο ομοειδών μεγεθών (και τα δύο σε tesla) είναι αδιάστατος αριθμός. Πόσο μεγάλη είναι (σελ. 29): η εισαγωγή σιδερένιου πυρήνα με Κm = 1200 ανεβάζει το μέτρο του Β από 10⁻³ Τ σε 1,2 Τ — δηλαδή τιμές χιλιάδων, χωρίς μονάδα. Η παραγωγή της μονάδας του Β: από τη σχέση B = F/(I·l) προκύπτει 1 T = 1 N / (1 A · 1 m). Το tesla είναι πολύ μεγάλη μονάδα — το πεδίο της Γης είναι μόλις 0,5×10⁻⁴ T (άσκηση 24).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι σωστές αντιστοιχίσεις είναι: το ηλεκτρικό ρεύμα με το ένα ampere, η δύναμη με το ένα newton, το πεδίο Β με το ένα tesla και το ηλεκτρικό φορτίο με το ένα coulomb. Η σχετική διαπερατότητα δεν αντιστοιχίζεται με καμία από τις μονάδες που δίνονται, γιατί είναι καθαρός αριθμός χωρίς μονάδα: ορίζεται ως το πηλίκο του ολικού πεδίου μέσα στο υλικό προς το πεδίο που προκάλεσε τη μαγνήτιση, δηλαδή πηλίκο δύο ομοειδών μεγεθών. Αυτή ακριβώς είναι και η παγίδα της άσκησης, αφού τα μεγέθη είναι πέντε ενώ οι μονάδες τέσσερις. Σημειώνεται ότι το tesla προκύπτει από τον ορισμό του πεδίου ως δύναμη προς το γινόμενο ρεύματος επί μήκος, δηλαδή ένα tesla ισούται με ένα newton ανά ampere ανά μέτρο, και ότι πρόκειται για πολύ μεγάλη μονάδα, αφού το μαγνητικό πεδίο της Γης είναι της τάξης του μισού δεκάκις χιλιοστού του tesla.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 8 — Δύο μαγνήτες με τους βόρειους πόλους απέναντι
Ερώτηση: Τοποθετείτε δύο ευθύγραμμους μαγνήτες πάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι έτσι, ώστε οι άξονές τους να βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και οι βόρειοι πόλοι τους να είναι ακριβώς απέναντι. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Α. Κάθε μαγνήτης ασκεί στον άλλο απωστική δύναμη. Β. Κάθε μαγνήτης ασκεί στον άλλο ελκτική δύναμη. Γ. Μεταξύ των μαγνητών δεν ασκούνται δυνάμεις.
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: Α. Κάθε μαγνήτης ασκεί στον άλλο απωστική δύναμη.
Η τεκμηρίωση (σελ. 22): Η πειραματική έρευνα έχει δείξει ότι οι όμοιοι μαγνητικοί πόλοι απωθούνται και οι ετερώνυμοι έλκονται.
μαγνήτης 1 μαγνήτης 2 ┌──────┬──────┐ ┌──────┬──────┐ │ S │ N │ ←── F F ──→ │ N │ S │ └──────┴──────┘ └──────┴──────┘ ΑΠΩΣΗ (όμοιοι πόλοι απέναντι)Γιατί αποκλείονται οι άλλες δύο: Β (έλξη): θα ίσχυε αν απέναντι βρίσκονταν ετερώνυμοι πόλοι, δηλαδή ο Ν του ενός με τον S του άλλου. Γ (καμία δύναμη): αποκλείεται γιατί ο κάθε μαγνήτης δημιουργεί μαγνητικό πεδίο στον χώρο και ο άλλος, βρισκόμενος μέσα σε αυτό, δέχεται δύναμη — όπως ορίζει το βιβλίο (σελ. 22): Όταν σε κάποιο σημείο του χώρου τοποθετήσουμε ένα φυσικό ή έναν τεχνητό μαγνήτη, κάθε άλλος μαγνήτης που φέρεται στο χώρο αυτό δέχεται δύναμη. Ο τρίτος νόμος του Newton: οι δύο δυνάμεις είναι ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς, ανεξάρτητα από το αν οι μαγνήτες έχουν διαφορετική ισχύ ή διαφορετική μάζα. Το μαγνητικό φάσμα (εικόνα 1.14δ, σελ. 23): στην περίπτωση δύο ομώνυμων πόλων οι δυναμικές γραμμές απωθούνται μεταξύ τους και εμφανίζεται ένα ουδέτερο σημείο στο μέσο, όπου το ολικό πεδίο μηδενίζεται. Τι θα συνέβαινε αν το τραπέζι ήταν χωρίς τριβές: οι μαγνήτες θα απομακρύνονταν επιταχυνόμενοι, με επιταχύνσεις αντιστρόφως ανάλογες των μαζών τους. Στην πράξη η τριβή τους κρατά ακίνητους μέχρι η δύναμη να την υπερβεί, δηλαδή μέχρι να τους φέρουμε αρκετά κοντά (η μαγνητική δύναμη αυξάνεται πολύ γρήγορα όσο μικραίνει η απόσταση).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Α, δηλαδή κάθε μαγνήτης ασκεί στον άλλο απωστική δύναμη, γιατί οι όμοιοι μαγνητικοί πόλοι απωθούνται και οι ετερώνυμοι έλκονται, και εδώ απέναντι βρίσκονται δύο βόρειοι πόλοι. Η απάντηση Β θα ίσχυε μόνο αν απέναντι βρίσκονταν ετερώνυμοι πόλοι, ενώ η απάντηση Γ αποκλείεται γιατί κάθε μαγνήτης δημιουργεί μαγνητικό πεδίο στον χώρο και κάθε άλλος μαγνήτης που φέρεται μέσα σε αυτό δέχεται δύναμη. Οι δύο δυνάμεις είναι ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς, σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, ανεξάρτητα από το αν οι μαγνήτες έχουν διαφορετική ισχύ ή μάζα. Στο μαγνητικό φάσμα δύο ομώνυμων πόλων οι δυναμικές γραμμές απωθούνται μεταξύ τους και εμφανίζεται ουδέτερο σημείο στο μέσο, όπου το ολικό πεδίο μηδενίζεται.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 9 — Δύναμη μαγνήτη σε ακίνητο θετικό φορτίο
Ερώτηση: Είναι δυνατόν ένας ακίνητος βόρειος πόλος ενός μαγνήτη να ασκήσει απωστική δύναμη σε ένα ακίνητο θετικό φορτίο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Απάντηση:
-
Όχι, δεν είναι δυνατόν. Ένα ακίνητο φορτίο δεν δέχεται μαγνητική δύναμη.
Η αιτιολόγηση με βάση τη θεωρία του κεφαλαίου: η μαγνητική δύναμη εμφανίζεται μόνο σε ρευματοφόρο αγωγό (δύναμη Laplace, σελ. 10) — και ρεύμα σημαίνει φορτία σε κίνηση. Στη σχέση
F = B · I · l · ημφ Lτο Ι είναι το ρεύμα. Αν το φορτίο είναι ακίνητο, τότε Ι = 0, άρα F = 0.
Η ίδια ιδέα σε επίπεδο ενός φορτίου: η δύναμη που δέχεται φορτίο q που κινείται με ταχύτητα υ μέσα σε πεδίο Β είναι
F = q · υ · B · ημθ (θ = η γωνία υ με το Β) υ = 0 ⇒ F = 0 ← η περίπτωση της άσκησηςΟι τρεις περιπτώσεις μηδενικής μαγνητικής δύναμης: 1. το φορτίο είναι ακίνητο (η περίπτωση μας)· 2. το φορτίο κινείται παράλληλα ή αντιπαράλληλα στο πεδίο (ημθ = 0) — αντιστοιχεί στο εάν το ρεύμα I έχει την ίδια κατεύθυνση με το πεδίο ή κατεύθυνση αντίθετη από αυτό, το μέτρο της δύναμης Laplace είναι μηδέν (σελ. 11)· 3. το πεδίο είναι μηδέν στο σημείο.
Προσοχή στη διάκριση από το ηλεκτρικό πεδίο: ένα ηλεκτρικό πεδίο ασκεί δύναμη F = qE ακόμη και σε ακίνητο φορτίο. Ο μαγνήτης όμως δημιουργεί μαγνητικό και όχι ηλεκτρικό πεδίο. Και μια ακόμη διάκριση: η μαγνητική δύναμη είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα, άρα δεν παράγει έργο — δεν μπορεί να επιταχύνει (να αυξήσει το μέτρο της ταχύτητας) ένα φορτίο, μόνο να αλλάξει την κατεύθυνσή του. Το αντίστροφο ερώτημα: αν το θετικό φορτίο κινούνταν, θα δεχόταν δύναμη — και μάλιστα κάθετη τόσο στην ταχύτητά του όσο και στο πεδίο, ποτέ απωστική ως προς τον πόλο με τη συνήθη έννοια της ώθησης «μακριά». Άρα η απάντηση παραμένει όχι και για τον πρόσθετο λόγο ότι η μαγνητική δύναμη δεν έχει τη μορφή έλξης/άπωσης κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα δύο σώματα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι, δεν είναι δυνατόν, γιατί ένα ακίνητο φορτίο δεν δέχεται μαγνητική δύναμη. Η μαγνητική δύναμη εμφανίζεται μόνο σε ρευματοφόρους αγωγούς, δηλαδή σε φορτία που κινούνται: στη σχέση της δύναμης Laplace υπεισέρχεται το ρεύμα, οπότε αν το φορτίο είναι ακίνητο το ρεύμα είναι μηδέν και η δύναμη μηδενίζεται. Ισοδύναμα, η δύναμη σε φορτίο που κινείται μέσα σε μαγνητικό πεδίο είναι ίση με το φορτίο επί την ταχύτητα επί το πεδίο επί το ημίτονο της γωνίας τους, οπότε για μηδενική ταχύτητα μηδενίζεται. Η μαγνητική δύναμη μηδενίζεται σε τρεις περιπτώσεις: όταν το φορτίο είναι ακίνητο, όταν κινείται παράλληλα ή αντιπαράλληλα προς το πεδίο, και όταν το πεδίο είναι μηδέν. Διαφορετική είναι η περίπτωση του ηλεκτρικού πεδίου, το οποίο ασκεί δύναμη και σε ακίνητο φορτίο· ο μαγνήτης όμως δημιουργεί μαγνητικό και όχι ηλεκτρικό πεδίο. Σημειώνεται τέλος ότι η μαγνητική δύναμη είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα, δεν παράγει έργο και δεν έχει τη μορφή έλξης ή άπωσης κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα δύο σώματα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 10 — Πού μηδενίζεται το πεδίο δύο παράλληλων ρευματοφόρων αγωγών
Ερώτηση: Στο απέναντι σχήμα φαίνονται δύο παράλληλοι ευθύγραμμοι ρευματοφόροι αγωγοί μεγάλου μήκους. Σε ποια περιοχή του επιπέδου τους υπάρχει πιθανότητα το ολικό μαγνητικό πεδίο να είναι μηδέν; Είναι δυνατόν το ολικό μαγνητικό πεδίο να είναι μηδέν σε κάποιο σημείο του χώρου, εκτός του επιπέδου των αγωγών; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
Απάντηση:
-
Το δεδομένο του σχήματος: οι δύο αγωγοί είναι κατακόρυφοι και τα ρεύματα ομόρροπα (και τα δύο βέλη προς τα πάνω). Το επίπεδό τους χωρίζεται σε τρεις περιοχές: Ι (αριστερά του πρώτου), ΙΙ (ανάμεσά τους), ΙΙΙ (δεξιά του δεύτερου).
Α. Η περιοχή όπου μπορεί να μηδενιστεί το πεδίο: μόνο η ΙΙ.
Ι │ ΙΙ │ ΙΙΙ │ │ ⊙(1) ⊙(2) ⊙ = ρεύμα προς τα πάνω │ │ Β₁ ↓ Β₂ ↓ │Β₁↑ Β₂↓│ Β₁ ↑ Β₂ ↑ ΟΜΟΡΡΟΠΑ │ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ│ ΟΜΟΡΡΟΠΑ → ποτέ μηδέν │→ ΜΗΔΕΝ │ → ποτέ μηδέν σε ένα σημείοΗ αιτιολόγηση: για να μηδενιστεί το άθροισμα δύο διανυσμάτων πρέπει να είναι αντίρροπα και ίσου μέτρου. Με ομόρροπα ρεύματα, τα δύο πεδία είναι αντίρροπα μόνο ανάμεσα στους αγωγούς. Στις περιοχές Ι και ΙΙΙ είναι ομόρροπα, οπότε τα μέτρα προστίθενται και δεν μπορούν να δώσουν μηδέν. Πού ακριβώς μέσα στην ΙΙ: στο σημείο όπου B₁ = B₂, δηλαδή 2km·I₁/x = 2km·I₂/(d−x) → x/(d−x) = I₁/I₂. Το σημείο βρίσκεται πιο κοντά στον αγωγό με το μικρότερο ρεύμα. Αν τα ρεύματα είναι ίσα, το σημείο είναι το μέσο.
Β. Εκτός του επιπέδου των αγωγών: όχι, είναι αδύνατον. Η αιτιολόγηση: σε ένα σημείο Μ εκτός του επιπέδου, το πεδίο Β₁ είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν ο αγωγός (1) και το Μ, ενώ το Β₂ είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν ο αγωγός (2) και το Μ. Τα δύο αυτά επίπεδα είναι διαφορετικά, άρα τα Β₁ και Β₂ έχουν διαφορετικές διευθύνσεις — δεν είναι αντίρροπα και το άθροισμά τους δεν μπορεί να μηδενιστεί.
Μ • Στο Μ: Β₁ ⊥ (αγωγός 1, Μ) ╱ ╲ Β₂ ⊥ (αγωγός 2, Μ) ╱ ╲ δύο ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ διευθύνσεις ⊙(1) ⊙(2) ⇒ Β₁ + Β₂ ≠ 0 ΠΑΝΤΑΜόνη εξαίρεση στη γενική περίπτωση: αν τα ρεύματα ήταν αντίρροπα, το πεδίο θα μπορούσε να μηδενιστεί στις περιοχές Ι ή ΙΙΙ — και συγκεκριμένα έξω από τον αγωγό με το μικρότερο ρεύμα, ποτέ ανάμεσά τους.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Στο σχήμα τα δύο ρεύματα είναι ομόρροπα. Για να μηδενιστεί το ολικό πεδίο πρέπει τα δύο επιμέρους πεδία να είναι αντίρροπα και ίσου μέτρου. Με ομόρροπα ρεύματα, τα πεδία των δύο αγωγών είναι αντίρροπα μόνο στην περιοχή ανάμεσά τους, δηλαδή στην περιοχή δύο, ενώ στις περιοχές ένα και τρία είναι ομόρροπα και τα μέτρα τους προστίθενται. Άρα το ολικό πεδίο μπορεί να μηδενιστεί μόνο στην περιοχή ανάμεσα στους αγωγούς, και μάλιστα στο σημείο όπου τα δύο μέτρα εξισώνονται, δηλαδή εκεί όπου ο λόγος των αποστάσεων από τους αγωγούς ισούται με τον λόγο των ρευμάτων· το σημείο αυτό βρίσκεται πιο κοντά στον αγωγό με το μικρότερο ρεύμα, ενώ για ίσα ρεύματα είναι το μέσο. Εκτός του επιπέδου των αγωγών το πεδίο δεν μπορεί να μηδενιστεί, γιατί σε τέτοιο σημείο το πεδίο του πρώτου αγωγού είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν ο πρώτος αγωγός και το σημείο, ενώ το πεδίο του δεύτερου είναι κάθετο σε ένα άλλο επίπεδο· οι δύο διευθύνσεις είναι διαφορετικές, οπότε τα δύο διανύσματα δεν είναι αντίρροπα και το άθροισμά τους δεν μηδενίζεται ποτέ.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 11 — Σύγκριση πεδίων δύο σωληνοειδών με διαφορετικές σπείρες και μήκη
Ερώτηση: Ένα σωληνοειδές (I) έχει Ν σπείρες και μήκος l. Άλλο σωληνοειδές (ΙΙ) έχει 2Ν σπείρες και μήκος l/2. Διαβιβάζουμε στα σωληνοειδή το ίδιο ρεύμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση όσον αφορά τα μέτρα των μαγνητικών πεδίων στο εσωτερικό των σωληνοειδών: Α. Το πεδίο στο (I) είναι ίδιο με το πεδίο στο (ΙΙ). Β. Το πεδίο στο (I) είναι διπλάσιο του πεδίου στο (ΙΙ). Γ. Το πεδίο στο (ΙΙ) είναι τετραπλάσιο του πεδίου στο (Ι). Δ. Δεν ισχύει τίποτα από τα παραπάνω.
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: Γ. Το πεδίο στο (ΙΙ) είναι τετραπλάσιο του πεδίου στο (Ι).
Ο τύπος (σελ. 20): B = 4π·km·(N/l)·I — αυτό που καθορίζει το πεδίο είναι οι σπείρες ανά μονάδα μήκους, n = N/l.
Σωληνοειδές (Ι): n = N / l 1 Σωληνοειδές (ΙΙ): n = 2N / (l/2) = 4N / l = 4·n 2 1 ⇒ B = 4π·k ·n ·I = 4 · (4π·k ·n ·I) = 4·B 2 m 2 m 1 1Ο συλλογισμός με λόγια: το σωληνοειδές (ΙΙ) έχει διπλάσιες σπείρες σε μισό μήκος. Οι δύο αλλαγές δρουν προς την ίδια κατεύθυνση: η μία διπλασιάζει και η άλλη ξαναδιπλασιάζει την πυκνότητα των σπειρών. Άρα n₂ = 4·n₁ και B₂ = 4·B₁.
Γιατί αποκλείονται οι άλλες: Α: θα ίσχυε μόνο αν η πυκνότητα των σπειρών ήταν ίδια, π.χ. 2Ν σπείρες σε μήκος 2l. Β: εντελώς αντίστροφο — το (Ι) έχει το μικρότερο πεδίο. Δ: αποκλείεται, αφού η Γ είναι σωστή.
Η σημαντικότερη διδακτική παρατήρηση: το πεδίο του σωληνοειδούς δεν εξαρτάται ούτε από την ακτίνα του ούτε από το συνολικό πλήθος σπειρών — μόνο από τον λόγο Ν/l. Δύο σωληνοειδή με 1000 σπείρες σε 1 m και 10 σπείρες σε 1 cm έχουν ακριβώς το ίδιο εσωτερικό πεδίο. Και μια πρακτική συνέπεια: το πεδίο είναι ομογενές στο εσωτερικό ενός μακριού σωληνοειδούς. Αν το μήκος γίνει συγκρίσιμο με τη διάμετρο, ο τύπος παύει να ισχύει με ακρίβεια — γι' αυτό το βιβλίο ζητά (σελ. 26) το μήκος της ράβδου να είναι μεγαλύτερο από το πενταπλάσιο της διαμέτρου των περιελίξεων.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Γ, δηλαδή το πεδίο στο δεύτερο σωληνοειδές είναι τετραπλάσιο του πεδίου στο πρώτο. Το πεδίο στο εσωτερικό σωληνοειδούς είναι τέσσερα πι επί τη σταθερά επί τις σπείρες ανά μονάδα μήκους επί το ρεύμα, οπότε αυτό που καθορίζει το μέτρο του είναι η πυκνότητα των σπειρών. Το πρώτο σωληνοειδές έχει Ν σπείρες σε μήκος έλα, άρα πυκνότητα Ν προς έλα, ενώ το δεύτερο έχει δύο Ν σπείρες σε μισό μήκος, άρα πυκνότητα τέσσερις φορές μεγαλύτερη, αφού ο διπλασιασμός των σπειρών και ο υποδιπλασιασμός του μήκους δρουν προς την ίδια κατεύθυνση. Επομένως και το πεδίο είναι τετραπλάσιο. Η απάντηση Α θα ίσχυε μόνο αν η πυκνότητα των σπειρών ήταν ίδια, ενώ η Β δίνει το αντίστροφο αποτέλεσμα. Σημαντική παρατήρηση είναι ότι το πεδίο του σωληνοειδούς δεν εξαρτάται ούτε από την ακτίνα του ούτε από το συνολικό πλήθος των σπειρών, παρά μόνο από τον λόγο τους προς το μήκος, και ότι ο τύπος ισχύει με ακρίβεια μόνο για μακριά σωληνοειδή.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 12 — Σωληνοειδές με δεύτερη στρώση αντίθετης φοράς
Ερώτηση: Ένα σωληνοειδές φέρει μία στρώση μονωμένων σπειρών στενής περιέλιξης. Πάνω στη στρώση αυτή τυλίγουμε μια δεύτερη στρώση με τον ίδιο αριθμό σπειρών, αλλά με τρόπο ώστε το ρεύμα να έχει αντίθετη φορά στις δύο στρώσεις. Το πεδίο Β στο εσωτερικό του σωληνοειδούς: Α. Μένει το ίδιο Β. Διπλασιάζεται Γ. Μηδενίζεται Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: Γ. Μηδενίζεται.
Ο συλλογισμός:
1η στρώση: Ν σπείρες, ρεύμα Ι → Β₁ = 4π·k ·(N/l)·I (π.χ. προς τα δεξιά) m 2η στρώση: Ν σπείρες, ρεύμα Ι αντίθετης φοράς → Β₂ = 4π·k ·(N/l)·I ΑΛΛΑ με ΑΝΤΙΘΕΤΗ κατεύθυνση m Ολικό: Β = Β₁ + Β₂ = 0 (ίσα μέτρα, αντίθετες κατευθύνσεις)Η φυσική εξήγηση: το πεδίο του σωληνοειδούς εξαρτάται από τις σπείρες ανά μονάδα μήκους και όχι από την ακτίνα τους. Οι δύο στρώσεις έχουν ίδιο Ν, ίδιο μήκος l και ίδιο ρεύμα Ι — άρα ίσα μέτρα πεδίου. Επειδή η φορά του ρεύματος είναι αντίθετη, οι κατευθύνσεις των δύο πεδίων είναι αντίθετες και τα πεδία αλληλοαναιρούνται.
Γιατί δεν έχει σημασία ότι η δεύτερη στρώση είναι «πιο έξω»: το πεδίο δεν εξαρτάται από την ακτίνα. Ακόμη και αν η δεύτερη στρώση έχει λίγο μεγαλύτερη διάμετρο, η πυκνότητα σπειρών παραμένει N/l και το μέτρο του πεδίου το ίδιο. Η πρακτική εφαρμογή — οι «μη επαγωγικές» αντιστάσεις: αυτή ακριβώς η τεχνική χρησιμοποιείται για να κατασκευαστούν αντιστάτες που δεν συμπεριφέρονται σαν πηνία. Το σύρμα τυλίγεται διπλά, ώστε το ρεύμα να πηγαίνει και να επιστρέφει δίπλα-δίπλα και το μαγνητικό πεδίο να μηδενίζεται. Η σύνδεση με το πείραμα της σελίδας 32: το ίδιο ακριβώς ζητά το πείραμα κατασκευής ηλεκτρομαγνήτη στην αρχή του μπλοκ ασκήσεων — Α. Όταν τελειώσετε το πρώτο στρώμα, σχηματίστε το δεύτερο, αρχίζοντας από το τέλος του πρώτου και τυλίγοντας το σύρμα προς τα πίσω. Β. Όταν τελειώσετε το πρώτο στρώμα, πηγαίνετε στην αρχή του και αρχίστε να τυλίγετε και το δεύτερο στρώμα, όπως τυλίξατε το πρώτο. Στην περίπτωση Α το ρεύμα έχει αντίθετη φορά στη δεύτερη στρώση και ο ηλεκτρομαγνήτης δεν λειτουργεί· στην Β έχει ίδια φορά και το πεδίο διπλασιάζεται. Πότε θα ίσχυε η απάντηση Β: αν η δεύτερη στρώση τυλιγόταν με ίδια φορά ρεύματος — τότε n = 2N/l και το πεδίο διπλασιάζεται.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Γ, δηλαδή το πεδίο μηδενίζεται. Οι δύο στρώσεις έχουν τον ίδιο αριθμό σπειρών, το ίδιο μήκος και το ίδιο ρεύμα, οπότε δημιουργούν πεδία ίσου μέτρου· επειδή όμως το ρεύμα έχει αντίθετη φορά στις δύο στρώσεις, τα δύο πεδία έχουν αντίθετες κατευθύνσεις και αλληλοαναιρούνται. Δεν έχει σημασία ότι η δεύτερη στρώση βρίσκεται πιο έξω, γιατί το πεδίο του σωληνοειδούς δεν εξαρτάται από την ακτίνα των σπειρών παρά μόνο από την πυκνότητά τους κατά μήκος. Η τεχνική αυτή χρησιμοποιείται στην πράξη για την κατασκευή μη επαγωγικών αντιστατών, όπου το σύρμα τυλίγεται διπλά ώστε το ρεύμα να πηγαίνει και να επιστρέφει δίπλα δίπλα και το πεδίο να μηδενίζεται. Αν αντίθετα η δεύτερη στρώση τυλιγόταν με την ίδια φορά ρεύματος, η πυκνότητα των σπειρών θα διπλασιαζόταν και θα ίσχυε η απάντηση Β.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 13 — Δύναμη σε ευθύγραμμο αγωγό κατά μήκος του άξονα σωληνοειδούς
Ερώτηση: Ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός είναι τοποθετημένος κατά μήκος του άξονα ενός σωληνοειδούς. Να εξετάσετε εάν ο αγωγός θα δεχτεί μαγνητική δύναμη αν στο σωληνοειδές διαβιβάσουμε ηλεκτρικό ρεύμα.
Απάντηση:
-
Όχι, ο αγωγός δεν θα δεχτεί καμία δύναμη.
Η αιτιολόγηση: 1. Το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό ενός σωληνοειδούς είναι ομογενές και έχει τη διεύθυνση του άξονά του. 2. Ο ευθύγραμμος αγωγός είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ίδιου άξονα. 3. Άρα το ρεύμα του αγωγού είναι παράλληλο (ή αντιπαράλληλο) προς το πεδίο, δηλαδή φ = 0° ή 180°. 4. Από τον τύπο της δύναμης Laplace: F = B·I·l·ημφ και ημ0° = ημ180° = 0, άρα F = 0.
┌────────────────────────────────────────┐ │ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ │ σωληνοειδές │ │ │═══════════════════════════════════════ │ ← ο αγωγός, πάνω στον άξονα │ Β ──────────► │ Ι παράλληλο στο Β │ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ │ └────────────────────────────────────────┘ φ = 0° ⇒ ημφ = 0 ⇒ F = 0Η ρητή διατύπωση του βιβλίου (σελ. 11): εάν το ρεύμα I έχει την ίδια κατεύθυνση με το πεδίο ή κατεύθυνση αντίθετη από αυτό, το μέτρο της δύναμης Laplace είναι μηδέν.
Η προσοχή στα άκρα: αυστηρά, το πεδίο είναι αυστηρά αξονικό μόνο στο εσωτερικό ενός μακριού σωληνοειδούς. Στα άκρα και έξω από αυτό οι δυναμικές γραμμές καμπυλώνονται και παύουν να είναι παράλληλες στον άξονα — εκεί τα τμήματα του αγωγού που προεξέχουν θα δέχονταν μικρή δύναμη. Το ζητούμενο όμως της άσκησης αφορά το εσωτερικό. Και το αντίστροφο ερώτημα: δέχεται δύναμη το σωληνοειδές από το πεδίο του αγωγού; Το πεδίο του ευθύγραμμου αγωγού είναι κυκλικό γύρω από τον άξονα, άρα σε κάθε σπείρα είναι εφαπτόμενο στο επίπεδό της. Οι δυνάμεις που ασκούνται στα διάφορα τμήματα κάθε σπείρας τείνουν να τη διαστείλουν ή να τη συμπιέσουν ακτινικά, αλλά η συνισταμένη τους είναι μηδέν — σε συμφωνία με τον τρίτο νόμο του Newton. Το γενικό δίδαγμα: για να ασκηθεί δύναμη Laplace δεν αρκεί να υπάρχει πεδίο και ρεύμα — χρειάζεται και κάθετη συνιστώσα του πεδίου ως προς τον αγωγό.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι, ο αγωγός δεν θα δεχτεί μαγνητική δύναμη. Το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του σωληνοειδούς είναι ομογενές και έχει τη διεύθυνση του άξονά του, ενώ ο ευθύγραμμος αγωγός είναι τοποθετημένος ακριβώς πάνω στον ίδιο άξονα. Επομένως το ρεύμα του αγωγού είναι παράλληλο ή αντιπαράλληλο προς το πεδίο, δηλαδή η γωνία είναι μηδέν ή εκατόν ογδόντα μοίρες, το ημίτονο μηδενίζεται και η δύναμη Laplace είναι μηδέν, όπως ρητά αναφέρει και το βιβλίο. Αυστηρά, το πεδίο είναι απολύτως αξονικό μόνο στο εσωτερικό ενός μακριού σωληνοειδούς, ενώ στα άκρα και έξω από αυτό οι δυναμικές γραμμές καμπυλώνονται, οπότε τυχόν προεξέχοντα τμήματα του αγωγού θα δέχονταν μικρή δύναμη. Αντίστροφα, το σωληνοειδές δεν δέχεται συνολική δύναμη από το πεδίο του αγωγού, γιατί το κυκλικό πεδίο του τείνει μόνο να διαστείλει ή να συμπιέσει ακτινικά κάθε σπείρα, με μηδενική συνισταμένη, σε συμφωνία με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 14 — Μπορεί το πεδίο κυκλικού και ευθύγραμμου αγωγού να είναι ίσο
Ερώτηση: Κυκλικός αγωγός έχει ακτίνα R και διαρρέεται από ρεύμα I. Ευθύγραμμος αγωγός διαρρέεται από ίδιο ρεύμα I. Είναι δυνατόν το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του κυκλικού αγωγού να έχει το ίδιο μέτρο με το μέτρο του μαγνητικού πεδίου του ευθύγραμμου αγωγού σε απόσταση d = R από αυτόν;
Απάντηση:
-
Όχι, δεν είναι δυνατόν.
Η σύγκριση των δύο τύπων:
Κυκλικός αγωγός, στο κέντρο: B = 2π · k · I / R κ m Ευθύγραμμος αγωγός, σε d = R: B = 2 · k · I / R ε m Λόγος: B / B = (2π·k ·I/R) / (2·k ·I/R) = π κ ε m mΤο συμπέρασμα: B(κυκλικού) = π · B(ευθύγραμμου) ≈ 3,14 · B(ευθύγραμμου) — το πεδίο στο κέντρο του κυκλικού αγωγού είναι πάντοτε π φορές μεγαλύτερο, ανεξάρτητα από τις τιμές των I και R.
Γιατί ο λόγος είναι σταθερός: και τα δύο πεδία έχουν ακριβώς την ίδια εξάρτηση από το ρεύμα (ανάλογα του Ι) και από την απόσταση (αντιστρόφως ανάλογα του R). Έτσι το Ι και το R απλοποιούνται και μένει μόνο ο αριθμητικός συντελεστής: 2π έναντι 2. Η φυσική ερμηνεία του π: στον κυκλικό αγωγό όλα τα στοιχειώδη τμήματα του αγωγού απέχουν ακριβώς R από το κέντρο και συνεισφέρουν ομόρροπα. Στον ευθύγραμμο αγωγό μόνο το πλησιέστερο τμήμα απέχει R· τα υπόλοιπα απέχουν περισσότερο και συνεισφέρουν λιγότερο. Γι' αυτό ο κυκλικός «αποδίδει» περισσότερο. Πότε θα ήταν δυνατή η ισότητα: αν άλλαζε κάποιο από τα δεδομένα — π.χ. αν ο ευθύγραμμος αγωγός διαρρεόταν από ρεύμα π φορές μεγαλύτερο (Ι' = πΙ), ή αν το σημείο του ευθύγραμμου αγωγού βρισκόταν σε απόσταση R/π. Με τα δεδομένα όμως της άσκησης (ίδιο ρεύμα, ίδια απόσταση) η ισότητα είναι αδύνατη. Αριθμητικός έλεγχος με I = 10 A και R = 0,1 m:
B = 2π·10⁻⁷·10/0,1 = 2π·10⁻⁵ ≈ 6,28·10⁻⁵ T κ B = 2·10⁻⁷·10/0,1 = 2·10⁻⁵ = 2,00·10⁻⁵ T ε λόγος = 3,14 = π ✔
Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι, δεν είναι δυνατόν. Το πεδίο στο κέντρο κυκλικού αγωγού είναι δύο πι επί τη σταθερά επί το ρεύμα προς την ακτίνα, ενώ το πεδίο ευθύγραμμου αγωγού σε απόσταση ίση με την ακτίνα είναι δύο επί τη σταθερά επί το ρεύμα προς την ίδια απόσταση. Ο λόγος τους είναι σταθερός και ίσος με πι, δηλαδή το πεδίο στο κέντρο του κυκλικού αγωγού είναι πάντοτε περίπου τρεις κόμμα δεκατέσσερις φορές μεγαλύτερο, ανεξάρτητα από τις τιμές του ρεύματος και της ακτίνας, αφού και τα δύο πεδία έχουν την ίδια εξάρτηση από το ρεύμα και την απόσταση, οπότε αυτά απλοποιούνται. Φυσικά, ο λόγος αυτός εξηγείται από το ότι στον κυκλικό αγωγό όλα τα στοιχειώδη τμήματα απέχουν ακριβώς την ακτίνα από το κέντρο και συνεισφέρουν ομόρροπα, ενώ στον ευθύγραμμο μόνο το πλησιέστερο τμήμα απέχει τόσο και τα υπόλοιπα συνεισφέρουν λιγότερο. Η ισότητα θα ήταν δυνατή μόνο αν άλλαζε κάποιο δεδομένο, για παράδειγμα αν ο ευθύγραμμος διαρρεόταν από ρεύμα πι φορές μεγαλύτερο ή αν το σημείο απείχε πι φορές λιγότερο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 15 — Μαγνητικό πεδίο στο κέντρο κυκλικού αγωγού
Ερώτηση: Κυκλικός αγωγός έχει ακτίνα R = π m και διαρρέεται από ρεύμα Ι = 20Α. 2 Να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: R = π/2 m, I = 20 A, km = 10⁻⁷ N/A².
Ο τύπος (σελ. 15): B = 2π · km · I / R
Η αντικατάσταση:
-7 B = 2π · 10 · 20 / (π/2) -7 = 2π · 10 · 20 · 2/π -7 = 4 · 10 · 20 (το π απλοποιείται) -6 = 80 · 10 -6 = 8 · 10 T = 8 μTΑπάντηση: B = 8×10⁻⁶ T = 8 μT.
Γιατί η ακτίνα δίνεται ως π/2: για να απλοποιηθεί το π του τύπου και να προκύψει «στρογγυλός» αριθμός. Είναι σκόπιμη επιλογή του συγγραφέα, όχι ρεαλιστική διάσταση (ένας βρόχος ακτίνας 1,57 m είναι τεράστιος). Η κατεύθυνση του πεδίου: κάθετη στο επίπεδο του βρόχου, με φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού — αν τα δάχτυλα ακολουθούν τη φορά του ρεύματος, ο αντίχειρας δείχνει τη φορά του Β στο κέντρο. Σύγκριση για αίσθηση μεγέθους: το πεδίο της Γης είναι 0,5×10⁻⁴ T = 50 μT (άσκηση 24) — δηλαδή περίπου έξι φορές ισχυρότερο από το πεδίο αυτού του βρόχου. Ένας κοινός μαγνήτης ψυγείου φτάνει τα 5×10⁻³ T. Πώς θα αυξάναμε το πεδίο: με Ν σπείρες αντί για μία, οπότε B = 2π·km·N·I/R — με 1000 σπείρες το πεδίο θα γινόταν 8×10⁻³ T.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται ακτίνα ίση με πι δεύτερα του μέτρου, ρεύμα είκοσι αμπέρ και σταθερά δέκα στην μείον έβδομη. Το πεδίο στο κέντρο κυκλικού αγωγού δίνεται από τη σχέση δύο πι επί τη σταθερά επί το ρεύμα προς την ακτίνα. Αντικαθιστώντας, έχουμε δύο πι επί δέκα στην μείον έβδομη επί είκοσι, διά πι δεύτερα, δηλαδή τέσσερα επί δέκα στην μείον έβδομη επί είκοσι, αφού το πι απλοποιείται. Άρα το πεδίο είναι οκτώ επί δέκα στην μείον έκτη tesla, δηλαδή οκτώ μικροτέσλα. Η ακτίνα δίνεται ως πι δεύτερα ακριβώς για να απλοποιηθεί το πι του τύπου. Η κατεύθυνση του πεδίου είναι κάθετη στο επίπεδο του βρόχου, με φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού. Για σύγκριση, το μαγνητικό πεδίο της Γης είναι περίπου πενήντα μικροτέσλα, δηλαδή έξι περίπου φορές ισχυρότερο, ενώ με χίλιες σπείρες αντί για μία το πεδίο του βρόχου θα γινόταν οκτώ χιλιοστά του tesla.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 16 — Πεδίο στο κοινό κέντρο δύο ομόκεντρων κυκλικών αγωγών
Ερώτηση: Δύο κυκλικοί αγωγοί έχουν ακτίνες R1 = 80cm και R2 = 40cm. Οι αγωγοί είναι τοποθετημένοι στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, έτσι ώστε τα κέντρα τους να συμπίπτουν. Διαβιβάζουμε στους αγωγούς ρεύματα Ι1 = 4 Α και Ι2 = 8 Α αντιστοίχως. Να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο στο κοινό κέντρο, εάν τα ρεύματα είναι: α. Ομόρροπα β. Αντίρροπα.
Απάντηση:
-
Δεδομένα: R₁ = 0,8 m, R₂ = 0,4 m, I₁ = 4 A, I₂ = 8 A.
Τα δύο επιμέρους πεδία (σελ. 15, B = 2π·km·I/R):
-7 -7 -6 B = 2π · 10 · 4 / 0,8 = 2π · 10 · 5 = π·10 ≈ 3,14 · 10 T 1 -7 -7 -6 B = 2π · 10 · 8 / 0,4 = 2π · 10 · 20 = 4π·10 ≈ 12,56 · 10 T 2Και τα δύο πεδία είναι κάθετα στο επίπεδο των βρόχων.
α. Ομόρροπα ρεύματα — τα δύο πεδία είναι ομόρροπα και προστίθενται:
-6 -6 -5 B = B + B = π·10 + 4π·10 = 5π·10 ≈ 1,57 · 10 T 1 2β. Αντίρροπα ρεύματα — τα πεδία είναι αντίρροπα και αφαιρούνται:
-6 -6 -6 B = |B − B | = 4π·10 − π·10 = 3π·10 ≈ 9,42 · 10 T 2 1με τη φορά του Β₂, δηλαδή του πεδίου του εσωτερικού βρόχου, που είναι ισχυρότερο.
Απάντηση: α. B ≈ 1,57×10⁻⁵ T · β. B ≈ 9,42×10⁻⁶ T.
Γιατί ο μικρότερος βρόχος δίνει ισχυρότερο πεδίο: έχει διπλάσιο ρεύμα και μισή ακτίνα, και οι δύο παράγοντες δρουν προς την ίδια κατεύθυνση — B₂ = 2·2·B₁ = 4·B₁. Η προσοχή στην πρόσθεση: τα πεδία είναι διανύσματα. Επειδή όμως και τα δύο είναι κάθετα στο ίδιο επίπεδο, βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και η διανυσματική πρόσθεση γίνεται αλγεβρική — απλή πρόσθεση ή αφαίρεση των μέτρων. Έλεγχος λογικής: το αποτέλεσμα της περίπτωσης α πρέπει να είναι μεγαλύτερο και των δύο επιμέρους, της β μικρότερο από το μεγαλύτερο και μεγαλύτερο από το μηδέν. Και τα δύο επαληθεύονται. Πότε θα μηδενιζόταν το ολικό πεδίο: αν ίσχυε I₁/R₁ = I₂/R₂ με αντίρροπα ρεύματα — εδώ 4/0,8 = 5 και 8/0,4 = 20, άρα όχι.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Τα δύο πεδία υπολογίζονται από τη σχέση δύο πι επί τη σταθερά επί το ρεύμα προς την ακτίνα. Για τον πρώτο αγωγό, με ρεύμα τέσσερα αμπέρ και ακτίνα ογδόντα εκατοστά, προκύπτει πεδίο πι επί δέκα στην μείον έκτη, περίπου τρία κόμμα δεκατέσσερα μικροτέσλα. Για τον δεύτερο, με ρεύμα οκτώ αμπέρ και ακτίνα σαράντα εκατοστά, προκύπτει τέσσερα πι επί δέκα στην μείον έκτη, περίπου δώδεκα κόμμα πενήντα έξι μικροτέσλα, δηλαδή τετραπλάσιο, αφού το ρεύμα είναι διπλάσιο και η ακτίνα μισή. Και τα δύο πεδία είναι κάθετα στο επίπεδο των βρόχων, οπότε βρίσκονται στην ίδια ευθεία και προστίθενται αλγεβρικά. Με ομόρροπα ρεύματα τα πεδία είναι ομόρροπα και προστίθενται, δίνοντας πέντε πι επί δέκα στην μείον έκτη, δηλαδή περίπου ένα κόμμα πενήντα επτά επί δέκα στην μείον πέμπτη tesla. Με αντίρροπα ρεύματα αφαιρούνται και δίνουν τρία πι επί δέκα στην μείον έκτη, δηλαδή περίπου εννέα κόμμα σαράντα δύο επί δέκα στην μείον έκτη tesla, με τη φορά του ισχυρότερου, δηλαδή του εσωτερικού βρόχου.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 17 — Ρεύμα δέσμης δεκαοκτώ παράλληλων αγωγών
Ερώτηση: Έχουμε μια δέσμη από 18 μονωμένους ευθύγραμμους αγωγούς σε στενή επαφή. Κάθε αγωγός διαρρέεται από ρεύμα Ι. Όλα τα ρεύματα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Διαπιστώθηκε ότι σε απόσταση R = 9cm, το μαγνητικό πεδίο είχε μέτρο B = 4 x 10-4 T. Να υπολογίσετε το ρεύμα Ι.
Απάντηση:
-
Η βασική ιδέα: η δέσμη είναι σε στενή επαφή και όλα τα ρεύματα είναι ομόρροπα, ενώ η απόσταση παρατήρησης (9 cm) είναι πολύ μεγαλύτερη από τις διαστάσεις της δέσμης. Άρα η δέσμη συμπεριφέρεται σαν ένας ευθύγραμμος αγωγός που διαρρέεται από ολικό ρεύμα Ι_ολ = 18·Ι.
Ο τύπος (σελ. 17): B = 2 · km · I_ολ / R
-4 -7 4 · 10 = 2 · 10 · 18 · I / 0,09 -4 -7 4 · 10 = (36 · 10 / 0,09) · I -4 -5 4 · 10 = 4 · 10 · I -4 -5 I = (4 · 10 ) / (4·10 ) = 10 AΑπάντηση: I = 10 A σε κάθε αγωγό (και 180 A συνολικά στη δέσμη).
Ο έλεγχος: με I_ολ = 180 A και R = 0,09 m:
-7 -7 -4 B = 2 · 10 · 180 / 0,09 = 2·10 · 2000 = 4·10 T ✔Γιατί επιτρέπεται να αθροίσουμε τα ρεύματα: το μαγνητικό πεδίο υπακούει στην αρχή της επαλληλίας — το ολικό πεδίο είναι το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους. Επειδή οι αγωγοί είναι σε στενή επαφή (πρακτικά στην ίδια θέση) και τα ρεύματα ομόρροπα, όλα τα επιμέρους πεδία έχουν σχεδόν την ίδια διεύθυνση και φορά και τα μέτρα τους απλώς προστίθενται. Τι θα άλλαζε αν τα ρεύματα δεν ήταν ομόρροπα: αν π.χ. 9 αγωγοί είχαν τη μία φορά και 9 την αντίθετη, το ολικό ρεύμα θα ήταν μηδέν και το πεδίο σε απόσταση 9 cm πρακτικά μηδενικό. Αυτή είναι η αρχή λειτουργίας των δίκλωνων (μη επαγωγικών) καλωδίων. Η προϋπόθεση της «στενής επαφής»: μας επιτρέπει να θεωρήσουμε ότι όλοι οι αγωγοί απέχουν το ίδιο (R = 9 cm) από το σημείο μέτρησης. Αν η δέσμη είχε πλάτος συγκρίσιμο με τα 9 cm, θα έπρεπε να υπολογίσουμε χωριστά το πεδίο κάθε αγωγού.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Επειδή οι δεκαοκτώ αγωγοί βρίσκονται σε στενή επαφή και τα ρεύματα είναι ομόρροπα, ενώ η απόσταση παρατήρησης είναι πολύ μεγαλύτερη από τις διαστάσεις της δέσμης, η δέσμη συμπεριφέρεται σαν ένας ευθύγραμμος αγωγός με ολικό ρεύμα δεκαοκτώ φορές το ρεύμα κάθε αγωγού. Εφαρμόζοντας τη σχέση δύο επί τη σταθερά επί το ολικό ρεύμα προς την απόσταση, έχουμε τέσσερα επί δέκα στην μείον τέταρτη ίσον δύο επί δέκα στην μείον έβδομη επί δεκαοκτώ επί το ρεύμα, διά μηδέν κόμμα μηδέν εννέα μέτρα. Λύνοντας προκύπτει ρεύμα δέκα αμπέρ σε κάθε αγωγό, δηλαδή εκατόν ογδόντα αμπέρ συνολικά στη δέσμη. Η άθροιση των ρευμάτων επιτρέπεται λόγω της αρχής της επαλληλίας, αφού οι αγωγοί βρίσκονται πρακτικά στην ίδια θέση και τα επιμέρους πεδία έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά. Αν τα μισά ρεύματα είχαν αντίθετη φορά, το ολικό ρεύμα θα ήταν μηδέν και το πεδίο πρακτικά μηδενικό, αρχή στην οποία στηρίζονται τα δίκλωνα μη επαγωγικά καλώδια.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 18 — Μαγνητικό πεδίο στο κέντρο ημικυκλικού αγωγού
Ερώτηση: Ημικυκλικός αγωγός ακτίνας R = 2m διαρρέεται από ρεύμα Ι = 20Α. Να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του.
Απάντηση:
-
Η ιδέα — και το ίδιο το βιβλίο τη θέτει ως ερώτημα (σελ. 15, «ΣΚΕΦΤΕΙΤΕ»): Κάθε κυκλικός ρευματοφόρος αγωγός δημιουργεί πεδίο Β, του οποίου το μέτρο δίνει η σχέση (4). Ποιο νομίζετε ότι θα είναι το μέτρο του πεδίου Β, το οποίο δημιουργείται στο κέντρο ημικυκλικού ρευματοφόρου αγωγού;
Η απάντηση: κάθε στοιχειώδες τμήμα του κυκλικού αγωγού συνεισφέρει ομόρροπα στο κέντρο και όλα απέχουν την ίδια απόσταση R. Άρα το μισό τόξο δίνει το μισό πεδίο:
Πλήρης κύκλος: B = 2π · k · I / R κυκ m Ημικύκλιο: B = (1/2) · B = π · k · I / R ημ κυκ mΗ αντικατάσταση:
-7 -7 -6 B = π · 10 · 20 / 2 = π · 10 · 10 = π·10 T ≈ 3,14 · 10⁻⁶ T ≈ 3,14 μTΑπάντηση: B = π×10⁻⁶ T ≈ 3,14×10⁻⁶ T.
Η κατεύθυνση: κάθετη στο επίπεδο του ημικυκλίου, με φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού — ίδια με εκείνη που θα είχε ο πλήρης κύκλος με το ίδιο ρεύμα. Η προσοχή στα ευθύγραμμα τμήματα: αν ο αγωγός συνεχίζεται με ευθύγραμμα τμήματα που περνούν από το κέντρο (πάνω στη διάμετρο), αυτά δεν συνεισφέρουν καθόλου, γιατί το ρεύμα τους είναι συνευθειακό με τη διεύθυνση προς το σημείο. Γι' αυτό ο τύπος του ημικυκλίου δίνεται χωρίς πρόσθετους όρους. Η γενίκευση: για τόξο γωνίας θ (σε ακτίνια), το πεδίο στο κέντρο είναι B = km·I·θ/R — για θ = 2π δίνει τον κύκλο, για θ = π το ημικύκλιο, για θ = π/2 το τεταρτημόριο. Έλεγχος με τον τύπο της γενίκευσης: B = 10⁻⁷ · 20 · π / 2 = π×10⁻⁶ T ✔
Σύνοψη: (ενδεικτική) Κάθε στοιχειώδες τμήμα κυκλικού αγωγού συνεισφέρει ομόρροπα στο κέντρο και όλα απέχουν την ίδια απόσταση, οπότε το μισό τόξο δίνει ακριβώς το μισό πεδίο του πλήρους κύκλου. Επομένως το πεδίο στο κέντρο ημικυκλικού αγωγού είναι πι επί τη σταθερά επί το ρεύμα προς την ακτίνα. Αντικαθιστώντας τα δεδομένα, δηλαδή ακτίνα δύο μέτρα και ρεύμα είκοσι αμπέρ, προκύπτει πι επί δέκα στην μείον έκτη tesla, δηλαδή περίπου τρία κόμμα δεκατέσσερα μικροτέσλα. Η κατεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο του ημικυκλίου, με φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού. Σημειώνεται ότι τυχόν ευθύγραμμα τμήματα του αγωγού που περνούν από το κέντρο δεν συνεισφέρουν καθόλου, γιατί το ρεύμα τους είναι συνευθειακό με τη διεύθυνση προς το σημείο. Γενικότερα, για τόξο γωνίας θήτα σε ακτίνια το πεδίο στο κέντρο είναι η σταθερά επί το ρεύμα επί τη γωνία προς την ακτίνα, σχέση που για γωνία δύο πι δίνει τον πλήρη κύκλο και για γωνία πι το ημικύκλιο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 19 — Πεδίο ημιάπειρου ευθύγραμμου αγωγού στο ύψος του άκρου του
Ερώτηση: Ευθύγραμμος αγωγός Αx έχει πολύ μεγάλο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα Ι = 20Α. Να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο σε σημείο, Μ το οποίο απέχει από το άκρο Α απόσταση R = 0,2m. Το τμήμα ΜΑ είναι κάθετο στον αγωγό Αx.
Απάντηση:
-
Η γεωμετρία: ο αγωγός αρχίζει στο σημείο Α και εκτείνεται προς το x με πολύ μεγάλο μήκος. Το σημείο Μ βρίσκεται απέναντι από το άκρο Α, σε κάθετη απόσταση R = 0,2 m.
M • │ │ R = 0,2 m ο αγωγός εκτείνεται │ ΜΟΝΟ προς τα δεξιά A ════════════════════════════════► x I = 20 AΟ συλλογισμός: ένας αγωγός «άπειρου» μήκους εκτείνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις. Εδώ έχουμε μόνο το μισό — το τμήμα από το Α προς τα δεξιά. Επειδή το Μ βρίσκεται ακριβώς απέναντι από το άκρο Α, οι δύο ημιευθείες θα συνεισφέρουν εξίσου. Άρα το πεδίο είναι το μισό εκείνου του πλήρους αγωγού:
Πλήρης (άπειρος) αγωγός: B = 2 · k · I / R απ m Ημιάπειρος, στο ύψος του άκρου: B = (1/2)·B = k · I / R απ mΗ αντικατάσταση:
-7 -7 -5 B = 10 · 20 / 0,2 = 10 · 100 = 10 TΑπάντηση: B = 10⁻⁵ T = 10 μT.
Ο έλεγχος με σύγκριση: αν ο αγωγός ήταν πλήρης (άπειρος και προς τις δύο πλευρές), θα έδινε 2×10⁻⁵ T — ακριβώς διπλάσιο, όπως αναμένεται. Η κατεύθυνση: κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν ο αγωγός και το σημείο Μ, με φορά από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Η αναλογία με την άσκηση 18: και εκεί το «μισό» σχήμα έδωσε μισό πεδίο. Ο κοινός λόγος είναι η αρχή της επαλληλίας: το πεδίο του πλήρους σχήματος είναι το άθροισμα των πεδίων των δύο συμμετρικών μισών, τα οποία στο συγκεκριμένο σημείο είναι ομόρροπα και ίσα. Πού χρειάζεται προσοχή: το αποτέλεσμα ισχύει μόνο επειδή το Μ βρίσκεται στο ύψος του άκρου Α και μάλιστα σε κάθετη διεύθυνση. Για οποιαδήποτε άλλη θέση του Μ ο υπολογισμός απαιτεί ολοκλήρωση και δεν δίνει απλό κλάσμα του 2km·I/R.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο αγωγός αρχίζει στο σημείο άλφα και εκτείνεται μόνο προς τη μία κατεύθυνση, ενώ το σημείο Μ βρίσκεται ακριβώς απέναντι από το άκρο άλφα, σε κάθετη απόσταση μηδέν κόμμα δύο μέτρα. Ένας αγωγός άπειρου μήκους εκτείνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις, και επειδή το σημείο βρίσκεται στο ύψος του άκρου, οι δύο ημιευθείες θα συνεισέφεραν εξίσου. Άρα το πεδίο του ημιάπειρου αγωγού είναι το μισό εκείνου του πλήρους, δηλαδή η σταθερά επί το ρεύμα προς την απόσταση. Αντικαθιστώντας, δέκα στην μείον έβδομη επί είκοσι διά μηδέν κόμμα δύο, προκύπτει δέκα στην μείον πέμπτη tesla, δηλαδή δέκα μικροτέσλα. Αν ο αγωγός ήταν πλήρης θα έδινε ακριβώς διπλάσιο πεδίο, δύο επί δέκα στην μείον πέμπτη. Η κατεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν ο αγωγός και το σημείο, με φορά από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Το αποτέλεσμα ισχύει μόνο επειδή το σημείο βρίσκεται στο ύψος του άκρου και σε κάθετη διεύθυνση· για άλλη θέση ο υπολογισμός δεν δίνει απλό κλάσμα του πεδίου του άπειρου αγωγού.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 20 — Δύναμη σε τετράγωνο συρμάτινο αγωγό κοντά σε ευθύγραμμο
Ερώτηση: Στην απέναντι εικόνα, ο ευθύγραμμος αγωγός με άπειρο μήκος διαρρέεται από ρεύμα Ι1 = 20Α. Ο συρμάτινος αγωγός με το τετράγωνο σχήμα, διαρρέεται από ρεύμα Ι2 = 40Α. Να υπολογίσετε τη δύναμη την οποία δέχεται ο συρμάτινος αγωγός. Οι δύο αγωγοί βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Δύο απέναντι πλευρές του συρμάτινου αγωγού είναι παράλληλες προς τον ευθύγραμμο αγωγό. Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις ανάλογα με τη φορά του ρεύματος Ι2. Αν η μάζα του συρμάτινου αγωγού είναι m = 20gr, να υπολογίσετε την αρχική του επιτάχυνση. Δίνεται: α = 3cm, d1 = 9cm. Να αγνοήσετε την ύπαρξη του πεδίου βαρύτητας της Γης.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: I₁ = 20 A, I₂ = 40 A, πλευρά α = 3 cm = 0,03 m, d₁ = 9 cm = 0,09 m, άρα d₂ = d₁ + α = 12 cm = 0,12 m, m = 20 gr = 0,02 kg.
Ποιες πλευρές δέχονται δύναμη:
┌──── α ────┐ │ ┌─────────────┐ │ d₁ = 9cm │ │ οι ΚΑΘΕΤΕΣ πλευρές (πάνω-κάτω) │◄────────────►│ │ δέχονται ίσες και ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ │ I₁ │ I₂ │ δυνάμεις → ΑΛΛΗΛΟΑΝΑΙΡΟΥΝΤΑΙ │ │ │ │ └─────────────┘ │◄──────── d₂ = 12cm ───────►│ ευθύγραμμος αγωγός κοντινή μακρινή πλευρά πλευράΜόνο οι δύο παράλληλες πλευρές δίνουν συνισταμένη, γιατί βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις από τον ευθύγραμμο αγωγό και άρα σε διαφορετικό πεδίο.
Η δύναμη σε κάθε παράλληλη πλευρά — F = 2·km·I₁·I₂·l/d με l = α:
-7 -7 F = 2 · 10 · 20 · 40 · 0,03 / 0,09 = 2·10 · 800 · (1/3) 1 -5 = 5,33 · 10 N (κοντινή πλευρά) -7 -7 F = 2 · 10 · 20 · 40 · 0,03 / 0,12 = 2·10 · 800 · 0,25 2 -5 = 4,00 · 10 N (μακρινή πλευρά)Η συνισταμένη:
-5 -5 -5 F = F − F = 5,33·10 − 4,00·10 ≈ 1,33 · 10 N 1 2Απάντηση: F ≈ 1,33×10⁻⁵ N.
Οι δύο περιπτώσεις: α. Αν στην κοντινή πλευρά το ρεύμα Ι₂ είναι ομόρροπο με το Ι₁, η πλευρά αυτή έλκεται και, επειδή η δύναμή της είναι μεγαλύτερη, το τετράγωνο έλκεται συνολικά προς τον ευθύγραμμο αγωγό. β. Αν είναι αντίρροπο, η κοντινή πλευρά απωθείται και το τετράγωνο απωθείται συνολικά. Το μέτρο της συνισταμένης είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις — αλλάζει μόνο η φορά.
Η αρχική επιτάχυνση:
-5 -4 2 a = F/m = 1,33·10 / 0,02 = 6,67 · 10 m/sΑπάντηση: a ≈ 6,67×10⁻⁴ m/s².
Γιατί «αρχική» επιτάχυνση: μόλις το τετράγωνο κινηθεί, οι αποστάσεις d₁ και d₂ αλλάζουν, άρα αλλάζει και η δύναμη. Η κίνηση δεν είναι ομαλά επιταχυνόμενη. Γιατί αγνοούμε τη βαρύτητα: το βάρος του τετραγώνου είναι mg = 0,02·10 = 0,2 N, δηλαδή δεκαπέντε χιλιάδες φορές μεγαλύτερο από τη μαγνητική δύναμη. Χωρίς τη ρητή υπόθεση της εκφώνησης, το πείραμα θα ήταν αδύνατο. Η προσοχή στις κάθετες πλευρές: δέχονται δυνάμεις που δεν είναι μηδέν, αλλά είναι ίσες και αντίθετες μεταξύ τους (τα ρεύματά τους έχουν αντίθετη φορά και βρίσκονται στο ίδιο πεδίο σε κάθε απόσταση), οπότε η συνισταμένη τους μηδενίζεται.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι κάθετες προς τον ευθύγραμμο αγωγό πλευρές του τετραγώνου δέχονται ίσες και αντίθετες δυνάμεις που αλληλοαναιρούνται, οπότε συνεισφέρουν μόνο οι δύο παράλληλες πλευρές, οι οποίες βρίσκονται σε αποστάσεις εννέα και δώδεκα εκατοστά και άρα σε διαφορετικό πεδίο. Η δύναμη σε κάθε παράλληλη πλευρά δίνεται από τη σχέση δύο επί τη σταθερά επί το γινόμενο των ρευμάτων επί το μήκος προς την απόσταση. Για την κοντινή πλευρά προκύπτει πέντε κόμμα τριάντα τρία επί δέκα στην μείον πέμπτη νιούτον και για τη μακρινή τέσσερα επί δέκα στην μείον πέμπτη. Η συνισταμένη είναι η διαφορά τους, δηλαδή περίπου ένα κόμμα τριάντα τρία επί δέκα στην μείον πέμπτη νιούτον. Αν στην κοντινή πλευρά το ρεύμα είναι ομόρροπο με εκείνο του ευθύγραμμου αγωγού, το τετράγωνο έλκεται συνολικά, ενώ αν είναι αντίρροπο απωθείται· το μέτρο είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις και αλλάζει μόνο η φορά. Η αρχική επιτάχυνση προκύπτει από τη δύναμη προς τη μάζα, δηλαδή περίπου έξι κόμμα εξήντα επτά επί δέκα στην μείον τέταρτη μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο. Η επιτάχυνση χαρακτηρίζεται αρχική, γιατί μόλις το τετράγωνο κινηθεί αλλάζουν οι αποστάσεις και άρα και η δύναμη.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 21 — Πεδίο δύο παράλληλων αγωγών σε τρία σημεία
Ερώτηση: Δύο ευθύγραμμοι και παράλληλοι αγωγοί (Α) και (Γ) με πολύ μεγάλο μήκος διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα ΙΑ = 4Α και ΙΓ = 8Α και απέχουν απόσταση d = 1m. Να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο: Α. Στο μέσο Μ της απόστασης των αγωγών Β. Σε σημείο Λ, το οποίο βρίσκεται στο επίπεδο των αγωγών και απέχει από τον (Α) d1 = 1m. Γ. Σε σημείο Κ το οποίο βρίσκεται πάνω στο επίπεδο των αγωγών και απέχει από τον (Γ) d2 = 1m.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: I_A = 4 A, I_Γ = 8 A, d = 1 m, ρεύματα ομόρροπα. Ο τύπος: B = 2·km·I/r.
Λ ●─────── 1m ───────● A ─────── 1m ───────● Γ ─────── 1m ───────● K │ Μ │ └── 0,5m ──┴─ 0,5m ─┘Ο κανόνας των φορών (ομόρροπα ρεύματα, π.χ. προς τα έξω από τη σελίδα): ανάμεσα στους αγωγούς τα δύο πεδία είναι αντίρροπα· έξω από αυτούς είναι ομόρροπα.
Α. Στο μέσο Μ (0,5 m από τον καθένα):
-7 -6 B = 2 · 10 · 4 / 0,5 = 1,6·10 T A -7 -6 B = 2 · 10 · 8 / 0,5 = 3,2·10 T Γ -6 -6 -6 B = B − B = 3,2·10 − 1,6·10 = 1,6 · 10 T Γ Aμε τη φορά του Β_Γ, δηλαδή του ισχυρότερου πεδίου.
Β. Στο σημείο Λ (1 m από τον Α, στην πλευρά που δεν βρίσκεται ο Γ — άρα 2 m από τον Γ):
-7 -7 B = 2 · 10 · 4 / 1 = 8·10 T A -7 -7 B = 2 · 10 · 8 / 2 = 8·10 T Γ -7 -6 B = B + B = 16 · 10 = 1,6·10 T A Γτα δύο πεδία προστίθενται, γιατί το Λ βρίσκεται έξω από το ζεύγος.
Γ. Στο σημείο Κ (1 m από τον Γ, στην πλευρά που δεν βρίσκεται ο Α — άρα 2 m από τον Α):
-7 -6 B = 2 · 10 · 8 / 1 = 1,6·10 T Γ -7 -7 B = 2 · 10 · 4 / 2 = 4·10 T A -6 -7 -6 B = B + B = 1,6 · 10 + 4 · 10 = 2,0 · 10 T Γ AΑπαντήσεις: Α. 1,6×10⁻⁶ T · Β. 1,6×10⁻⁶ T · Γ. 2,0×10⁻⁶ T.
Η σύμπτωση των Α και Β: τα δύο πρώτα αποτελέσματα είναι ίσα κατά μέτρο αλλά έχουν διαφορετική φορά — στο Μ η φορά είναι εκείνη του Β_Γ, ενώ στο Λ και τα δύο πεδία είναι ομόρροπα. Η ισότητα των μέτρων είναι σύμπτωση των αριθμών, όχι κανόνας. Πού μηδενίζεται το ολικό πεδίο (σύνδεση με την άσκηση 10): ανάμεσα στους αγωγούς, στο σημείο όπου I_A/x = I_Γ/(1−x) → 4/x = 8/(1−x) → x = 1/3 m από τον Α. Το σημείο βρίσκεται πιο κοντά στον αγωγό με το μικρότερο ρεύμα, όπως αναμενόταν. Ο έλεγχος λογικής: στο Μ το πεδίο είναι διαφορά, στα Λ και Κ άθροισμα. Το μεγαλύτερο ολικό πεδίο εμφανίζεται στο Κ, που είναι το κοντινότερο σημείο στον ισχυρότερο αγωγό.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο τύπος που χρησιμοποιούμε είναι δύο επί τη σταθερά επί το ρεύμα προς την απόσταση, και επειδή τα ρεύματα είναι ομόρροπα τα δύο πεδία είναι αντίρροπα ανάμεσα στους αγωγούς και ομόρροπα έξω από αυτούς. Στο μέσο, όπου κάθε αγωγός απέχει μισό μέτρο, τα πεδία είναι ένα κόμμα έξι και τρία κόμμα δύο επί δέκα στην μείον έκτη tesla αντίστοιχα, οπότε το ολικό πεδίο είναι η διαφορά τους, δηλαδή ένα κόμμα έξι επί δέκα στην μείον έκτη tesla, με τη φορά του ισχυρότερου. Στο σημείο λάμδα, που απέχει ένα μέτρο από τον πρώτο αγωγό και δύο μέτρα από τον δεύτερο, τα δύο πεδία είναι από οκτώ επί δέκα στην μείον έβδομη το καθένα και προστίθενται, δίνοντας ένα κόμμα έξι επί δέκα στην μείον έκτη tesla. Στο σημείο κάπα, που απέχει ένα μέτρο από τον δεύτερο και δύο μέτρα από τον πρώτο, τα πεδία είναι ένα κόμμα έξι επί δέκα στην μείον έκτη και τέσσερα επί δέκα στην μείον έβδομη και προστίθενται, δίνοντας δύο επί δέκα στην μείον έκτη tesla. Σημειώνεται ότι το ολικό πεδίο μηδενίζεται ανάμεσα στους αγωγούς, σε απόσταση ενός τρίτου του μέτρου από τον αγωγό με το μικρότερο ρεύμα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 22 — Ρεύμα ώστε αγωγός να ισορροπεί πάνω από άλλον
Ερώτηση: Ο αγωγός ΚΛ με l = 2m έχει μάζα m = 3 gr και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές στους κατακόρυφους A Γ αγωγούς Αχ και Γψ, ενώ βρίσκεται σε συνεχή επαφή μαζί τους. Πόσο ρεύμα I πρέπει να διαβιβάσουμε Κ Λ στο σύστημα, ώστε ο αγωγός ΚΛ να παραμένει ακίνητος σε ύψος χ ψ h h = 1cm πάνω από τον αγωγό ΕΖ, ο οποίος θεωρείται ότι έχει πολύ E Z μεγάλο μήκος; Δίνεται g = 10m/s2.
Απάντηση:
-
Η φυσική της άσκησης: ο αγωγός ΚΛ «αιωρείται» επειδή η μαγνητική άπωση από τον αγωγό ΕΖ εξισορροπεί το βάρος του. Για να υπάρχει άπωση, τα ρεύματα στους δύο αγωγούς πρέπει να είναι αντίρροπα — και πράγματι, στο κύκλωμα το ρεύμα «κατεβαίνει» από τον έναν κατακόρυφο αγωγό, διασχίζει το ΚΛ, και επιστρέφει μέσα από τον ΕΖ με αντίθετη φορά.
Α │ │ Γ │ │ Κ ●════════════════════● Λ ← I (μάζα m, μήκος l) │ ↑ F │ │ │ h = 1cm │ F = μαγνητική ΑΠΩΣΗ │ ↓ mg │ Ε ●════════════════════● Ζ ← I (αντίθετη φορά)Η συνθήκη ισορροπίας: F_μαγν = Βάρος
2 · k · I · I · l / h = m · g mΗ αντικατάσταση (l = 2 m, h = 0,01 m, m = 0,003 kg, g = 10 m/s²):
-7 2 2 · 10 · I · 2 / 0,01 = 0,003 · 10 -5 2 4 · 10 · I = 0,03 2 -5 I = 0,03 / (4·10 ) = 750 I = √750 = 5·√30 ≈ 27,4 AΑπάντηση: I ≈ 27,4 A (ακριβώς 5√30 A).
Ο έλεγχος:
-7 2 -5 F = 2·10 · 27,4 · 2/0,01 = 2·10⁻⁷·750·200 = 0,03 N mg = 0,003 · 10 = 0,03 N ✔ ισορροπίαΓιατί το ρεύμα εμφανίζεται στο τετράγωνο: το ίδιο ρεύμα διαρρέει και τους δύο αγωγούς (είναι σε σειρά στο ίδιο κύκλωμα), οπότε στη σχέση F = 2km·I₁·I₂·l/d γίνεται I₁ = I₂ = I. Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη τετραπλασιάζεται αν διπλασιαστεί το ρεύμα. Γιατί η ισορροπία είναι ασταθής: αν ο ΚΛ κατέβει λίγο, το h μικραίνει, η δύναμη μεγαλώνει και τον σπρώχνει πάνω· αν ανέβει, η δύναμη μικραίνει και το βάρος τον ρίχνει κάτω. Άρα η ισορροπία είναι στην πραγματικότητα ευσταθής ως προς την κατακόρυφη μετατόπιση — μια μικρή απόκλιση διορθώνεται από μόνη της. Πόσο μεγάλο είναι το ρεύμα: τα 27,4 A είναι ρεύμα ηλεκτροσυγκόλλησης. Το γεγονός ότι χρειάζεται τόσο μεγάλο ρεύμα για να στηρίξει 3 γραμμάρια δείχνει πόσο ασθενείς είναι οι μαγνητικές δυνάμεις σε σχέση με τη βαρύτητα, στις συνήθεις κλίμακες. Η προσοχή στη μονάδα της μάζας: 3 gr = 0,003 kg — παράλειψη της μετατροπής δίνει αποτέλεσμα √1000 φορές λανθασμένο.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο αγωγός ΚΛ ισορροπεί επειδή η μαγνητική άπωση από τον αγωγό ΕΖ εξισορροπεί το βάρος του. Για να υπάρχει άπωση τα ρεύματα πρέπει να είναι αντίρροπα, όπως συμβαίνει, αφού το ρεύμα διασχίζει το ΚΛ και επιστρέφει μέσα από το ΕΖ. Η συνθήκη ισορροπίας γράφεται δύο επί τη σταθερά επί το τετράγωνο του ρεύματος επί το μήκος προς το ύψος, ίσο με τη μάζα επί την επιτάχυνση της βαρύτητας. Το ρεύμα εμφανίζεται στο τετράγωνο, γιατί το ίδιο ρεύμα διαρρέει και τους δύο αγωγούς, που είναι συνδεδεμένοι σε σειρά. Αντικαθιστώντας μήκος δύο μέτρα, ύψος ένα εκατοστό, μάζα τρία γραμμάρια, δηλαδή μηδέν κόμμα μηδέν μηδέν τρία κιλά, και επιτάχυνση δέκα, προκύπτει τετράγωνο ρεύματος ίσο με επτακόσια πενήντα, άρα ρεύμα περίπου είκοσι επτά κόμμα τέσσερα αμπέρ. Η ισορροπία είναι ευσταθής, γιατί αν ο αγωγός κατέβει η δύναμη μεγαλώνει και τον σπρώχνει πάνω, ενώ αν ανέβει η δύναμη μικραίνει και το βάρος τον ρίχνει κάτω. Το γεγονός ότι χρειάζεται ρεύμα ηλεκτροσυγκόλλησης για να στηριχθούν τρία γραμμάρια δείχνει πόσο ασθενείς είναι οι μαγνητικές δυνάμεις μπροστά στη βαρύτητα. Προσοχή χρειάζεται στη μετατροπή της μάζας από γραμμάρια σε κιλά.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 23 — Ρεύμα σωληνοειδούς για δεδομένο εσωτερικό πεδίο
Ερώτηση: Ένα σωληνοειδές έχει μήκος l = 10 cm και Ν = 103 σπείρες. Πόσο είναι το ρεύμα το οποίο πρέπει να διοχετεύσουμε στο σωληνοειδές, ώστε το πεδίο στο εσωτερικό του να έχει μέτρο Β = 8 × 10-4 Τ.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: l = 10 cm = 0,1 m, N = 10³ = 1000 σπείρες, B = 8×10⁻⁴ T.
Ο τύπος (σελ. 20): B = 4π · km · (N/l) · I
Η πυκνότητα σπειρών:
n = N / l = 1000 / 0,1 = 10.000 σπείρες/m = 10⁴ m⁻¹Η λύση ως προς Ι:
I = B / (4π · k · n) m -4 -7 4 = 8 · 10 / (4π · 10 · 10 ) -4 -3 = 8 · 10 / (4π · 10 ) = 0,2 / π ≈ 0,064 A ≈ 64 mAΑπάντηση: I = 0,2/π A ≈ 0,064 A ≈ 64 mA.
Ο έλεγχος:
-7 4 -3 B = 4π · 10 · 10 · 0,0637 = 4π · 10 · 0,0637 ≈ 8 · 10⁻⁴ T ✔Γιατί το ρεύμα βγαίνει τόσο μικρό: το πεδίο εξαρτάται από το γινόμενο n·I — τις αμπεροστροφές ανά μέτρο. Με 10.000 σπείρες ανά μέτρο, ακόμη και ένα ρεύμα λίγων δεκάδων mA αρκεί. Αυτός είναι και ο λόγος που τα πηνία τυλίγονται με πολλές σπείρες λεπτού σύρματος αντί για λίγες σπείρες χοντρού. Πόσο ισχυρό είναι το πεδίο των 8×10⁻⁴ T: περίπου 16 φορές ισχυρότερο από το πεδίο της Γης (0,5×10⁻⁴ T), αλλά αρκετά ασθενέστερο από έναν μαγνήτη ψυγείου. Πώς θα το ενισχύαμε δραματικά: με σιδερένιο πυρήνα (σελ. 29) — η εισαγωγή σιδερένιου πυρήνα με Κm = 1200 ανεβάζει το μέτρο του Β από 10⁻³ Τ σε 1,2 Τ. Με Κm = 1200 το δικό μας πεδίο θα έφτανε περίπου το 1 T. Η προσοχή στα δεδομένα: το Ν = 10³ στην εκφώνηση είναι χίλιες σπείρες (εκθετική γραφή), όχι «103 σπείρες» — το ίδιο και το Β = 8 × 10⁻⁴ Τ. Η ανάγνωση των εκθετών είναι κρίσιμη για το αποτέλεσμα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται μήκος δέκα εκατοστά, δηλαδή μηδέν κόμμα ένα μέτρα, χίλιες σπείρες και ζητούμενο πεδίο οκτώ επί δέκα στην μείον τέταρτη tesla. Το πεδίο στο εσωτερικό σωληνοειδούς είναι τέσσερα πι επί τη σταθερά επί τις σπείρες ανά μέτρο επί το ρεύμα. Η πυκνότητα σπειρών είναι χίλιες προς μηδέν κόμμα ένα, δηλαδή δέκα χιλιάδες σπείρες ανά μέτρο. Λύνοντας ως προς το ρεύμα, αυτό ισούται με το πεδίο προς το γινόμενο τέσσερα πι επί τη σταθερά επί την πυκνότητα σπειρών, δηλαδή μηδέν κόμμα δύο διά πι, περίπου μηδέν κόμμα μηδέν εξήντα τέσσερα αμπέρ, δηλαδή περίπου εξήντα τέσσερα χιλιοστά του αμπέρ. Το ρεύμα βγαίνει τόσο μικρό γιατί το πεδίο εξαρτάται από το γινόμενο των σπειρών ανά μέτρο επί το ρεύμα, δηλαδή από τις αμπεροστροφές ανά μέτρο, και εδώ η πυκνότητα σπειρών είναι πολύ μεγάλη· γι' αυτό άλλωστε τα πηνία τυλίγονται με πολλές σπείρες λεπτού σύρματος. Το πεδίο αυτό είναι περίπου δεκαέξι φορές ισχυρότερο από το πεδίο της Γης, ενώ με σιδερένιο πυρήνα μεγάλης σχετικής διαπερατότητας θα ενισχυόταν εκατοντάδες φορές.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 24 — Δύναμη σε αγωγό γείωσης αλεξικέραυνου κατά την πτώση κεραυνού
Ερώτηση: Το μήκος ενός κατακόρυφου μεταλλικού αγωγού γείωσης ενός αλεξικέραυνου είναι 20 m. Εξαιτίας ενός κεραυνού, το ρεύμα από τον αγωγό είναι 104 Α. Στην περιοχή του αγωγού το μαγνητικό πεδίο της Γης είναι οριζόντιο και έχει μέτρο 0,5×10-4 Τ. Να υπολογίσετε τη δύναμη την οποία δέχεται ο αγωγός στη διάρκεια της ροής του ρεύματος.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: l = 20 m, I = 10⁴ A = 10.000 A, B = 0,5×10⁻⁴ T (το πεδίο της Γης), οριζόντιο.
Η γωνία: ο αγωγός είναι κατακόρυφος και το πεδίο οριζόντιο, άρα φ = 90° και ημφ = 1 — η δύναμη Laplace είναι μέγιστη.
Ο υπολογισμός (σελ. 11, F = B·I·l·ημφ):
-4 4 F = 0,5 · 10 · 1 · 10 · 20 · 1 -4 5 = 0,5 · 10 · 2 · 10 = 10 NΑπάντηση: F = 10 N.
Η κατεύθυνση: οριζόντια και κάθετη τόσο στον αγωγό όσο και στο μαγνητικό πεδίο της Γης — δηλαδή κάθετη στον μεσημβρινό, με φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού και εξαρτάται από το αν το ρεύμα του κεραυνού «κατεβαίνει» ή «ανεβαίνει».
Γιατί το αποτέλεσμα εντυπωσιάζει: 10 N είναι το βάρος περίπου ενός κιλού. Ένα τόσο ασθενές πεδίο (0,5×10⁻⁴ T, το πεδίο της Γης) παράγει αξιόλογη δύναμη επειδή το ρεύμα είναι τεράστιο — δέκα χιλιάδες ampere. Η πρακτική σημασία: ο αγωγός καθόδου ενός αλεξικέραυνου πρέπει να είναι στερεά στηριγμένος στον τοίχο, γιατί κατά την πτώση του κεραυνού δέχεται απότομη πλευρική ώθηση. Η δύναμη διαρκεί ελάχιστα (ο κεραυνός σβήνει σε χιλιοστά του δευτερολέπτου), αλλά είναι κρουστική. Και μια δεύτερη, ισχυρότερη δύναμη: αν ο αγωγός καθόδου έχει καμπύλες, τα διαδοχικά του τμήματα ασκούν μεταξύ τους δυνάμεις — και αυτές είναι πολύ μεγαλύτερες, γιατί το πεδίο του ίδιου του ρεύματος σε απόσταση λίγων εκατοστών είναι της τάξης των 10⁻² T, δηλαδή διακόσιες φορές ισχυρότερο από το γήινο. Γι' αυτό οι κανονισμοί απαιτούν οι αγωγοί καθόδου να είναι όσο το δυνατόν ευθύγραμμοι. Η προσοχή στην ανάγνωση: το 10⁴ Α της εκφώνησης είναι δέκα χιλιάδες ampere — τυπική τιμή για κεραυνό· και το 0,5×10⁻⁴ Τ είναι το γήινο πεδίο, όχι κάποιο πεδίο εργαστηρίου.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο αγωγός είναι κατακόρυφος και το μαγνητικό πεδίο της Γης οριζόντιο, οπότε η γωνία τους είναι ενενήντα μοίρες, το ημίτονο ισούται με τη μονάδα και η δύναμη Laplace είναι μέγιστη. Εφαρμόζοντας τη σχέση δύναμη ίσον πεδίο επί ρεύμα επί μήκος επί ημίτονο, με πεδίο μισό δεκάκις χιλιοστό του tesla, ρεύμα δέκα χιλιάδες αμπέρ και μήκος είκοσι μέτρα, προκύπτει δύναμη δέκα νιούτον. Η κατεύθυνσή της είναι οριζόντια και κάθετη τόσο στον αγωγό όσο και στο πεδίο, με φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού. Το αποτέλεσμα εντυπωσιάζει, γιατί δέκα νιούτον είναι περίπου το βάρος ενός κιλού και προκύπτουν από ένα εξαιρετικά ασθενές πεδίο· ο λόγος είναι το τεράστιο ρεύμα του κεραυνού. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι ο αγωγός καθόδου πρέπει να είναι στερεά στηριγμένος, γιατί δέχεται απότομη κρουστική πλευρική ώθηση. Ακόμη μεγαλύτερες είναι οι δυνάμεις που ασκούν μεταξύ τους τα τμήματα του ίδιου του αγωγού όταν αυτός έχει καμπύλες, γι' αυτό και οι κανονισμοί απαιτούν οι αγωγοί καθόδου να είναι όσο το δυνατόν ευθύγραμμοι.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 25 — Δύναμη σε αγωγό μέσα σε σωληνοειδές και συνολικό πεδίο
Ερώτηση: Στο εσωτερικό ενός σωληνοειδούς με μεγάλο μήκος το μαγνητικό πεδίο έχει μέτρο B = 4 mT. Η διάμετρος κάθε σπείρας του σωληνοειδούς είναι 10 cm. Ευθύγραμμος αγωγός, διαρρεόμενος από ρεύμα 5 Α, περνάει από το μέσο του άξονα του σωληνοειδούς και είναι κάθετος σ' αυτόν. Να υπολογίσετε: A. Τη δύναμη την οποία δέχεται ο ευθύγραμμος αγωγός Β. Το συνολικό μαγνητικό πεδίο σε απόσταση 3 cm από τον άξονα του σωληνοειδούς.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: B_σωλ = 4 mT = 4×10⁻³ T, διάμετρος σπείρας D = 10 cm = 0,1 m, ρεύμα αγωγού I = 5 A, ο αγωγός κάθετος στον άξονα.
Α. Η δύναμη στον ευθύγραμμο αγωγό Μέσα στο πεδίο βρίσκεται μόνο το τμήμα του αγωγού που περνά από το εσωτερικό του σωληνοειδούς, δηλαδή μήκος ίσο με τη διάμετρο: l = D = 0,1 m. Επειδή ο αγωγός είναι κάθετος στον άξονα (και άρα στο πεδίο), ημφ = 1:
-3 -3 F = 4 · 10 · 5 · 0,1 = 2·10 N = 2 mNΑπάντηση Α: F = 2×10⁻³ N, με κατεύθυνση κάθετη τόσο στον άξονα όσο και στον αγωγό.
Β. Το συνολικό πεδίο σε απόσταση 3 cm από τον άξονα Το σημείο βρίσκεται μέσα στο σωληνοειδές (η ακτίνα του είναι 5 cm). Εκεί συνυπάρχουν δύο πεδία:
1. Το πεδίο του σωληνοειδούς: B = 4 mT, ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ σωλ 2. Το πεδίο του ευθύγραμμου αγωγού, σε r = 3 cm: -7 -5 B = 2 · 10 · 5 / 0,03 = 3,3·10 T = 0,033 mT ε ΚΥΚΛΙΚΟ γύρω από τον αγωγό, άρα ΚΑΘΕΤΟ στο B σωλΕπειδή τα δύο πεδία είναι κάθετα μεταξύ τους, συντίθενται πυθαγόρεια:
──────────────────── ────────────────── B = √ B² + B² = √ 16 + 0,0011 mT ολ σωλ ε ≈ 4,0001 mT ≈ 4 mTΑπάντηση Β: B ≈ 4 mT — πρακτικά αμετάβλητο.
Το δίδαγμα της άσκησης: η συνεισφορά του ευθύγραμμου αγωγού είναι περίπου 120 φορές μικρότερη από το πεδίο του σωληνοειδούς, οπότε δεν αλλάζει αισθητά το ολικό πεδίο. Το σωληνοειδές, με τις πολλές σπείρες του, «κερδίζει» κατά κράτος έναν μεμονωμένο αγωγό. Γιατί δεν προσθέτουμε απλώς τα μέτρα: τα μαγνητικά πεδία είναι διανύσματα. Εδώ το ένα είναι αξονικό και το άλλο εφαπτόμενο σε κύκλο γύρω από τον αγωγό, δηλαδή κάθετα μεταξύ τους — άρα ισχύει το Πυθαγόρειο και όχι η αλγεβρική πρόσθεση. Η προσοχή στο μήκος του αγωγού: μόνο τα 10 cm που βρίσκονται μέσα στο σωληνοειδές δέχονται δύναμη. Το υπόλοιπο μήκος του αγωγού βρίσκεται έξω, όπου το πεδίο είναι πρακτικά μηδενικό για μακρύ σωληνοειδές. Η προσοχή στις μονάδες: 4 mT = 4×10⁻³ T — αν εργαστούμε κατευθείαν με «4» το αποτέλεσμα βγαίνει χίλιες φορές μεγαλύτερο.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Στο πρώτο ερώτημα, μέσα στο πεδίο του σωληνοειδούς βρίσκεται μόνο το τμήμα του αγωγού που περνά από το εσωτερικό του, δηλαδή μήκος ίσο με τη διάμετρο, δέκα εκατοστά. Επειδή ο αγωγός είναι κάθετος στον άξονα και άρα στο πεδίο, το ημίτονο ισούται με τη μονάδα και η δύναμη είναι το πεδίο επί το ρεύμα επί το μήκος, δηλαδή τέσσερα χιλιοστά του tesla επί πέντε αμπέρ επί μηδέν κόμμα ένα μέτρα, ίσον δύο χιλιοστά του νιούτον, με κατεύθυνση κάθετη τόσο στον άξονα όσο και στον αγωγό. Στο δεύτερο ερώτημα, το σημείο βρίσκεται μέσα στο σωληνοειδές, αφού η ακτίνα του είναι πέντε εκατοστά, και εκεί συνυπάρχουν δύο πεδία: το αξονικό πεδίο του σωληνοειδούς, ίσο με τέσσερα χιλιοστά του tesla, και το κυκλικό πεδίο του ευθύγραμμου αγωγού σε απόσταση τρία εκατοστά, ίσο με περίπου τριάντα τρία εκατομμυριοστά του tesla, δηλαδή μόλις τριάντα τρία χιλιοστά του ενός χιλιοστού του tesla. Τα δύο πεδία είναι κάθετα μεταξύ τους, οπότε συντίθενται πυθαγόρεια και το ολικό πεδίο προκύπτει πρακτικά ίσο με τέσσερα χιλιοστά του tesla. Το δίδαγμα είναι ότι η συνεισφορά ενός μεμονωμένου αγωγού είναι αμελητέα μπροστά στο πεδίο ενός σωληνοειδούς με πολλές σπείρες.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 26 — Δύναμη μεταξύ δύο παράλληλων αγωγών σε τμήμα ενός εκατοστού
Ερώτηση: Ευθύγραμμος αγωγός (α) με πολύ μεγάλο μήκος διαρρέεται από ρεύμα I1 = 10A. Άλλος ευθύγραμμος αγωγός (β) είναι παράλληλος προς τον πρώτο και διαρρέεται από ρεύμα έντασης I2 = 40A. Η απόσταση των δύο αγωγών είναι d = 5cm. Να υπολογίσετε τη δύναμη την οποία ασκεί ο αγωγός (α) σε τμήμα του αγωγού (β) μήκους l = 1cm, εάν τα ρεύματα είναι: α. Ομόρροπα β. Αντίρροπα.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: I₁ = 10 A, I₂ = 40 A, d = 5 cm = 0,05 m, l = 1 cm = 0,01 m.
Η μέθοδος σε δύο βήματα: Βήμα 1 — το πεδίο του (α) στη θέση του (β):
-7 -5 B = 2 · 10 · 10 / 0,05 = 4 · 10 T 1Βήμα 2 — η δύναμη Laplace στο τμήμα του (β) (ο αγωγός είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές, άρα ημφ = 1):
-5 -5 F = B · I · l = 4·10 · 40 · 0,01 = 1,6 · 10 N 1 2Ή απευθείας με τον συνολικό τύπο:
-7 F = 2 · k · I · I · l / d = 2·10 · 10 · 40 · 0,01 / 0,05 m 1 2 -5 = 1,6·10 NΑπάντηση: F = 1,6×10⁻⁵ N και στις δύο περιπτώσεις — αλλάζει μόνο η φορά: α. Ομόρροπα ρεύματα → ΕΛΞΗ (ο αγωγός β έλκεται προς τον α). β. Αντίρροπα ρεύματα → ΑΠΩΣΗ.
ομόρροπα: ⊙ ────► ◄──── ⊙ αντίρροπα: ⊙ ◄──── ────► ⊗ ΕΛΞΗ ΑΠΩΣΗΓιατί το μέτρο δεν αλλάζει: ο τύπος F = 2km·I₁·I₂·l/d περιέχει μόνο τα μέτρα των ρευμάτων. Η φορά τους καθορίζει αποκλειστικά την κατεύθυνση της δύναμης. Ο τρίτος νόμος του Newton: ο αγωγός (β) ασκεί στον (α) δύναμη ίση και αντίθετη — παρότι τα ρεύματά τους διαφέρουν κατά τέσσερις φορές. Ο έλεγχος είναι άμεσος από τον ίδιο τύπο, που είναι συμμετρικός ως προς τα I₁ και I₂. Ο ορισμός του ampere: αυτή ακριβώς η δύναμη χρησιμοποιήθηκε ιστορικά για τον ορισμό του ampere — δύο παράλληλοι αγωγοί σε απόσταση 1 m που διαρρέονται από 1 A ασκούν ο ένας στον άλλο δύναμη 2×10⁻⁷ N ανά μέτρο μήκους. Ακριβώς από εκεί προκύπτει και η τιμή km = 10⁻⁷ N/A². Έλεγχος τάξης μεγέθους: 1,6×10⁻⁵ N είναι το βάρος 1,6 χιλιοστογραμμαρίων — δηλαδή πρακτικά μη μετρήσιμο χωρίς ευαίσθητο ζυγό, παρότι τα ρεύματα (10 A και 40 A) είναι μεγάλα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Υπολογίζουμε πρώτα το πεδίο που δημιουργεί ο πρώτος αγωγός στη θέση του δεύτερου, από τη σχέση δύο επί τη σταθερά επί το ρεύμα προς την απόσταση: προκύπτει τέσσερα επί δέκα στην μείον πέμπτη tesla. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη δύναμη Laplace στο τμήμα του δεύτερου αγωγού, το οποίο είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές, οπότε η δύναμη είναι το πεδίο επί το δεύτερο ρεύμα επί το μήκος, δηλαδή ένα κόμμα έξι επί δέκα στην μείον πέμπτη νιούτον. Το ίδιο προκύπτει και απευθείας από τον συνολικό τύπο δύο επί τη σταθερά επί το γινόμενο των ρευμάτων επί το μήκος προς την απόσταση. Το μέτρο είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις, γιατί ο τύπος περιέχει μόνο τα μέτρα των ρευμάτων· αυτό που αλλάζει είναι η φορά, δηλαδή με ομόρροπα ρεύματα έχουμε έλξη και με αντίρροπα άπωση. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, ο δεύτερος αγωγός ασκεί στον πρώτο ίση και αντίθετη δύναμη, παρότι τα ρεύματα διαφέρουν κατά τέσσερις φορές, όπως φαίνεται και από τη συμμετρία του τύπου. Σημειώνεται ότι ακριβώς αυτή η δύναμη χρησιμοποιήθηκε ιστορικά για τον ορισμό του ampere, από τον οποίο προκύπτει και η τιμή της σταθεράς.
Κριτήρια αξιολόγησης:
