Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 4 (σελ. 117-119) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ
Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 4
Πλήρεις λύσεις και των 15 ασκήσεων — η φύση των μηχανικών κυμάτων, εγκάρσια και διαμήκη, τα κύματα στην επιφάνεια των υγρών, η θεμελιώδης εξίσωση, η διάκριση ταχύτητας κύματος και ταχύτητας σωματίων, και προβλήματα συχνότητας, περιόδου, μήκους κύματος και αλλαγής μέσου.
Άσκηση 1 — Τι μεταφέρουν τα κύματα
Ερώτηση: Τα κύματα μεταφέρουν: α) μάζα β) ηλεκτρικό φορτίο γ) ενέργεια δ) ηλεκτρικό φορτίο και μάζα
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: γ) ενέργεια.
Η τεκμηρίωση (σελ. 98): τα σωμάτια του μέσου απλώς ταλαντώνονται γύρω από τη θέση ισορροπίας τους, χωρίς βέβαια να ξεριζώνονται, καθώς τα κύματα διαδίδονται από τη μία άκρη του αγρού στην άλλη. Η εικόνα του σταροχώραφου που «κυματίζει» στον άνεμο είναι ακριβώς αυτό: τα στάχυα δεν ταξιδεύουν — η κυματική μορφή ταξιδεύει.
ΤΙ ΤΑΞΙΔΕΥΕΙ ΚΑΙ ΤΙ ΟΧΙ ✔ ταξιδεύει: η ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ (η μορφή) και η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ✘ ΔΕΝ ταξιδεύει: η ΥΛΗ — κάθε σωμάτιο ταλαντώνεται επιτόπουΓιατί αποκλείονται οι υπόλοιπες: α) μάζα: αν μεταφερόταν μάζα, το μέσο θα αδείαζε από τη μια άκρη και θα γέμιζε στην άλλη. β) και δ) ηλεκτρικό φορτίο: τα μηχανικά κύματα διαδίδονται σε ουδέτερα μέσα (νερό, αέρας, σχοινί) και δεν έχουν καμία σχέση με φορτία. Ακόμη και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα (κεφ. 7) μεταφέρουν ενέργεια, όχι φορτίο. Η απόδειξη από την καθημερινή εμπειρία: ένα φελλό πάνω στη θάλασσα ανεβοκατεβαίνει καθώς περνούν τα κύματα, αλλά δεν μεταφέρεται στην ακτή. Το ίδιο και η σημαδούρα που χρησιμοποιεί το βιβλίο ως παράδειγμα (σελ. 106). Η ενέργεια που μεταφέρεται: είναι κινητική (λόγω της ταλάντωσης) και δυναμική (λόγω της παραμόρφωσης του μέσου). Ένα τσουνάμι αποδεικνύει τη δύναμη αυτής της μεταφοράς — η ενέργεια ενός σεισμού ταξιδεύει χιλιάδες χιλιόμετρα και εκλύεται στην ακτή.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση γ, δηλαδή τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια. Όπως τονίζει το βιβλίο, τα σωμάτια του μέσου απλώς ταλαντώνονται γύρω από τη θέση ισορροπίας τους χωρίς να ξεριζώνονται, ενώ αυτό που ταξιδεύει είναι η διαταραχή και η ενέργεια. Η μάζα αποκλείεται, γιατί διαφορετικά το μέσο θα άδειαζε από τη μια άκρη και θα γέμιζε στην άλλη· το ηλεκτρικό φορτίο αποκλείεται, γιατί τα μηχανικά κύματα διαδίδονται σε ουδέτερα μέσα, όπως το νερό, ο αέρας και το σχοινί. Η καθημερινή εμπειρία το επιβεβαιώνει: ένας φελλός ή μια σημαδούρα ανεβοκατεβαίνει καθώς περνούν τα κύματα αλλά δεν μεταφέρεται στην ακτή. Η ενέργεια που μεταφέρεται είναι κινητική, λόγω της ταλάντωσης, και δυναμική, λόγω της παραμόρφωσης του μέσου· η ισχύς αυτής της μεταφοράς φαίνεται στα τσουνάμι, όπου η ενέργεια ενός σεισμού ταξιδεύει χιλιάδες χιλιόμετρα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 2 — Πού διαδίδονται τα εγκάρσια κύματα
Ερώτηση: Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται μόνον: α) στα στερεά και στην επιφάνεια των υγρών β) στα υγρά και στην επιφάνεια των στερεών γ) στα αέρια και στην επιφάνεια των υγρών δ) στα υγρά και στα αέρια
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: α) στα στερεά και στην επιφάνεια των υγρών.
Η αιτιολόγηση: στο εγκάρσιο κύμα τα σωμάτια κινούνται κάθετα προς τη διεύθυνση διάδοσης. Για να «παρασύρει» ένα σωμάτιο το διπλανό του σε εγκάρσια κίνηση, χρειάζεται δύναμη διάτμησης — δηλαδή το μέσο πρέπει να αντιστέκεται στην αλλαγή σχήματος.
ΣΤΕΡΕΑ: έχουν ελαστικότητα ΣΧΗΜΑΤΟΣ → ✔ εγκάρσια κύματα ΥΓΡΑ: δεν έχουν (ρέουν ελεύθερα) → ✘ όχι στο εσωτερικό τους ΑΕΡΙΑ: ούτε αυτά → ✘ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΩΝ: εκεί δρα η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΤΑΣΗ και η ΒΑΡΥΤΗΤΑ, που παίζουν τον ρόλο της «επαναφοράς» → ✔Γιατί τα υγρά και τα αέρια δεν διαδίδουν εγκάρσια κύματα στο εσωτερικό τους: αν προσπαθήσουμε να στρίψουμε ένα στρώμα νερού ως προς το διπλανό, αυτό απλώς ρέει — δεν αναπτύσσεται δύναμη επαναφοράς, άρα δεν υπάρχει μηχανισμός να επιστρέψει το σωμάτιο στη θέση του και να συνεχιστεί η ταλάντωση. Τα διαμήκη κύματα, αντίθετα, διαδίδονται σε όλα τα μέσα, γιατί όλα (στερεά, υγρά, αέρια) αντιστέκονται στην αλλαγή όγκου — είναι συμπιεστά και ελαστικά ως προς τη συμπίεση. Η θεαματική επιβεβαίωση — τα σεισμικά κύματα (κεφ. 5): τα S κύματα είναι εγκάρσια και δεν περνούν από τον υγρό εξωτερικό πυρήνα της Γης, ενώ τα P (διαμήκη) περνούν. Ακριβώς από αυτή τη «σκιά» των S κυμάτων αποδείχθηκε ότι ο πυρήνας της Γης είναι υγρός. Η προσοχή στη διατύπωση: η επιφάνεια των υγρών επιτρέπει εγκάρσια (και μάλιστα μεικτά) κύματα — γι' αυτό βλέπουμε κύματα στη θάλασσα. Το εσωτερικό τους όμως όχι.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση α, δηλαδή τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται μόνο στα στερεά και στην επιφάνεια των υγρών. Στο εγκάρσιο κύμα τα σωμάτια κινούνται κάθετα προς τη διεύθυνση διάδοσης, οπότε για να παρασυρθεί το ένα σωμάτιο από το διπλανό χρειάζεται δύναμη διάτμησης, δηλαδή το μέσο πρέπει να αντιστέκεται στην αλλαγή σχήματος. Τα στερεά έχουν ελαστικότητα σχήματος, ενώ τα υγρά και τα αέρια απλώς ρέουν και δεν αναπτύσσουν δύναμη επαναφοράς, γι' αυτό δεν διαδίδουν εγκάρσια κύματα στο εσωτερικό τους. Στην επιφάνεια των υγρών όμως δρουν η επιφανειακή τάση και η βαρύτητα, οι οποίες παίζουν τον ρόλο της επαναφοράς. Αντίθετα, τα διαμήκη κύματα διαδίδονται σε όλα τα μέσα, γιατί όλα αντιστέκονται στην αλλαγή όγκου. Θεαματική επιβεβαίωση αποτελούν τα σεισμικά κύματα: τα εγκάρσια δευτερογενή δεν περνούν από τον υγρό εξωτερικό πυρήνα της Γης, ενώ τα διαμήκη πρωτογενή περνούν, και ακριβώς από αυτή τη σκιά αποδείχθηκε ότι ο πυρήνας είναι υγρός.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 3 — Πώς κινούνται τα σωματίδια στα εγκάρσια κύματα
Ερώτηση: Στα εγκάρσια κύματα ελαστικότητας τα σωματίδια του μέσου διάδοσης κινούνται: α) σε κυκλικές τροχιές β) σε ελλειπτικές τροχιές γ) παράλληλα προς το διάνυσμα της ταχύτητας διάδοσης του κύματος δ) κάθετα προς το διάνυσμα της ταχύτητας διάδοσης του κύματος
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: δ) κάθετα προς το διάνυσμα της ταχύτητας διάδοσης του κύματος.
Ο ορισμός (σελ. 99): Το κάθε σωμάτιο του σχοινιού ταλαντώνεται κάθετα προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος — και Η κάθετη κίνηση των σωματίων του σχοινιού, σε σχέση με τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος, λέγεται εγκάρσια.
ταλάντωση σωματίου ↕ ╱╲ ↕ ╱╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ────╱────╲────╱───╲────╱────╲────► διάδοση κύματος (ταχύτητα υ) Η κίνηση των σωματίων είναι ΚΑΘΕΤΗ στη διάδοσηΓιατί αποκλείονται οι υπόλοιπες: α) κυκλικές τροχιές και β) ελλειπτικές τροχιές: αυτό συμβαίνει στα κύματα της επιφάνειας των υγρών (σελ. 103): Τα σωμάτια στην επιφάνεια του νερού κινούνται σχεδόν κυκλικά — τα κύματα όμως αυτά δεν είναι καθαρά εγκάρσια. γ) παράλληλα προς την ταχύτητα διάδοσης: αυτός είναι ο ορισμός των διαμήκων κυμάτων. Η ονομασία «κύματα ελαστικότητας»: τα μηχανικά κύματα λέγονται και ελαστικά, γιατί στηρίζονται στην ελαστικότητα του μέσου — τη δύναμη επαναφοράς που φέρνει κάθε σωμάτιο πίσω στη θέση ισορροπίας του. Η βασική συνέπεια της «κάθετης» κίνησης: το εγκάρσιο κύμα έχει πόλωση — μπορεί να ταλαντώνεται σε οριζόντιο, κατακόρυφο ή οποιοδήποτε ενδιάμεσο επίπεδο, όπως δείχνει και το βιβλίο (εικόνα 4.3, σελ. 98): Στιγμιότυπο κυματικών παλμών που διαδίδονται (α) οριζόντια και (β) κατακόρυφα. Τα διαμήκη κύματα δεν πολώνονται. Πού αξιοποιείται η πόλωση: στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, που είναι επίσης εγκάρσια — γι' αυτό λειτουργούν τα πολωτικά γυαλιά ηλίου (κεφ. 10).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση δ, δηλαδή τα σωματίδια κινούνται κάθετα προς το διάνυσμα της ταχύτητας διάδοσης. Αυτός ακριβώς είναι ο ορισμός του εγκάρσιου κύματος, όπως τον δίνει το βιβλίο για το τεντωμένο σχοινί. Οι κυκλικές και οι ελλειπτικές τροχιές αφορούν τα σωμάτια στην επιφάνεια των υγρών, τα κύματα των οποίων δεν είναι καθαρά εγκάρσια, ενώ η παράλληλη προς την ταχύτητα κίνηση είναι ο ορισμός των διαμήκων κυμάτων. Τα μηχανικά κύματα ονομάζονται και κύματα ελαστικότητας, γιατί στηρίζονται στη δύναμη επαναφοράς που φέρνει κάθε σωμάτιο πίσω στη θέση ισορροπίας του. Βασική συνέπεια της κάθετης κίνησης είναι ότι το εγκάρσιο κύμα μπορεί να πολωθεί, δηλαδή να ταλαντώνεται σε οριζόντιο, κατακόρυφο ή ενδιάμεσο επίπεδο, ενώ τα διαμήκη κύματα δεν πολώνονται· στην ιδιότητα αυτή στηρίζονται τα πολωτικά γυαλιά ηλίου, αφού και το φως είναι εγκάρσιο κύμα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 4 — Τι είδους είναι τα κύματα στην επιφάνεια των υγρών
Ερώτηση: Τα κύματα στην επιφάνεια των υγρών είναι: α) διαμήκη β) εγκάρσια γ) ταυτοχρόνως και διαμήκη και εγκάρσια δ) πλάγια προς την επιφάνεια του βυθού
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: γ) ταυτοχρόνως και διαμήκη και εγκάρσια.
Η ρητή διατύπωση του βιβλίου (σελ. 103): Τα κύματα στην επιφάνεια του νερού δεν είναι ούτε εγκάρσια, ούτε διαμήκη. Τα σωμάτια στην επιφάνεια του νερού κινούνται σχεδόν κυκλικά και μετατοπίζονται τόσο οριζόντια όσο και κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας τους.
κατεύθυνση διάδοσης ──► ╱╲ ╱╲ ╱╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ───╱────╲──────╱────╲──────╱────╲─── Το σωμάτιο του νερού: ↻ κυκλική τροχιά ↕ εγκάρσια συνιστώσα (κατακόρυφη) ↔ διαμήκης συνιστώσα (οριζόντια)Η ανάλυση της κυκλικής κίνησης: η κυκλική τροχιά κάθε σωματίου αναλύεται σε δύο συνιστώσες: · μια κατακόρυφη (κάθετη στη διάδοση) — αυτή είναι η εγκάρσια συνιστώσα, που δίνει τις κορυφές και τις κοιλίες· · μια οριζόντια (παράλληλη στη διάδοση) — αυτή είναι η διαμήκης συνιστώσα. Γιατί συμβαίνει αυτό: στην επιφάνεια συνυπάρχουν δύο μηχανισμοί επαναφοράς — η βαρύτητα (που τραβά προς τα κάτω τις κορυφές) και η επιφανειακή τάση. Το αποτέλεσμα δεν είναι καθαρή κίνηση ούτε κατά τη μία ούτε κατά την άλλη διεύθυνση. Πώς φαίνεται στην πράξη: ένας φελλός πάνω στο κύμα δεν ανεβοκατεβαίνει μόνο — κάνει και μπρος-πίσω, διαγράφοντας έναν σχεδόν κλειστό κύκλο σε κάθε περίοδο. Γιατί αποκλείεται η δ): η φράση «πλάγια προς την επιφάνεια του βυθού» δεν περιγράφει καν είδος κύματος — είναι απλώς γεωμετρική διατύπωση χωρίς φυσικό περιεχόμενο. Η προσοχή στην απάντηση β): πολλοί απαντούν «εγκάρσια», γιατί βλέπουν τις κορυφές και τις κοιλίες. Αυτό όμως είναι μόνο η μία από τις δύο συνιστώσες. Το βάθος έχει σημασία: όσο πλησιάζουμε στον βυθό, οι τροχιές γίνονται όλο και πιο επίπεδες (ελλείψεις) και τελικά, πολύ κοντά στον πυθμένα, σχεδόν οριζόντιες — δηλαδή σχεδόν καθαρά διαμήκεις.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση γ, δηλαδή τα κύματα στην επιφάνεια των υγρών είναι ταυτόχρονα και διαμήκη και εγκάρσια. Όπως αναφέρει ρητά το βιβλίο, τα σωμάτια στην επιφάνεια του νερού κινούνται σχεδόν κυκλικά και μετατοπίζονται τόσο οριζόντια όσο και κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας τους. Η κυκλική τροχιά αναλύεται σε μια κατακόρυφη συνιστώσα, κάθετη στη διάδοση, που είναι η εγκάρσια και δίνει τις κορυφές και τις κοιλίες, και σε μια οριζόντια συνιστώσα, παράλληλη στη διάδοση, που είναι η διαμήκης. Αυτό συμβαίνει γιατί στην επιφάνεια συνυπάρχουν δύο μηχανισμοί επαναφοράς, η βαρύτητα και η επιφανειακή τάση. Πρακτικά, ένας φελλός πάνω στο κύμα δεν ανεβοκατεβαίνει μόνο αλλά κάνει και κίνηση μπρος πίσω, διαγράφοντας σχεδόν κλειστό κύκλο. Σημειώνεται ότι όσο πλησιάζουμε στον βυθό οι τροχιές γίνονται όλο και πιο επίπεδες και τελικά σχεδόν οριζόντιες, δηλαδή σχεδόν καθαρά διαμήκεις.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 5 — Σχέση μήκους κύματος και συχνότητας για σταθερή ταχύτητα
Ερώτηση: Πώς συνδέονται το μήκος κύματος και η συχνότητα για κύματα συγκεκριμένης σταθερής ταχύτητας διάδοσης;
Απάντηση:
-
Η σχέση — η θεμελιώδης εξίσωση των κυμάτων (σελ. 108):
υ = λ · f ⇒ λ = υ / fΗ απάντηση: για σταθερή ταχύτητα διάδοσης, το μήκος κύματος και η συχνότητα είναι αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη — το γινόμενό τους είναι σταθερό και ίσο με την ταχύτητα.
υ σταθερή ⇒ λ · f = σταθερό f διπλασιάζεται → λ υποδιπλασιάζεται f τριπλασιάζεται → λ γίνεται το ένα τρίτο f μεγάλη → λ μικρό f μικρή → λ μεγάλοΗ προέλευση της σχέσης: σε χρόνο μιας περιόδου Τ, το κύμα προχωρά κατά ένα μήκος κύματος λ. Άρα:
υ = διάστημα/χρόνος = λ/Τ και επειδή f = 1/Τ (σελ. 106) υ = λ·fΗ κρίσιμη προϋπόθεση: «σταθερή ταχύτητα» σημαίνει ίδιο μέσο διάδοσης. Η ταχύτητα ενός κύματος καθορίζεται από τις ιδιότητες του μέσου (πυκνότητα, ελαστικότητα) — όχι από την πηγή. Τι γίνεται αν αλλάξει το μέσο (σελ. 107): η συχνότητα παραμένει αναλλοίωτη, από όποιο μέσο και αν περάσει το κύμα — γιατί την καθορίζει η πηγή. Αλλάζει η ταχύτητα, και μαζί της αναγκαστικά το μήκος κύματος. Παράδειγμα από τον ήχο: στον αέρα (340 m/s), μια νότα La των 440 Hz έχει λ = 0,77 m. Στο νερό (1.450 m/s) η ίδια νότα έχει λ = 3,3 m — τετραπλάσιο μήκος κύματος, ίδια συχνότητα. Παράδειγμα από το ραδιόφωνο: στα FM, οι σταθμοί των 100 MHz έχουν λ = 3 m· στα AM, οι σταθμοί των 1.000 kHz έχουν λ = 300 m — εκατονταπλάσιο μήκος για εκατονταπλάσια μικρότερη συχνότητα, με την ίδια ταχύτητα (c).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η σχέση δίνεται από τη θεμελιώδη εξίσωση των κυμάτων, δηλαδή ταχύτητα ίσον μήκος κύματος επί συχνότητα. Για σταθερή ταχύτητα διάδοσης, το μήκος κύματος και η συχνότητα είναι αντιστρόφως ανάλογα: το γινόμενό τους παραμένει σταθερό και ίσο με την ταχύτητα, οπότε αν η συχνότητα διπλασιαστεί το μήκος κύματος υποδιπλασιάζεται. Η σχέση προκύπτει από το ότι σε χρόνο μιας περιόδου το κύμα προχωρά κατά ένα μήκος κύματος, οπότε η ταχύτητα ισούται με το μήκος κύματος προς την περίοδο, και επειδή η συχνότητα είναι το αντίστροφο της περιόδου προκύπτει η ζητούμενη σχέση. Κρίσιμη προϋπόθεση είναι ότι η ταχύτητα μένει σταθερή, δηλαδή ότι το μέσο διάδοσης δεν αλλάζει, αφού την ταχύτητα την καθορίζουν οι ιδιότητες του μέσου. Αν αλλάξει το μέσο, η συχνότητα παραμένει αναλλοίωτη γιατί την καθορίζει η πηγή, ενώ αλλάζει η ταχύτητα και μαζί της αναγκαστικά το μήκος κύματος.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 6 — Διαφορές εγκάρσιων και διαμήκων κυμάτων
Ερώτηση: Ποιες οι διαφορές των εγκάρσιων και των διαμήκων κυμάτων;
Απάντηση:
-
Ο συγκριτικός πίνακας:
Χαρακτηριστικό Εγκάρσια Διαμήκη Κίνηση των σωματίων κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης Μορφή κορυφές και κοιλίες πυκνώματα και αραιώματα Μέσα διάδοσης στερεά και επιφάνεια υγρών στερεά, υγρά και αέρια Πόλωση ναι όχι Μηχανισμός επαναφοράς ελαστικότητα σχήματος (διάτμηση) ελαστικότητα όγκου (συμπίεση) Παραδείγματα κύμα σε σχοινί, S σεισμικά, φως ήχος, κύμα σε ελατήριο, P σεισμικά ΕΓΚΑΡΣΙΟ (σχοινί) ΔΙΑΜΗΚΕΣ (ελατήριο) ↕ ←→ ╱╲ ╱╲ ||| | | ||| | | ||| ╱ ╲ ╱ ╲ πύκνωμα αραίωμα πύκνωμα ╱────╲╱────╲───► ───────────────────────►Τι ΔΕΝ διαφέρει (σελ. 98): Οι δύο τύποι κυμάτων διαφέρουν κυρίως στη μορφή. Έχουν όμως τις ίδιες φυσικές ιδιότητες και περιγράφονται από τις ίδιες μαθηματικές εξισώσεις. Δηλαδή: · και τα δύο μεταφέρουν ενέργεια και όχι ύλη· · και για τα δύο ισχύει υ = λ·f· · και τα δύο εμφανίζουν ανάκλαση, διάθλαση και συμβολή· · και για τα δύο η συχνότητα καθορίζεται από την πηγή και η ταχύτητα από το μέσο.
Η βαθύτερη αιτία της διαφοράς στα μέσα διάδοσης: το εγκάρσιο κύμα απαιτεί το μέσο να αντιστέκεται στην αλλαγή σχήματος — ιδιότητα που έχουν μόνο τα στερεά. Το διάμηκες απαιτεί αντίσταση στην αλλαγή όγκου, την οποία έχουν όλα τα μέσα. Η αντιστοιχία των μεγεθών: το μήκος κύματος στο εγκάρσιο μετριέται από κορυφή σε κορυφή, στο διάμηκες από πύκνωμα σε πύκνωμα. Το πλάτος στο εγκάρσιο είναι η μέγιστη εγκάρσια απομάκρυνση, στο διάμηκες η μέγιστη διαμήκης απομάκρυνση των σωματίων. Το πρακτικό συμπέρασμα από τους σεισμούς (κεφ. 5): επειδή τα P (διαμήκη) διαδίδονται ταχύτερα (6 km/s) από τα S (εγκάρσια, 3,5 km/s), φτάνουν πρώτα στον σεισμογράφο — και από τη διαφορά των χρόνων άφιξης υπολογίζεται η απόσταση του επικέντρου.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι διαφορές είναι οι εξής. Στα εγκάρσια κύματα τα σωμάτια κινούνται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης και σχηματίζονται κορυφές και κοιλίες, ενώ στα διαμήκη κινούνται παράλληλα προς τη διάδοση και σχηματίζονται πυκνώματα και αραιώματα. Τα εγκάρσια διαδίδονται μόνο στα στερεά και στην επιφάνεια των υγρών, γιατί απαιτούν αντίσταση του μέσου στην αλλαγή σχήματος, ενώ τα διαμήκη σε όλα τα μέσα, γιατί απαιτούν αντίσταση στην αλλαγή όγκου, την οποία έχουν όλα. Επίσης τα εγκάρσια μπορούν να πολωθούν, ενώ τα διαμήκη όχι. Παραδείγματα εγκάρσιων είναι το κύμα σε σχοινί, τα δευτερογενή σεισμικά και το φως, ενώ διαμήκων ο ήχος, το κύμα σε ελατήριο και τα πρωτογενή σεισμικά. Αντίθετα, δεν διαφέρουν στις φυσικές τους ιδιότητες: το βιβλίο τονίζει ότι διαφέρουν κυρίως στη μορφή αλλά περιγράφονται από τις ίδιες μαθηματικές εξισώσεις, μεταφέρουν και τα δύο ενέργεια και όχι ύλη, υπακούουν στη θεμελιώδη εξίσωση και εμφανίζουν ανάκλαση, διάθλαση και συμβολή.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 7 — Διανύει η σπείρα του ελατηρίου τρία μέτρα σε ένα δευτερόλεπτο
Ερώτηση: Υποθέστε ότι ένα διάμηκες κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός ελατηρίου με ταχύτητα 3 m/s. Αυτό σημαίνει ότι μία σπείρα του ελατηρίου θα διανύσει μία απόσταση 3 m σε ένα δευτερόλεπτο; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
Απάντηση:
-
Όχι, δεν σημαίνει αυτό.
Η κρίσιμη διάκριση: υπάρχουν δύο εντελώς διαφορετικές ταχύτητες:
1. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ του κύματος (υ = 3 m/s) → με αυτήν προχωρά η ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ κατά μήκος του ελατηρίου → την καθορίζει το ΜΕΣΟ (μάζα και σκληρότητα του ελατηρίου) 2. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ κάθε σπείρας → με αυτήν κινείται η σπείρα γύρω από τη θέση ισορροπίας της → την καθορίζουν το ΠΛΑΤΟΣ και η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ της πηγής → ΜΕΤΑΒΑΛΛΕΤΑΙ συνεχώς: μηδέν στα άκρα, μέγιστη στο κέντροΤι κάνει πραγματικά η σπείρα (σελ. 98): απλώς ταλαντώνεται γύρω από τη θέση ισορροπίας της, χωρίς βέβαια να ξεριζώνεται. Σε ένα δευτερόλεπτο η σπείρα εκτελεί f ταλαντώσεις γύρω από σταθερό σημείο και στο τέλος βρίσκεται εκεί που ξεκίνησε — η μετατόπισή της είναι μηδέν.
ΤΟ ΚΥΜΑ: ────────────────────────────► 3 m σε 1 s Η ΣΠΕΙΡΑ: ← • → ← • → ← • → ταλαντώνεται επιτόπου (μετατόπιση σε 1 s = ΜΗΔΕΝ)Πόση απόσταση διανύει τελικά η σπείρα: αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α και η συχνότητα f, τότε σε μία περίοδο η σπείρα διανύει διάστημα 4Α (πηγαίνει και έρχεται δύο φορές). Σε 1 s το διάστημα είναι 4·Α·f — ένα εντελώς διαφορετικό μέγεθος από τα 3 m, που εξαρτάται από το πλάτος και όχι από την ταχύτητα διάδοσης. Ένα αριθμητικό παράδειγμα: με πλάτος Α = 1 cm και συχνότητα f = 5 Hz, η σπείρα διανύει 4 × 0,01 × 5 = 0,2 m σε ένα δευτερόλεπτο — δηλαδή δεκαπέντε φορές λιγότερο από τα 3 m του κύματος. Η αναλογία του «κύματος» στο γήπεδο: όταν οι θεατές σηκώνονται και κάθονται διαδοχικά, το «κύμα» μπορεί να κάνει τον γύρο του σταδίου σε λίγα δευτερόλεπτα — κανένας θεατής όμως δεν μετακινείται από τη θέση του. Η γενική αρχή: το κύμα μεταφέρει ενέργεια, όχι ύλη. Η ταχύτητα διάδοσης είναι ταχύτητα της μορφής και της ενέργειας, όχι της ύλης.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι, δεν σημαίνει αυτό. Πρέπει να διακρίνουμε δύο εντελώς διαφορετικές ταχύτητες: την ταχύτητα διάδοσης του κύματος, δηλαδή τα τρία μέτρα ανά δευτερόλεπτο, με την οποία προχωρά η διαταραχή κατά μήκος του ελατηρίου και την οποία καθορίζει το μέσο, και την ταχύτητα ταλάντωσης κάθε σπείρας, με την οποία αυτή κινείται γύρω από τη θέση ισορροπίας της και την οποία καθορίζουν το πλάτος και η συχνότητα της πηγής. Η σπείρα απλώς ταλαντώνεται γύρω από τη θέση ισορροπίας της χωρίς να ξεριζώνεται, οπότε μετά από ένα δευτερόλεπτο βρίσκεται εκεί που ξεκίνησε και η μετατόπισή της είναι μηδέν. Η συνολική απόσταση που διανύει σε μία περίοδο είναι τέσσερις φορές το πλάτος, οπότε σε ένα δευτερόλεπτο διανύει τέσσερα πλάτη επί τη συχνότητα, μέγεθος τελείως διαφορετικό από τα τρία μέτρα. Χαρακτηριστική είναι η αναλογία του κύματος στο γήπεδο, όπου το κύμα κάνει τον γύρο του σταδίου χωρίς κανένας θεατής να μετακινηθεί από τη θέση του.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 8 — Έχουν τα σωμάτια της χορδής μηδενική επιτάχυνση
Ερώτηση: Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται σε μία χορδή με σταθερή ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι τα σωμάτια της χορδής θα έχουν πάντα μηδέν επιτάχυνση; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
Απάντηση:
-
Όχι — τα σωμάτια της χορδής έχουν επιτάχυνση που μεταβάλλεται συνεχώς και μηδενίζεται μόνο σε ορισμένες στιγμές.
Η σύγχυση που θέλει να ξεκαθαρίσει η άσκηση: η σταθερή ταχύτητα αναφέρεται στη διάδοση του κύματος — στη μετακίνηση της μορφής κατά μήκος της χορδής. Δεν αναφέρεται στην κίνηση των σωματίων.
Τι κάνει πραγματικά κάθε σωμάτιο: εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας του. Σε μια τέτοια ταλάντωση:
ΘΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ───────────────────────────────────────────────────── στα ΑΚΡΑ μηδέν ΜΕΓΙΣΤΗ (κορυφή/κοιλία) (προς το κέντρο) στη ΘΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗ μηδέν ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣΟ νόμος της αρμονικής ταλάντωσης: a = −ω²·y, όπου y η απομάκρυνση. Η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετης φοράς.
y │ ╱╲ ← στην κορυφή: υ=0, |a|=max │ ╱ ╲ ──┼─╱────╲─── ← στη μέση: |υ|=max, a=0 │ ╲ ╱ │ ╲╱ ← στην κοιλία: υ=0, |a|=maxΠότε μηδενίζεται η επιτάχυνση: μόνο τη στιγμή που το σωμάτιο περνά από τη θέση ισορροπίας του — δηλαδή δύο φορές σε κάθε περίοδο. Σε κάθε άλλη στιγμή η επιτάχυνση είναι διάφορη του μηδενός.
Γιατί πρέπει να υπάρχει επιτάχυνση: αν η επιτάχυνση ήταν πάντοτε μηδέν, τότε (από τον δεύτερο νόμο του Newton, F = m·a) η συνισταμένη δύναμη θα ήταν πάντοτε μηδέν και το σωμάτιο θα κινούνταν ευθύγραμμα ομαλά — δηλαδή θα έφευγε από τη χορδή. Η δύναμη επαναφοράς που το φέρνει πίσω είναι ακριβώς αυτή που δίνει την επιτάχυνση. Η αντιστοιχία με το ελατήριο: κάθε σωμάτιο της χορδής συμπεριφέρεται σαν μάζα σε ελατήριο — και εκεί η επιτάχυνση είναι μέγιστη στα άκρα και μηδενική στο κέντρο. Το γενικό δίδαγμα: «σταθερή ταχύτητα διάδοσης» δεν σημαίνει «σταθερή κίνηση σωματίων». Πρόκειται για την ίδια διάκριση που θέτει και η άσκηση 7 — μεταξύ ταχύτητας κύματος και ταχύτητας σωματίου.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι, τα σωμάτια της χορδής δεν έχουν πάντοτε μηδενική επιτάχυνση. Η σταθερή ταχύτητα αναφέρεται στη διάδοση του κύματος, δηλαδή στη μετακίνηση της μορφής κατά μήκος της χορδής, και όχι στην κίνηση των σωματίων. Κάθε σωμάτιο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας του, στην οποία η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετης φοράς. Έτσι, στα άκρα της ταλάντωσης, δηλαδή στην κορυφή και στην κοιλία, η ταχύτητα μηδενίζεται και η επιτάχυνση γίνεται μέγιστη, ενώ στη θέση ισορροπίας η ταχύτητα γίνεται μέγιστη και η επιτάχυνση μηδενίζεται. Επομένως η επιτάχυνση μηδενίζεται μόνο δύο φορές σε κάθε περίοδο. Αν η επιτάχυνση ήταν πάντοτε μηδέν, από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα η συνισταμένη δύναμη θα ήταν μηδέν και το σωμάτιο θα κινούνταν ευθύγραμμα ομαλά, δηλαδή θα έφευγε από τη χορδή· η δύναμη επαναφοράς είναι ακριβώς αυτή που δίνει την επιτάχυνση.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 9 — Συχνότητα κύματος από 30 κορυφές σε 4 λεπτά
Ερώτηση: Ένας άνθρωπος που βρίσκεται μέσα σε μία βάρκα στη θάλασσα παρατηρεί ότι, αφού περάσει από μπροστά του μία κορυφή κύματος, οι επόμενες 30 κορυφές περνούν σε χρόνο 4 min. Πόση είναι η συχνότητα του κύματος;
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: 30 κορυφές σε 4 min.
Η μετατροπή του χρόνου:
t = 4 min = 4 × 60 = 240 sΗ περίοδος — ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κορυφές (σελ. 106): Περίοδος, Τ, του κύματος είναι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ της διέλευσης από το ίδιο σημείο… μιας κορυφής ενός κύματος και της αμέσως επόμενης κορυφής του.
Τ = t / (πλήθος κορυφών) = 240 / 30 = 8 sΗ συχνότητα (σελ. 106, σχέση 1: f = 1/Τ):
f = 1/8 = 0,125 HzΑπάντηση: f = 0,125 Hz (και Τ = 8 s).
Η προσοχή στη διατύπωση: το κείμενο λέει «αφού περάσει… μία κορυφή, οι επόμενες 30 κορυφές περνούν σε χρόνο 4 min». Άρα ο χρόνος των 240 s αντιστοιχεί σε ακριβώς 30 πλήρεις περιόδους — από τη μία κορυφή μέχρι την τριακοστή επόμενη. Η διατύπωση είναι σκόπιμα προσεκτική για να αποφευχθεί το κλασικό λάθος «n − 1 διαστήματα».
κορυφή 0 (αφετηρία) |──T──|──T──|── … ──|──T──| ▲ 1 2 … 30 αρχή μέτρησης τέλος = 240 s 30 περίοδοι = 240 s ⇒ Τ = 8 sΟ έλεγχος λογικής: μια περίοδος 8 s είναι απολύτως ρεαλιστική για θαλάσσιο κύμα ανοιχτής θάλασσας. Τα κύματα της θάλασσας έχουν τυπικά περιόδους 5-15 s και πολύ χαμηλές συχνότητες. Τι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε: η άσκηση δεν δίνει το μήκος κύματος ή την ταχύτητα. Αν μας έδινε το ένα, θα βρίσκαμε το άλλο από την υ = λ·f. Για παράδειγμα, με τυπικό μήκος κύματος 100 m, η ταχύτητα θα ήταν 12,5 m/s ≈ 45 km/h. Η αναφορά στο βιβλίο (σελ. 106): το ίδιο παράδειγμα με τη σημαδούρα χρησιμοποιείται για να οριστεί η περίοδος — ο χρόνος που χρειάζεται η σημαδούρα όταν συναντά ένα κύμα, για να κάνει μία πλήρη ταλάντωση.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο χρόνος των τεσσάρων λεπτών ισούται με διακόσια σαράντα δευτερόλεπτα και αντιστοιχεί σε τριάντα πλήρεις περιόδους, αφού ο άνθρωπος μετρά από μία κορυφή τις τριάντα επόμενες. Άρα η περίοδος είναι διακόσια σαράντα διά τριάντα, δηλαδή οκτώ δευτερόλεπτα, και η συχνότητα, ως αντίστροφο της περιόδου, ισούται με ένα όγδοο, δηλαδή μηδέν κόμμα εκατόν είκοσι πέντε hertz. Η διατύπωση της εκφώνησης είναι σκόπιμα προσεκτική, ώστε να αποφευχθεί το κλασικό λάθος του να μετρηθούν λιγότερα διαστήματα από τις κορυφές. Το αποτέλεσμα είναι απολύτως ρεαλιστικό, αφού τα κύματα της ανοιχτής θάλασσας έχουν τυπικά περιόδους από πέντε έως δεκαπέντε δευτερόλεπτα και πολύ χαμηλές συχνότητες. Σημειώνεται ότι η άσκηση δεν δίνει μήκος κύματος ή ταχύτητα· αν δινόταν το ένα, το άλλο θα προέκυπτε από τη θεμελιώδη εξίσωση των κυμάτων.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 10 — Περίοδος ηχητικού κύματος δελφινιού
Ερώτηση: Ένα δελφίνι για να βρίσκει το δρόμο του, εκπέμπει ένα αρμονικό ηχητικό κύμα με μήκος κύματος 2,9 cm. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το κύμα στη θάλασσα είναι 1450 m/s. Να υπολογιστεί η περίοδος του κύματος.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: λ = 2,9 cm = 0,029 m, υ = 1.450 m/s.
Η λύση — από τη θεμελιώδη εξίσωση υ = λ/Τ:
Τ = λ / υ = 0,029 / 1.450 = 2 · 10⁻⁵ s = 0,02 ms = 20 μsΑπάντηση: Τ = 2×10⁻⁵ s.
Η συχνότητα, για εποπτεία:
f = 1/Τ = 1 / (2·10⁻⁵) = 50.000 Hz = 50 kHzΤο κρίσιμο συμπέρασμα: 50 kHz είναι πολύ πάνω από το ανώτερο όριο της ανθρώπινης ακοής (20 kHz) — πρόκειται δηλαδή για υπερήχους. Το δελφίνι χρησιμοποιεί ηχοεντοπισμό, ακριβώς όπως το σόναρ που περιγράφει το βιβλίο (κεφ. 6.7.1, σελ. 151).
Γιατί το δελφίνι χρησιμοποιεί τόσο υψηλή συχνότητα: η διακριτική ικανότητα ενός ηχοεντοπιστικού συστήματος καθορίζεται από το μήκος κύματος — δεν μπορούμε να «δούμε» αντικείμενα μικρότερα από το λ. Με λ = 2,9 cm το δελφίνι διακρίνει λεπτομέρειες λίγων εκατοστών. Αν χρησιμοποιούσε ήχο 1 kHz (λ = 1,45 m), θα «έβλεπε» μόνο πολύ μεγάλα αντικείμενα. Η προσοχή στη μετατροπή: 2,9 cm = 0,029 m. Αν παραμείνει σε εκατοστά, το αποτέλεσμα βγαίνει εκατό φορές μεγαλύτερο. Γιατί η ταχύτητα είναι 1.450 m/s: στο νερό ο ήχος διαδίδεται περίπου τέσσερις φορές ταχύτερα απ' ό,τι στον αέρα (340 m/s), γιατί το νερό είναι πολύ λιγότερο συμπιεστό (σελ. 136-138). Η πρακτική συνέπεια: το δελφίνι «ακούει» την ηχώ από ένα ψάρι σε απόσταση 50 m μετά από 2·50/1450 ≈ 0,07 s. Ο εγκέφαλός του μεταφράζει αυτή την καθυστέρηση σε απόσταση — ακριβώς όπως το σόναρ ενός πλοίου (σελ. 151).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται μήκος κύματος δύο κόμμα εννέα εκατοστά, δηλαδή μηδέν κόμμα μηδέν είκοσι εννέα μέτρα, και ταχύτητα χίλια τετρακόσια πενήντα μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Από τη θεμελιώδη εξίσωση των κυμάτων, η περίοδος ισούται με το μήκος κύματος προς την ταχύτητα, δηλαδή δύο επί δέκα στην μείον πέμπτη δευτερόλεπτα, ή είκοσι μικροδευτερόλεπτα. Η αντίστοιχη συχνότητα είναι πενήντα χιλιάδες hertz, δηλαδή πενήντα kilohertz, τιμή πολύ πάνω από το ανώτερο όριο της ανθρώπινης ακοής, οπότε πρόκειται για υπερήχους: το δελφίνι χρησιμοποιεί ηχοεντοπισμό, όπως ακριβώς το σόναρ. Η επιλογή τόσο υψηλής συχνότητας εξηγείται από τη διακριτική ικανότητα, η οποία καθορίζεται από το μήκος κύματος: με μήκος κύματος λίγων εκατοστών το δελφίνι διακρίνει λεπτομέρειες αντίστοιχου μεγέθους. Προσοχή χρειάζεται στη μετατροπή του μήκους κύματος σε μέτρα, αλλιώς το αποτέλεσμα βγαίνει εκατό φορές μεγαλύτερο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 11 — Μήκος κύματος διαμήκους κύματος σε ελατήριο
Ερώτηση: Ένα διάμηκες κύμα με συχνότητα 8,0 Hz, χρειάζεται 1,0 s για να διανύσει ένα ελατήριο μήκους 2,0 m. Να υπολογιστεί το μήκος κύματος αυτού του κύματος.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: f = 8,0 Hz, το κύμα διανύει 2,0 m σε 1,0 s.
Βήμα 1 — η ταχύτητα διάδοσης (σελ. 107): Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος ισούται με το πηλίκο της απόστασης l που διανύει μία κορυφή του κύματος σε χρόνο t, δια του χρόνου t.
υ = l/t = 2,0 / 1,0 = 2,0 m/sΒήμα 2 — το μήκος κύματος (θεμελιώδης εξίσωση υ = λ·f):
λ = υ/f = 2,0 / 8,0 = 0,25 m = 25 cmΑπάντηση: λ = 0,25 m.
Ο έλεγχος με την περίοδο:
Τ = 1/f = 1/8 = 0,125 s λ = υ·Τ = 2,0 · 0,125 = 0,25 m ✔Η εποπτική εικόνα: μέσα στο ελατήριο των 2,0 m «χωρούν»
2,0 / 0,25 = 8 πλήρη μήκη κύματοςδηλαδή οκτώ πυκνώματα και οκτώ αραιώματα ταυτόχρονα. Αυτό είναι λογικό: αφού το κύμα χρειάζεται 1 s για να διασχίσει το ελατήριο και η πηγή εκτελεί 8 ταλαντώσεις ανά δευτερόλεπτο, στο ελατήριο βρίσκονται 8 πλήρη κύματα.
Η προσοχή στη διατύπωση «να διανύσει»: αναφέρεται στη διαταραχή, όχι στα σωμάτια. Οι σπείρες του ελατηρίου ταλαντώνονται επιτόπου (βλ. άσκηση 7). Πώς θα μοιάζει το κύμα: αφού είναι διάμηκες, δεν έχει «κορυφές» με τη γεωμετρική έννοια αλλά πυκνώματα και αραιώματα. Το μήκος κύματος μετριέται από πύκνωμα σε πύκνωμα. Τι καθορίζει την ταχύτητα των 2 m/s: οι ιδιότητες του ελατηρίου — η σκληρότητά του και η μάζα ανά μονάδα μήκους. Αν τεντώναμε περισσότερο το ελατήριο, η ταχύτητα θα αυξανόταν και, με σταθερή συχνότητα, θα αυξανόταν και το μήκος κύματος.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Πρώτα υπολογίζουμε την ταχύτητα διάδοσης ως το πηλίκο της απόστασης προς τον χρόνο, δηλαδή δύο μέτρα προς ένα δευτερόλεπτο, ίση με δύο μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Στη συνέχεια, από τη θεμελιώδη εξίσωση των κυμάτων, το μήκος κύματος ισούται με την ταχύτητα προς τη συχνότητα, δηλαδή δύο προς οκτώ, ίσο με μηδέν κόμμα είκοσι πέντε μέτρα, δηλαδή είκοσι πέντε εκατοστά. Το ίδιο προκύπτει και από το γινόμενο της ταχύτητας επί την περίοδο, η οποία είναι ένα όγδοο του δευτερολέπτου. Εποπτικά, μέσα στο ελατήριο των δύο μέτρων χωρούν οκτώ πλήρη μήκη κύματος, δηλαδή οκτώ πυκνώματα και οκτώ αραιώματα, πράγμα λογικό αφού το κύμα χρειάζεται ένα δευτερόλεπτο για να το διασχίσει και η πηγή εκτελεί οκτώ ταλαντώσεις στο δευτερόλεπτο. Σημειώνεται ότι η φράση να διανύσει αναφέρεται στη διαταραχή και όχι στις σπείρες, οι οποίες ταλαντώνονται επιτόπου, και ότι το μήκος κύματος σε διάμηκες κύμα μετριέται από πύκνωμα σε πύκνωμα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 12 — Συχνότητα και ταχύτητα κύματος από το λίκνισμα στρώματος
Ερώτηση: Μία κοπέλα κάνει ηλιοθεραπεία πάνω σε ένα στρώμα θαλάσσης μέσα στη θάλασσα και αισθάνεται να λικνίζεται (να ανυψώνεται και να βυθίζεται) από το κύμα της θάλασσας, κάνοντας έναν πλήρη κύκλο σε 5 s. Οι κορυφές του κύματος που προκαλούν αυτή την κίνηση απέχουν 20 m. Να προσδιοριστεί: α) η συχνότητα και β) η ταχύτητα του κύματος.
Απάντηση:
-
Η ανάγνωση των δεδομένων: · «κάνοντας έναν πλήρη κύκλο σε 5 s» → αυτή είναι η περίοδος: Τ = 5 s. · «οι κορυφές… απέχουν 20 m» → αυτό είναι το μήκος κύματος: λ = 20 m (σελ. 106: Μήκος κύματος λ είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών (γειτονικών) κορυφών).
α. Η συχνότητα (σελ. 106, σχέση 1):
f = 1/Τ = 1/5 = 0,2 Hzβ. Η ταχύτητα (θεμελιώδης εξίσωση):
υ = λ·f = 20 · 0,2 = 4 m/sή ισοδύναμα:
υ = λ/Τ = 20/5 = 4 m/s ✔Απαντήσεις: α) f = 0,2 Hz · β) υ = 4 m/s.
Το κρίσιμο σημείο της άσκησης — γιατί η «κοπέλα» δίνει την περίοδο: το στρώμα (και η κοπέλα) δεν ταξιδεύει με το κύμα· απλώς ανεβοκατεβαίνει, δηλαδή ταλαντώνεται ακριβώς όπως τα σωμάτια του νερού. Ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης είναι η περίοδος του κύματος. Η εικόνα της σημαδούρας του βιβλίου (σελ. 106): ο χρόνος που χρειάζεται η σημαδούρα όταν συναντά ένα κύμα, για να κάνει μία πλήρη ταλάντωση (έναν κύκλο ταλάντωσης), από τη θέση της ήρεμης θάλασσας, στο υψηλότερο σημείο του, κατόπιν στο χαμηλότερο σημείο του και ύστερα πάλι στη θέση της θέσης ισορροπίας. Ο έλεγχος με τη διαίσθηση: 4 m/s ≈ 14,4 km/h — μια ταχύτητα απολύτως ρεαλιστική για κύμα ανοιχτής θάλασσας, γρηγορότερη από τον κολυμβητή αλλά πολύ πιο αργή από ένα σκάφος. Το «κάθε 5 δευτερόλεπτα ένα κύμα»: με Τ = 5 s, η κοπέλα ανεβοκατεβαίνει 12 φορές το λεπτό. Και οι κορυφές που περνούν από κάτω της απέχουν 20 m η μία από την άλλη. Η προσοχή στην κίνηση της κοπέλας: όπως και ο φελλός, εκτελεί σχεδόν κυκλική τροχιά (σελ. 103) — αλλά για τους υπολογισμούς μας μετράει μόνο η περίοδος αυτής της κίνησης, που είναι ίδια με του κύματος.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο πλήρης κύκλος λικνίσματος σε πέντε δευτερόλεπτα είναι η περίοδος του κύματος, ενώ η απόσταση των είκοσι μέτρων ανάμεσα στις κορυφές είναι το μήκος κύματος. Άρα η συχνότητα, ως αντίστροφο της περιόδου, είναι μηδέν κόμμα δύο hertz, και η ταχύτητα, από τη θεμελιώδη εξίσωση, είναι είκοσι επί μηδέν κόμμα δύο, δηλαδή τέσσερα μέτρα ανά δευτερόλεπτο· το ίδιο προκύπτει και από το μήκος κύματος προς την περίοδο. Κρίσιμο σημείο είναι ότι η κοπέλα με το στρώμα δεν ταξιδεύει με το κύμα αλλά απλώς ανεβοκατεβαίνει, δηλαδή ταλαντώνεται όπως τα σωμάτια του νερού, οπότε ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσής της ισούται με την περίοδο του κύματος, ακριβώς όπως στο παράδειγμα της σημαδούρας που χρησιμοποιεί το βιβλίο. Η ταχύτητα των τεσσάρων μέτρων ανά δευτερόλεπτο, δηλαδή περίπου δεκατέσσερα κόμμα τέσσερα χιλιόμετρα την ώρα, είναι ρεαλιστική για κύμα ανοιχτής θάλασσας.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 13 — Μήκος κύματος από την ταχύτητα και το ανεβοκατέβασμα σημαδούρας
Ερώτηση: Τα κύματα της θάλασσας που δημιουργούνται από το πέρασμα ενός σκάφους έχουν ταχύτητα 2 m/s. Ποιο είναι το μήκος κύματος αυτών των κυμάτων, εάν προξενούν σε μια κοντινή σημαδούρα ένα ανεβοκατέβασμα κάθε 4 s;
Απάντηση:
-
Η ανάγνωση των δεδομένων: · υ = 2 m/s (ταχύτητα διάδοσης) · «ένα ανεβοκατέβασμα κάθε 4 s» → Τ = 4 s
Η λύση:
λ = υ · Τ = 2 · 4 = 8 mή ισοδύναμα, μέσω της συχνότητας:
f = 1/Τ = 1/4 = 0,25 Hz λ = υ/f = 2/0,25 = 8 m ✔Απάντηση: λ = 8 m.
Η φυσική ερμηνεία της πράξης: σε χρόνο μιας περιόδου (4 s) το κύμα προχωρά κατά ένα μήκος κύματος. Αφού προχωρά 2 m κάθε δευτερόλεπτο, σε 4 s προχωρά 8 m — αυτό ακριβώς είναι το λ.
t = 0 s: κορυφή στη σημαδούρα ────●──── t = 4 s: η ΕΠΟΜΕΝΗ κορυφή έφτασε στη σημαδούρα η προηγούμενη έχει προχωρήσει 2×4 = 8 m ⇒ οι δύο κορυφές απέχουν 8 m = λΟ έλεγχος λογικής: το κύμα από το πέρασμα ενός σκάφους είναι μικρότερο και αργότερο από τα κύματα της ανοιχτής θάλασσας. Ένα μήκος κύματος 8 m και ταχύτητα 2 m/s είναι απολύτως συνεπή με παράκτια κύματα ή κύματα διαύλου. Η σύγκριση με την άσκηση 12: εκεί το κύμα είχε λ = 20 m και υ = 4 m/s — μεγαλύτερο και γρηγορότερο, όπως αρμόζει σε κύμα ανοιχτής θάλασσας. Στα κύματα βαρύτητας του νερού, τα μεγαλύτερα κύματα ταξιδεύουν και γρηγορότερα. Τι θα μετρούσε ένας παρατηρητής στην ακτή: αν στεκόταν σε ένα σημείο, θα έβλεπε μια κορυφή κάθε 4 s· αν φωτογράφιζε τη θάλασσα, θα μετρούσε 8 m ανάμεσα στις κορυφές. Τα δύο μαζί δίνουν την ταχύτητα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η ταχύτητα του κύματος είναι δύο μέτρα ανά δευτερόλεπτο και το ανεβοκατέβασμα της σημαδούρας κάθε τέσσερα δευτερόλεπτα δίνει την περίοδο. Επομένως το μήκος κύματος ισούται με την ταχύτητα επί την περίοδο, δηλαδή δύο επί τέσσερα, ίσο με οκτώ μέτρα· το ίδιο προκύπτει και μέσω της συχνότητας, η οποία είναι μηδέν κόμμα είκοσι πέντε hertz. Η φυσική ερμηνεία είναι ότι σε χρόνο μιας περιόδου το κύμα προχωρά κατά ένα μήκος κύματος: αφού προχωρά δύο μέτρα κάθε δευτερόλεπτο, σε τέσσερα δευτερόλεπτα προχωρά οκτώ μέτρα. Το αποτέλεσμα είναι λογικό, αφού τα κύματα από το πέρασμα ενός σκάφους είναι μικρότερα και αργότερα από εκείνα της ανοιχτής θάλασσας· για σύγκριση, στο προηγούμενο πρόβλημα το κύμα είχε μήκος κύματος είκοσι μέτρα και ταχύτητα τέσσερα μέτρα ανά δευτερόλεπτο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 14 — Συχνότητα και περίοδος κυμάτων που ταλαντώνουν σκάφος
Ερώτηση: Ένα αγκυροβολημένο σκάφος ταλαντώνεται από κύματα που έχουν κορυφές οι οποίες απέχουν 50 m η μία από την άλλη και κινούνται με ταχύτητα 10 m/s. Ποια είναι η συχνότητα και η περίοδος αυτών των κυμάτων;
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: λ = 50 m, υ = 10 m/s.
Η συχνότητα (από υ = λ·f):
f = υ/λ = 10/50 = 0,2 HzΗ περίοδος:
Τ = 1/f = 1/0,2 = 5 sή απευθείας:
Τ = λ/υ = 50/10 = 5 s ✔Απαντήσεις: f = 0,2 Hz · Τ = 5 s.
Η φυσική εικόνα: το σκάφος ανεβοκατεβαίνει μία φορά κάθε 5 δευτερόλεπτα, δηλαδή 12 φορές το λεπτό. Κάθε 5 s μια νέα κορυφή φτάνει σε αυτό.
◄──────── λ = 50 m ────────► ╱╲ ╱╲ ╱ ╲ ╱ ╲ υ = 10 m/s ──► ───╱────╲────────────╱────╲─── ⛵ το σκάφος: μία ταλάντωση κάθε 5 sΓιατί το «αγκυροβολημένο» έχει σημασία: το σκάφος είναι ακίνητο ως προς τον πυθμένα, οπότε η περίοδος που μετράει είναι η πραγματική περίοδος του κύματος. Αν το σκάφος κινούνταν — π.χ. προς τα κύματα — θα συναντούσε κορυφές συχνότερα και θα μετρούσε μεγαλύτερη συχνότητα. Πρόκειται για το φαινόμενο Doppler, το οποίο ο ναυτικός βιώνει καθαρά όταν πλέει κόντρα στο κύμα. Ο έλεγχος λογικής: τα δεδομένα (λ = 50 m, υ = 10 m/s) περιγράφουν μεγάλα κύματα ανοιχτής θάλασσας — μεγαλύτερα και γρηγορότερα από εκείνα των ασκήσεων 12 και 13, όπως επιβεβαιώνει και η σύγκριση:
άσκηση 13: λ = 8 m, υ = 2 m/s, Τ = 4 s (παράκτια) άσκηση 12: λ = 20 m, υ = 4 m/s, Τ = 5 s άσκηση 14: λ = 50 m, υ = 10 m/s, Τ = 5 s (ανοιχτή θάλασσα)Η ιδιαιτερότητα των θαλάσσιων κυμάτων: σε αντίθεση με τον ήχο ή το φως, όπου η ταχύτητα είναι σταθερή για δεδομένο μέσο, στα κύματα βαρύτητας του νερού η ταχύτητα αυξάνεται με το μήκος κύματος. Γι' αυτό τα μεγάλα ωκεάνια κύματα φτάνουν πρώτα στην ακτή, πολύ πριν από τα μικρότερα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Δίνονται μήκος κύματος πενήντα μέτρα και ταχύτητα δέκα μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Από τη θεμελιώδη εξίσωση, η συχνότητα ισούται με την ταχύτητα προς το μήκος κύματος, δηλαδή δέκα προς πενήντα, ίση με μηδέν κόμμα δύο hertz, και η περίοδος με το αντίστροφό της, δηλαδή πέντε δευτερόλεπτα· το ίδιο προκύπτει και απευθείας από το μήκος κύματος προς την ταχύτητα. Φυσικά, το σκάφος ανεβοκατεβαίνει μία φορά κάθε πέντε δευτερόλεπτα, δηλαδή δώδεκα φορές το λεπτό, αφού κάθε πέντε δευτερόλεπτα φτάνει σε αυτό μια νέα κορυφή. Το ότι το σκάφος είναι αγκυροβολημένο έχει σημασία, γιατί έτσι μετρά την πραγματική περίοδο του κύματος· αν κινούνταν κόντρα στα κύματα θα συναντούσε κορυφές συχνότερα, λόγω του φαινομένου Doppler. Σημειώνεται ότι στα κύματα βαρύτητας του νερού, σε αντίθεση με τον ήχο και το φως, η ταχύτητα αυξάνεται με το μήκος κύματος, γι' αυτό τα μεγάλα ωκεάνια κύματα φτάνουν πρώτα στην ακτή.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 15 — Σύνθετο πρόβλημα κύματος με αλλαγή μέσου
Ερώτηση: Σε ένα μέσο, μια πηγή δημιουργεί εγκάρσια κύματα με συχνότητα f = 10Hz. Σε ένα στιγμιότυπο του εγκάρσιου κύματος, η απόσταση ενός όρους από τη μεθεπόμενη κοιλάδα είναι l = 90cm. Να υπολογιστεί: α) Το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Η απόσταση από την πηγή που θα έχει φτάσει το κύμα σε χρόνο 6 δευτερολέπτων, καθώς και ο αριθμός των κυμάτων που θα έχουν δημιουργηθεί. γ) Η συχνότητα και το μήκος κύματος, εάν το κύμα κατά τη διάδοσή του, συναντήσει μέσο και η νέα του ταχύτητα σε αυτό είναι υ' = 5m/s.
Απάντηση:
-
α. Μήκος κύματος και ταχύτητα Η γεωμετρία του στιγμιότυπου — από ένα όρος (κορυφή) μέχρι τη μεθεπόμενη κοιλάδα (τη δεύτερη επόμενη κοιλία):
όρος όρος όρος ╱╲ ╱╲ ╱╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ──╱────╲──────╱────╲──────╱────╲── ╲ ╱ ╲ ╱ ╲╱ ╲╱ κοιλάδα ΜΕΘΕΠΟΜΕΝΗ 1η κοιλάδα (2η) όρος → 1η κοιλάδα = λ/2 1η κοιλάδα → 2η κοιλάδα = λ ───────────────────────────────── ΣΥΝΟΛΟ = 3λ/23λ/2 = 90 cm = 0,9 m ⇒ λ = 0,6 m = 60 cm υ = λ·f = 0,6 · 10 = 6 m/sβ. Απόσταση σε 6 s και πλήθος κυμάτων
Απόσταση: x = υ·t = 6 · 6 = 36 m Πλήθος κυμάτων: Ν = f·t = 10 · 6 = 60 κύματαΟ έλεγχος: 60 κύματα × 0,6 m = 36 m ✔ — τα 60 πλήρη κύματα «γεμίζουν» ακριβώς τα 36 m.
γ. Αλλαγή μέσου
ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ: f' = f = 10 Hz ← ΔΕΝ ΑΛΛΑΖΕΙ ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ: λ' = υ'/f = 5/10 = 0,5 m = 50 cmΗ θεμελιώδης αρχή (σελ. 107): η συχνότητα παραμένει αναλλοίωτη, από όποιο μέσο και αν περάσει το κύμα. Τη συχνότητα την καθορίζει η πηγή — και η πηγή δεν άλλαξε. Άρα, με μικρότερη ταχύτητα, το μήκος κύματος μικραίνει αναλογικά.
ΠΡΙΝ: υ = 6 m/s, λ = 0,6 m, f = 10 Hz ΜΕΤΑ: υ' = 5 m/s, λ' = 0,5 m, f = 10 Hz (ίδια!) λ'/λ = υ'/υ = 5/6 ✔ αναλογίαΑπαντήσεις: α) λ = 0,6 m, υ = 6 m/s · β) x = 36 m, Ν = 60 κύματα · γ) f' = 10 Hz, λ' = 0,5 m.
Η βασική παγίδα του ερωτήματος α: πολλοί θεωρούν ότι από όρος σε μεθεπόμενη κοιλάδα η απόσταση είναι λ ή λ/2. Η προσεκτική μέτρηση πάνω στο στιγμιότυπο δίνει 3λ/2 — μισό μήκος κύματος για την πρώτη κοιλάδα και ένα ολόκληρο για να φτάσουμε στη δεύτερη. Η βασική παγίδα του ερωτήματος γ: η αντίστροφη πεποίθηση, ότι «αλλάζει η συχνότητα». Αν άλλαζε η συχνότητα, τα σωμάτια στη διαχωριστική επιφάνεια θα έπρεπε να ταλαντώνονται με δύο διαφορετικούς ρυθμούς ταυτόχρονα — αδύνατο. Το φαινόμενο που περιγράφει το ερώτημα γ: πρόκειται για διάθλαση (§4.4.2, σελ. 112) — τη μετάβαση κύματος σε νέο μέσο με αλλαγή ταχύτητας, αλλαγή μήκους κύματος και σταθερή συχνότητα.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Στο πρώτο ερώτημα, η απόσταση από ένα όρος μέχρι τη μεθεπόμενη κοιλάδα ισούται με μισό μήκος κύματος για την πρώτη κοιλάδα συν ένα ολόκληρο μήκος κύματος για τη δεύτερη, δηλαδή τρία δεύτερα του μήκους κύματος. Άρα τρία δεύτερα του λάμδα ισούται με μηδέν κόμμα εννέα μέτρα, οπότε το μήκος κύματος είναι μηδέν κόμμα έξι μέτρα και η ταχύτητα, από τη θεμελιώδη εξίσωση, έξι μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Στο δεύτερο ερώτημα, σε έξι δευτερόλεπτα το κύμα διανύει τριάντα έξι μέτρα και η πηγή δημιουργεί εξήντα κύματα, αφού το πλήθος ισούται με τη συχνότητα επί τον χρόνο· ο έλεγχος επιβεβαιώνει το αποτέλεσμα, αφού εξήντα κύματα των μηδέν κόμμα έξι μέτρων δίνουν ακριβώς τριάντα έξι μέτρα. Στο τρίτο ερώτημα, κατά τη μετάβαση σε νέο μέσο η συχνότητα παραμένει αναλλοίωτη και ίση με δέκα hertz, γιατί την καθορίζει η πηγή, ενώ το νέο μήκος κύματος είναι η νέα ταχύτητα προς τη συχνότητα, δηλαδή μηδέν κόμμα πέντε μέτρα. Πρόκειται για διάθλαση, όπου αλλάζουν ταχύτητα και μήκος κύματος αλλά όχι η συχνότητα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
