Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 9 (σελ. 246-249) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ
Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 9
Πλήρεις λύσεις και των 31 ασκήσεων — δείκτης διάθλασης και νόμος του Snell, ορική γωνία και ολική ανάκλαση, η αρχή του Fermat μέσα από τη διαδρομή της χελώνας, τα είδωλα των φακών και τα σφάλματά τους, η λειτουργία του οφθαλμού και οι ανωμαλίες της όρασης, με αριθμητικά προβλήματα διοπτριών, εστίασης και μεγέθυνσης.
Άσκηση 1 — Συμπλήρωση κενών για τον δείκτη διάθλασης
Ερώτηση: Ο λόγος της ταχύτητας του ............ στο κενό δια της ταχύτητας του φωτός σ' ένα ............ ονομάζεται δείκτης ............ του ............ αυτού. Συμπληρώστε τα κενά.
Απάντηση:
-
Το συμπληρωμένο κείμενο:
«Ο λόγος της ταχύτητας του ΦΩΤΟΣ στο κενό δια της ταχύτητας του φωτός σ' ένα ΜΕΣΟ ονομάζεται δείκτης ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ του ΜΕΣΟΥ αυτού.»
n = c / υ c = ταχύτητα του φωτός στο ΚΕΝΟ (3 · 10⁸ m/s) υ = ταχύτητα του φωτός στο ΜΕΣΟΟι τέσσερις λέξεις: 1. φωτός · 2. μέσο (ή υλικό) · 3. διάθλασης · 4. μέσου (ή υλικού).
Τρεις σημαντικές συνέπειες του ορισμού: 1. Ο δείκτης είναι πάντοτε n ≥ 1, γιατί (σελ. 193) Το φως «ταξιδεύει» γρηγορότερα στο «κενό». Η ταχύτητά του στα διάφορα υλικά είναι πάντα μικρότερη από το c. Για το κενό ειδικά, n = 1 ακριβώς. 2. Είναι καθαρός αριθμός — πηλίκο δύο ταχυτήτων, άρα αδιάστατος. 3. Εξαρτάται από το χρώμα — κάθε συχνότητα «βλέπει» ελαφρώς διαφορετικό δείκτη. Σε αυτό οφείλεται ο διασκεδασμός και το ουράνιο τόξο (κεφ. 10).
Οι τιμές από τον Πίνακα 8.1 (σελ. 193), υπολογισμένες ως n = c/υ:
Υλικό υ (×10⁸ m/s) n = c/υ ─────────────────────────────────────────── Κενό 2,9979 1,000 Αέρας 2,9970 1,0003 Νερό 2,25 1,33 Οινόπνευμα 2,20 1,36 Στεφανύαλος 1,97 1,52 Διαμάντι 1,24 2,42Γιατί το φως «αργεί» μέσα στην ύλη (σελ. 217): τα φωτόνια από τα οποία αποτελείται αλληλεπιδρούν με τα μόρια των υλικών (απορρόφηση και επανεκπομπή) με αποτέλεσμα να χρειάζονται περισσότερο χρόνο συνολικά για να διανύσουν μια απόσταση σε σχέση με το χρόνο που θα χρειαζόντουσαν να διανύσουν την ίδια απόσταση στο κενό. Σκεφθείτε ένα δρομέα να τρέχει εκατό μέτρα ελεύθερα και τον ίδιο να τρέχει εκατό μέτρα με εμπόδια. Η πρακτική σημασία: ο δείκτης διάθλασης είναι το μοναδικό μέγεθος που χρειαζόμαστε για να προβλέψουμε κάθε διάθλαση, μέσω του νόμου του Snell.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Το συμπληρωμένο κείμενο έχει ως εξής: ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό δια της ταχύτητας του φωτός σε ένα μέσο ονομάζεται δείκτης διάθλασης του μέσου αυτού. Τρεις είναι οι σημαντικές συνέπειες του ορισμού. Πρώτον, ο δείκτης είναι πάντοτε μεγαλύτερος ή ίσος της μονάδας, γιατί το φως ταξιδεύει γρηγορότερα στο κενό και η ταχύτητά του σε κάθε υλικό είναι μικρότερη· για το κενό ειδικά ισούται ακριβώς με ένα. Δεύτερον, είναι καθαρός αριθμός, αφού είναι πηλίκο δύο ταχυτήτων. Τρίτον, εξαρτάται ελαφρώς από το χρώμα, γεγονός στο οποίο οφείλονται ο διασκεδασμός και το ουράνιο τόξο. Ενδεικτικά, ο δείκτης του νερού είναι ένα κόμμα τριάντα τρία, του γυαλιού περίπου ενάμισι και του διαμαντιού δύο κόμμα σαράντα δύο. Το φως αργεί μέσα στην ύλη, όπως εξηγεί το βιβλίο, γιατί τα φωτόνια αλληλεπιδρούν με τα μόρια με απορρόφηση και επανεκπομπή, όπως ένας δρομέας που τρέχει με εμπόδια.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 2 — Συμπλήρωση κενών για δείκτη διάθλασης και ταχύτητα
Ερώτηση: Όσο μεγαλύτερο ............ διάθλασης έχει ένα ............ τόσο ............ θα είναι η ............ του φωτός στο ............ αυτό. Συμπληρώστε τα κενά.
Απάντηση:
-
Το συμπληρωμένο κείμενο:
«Όσο μεγαλύτερο ΔΕΙΚΤΗ διάθλασης έχει ένα ΜΕΣΟ (υλικό) τόσο ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ θα είναι η ΤΑΧΥΤΗΤΑ του φωτός στο ΜΕΣΟ (υλικό) αυτό.»
Η αιτιολόγηση — από τον ορισμό της προηγούμενης άσκησης:
n = c/υ ⇒ υ = c/n Το c είναι ΣΤΑΘΕΡΟ ⇒ n και υ είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ n μεγάλο ⇒ υ μικρή n μικρό ⇒ υ μεγάληΗ επαλήθευση με αριθμούς:
νερό n = 1,33 → υ = 3·10⁸/1,33 = 2,25 · 10⁸ m/s γυαλί n = 1,52 → υ = 3·10⁸/1,52 = 1,97 · 10⁸ m/s διαμάντι n = 2,42 → υ = 3·10⁸/2,42 = 1,24 · 10⁸ m/sΤο διαμάντι, με τον μεγαλύτερο δείκτη, δίνει τη μικρότερη ταχύτητα — μόλις 41% της ταχύτητας στο κενό.
Η ορολογία «οπτικά πυκνότερο»: το μέσο με τον μεγαλύτερο δείκτη λέγεται οπτικά πυκνότερο. Η ονομασία δεν σχετίζεται απαραίτητα με τη μάζα ανά όγκο — ένα υλικό μπορεί να είναι ελαφρύτερο αλλά οπτικά πυκνότερο. Οι δύο άμεσες συνέπειες: 1. Όσο μεγαλύτερος ο δείκτης, τόσο περισσότερο κάμπτεται το φως προς την κάθετο (νόμος του Snell). 2. Όσο μεγαλύτερος ο δείκτης, τόσο μικρότερη η ορική γωνία — άρα τόσο ευκολότερα συμβαίνει ολική ανάκλαση. Γι' αυτό ακριβώς το διαμάντι (θορ ≈ 24°) «παγιδεύει» το φως και αστράφτει. Και μία τρίτη: μέσα στο μέσο, με σταθερή συχνότητα, το μήκος κύματος γίνεται λ/n — δηλαδή μικραίνει όσο μεγαλώνει ο δείκτης (πρβλ. κεφ. 4).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Το συμπληρωμένο κείμενο έχει ως εξής: όσο μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης έχει ένα μέσο, τόσο μικρότερη θα είναι η ταχύτητα του φωτός στο μέσο αυτό. Η αιτιολόγηση προκύπτει άμεσα από τον ορισμό, αφού ο δείκτης ισούται με την ταχύτητα στο κενό προς την ταχύτητα στο μέσο, οπότε η ταχύτητα στο μέσο ισούται με την ταχύτητα στο κενό προς τον δείκτη· επειδή η πρώτη είναι σταθερά, δείκτης και ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογα. Για παράδειγμα, στο νερό η ταχύτητα είναι δύο κόμμα είκοσι πέντε επί δέκα στην όγδοη, στο γυαλί ένα κόμμα ενενήντα επτά και στο διαμάντι μόλις ένα κόμμα είκοσι τέσσερα, δηλαδή περίπου το σαράντα ένα τοις εκατό της ταχύτητας στο κενό. Το μέσο με τον μεγαλύτερο δείκτη ονομάζεται οπτικά πυκνότερο, ανεξάρτητα από τη μάζα του ανά όγκο. Δύο άμεσες συνέπειες είναι ότι το φως κάμπτεται περισσότερο προς την κάθετο και ότι η ορική γωνία μικραίνει, οπότε η ολική ανάκλαση συμβαίνει ευκολότερα, όπως στο διαμάντι.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 3 — Διατύπωση του νόμου του Snell
Ερώτηση: Διατυπώστε το νόμο του Snell.
Απάντηση:
-
Ο νόμος του Snell (νόμος της διάθλασης) αποτελείται από δύο μέρη:
1ο μέρος: η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώμενη ακτίνα και η κάθετος στη διαχωριστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
2ο μέρος: ισχύει η σχέση
n · ημθ = n · ημθ 1 1 2 2 θ = γωνία πρόσπτωσης (στο μέσο με δείκτη n ) 1 1 θ = γωνία διάθλασης (στο μέσο με δείκτη n ) 2 2Ισοδύναμα:
ημθ / ημθ = n / n = υ / υ 1 2 2 1 1 2κάθετος │ προσπίπτουσα │ ╲ │ n ╲θ₁ │ 1 ═══════════╲══●══════════════ ╲ │ n (n > n ) ╲│θ₂ 2 2 1 ╲ διαθλώμενη ← ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ την κάθετοΗ ποιοτική διατύπωση (σελ. 218): η φωτεινή ακτίνα πλησιάζει την κάθετο… όταν το φως εισέρχεται σε υλικό όπου η ταχύτητά του είναι μικρότερη. Όταν το φως από ένα μέσο εισέρχεται σε ένα άλλο στο οποίο η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη, η ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετο.
Οι δύο ειδικές περιπτώσεις: · Κάθετη πρόσπτωση (θ₁ = 0): τότε ημθ₁ = 0, άρα ημθ₂ = 0 και θ₂ = 0 — το φως δεν αλλάζει διεύθυνση (άσκηση 8). · Ίσοι δείκτες (n₁ = n₂): τότε θ₁ = θ₂ — καμία διάθλαση, το φως συνεχίζει ευθεία.
Η αντιστρεψιμότητα: ο νόμος είναι συμμετρικός — αν αντιστρέψουμε την πορεία της ακτίνας, θα ακολουθήσει ακριβώς την ίδια διαδρομή αντίστροφα. Η βαθύτερη θεμελίωση — η αρχή του Fermat: το φως ακολουθεί τη διαδρομή ελάχιστου χρόνου. Ακριβώς αυτή είναι η αρχή που εξηγεί και τη διαδρομή της χελώνας στην άσκηση 11. Το όριο εφαρμογής: αν το φως πηγαίνει από πυκνότερο σε αραιότερο και η γωνία πρόσπτωσης ξεπεράσει την ορική, τότε δεν υπάρχει λύση για το ημθ₂ (θα έβγαινε > 1) — και συμβαίνει ολική ανάκλαση (άσκηση 4).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο νόμος του Snell έχει δύο μέρη. Πρώτον, η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώμενη ακτίνα και η κάθετος στη διαχωριστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Δεύτερον, το γινόμενο του δείκτη διάθλασης του πρώτου μέσου επί το ημίτονο της γωνίας πρόσπτωσης ισούται με το γινόμενο του δείκτη του δεύτερου μέσου επί το ημίτονο της γωνίας διάθλασης· ισοδύναμα, ο λόγος των ημιτόνων ισούται με τον αντίστροφο λόγο των δεικτών και με τον λόγο των ταχυτήτων. Ποιοτικά, η ακτίνα πλησιάζει την κάθετο όταν περνά σε μέσο μικρότερης ταχύτητας και απομακρύνεται από αυτήν στην αντίθετη περίπτωση. Δύο ειδικές περιπτώσεις είναι η κάθετη πρόσπτωση, όπου η γωνία διάθλασης μηδενίζεται και το φως δεν αλλάζει διεύθυνση, και η περίπτωση ίσων δεικτών, όπου δεν υπάρχει διάθλαση. Ο νόμος είναι αντιστρέψιμος και θεμελιώνεται στην αρχή του Fermat, δηλαδή στη διαδρομή ελάχιστου χρόνου· όταν η γωνία πρόσπτωσης από πυκνότερο σε αραιότερο ξεπεράσει την ορική, δεν υπάρχει λύση και συμβαίνει ολική ανάκλαση.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 4 — Τι ονομάζουμε ολική ανάκλαση
Ερώτηση: Τι ονομάζουμε ολική ανάκλαση.
Απάντηση:
-
Ο ορισμός: ολική ανάκλαση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο το φως, προσπίπτοντας από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο με γωνία πρόσπτωσης μεγαλύτερη από την ορική, δεν διαθλάται καθόλου, αλλά ανακλάται εξ ολοκλήρου πίσω στο πρώτο μέσο.
Οι δύο απαραίτητες προϋποθέσεις: 1. Το φως πηγαίνει από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο (n₁ > n₂). 2. Η γωνία πρόσπτωσης είναι μεγαλύτερη από την ορική (θ₁ > θορ).
ΑΕΡΑΣ (n = 1) ───────────────────────────────── ╱ ╱ ╲ ← θ < θ : διάθλαση + ανάκλαση ╱ ╱ ╲ 1 ορ ● ● ● ● ● ╲ ╲ ╲ ← θ = θ : διάθλαση κατά 90° ╲ ╲ ╲ 1 ορ ΝΕΡΟ (n = 1,33) ← θ > θ : ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ 1 ορΓιατί ονομάζεται «ολική»: γιατί όλη η ενέργεια του φωτός επιστρέφει στο πρώτο μέσο. Στη συνήθη ανάκλαση ένα μέρος διαθλάται και χάνεται· εδώ τίποτα δεν περνά.
Η μαθηματική εξήγηση: από τον νόμο του Snell, ημθ₂ = (n₁/n₂)·ημθ₁. Επειδή n₁ > n₂, ο συντελεστής είναι > 1 — υπάρχει λοιπόν γωνία θορ για την οποία το ημθ₂ = 1 (θ₂ = 90°). Για μεγαλύτερες γωνίες πρόσπτωσης θα προέκυπτε ημθ₂ > 1, που είναι αδύνατο — άρα δεν υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα.
Οι εφαρμογές: · Οπτικές ίνες — το φως «παγιδεύεται» μέσα στον πυρήνα της ίνας και ταξιδεύει χιλιόμετρα με διαδοχικές ολικές ανακλάσεις, με ελάχιστες απώλειες. Η βάση των σύγχρονων τηλεπικοινωνιών. · Πρίσματα ολικής ανάκλασης σε κιάλια και περισκόπια — αντικαθιστούν τους καθρέφτες με 100% απόδοση (ο καλύτερος καθρέφτης ανακλά μόλις 95%, σελ. 196). · Η λάμψη του διαμαντιού — με θορ ≈ 24° το φως που μπαίνει στην πέτρα ανακλάται πολλές φορές πριν βγει, δίνοντας την περίφημη αστραφτερή εμφάνιση. · Η ενδοσκόπηση στην ιατρική. Η καθημερινή παρατήρηση: αν βρεθούμε κάτω από την επιφάνεια του νερού και κοιτάξουμε πλάγια προς τα πάνω, βλέπουμε την επιφάνεια σαν καθρέφτη — και όλο τον έξω κόσμο συμπιεσμένο σε έναν κώνο («παράθυρο του Snell»).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ολική ανάκλαση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο το φως, προσπίπτοντας από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο με γωνία πρόσπτωσης μεγαλύτερη από την ορική, δεν διαθλάται καθόλου αλλά ανακλάται εξ ολοκλήρου πίσω στο πρώτο μέσο. Απαιτούνται δύο προϋποθέσεις: το φως να πηγαίνει από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο και η γωνία πρόσπτωσης να ξεπερνά την ορική. Ονομάζεται ολική γιατί όλη η ενέργεια επιστρέφει στο πρώτο μέσο, ενώ στη συνήθη ανάκλαση ένα μέρος διαθλάται. Μαθηματικά, από τον νόμο του Snell το ημίτονο της γωνίας διάθλασης θα έπρεπε να ξεπεράσει τη μονάδα, πράγμα αδύνατο, οπότε δεν υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα. Οι εφαρμογές είναι πολλές: οι οπτικές ίνες, όπου το φως παγιδεύεται και ταξιδεύει χιλιόμετρα με ελάχιστες απώλειες, τα πρίσματα ολικής ανάκλασης στα κιάλια και στα περισκόπια, που έχουν απόδοση εκατό τοις εκατό, η λάμψη του διαμαντιού και η ενδοσκόπηση στην ιατρική.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 5 — Ποια γωνία ονομάζουμε ορική γωνία
Ερώτηση: Ποια γωνία ονομάζουμε "ορική γωνία".
Απάντηση:
-
Ο ορισμός: ορική γωνία ονομάζουμε τη γωνία πρόσπτωσης στο οπτικά πυκνότερο μέσο για την οποία η γωνία διάθλασης στο αραιότερο μέσο γίνεται ακριβώς 90° — δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα εφάπτεται στη διαχωριστική επιφάνεια.
Η περιγραφή του βιβλίου (σελ. 221): καθώς θα αυξάνουμε τη γωνία πρόσπτωσης στο νερό θα αυξάνεται και η γωνία διάθλασης στον αέρα πολύ περισσότερο… μέχρις ότου, για κάποια συγκεκριμένη γωνία πρόσπτωσης, η γωνία διάθλασης γίνει 90°.
Ο τύπος — από τον νόμο του Snell με θ₂ = 90° (ημ90° = 1):
n · ημθ = n · ημ90° = n 1 ορ 2 2 ⇒ ημθ = n / n ορ 2 1Οι χαρακτηριστικές τιμές:
νερό → αέρας: ημθ = 1/1,33 = 0,752 ⇒ θ ≈ 48,8° ορ ορ γυαλί → αέρας: ημθ = 1/1,52 = 0,658 ⇒ θ ≈ 41,1° ορ ορ διαμάντι → αέρας: ημθ = 1/2,42 = 0,413 ⇒ θ ≈ 24,4° ορ ορΑΕΡΑΣ ══════════════●═════════ ← η διαθλώμενη «ξαπλώνει» στην επιφάνεια ╱│ (θ₂ = 90°) θορ ╱ │ ╱ │ ΝΕΡΟ κάθετοςΟι τρεις περιοχές γωνιών:
θ < θ → διάθλαση (και μερική ανάκλαση) 1 ορ θ = θ → η διαθλώμενη ακτίνα ΞΑΠΛΩΝΕΙ στην επιφάνεια 1 ορ θ > θ → ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ, καμία διαθλώμενη ακτίνα 1 ορΗ κρίσιμη προϋπόθεση: η ορική γωνία υπάρχει μόνο όταν το φως πηγαίνει από πυκνότερο σε αραιότερο. Στην αντίθετη κατεύθυνση ο λόγος n₂/n₁ > 1 και η εξίσωση δεν έχει λύση — δεν ορίζεται ορική γωνία. Ο πρακτικός κανόνας: όσο μεγαλύτερη η διαφορά των δεικτών, τόσο μικρότερη η ορική γωνία — και τόσο ευκολότερα συμβαίνει ολική ανάκλαση. Γι' αυτό το διαμάντι αστράφτει τόσο πολύ. Η εφαρμογή στις οπτικές ίνες: επιλέγουμε πυρήνα με μεγαλύτερο δείκτη από το περίβλημα, ώστε η ορική γωνία να είναι μικρή και όλες οι ακτίνες που μπαίνουν υπό κατάλληλη γωνία να παγιδεύονται.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ορική γωνία ονομάζουμε τη γωνία πρόσπτωσης στο οπτικά πυκνότερο μέσο για την οποία η γωνία διάθλασης στο αραιότερο γίνεται ακριβώς ενενήντα μοίρες, δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα εφάπτεται στη διαχωριστική επιφάνεια. Από τον νόμο του Snell, θέτοντας τη γωνία διάθλασης ίση με ενενήντα μοίρες, προκύπτει ότι το ημίτονο της ορικής γωνίας ισούται με τον λόγο του δείκτη του αραιότερου προς τον δείκτη του πυκνότερου μέσου. Ενδεικτικά, από το νερό στον αέρα η ορική γωνία είναι περίπου σαράντα εννέα μοίρες, από το γυαλί περίπου σαράντα μία και από το διαμάντι περίπου είκοσι τέσσερις. Για γωνίες μικρότερες της ορικής έχουμε διάθλαση, για γωνία ίση με αυτήν η διαθλώμενη ξαπλώνει στην επιφάνεια και για μεγαλύτερες γωνίες συμβαίνει ολική ανάκλαση. Η ορική γωνία υπάρχει μόνο όταν το φως πηγαίνει από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο, ενώ όσο μεγαλύτερη η διαφορά των δεικτών τόσο μικρότερη είναι, γι' αυτό και το διαμάντι αστράφτει τόσο πολύ.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 6 — Πώς βλέπουμε μια διαφανή σταγόνα νερού
Ερώτηση: Το νερό είναι όπως ξέρουμε διαφανές και άχρωμο. Πώς λοιπόν βλέπουμε μια σταγόνα νερού που βρίσκεται πάνω σ' ένα τραπέζι;
Απάντηση:
-
Τη βλέπουμε επειδή αλλάζει την πορεία του φωτός — όχι επειδή το απορροφά ή το εκπέμπει.
Οι τρεις μηχανισμοί που τη φανερώνουν:
1. Η ανάκλαση στην επιφάνειά της Σε κάθε διαχωριστική επιφάνεια αέρα–νερού ένα μέρος του φωτός ανακλάται (σελ. 196). Επειδή η σταγόνα είναι καμπύλη, η ανάκλαση δίνει λαμπερά σημεία και αντανακλάσεις των γύρω αντικειμένων — τα χαρακτηριστικά γυαλιστερά σημάδια πάνω στη σταγόνα.
2. Η διάθλαση στην καμπύλη επιφάνεια Η σταγόνα λειτουργεί σαν μικρός συγκλίνων φακός. Το φως που τη διαπερνά κάμπτεται και: · η περιοχή κάτω από τη σταγόνα φαίνεται φωτεινότερη (το φως συγκεντρώνεται)· · η περίμετρός της φαίνεται σκοτεινή (εκεί το φως εκτρέπεται πλάγια και δεν φτάνει στο μάτι)· · το σχέδιο του τραπεζιού κάτω από τη σταγόνα φαίνεται μεγεθυσμένο και παραμορφωμένο.
3. Η ολική ανάκλαση στα πλάγια Στα σημεία όπου η επιφάνεια είναι πολύ λοξή ως προς τη γραμμή όρασης, η γωνία ξεπερνά την ορική (≈ 48,8°) και έχουμε ολική ανάκλαση — γι' αυτό τα άκρα της σταγόνας φαίνονται ιδιαίτερα έντονα.
φως ╲ │ ╱ ╲ │ ╱ ✦ ανάκλαση: λαμπερό σημείο ╲ │ ╱ ╭─╮ ╱ ╲ ← καμπύλη επιφάνεια = ΦΑΚΟΣ ════╧═════╧════ ░░ ░░ ← σκοτεινή περίμετρος ▓▓▓▓ ← φωτεινή κηλίδα (εστίαση)Η βαθύτερη αρχή: βλέπουμε ένα διαφανές σώμα μόνο αν ο δείκτης διάθλασής του διαφέρει από αυτόν του περιβάλλοντος. Ο δείκτης του νερού (1,33) διαφέρει σημαντικά από του αέρα (1,0003) — άρα η σταγόνα είναι ορατή. Το αντίστροφο πείραμα που το αποδεικνύει: αν βυθίσουμε ένα γυάλινο ραβδί μέσα σε λάδι με ίδιο δείκτη διάθλασης, το ραβδί εξαφανίζεται — γίνεται αόρατο, γιατί δεν υπάρχει πια διαχωριστική επιφάνεια που να εκτρέπει το φως. Η ίδια εξήγηση για το γυαλί: βλέπουμε ένα τζάμι μόνο από τις αντανακλάσεις του και από την παραμόρφωση που προκαλεί — αν είναι απόλυτα καθαρό και επίπεδο, συχνά δεν το αντιλαμβανόμαστε (και χτυπάμε πάνω του!). Η σύνδεση με τη σκόνη: μια σταγόνα με σκόνη ή αέρα μέσα φαίνεται πολύ πιο έντονα, γιατί κάθε εγκλεισμός δημιουργεί νέα διαχωριστική επιφάνεια.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Τη βλέπουμε επειδή αλλάζει την πορεία του φωτός και όχι επειδή το απορροφά ή το εκπέμπει. Τρεις μηχανισμοί τη φανερώνουν. Πρώτον, η ανάκλαση: σε κάθε διαχωριστική επιφάνεια αέρα και νερού ένα μέρος του φωτός ανακλάται, και επειδή η σταγόνα είναι καμπύλη εμφανίζονται λαμπερά σημεία και αντανακλάσεις. Δεύτερον, η διάθλαση: η σταγόνα λειτουργεί σαν μικρός συγκλίνων φακός, οπότε κάτω από αυτήν σχηματίζεται φωτεινή κηλίδα, η περίμετρός της φαίνεται σκοτεινή και το σχέδιο του τραπεζιού μεγεθυσμένο και παραμορφωμένο. Τρίτον, στα πλάγια, όπου η επιφάνεια είναι πολύ λοξή, η γωνία ξεπερνά την ορική και συμβαίνει ολική ανάκλαση. Η βαθύτερη αρχή είναι ότι βλέπουμε ένα διαφανές σώμα μόνο αν ο δείκτης διάθλασής του διαφέρει από εκείνον του περιβάλλοντος· απόδειξη είναι ότι ένα γυάλινο ραβδί βυθισμένο σε λάδι ίδιου δείκτη γίνεται αόρατο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 7 — Μπορεί το ηλιακό φως να υποστεί ολική ανάκλαση στη λίμνη
Ερώτηση: Υπάρχει περίπτωση το ηλιακό φως που πέφτει στην επιφάνεια μιας ήρεμης λίμνης να υποστεί ολική ανάκλαση;
Απάντηση:
-
Όχι — είναι αδύνατο.
Η αιτιολόγηση: η ολική ανάκλαση απαιτεί το φως να προσπίπτει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο. Εδώ όμως το ηλιακό φως έρχεται από τον αέρα (n = 1,0003) και προσπίπτει στο νερό (n = 1,33) — δηλαδή από το αραιότερο στο πυκνότερο.
☀ ήλιος ╲ ΑΕΡΑΣ n = 1,0003 (ΑΡΑΙΟΤΕΡΟ) ╲ ═════●═══════════════════════════ ╲ ΝΕΡΟ n = 1,33 (ΠΥΚΝΟΤΕΡΟ) ╲ διαθλώμενη — ΠΑΝΤΟΤΕ υπάρχειΗ μαθηματική απόδειξη: από τον νόμο του Snell,
ημθ = (n / n ) · ημθ = (1/1,33) · ημθ 2 αερ νερ 1 1 Επειδή ημθ ≤ 1 ⇒ ημθ ≤ 0,752 < 1 1 2Άρα πάντοτε υπάρχει λύση για το θ₂ — δηλαδή πάντοτε υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα. Η ολική ανάκλαση είναι αδύνατη. Το όριο: ακόμη και για την οριακή περίπτωση θ₁ = 90° (φως που «ξύνει» την επιφάνεια), η γωνία διάθλασης γίνεται θ₂ = 48,8° — δηλαδή ακριβώς η ορική γωνία νερού–αέρα. Όλο το φως που μπαίνει στο νερό συγκεντρώνεται μέσα σε έναν κώνο ημιγωνίας 48,8°.
Πότε ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ολική ανάκλαση στη λίμνη: όταν το φως ταξιδεύει από μέσα προς τα έξω, δηλαδή από το νερό προς τον αέρα. Ένας δύτης που κοιτάζει προς τα πάνω βλέπει: · μέσα στον κώνο των 48,8° — το «παράθυρο του Snell», όπου φαίνεται όλος ο έξω κόσμος συμπιεσμένος· · έξω από τον κώνο — την επιφάνεια σαν καθρέφτη, που ανακλά τον βυθό.
Τι συμβαίνει στην πράξη με το ηλιακό φως: ένα μέρος ανακλάται κανονικά (και δίνει τη λάμψη της λίμνης) και το υπόλοιπο διαθλάται και μπαίνει στο νερό. Το ποσοστό της ανάκλασης αυξάνεται όσο η πρόσπτωση γίνεται πιο πλάγια — γι' αυτό στο ηλιοβασίλεμα η λίμνη γίνεται σχεδόν καθρέφτης, χωρίς όμως να πρόκειται για ολική ανάκλαση (πάντα κάτι διαθλάται). Η προσοχή στην ορολογία: η ισχυρή ανάκλαση σε πλάγια πρόσπτωση δεν είναι ολική ανάκλαση. Η ολική ανάκλαση είναι φαινόμενο κατωφλίου (θ > θορ) και μόνο από πυκνότερο σε αραιότερο. Η λέξη «ήρεμης»: εξασφαλίζει επίπεδη επιφάνεια, ώστε να μιλάμε για σαφή γωνία πρόσπτωσης (πρβλ. κεφ. 8, άσκηση 12).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι, είναι αδύνατο. Η ολική ανάκλαση απαιτεί το φως να προσπίπτει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, ενώ εδώ το ηλιακό φως έρχεται από τον αέρα και προσπίπτει στο νερό, δηλαδή από το αραιότερο στο πυκνότερο. Από τον νόμο του Snell, το ημίτονο της γωνίας διάθλασης ισούται με τον λόγο των δεικτών επί το ημίτονο της γωνίας πρόσπτωσης, οπότε δεν ξεπερνά ποτέ το μηδέν κόμμα επτακόσια πενήντα δύο και υπάρχει πάντοτε διαθλώμενη ακτίνα· ακόμη και για οριακή πρόσπτωση ενενήντα μοιρών, η γωνία διάθλασης γίνεται περίπου σαράντα εννέα μοίρες, δηλαδή ακριβώς η ορική γωνία νερού αέρα. Ολική ανάκλαση συμβαίνει μόνο στην αντίστροφη πορεία, από το νερό προς τον αέρα, γι' αυτό ένας δύτης βλέπει τον έξω κόσμο συμπιεσμένο μέσα σε κώνο, ενώ έξω από αυτόν η επιφάνεια λειτουργεί σαν καθρέφτης. Στην πράξη, μέρος του ηλιακού φωτός ανακλάται κανονικά και το υπόλοιπο διαθλάται· η ισχυρή ανάκλαση στο ηλιοβασίλεμα δεν είναι ολική ανάκλαση.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 8 — Γωνία διάθλασης σε κάθετη πρόσπτωση
Ερώτηση: Πόση είναι η γωνία διάθλασης, όταν μια ακτίνα φωτός προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια δυο διαφανών μέσων, κάθετα;
Απάντηση:
-
Η γωνία διάθλασης είναι μηδέν (θ₂ = 0°) — το φως δεν αλλάζει διεύθυνση.
Η απόδειξη από τον νόμο του Snell:
n · ημθ = n · ημθ 1 1 2 2 Κάθετη πρόσπτωση: θ = 0° ⇒ ημθ = ημ0° = 0 1 1 ⇒ n · 0 = n · ημθ ⇒ ημθ = 0 ⇒ θ = 0° 1 2 2 2 2│ ακτίνα (κάθετη) │ ═════════●═══════════════ διαχωριστική επιφάνεια │ │ συνεχίζει ΕΥΘΕΙΑ ▼Τι ΑΛΛΑΖΕΙ και τι ΔΕΝ αλλάζει:
✘ ΔΕΝ αλλάζει: η διεύθυνση διάδοσης η συχνότητα (καθορίζεται από την πηγή) ✔ ΑΛΛΑΖΕΙ: η ταχύτητα υ = c/n το μήκος κύματος λ' = λ/nΤο σημαντικό συμπέρασμα: διάθλαση συμβαίνει και εδώ — αλλάζουν η ταχύτητα και το μήκος κύματος. Απλώς δεν υπάρχει αλλαγή διεύθυνσης, γιατί η γεωμετρία είναι συμμετρική.
Η εποπτική εξήγηση: η αλλαγή διεύθυνσης στη διάθλαση οφείλεται στο ότι το ένα άκρο του κυματικού μετώπου μπαίνει στο νέο μέσο πριν από το άλλο και επιβραδύνεται πρώτο — έτσι το μέτωπο στρίβει. Στην κάθετη πρόσπτωση όλο το μέτωπο μπαίνει ταυτόχρονα και επιβραδύνεται ομοιόμορφα — καμία στροφή.
ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ ΚΑΘΕΤΗ ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ ╲ ╲ ╲ ═══════════ ╲ ╲ ╲ ═══════════ ══╲══════ ═══════════ ╲╲╲ ← στρίβει ═══════════ ← δεν στρίβειΗ πρακτική σημασία: γι' αυτό ένα τζάμι παραθύρου που κοιτάμε κατά μέτωπο δεν παραμορφώνει την εικόνα, ενώ αν το κοιτάξουμε πλάγια εμφανίζεται μετατόπιση. Η ίδια αρχή στους φακούς: μια ακτίνα που περνά από το κέντρο ενός λεπτού φακού δεν εκτρέπεται — γιατί εκεί οι δύο επιφάνειες είναι πρακτικά παράλληλες και η ακτίνα τις συναντά κάθετα ως προς τον άξονα. Αυτή είναι μία από τις τρεις βασικές ακτίνες που χρησιμοποιούμε στα διαγράμματα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η γωνία διάθλασης είναι μηδέν, δηλαδή το φως συνεχίζει ευθεία χωρίς να αλλάξει διεύθυνση. Από τον νόμο του Snell, με μηδενική γωνία πρόσπτωσης το ημίτονό της μηδενίζεται, οπότε μηδενίζεται και το ημίτονο της γωνίας διάθλασης. Πρέπει όμως να τονιστεί ότι διάθλαση συμβαίνει και εδώ: αλλάζουν η ταχύτητα του φωτός, η οποία γίνεται ίση με την ταχύτητα στο κενό προς τον δείκτη, και το μήκος κύματος, το οποίο μικραίνει κατά τον ίδιο παράγοντα, ενώ η συχνότητα παραμένει σταθερή γιατί την καθορίζει η πηγή. Απλώς δεν υπάρχει αλλαγή διεύθυνσης λόγω συμμετρίας. Εποπτικά, η στροφή του φωτός οφείλεται στο ότι σε πλάγια πρόσπτωση το ένα άκρο του κυματικού μετώπου μπαίνει και επιβραδύνεται πρώτο, ενώ σε κάθετη πρόσπτωση όλο το μέτωπο μπαίνει ταυτόχρονα. Στην ίδια αρχή στηρίζεται και το ότι μια ακτίνα που περνά από το κέντρο λεπτού φακού δεν εκτρέπεται.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 9 — Γιατί τα βρεγμένα υφάσματα δείχνουν εντονότερα χρώματα
Ερώτηση: Είναι παρατηρημένο ότι τα υφάσματα, τα πλακάκια και εν γένει οι επιφάνειες πολλών σωμάτων όταν βραχούν αναδεικνύουν εντονότερα και καθαρότερα τα χρώματα. Πώς το εξηγείτε αυτό;
Απάντηση:
-
Η αιτία: το νερό γεμίζει τις μικροσκοπικές ανωμαλίες της επιφάνειας και μειώνει τη διάχυση στο ίδιο το επιφανειακό στρώμα. Έτσι περισσότερο φως εισχωρεί στο υλικό, «βάφεται» από τη χρωστική του και επιστρέφει κορεσμένο.
Η ανάλυση βήμα-βήμα: 1. Η στεγνή επιφάνεια είναι τραχιά. Ένα μεγάλο μέρος του φωτός διαχέεται αμέσως πάνω στην επιφάνεια, χωρίς να μπει στο υλικό — και επιστρέφει λευκό (δηλαδή με το χρώμα της πηγής, όχι του υλικού). 2. Αυτό το «λευκό» φως αναμειγνύεται με το χρωματισμένο φως που επιστρέφει από το εσωτερικό, και ξεπλένει το χρώμα — το κάνει ανοιχτότερο και λιγότερο κορεσμένο. 3. Το νερό γεμίζει τις κοιλότητες και σχηματίζει λεία επιφάνεια. Η επιφανειακή διάχυση μειώνεται δραστικά. 4. Επιπλέον, η μετάβαση γίνεται πιο ομαλή: αντί για το άλμα αέρας (1,0) → υλικό (1,5), έχουμε αέρας (1,0) → νερό (1,33) → υλικό (1,5). Η ενδιάμεση βαθμίδα μειώνει την ανάκλαση σε κάθε διεπιφάνεια. 5. Άρα περισσότερο φως μπαίνει στο υλικό, απορροφάται επιλεκτικά από τη χρωστική και επιστρέφει με έντονο χρώμα.
ΣΤΕΓΝΟ ΒΡΕΓΜΕΝΟ ↗↑↖ πολύ διάχυτο ╲ λίγη επιφανειακή ╱╲╱╲╱╲ «λευκό» φως ═══════ ανάκλαση ▓▓▓▓▓▓ υλικό ▓▓▓▓▓▓ ↕ ↕ ↕ περισσότερο φως ΜΠΑΙΝΕΙ χρώμα ΞΕΠΛΥΜΕΝΟ χρώμα ΕΝΤΟΝΟΤο δεύτερο φαινόμενο — η ολική ανάκλαση μέσα στο στρώμα νερού: μέρος του φωτός που επιστρέφει από το υλικό παγιδεύεται μέσα στο λεπτό υμένιο νερού με ολική ανάκλαση και ξαναμπαίνει στο υλικό, όπου απορροφάται ξανά επιλεκτικά. Αυτό ενισχύει ακόμη περισσότερο τον κορεσμό και κάνει το χρώμα σκουρότερο. Γιατί το βρεγμένο ύφασμα φαίνεται και πιο σκούρο: ακριβώς για τον ίδιο λόγο — λιγότερο «λευκό» φως επιστρέφει, περισσότερο απορροφάται. Οι καθημερινές επιβεβαιώσεις: τα βότσαλα στο ρυάκι φαίνονται πολύχρωμα και χάνουν το χρώμα τους μόλις στεγνώσουν· η άσφαλτος γίνεται μαύρη όταν βρέχει· το ξύλο «ζωντανεύει» με το λάδι ή το βερνίκι. Η τεχνική εφαρμογή: το βερνίκι και το γυαλιστικό λάδι κάνουν ακριβώς το ίδιο με το νερό — γεμίζουν τις ανωμαλίες και εντείνουν τα χρώματα. Οι ζωγράφοι το ονομάζουν «βρέξιμο» των χρωμάτων.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η αιτία είναι ότι το νερό γεμίζει τις μικροσκοπικές ανωμαλίες της επιφάνειας και μειώνει τη διάχυση στο επιφανειακό στρώμα. Σε στεγνή τραχιά επιφάνεια μεγάλο μέρος του φωτός διαχέεται αμέσως χωρίς να μπει στο υλικό και επιστρέφει με το χρώμα της πηγής, δηλαδή λευκό, ξεπλένοντας το χρώμα και κάνοντάς το ανοιχτότερο και λιγότερο κορεσμένο. Όταν η επιφάνεια βραχεί, γίνεται λεία και η επιφανειακή διάχυση μειώνεται δραστικά, ενώ επιπλέον η μετάβαση από τον αέρα στο υλικό γίνεται πιο ομαλή, μέσω του ενδιάμεσου δείκτη του νερού, οπότε μειώνεται και η ανάκλαση. Έτσι περισσότερο φως μπαίνει στο υλικό, απορροφάται επιλεκτικά από τη χρωστική και επιστρέφει με έντονο χρώμα. Δεύτερο φαινόμενο είναι ότι μέρος του φωτός παγιδεύεται με ολική ανάκλαση μέσα στο λεπτό υμένιο νερού και ξαναμπαίνει στο υλικό, ενισχύοντας τον κορεσμό. Την ίδια δουλειά κάνουν το βερνίκι και το λάδι στο ξύλο και στη ζωγραφική.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 10 — Γιατί τρεμοσβήνουν τα αστέρια και τι βλέπει ο αστροναύτης
Ερώτηση: Στην εξοχή τη νύχτα με αστροφεγγιά παρατηρούμε τα αστέρια να τρεμοσβήνουν. Πώς εξηγείται αυτό; Ένας αστροναύτης σε τροχιά γύρω από τη γη, θα διαπιστώσει το ίδιο ή όχι και γιατί;
Απάντηση:
-
Α. Γιατί τρεμοσβήνουν τα αστέρια (σπινθηρισμός) Η αιτία είναι η ατμόσφαιρα — και συγκεκριμένα οι τυχαίες, συνεχείς μεταβολές του δείκτη διάθλασής της.
★ αστέρι (πρακτικά ΣΗΜΕΙΑΚΗ πηγή, πολύ μακριά) │ │ ← το φως διασχίζει ΔΕΚΑΔΕΣ ΧΙΛΙΟΜΕΤΡΑ ατμόσφαιρας ~~~~~~~~~ στρώματα με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ πυκνότητα ~~~~~~~~~ και ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ που ΑΛΛΑΖΟΥΝ διαρκώς ~~~~~~~~~ 👁 → η ακτίνα εκτρέπεται ΤΥΧΑΙΑ κάθε στιγμήΟ μηχανισμός: η ατμόσφαιρα έχει τυρβώδεις κινήσεις — μάζες αέρα διαφορετικής θερμοκρασίας και πυκνότητας αναμειγνύονται συνεχώς. Κάθε τέτοια μάζα έχει ελαφρώς διαφορετικό δείκτη διάθλασης, οπότε λειτουργεί σαν μικρός, κινούμενος φακός. Η ακτίνα εκτρέπεται τυχαία, άλλοτε συγκεντρώνεται στο μάτι μας και άλλοτε διασκορπίζεται — έτσι η λαμπρότητα και ελαφρώς και η θέση και το χρώμα μεταβάλλονται πολλές φορές το δευτερόλεπτο. Γιατί οι πλανήτες ΔΕΝ τρεμοσβήνουν (τόσο): οι πλανήτες εμφανίζονται ως μικροί δίσκοι και όχι ως σημεία. Ο δίσκος είναι στην ουσία πολλά σημεία μαζί, που τρεμοσβήνουν ανεξάρτητα — και οι διακυμάνσεις αλληλοαναιρούνται κατά μέσο όρο. Είναι ο κλασικός τρόπος να ξεχωρίσει κανείς πλανήτη από αστέρι με γυμνό μάτι. Πότε είναι εντονότερο: κοντά στον ορίζοντα (η ακτίνα διασχίζει πολύ μεγαλύτερο πάχος ατμόσφαιρας) και σε νύχτες με ανέμους ή έντονη θερμική ανάμειξη.
Β. Ο αστροναύτης σε τροχιά: ΟΧΙ, δεν θα το διαπιστώσει. Η αιτιολόγηση: σε τροχιά δεν υπάρχει ατμόσφαιρα ανάμεσα στο αστέρι και στο μάτι του — το φως ταξιδεύει στο κενό με σταθερή ταχύτητα και χωρίς καμία εκτροπή. Τα αστέρια φαίνονται σταθερά και ακίνητα, ως αμετάβλητες φωτεινές κουκκίδες. Η μεγάλη τεχνολογική συνέπεια: αυτός είναι ο βασικότερος λόγος για τον οποίο κατασκευάστηκε το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble — για να ξεφύγει από την ατμοσφαιρική αναταραχή που θολώνει τις εικόνες. Το ίδιο επιδιώκουν και τα σύγχρονα επίγεια τηλεσκόπια με την προσαρμοστική οπτική, που διορθώνει την παραμόρφωση σε πραγματικό χρόνο με παραμορφώσιμα κάτοπτρα. Το ίδιο φαινόμενο στην επιφάνεια της Γης: το τρεμούλιασμα του τοπίου πάνω από ζεστή άσφαλτο ή πάνω από μια φωτιά — ίδια αιτία, μεγαλύτερη κλίμακα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Τα αστέρια τρεμοσβήνουν εξαιτίας της ατμόσφαιρας. Το φως τους, ερχόμενο από πρακτικά σημειακή και πολύ μακρινή πηγή, διασχίζει δεκάδες χιλιόμετρα ατμόσφαιρας, της οποίας τα στρώματα έχουν διαφορετική πυκνότητα και θερμοκρασία και βρίσκονται σε συνεχή τυρβώδη ανάμειξη· κάθε τέτοια μάζα αέρα έχει ελαφρώς διαφορετικό δείκτη διάθλασης και λειτουργεί σαν μικρός κινούμενος φακός, οπότε η ακτίνα εκτρέπεται τυχαία και η λαμπρότητα μεταβάλλεται πολλές φορές το δευτερόλεπτο. Οι πλανήτες δεν τρεμοσβήνουν το ίδιο, γιατί φαίνονται ως μικροί δίσκοι, δηλαδή ως πολλά σημεία που τρεμοσβήνουν ανεξάρτητα και οι διακυμάνσεις αλληλοαναιρούνται. Το φαινόμενο είναι εντονότερο κοντά στον ορίζοντα, όπου το φως διασχίζει μεγαλύτερο πάχος ατμόσφαιρας. Ο αστροναύτης σε τροχιά δεν θα το διαπιστώσει, γιατί δεν μεσολαβεί ατμόσφαιρα και το φως ταξιδεύει στο κενό χωρίς εκτροπή· ακριβώς γι' αυτό κατασκευάστηκε το διαστημικό τηλεσκόπιο, ενώ τα επίγεια χρησιμοποιούν προσαρμοστική οπτική.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 11 — Η διαδρομή της χελώνας και η αναλογία με τη διάθλαση
Ερώτηση: Θεωρήστε ότι στη θέση Π βρίσκεται μια χελώνα καρέτα-καρέτα στην αμμουδιά και επιθυμεί να φτάσει στο σημείο Φ στη θάλασσα όπου έχει τη φωλιά της στο συντομότερο χρόνο. Ποιά από τις εικονιζόμενες διαδρομές θα επιλέξει αν η κίνησή της στην άμμο είναι πολύ πιο αργή από την κίνησή της στο νερό; Βλέπετε στην περίπτωση αυτή κάποιες ομοιότητες με τη διάθλαση του φωτός; Σχολιάστε τις. Τι συμπέρασμα βγάζετε;
Απάντηση:
-
Ποια διαδρομή θα επιλέξει: όχι την ευθεία γραμμή, αλλά μια τεθλασμένη που μικραίνει τη διαδρομή στην άμμο (όπου είναι αργή) και μεγαλώνει τη διαδρομή στο νερό (όπου είναι γρήγορη). Θα κατευθυνθεί δηλαδή προς την ακτή σχεδόν κάθετα και μετά θα «στρίψει» μέσα στο νερό προς τη φωλιά της.
Π (χελώνα) │╲ ΑΜΜΟΣ │ ╲ ← η ευθεία (πιο σύντομη σε ΜΗΚΟΣ, (αργή) │ ╲ αλλά πιο ΑΡΓΗ σε χρόνο) ═══════════●═══╲══════════ ακτή ΝΕΡΟ ╲ ╲ (γρήγορη) ╲ ╲ ╲ ╲ ╲ Φ ╲ η ΒΕΛΤΙΣΤΗ διαδρομή «σπάει» στην ακτήΤο κριτήριο: η χελώνα ελαχιστοποιεί τον ΧΡΟΝΟ, όχι το ΜΗΚΟΣ. Ένα επιπλέον μέτρο στο νερό «κοστίζει» πολύ λιγότερο χρόνο από ένα μέτρο στην άμμο — άρα συμφέρει να ανταλλάξει διαδρομή στην άμμο με διαδρομή στο νερό.
Η ομοιότητα με τη διάθλαση: ακριβώς την ίδια συμπεριφορά έχει το φως. Περνώντας από ένα μέσο σε άλλο με διαφορετική ταχύτητα, σπάει την πορεία του στη διαχωριστική επιφάνεια, ώστε ο χρόνος διαδρομής να είναι ο ελάχιστος.
ΧΕΛΩΝΑ ΦΩΣ ────────────────────────────────────────────────── άμμος (αργή) ↔ πυκνότερο μέσο (μικρή υ) νερό (γρήγορη) ↔ αραιότερο μέσο (μεγάλη υ) «σπάει» στην ακτή ↔ διαθλάται στη διαχωριστική ελάχιστος ΧΡΟΝΟΣ ↔ ΑΡΧΗ ΤΟΥ FERMATΗ αρχή του Fermat: το φως ακολουθεί, ανάμεσα σε δύο σημεία, τη διαδρομή για την οποία ο χρόνος είναι ελάχιστος. Από αυτήν προκύπτει μαθηματικά ο νόμος του Snell — και μάλιστα και ο νόμος της ανάκλασης.
Το συμπέρασμα: ο νόμος του Snell δεν είναι αυθαίρετος κανόνας. Είναι η γεωμετρική έκφραση μιας βαθύτερης αρχής βελτιστοποίησης — της ελαχιστοποίησης του χρόνου. Και η ίδια αρχή περιγράφει οποιοδήποτε κινούμενο που περνά ανάμεσα σε δύο περιοχές διαφορετικής ταχύτητας. Το κλασικό ανάλογο του ναυαγοσώστη: ένας ναυαγοσώστης που τρέχει στην άμμο και μετά κολυμπά, για να φτάσει γρηγορότερα σε έναν κολυμβητή, ακολουθεί ακριβώς την ίδια τεθλασμένη — τρέχει περισσότερο στην άμμο (όπου είναι γρήγορος) και κολυμπά λιγότερο (όπου είναι αργός). Προσοχή: εδώ οι ταχύτητες είναι αντίστροφες από της χελώνας, άρα και η κάμψη αντίστροφη. Η ουσία της αναλογίας: κάμπτεται πάντοτε προς την πλευρά όπου η κίνηση είναι αργή — δηλαδή περνάει λιγότερο χρόνο στο «δύσκολο» μέσο.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η χελώνα δεν θα επιλέξει την ευθεία γραμμή, αλλά μια τεθλασμένη που μικραίνει τη διαδρομή στην άμμο, όπου κινείται αργά, και μεγαλώνει τη διαδρομή στο νερό, όπου κινείται γρήγορα· θα κατευθυνθεί δηλαδή σχεδόν κάθετα προς την ακτή και θα στρίψει μέσα στο νερό προς τη φωλιά της. Το κριτήριο είναι η ελαχιστοποίηση του χρόνου και όχι του μήκους, αφού ένα επιπλέον μέτρο στο νερό κοστίζει πολύ λιγότερο χρόνο από ένα μέτρο στην άμμο. Ακριβώς την ίδια συμπεριφορά έχει και το φως: περνώντας σε μέσο διαφορετικής ταχύτητας σπάει την πορεία του στη διαχωριστική επιφάνεια, ώστε ο χρόνος διαδρομής να είναι ελάχιστος. Πρόκειται για την αρχή του Fermat, από την οποία προκύπτει μαθηματικά ο νόμος του Snell αλλά και ο νόμος της ανάκλασης. Το συμπέρασμα είναι ότι ο νόμος του Snell δεν είναι αυθαίρετος κανόνας αλλά η γεωμετρική έκφραση μιας αρχής βελτιστοποίησης, η οποία περιγράφει κάθε κινούμενο που περνά ανάμεσα σε περιοχές διαφορετικής ταχύτητας, όπως και ο ναυαγοσώστης που τρέχει στην άμμο και μετά κολυμπά.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 12 — Συμπλήρωση κενών για τα είδη των φακών και τα είδωλά τους
Ερώτηση: Τους φακούς τους διακρίνουμε σε ............ και σε ............ Ένα αντικείμενο που το παρατηρούμε μέσα από ένα συγκλίνοντα φακό μπορεί να εμφανίζεται ............ και ανεστραμμένο ή όρθιο και ............ ανάλογα αν το αντικείμενο βρίσκεται ............ ή ............ στον φακό. Αντίθετα ένα αντικείμενο που το παρατηρούμε μέσα από αποκλίνοντα φακό εμφανίζεται πάντα ............ και ............ από ότι αν το παρατηρούσαμε με γυμνό μάτι. Συμπληρώστε τα κενά.
Απάντηση:
-
Το συμπληρωμένο κείμενο:
«Τους φακούς τους διακρίνουμε σε ΣΥΓΚΛΙΝΟΝΤΕΣ και σε ΑΠΟΚΛΙΝΟΝΤΕΣ. Ένα αντικείμενο που το παρατηρούμε μέσα από ένα συγκλίνοντα φακό μπορεί να εμφανίζεται ΜΕΓΕΘΥΜΕΝΟ (ή σμικρυμένο) και ανεστραμμένο ή όρθιο και ΜΕΓΕΘΥΜΕΝΟ ανάλογα αν το αντικείμενο βρίσκεται ΕΞΩ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΣΤΙΑ ή ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΗΝ ΕΣΤΙΑ ΚΑΙ στον φακό. Αντίθετα ένα αντικείμενο που το παρατηρούμε μέσα από αποκλίνοντα φακό εμφανίζεται πάντα ΟΡΘΟ και ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ από ότι αν το παρατηρούσαμε με γυμνό μάτι.»
Ο πλήρης πίνακας των ειδώλων του συγκλίνοντος φακού:
ΘΕΣΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΕΙΔΩΛΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ───────────────────────────────────────────────────────────────── s > 2f πραγματικό, ανεστραμμένο, φωτογραφική ΣΜΙΚΡΥΜΕΝΟ μηχανή, μάτι s = 2f πραγματικό, ανεστραμμένο, ΙΣΟ φωτοτυπικό 1:1 f < s < 2f πραγματικό, ανεστραμμένο, προβολέας ΜΕΓΕΘΥΜΕΝΟ s = f στο ΑΠΕΙΡΟ (δεν σχηματίζεται) s < f ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ, ΟΡΘΟ, μεγεθυντικός ΜΕΓΕΘΥΜΕΝΟ φακόςΟ αποκλίνων φακός δίνει πάντοτε, για οποιαδήποτε θέση του αντικειμένου: · φανταστικό είδωλο, · ορθό, · σμικρυμένο, · στην ίδια πλευρά με το αντικείμενο.
Η αιτιολόγηση με τους τύπους:
1/s + 1/s' = 1/f · m = − s'/s ΣΥΓΚΛΙΝΩΝ (f > 0), s > f: s' > 0 → πραγματικό, m < 0 → ανεστραμμένο ΣΥΓΚΛΙΝΩΝ (f > 0), s < f: s' < 0 → φανταστικό, m > 0 → ορθό ΑΠΟΚΛΙΝΩΝ (f < 0), κάθε s: s' < 0 → φανταστικό, 0 < m < 1Η γεωμετρική διάκριση των δύο ειδών: ο συγκλίνων είναι παχύτερος στο κέντρο (αμφίκυρτος, επιπεδόκυρτος, μηνίσκος συγκλίνων)· ο αποκλίνων είναι λεπτότερος στο κέντρο (αμφίκοιλος, επιπεδόκοιλος, μηνίσκος αποκλίνων). Η ορολογία των διοπτριών (σελ. 235): τους συγκλίνοντες φακούς τους λέμε και θετικούς ενώ τους αποκλίνοντες αρνητικούς — γιατί έχουν P = 1/f θετικό και αρνητικό αντίστοιχα. Το παράδειγμα του βιβλίου (σελ. 236): γραμματόσημο 10 cm μπροστά από συγκλίνοντα φακό f = 15 cm → s' = −30 cm, m = +3 — φανταστικό, ορθό, τριπλάσιο: Σ' αυτή την περίπτωση ο φακός χρησιμοποιείται απλώς ως μεγεθυντικός.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Το συμπληρωμένο κείμενο έχει ως εξής: τους φακούς τους διακρίνουμε σε συγκλίνοντες και σε αποκλίνοντες. Ένα αντικείμενο μέσα από συγκλίνοντα φακό μπορεί να εμφανίζεται μεγεθυσμένο ή σμικρυμένο και ανεστραμμένο, ή όρθιο και μεγεθυσμένο, ανάλογα με το αν βρίσκεται έξω από την εστία ή ανάμεσα στην εστία και στον φακό. Αντίθετα, μέσα από αποκλίνοντα φακό εμφανίζεται πάντοτε ορθό και μικρότερο. Αναλυτικά, με συγκλίνοντα φακό, όταν το αντικείμενο βρίσκεται πέρα από τη διπλάσια εστιακή απόσταση το είδωλο είναι πραγματικό, ανεστραμμένο και σμικρυμένο, όπως στη φωτογραφική μηχανή και στο μάτι· ανάμεσα στην απλή και στη διπλάσια εστιακή απόσταση είναι πραγματικό, ανεστραμμένο και μεγεθυσμένο, όπως στον προβολέα· και μέσα από την εστία είναι φανταστικό, ορθό και μεγεθυσμένο, όπως στον μεγεθυντικό φακό. Οι συγκλίνοντες ονομάζονται και θετικοί και οι αποκλίνοντες αρνητικοί, ανάλογα με το πρόσημο της διαθλαστικής τους ισχύος.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 13 — Τα σφάλματα των φακών και πού οφείλονται
Ερώτηση: Αναφέρατε ποια είναι τα σφάλματα των φακών και που οφείλονται.
Απάντηση:
-
Τα σφάλματα (εκτροπές) των φακών είναι οι αποκλίσεις από την ιδανική συμπεριφορά που προβλέπει η θεωρία των λεπτών φακών, στην οποία υποθέτουμε παραξονικές ακτίνες και μονοχρωματικό φως.
1. Σφαιρική εκτροπή Πού οφείλεται: στο ότι οι επιφάνειες του φακού είναι σφαιρικές. Οι ακτίνες που περνούν από την περιφέρεια εστιάζουν πιο κοντά στον φακό από εκείνες που περνούν κοντά στον άξονα. Αποτέλεσμα: η εικόνα είναι θολή — δεν υπάρχει ένα σημείο εστίασης. Διόρθωση: διάφραγμα (κόβει τις περιφερειακές ακτίνες), ασφαιρικοί φακοί, συνδυασμός φακών.
═══►╲ οι περιφερειακές ακτίνες ═══► ╲╲ εστιάζουν ΠΙΟ ΚΟΝΤΑ ═══► ╲│╲ ═══► ●│● ← δύο διαφορετικές «εστίες» ═══► ╱│╱ ═══► ╱╱ ═══►╱2. Χρωματική εκτροπή Πού οφείλεται: στο ότι ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από το χρώμα (διασκεδασμός, κεφ. 10). Το ιώδες διαθλάται περισσότερο από το κόκκινο, άρα εστιάζει πιο κοντά. Αποτέλεσμα: χρωματικές άλως γύρω από τα περιγράμματα — μοβ και κόκκινες γραμμές. Διόρθωση: αχρωματικοί φακοί — συνδυασμός συγκλίνοντος και αποκλίνοντος από διαφορετικά είδη γυαλιού, ώστε οι εκτροπές να αλληλοαναιρούνται.
3. Αστιγματισμός Πού οφείλεται: σε δέσμες που φτάνουν λοξά ως προς τον άξονα. Οι ακτίνες σε δύο κάθετα επίπεδα εστιάζουν σε διαφορετικές αποστάσεις. Αποτέλεσμα: ένα σημείο απεικονίζεται ως γραμμή.
4. Κόμα Πού οφείλεται: επίσης σε λοξές δέσμες. Το είδωλο ενός σημείου παίρνει σχήμα κομήτη με ουρά.
5. Παραμόρφωση Πού οφείλεται: στο ότι η μεγέθυνση δεν είναι ίδια στο κέντρο και στην περιφέρεια του πεδίου. Αποτέλεσμα: παραμόρφωση βαρελιού (barrel) ή μαξιλαριού (pincushion) — ευθείες γραμμές φαίνονται κυρτές.
6. Καμπύλωση του πεδίου Πού οφείλεται: στο ότι η επιφάνεια στην οποία σχηματίζεται καθαρό είδωλο δεν είναι επίπεδη αλλά καμπύλη. Αποτέλεσμα: αν εστιάσουμε στο κέντρο, τα άκρα είναι θολά — και αντίστροφα.
Η κοινή αιτία όλων: η απλοποιημένη θεωρία ισχύει μόνο για λεπτούς φακούς, παραξονικές ακτίνες και μονοχρωματικό φως. Κάθε απόκλιση από αυτές τις παραδοχές γεννά και ένα σφάλμα. Η πρακτική αντιμετώπιση: οι σύγχρονοι φωτογραφικοί φακοί αποτελούνται από 10 έως 20 επιμέρους φακούς διαφορετικών υλικών και σχημάτων, ώστε τα σφάλματα να αλληλοαναιρούνται.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Τα σφάλματα ή εκτροπές των φακών είναι οι αποκλίσεις από την ιδανική συμπεριφορά που προβλέπει η θεωρία των λεπτών φακών. Η σφαιρική εκτροπή οφείλεται στο ότι οι επιφάνειες είναι σφαιρικές, οπότε οι περιφερειακές ακτίνες εστιάζουν πιο κοντά από τις παραξονικές και η εικόνα θολώνει· διορθώνεται με διάφραγμα ή με ασφαιρικούς φακούς. Η χρωματική εκτροπή οφείλεται στο ότι ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από το χρώμα, οπότε το ιώδες εστιάζει πιο κοντά από το κόκκινο και εμφανίζονται χρωματικές άλως· διορθώνεται με αχρωματικούς φακούς, δηλαδή με συνδυασμό συγκλίνοντος και αποκλίνοντος από διαφορετικά γυαλιά. Ο αστιγματισμός και το κόμα οφείλονται σε λοξές δέσμες: στο πρώτο ένα σημείο απεικονίζεται ως γραμμή και στο δεύτερο παίρνει σχήμα κομήτη. Η παραμόρφωση οφείλεται στη διαφορετική μεγέθυνση κέντρου και περιφέρειας, οπότε οι ευθείες φαίνονται κυρτές, ενώ η καμπύλωση του πεδίου στο ότι η επιφάνεια καθαρού ειδώλου δεν είναι επίπεδη. Κοινή αιτία όλων είναι ότι η απλοποιημένη θεωρία ισχύει μόνο για λεπτούς φακούς, παραξονικές ακτίνες και μονοχρωματικό φως.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 14 — Το μέγεθος των ψαριών στο ενυδρείο
Ερώτηση: Έχετε ένα ενυδρείο και παρατηρείται διάφορα τροπικά ψαράκια μέσα σ' αυτό. Το μέγεθός τους είναι: α) Ίδιο με το πραγματικό; β) Μεγαλύτερο από το πραγματικό; γ) Μικρότερο από το πραγματικό;
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: β) Μεγαλύτερο από το πραγματικό.
Η αιτιολόγηση: το φως που φεύγει από το ψάρι περνά από το νερό (n = 1,33) στο γυαλί και μετά στον αέρα (n = 1). Περνώντας από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο, οι ακτίνες απομακρύνονται από την κάθετο (σελ. 218) — δηλαδή αποκλίνουν περισσότερο.
ΝΕΡΟ │ ΑΕΡΑΣ │ 🐠 ────────╲ │ ╲ (πραγματικό) │ ╲ ╲ │ ╲ 🐠 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈│ ╲ 👁 (είδωλο — │ ╲ πιο ΚΟΝΤΑ │ και ΜΕΓΑΛΟ) │Το αποτέλεσμα: το μάτι μας προεκτείνει τις αποκλίνουσες ακτίνες προς τα πίσω και «τοποθετεί» το ψάρι πιο κοντά στο τζάμι απ' ό,τι είναι πραγματικά. Επειδή όμως η γωνιακή διάμετρος που φτάνει στο μάτι είναι ίδια, ένα αντικείμενο που φαίνεται πιο κοντά ερμηνεύεται από τον εγκέφαλο ως μεγαλύτερο.
Ο συντελεστής: για κάθετη παρατήρηση μέσα από επίπεδο τζάμι, το φαινόμενο βάθος είναι:
φαινόμενο βάθος = πραγματικό βάθος / n = πραγματικό / 1,33 ⇒ το ψάρι φαίνεται στα 3/4 της πραγματικής απόστασης ⇒ και άρα περίπου 4/3 ≈ 1,33 φορές ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΗ καθημερινή επιβεβαίωση: το πόδι μας μέσα στην πισίνα φαίνεται κοντύτερο και παχύτερο· ένα κέρμα στον πάτο ενός ποτηριού με νερό φαίνεται ψηλότερα και μεγαλύτερο· και το καλαμάκι φαίνεται σπασμένο (Δραστηριότητα 9.1, σελ. 218). Η επιπλέον συνεισφορά του καμπύλου τζαμιού: αν το ενυδρείο είναι κυλινδρικό ή σφαιρικό, το νερό λειτουργεί και σαν συγκλίνων φακός, οπότε η μεγέθυνση είναι ακόμη μεγαλύτερη — και εξαρτάται από τη θέση του ψαριού. Η προσοχή στην ερμηνεία: δεν πρόκειται για οπτική απάτη του εγκεφάλου, αλλά για πραγματικό οπτικό φαινόμενο — αν φωτογραφίσουμε το ενυδρείο, το ψάρι θα βγει πράγματι μεγαλύτερο στη φωτογραφία. Το ίδιο ισχύει και για τον δύτη: με μάσκα, ο δύτης βλέπει τα πάντα 33% μεγαλύτερα και 25% πιο κοντά — γι' αυτό οι δύτες μαθαίνουν να διορθώνουν νοερά τις αποστάσεις που εκτιμούν.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση β, δηλαδή τα ψάρια φαίνονται μεγαλύτερα από το πραγματικό. Το φως που φεύγει από το ψάρι περνά από το νερό στο γυαλί και μετά στον αέρα, δηλαδή από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο, οπότε οι ακτίνες απομακρύνονται από την κάθετο και αποκλίνουν περισσότερο. Το μάτι προεκτείνει τις αποκλίνουσες ακτίνες προς τα πίσω και τοποθετεί το ψάρι πιο κοντά στο τζάμι απ' ό,τι είναι πραγματικά· επειδή όμως η γωνιακή διάμετρος παραμένει ίδια, το αντικείμενο ερμηνεύεται ως μεγαλύτερο. Ποσοτικά, για κάθετη παρατήρηση μέσα από επίπεδο τζάμι το φαινόμενο βάθος ισούται με το πραγματικό διά τον δείκτη διάθλασης, οπότε το ψάρι φαίνεται στα τρία τέταρτα της απόστασης και περίπου ένα κόμμα τριάντα τρία φορές μεγαλύτερο. Το ίδιο συμβαίνει με το πόδι μας στην πισίνα και με το κέρμα στον πάτο του ποτηριού· αν το ενυδρείο είναι κυλινδρικό, το νερό λειτουργεί και ως συγκλίνων φακός και η μεγέθυνση είναι ακόμη μεγαλύτερη.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 15 — Απόδειξη ότι τα πραγματικά είδωλα φακών είναι ανεστραμμένα
Ερώτηση: Δείξτε ότι τα πραγματικά είδωλα που σχηματίζονται από λεπτούς φακούς είναι πάντα ανεστραμμένα ενώ τα φανταστικά είναι πάντα ορθά εφόσον το αντικείμενο είναι πραγματικό.
Απάντηση:
-
Η απόδειξη στηρίζεται αποκλειστικά στον τύπο της μεγέθυνσης:
m = − s' / sΟι συμβάσεις προσήμων για λεπτούς φακούς:
s > 0 πάντοτε, όταν το αντικείμενο είναι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ (βρίσκεται στην πλευρά από την οποία έρχεται το φως) s' > 0 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ είδωλο (άλλη πλευρά του φακού) s' < 0 ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ είδωλο (ίδια πλευρά με το αντικείμενο) m > 0 ΟΡΘΟ είδωλο m < 0 ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ είδωλοΑ. Πραγματικό είδωλο ⇒ ανεστραμμένο
s' > 0 και s > 0 ⇒ s'/s > 0 ⇒ m = − s'/s < 0 ⇒ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ✔Β. Φανταστικό είδωλο ⇒ ορθό
s' < 0 και s > 0 ⇒ s'/s < 0 ⇒ m = − s'/s > 0 ⇒ ΟΡΘΟ ✔Η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Το κρίσιμο σημείο είναι η προϋπόθεση s > 0, δηλαδή ότι το αντικείμενο είναι πραγματικό — ακριβώς αυτό που ρητά θέτει η εκφώνηση.
Η γεωμετρική ερμηνεία: για να σχηματιστεί πραγματικό είδωλο, οι ακτίνες πρέπει να συγκλίνουν και να τμηθούν πραγματικά πέρα από τον φακό. Καθώς τέμνονται, η ακτίνα που ήρθε από την κορυφή του αντικειμένου καταλήγει κάτω από τον άξονα και το αντίστροφο — άρα αναστροφή.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΕΙΔΩΛΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΕΙΔΩΛΟ ↑ ↑ │╲ ╱ ↑ │╲ ──┼─╲────────╱─── ────┼──┼─╲─────── │ ╲ ╱ │ │ ╲ ╲ ╱ ↓ είδωλο ╲ ╲ ╱ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΟΡΘΟ (προεκτάσεις)Πότε «σπάει» ο κανόνας: μόνο αν το αντικείμενο είναι φανταστικό (s < 0) — κατάσταση που εμφανίζεται σε συστήματα πολλών φακών, όπου το είδωλο του ενός λειτουργεί ως αντικείμενο του επόμενου. Η εκφώνηση όμως το αποκλείει ρητά. Η αντιστοιχία με τα κάτοπτρα: εκεί ισχύει ο ίδιος τύπος m = −s'/s και το ίδιο συμπέρασμα — πραγματικό είδωλο σημαίνει ανεστραμμένο, φανταστικό σημαίνει ορθό (κεφ. 8). Η πρακτική χρησιμότητα του κανόνα: αρκεί να δούμε ένα είδωλο για να ξέρουμε αμέσως το είδος του — αν φαίνεται ορθό, είναι οπωσδήποτε φανταστικό και δεν μπορεί να προβληθεί σε οθόνη (άσκηση 16).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η απόδειξη στηρίζεται στον τύπο της μεγέθυνσης, η οποία ισούται με το αντίθετο του λόγου της απόστασης ειδώλου προς την απόσταση αντικειμένου. Για πραγματικό αντικείμενο η απόσταση του αντικειμένου είναι θετική. Αν το είδωλο είναι πραγματικό, η απόστασή του είναι επίσης θετική, οπότε ο λόγος είναι θετικός και η μεγέθυνση αρνητική, δηλαδή το είδωλο ανεστραμμένο. Αν το είδωλο είναι φανταστικό, η απόστασή του είναι αρνητική, οπότε ο λόγος είναι αρνητικός και η μεγέθυνση θετική, δηλαδή το είδωλο ορθό. Γεωμετρικά, για να σχηματιστεί πραγματικό είδωλο οι ακτίνες πρέπει να συγκλίνουν και να τμηθούν πέρα από τον φακό, οπότε η ακτίνα από την κορυφή του αντικειμένου καταλήγει κάτω από τον άξονα και προκύπτει αναστροφή. Ο κανόνας σπάει μόνο αν το αντικείμενο είναι φανταστικό, περίπτωση που εμφανίζεται σε συστήματα πολλών φακών και την οποία η εκφώνηση αποκλείει ρητά. Το ίδιο συμπέρασμα ισχύει και για τα κάτοπτρα, αφού χρησιμοποιείται ο ίδιος τύπος μεγέθυνσης.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 16 — Ποια είδωλα προβάλλονται σε οθόνη και ποια φωτογραφίζονται
Ερώτηση: Μπορούν τα πραγματικά είδωλα να προβληθούν σε οθόνη; Τα φανταστικά μπορούν; Μπορούμε να τα φωτογραφήσουμε και τα δύο;
Απάντηση:
-
1. Τα πραγματικά είδωλα προβάλλονται σε οθόνη: ΝΑΙ. Στο πραγματικό είδωλο οι φωτεινές ακτίνες πράγματι συγκλίνουν και τέμνονται σε συγκεκριμένο σημείο του χώρου. Αν τοποθετήσουμε εκεί μια οθόνη, το φως πέφτει πάνω της, διαχέεται και το είδωλο γίνεται ορατό από όλους (κεφ. 8, άσκηση 17).
2. Τα φανταστικά είδωλα προβάλλονται σε οθόνη: ΟΧΙ. Στο φανταστικό είδωλο οι ακτίνες αποκλίνουν μετά τον φακό και δεν τέμνονται ποτέ πραγματικά. Το είδωλο σχηματίζεται από τις νοητές προεκτάσεις τους προς τα πίσω. Στη θέση του δεν υπάρχει φως — αν βάλουμε οθόνη, τίποτα δεν αποτυπώνεται.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ╲ ╱ ┈┈┈┈╲ ╱ ╲ ╱ ┈┈┈┈┈╲ ╱ ╲ ╱ ← εδώ ╲╱ ● ← ΕΔΩ πέφτει φως δεν υπάρχει φως, ▓ οθόνη ✔ μόνο ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ ✘3. Μπορούμε να τα φωτογραφήσουμε και τα δύο: ΝΑΙ. Η εξήγηση: η φωτογραφική μηχανή δεν τοποθετείται στη θέση του ειδώλου — έχει δικό της φακό, ο οποίος δέχεται τις ακτίνες που φτάνουν σε αυτόν και σχηματίζει δικό του πραγματικό είδωλο στο φιλμ (ή στον αισθητήρα).
φανταστικό είδωλο ┈┈┈► αποκλίνουσες ακτίνες ►►► φακός μηχανής ↓ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ είδωλο στο φιλμ ✔Η βαθύτερη αρχή: ο φακός της μηχανής κάνει ακριβώς ό,τι κάνει και το μάτι μας. Αφού μπορούμε να δούμε ένα φανταστικό είδωλο (π.χ. στον καθρέφτη ή στον μεγεθυντικό φακό), μπορούμε και να το φωτογραφήσουμε — η αμφιβληστροειδής και το φιλμ λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο. Η καθημερινή απόδειξη: φωτογραφίζουμε συνεχώς είδωλα σε καθρέφτες — και το είδωλο του επίπεδου κατόπτρου είναι πάντοτε φανταστικό. Η σύνοψη:
ΕΙΔΟΣ οθόνη μάτι φωτογραφική μηχανή ──────────────────────────────────────────────── Πραγματικό ✔ ✔ ✔ Φανταστικό ✘ ✔ ✔Η προσοχή στη διατύπωση «να προβληθούν»: σημαίνει να αποτυπωθούν πάνω σε παθητική επιφάνεια, χωρίς άλλο οπτικό στοιχείο. Αυτό απαιτεί πραγματική συγκέντρωση φωτός. Η αντιστοιχία με το κεφάλαιο 8: το ίδιο ισχύει και για τα κάτοπτρα — το είδωλο του επίπεδου και του κυρτού κατόπτρου είναι φανταστικό και δεν προβάλλεται· του κοίλου μπορεί να είναι πραγματικό και προβάλλεται.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Τα πραγματικά είδωλα μπορούν να προβληθούν σε οθόνη, γιατί οι φωτεινές ακτίνες πράγματι συγκλίνουν και τέμνονται σε συγκεκριμένο σημείο του χώρου, οπότε αν τοποθετήσουμε εκεί οθόνη το φως πέφτει πάνω της και διαχέεται. Τα φανταστικά δεν μπορούν, γιατί οι ακτίνες αποκλίνουν και δεν τέμνονται ποτέ πραγματικά· το είδωλο σχηματίζεται από τις νοητές προεκτάσεις τους και στη θέση του δεν υπάρχει φως. Και τα δύο όμως μπορούν να φωτογραφηθούν, γιατί η φωτογραφική μηχανή δεν τοποθετείται στη θέση του ειδώλου αλλά έχει δικό της φακό, ο οποίος δέχεται τις ακτίνες και σχηματίζει δικό του πραγματικό είδωλο στο φιλμ ή στον αισθητήρα, ακριβώς όπως κάνει και το μάτι μας. Απόδειξη είναι ότι φωτογραφίζουμε συνεχώς είδωλα σε καθρέφτες, τα οποία είναι πάντοτε φανταστικά. Η διατύπωση να προβληθούν σημαίνει να αποτυπωθούν σε παθητική επιφάνεια χωρίς άλλο οπτικό στοιχείο, πράγμα που απαιτεί πραγματική συγκέντρωση φωτός.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 17 — Τι αλλάζει στο πραγματικό είδωλο όταν ο φακός πλησιάζει το αντικείμενο
Ερώτηση: Ένας λεπτός συγκλίνων φακός πλησιάζει ένα αντικείμενο. Το πραγματικό του είδωλο αλλάζει α) σε θέση β) σε μέγεθος; Περιγράψτε και εξηγείστε.
Απάντηση:
-
Και στα δύο η απάντηση είναι ΝΑΙ: καθώς ο φακός πλησιάζει το αντικείμενο (δηλαδή μειώνεται η απόσταση s, με s > f ώστε το είδωλο να παραμένει πραγματικό), το είδωλο απομακρύνεται από τον φακό και μεγαλώνει.
Η απόδειξη με τους τύπους:
1/s + 1/s' = 1/f ⇒ 1/s' = 1/f − 1/s s μικραίνει ⇒ 1/s μεγαλώνει ⇒ 1/s' ΜΙΚΡΑΙΝΕΙ ⇒ s' ΜΕΓΑΛΩΝΕΙ |m| = s'/s : s' μεγαλώνει ΚΑΙ s μικραίνει ⇒ |m| ΜΕΓΑΛΩΝΕΙ (και στους δύο όρους)Ο πίνακας των τιμών για f = 10 cm:
s (cm) s' (cm) |m| είδος ειδώλου ──────────────────────────────────────────────────── 100 11,1 0,11 πολύ σμικρυμένο 30 15,0 0,50 σμικρυμένο 20 20,0 1,00 ΙΣΟ (s = 2f) 15 30,0 2,00 μεγεθυσμένο 11 110,0 10,00 πολύ μεγεθυσμένο 10 ∞ ∞ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ (s = f)Η οριακή συμπεριφορά: όσο το s πλησιάζει το f, το s' και η μεγέθυνση τείνουν στο άπειρο. Για s < f το είδωλο παύει να είναι πραγματικό και γίνεται φανταστικό και ορθό.
s → ∞ : s' → f (είδωλο στην εστία, σημειακό) s = 2f : s' = 2f (ίσου μεγέθους, το «συμμετρικό» σημείο) s → f⁺ : s' → ∞ (το είδωλο «φεύγει» στο άπειρο) s < f : ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ είδωλο (δεν είναι πια πραγματικό)Η φυσική ερμηνεία: όσο πιο κοντά βρίσκεται το αντικείμενο, τόσο περισσότερο αποκλίνουσες φτάνουν οι ακτίνες στον φακό. Ο φακός έχει σταθερή συγκλίνουσα ικανότητα (σταθερό f), οπότε δυσκολεύεται όλο και περισσότερο να τις συγκλίνει — και τις μαζεύει όλο και πιο μακριά.
Οι πρακτικές συνέπειες: · Στον προβολέα: για να κάνουμε την εικόνα μεγαλύτερη, πλησιάζουμε τον φακό στο φιλμ (και απομακρύνουμε τον προβολέα από την οθόνη). · Στη φωτογραφική μηχανή: για κοντινή λήψη (macro), ο φακός πρέπει να απομακρυνθεί από το φιλμ (ασκήσεις 27 και 28). · Στον μεγεθυντικό φακό: αν πλησιάσουμε πολύ, περνάμε στο s < f και το είδωλο γίνεται φανταστικό, ορθό και μεγεθυσμένο — η κανονική χρήση του. Η προσοχή στη διατύπωση: το είδωλο απομακρύνεται από τον φακό, αλλά ο ίδιος ο φακός έχει κινηθεί. Το ερώτημα αφορά τη θέση του ειδώλου ως προς τον φακό — αυτή σίγουρα αυξάνεται.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Και στα δύο η απάντηση είναι ναι: καθώς ο φακός πλησιάζει το αντικείμενο, δηλαδή μειώνεται η απόσταση του αντικειμένου με την προϋπόθεση ότι παραμένει έξω από την εστία, το είδωλο απομακρύνεται από τον φακό και μεγαλώνει. Από την εξίσωση των λεπτών φακών, το αντίστροφο της απόστασης του ειδώλου ισούται με το αντίστροφο της εστιακής απόστασης μείον το αντίστροφο της απόστασης του αντικειμένου· καθώς η δεύτερη μικραίνει, το αντίστροφό της μεγαλώνει, οπότε το αντίστροφο της απόστασης του ειδώλου μικραίνει και η απόσταση μεγαλώνει. Η μεγέθυνση, ως λόγος των δύο αποστάσεων, μεγαλώνει και από τους δύο όρους. Οριακά, όταν η απόσταση του αντικειμένου τείνει στην εστιακή, το είδωλο φεύγει στο άπειρο, ενώ για μικρότερες αποστάσεις παύει να είναι πραγματικό και γίνεται φανταστικό και ορθό. Φυσικά, όσο πιο κοντά είναι το αντικείμενο τόσο πιο αποκλίνουσες φτάνουν οι ακτίνες, οπότε ο φακός τις συγκλίνει όλο και πιο μακριά. Πρακτικές συνέπειες είναι η ρύθμιση του προβολέα και η κοντινή λήψη στη φωτογραφική μηχανή.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 18 — Σύγκριση εξίσωσης κατόπτρων και εξίσωσης φακών
Ερώτηση: Συγκρίνετε την εξίσωση των κατόπτρων με την εξίσωση των φακών. Σχολιάστε ομοιότητες και διαφορές.
Απάντηση:
-
Οι δύο εξισώσεις έχουν ΤΑΥΤΟΣΗΜΗ μορφή:
ΚΑΤΟΠΤΡΑ: 1/s + 1/s' = 1/f με f = R/2 ΦΑΚΟΙ: 1/s + 1/s' = 1/f με f από τα δύο R και το n ΚΑΙ ΣΤΑ ΔΥΟ: m = − s'/sΟΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ίδια αλγεβρική μορφή — τα αντίστροφα των αποστάσεων προστίθενται και δίνουν το αντίστροφο της εστιακής απόστασης. 2. Ίδιος τύπος μεγέθυνσης — και άρα ίδια συμπεράσματα: πραγματικό είδωλο σημαίνει ανεστραμμένο, φανταστικό σημαίνει ορθό (άσκηση 15). 3. Ίδια σύμβαση προσήμων για το f: θετικό στα συγκλίνοντα (κοίλο κάτοπτρο, συγκλίνων φακός), αρνητικό στα αποκλίνοντα (κυρτό κάτοπτρο, αποκλίνων φακός). 4. Ίδιες κατηγορίες ειδώλων και ίδιοι πίνακες συμπεριφοράς ανάλογα με το αν s > 2f, f < s < 2f ή s < f. 5. Ίδιες τρεις «εύκολες» ακτίνες στα διαγράμματα: η παράλληλη στον άξονα, η δια της εστίας και η δια του κέντρου/κορυφής.
ΟΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 1. Το φυσικό φαινόμενο: τα κάτοπτρα λειτουργούν με ΑΝΑΚΛΑΣΗ, οι φακοί με ΔΙΑΘΛΑΣΗ. 2. Πού σχηματίζεται το πραγματικό είδωλο:
ΚΑΤΟΠΤΡΟ: το φως ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΙ ⇒ πραγματικό είδωλο στην ΙΔΙΑ πλευρά με το αντικείμενο ΦΑΚΟΣ: το φως ΠΕΡΝΑΕΙ ⇒ πραγματικό είδωλο στην ΑΝΤΙΘΕΤΗ πλευρά από το αντικείμενο3. Η εστιακή απόσταση:
ΚΑΤΟΠΤΡΟ: f = R/2 — εξαρτάται ΜΟΝΟ από τη γεωμετρία ΦΑΚΟΣ: 1/f = (n−1)·(1/R − 1/R ) 1 2 εξαρτάται ΚΑΙ από τον ΔΕΙΚΤΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ4. Η εξάρτηση από το περιβάλλον: ένα κάτοπτρο λειτουργεί το ίδιο στον αέρα και στο νερό. Ένας φακός αλλάζει εστιακή απόσταση — γιατί μετράει η διαφορά των δεικτών (άσκηση 21). 5. Η χρωματική εκτροπή: τα κάτοπτρα δεν την έχουν (η ανάκλαση είναι ίδια για όλα τα χρώματα)· οι φακοί την έχουν αναπόφευκτα. Γι' αυτό τα μεγάλα αστρονομικά τηλεσκόπια είναι κατοπτρικά. 6. Το πλήθος των επιφανειών: το κάτοπτρο έχει μία ανακλώσα επιφάνεια, ο φακός δύο διαθλαστικές.
Το γενικό συμπέρασμα: η ταύτιση της μορφής δεν είναι σύμπτωση. Και οι δύο σχέσεις προκύπτουν από την ίδια γεωμετρία ομοίων τριγώνων για παραξονικές ακτίνες. Γι' αυτό, μαθαίνοντας μία, γνωρίζουμε ουσιαστικά και τις δύο — αρκεί να προσέξουμε πού σχηματίζεται το πραγματικό είδωλο σε κάθε περίπτωση.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι δύο εξισώσεις έχουν ταυτόσημη μορφή: και στα κάτοπτρα και στους φακούς το άθροισμα των αντιστρόφων των αποστάσεων αντικειμένου και ειδώλου ισούται με το αντίστροφο της εστιακής απόστασης, ενώ και στις δύο περιπτώσεις η μεγέθυνση ισούται με το αντίθετο του λόγου των αποστάσεων. Ομοιότητες είναι επίσης η ίδια σύμβαση προσήμων, με θετική εστιακή απόσταση στα συγκλίνοντα και αρνητική στα αποκλίνοντα, οι ίδιες κατηγορίες ειδώλων ανάλογα με τη θέση του αντικειμένου και οι ίδιες τρεις βασικές ακτίνες στα διαγράμματα. Διαφορές είναι ότι τα κάτοπτρα λειτουργούν με ανάκλαση και οι φακοί με διάθλαση· ότι στο κάτοπτρο το πραγματικό είδωλο σχηματίζεται στην ίδια πλευρά με το αντικείμενο, ενώ στον φακό στην αντίθετη· ότι η εστιακή απόσταση του κατόπτρου εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία, ενώ του φακού και από τον δείκτη διάθλασης, άρα και από το περιβάλλον μέσο· και ότι τα κάτοπτρα δεν παρουσιάζουν χρωματική εκτροπή, γι' αυτό τα μεγάλα αστρονομικά τηλεσκόπια είναι κατοπτρικά. Η ταύτιση της μορφής δεν είναι σύμπτωση, αφού και οι δύο σχέσεις προκύπτουν από την ίδια γεωμετρία ομοίων τριγώνων.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 19 — Η γάτα μπροστά σε συγκλίνοντα φακό
Ερώτηση: Μια γάτα κοιτάζει ένα συγκλίνοντα φακό με την ουρά της στον αέρα. Κάτω από ποιές προϋποθέσεις θα μπορούσε το είδωλο της μύτης της να είναι φανταστικό και αυτό της ουράς της πραγματικό; Πώς θα ήταν το είδωλο της υπόλοιπης γάτας;
Απάντηση:
-
Η προϋπόθεση: η εστία του φακού πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα στη μύτη και στην ουρά της γάτας. Δηλαδή:
s < f < s μύτη ουράΗ μύτη (πιο κοντά στον φακό) βρίσκεται μέσα από την εστία → φανταστικό είδωλο. Η ουρά (πιο μακριά) βρίσκεται έξω από την εστία → πραγματικό είδωλο.
ουρά μύτη 🐈~~~~~~~~~~~~● │ φακός │ │ │ │◄─ s ────────┼────────┤ │ ουρά │ s │ │ μύτη │ ────●────────┤ F (εστία) s > f → ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ είδωλο ουράς ουρά s < f → ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ είδωλο μύτης μύτηΠόσο μακριά πρέπει να είναι η γάτα: η γάτα πρέπει να «πατάει» πάνω στην εστία — η μύτη της να είναι πιο κοντά από f και η ουρά της πιο μακριά. Άρα ο φακός πρέπει να έχει f συγκρίσιμο με το μήκος της γάτας.
Το είδωλο της υπόλοιπης γάτας: εδώ συμβαίνει κάτι δραματικό.
Θέση σημείου Είδωλο ────────────────────────────────────────────────────────── ουρά (s > f) πραγματικό, ανεστραμμένο, σε πεπερασμένη απόσταση από την άλλη πλευρά πλησιάζοντας το είδωλο απομακρύνεται όλο και ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ την εστία από έξω και ΜΕΓΑΛΩΝΕΙ απεριόριστα ΑΚΡΙΒΩΣ στην εστία το είδωλο πάει στο ΑΠΕΙΡΟ (δεν σχηματίζεται) πλησιάζοντας το είδωλο «γυρίζει» και εμφανίζεται την εστία από μέσα ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ, ΟΡΘΟ, στην άλλη πλευρά, πάλι από το ΑΠΕΙΡΟ μύτη (s < f) φανταστικό, ορθό, μεγεθυσμένοΤο αποτέλεσμα: η γάτα θα φαινόταν τρομακτικά παραμορφωμένη — το τμήμα της που βρίσκεται έξω από την εστία θα «τεντωνόταν» προς το άπειρο προς τη μία κατεύθυνση (ανεστραμμένο), και το τμήμα μέσα από την εστία προς την αντίθετη (ορθό). Το σημείο που είναι ακριβώς στην εστία δεν θα είχε καθόλου είδωλο.
Γιατί δεν βλέπουμε τέτοιες εικόνες στην πράξη: γιατί συνήθως το αντικείμενο είναι μικρό σε σχέση με την απόστασή του από τον φακό, ώστε όλα τα σημεία του να βρίσκονται στην ίδια περιοχή (όλα έξω ή όλα μέσα από την εστία). Η γάτα της άσκησης όμως είναι μακρόστενη και «σπάει» πάνω στην εστία. Το γενικό δίδαγμα: το είδος του ειδώλου δεν είναι ιδιότητα του φακού, αλλά κάθε σημείου του αντικειμένου ξεχωριστά. Ένα εκτεταμένο αντικείμενο μπορεί να δίνει ταυτόχρονα πραγματικό και φανταστικό είδωλο για διαφορετικά του σημεία. Η πρακτική εκδήλωση: κάτι ανάλογο βλέπουμε στις φωτογραφίες με μικρό βάθος πεδίου — αν και εκεί η αιτία είναι η εστίαση, όχι η αλλαγή είδους ειδώλου.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η προϋπόθεση είναι η εστία του φακού να βρίσκεται ανάμεσα στη μύτη και στην ουρά της γάτας: η μύτη, πιο κοντά στον φακό, να βρίσκεται μέσα από την εστία, ώστε το είδωλό της να είναι φανταστικό, και η ουρά, πιο μακριά, έξω από την εστία, ώστε το είδωλό της να είναι πραγματικό. Άρα ο φακός πρέπει να έχει εστιακή απόσταση συγκρίσιμη με το μήκος της γάτας. Το είδωλο της υπόλοιπης γάτας θα ήταν δραματικά παραμορφωμένο: όσο πλησιάζουμε την εστία από έξω, το πραγματικό είδωλο απομακρύνεται και μεγαλώνει απεριόριστα, ακριβώς στην εστία δεν σχηματίζεται είδωλο, ενώ όσο πλησιάζουμε την εστία από μέσα το φανταστικό είδωλο έρχεται πάλι από το άπειρο αλλά ορθό και προς την αντίθετη κατεύθυνση. Έτσι το τμήμα έξω από την εστία θα τεντωνόταν ανεστραμμένο προς το άπειρο και το τμήμα μέσα από αυτήν ορθό προς την αντίθετη πλευρά. Το γενικό δίδαγμα είναι ότι το είδος του ειδώλου δεν είναι ιδιότητα του φακού αλλά κάθε σημείου του αντικειμένου ξεχωριστά.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 20 — Είδωλο αντικειμένου από αποκλίνοντα φακό
Ερώτηση: Ένα αντικείμενο βρίσκεται 9,30 cm αριστερά από ένα αποκλίνοντα φακό με εστιακή απόσταση f = – 6,00 cm. Βρείτε την απόσταση του ειδώλου καθώς και το είδος του, και τη μεγέθυνσή του.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: s = +9,30 cm (πραγματικό αντικείμενο), f = −6,00 cm (αποκλίνων φακός).
Βήμα 1 — η απόσταση του ειδώλου:
1/s' = 1/f − 1/s = 1/(−6,00) − 1/9,30 = −0,16667 − 0,10753 = −0,27419 cm⁻¹ s' = 1/(−0,27419) = − 3,65 cmΒήμα 2 — το είδος του ειδώλου: s' < 0 ⇒ το είδωλο είναι ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ και βρίσκεται στην ίδια πλευρά με το αντικείμενο (αριστερά του φακού), σε απόσταση 3,65 cm.
Βήμα 3 — η μεγέθυνση:
m = − s'/s = − (−3,65)/9,30 = + 0,392Η ερμηνεία: m > 0 ⇒ ΟΡΘΟ· |m| < 1 ⇒ ΣΜΙΚΡΥΜΕΝΟ (περίπου το 39% του αντικειμένου).
Απαντήσεις: s' = −3,65 cm · φανταστικό, ορθό, σμικρυμένο · m = +0,39.
αντικείμενο είδωλο ↑ ↑ (μικρότερο, ορθό) │ 9,30 cm 3,65 │ │◄───────────►│◄───►│ ●─────────────┼─────● │ φακός (αποκλίνων) │Ο έλεγχος με τη γενική θεωρία: ο αποκλίνων φακός δίνει πάντοτε, για οποιαδήποτε θέση πραγματικού αντικειμένου, είδωλο φανταστικό, ορθό και σμικρυμένο. Τα αποτελέσματά μας το επιβεβαιώνουν πλήρως. Ένας δεύτερος έλεγχος — το είδωλο είναι πάντοτε μέσα στην εστία: για αποκλίνοντα φακό, |s'| < |f| πάντοτε. Εδώ 3,65 < 6,00 ✔. Και ένας τρίτος: το είδωλο είναι πιο κοντά στον φακό από το αντικείμενο (3,65 < 9,30), όπως αναμένεται όταν |m| < 1. Η προσοχή στο πρόσημο του f: το αρνητικό πρόσημο δίνεται στην εκφώνηση και είναι ουσιώδες. Αν το παραλείψουμε, βρίσκουμε s' = +16,9 cm — δηλαδή πραγματικό και ανεστραμμένο είδωλο, που είναι αδύνατο για αποκλίνοντα φακό. Η διαθλαστική ισχύς: P = 1/f = 1/(−0,06 m) = −16,7 D — έντονα αρνητικός φακός, τυπικός για διόρθωση βαριάς μυωπίας. Πού συναντάμε τέτοιο είδωλο: κοιτάζοντας μέσα από τα γυαλιά ενός μύωπα, τα πάντα φαίνονται μικρότερα — ακριβώς όπως προβλέπει το m = 0,39 εδώ.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται απόσταση αντικειμένου εννέα κόμμα τριάντα εκατοστά και εστιακή απόσταση μείον έξι εκατοστά, δηλαδή αποκλίνων φακός. Από την εξίσωση των λεπτών φακών, το αντίστροφο της απόστασης του ειδώλου ισούται με το αντίστροφο της εστιακής μείον το αντίστροφο της απόστασης του αντικειμένου, δηλαδή μείον μηδέν κόμμα δεκαέξι έξι επτά μείον μηδέν κόμμα δέκα επτά πέντε τρία, ίσο με μείον μηδέν κόμμα είκοσι επτά τέσσερα δύο ανά εκατοστό· άρα η απόσταση του ειδώλου είναι μείον τρία κόμμα εξήντα πέντε εκατοστά. Επειδή είναι αρνητική, το είδωλο είναι φανταστικό και βρίσκεται στην ίδια πλευρά με το αντικείμενο. Η μεγέθυνση ισούται με το αντίθετο του λόγου των αποστάσεων, δηλαδή συν μηδέν κόμμα τριάντα εννέα, οπότε το είδωλο είναι ορθό και σμικρυμένο, περίπου στο τριάντα εννέα τοις εκατό του αντικειμένου. Τα αποτελέσματα επιβεβαιώνουν τη γενική θεωρία, αφού ο αποκλίνων φακός δίνει πάντοτε φανταστικό, ορθό και σμικρυμένο είδωλο, το οποίο μάλιστα βρίσκεται πάντα μέσα στην εστία. Προσοχή χρειάζεται στο αρνητικό πρόσημο της εστιακής απόστασης.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 21 — Η μεγεθυντική ικανότητα φακού μέσα στο νερό
Ερώτηση: Η μεγεθυντική ικανότητα ενός μεγεθυντικού φακού μέσα στο νερό είναι: α) μεγαλύτερη, β) μικρότερη, γ) ίδια με αυτή που έχει στον αέρα. Σημειώστε το σωστό.
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: β) μικρότερη.
Η αιτιολόγηση: η εστιακή απόσταση ενός φακού δεν εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία του, αλλά από τη ΔΙΑΦΟΡΑ του δείκτη διάθλασης του υλικού του και του περιβάλλοντος μέσου:
1 ⎛ n ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ─── = ⎜ ─── −1⎟ · ⎜ ─── − ─── ⎟ f ⎝ n ⎠ ⎝ R R ⎠ περ 1 2 n = δείκτης του υλικού του φακού (γυαλί ≈ 1,5) n = δείκτης του ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ περΗ σύγκριση:
ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ (n = 1,00): n/n − 1 = 1,50 − 1 = 0,50 περ περ ΣΤΟ ΝΕΡΟ (n = 1,33): n/n − 1 = 1,13 − 1 = 0,13 περ περ ⇒ ο παράγοντας γίνεται περίπου 4 ΦΟΡΕΣ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ ⇒ η εστιακή απόσταση f γίνεται περίπου 4 ΦΟΡΕΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ⇒ η ΔΙΑΘΛΑΣΤΙΚΗ ΙΣΧΥΣ (P = 1/f) γίνεται 4 φορές ΜΙΚΡΟΤΕΡΗΤο συμπέρασμα για τη μεγέθυνση: με μεγαλύτερη εστιακή απόσταση, ο φακός συγκλίνει λιγότερο και η μεγεθυντική του ικανότητα μειώνεται δραστικά.
Η φυσική εξήγηση: η κάμψη των ακτίνων σε κάθε επιφάνεια του φακού καθορίζεται από τη διαφορά των δεικτών εκατέρωθεν, σύμφωνα με τον νόμο του Snell. Στο νερό η διαφορά γυαλί–νερό (1,5 − 1,33 = 0,17) είναι πολύ μικρότερη από τη διαφορά γυαλί–αέρας (1,5 − 1,0 = 0,5), άρα η κάμψη είναι πολύ μικρότερη.
Η ακραία περίπτωση: αν βυθίσουμε τον φακό σε υγρό με ακριβώς τον ίδιο δείκτη (n_περ = n), τότε 1/f = 0 — ο φακός παύει να λειτουργεί και γίνεται αόρατος (άσκηση 6). Η ακόμη πιο ακραία: σε υγρό με μεγαλύτερο δείκτη από το γυαλί, ο παράγοντας γίνεται αρνητικός — ο συγκλίνων φακός γίνεται αποκλίνων! Η αντίθεση με τα κάτοπτρα: ένα κάτοπτρο έχει f = R/2, ανεξάρτητα από το περιβάλλον. Λειτουργεί το ίδιο στον αέρα και στο νερό (άσκηση 18). Η πρακτική εφαρμογή — η μάσκα του δύτη: το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και στο μάτι μας. Ο κερατοειδής, που παρέχει τα 2/3 της διαθλαστικής ισχύος του ματιού, χάνει σχεδόν όλη τη δράση του μέσα στο νερό — γι' αυτό ο κολυμβητής βλέπει θολά (άσκηση 31).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση β, δηλαδή η μεγεθυντική ικανότητα μέσα στο νερό είναι μικρότερη. Η εστιακή απόσταση ενός φακού δεν εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία του αλλά από τη διαφορά του δείκτη διάθλασης του υλικού του και του περιβάλλοντος μέσου. Στον αέρα ο σχετικός παράγοντας για γυαλί δείκτη ενάμισι είναι μηδέν κόμμα πέντε, ενώ στο νερό, με δείκτη ένα κόμμα τριάντα τρία, γίνεται περίπου μηδέν κόμμα δεκατρία, δηλαδή περίπου τέσσερις φορές μικρότερος· άρα η εστιακή απόσταση τετραπλασιάζεται, η διαθλαστική ισχύς υποτετραπλασιάζεται και η μεγέθυνση μειώνεται δραστικά. Φυσικά, η κάμψη των ακτίνων σε κάθε επιφάνεια καθορίζεται από τη διαφορά των δεικτών εκατέρωθεν, η οποία στο νερό είναι πολύ μικρότερη. Στην ακραία περίπτωση υγρού με τον ίδιο δείκτη ο φακός παύει να λειτουργεί και γίνεται αόρατος, ενώ σε υγρό με μεγαλύτερο δείκτη ο συγκλίνων γίνεται αποκλίνων. Αντίθετα, τα κάτοπτρα λειτουργούν το ίδιο σε κάθε περιβάλλον. Το ίδιο φαινόμενο εξηγεί και γιατί ο κολυμβητής βλέπει θολά χωρίς μάσκα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 22 — Μπορεί φακός να δώσει θερμοκρασία μεγαλύτερη από του ήλιου
Ερώτηση: Είναι γνωστό ότι με ένα συγκεντρωτικό φακό εστιάζουμε τις ηλιακές ακτίνες και στην εστία δημιουργείται υψηλή θερμοκρασία. Είναι δυνατόν να κατασκευασθεί φακός ώστε στην εστία του να δημιουργείται θερμοκρασία μεγαλύτερη από αυτή στην επιφάνεια του ηλίου;
Απάντηση:
-
Όχι — είναι θεμελιωδώς αδύνατο.
Η αιτιολόγηση με τον 2ο θερμοδυναμικό νόμο: η θερμότητα ρέει αυθόρμητα μόνο από το θερμότερο στο ψυχρότερο σώμα. Αν ο φακός μπορούσε να ανεβάσει το σώμα στην εστία σε θερμοκρασία μεγαλύτερη από την επιφάνεια του Ήλιου (≈ 5.800 K), τότε θα είχαμε αυθόρμητη ροή ενέργειας από το ψυχρότερο (Ήλιος) στο θερμότερο (εστία) — κατάφωρη παραβίαση του δεύτερου θερμοδυναμικού νόμου.
Η οπτική εξήγηση — η αρχή διατήρησης της «λαμπρότητας»: ένα παθητικό οπτικό σύστημα (φακοί, κάτοπτρα) δεν μπορεί να αυξήσει τη λαμπρότητα (ισχύ ανά μονάδα επιφάνειας ανά στερεά γωνία) μιας δέσμης. Το πολύ, μπορεί να την διατηρήσει. Άρα το πολύ που μπορεί να πετύχει είναι να κάνει την εστία να «βλέπει» τον Ήλιο σε όλες τις κατευθύνσεις — δηλαδή σαν να βρισκόταν μέσα σε έναν κλίβανο θερμοκρασίας 5.800 K.
Γιατί δεν βοηθά ο μεγαλύτερος φακός: η κηλίδα δεν μπορεί να γίνει μικρότερη από το είδωλο του Ήλιου, το οποίο έχει διάμετρο f × 0,0093 (γωνιακή διάμετρος 0,5°, βλ. κεφ. 8 ασκήσεις 3 και 9).
Μεγαλύτερος φακός → περισσότερη ΣΥΝΟΛΙΚΗ ισχύς ΑΛΛΑ και μεγαλύτερη εστιακή απόσταση ⇒ και ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ κηλίδα ⇒ η ΕΝΤΑΣΗ (W/m²) στην εστία ΔΕΝ ξεπερνά ποτέ εκείνη της επιφάνειας του ΉλιουΤο θεωρητικό όριο: με τέλειο οπτικό σύστημα που καλύπτει όλη τη στερεά γωνία γύρω από το σώμα, η θερμοκρασία μπορεί να πλησιάσει — αλλά ποτέ να ξεπεράσει — τα 5.800 K της ηλιακής επιφάνειας. Στην πράξη, οι καλύτεροι ηλιακοί συγκεντρωτές φτάνουν τους 3.000-3.500 K, λόγω απωλειών και ατελειών.
Το ίδιο ισχύει και για τα κάτοπτρα (κεφ. 8, άσκηση 14): η ίδια αρχή εξηγεί γιατί ούτε τα κάτοπτρα του Αρχιμήδη θα μπορούσαν να ξεπεράσουν αυτό το όριο. Πώς πετυχαίνουμε υψηλότερες θερμοκρασίες: με ενεργητικές μεθόδους — laser (που είναι πηγή με τεράστια λαμπρότητα), ηλεκτρικό τόξο, πυρηνικές αντιδράσεις. Οι μέθοδοι αυτές δεν παραβιάζουν τον 2ο νόμο, γιατί καταναλώνουν έργο. Το φιλοσοφικό συμπέρασμα: ένα παθητικό οπτικό σύστημα μπορεί να αναδιανείμει την ενέργεια στον χώρο, ποτέ όμως να δημιουργήσει «ποιοτικά ανώτερη» ενέργεια. Είναι μια από τις πιο κομψές διατυπώσεις του δεύτερου θερμοδυναμικού νόμου στην οπτική.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι, είναι θεμελιωδώς αδύνατο. Σύμφωνα με τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο, η θερμότητα ρέει αυθόρμητα μόνο από το θερμότερο στο ψυχρότερο σώμα· αν ο φακός ανέβαζε την εστία σε θερμοκρασία μεγαλύτερη από την επιφάνεια του Ήλιου, θα είχαμε αυθόρμητη ροή ενέργειας από το ψυχρότερο στο θερμότερο, δηλαδή παραβίαση του νόμου. Οπτικά, ένα παθητικό σύστημα φακών και κατόπτρων δεν μπορεί να αυξήσει τη λαμπρότητα μιας δέσμης, παρά μόνο να τη διατηρήσει· το πολύ που μπορεί να πετύχει είναι να βλέπει η εστία τον Ήλιο προς όλες τις κατευθύνσεις, σαν να βρισκόταν μέσα σε κλίβανο ίδιας θερμοκρασίας. Μεγαλύτερος φακός δεν βοηθά, γιατί αυξάνει μεν τη συνολική ισχύ αλλά και το μέγεθος της κηλίδας, αφού αυτή δεν μπορεί να γίνει μικρότερη από το είδωλο του Ήλιου. Θεωρητικό όριο είναι περίπου οι πέντε χιλιάδες οκτακόσιοι βαθμοί Kelvin, ενώ στην πράξη οι ηλιακοί συγκεντρωτές φτάνουν τους τρεις χιλιάδες. Υψηλότερες θερμοκρασίες επιτυγχάνονται μόνο με ενεργητικές μεθόδους, όπως τα laser και το ηλεκτρικό τόξο, οι οποίες καταναλώνουν έργο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 23 — Τι αντιστοιχεί ο αμφιβληστροειδής στη φωτογραφική μηχανή
Ερώτηση: Ο αμφιβληστροειδής χιτώνας για τον οφθαλμό είναι ότι: α) Το διάφραγμα για τη φωτογραφική μηχανή. β) Το φιλμ για τη φωτογραφική μηχανή. γ) Το κλείστρο για τη φωτογραφική μηχανή. Σημειώστε το σωστό.
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: β) Το φιλμ για τη φωτογραφική μηχανή.
Η αιτιολόγηση: ο αμφιβληστροειδής είναι η φωτοευαίσθητη επιφάνεια στο πίσω μέρος του οφθαλμού, πάνω στην οποία σχηματίζεται το πραγματικό, ανεστραμμένο, σμικρυμένο είδωλο. Ακριβώς αυτόν τον ρόλο παίζει το φιλμ (ή ο ψηφιακός αισθητήρας) στη φωτογραφική μηχανή.
Ο πλήρης πίνακας αντιστοιχιών:
ΟΦΘΑΛΜΟΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΗΧΑΝΗ ───────────────────────────────────────────────────────── Κερατοειδής + κρυσταλλοειδής → ΦΑΚΟΣ Ίριδα (χρωματιστό μέρος) → ΔΙΑΦΡΑΓΜΑ Κόρη (το άνοιγμα) → το άνοιγμα του διαφράγματος ΑΜΦΙΒΛΗΣΤΡΟΕΙΔΗΣ → ΦΙΛΜ / ΑΙΣΘΗΤΗΡΑΣ ✔ Βλέφαρο → ΚΛΕΙΣΤΡΟ Χοριοειδής (μαύρη επένδυση) → μαύρο εσωτερικό σώμαΓιατί αποκλείονται οι άλλες: α) Διάφραγμα: αντιστοιχεί στην ίριδα — το χρωματιστό μέρος του ματιού που ρυθμίζει το άνοιγμα της κόρης ανάλογα με τον φωτισμό. Ακριβώς όπως το διάφραγμα ελέγχει πόσο φως μπαίνει. γ) Κλείστρο: αντιστοιχεί στο βλέφαρο — αυτό «ανοίγει» και «κλείνει» τη δίοδο του φωτός.
Η κρίσιμη διαφορά όμως — προσαρμογή: στη μηχανή, για να εστιάσουμε, μετακινούμε τον φακό (ασκήσεις 27, 28). Στο μάτι, ο φακός μένει στη θέση του και αλλάζει καμπυλότητα χάρη στους ακτινωτούς μύες — φαινόμενο που ονομάζεται προσαρμογή. Η απώλεια αυτής της ικανότητας με την ηλικία είναι η πρεσβυωπία. Η δεύτερη διαφορά — ο αμφιβληστροειδής δεν είναι επίπεδος: είναι καμπύλος, ακολουθώντας το σχήμα του βολβού. Αυτό διορθώνει αυτόματα την καμπύλωση του πεδίου (άσκηση 13) — ένα σφάλμα που οι σχεδιαστές φακών παλεύουν να εξαλείψουν. Η τρίτη διαφορά — η μεταβλητή ευαισθησία: ο αμφιβληστροειδής έχει δύο ειδών αισθητήρες, τα κωνία (χρώματα, έντονο φως) και τα ραβδία (σκοτάδι), και προσαρμόζει την ευαισθησία του — κάτι που στη μηχανή αντιστοιχεί στην αλλαγή ISO. Το τυφλό σημείο (σελ. 242): ένα σημείο του αμφιβληστροειδούς χωρίς φωτοϋποδοχείς, εκεί που ξεκινά το οπτικό νεύρο — Η ύπαρξή της δε γίνεται εύκολα αντιληπτή, επειδή η αόρατη περιοχή που αντιστοιχεί στο τυφλό σημείο του ενός οφθαλμού βρίσκεται στο οπτικό πεδίο του άλλου.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση β, δηλαδή ο αμφιβληστροειδής αντιστοιχεί στο φιλμ της φωτογραφικής μηχανής. Είναι η φωτοευαίσθητη επιφάνεια στο πίσω μέρος του οφθαλμού, πάνω στην οποία σχηματίζεται το πραγματικό, ανεστραμμένο και σμικρυμένο είδωλο, ρόλο που παίζει το φιλμ ή ο ψηφιακός αισθητήρας. Το διάφραγμα αντιστοιχεί στην ίριδα, η οποία ρυθμίζει το άνοιγμα της κόρης ανάλογα με τον φωτισμό, και το κλείστρο στο βλέφαρο, ενώ ο φακός της μηχανής αντιστοιχεί στον κερατοειδή μαζί με τον κρυσταλλοειδή φακό. Υπάρχουν όμως και σημαντικές διαφορές: στη μηχανή εστιάζουμε μετακινώντας τον φακό, ενώ στο μάτι ο φακός αλλάζει καμπυλότητα με τους ακτινωτούς μύες, φαινόμενο που λέγεται προσαρμογή και του οποίου η απώλεια με την ηλικία είναι η πρεσβυωπία· επίσης ο αμφιβληστροειδής είναι καμπύλος και όχι επίπεδος, διορθώνοντας αυτόματα την καμπύλωση του πεδίου, και διαθέτει δύο είδη αισθητήρων με μεταβλητή ευαισθησία.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 24 — Για τι είναι υπεύθυνα τα κωνία και τα ραβδία
Ερώτηση: Τα κωνία είναι υπεύθυνα για να διακρίνουμε: α) στο σκοτάδι β) τα σχήματα γ) τα χρώματα. Τα ραβδία είναι υπεύθυνα για να διακρίνουμε: α) στο σκοτάδι β) τα σχήματα γ) τα χρώματα. Σημειώστε το σωστό.
Απάντηση:
-
Οι σωστές απαντήσεις: · Κωνία → γ) τα χρώματα · Ραβδία → α) στο σκοτάδι
Ο συγκριτικός πίνακας:
ΚΩΝΙΑ ΡΑΒΔΙΑ ────────────────────────────────────────────────────────── Λειτουργία ΧΡΩΜΑΤΑ όραση στο ΣΚΟΤΑΔΙ Φωτισμός έντονο φως (ημέρα) χαμηλός φωτισμός Ευαισθησία μικρότερη πολύ μεγαλύτερη Ευκρίνεια ΜΕΓΑΛΗ μικρή Πλήθος ~6-7 εκατομμύρια ~120 εκατομμύρια Θέση κυρίως στην ΩΧΡΑ ΚΗΛΙΔΑ κυρίως στην ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ (κέντρο του πεδίου) του αμφιβληστροειδούς Είδη 3 (κόκκινο, πράσινο, 1 μόνο είδος μπλε)Γιατί υπάρχουν τρία είδη κωνίων: καθένα είναι ευαίσθητο σε διαφορετική περιοχή του φάσματος. Ο εγκέφαλος συνθέτει τα τρία σήματα και παράγει την αίσθηση όλων των χρωμάτων — η αρχή της τριχρωματικής θεωρίας, στην οποία στηρίζονται και οι οθόνες RGB.
Οι καθημερινές συνέπειες: 1. «Τη νύχτα όλες οι γάτες είναι γκρίζες»: στο αμυδρό φως λειτουργούν μόνο τα ραβδία, τα οποία έχουν ένα μόνο είδος — άρα δεν διακρίνουμε χρώματα, μόνο αποχρώσεις του γκρι. 2. Η πλάγια όραση στο σκοτάδι: οι αστρονόμοι κοιτάζουν ένα αμυδρό αστέρι λίγο πλάγια, ώστε το είδωλό του να πέσει στην περιφέρεια του αμφιβληστροειδούς, όπου βρίσκονται τα ραβδία. Έτσι το βλέπουν καλύτερα παρά κοιτάζοντάς το κατευθείαν! 3. Η προσαρμογή στο σκοτάδι: χρειάζονται 20-30 λεπτά για να «φορτίσουν» πλήρως τα ραβδία με ροδοψίνη. Γι' αυτό μπαίνοντας σε σκοτεινό δωμάτιο δεν βλέπουμε τίποτε στην αρχή. 4. Το κόκκινο φως: χρησιμοποιείται σε σκοτεινούς θαλάμους και σε παρατηρητήρια, γιατί τα ραβδία είναι σχεδόν αναίσθητα σε αυτό — έτσι διατηρείται η νυχτερινή προσαρμογή. Η αχρωματοψία: οφείλεται σε βλάβη ή έλλειψη ενός ή περισσότερων ειδών κωνίων (άσκηση 25) — γι' αυτό δεν διορθώνεται με φακούς. Η ωχρά κηλίδα: η περιοχή του αμφιβληστροειδούς με τη μέγιστη πυκνότητα κωνίων και τη μεγαλύτερη ευκρίνεια. Εκεί εστιάζουμε αυτόματα ό,τι θέλουμε να δούμε λεπτομερώς — π.χ. τις λέξεις που διαβάζουμε τώρα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Τα κωνία είναι υπεύθυνα για να διακρίνουμε τα χρώματα και τα ραβδία για να διακρίνουμε στο σκοτάδι. Τα κωνία λειτουργούν σε έντονο φωτισμό, έχουν μεγάλη ευκρίνεια, βρίσκονται κυρίως στην ωχρά κηλίδα και υπάρχουν σε τρία είδη, ευαίσθητα σε διαφορετικές περιοχές του φάσματος, τα οποία ο εγκέφαλος συνθέτει για να παραγάγει την αίσθηση όλων των χρωμάτων. Τα ραβδία λειτουργούν σε χαμηλό φωτισμό, είναι πολύ περισσότερα και πολύ ευαισθητότερα αλλά με μικρή ευκρίνεια, βρίσκονται κυρίως στην περιφέρεια του αμφιβληστροειδούς και υπάρχουν σε ένα μόνο είδος. Από αυτό προκύπτει ότι στο αμυδρό φως δεν διακρίνουμε χρώματα, παρά μόνο αποχρώσεις του γκρι, καθώς και ότι οι αστρονόμοι κοιτάζουν ένα αμυδρό αστέρι λίγο πλάγια, ώστε το είδωλό του να πέσει στην περιφέρεια όπου βρίσκονται τα ραβδία. Η προσαρμογή στο σκοτάδι απαιτεί είκοσι ως τριάντα λεπτά, ενώ το κόκκινο φως τη διατηρεί, γιατί τα ραβδία είναι σχεδόν αναίσθητα σε αυτό. Η αχρωματοψία οφείλεται σε βλάβη των κωνίων και δεν διορθώνεται με φακούς.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 25 — Αντιστοίχιση ανωμαλιών όρασης με τις περιγραφές τους
Ερώτηση: Συσχετίστε τις ακόλουθες ανωμαλίες της όρασης με τη σωστή περιγραφή τους. Ανωμαλία 1. Μυωπία 2. Υπερμετρωπία 3. Πρεσβυωπία 4. Αστιγματισμός 5. Αχρωματοψία Περιγραφή α. Δεν διακρίνεις κοντινά αντικείμενα. β. Τα σημεία φαίνονται σαν γραμμές. γ. Τα βλέπεις όλα μεγεθυσμένα. δ. Δεν διακρίνει μακρινά αντικείμενα. ε. Δε διακρίνεις τα χρώματα.
Απάντηση:
-
Οι αντιστοιχίσεις:
1. Μυωπία ── δ. Δεν διακρίνει μακρινά αντικείμενα 2. Υπερμετρωπία ── γ. Τα βλέπεις όλα μεγεθυσμένα 3. Πρεσβυωπία ── α. Δεν διακρίνεις κοντινά αντικείμενα 4. Αστιγματισμός ── β. Τα σημεία φαίνονται σαν γραμμές 5. Αχρωματοψία ── ε. Δε διακρίνεις τα χρώματαΗ αιτιολόγηση καθεμιάς:
1. Μυωπία → δ. Το βιβλίο τη διατυπώνει ρητά (σελ. 242): Η μυωπία παρουσιάζεται σε έναν οφθαλμό που μπορεί να εστιάσει μόνο σε κοντινά αντικείμενα… Οφείλεται σε ένα βολβό του οφθαλμού που είναι περισσότερο επιμήκης από το κανονικό. Το είδωλο των μακρινών αντικειμένων σχηματίζεται μπροστά από τον αμφιβληστροειδή. Διόρθωση: αποκλίνοντες (αρνητικοί) φακοί.
2. Υπερμετρωπία → γ. Ο βολβός είναι πιο κοντός από το κανονικό και το είδωλο σχηματίζεται πίσω από τον αμφιβληστροειδή. Ο υπερμέτρωπας δυσκολεύεται στα κοντινά και, όταν φοράει τα συγκλίνοντα γυαλιά του, βλέπει τα πάντα ελαφρώς μεγεθυσμένα — αυτή είναι η βάση της περιγραφής γ. Διόρθωση: συγκλίνοντες (θετικοί) φακοί.
3. Πρεσβυωπία → α. Είναι η ηλικιακή απώλεια της ικανότητας προσαρμογής: ο κρυσταλλοειδής φακός σκληραίνει και δεν μπορεί πια να αυξήσει την καμπυλότητά του για κοντινή εστίαση. Το εγγύς σημείο απομακρύνεται (από 25 cm στα νιάτα σε 50-100 cm μετά τα 45). Διόρθωση: συγκλίνοντες φακοί για κοντινή όραση (γυαλιά πρεσβυωπίας ή διεστιακά).
4. Αστιγματισμός → β. Ο κερατοειδής (ή ο φακός) δεν είναι σφαιρικός αλλά έχει διαφορετική καμπυλότητα σε δύο κάθετους άξονες. Έτσι οι ακτίνες των δύο επιπέδων εστιάζουν σε διαφορετικές αποστάσεις και ένα σημείο απεικονίζεται ως γραμμή — ακριβώς η περιγραφή β και ακριβώς το ομώνυμο σφάλμα των φακών (άσκηση 13). Διόρθωση: κυλινδρικοί φακοί.
5. Αχρωματοψία → ε. Δεν είναι διαθλαστικό πρόβλημα αλλά νευροαισθητήριο: βλάβη ή έλλειψη ενός ή περισσότερων ειδών κωνίων (άσκηση 24). Γι' αυτό δεν διορθώνεται με φακούς. Η συχνότερη μορφή είναι η σύγχυση κόκκινου–πράσινου, που αφορά περίπου το 8% των ανδρών.
Η δυσκολία της αντιστοίχισης: τόσο η υπερμετρωπία όσο και η πρεσβυωπία εκδηλώνονται ως δυσκολία στα κοντινά. Το βιβλίο ξεχωρίζει την πρεσβυωπία με την περιγραφή α (η κλασική «δεν διαβάζω από κοντά») και αφήνει για την υπερμετρωπία την περιγραφή γ. Η διάκριση δεν είναι φυσιολογικά αυστηρή, αλλά προκύπτει από τον αποκλεισμό των υπολοίπων. Η ουσιαστική διαφορά τους: η υπερμετρωπία είναι ανατομική (σχήμα βολβού) και εμφανίζεται από τη γέννηση· η πρεσβυωπία είναι ηλικιακή (σκλήρυνση του φακού) και εμφανίζεται σε όλους μετά τα 45.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι αντιστοιχίσεις είναι: η μυωπία με το ότι δεν διακρίνεις μακρινά αντικείμενα, η υπερμετρωπία με το ότι τα βλέπεις όλα μεγεθυσμένα, η πρεσβυωπία με το ότι δεν διακρίνεις κοντινά αντικείμενα, ο αστιγματισμός με το ότι τα σημεία φαίνονται σαν γραμμές και η αχρωματοψία με το ότι δεν διακρίνεις τα χρώματα. Η μυωπία, όπως αναφέρει το βιβλίο, οφείλεται σε βολβό πιο επιμήκη από το κανονικό, οπότε το είδωλο των μακρινών σχηματίζεται μπροστά από τον αμφιβληστροειδή, και διορθώνεται με αποκλίνοντες φακούς. Η υπερμετρωπία οφείλεται σε πιο κοντό βολβό και διορθώνεται με συγκλίνοντες. Η πρεσβυωπία είναι η ηλικιακή απώλεια της προσαρμογής, καθώς ο κρυσταλλοειδής φακός σκληραίνει, και διορθώνεται επίσης με συγκλίνοντες. Ο αστιγματισμός οφείλεται σε μη σφαιρικό κερατοειδή με διαφορετική καμπυλότητα σε δύο κάθετους άξονες και διορθώνεται με κυλινδρικούς φακούς. Η αχρωματοψία δεν είναι διαθλαστικό αλλά νευροαισθητήριο πρόβλημα, οφείλεται σε βλάβη των κωνίων και δεν διορθώνεται με φακούς.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 26 — Ισχύς διορθωτικών φακών για πρεσβύωπα
Ερώτηση: Ένας πρεσβύωπας βλέπει να διαβάσει χωρίς γυαλιά σε απόσταση 80 cm. Τι ισχύ πρέπει να έχουν οι διορθωτικοί φακοί που θα βάλει στα γυαλιά του ώστε να βλέπει να διαβάζει σε απόσταση 25 cm. (Υπόδειξη: υποθέστε ότι οι διορθωτικοί φακοί απέχουν από τα μάτια του 2 cm).
Απάντηση:
-
Η λογική της διόρθωσης: ο φακός πρέπει να πάρει ένα αντικείμενο στα 25 cm από το μάτι και να σχηματίσει το είδωλό του στα 80 cm από το μάτι — δηλαδή στο εγγύς σημείο του πρεσβύωπα, εκεί όπου μπορεί να εστιάσει.
Βήμα 1 — αναγωγή των αποστάσεων στον ΦΑΚΟ (που απέχει 2 cm από το μάτι):
s = 25 − 2 = 23 cm (αντικείμενο, ΘΕΤΙΚΟ) s' = − (80 − 2) = − 78 cm (είδωλο ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ, στην ίδια πλευρά με το αντικείμενο)Βήμα 2 — η εστιακή απόσταση:
1/f = 1/s + 1/s' = 1/23 + 1/(−78) = 0,043478 − 0,012821 = 0,030657 cm⁻¹ f = 32,6 cm = 0,326 mΒήμα 3 — η διαθλαστική ισχύς (σελ. 235, P = 1/f):
P = 1/0,326 = + 3,07 D ≈ + 3 διοπτρίεςΑπάντηση: P ≈ +3 D (συγκλίνοντες φακοί).
Ο έλεγχος του προσήμου: το θετικό αποτέλεσμα σημαίνει συγκλίνων φακός — ακριβώς αυτό που χρειάζεται ο πρεσβύωπας (και ο υπερμέτρωπας), όπως προβλέπει η θεωρία (άσκηση 25). Η φυσική ερμηνεία: ο συγκλίνων φακός «σπρώχνει» το φανταστικό είδωλο του βιβλίου μακρύτερα από το μάτι — από τα 25 cm στα 80 cm — φέρνοντάς το ακριβώς εκεί όπου το μάτι μπορεί να εστιάσει.
βιβλίο φακός είδωλο (φανταστικό) 📖───────────┃─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ 📖 │◄─ 23 ─────┃ │ │◄─── 25 ──👁 │ │◄────────── 80 από το μάτι ─────┤Γιατί χρειάζεται η διόρθωση των 2 cm: οι αποστάσεις στην εξίσωση των φακών μετριούνται από τον φακό, όχι από το μάτι. Η υπόδειξη της εκφώνησης το κάνει ρητό. Αν την αγνοήσουμε (s = 25, s' = −80), βρίσκουμε P = +2,75 D — απόκλιση 10%, αισθητή για συνταγογράφηση. Η πρακτική σημασία: +3,00 D είναι απολύτως τυπική τιμή για γυαλιά πρεσβυωπίας σε άτομο περίπου 55 ετών. Τα γυαλιά «φαρμακείου» πωλούνται ακριβώς σε τέτοιες τυποποιημένες τιμές (+1,00, +1,50, +2,00, +2,50, +3,00…). Η εξέλιξη με την ηλικία: όσο απομακρύνεται το εγγύς σημείο, τόσο μεγαλύτερη ισχύ χρειάζονται τα γυαλιά. Γι' αυτό ο πρεσβύωπας αλλάζει γυαλιά κάθε λίγα χρόνια.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο φακός πρέπει να πάρει το βιβλίο στα είκοσι πέντε εκατοστά από το μάτι και να σχηματίσει το είδωλό του στα ογδόντα εκατοστά, δηλαδή στο εγγύς σημείο του πρεσβύωπα. Επειδή ο φακός απέχει δύο εκατοστά από το μάτι, οι αποστάσεις ως προς αυτόν είναι είκοσι τρία εκατοστά για το αντικείμενο και μείον εβδομήντα οκτώ εκατοστά για το είδωλο, το οποίο είναι φανταστικό. Από την εξίσωση των λεπτών φακών, το αντίστροφο της εστιακής απόστασης ισούται με μηδέν κόμμα μηδέν τριάντα ανά εκατοστό, οπότε η εστιακή απόσταση είναι περίπου τριάντα δύο κόμμα έξι εκατοστά, δηλαδή μηδέν κόμμα τριακόσια είκοσι έξι μέτρα, και η διαθλαστική ισχύς περίπου συν τρεις διοπτρίες. Το θετικό πρόσημο σημαίνει συγκλίνοντες φακούς, ακριβώς όπως απαιτεί η πρεσβυωπία. Αν αγνοήσουμε τη διόρθωση των δύο εκατοστών, προκύπτουν συν δύο κόμμα εβδομήντα πέντε διοπτρίες, δηλαδή απόκλιση δέκα τοις εκατό, αισθητή για συνταγογράφηση. Οι τρεις διοπτρίες είναι τυπική τιμή για γυαλιά πρεσβυωπίας.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 27 — Μετακίνηση φακού φωτογραφικής μηχανής για εστίαση
Ερώτηση: Έχετε μια φωτογραφική μηχανή της οποία ο φακός έχει εστιακή απόσταση 55 mm. Καθώς ένα αντικείμενο πλησιάζει από πολύ μακριά μέχρι 25 cm μπροστά από το φακό, πόσο πρέπει ο φακός να μετακινηθεί ώστε το είδωλο του αντικειμένου να εστιάζει συνεχώς στο φιλμ; Ο φακός θα πλησιάσει ή θα απομακρυνθεί από το φιλμ;
Απάντηση:
-
Βήμα 1 — αντικείμενο «πολύ μακριά» (s → ∞):
1/s' = 1/f − 1/s ≈ 1/f − 0 ⇒ s' = f = 55 mmΤο είδωλο σχηματίζεται ακριβώς στην εστία, άρα το φιλμ πρέπει να απέχει 55 mm από τον φακό.
Βήμα 2 — αντικείμενο στα 25 cm = 250 mm:
1/s' = 1/55 − 1/250 = 0,018182 − 0,004000 = 0,014182 mm⁻¹ s' = 1/0,014182 = 70,5 mmΒήμα 3 — η μετακίνηση:
Δs' = 70,5 − 55,0 = 15,5 mmΑπάντηση: ο φακός πρέπει να ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΘΕΙ από το φιλμ κατά 15,5 mm.
Η αιτιολόγηση της κατεύθυνσης: όσο πλησιάζει το αντικείμενο, το s' μεγαλώνει (άσκηση 17). Άρα το είδωλο σχηματίζεται πιο μακριά από τον φακό — και για να παραμείνει πάνω στο φιλμ, ο φακός πρέπει να απομακρυνθεί από αυτό (δηλαδή να προεκταθεί προς τα εμπρός).
ΜΑΚΡΙΝΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΚΟΝΤΙΝΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ (25 cm) ‖ φακός ‖ φακός (ΠΡΟΕΚΤΑΘΗΚΕ) ‖◄── 55 mm ──►▓ φιλμ ‖◄──── 70,5 mm ────►▓ φιλμ + 15,5 mmΟ έλεγχος με τη μεγέθυνση:
s → ∞ : |m| → 0 (σημειακό είδωλο) s = 250 : |m| = 70,5/250 = 0,282 (28% του πραγματικού)Η πρακτική επιβεβαίωση: κάθε φακός φωτογραφικής μηχανής προεκτείνεται ορατά όταν εστιάζουμε κοντά. Σε φακούς macro, η προέκταση μπορεί να διπλασιάσει το μήκος του φακού. Η ελάχιστη απόσταση εστίασης: κάθε φακός έχει όριο στο πόσο μπορεί να προεκταθεί — γι' αυτό υπάρχει η ελάχιστη απόσταση εστίασης. Πιο κοντά, το είδωλο θα σχηματιζόταν πίσω από το φιλμ και θα ήταν θολό. Η ειδική περίπτωση 1:1: για s = 2f = 110 mm, θα είχαμε s' = 110 mm και |m| = 1 — το είδωλο ίσου μεγέθους με το αντικείμενο. Αυτή είναι η μακροφωτογραφία λόγου 1:1, που απαιτεί προέκταση 55 mm — δηλαδή διπλάσιο μήκος φακού. Τα 55 mm: είναι η κλασική εστιακή απόσταση κανονικού φακού για φιλμ 35 mm — δίνει προοπτική παρόμοια με την ανθρώπινη όραση.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Για αντικείμενο πολύ μακριά, η απόσταση του ειδώλου ισούται με την εστιακή απόσταση, δηλαδή πενήντα πέντε χιλιοστά, οπότε το φιλμ πρέπει να απέχει τόσο από τον φακό. Για αντικείμενο στα είκοσι πέντε εκατοστά, δηλαδή διακόσια πενήντα χιλιοστά, το αντίστροφο της απόστασης του ειδώλου ισούται με ένα προς πενήντα πέντε μείον ένα προς διακόσια πενήντα, που δίνει απόσταση ειδώλου εβδομήντα κόμμα πέντε χιλιοστά. Άρα ο φακός πρέπει να απομακρυνθεί από το φιλμ κατά δεκαπέντε κόμμα πέντε χιλιοστά. Η κατεύθυνση εξηγείται από το ότι όσο πλησιάζει το αντικείμενο τόσο μεγαλώνει η απόσταση του ειδώλου, οπότε για να παραμείνει το είδωλο πάνω στο φιλμ ο φακός πρέπει να προεκταθεί προς τα εμπρός. Πρακτικά, κάθε φακός φωτογραφικής μηχανής προεκτείνεται ορατά όταν εστιάζουμε κοντά, ενώ το όριο της προέκτασης καθορίζει την ελάχιστη απόσταση εστίασης. Για λόγο ένα προς ένα, δηλαδή είδωλο ίσου μεγέθους, θα χρειαζόταν προέκταση ίση με ολόκληρη την εστιακή απόσταση.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 28 — Πλησιάζει ή απομακρύνεται ο φακός όταν ο φωτογράφος πλησιάζει το θέμα
Ερώτηση: Ένας φωτογράφος πλησιάζει το "θέμα" του και "εστιάζει". Ο φακός της μηχανής πλησιάζει ή απομακρύνεται από το φιλμ;
Απάντηση:
-
Ο φακός ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΕΤΑΙ από το φιλμ.
Η αιτιολόγηση: όταν ο φωτογράφος πλησιάζει το θέμα, η απόσταση s του αντικειμένου μειώνεται. Από την εξίσωση των λεπτών φακών:
1/s' = 1/f − 1/s s μικραίνει ⇒ 1/s μεγαλώνει ⇒ 1/s' μικραίνει ⇒ s' ΜΕΓΑΛΩΝΕΙΤο είδωλο σχηματίζεται δηλαδή πιο μακριά από τον φακό. Για να παραμείνει πάνω στο φιλμ (που έχει σταθερή θέση μέσα στο σώμα της μηχανής), ο φακός πρέπει να προχωρήσει εμπρός, δηλαδή να απομακρυνθεί από το φιλμ.
ΜΑΚΡΙΑ ΚΟΝΤΑ 📷▓‖════════ 🌳 📷▓ ‖════ 🌳 φιλμ φακός φιλμ φακός (ΠΡΟΕΚΤΑΘΗΚΕ) ◄─s'─► ◄──s'──►Η ποσοτική επιβεβαίωση (άσκηση 27): για f = 55 mm,
s = ∞ → s' = 55,0 mm s = 250 mm → s' = 70,5 mm → απομάκρυνση 15,5 mm s = 110 mm → s' = 110,0 mm → απομάκρυνση 55,0 mm (λόγος 1:1)Η οριακή συμπεριφορά: όσο το s πλησιάζει το f, το s' τείνει στο άπειρο — δηλαδή θα χρειαζόταν άπειρη προέκταση. Γι' αυτό δεν μπορούμε να εστιάσουμε σε αντικείμενο πιο κοντά από την εστία.
Η πρακτική εικόνα: γυρίζοντας τον δακτύλιο εστίασης προς τις κοντινές αποστάσεις, ο φακός βγαίνει προς τα έξω. Είναι ο ίδιος μηχανισμός με το «τράβηγμα» της φυσούνας στις παλιές μηχανές μεγάλου φορμά. Το ίδιο ισχύει και για τον προβολέα: αν πλησιάσουμε τον προβολέα στην οθόνη (μικρότερο s'), πρέπει να απομακρύνουμε τον φακό από το φιλμ; Όχι — εκεί το ρόλο του «αντικειμένου» τον έχει το φιλμ, οπότε ισχύει η αντίστροφη λογική: πλησιάζοντας την οθόνη, ο φακός πλησιάζει το φιλμ. Η διαφορά από το ανθρώπινο μάτι (άσκηση 23): το μάτι δεν μετακινεί τον φακό του — αλλάζει την καμπυλότητά του, δηλαδή το f. Και οι δύο μέθοδοι πετυχαίνουν το ίδιο: να διατηρήσουν το είδωλο πάνω στη φωτοευαίσθητη επιφάνεια. Η σύνδεση με το βάθος πεδίου: όσο πιο κοντά εστιάζουμε, τόσο μικρότερο γίνεται το βάθος πεδίου — γι' αυτό στη μακροφωτογραφία μόνο ένα λεπτό «φύλλο» της σκηνής βγαίνει καθαρό.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο φακός απομακρύνεται από το φιλμ. Όταν ο φωτογράφος πλησιάζει το θέμα, η απόσταση του αντικειμένου μειώνεται, οπότε από την εξίσωση των λεπτών φακών το αντίστροφο της απόστασης του ειδώλου μικραίνει και η ίδια η απόσταση μεγαλώνει· το είδωλο σχηματίζεται δηλαδή πιο μακριά από τον φακό, και για να παραμείνει πάνω στο φιλμ, το οποίο έχει σταθερή θέση, ο φακός πρέπει να προεκταθεί προς τα εμπρός. Ενδεικτικά, για φακό πενήντα πέντε χιλιοστών, από πολύ μακριά μέχρι τα είκοσι πέντε εκατοστά η προέκταση είναι δεκαπέντε κόμμα πέντε χιλιοστά, ενώ για είδωλο ίσου μεγέθους φτάνει τα πενήντα πέντε χιλιοστά. Οριακά, όσο η απόσταση του αντικειμένου πλησιάζει την εστιακή, η απαιτούμενη προέκταση τείνει στο άπειρο, γι' αυτό δεν μπορούμε να εστιάσουμε πιο κοντά από την εστία. Διαφορετικά λειτουργεί το ανθρώπινο μάτι, το οποίο δεν μετακινεί τον φακό του αλλά αλλάζει την καμπυλότητά του, δηλαδή την εστιακή του απόσταση.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 29 — Σε ποια ελάχιστη απόσταση διαβάζει ο μύωπας με τα γυαλιά του πρεσβύωπα
Ερώτηση: Δυο φίλοι, ένας μύωπας και ένας πρεσβύωπας, βλέπουν τα αντικείμενα με τα γυαλιά του όπως κάθε άλλος άνθρωπος με κανονικά μάτια. Αν ο πρεσβύωπας κατά λάθος φορέσει τα γυαλιά του μύωπα φίλου του, διαπιστώνει ότι βλέπει καθαρά μόνο αντικείμενα στο άπειρο (πολύ μακρινά). Σε ποια ελάχιστη απόσταση ο μύωπας θα μπορεί να διαβάσει αν φορέσει κατά λάθος τα γυαλιά του πρεσβύωπα;
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα σε συμβολισμό:
f = εστιακή απόσταση των γυαλιών του ΜΥΩΠΑ (αρνητική) μ f = εστιακή απόσταση των γυαλιών του ΠΡΕΣΒΥΩΠΑ (θετική) π d = εγγύς σημείο του ΜΥΩΠΑ μ d = εγγύς σημείο του ΠΡΕΣΒΥΩΠΑ π Και οι δύο, με τα ΔΙΚΑ τους γυαλιά, βλέπουν «κανονικά», δηλαδή διαβάζουν στα 25 cm.Βήμα 1 — τι μας λέει ότι ο πρεσβύωπας βλέπει «μόνο στο άπειρο» Τα γυαλιά του μύωπα είναι αποκλίνοντα. Ένα αντικείμενο στο άπειρο δίνει είδωλο στην εστία τους, δηλαδή σε απόσταση |f_μ| μπροστά. Ο πρεσβύωπας το βλέπει καθαρά μόνο αν αυτό το είδωλο βρίσκεται ακριβώς στο εγγύς σημείο του:
|f | = d ⇒ f = − d (1) μ π μ πΒήμα 2 — τα γυαλιά του μύωπα τον κάνουν «κανονικό» Παίρνουν αντικείμενο στα 25 cm και σχηματίζουν είδωλο στο εγγύς σημείο d_μ:
1/f = 1/25 − 1/d (2) μ μΒήμα 3 — τα γυαλιά του πρεσβύωπα τον κάνουν «κανονικό»
1/f = 1/25 − 1/d (3) π πΒήμα 4 — ο μύωπας φοράει τα γυαλιά του πρεσβύωπα Η ελάχιστη απόσταση s_min αντιστοιχεί σε είδωλο ακριβώς στο εγγύς σημείο του μύωπα:
1/s = 1/f + 1/d (4) min π μΒήμα 5 — συνδυασμός Από την (1) και την (2):
−1/d = 1/25 − 1/d ⇒ 1/d = 1/25 + 1/d (5) π μ μ πΑντικαθιστούμε την (3) και την (5) στην (4):
1/s = (1/25 − 1/d ) + (1/25 + 1/d ) min π π = 1/25 + 1/25 = 2/25 ⇒ s = 12,5 cm minΑπάντηση: ο μύωπας θα μπορεί να διαβάσει σε ελάχιστη απόσταση 12,5 cm.
Το κομψό της λύσης: όλα τα άγνωστα (d_μ, d_π, f_μ, f_π) απλοποιούνται. Το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο από το πόσο βαριά είναι η μυωπία ή η πρεσβυωπία — εξαρτάται μόνο από τα 25 cm της κανονικής όρασης. Η φυσική ερμηνεία: τα γυαλιά του πρεσβύωπα είναι συγκλίνοντα και προσθέτουν διαθλαστική ισχύ. Ο μύωπας, που ήδη έχει «πλεόνασμα» ισχύος (γι' αυτό βλέπει κοντά), αποκτά ακόμη περισσότερη — και μπορεί να εστιάσει ακόμη πιο κοντά, στο μισό της κανονικής απόστασης. Η επαλήθευση με διοπτρίες: 1/s_min = 2/25 cm⁻¹ = 8 D. Η κανονική όραση αντιστοιχεί σε 4 D για τα 25 cm — άρα ο μύωπας με τα δανεικά γυαλιά «διαθέτει» διπλάσια ισχύ κοντινής εστίασης. Το πρακτικό συμπέρασμα: γι' αυτό ένας μύωπας που φοράει γυαλιά πρεσβυωπίας βλέπει τα μακρινά πολύ θολά αλλά μπορεί να διαβάσει πάρα πολύ κοντά — και μάλιστα με μεγέθυνση.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Συμβολίζουμε με εγγύς σημείο του καθενός την ελάχιστη απόσταση καθαρής όρασης χωρίς γυαλιά. Το ότι ο πρεσβύωπας με τα γυαλιά του μύωπα βλέπει καθαρά μόνο στο άπειρο σημαίνει ότι το είδωλο ενός απείρως μακρινού αντικειμένου, το οποίο σχηματίζεται στην εστία των αποκλινόντων γυαλιών, πέφτει ακριβώς στο εγγύς σημείο του πρεσβύωπα, οπότε το μέτρο της εστιακής απόστασης των γυαλιών του μύωπα ισούται με το εγγύς σημείο του πρεσβύωπα. Επιπλέον, τα γυαλιά καθενός τον κάνουν να διαβάζει στα είκοσι πέντε εκατοστά, δηλαδή μεταφέρουν αντικείμενο από τα είκοσι πέντε εκατοστά στο δικό του εγγύς σημείο. Συνδυάζοντας τις σχέσεις, όταν ο μύωπας φορέσει τα γυαλιά του πρεσβύωπα, το αντίστροφο της ελάχιστης απόστασης προκύπτει ίσο με δύο εικοστά πέμπτα ανά εκατοστό, οπότε η ελάχιστη απόσταση είναι δώδεκα κόμμα πέντε εκατοστά. Το κομψό της λύσης είναι ότι όλα τα άγνωστα απλοποιούνται και το αποτέλεσμα εξαρτάται μόνο από τα είκοσι πέντε εκατοστά της κανονικής όρασης. Φυσικά, τα συγκλίνοντα γυαλιά προσθέτουν ισχύ σε ένα μάτι που ήδη έχει πλεόνασμα, οπότε ο μύωπας εστιάζει στο μισό της κανονικής απόστασης.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 30 — Πώς αποδεικνύεται με φακό ότι η μεγέθυνση της σελήνης είναι φαινομενική
Ερώτηση: Οι δίσκοι του ηλίου και της σελήνης όταν βρίσκονται στον ορίζοντα φαίνονται μεγεθυσμένοι σε σχέση με τις διαστάσεις τους όταν βρίσκονται ψηλά στον ουρανό. Πώς μπορεί να αποδειχθεί πειραματικά με τη βοήθεια ενός φακού ότι η μεγέθυνση αυτή είναι φαινομενική.
Απάντηση:
-
Το πείραμα: σχηματίζουμε με έναν συγκλίνοντα φακό το πραγματικό είδωλο της Σελήνης πάνω σε μια οθόνη (ή σε φιλμ) και μετράμε τη διάμετρό του — δύο φορές: μία όταν η Σελήνη είναι στον ορίζοντα και μία όταν βρίσκεται ψηλά στον ουρανό.
Το αποτέλεσμα: η διάμετρος του ειδώλου βρίσκεται η ίδια και στις δύο μετρήσεις. Άρα η «μεγέθυνση» στον ορίζοντα δεν είναι οπτική — είναι ψευδαίσθηση της αντίληψης.
Η θεωρητική βάση: η διάμετρος του πραγματικού ειδώλου που σχηματίζει ένας φακός για ένα πολύ μακρινό αντικείμενο εξαρτάται μόνο από τη γωνιακή διάμετρο του αντικειμένου και από την εστιακή απόσταση:
D = f · θ ειδώλου γων Σελήνη: θ ≈ 0,5° ≈ 0,0093 rad γων Με φακό f = 500 mm: D = 500 × 0,0093 ≈ 4,6 mmΤο κρίσιμο: η γωνιακή διάμετρος της Σελήνης δεν αλλάζει αισθητά με το ύψος της. (Αν κάτι, στον ορίζοντα είναι ελαφρώς μικρότερη, γιατί η Σελήνη απέχει τότε από τον παρατηρητή περίπου μία ακτίνα Γης παραπάνω!)
Οι εναλλακτικές πειραματικές μέθοδοι: · Φωτογράφιση με τον ίδιο φακό και σύγκριση των δύο εικόνων — το ίδιο αποτέλεσμα. · Η κλασική μέθοδος χωρίς φακό: κρατάμε ένα κέρμα με τεντωμένο χέρι και συγκρίνουμε — καλύπτει εξίσου τη Σελήνη και στις δύο θέσεις.
Γιατί λοιπόν τη βλέπουμε μεγαλύτερη: πρόκειται για την «ψευδαίσθηση της Σελήνης», ένα αντιληπτικό και όχι οπτικό φαινόμενο. Οι επικρατέστερες εξηγήσεις: · στον ορίζοντα η Σελήνη συγκρίνεται με γνωστά αντικείμενα (δέντρα, κτίρια, βουνά), ενώ ψηλά βρίσκεται σε κενό φόντο· · ο εγκέφαλος αντιλαμβάνεται τον ουρανό ως πεπλατυσμένο θόλο και «τοποθετεί» τον ορίζοντα μακρύτερα — οπότε ερμηνεύει το ίδιο γωνιακό μέγεθος ως μεγαλύτερο αντικείμενο.
Η αξία της μεθόδου: το όργανο (φακός, φωτογραφική μηχανή) δίνει αντικειμενική μέτρηση, ανεπηρέαστη από τον εγκέφαλο. Είναι το κλασικό παράδειγμα του πώς ένα πείραμα διαχωρίζει το φυσικό φαινόμενο από την ψυχολογική ερμηνεία του. Η μία πραγματική οπτική αλλαγή στον ορίζοντα: η ατμοσφαιρική διάθλαση (σελ. 221) — βλέπουμε τον ήλιο, όταν πρόκειται να δύσει πεπλατυσμένο, διότι το κάτω άκρο του ανυψώνεται περισσότερο από όσο το επάνω. Δηλαδή ο δίσκος όχι μόνο δεν μεγαλώνει, αλλά συμπιέζεται κατακόρυφα! Η προσοχή στην παρατήρηση του Ήλιου: ποτέ δεν κοιτάζουμε τον Ήλιο απευθείας ή μέσα από φακό. Το πείραμα με τον Ήλιο γίνεται μόνο με προβολή του ειδώλου σε οθόνη.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Το πείραμα συνίσταται στο να σχηματίσουμε με συγκλίνοντα φακό το πραγματικό είδωλο της Σελήνης πάνω σε οθόνη ή σε φιλμ και να μετρήσουμε τη διάμετρό του δύο φορές, μία με τη Σελήνη στον ορίζοντα και μία με τη Σελήνη ψηλά στον ουρανό. Η διάμετρος του ειδώλου βρίσκεται ακριβώς η ίδια, άρα η μεγέθυνση είναι φαινομενική. Θεωρητικά, η διάμετρος του ειδώλου ενός πολύ μακρινού αντικειμένου ισούται με το γινόμενο της εστιακής απόστασης επί τη γωνιακή του διάμετρο, η οποία για τη Σελήνη είναι περίπου μισή μοίρα και δεν αλλάζει με το ύψος της· αν κάτι, στον ορίζοντα είναι ελάχιστα μικρότερη, γιατί η Σελήνη απέχει τότε κατά μία ακτίνα Γης περισσότερο. Το φαινόμενο ονομάζεται ψευδαίσθηση της Σελήνης και είναι αντιληπτικό: στον ορίζοντα η Σελήνη συγκρίνεται με γνωστά αντικείμενα και ο εγκέφαλος αντιλαμβάνεται τον ουρανό ως πεπλατυσμένο θόλο. Η μόνη πραγματική οπτική αλλαγή είναι η ατμοσφαιρική διάθλαση, η οποία, όπως αναφέρει το βιβλίο, κάνει τον δίσκο πεπλατυσμένο και όχι μεγαλύτερο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 31 — Γιατί ο κολυμβητής βλέπει θολά χωρίς μάσκα
Ερώτηση: Γιατί ένας κολυμβητής βλέπει μόνο ασαφή περιγράμματα των αντικειμένων αν ανοίγει τα μάτια του μέσα στο νερό, ενώ τα βλέπει ευκρινώς όταν φοράει μάσκα;
Απάντηση:
-
Η αιτία: ο κερατοειδής χάνει σχεδόν όλη τη διαθλαστική του ισχύ μέσα στο νερό.
Πώς λειτουργεί το μάτι στον αέρα: η σύγκλιση των ακτίνων γίνεται σε δύο στάδια:
ΚΕΡΑΤΟΕΙΔΗΣ (αέρας → κερατοειδής): ~ 43 D (τα 2/3 της ισχύος!) ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΕΙΔΗΣ ΦΑΚΟΣ: ~ 20 D ──────────────────────────────────────────── ΣΥΝΟΛΟ: ~ 60 DΗ μεγάλη συνεισφορά του κερατοειδούς οφείλεται στη μεγάλη διαφορά δεικτών: αέρας (1,00) → κερατοειδής (1,376).
Τι συμβαίνει μέσα στο νερό: ο δείκτης του νερού είναι 1,33 — σχεδόν ίδιος με τον δείκτη του κερατοειδούς (1,376).
ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ: διαφορά δεικτών = 1,376 − 1,000 = 0,376 → ισχυρή κάμψη ΣΤΟ ΝΕΡΟ: διαφορά δεικτών = 1,376 − 1,333 = 0,043 → σχεδόν ΜΗΔΕΝ ⇒ ο κερατοειδής χάνει περίπου το 90% της ισχύος του!Το αποτέλεσμα: η συνολική ισχύς του ματιού πέφτει από ≈ 60 D σε ≈ 22 D. Το είδωλο σχηματίζεται πολύ πίσω από τον αμφιβληστροειδή και ο κολυμβητής βλέπει εξαιρετικά θολά — σαν βαριά υπερμετρωπία (περίπου +38 διοπτρίες!).
ΑΕΡΑΣ ΝΕΡΟ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ══●══ ▓ αμφιβληστροειδής ═══╲══╱═ ▓ εστίαση ΣΩΣΤΗ ✔ ● εστίαση ΠΙΣΩ ✘Γιατί η μάσκα λύνει το πρόβλημα: παρεμβάλλει ένα στρώμα αέρα ανάμεσα στο νερό και στο μάτι, οπότε αποκαθίσταται η διεπιφάνεια αέρας–κερατοειδής και μαζί της όλη η αρχική διαθλαστική ισχύς.
ΝΕΡΟ │ τζάμι │ ΑΕΡΑΣ │ ΚΕΡΑΤΟΕΙΔΗΣ μάσκας ▲ η κρίσιμη διεπιφάνεια ΑΠΟΚΑΘΙΣΤΑΤΑΙ ✔Η σύνδεση με την άσκηση 21: είναι ακριβώς το ίδιο φαινόμενο — ένας φακός χάνει τη σύγκλισή του όταν βυθιστεί σε μέσο με παρόμοιο δείκτη. Ο κερατοειδής είναι απλώς ένας φυσικός φακός στον οποίο συμβαίνει το ίδιο. Η παρενέργεια της μάσκας (άσκηση 14): το επίπεδο τζάμι της μάσκας κάνει τα πάντα να φαίνονται 33% μεγαλύτερα και 25% πιο κοντά — γι' αυτό οι δύτες εκπαιδεύονται να διορθώνουν τις εκτιμήσεις τους. Γιατί τα ψάρια βλέπουν καθαρά στο νερό: ο κρυσταλλοειδής φακός τους είναι σφαιρικός και με πολύ μεγάλο δείκτη διάθλασης (≈ 1,65), ώστε να αναλαμβάνει μόνος του όλη τη σύγκλιση — χωρίς καμία συνεισφορά του κερατοειδούς. Είναι η εξελικτική απάντηση στο ίδιο ακριβώς πρόβλημα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η αιτία είναι ότι ο κερατοειδής χάνει σχεδόν όλη τη διαθλαστική του ισχύ μέσα στο νερό. Στον αέρα το μάτι συγκλίνει τις ακτίνες σε δύο στάδια, με τον κερατοειδή να προσφέρει περίπου σαράντα τρεις διοπτρίες, δηλαδή τα δύο τρίτα της συνολικής ισχύος, και τον κρυσταλλοειδή φακό περίπου είκοσι· η μεγάλη συνεισφορά του κερατοειδούς οφείλεται στη μεγάλη διαφορά δεικτών ανάμεσα στον αέρα και σε αυτόν. Μέσα στο νερό όμως ο δείκτης του νερού είναι σχεδόν ίδιος με του κερατοειδούς, οπότε η διαφορά μηδενίζεται πρακτικά και η ισχύς του καταρρέει. Έτσι η συνολική ισχύς του ματιού πέφτει από περίπου εξήντα σε περίπου είκοσι δύο διοπτρίες, το είδωλο σχηματίζεται πολύ πίσω από τον αμφιβληστροειδή και ο κολυμβητής βλέπει θολά, σαν να έχει βαριά υπερμετρωπία. Η μάσκα λύνει το πρόβλημα, γιατί παρεμβάλλει στρώμα αέρα και αποκαθιστά τη διεπιφάνεια αέρα και κερατοειδούς. Πρόκειται για το ίδιο φαινόμενο με τον μεγεθυντικό φακό μέσα στο νερό, ενώ τα ψάρια βλέπουν καθαρά γιατί έχουν σφαιρικό φακό με πολύ μεγάλο δείκτη διάθλασης.
Κριτήρια αξιολόγησης:
