Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 2 (σελ. 58-62) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ
Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 2
Πλήρεις λύσεις και των 18 ασκήσεων — μαγνητική ροή και οι τρεις τρόποι μεταβολής της, νόμος του Faraday, φορτίο ανεξάρτητο του χρόνου, κανόνας του Lenz, αυτεπαγωγή και αμοιβαία επαγωγή, με αριθμητικά προβλήματα ΗΕΔ, ρεύματος και συντελεστών.
Άσκηση 1 — Αντιστοίχιση μεγεθών και μονάδων της επαγωγής
Ερώτηση: Να αντιστοιχίσετε τα επόμενα μεγέθη και μονάδες: Α. ΗΕΔ από επαγωγή α. 1Ν Β. Δύναμη β. 1 Η Γ. Συντελεστής αυτεπαγωγής γ. 1 Volt Δ. Ρεύμα δ. 1Α Ε. Διαφορά δυναμικού Στ. Συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής
Απάντηση:
-
Οι σωστές αντιστοιχίσεις:
Μέγεθος Μονάδα Τεκμηρίωση Α. ΗΕΔ από επαγωγή γ. 1 Volt είναι ηλεκτρεγερτική δύναμη, όπως και της μπαταρίας Β. Δύναμη α. 1 Ν το newton Γ. Συντελεστής αυτεπαγωγής β. 1 Η 1 henry, σελ. 53 Δ. Ρεύμα δ. 1 Α το ampere Ε. Διαφορά δυναμικού γ. 1 Volt ίδια μονάδα με την ΗΕΔ Στ. Συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής β. 1 Η 1 henry, σελ. 50 Α ── γ Δ ── δ Β ── α Ε ── γ (ίδια με το Α) Γ ── β Στ ── β (ίδια με το Γ)Η παγίδα: τα μεγέθη είναι έξι, οι μονάδες τέσσερις. Δύο μονάδες χρησιμοποιούνται από δύο μεγέθη η καθεμία — το volt για την ΗΕΔ και τη διαφορά δυναμικού, το henry για την αυτεπαγωγή και την αμοιβαία επαγωγή. Γιατί ΗΕΔ και διαφορά δυναμικού έχουν την ίδια μονάδα αλλά δεν ταυτίζονται: και τα δύο εκφράζουν ενέργεια ανά μονάδα φορτίου (1 V = 1 J/C). Η ΗΕΔ όμως περιγράφει τη γεννήτρια — το αίτιο που παράγει το ρεύμα — ενώ η διαφορά δυναμικού περιγράφει την πτώση τάσης στα άκρα ενός στοιχείου. Το henry (σελ. 50): Η μονάδα της αμοιβαίας επαγωγής στο SI είναι… 1 henry (1Η) προς τιμή του Αμερικανού φυσικού Henry (Χένρη) — και ισχύει 1 H = 1 V·s/A, ακριβώς όπως προκύπτει λύνοντας τη σχέση Ε = −L·ΔΙ/Δt ως προς L. Γιατί αυτεπαγωγή και αμοιβαία επαγωγή μοιράζονται τη μονάδα: και οι δύο ορίζονται από εξίσωση της ίδιας μορφής — Ε = −L·ΔΙ/Δt και Ε₂ = −Μ·ΔΙ₁/Δt. Η μόνη διαφορά είναι σε ποιο κύκλωμα μεταβάλλεται το ρεύμα και σε ποιο εμφανίζεται η ΗΕΔ. Και μια σύνδεση με το κεφάλαιο 1: η μονάδα της μαγνητικής ροής, το weber, δεν εμφανίζεται στη λίστα — αλλά συνδέεται άμεσα, αφού 1 V = 1 Wb/s.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι σωστές αντιστοιχίσεις είναι: η ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή με το ένα volt, η δύναμη με το ένα newton, ο συντελεστής αυτεπαγωγής με το ένα henry, το ρεύμα με το ένα ampere, η διαφορά δυναμικού πάλι με το ένα volt και ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής πάλι με το ένα henry. Η παγίδα της άσκησης είναι ότι τα μεγέθη είναι έξι ενώ οι μονάδες τέσσερις, οπότε δύο μονάδες χρησιμοποιούνται από δύο μεγέθη η καθεμία. Η ηλεκτρεγερτική δύναμη και η διαφορά δυναμικού έχουν την ίδια μονάδα, γιατί και οι δύο εκφράζουν ενέργεια ανά μονάδα φορτίου, δηλαδή joule ανά coulomb, αλλά δεν ταυτίζονται: η ηλεκτρεγερτική δύναμη περιγράφει τη γεννήτρια, δηλαδή το αίτιο που παράγει το ρεύμα, ενώ η διαφορά δυναμικού την πτώση τάσης στα άκρα ενός στοιχείου. Η αυτεπαγωγή και η αμοιβαία επαγωγή μοιράζονται το henry, γιατί ορίζονται από εξισώσεις της ίδιας μορφής, με μόνη διαφορά σε ποιο κύκλωμα μεταβάλλεται το ρεύμα και σε ποιο εμφανίζεται η ηλεκτρεγερτική δύναμη· ισχύει δε ότι ένα henry ισούται με ένα volt επί δευτερόλεπτο ανά ampere.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 2 — Μαγνητική ροή σε πλαίσιο με διπλάσιο εμβαδόν και διπλάσιο πεδίο
Ερώτηση: Συρμάτινο πλαίσιο με εμβαδόν Α είναι τοποθετημένο κάθετα στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου Β. Άλλο πλαίσιο με εμβαδόν 2Α είναι τοποθετημένο κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με διπλάσιο Β. Η ροή, η οποία περνάει από το δεύτερο πλαίσιο είναι: Α. Ίδια Β. Διπλάσια Γ. Η μισή Δ. Τετραπλάσια
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: Δ. Τετραπλάσια.
Ο υπολογισμός (σελ. 44, Φ = Α·Β·συνφ):
1ο πλαίσιο: κάθετο στις δυναμικές γραμμές ⇒ η ΚΑΘΕΤΗ στην επιφάνεια είναι ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ στο Β ⇒ φ = 0°, συνφ = 1 Φ = Α · Β 1 2ο πλαίσιο: εμβαδόν 2Α, πεδίο 2Β, πάλι κάθετο Φ = (2Α) · (2Β) = 4 · Α · Β = 4 · Φ 2 1Απάντηση: η ροή τετραπλασιάζεται.
Γιατί προκύπτει τετραπλάσια και όχι διπλάσια: η ροή είναι γινόμενο των δύο μεγεθών. Ο διπλασιασμός και των δύο παραγόντων δίνει 2 × 2 = 4. Η συνηθέστερη λανθασμένη απάντηση (Β. Διπλάσια) προκύπτει όταν κάποιος προσέξει μόνο τον έναν από τους δύο διπλασιασμούς.
Η προσοχή στη διατύπωση «κάθετα στις δυναμικές γραμμές»: το πλαίσιο είναι κάθετο στις γραμμές, άρα η κάθετη στο επίπεδό του είναι παράλληλη στο πεδίο και συνφ = 1. Είναι η μέγιστη δυνατή ροή (σελ. 44): Εάν φ = 0, οπότε το Β είναι κάθετο στην επιφάνεια, συνφ = 1 και η ροή έχει τη μέγιστη τιμή της, η οποία είναι Φmax = ΒΑ. Η αντίθετη περίπτωση (σελ. 44): Εάν φ = 90°, οπότε το Β είναι παράλληλο προς την επιφάνεια, συνφ = 0 και η ροή έχει την τιμή 0 — αν τα πλαίσια είχαν τοποθετηθεί παράλληλα στις δυναμικές γραμμές, και οι δύο ροές θα ήταν μηδέν. Η προσοχή στην έννοια της ροής: η ροή εκφράζει, όπως λέει το βιβλίο (σελ. 43), μια ποσοτική έκφραση για τον αριθμό των δυναμικών γραμμών που περνούν μέσα από μια επίπεδη επιφάνεια. Το διπλάσιο πεδίο σημαίνει διπλάσια πυκνότητα γραμμών, και το διπλάσιο εμβαδόν διπλάσια επιφάνεια — άρα τετραπλάσιος αριθμός γραμμών. Τι δεν αλλάζει η ροή: το πλήθος των σπειρών του πλαισίου. Η ροή αναφέρεται σε μία επιφάνεια· ο αριθμός των σπειρών Ν υπεισέρχεται αργότερα, στον νόμο του Faraday.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Δ, δηλαδή η ροή είναι τετραπλάσια. Η μαγνητική ροή ισούται με το γινόμενο του εμβαδού επί το πεδίο επί το συνημίτονο της γωνίας της καθέτου με το πεδίο. Επειδή και τα δύο πλαίσια είναι κάθετα στις δυναμικές γραμμές, η κάθετη στην επιφάνειά τους είναι παράλληλη προς το πεδίο, η γωνία είναι μηδέν και το συνημίτονο ίσο με ένα, οπότε η ροή είναι απλώς εμβαδόν επί πεδίο. Στο δεύτερο πλαίσιο το εμβαδόν είναι διπλάσιο και το πεδίο επίσης διπλάσιο, οπότε το γινόμενο τετραπλασιάζεται. Η συνηθέστερη λανθασμένη απάντηση είναι το διπλάσιο, όταν κάποιος προσέξει μόνο τον έναν από τους δύο διπλασιασμούς. Σημειώνεται ότι η ροή εκφράζει τον αριθμό των δυναμικών γραμμών που περνούν από την επιφάνεια, οπότε διπλάσιο πεδίο σημαίνει διπλάσια πυκνότητα γραμμών και διπλάσιο εμβαδόν διπλάσια επιφάνεια, άρα τετραπλάσιος αριθμός γραμμών.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 3 — ΗΕΔ όταν η έξοδος από το πεδίο γίνεται σε διπλάσιο χρόνο
Ερώτηση: Σωληνοειδές είναι τοποθετημένο με τον άξονά του παράλληλο προς τις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου. Όταν βγάλουμε το σωληνοειδές από το πεδίο σε χρονικό διάστημα Δt η ΗΕΔ που επάγεται είναι Ε. Εάν η έξοδος γίνει σε διπλάσιο χρονικό διάστημα η ΗΕΔ θα είναι: A. Ε Β. 2Ε Γ. Ε/2 Δ. -2Ε
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: Γ. Ε/2.
Ο συλλογισμός (σελ. 46, Ε = −Ν·ΔΦ/Δt):
1η φορά: Ε = Ν · ΔΦ / Δt 1 2η φορά: ίδια μεταβολή ροής ΔΦ (ίδιο σωληνοειδές, ίδιο πεδίο, πλήρης έξοδος και στις δύο περιπτώσεις) αλλά χρόνος 2Δt Ε = Ν · ΔΦ / (2Δt) = (1/2) · Ε 2 1Απάντηση: η ΗΕΔ υποδιπλασιάζεται.
Το κλειδί — τι μένει ίδιο και τι αλλάζει: η μεταβολή της ροής ΔΦ είναι ακριβώς η ίδια και στις δύο περιπτώσεις, γιατί το σωληνοειδές ξεκινά μέσα στο πεδίο (Φ_αρχ = Ν·Β·Α) και καταλήγει έξω (Φ_τελ = 0). Αυτό που αλλάζει είναι μόνο ο χρόνος. Η ρητή πειραματική διαπίστωση (σελ. 45): Οι ενδείξεις τις οποίες καταγράφει το όργανο δεν εξαρτώνται αποκλειστικά από τη μεταβολή της συνολικής μαγνητικής ροής, αφού σε όλες τις περιπτώσεις είναι ίδια. Εξαρτώνται από τις μεταβολές της ροής σε συνδυασμό με το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο πραγματοποιούνται.
Γιατί αποκλείεται η Δ (−2Ε): το αρνητικό πρόσημο στον νόμο του Faraday δηλώνει τη φορά (κανόνας του Lenz) και δεν εξαρτάται από τον χρόνο. Η διπλασιαστική αλλαγή προσήμου δεν έχει κανένα φυσικό νόημα εδώ. Γιατί αποκλείεται η Β (2Ε): θα ίσχυε αν ο χρόνος υποδιπλασιαζόταν, όχι αν διπλασιαζόταν. Τι θα ήταν ίδιο και στις δύο περιπτώσεις: το φορτίο που περνά από το κύκλωμα — q = Ν·ΔΦ/R — γιατί ο Δt απλοποιείται. Αυτή είναι ακριβώς η ιδέα της άσκησης 8 του ίδιου κεφαλαίου. Το πρακτικό συμπέρασμα: για να πάρουμε μεγάλη ΗΕΔ από επαγωγή, πρέπει η μεταβολή να γίνει γρήγορα — γι' αυτό οι γεννήτριες στρέφονται με μεγάλες στροφές και γι' αυτό το απότομο άνοιγμα ενός διακόπτη σε πηνίο δίνει μεγάλη τάση αυτεπαγωγής (σελ. 52).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Γ, δηλαδή η ηλεκτρεγερτική δύναμη γίνεται μισή. Σύμφωνα με τον νόμο της επαγωγής, η ηλεκτρεγερτική δύναμη ισούται με τον αριθμό των σπειρών επί τη μεταβολή της ροής προς τον χρόνο. Η μεταβολή της ροής είναι ακριβώς η ίδια και στις δύο περιπτώσεις, γιατί το σωληνοειδές ξεκινά μέσα στο πεδίο και καταλήγει έξω από αυτό· αυτό που αλλάζει είναι μόνο ο χρόνος, ο οποίος διπλασιάζεται, οπότε η ηλεκτρεγερτική δύναμη υποδιπλασιάζεται. Το ίδιο το βιβλίο τονίζει πειραματικά ότι οι ενδείξεις δεν εξαρτώνται μόνο από τη μεταβολή της ροής, αφού αυτή είναι ίδια, αλλά από τον συνδυασμό της με τον χρόνο. Η απάντηση με το αρνητικό πρόσημο αποκλείεται, γιατί το πρόσημο δηλώνει τη φορά κατά τον κανόνα του Lenz και δεν εξαρτάται από τον χρόνο, ενώ η διπλάσια τιμή θα προέκυπτε αν ο χρόνος υποδιπλασιαζόταν. Σημειώνεται ότι το φορτίο που περνά από το κύκλωμα θα ήταν το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις, γιατί ισούται με τον αριθμό των σπειρών επί τη μεταβολή της ροής προς την αντίσταση και ο χρόνος απλοποιείται.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 4 — Σύγκριση συντελεστών αυτεπαγωγής δύο πηνίων
Ερώτηση: Σε πηνίο Α μεταβάλλουμε την ένταση του ρεύματος το οποίο το διαρρέει με ρυθμό ΔΙ/Δt. Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή, η οποία αναπτύσσεται είναι Ε. Σε πηνίο Β μεταβάλλουμε την ένταση του ρεύματος με διπλάσιο ρυθμό από ότι στο πηνίο Α. Η ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο πηνίο Β είναι Ε/2. Για τους συντελεστές αυτεπαγωγής LA και LB ισχύει: Α. LA = 2LB Β. LA = 4LB Γ. 2LA = LB Δ. LA = LB
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: Β. LA = 4LB.
Ο υπολογισμός (σελ. 53, Ε = −L·ΔΙ/Δt, σε μέτρα):
Πηνίο Α: Ε = L · (ΔΙ/Δt) A Πηνίο Β: Ε/2 = L · 2·(ΔΙ/Δt) B Διαιρώντας κατά μέλη: Ε / (Ε/2) = [L ·(ΔΙ/Δt)] / [L ·2·(ΔΙ/Δt)] A B 2 = L / (2·L ) ⇒ L = 4 · L A B A BΑπάντηση: LA = 4·LB.
Ο έλεγχος με αριθμούς: έστω ΔΙ/Δt = 1 A/s και Ε = 4 V. Τότε L_A = 4 H. Για το Β: Ε/2 = 2 V με ρυθμό 2 A/s → L_B = 2/2 = 1 H. Πράγματι L_A = 4·L_B ✔
Ο διπλός συλλογισμός που χρειάζεται: το πηνίο Β δίνει μισή ΗΕΔ παρότι ο ρυθμός είναι διπλάσιος. Άρα η «απόδοσή» του είναι τέσσερις φορές μικρότερη — μία φορά επειδή δίνει τη μισή τάση και άλλη μία επειδή τη δίνει με τον διπλάσιο ρυθμό. Πού βρίσκεται η φυσική διαφορά (σελ. 53, L = μ·μ₀·(Α/l)·Ν²): το πηνίο Α έχει τετραπλάσιο συντελεστή, πράγμα που θα μπορούσε να οφείλεται σε διπλάσιο αριθμό σπειρών (αφού το Ν μπαίνει στο τετράγωνο), ή σε τετραπλάσιο εμβαδόν, ή σε τέταρτο του μήκους, ή σε σιδερένιο πυρήνα με κατάλληλη μ. Το βασικό δίδαγμα: ο L είναι σταθερά του πηνίου — δεν αλλάζει με το ρεύμα ούτε με τον ρυθμό μεταβολής του. Είναι το «μέτρο της ηλεκτρικής αδράνειας» του πηνίου. Η αναλογία με τη μηχανική: όπως η μάζα αντιστέκεται στη μεταβολή της ταχύτητας (F = m·a), έτσι ο συντελεστής αυτεπαγωγής αντιστέκεται στη μεταβολή του ρεύματος (Ε = −L·ΔΙ/Δt).
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Β, δηλαδή ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πρώτου πηνίου είναι τετραπλάσιος του δεύτερου. Από τη σχέση της αυτεπαγωγής, για το πρώτο πηνίο η ηλεκτρεγερτική δύναμη ισούται με τον συντελεστή του επί τον ρυθμό μεταβολής, ενώ για το δεύτερο η μισή ηλεκτρεγερτική δύναμη ισούται με τον συντελεστή του επί τον διπλάσιο ρυθμό. Διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει ότι ο πρώτος συντελεστής είναι τέσσερις φορές ο δεύτερος. Ο διπλός συλλογισμός είναι ότι το δεύτερο πηνίο δίνει τη μισή τάση παρότι ο ρυθμός είναι διπλάσιος, οπότε η απόδοσή του είναι τέσσερις φορές μικρότερη. Η φυσική διαφορά μπορεί να οφείλεται σε διπλάσιο αριθμό σπειρών, αφού ο αριθμός των σπειρών υπεισέρχεται στο τετράγωνο, ή σε τετραπλάσιο εμβαδόν, ή σε τέταρτο του μήκους, ή σε πυρήνα με μεγαλύτερη διαπερατότητα. Βασικό δίδαγμα είναι ότι ο συντελεστής αυτεπαγωγής αποτελεί σταθερά του πηνίου και δεν εξαρτάται από το ρεύμα ή τον ρυθμό μεταβολής του, λειτουργώντας ως μέτρο ηλεκτρικής αδράνειας, ανάλογο της μάζας στη μηχανική.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 5 — Μαγνήτης και σωληνοειδές που κινούνται με την ίδια ταχύτητα
Ερώτηση: Όταν ένας μαγνήτης πλησιάζει προς ένα σωληνοειδές που έχει συνδεθεί με γαλβανόμετρο, ώστε ο άξονάς του να είναι παράλληλος προς τον άξονα του σωληνοειδούς, το γαλβανόμετρο δείχνει κάποια ένδειξη. Εάν κινούμε τόσο τον μαγνήτη όσο και το σωληνοειδές με την ίδια ταχύτητα και προς την ίδια κατεύθυνση, η ένδειξη του οργάνου, σε σχέση με την προηγούμενη, θα είναι Α. Μεγαλύτερη Β. Μικρότερη Γ. Ίση Δ. Μηδέν
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: Δ. Μηδέν.
Η αιτιολόγηση: όταν μαγνήτης και σωληνοειδές κινούνται με την ίδια ταχύτητα και προς την ίδια κατεύθυνση, η σχετική τους θέση δεν μεταβάλλεται. Άρα ο αριθμός των δυναμικών γραμμών που περνούν από το σωληνοειδές παραμένει σταθερός, δηλαδή ΔΦ = 0, και από τον νόμο του Faraday:
Ε = − Ν · ΔΦ/Δt = − Ν · 0/Δt = 0Η ρητή επισήμανση του βιβλίου (σελ. 43): Να παρατηρήσετε ότι, εάν ταυτοχρόνως με την κίνηση του μαγνήτη, μετακινούσαμε και το σωληνοειδές με τέτοιο τρόπο, ώστε η σχετική τους θέση να μη μεταβάλλεται…
ΠΡΙΝ: ΤΩΡΑ: μαγνήτης → ▓▓ ) ) ) ) μαγνήτης → ▓▓ ) ) ) ) ← σωληνοειδές (κινείται) ταχύτητα υ ταχύτητα υ (σωληνοειδές ακίνητο) η απόσταση ΜΙΚΡΑΙΝΕΙ η απόσταση ΜΕΝΕΙ ΙΔΙΑ ⇒ ΔΦ ≠ 0 ⇒ ένδειξη ⇒ ΔΦ = 0 ⇒ ΜΗΔΕΝΤο βαθύτερο νόημα: η ηλεκτρομαγνητική επαγωγή είναι φαινόμενο σχετικής κίνησης. Δεν έχει σημασία ποιος κινείται — ο μαγνήτης, το πηνίο ή και οι δύο — παρά μόνο αν μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που περνά από το κύκλωμα. Η σύνδεση με την ενέργεια (σελ. 43): στο φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής είναι δυνατόν να έχουμε μετατροπή μηχανικής ενέργειας σε ηλεκτρική. Στην περίπτωση της κοινής κίνησης δεν δαπανάται πρόσθετη μηχανική ενέργεια για να νικηθεί μαγνητική αντίσταση, οπότε δεν παράγεται ηλεκτρική ενέργεια. Η επιβεβαίωση από το πείραμα του βιβλίου (σελ. 51, ερώτημα 7): Κινήστε τα πηνία προς τα αριστερά με την ίδια ταχύτητα, ώστε η σχετική τους θέση να μην μεταβάλλεται. Τι παρατηρείτε; Αιτιολογήστε. — η απάντηση είναι η ίδια: καμία ένδειξη. Πότε θα υπήρχε ένδειξη παρά την κοινή κίνηση: αν το πεδίο στην περιοχή δεν ήταν ομογενές και οι δύο κινούνταν σε περιοχή με μεταβαλλόμενο εξωτερικό πεδίο — αλλά αυτό δεν είναι το ερώτημα εδώ.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Δ, δηλαδή η ένδειξη είναι μηδέν. Όταν ο μαγνήτης και το σωληνοειδές κινούνται με την ίδια ταχύτητα και προς την ίδια κατεύθυνση, η σχετική τους θέση δεν μεταβάλλεται, οπότε ο αριθμός των δυναμικών γραμμών που περνούν από το σωληνοειδές παραμένει σταθερός, η μεταβολή της μαγνητικής ροής είναι μηδέν και από τον νόμο του Faraday μηδενίζεται και η ηλεκτρεγερτική δύναμη. Το ίδιο το βιβλίο επισημαίνει ρητά την περίπτωση αυτή, όταν εξηγεί την έννοια της ροής. Το βαθύτερο νόημα είναι ότι η ηλεκτρομαγνητική επαγωγή είναι φαινόμενο σχετικής κίνησης: δεν έχει σημασία ποιος κινείται, αλλά μόνο αν μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που περνά από το κύκλωμα. Ενεργειακά, στην κοινή κίνηση δεν δαπανάται πρόσθετη μηχανική ενέργεια για να νικηθεί κάποια μαγνητική αντίσταση, οπότε δεν παράγεται ηλεκτρική ενέργεια. Το ίδιο συμπέρασμα ζητά και το πείραμα του βιβλίου με τα δύο πηνία που κινούνται μαζί.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 6 — Παραγωγή ΗΕΔ σε δορυφόρο από το μαγνητικό πεδίο της Γης
Ερώτηση: Θα μπορούσαν οι τεχνητοί δορυφόροι της Γης να χρησιμοποιούν το μαγνητικό πεδίο της για να παράγεται ΗΕΔ, ικανή να τροφοδοτήσει τις ηλεκτρονικές συσκευές τους;
Απάντηση:
-
Ναι, θα μπορούσαν — και μάλιστα η ιδέα έχει δοκιμαστεί στην πράξη με τα λεγόμενα ηλεκτροδυναμικά καλώδια (tethers).
Η αρχή: ο δορυφόρος κινείται μέσα στο μαγνητικό πεδίο της Γης με τεράστια ταχύτητα (≈ 7,8 km/s σε χαμηλή τροχιά). Ένας αγώγιμος βραχίονας μήκους l, τεντωμένος κάθετα τόσο στην ταχύτητα όσο και στο πεδίο, αναπτύσσει ΗΕΔ:
Ε = Β · υ · l Παράδειγμα: Β = 0,3 · 10⁻⁴ T (πεδίο Γης σε τροχιά) υ = 7,8 · 10³ m/s l = 20.000 m (καλώδιο 20 km) Ε = 0,3·10⁻⁴ · 7,8·10³ · 2·10⁴ ≈ 4.680 VΔηλαδή μερικά kV — απολύτως αξιοποιήσιμα.
Γιατί λειτουργεί με όρους του κεφαλαίου: το φαινόμενο είναι η ηλεκτρομαγνητική επαγωγή — μετατροπή μηχανικής ενέργειας σε ηλεκτρική (σελ. 43). Η σχετική κίνηση αγωγού και πεδίου μεταβάλλει τη ροή και επάγει ΗΕΔ.
Οι τρεις προϋποθέσεις: 1. Ο αγωγός πρέπει να είναι κάθετος και στην ταχύτητα και στο πεδίο (αλλιώς ημφ μικραίνει και η ΗΕΔ πέφτει). 2. Πρέπει να κλείνει το κύκλωμα — στο διάστημα αυτό γίνεται μέσω της ιονόσφαιρας, που είναι αγώγιμη (πλάσμα), με συλλέκτες στα δύο άκρα του καλωδίου. 3. Το καλώδιο πρέπει να είναι πολύ μακρύ, γιατί το γήινο πεδίο είναι ασθενές.
Το τίμημα — και εδώ μιλά ο κανόνας του Lenz: μόλις αρχίσει να ρέει ρεύμα, το καλώδιο δέχεται δύναμη Laplace αντίθετη προς την κίνηση. Το σύστημα επιβραδύνεται και ο δορυφόρος χάνει ύψος. Η ηλεκτρική ενέργεια δεν είναι δωρεάν: προέρχεται από την κινητική ενέργεια της τροχιάς — ακριβώς όπως ορίζει η αρχή διατήρησης της ενέργειας, στην οποία στηρίζεται ο κανόνας του Lenz. Η αντιστροφή του φαινομένου: αν τροφοδοτήσουμε το καλώδιο με ρεύμα από ηλιακούς συλλέκτες, η δύναμη Laplace γίνεται προωθητική — το ίδιο σύστημα λειτουργεί ως κινητήρας χωρίς καύσιμο για την ανύψωση της τροχιάς. Γιατί στην πράξη οι δορυφόροι χρησιμοποιούν ηλιακούς συλλέκτες: είναι απλούστεροι, ελαφρύτεροι και δεν έχουν το πρόβλημα της επιβράδυνσης. Τα ηλεκτροδυναμικά καλώδια παραμένουν πειραματική τεχνολογία, με βασικές δυσκολίες την ανάπτυξη και τη σταθερότητα ενός καλωδίου δεκάδων χιλιομέτρων.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ναι, θα μπορούσαν, και η ιδέα έχει δοκιμαστεί με τα ηλεκτροδυναμικά καλώδια. Ο δορυφόρος κινείται μέσα στο μαγνητικό πεδίο της Γης με ταχύτητα περίπου επτά κόμμα οκτώ χιλιόμετρα το δευτερόλεπτο, οπότε ένας αγώγιμος βραχίονας τεντωμένος κάθετα στην ταχύτητα και στο πεδίο αναπτύσσει ηλεκτρεγερτική δύναμη ίση με το πεδίο επί την ταχύτητα επί το μήκος. Για καλώδιο είκοσι χιλιομέτρων και τυπικό γήινο πεδίο σε τροχιά, η τάση φτάνει τα μερικά χιλιάδες volt, δηλαδή είναι απολύτως αξιοποιήσιμη. Απαιτούνται τρεις προϋποθέσεις: ο αγωγός να είναι κάθετος στην ταχύτητα και στο πεδίο, το κύκλωμα να κλείνει, πράγμα που στο διάστημα γίνεται μέσω της αγώγιμης ιονόσφαιρας, και το καλώδιο να είναι πολύ μακρύ, γιατί το γήινο πεδίο είναι ασθενές. Το τίμημα το ορίζει ο κανόνας του Lenz: μόλις αρχίσει να ρέει ρεύμα, το καλώδιο δέχεται δύναμη Laplace αντίθετη προς την κίνηση, ο δορυφόρος επιβραδύνεται και χάνει ύψος, δηλαδή η ηλεκτρική ενέργεια προέρχεται από την κινητική ενέργεια της τροχιάς. Αντίστροφα, αν τροφοδοτήσουμε το καλώδιο με ρεύμα, η δύναμη γίνεται προωθητική. Στην πράξη οι δορυφόροι χρησιμοποιούν ηλιακούς συλλέκτες, γιατί είναι απλούστεροι, ελαφρύτεροι και δεν προκαλούν επιβράδυνση.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 7 — Είδος κίνησης βρόχου χωρίς ένδειξη στο αμπερόμετρο
Ερώτηση: Ένας κλειστός κυκλικός συρμάτινος βρόχος κινείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με σταθερή ταχύτητα. Ο βρόχος φέρει σε περιοχή της περιφέρειάς του αμπερόμετρο, το οποίο δεν καταγράφει ένδειξη στη διάρκεια της κίνησης του βρόχου. Μπορείτε να σκεφτείτε ποιο θα είναι το είδος της κίνησης του βρόχου;
Απάντηση:
-
Η απάντηση: η κίνηση είναι καθαρά μεταφορική — ο βρόχος μετατοπίζεται χωρίς να στρέφεται, διατηρώντας σταθερό τον προσανατολισμό του ως προς τις δυναμικές γραμμές.
Η αιτιολόγηση με τον τύπο της ροής (σελ. 44, Φ = Α·Β·συνφ): για να μηδενίζεται συνεχώς η ΗΕΔ, πρέπει ΔΦ = 0, δηλαδή η ροή να μένει σταθερή. Τα τρία μεγέθη που την καθορίζουν:
Α = εμβαδόν του βρόχου → σταθερό (άκαμπτος βρόχος) Β = μέτρο του πεδίου → σταθερό (ΟΜΟΓΕΝΕΣ πεδίο) φ = γωνία καθέτου με το Β → πρέπει να μείνει ΣΤΑΘΕΡΗΆρα η μόνη απαίτηση είναι να μην αλλάζει η γωνία φ, δηλαδή ο βρόχος να μη στρέφεται.
Η προσοχή στη λέξη «ομογενές»: επειδή το πεδίο είναι ομογενές, ο βρόχος μπορεί να κινείται προς οποιαδήποτε κατεύθυνση — παράλληλα, κάθετα ή πλάγια προς τις δυναμικές γραμμές — και η ροή θα μένει ίδια, αρκεί να μη στρέφεται. Σε ανομοιογενές πεδίο ακόμη και η μεταφορική κίνηση θα μετέβαλλε τη ροή.
ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ: ΔΕΝ ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ: ○ → ○ → ○ (μεταφορά) ○ → ◔ → ─ (στροφή) ίδια γωνία φ η γωνία φ αλλάζει ⇒ ΔΦ = 0 ⇒ Ι = 0 ⇒ ΔΦ ≠ 0 ⇒ ένδειξηΗ σύνδεση με την άσκηση 5: εκεί η σχετική κίνηση ήταν μηδέν· εδώ η κίνηση υπάρχει, αλλά δεν μεταβάλλει τη ροή. Και στις δύο περιπτώσεις το κρίσιμο δεν είναι η κίνηση αλλά η μεταβολή της ροής. Τι θα συνέβαινε αν ο βρόχος έβγαινε από το πεδίο: τότε το τμήμα του που βρίσκεται μέσα στο πεδίο θα μίκραινε, άρα η ενεργός επιφάνεια θα μεταβαλλόταν και θα εμφανιζόταν ρεύμα. Η άσκηση εννοεί ότι ο βρόχος παραμένει ολόκληρος μέσα στο πεδίο. Η γενική διατύπωση: κάθε στερεά κίνηση σε ομογενές πεδίο που δεν περιλαμβάνει περιστροφή και δεν αλλάζει το σχήμα του βρόχου αφήνει τη ροή αμετάβλητη.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Η κίνηση είναι καθαρά μεταφορική, δηλαδή ο βρόχος μετατοπίζεται χωρίς να στρέφεται, διατηρώντας σταθερό τον προσανατολισμό του ως προς τις δυναμικές γραμμές. Για να μην καταγράφει ένδειξη το αμπερόμετρο πρέπει η μαγνητική ροή να μένει σταθερή. Από τα τρία μεγέθη που την καθορίζουν, το εμβαδόν είναι σταθερό γιατί ο βρόχος είναι άκαμπτος και το μέτρο του πεδίου σταθερό γιατί το πεδίο είναι ομογενές, οπότε απομένει η γωνία, η οποία πρέπει επίσης να μείνει σταθερή. Επειδή ακριβώς το πεδίο είναι ομογενές, ο βρόχος μπορεί να κινείται προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, παράλληλα, κάθετα ή πλάγια στις δυναμικές γραμμές, αρκεί να μη στρέφεται· σε ανομοιογενές πεδίο ακόμη και η μεταφορική κίνηση θα μετέβαλλε τη ροή. Εννοείται επίσης ότι ο βρόχος παραμένει ολόκληρος μέσα στο πεδίο, γιατί αν έβγαινε από αυτό η ενεργός επιφάνεια θα μεταβαλλόταν και θα εμφανιζόταν ρεύμα. Γενικά, κάθε στερεά κίνηση σε ομογενές πεδίο χωρίς περιστροφή και χωρίς αλλαγή σχήματος αφήνει τη ροή αμετάβλητη.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 8 — Φορτίο που περνά όταν αλλάζει ο χρόνος εισόδου στο πεδίο
Ερώτηση: Πηνίο είναι συνδεδεμένο με αμπερόμετρο. Τοποθετούμε το πηνίο μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, έτσι ώστε ο άξονάς του να είναι παράλληλος προς τις δυναμικές γραμμές. Το χρονικό διάστημα, από τη στιγμή που αρχίζει η είσοδος στο πεδίο μέχρι να ολοκληρωθεί, είναι Δt. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα με το ίδιο πηνίο και το ίδιο μαγνητικό πεδίο αλλά τώρα το χρονικό διάστημα εισόδου του πηνίου στο πεδίο είναι 2Δt. Και στις δύο περιπτώσεις ο άξονας του πηνίου διατηρείται παράλληλος στο μαγνητικό πεδίο. Το φορτίο που περνάει από διατομή του σύρματος του πηνίου είναι: Α. Μεγαλύτερο στην πρώτη περίπτωση Β. Μεγαλύτερο στη δεύτερη περίπτωση Γ. Το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις
Απάντηση:
-
Σωστή απάντηση: Γ. Το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις.
Η απόδειξη:
Ε = Ν · ΔΦ / Δt (νόμος της επαγωγής) I = Ε / R = Ν · ΔΦ / (R · Δt) (νόμος του Ohm) q = I · Δt = [Ν·ΔΦ/(R·Δt)] · Δt ⇒ q = Ν · ΔΦ / R ← ο Δt ΑΠΛΟΠΟΙΕΙΤΑΙ!Το συμπέρασμα: το φορτίο εξαρτάται μόνο από τη συνολική μεταβολή της ροής, τον αριθμό των σπειρών και την αντίσταση του κυκλώματος — όχι από τον χρόνο.
Τι αλλάζει και τι όχι:
1η περίπτωση (Δt): Ε μεγάλη, Ι μεγάλο, διάρκεια μικρή 2η περίπτωση (2Δt): Ε μισή, Ι μισό, διάρκεια διπλάσια q = Ι · Δt : (μισό ρεύμα) × (διπλάσιος χρόνος) = ΙΔΙΟ φορτίοΗ φυσική ερμηνεία: το φορτίο είναι το «εμβαδόν» κάτω από τη γραφική παράσταση Ι–t. Στη δεύτερη περίπτωση η καμπύλη είναι μισή σε ύψος αλλά διπλάσια σε πλάτος — το εμβαδόν μένει ίδιο.
Η πρακτική σημασία — το βαλλιστικό γαλβανόμετρο: ακριβώς επειδή το φορτίο δεν εξαρτάται από τον χρόνο, η μέτρησή του χρησιμοποιείται για να προσδιοριστεί η μεταβολή της ροής ή το ίδιο το μαγνητικό πεδίο, χωρίς να χρειάζεται να ελεγχθεί η ταχύτητα της κίνησης. Είναι μια από τις πιο αξιόπιστες μαγνητικές μετρήσεις. Η σύνδεση με την άσκηση 3: εκεί ρωτούσε για την ΗΕΔ, που εξαρτάται από τον χρόνο (υποδιπλασιάζεται)· εδώ ρωτά για το φορτίο, που δεν εξαρτάται. Οι δύο ασκήσεις μαζί κάνουν ακριβώς αυτή τη διάκριση. Η προσοχή στη διατύπωση: «μέχρι να ολοκληρωθεί» η είσοδος σημαίνει ότι στο τέλος το πηνίο βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο πεδίο και στις δύο περιπτώσεις — άρα το ΔΦ είναι πράγματι το ίδιο.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση Γ, δηλαδή το φορτίο είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις. Πράγματι, η ηλεκτρεγερτική δύναμη ισούται με τον αριθμό των σπειρών επί τη μεταβολή της ροής προς τον χρόνο, το ρεύμα προκύπτει διαιρώντας με την αντίσταση, και το φορτίο ισούται με το ρεύμα επί τον χρόνο· κατά τον πολλαπλασιασμό ο χρόνος απλοποιείται και μένει ότι το φορτίο ισούται με τον αριθμό των σπειρών επί τη μεταβολή της ροής προς την αντίσταση. Επομένως το φορτίο εξαρτάται μόνο από τη συνολική μεταβολή της ροής, τον αριθμό των σπειρών και την αντίσταση, όχι από τον χρόνο. Στη δεύτερη περίπτωση η ηλεκτρεγερτική δύναμη και το ρεύμα είναι μισά, αλλά η διάρκεια διπλάσια, οπότε το γινόμενο μένει ίδιο· ισοδύναμα, το φορτίο είναι το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση του ρεύματος ως προς τον χρόνο, το οποίο δεν αλλάζει. Στην ιδιότητα αυτή στηρίζεται το βαλλιστικό γαλβανόμετρο, με το οποίο μετράμε μεταβολές ροής χωρίς να ελέγχουμε την ταχύτητα της κίνησης.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 9 — Συμπλήρωση κενών για τον νόμο της επαγωγής και τον κανόνα του Lenz
Ερώτηση: Να συμπληρώσετε τα κενά στο επόμενο κείμενο: Η ΗΕΔ από επαγωγή η οποία αναπτύσσεται σε ένα κλειστό κύκλωμα είναι ανάλογη με τον ............ της μαγνητικής ροής. Ο τύπος που παρέχει αυτή την ΗΕΔ είναι ............ . Το ............ δικαιολογείται με τον κανόνα του Lenz, ο οποίος λέγει ότι το επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια ............ ώστε να τείνει να ............ το ............ που το προκάλεσε. Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή, η οποία αναπτύσσεται σε ένα πηνίο είναι ............ με τον ρυθμό ............ της ............ που διαρρέει το πηνίο.
Απάντηση:
-
Το συμπληρωμένο κείμενο:
«Η ΗΕΔ από επαγωγή η οποία αναπτύσσεται σε ένα κλειστό κύκλωμα είναι ανάλογη με τον ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ της μαγνητικής ροής. Ο τύπος που παρέχει αυτή την ΗΕΔ είναι Ε = −Ν·ΔΦ/Δt. Το ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΣΗΜΟ δικαιολογείται με τον κανόνα του Lenz, ο οποίος λέγει ότι το επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια ΦΟΡΑ ώστε να τείνει να ΑΝΤΙΤΑΧΘΕΙ (να εμποδίσει) το ΑΙΤΙΟ — δηλαδή τη μεταβολή της μαγνητικής ροής — που το προκάλεσε. Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή, η οποία αναπτύσσεται σε ένα πηνίο είναι ΑΝΑΛΟΓΗ με τον ρυθμό ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ της ΕΝΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ που διαρρέει το πηνίο.»
# Το κενό Η τεκμηρίωση 1 ρυθμό μεταβολής σελ. 46: Ανάλογη με την ταχύτητα μεταβολής της μαγνητικής ροής 2 Ε = −Ν·ΔΦ/Δt ο τύπος (12), σελ. 46 3 αρνητικό πρόσημο σελ. 46: Το αρνητικό πρόσημο (-) εισάγεται λόγω του κανόνα του Lenz 4 φορά ο κανόνας του Lenz καθορίζει τη φορά του επαγωγικού ρεύματος 5 αντιταχθεί / εμποδίσει σελ. 56: αντιτίθεται στη μεταβολή της ροής 6 αίτιο (η μεταβολή της ροής) το αίτιο του επαγωγικού ρεύματος 7 ανάλογη σελ. 53: είναι ανάλογο με το ρυθμό αυτό 8 μεταβολής ο ρυθμός μεταβολής 9 έντασης του ρεύματος σελ. 53: του ρεύματος, το οποίο διαρρέει το πηνίο ΟΙ ΔΥΟ ΤΥΠΟΙ ΜΑΖΙ επαγωγή: Ε = − Ν · ΔΦ/Δt (μεταβολή ΡΟΗΣ) αυτεπαγωγή: Ε = − L · ΔΙ/Δt (μεταβολή ΡΕΥΜΑΤΟΣ) Και οι δύο έχουν το ΙΔΙΟ αρνητικό πρόσημο — τον κανόνα του Lenz.Η κρίσιμη λεπτομέρεια για το κενό 1: ρυθμός μεταβολής και όχι «μεταβολή». Είναι το σημείο που ξεχωρίζει τη σωστή από τη λαθεμένη διατύπωση — και το βιβλίο το τονίζει πειραματικά (σελ. 45). Η κρίσιμη λεπτομέρεια για τα κενά 5 και 6: το επαγωγικό ρεύμα αντιτίθεται στη ΜΕΤΑΒΟΛΗ της ροής, όχι στην ίδια τη ροή. Αν η ροή αυξάνεται, το επαγωγικό ρεύμα την εμποδίζει να αυξηθεί· αν μειώνεται, την εμποδίζει να μειωθεί — δηλαδή στη δεύτερη περίπτωση το επαγωγικό πεδίο είναι ομόρροπο με το αρχικό.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Το συμπληρωμένο κείμενο έχει ως εξής. Η ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή που αναπτύσσεται σε κλειστό κύκλωμα είναι ανάλογη με τον ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής. Ο τύπος που την παρέχει είναι μείον ο αριθμός των σπειρών επί τη μεταβολή της ροής προς τη μεταβολή του χρόνου. Το αρνητικό πρόσημο δικαιολογείται με τον κανόνα του Lenz, ο οποίος λέει ότι το επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια φορά ώστε να τείνει να αντιταχθεί στο αίτιο, δηλαδή στη μεταβολή της μαγνητικής ροής, που το προκάλεσε. Η ηλεκτρεγερτική δύναμη από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται σε πηνίο είναι ανάλογη με τον ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. Δύο λεπτομέρειες είναι κρίσιμες: πρώτον, η αναλογία αφορά τον ρυθμό μεταβολής και όχι την ίδια τη μεταβολή, κάτι που το βιβλίο τονίζει πειραματικά· δεύτερον, το επαγωγικό ρεύμα αντιτίθεται στη μεταβολή της ροής και όχι στην ίδια τη ροή, οπότε όταν η ροή μειώνεται το επαγωγικό πεδίο είναι ομόρροπο με το αρχικό.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 10 — Εντοπισμός λαθών σε κείμενο για την επαγωγή
Ερώτηση: Να εντοπίσετε τα λάθη στο επόμενο κείμενο: Για να δημιουργηθεί ΗΕΔ από επαγωγή σε ένα κύκλωμα από το οποίο περνάει μεταβαλλόμενη χρονικά μαγνητική ροή, πρέπει το κύκλωμα να είναι κλειστό. Η μονάδα με την οποία θα μετρήσουμε την ΗΕΔ είναι το 1Τ. Η φορά του επαγωγικού ρεύματος είναι τέτοια, ώστε να ενισχύεται η μεταβολή της μαγνητικής ροής, και προσδιορίζεται με τον κανόνα του Lenz, ο οποίος είναι απόρροια της αρχής διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου.
Απάντηση:
-
Το κείμενο περιέχει τέσσερα λάθη:
Λάθος 1: «πρέπει το κύκλωμα να είναι κλειστό» Σωστό: η ΗΕΔ από επαγωγή αναπτύσσεται ανεξάρτητα από το αν το κύκλωμα είναι κλειστό ή ανοιχτό — αρκεί να μεταβάλλεται η μαγνητική ροή. Αυτό που απαιτεί κλειστό κύκλωμα είναι η κυκλοφορία επαγωγικού ρεύματος. Σε ανοιχτό κύκλωμα εμφανίζεται τάση στα άκρα, αλλά δεν ρέει ρεύμα.
Λάθος 2: «Η μονάδα… είναι το 1Τ» Σωστό: η ΗΕΔ μετριέται σε 1 volt (1 V). Το 1 T (tesla) είναι η μονάδα του μαγνητικού πεδίου Β. (Η μονάδα της ροής είναι το weber, σελ. 44.)
Λάθος 3: «ώστε να ενισχύεται η μεταβολή της μαγνητικής ροής» Σωστό: το επαγωγικό ρεύμα αντιτίθεται στη μεταβολή της ροής, δεν την ενισχύει. Όπως δείχνει το πείραμα του δακτυλίου (σελ. 56): με την απομάκρυνσή του αντιτίθεται στη μεταβολή της ροής.
Λάθος 4: «απόρροια της αρχής διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου» Σωστό: ο κανόνας του Lenz είναι απόρροια της αρχής διατήρησης της ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ.
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΟ ──────────────────────────────────────────────────────────────── «πρέπει το κύκλωμα να είναι κλειστό» → μόνο για το ΡΕΥΜΑ, όχι για την ΗΕΔ «η μονάδα είναι το 1 Τ» → 1 volt «να ενισχύεται η μεταβολή» → να ΑΝΤΙΤΙΘΕΤΑΙ «διατήρηση του ΦΟΡΤΙΟΥ» → διατήρηση της ΕΝΕΡΓΕΙΑΣΓιατί το λάθος 3 και το λάθος 4 συνδέονται: αν το επαγωγικό ρεύμα ενίσχυε τη μεταβολή, θα δημιουργούσε μεγαλύτερη ροή, που θα επήγαγε ισχυρότερο ρεύμα, και ούτω καθεξής — θα είχαμε αυτοτροφοδοτούμενη αύξηση, δηλαδή παραγωγή ενέργειας από το τίποτα. Ακριβώς αυτή η αδυναμία επιβάλλει τον κανόνα του Lenz και τον συνδέει με τη διατήρηση της ενέργειας. Γιατί το λάθος 1 είναι λεπτό: το βιβλίο περιγράφει το φαινόμενο με κλειστό κύκλωμα (γαλβανόμετρο συνδεδεμένο), οπότε είναι εύκολο να θεωρήσει κανείς ότι η κλειστότητα είναι προϋπόθεση της ΗΕΔ. Είναι όμως προϋπόθεση μόνο για να μετρηθεί το ρεύμα. Η πρακτική επιβεβαίωση: ένας μετασχηματιστής με ανοιχτό δευτερεύον έχει τάση στα άκρα του — αλλιώς δεν θα μπορούσαμε να τη μετρήσουμε με βολτόμετρο πριν συνδέσουμε φορτίο.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Το κείμενο περιέχει τέσσερα λάθη. Πρώτον, δεν χρειάζεται το κύκλωμα να είναι κλειστό για να αναπτυχθεί ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή· αρκεί να μεταβάλλεται η μαγνητική ροή, ενώ κλειστό κύκλωμα απαιτείται μόνο για να κυκλοφορήσει επαγωγικό ρεύμα, αφού σε ανοιχτό κύκλωμα εμφανίζεται τάση στα άκρα χωρίς ρεύμα. Δεύτερον, η μονάδα της ηλεκτρεγερτικής δύναμης δεν είναι το ένα tesla αλλά το ένα volt· το tesla είναι η μονάδα του μαγνητικού πεδίου, ενώ της ροής είναι το weber. Τρίτον, η φορά του επαγωγικού ρεύματος είναι τέτοια ώστε να αντιτίθεται και όχι να ενισχύει τη μεταβολή της μαγνητικής ροής, όπως δείχνει και το πείραμα του δακτυλίου. Τέταρτον, ο κανόνας του Lenz είναι απόρροια της αρχής διατήρησης της ενέργειας και όχι του ηλεκτρικού φορτίου. Τα δύο τελευταία λάθη συνδέονται, γιατί αν το επαγωγικό ρεύμα ενίσχυε τη μεταβολή θα είχαμε αυτοτροφοδοτούμενη αύξηση και παραγωγή ενέργειας από το τίποτα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 11 — Υπολογισμός μαγνητικής ροής σε τρεις προσανατολισμούς
Ερώτηση: Επίπεδη νοητή επιφάνεια έχει εμβαδόν A = 0,6m2. Στην περιοχή που βρίσκεται η επιφάνεια υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο με Β = 2Τ. Να υπολογίσετε τη μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνεια στις επόμενες περιπτώσεις: Α. Η επιφάνεια είναι παράλληλη προς τις δυναμικές γραμμές. Β. Η επιφάνεια είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές. Γ. Η κάθετη στην επιφάνεια σχηματίζει με το μαγνητικό πεδίο γωνία φ = 60°.
Απάντηση:
-
Ο τύπος (σελ. 44): Φ = Α·Β·συνφ, όπου φ η γωνία της καθέτου στην επιφάνεια με το Β.
Α. Επιφάνεια παράλληλη προς τις δυναμικές γραμμές Αν η επιφάνεια είναι παράλληλη στο Β, τότε η κάθετη στην επιφάνεια είναι κάθετη στο Β, δηλαδή φ = 90°:
Φ = 0,6 · 2 · συν90° = 0,6 · 2 · 0 = 0Φ = 0 — καμία δυναμική γραμμή δεν διαπερνά την επιφάνεια· όλες τη «χαϊδεύουν» παράλληλα.
Β. Επιφάνεια κάθετη στις δυναμικές γραμμές Τότε η κάθετη στην επιφάνεια είναι παράλληλη στο Β, δηλαδή φ = 0°:
Φ = 0,6 · 2 · συν0° = 0,6 · 2 · 1 = 1,2 WbΦ = 1,2 Wb — η μέγιστη δυνατή τιμή.
Γ. Η κάθετη σχηματίζει με το πεδίο γωνία φ = 60°
Φ = 0,6 · 2 · συν60° = 0,6 · 2 · 0,5 = 0,6 WbΦ = 0,6 Wb — ακριβώς η μισή της μέγιστης.
ΣΥΝΟΨΗ Α. επιφάνεια ∥ Β → φ = 90° → Φ = 0 Β. επιφάνεια ⊥ Β → φ = 0° → Φ = 1,2 Wb (μέγιστη) Γ. κάθετη ∠ 60° Β → φ = 60° → Φ = 0,6 Wb (η μισή)Η κλασική παγίδα: η γωνία φ του τύπου μετριέται ανάμεσα στην κάθετη της επιφάνειας και στο Β, όχι ανάμεσα στην ίδια την επιφάνεια και στο πεδίο. Οι δύο διατυπώσεις δίνουν συμπληρωματικές γωνίες, και η σύγχυσή τους αντιστρέφει ημίτονο και συνημίτονο. Ο έλεγχος με λογική: όσο η επιφάνεια «γέρνει» ώστε να γίνει παράλληλη στο πεδίο, τόσο λιγότερες γραμμές τη διαπερνούν — άρα η ροή πρέπει να μειώνεται από 1,2 Wb προς 0. Το αποτέλεσμα του ερωτήματος Γ (0,6 Wb) βρίσκεται σωστά ανάμεσά τους. Η μονάδα (σελ. 44): 1 Wb = 1 T·m² — άρα 2 T × 0,6 m² = 1,2 Wb και οι μονάδες συμφωνούν. Γιατί η επιφάνεια λέγεται «νοητή»: η μαγνητική ροή ορίζεται για οποιαδήποτε επιφάνεια, ακόμη και για μία που δεν υλοποιείται από αγωγό. Το ρεύμα βέβαια απαιτεί πραγματικό κλειστό αγωγό.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο τύπος της μαγνητικής ροής είναι εμβαδόν επί πεδίο επί το συνημίτονο της γωνίας της καθέτου στην επιφάνεια με το πεδίο. Στην πρώτη περίπτωση η επιφάνεια είναι παράλληλη στις δυναμικές γραμμές, οπότε η κάθετή της είναι κάθετη στο πεδίο, η γωνία είναι ενενήντα μοίρες, το συνημίτονο μηδέν και η ροή μηδέν, αφού καμία δυναμική γραμμή δεν διαπερνά την επιφάνεια. Στη δεύτερη περίπτωση η επιφάνεια είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές, η κάθετή της παράλληλη στο πεδίο, η γωνία μηδέν και η ροή μέγιστη, ίση με μηδέν κόμμα έξι επί δύο, δηλαδή ένα κόμμα δύο weber. Στην τρίτη περίπτωση η γωνία είναι εξήντα μοίρες, το συνημίτονο μισό και η ροή μηδέν κόμμα έξι weber, δηλαδή η μισή της μέγιστης. Κλασική παγίδα είναι ότι η γωνία του τύπου μετριέται ανάμεσα στην κάθετη της επιφάνειας και στο πεδίο και όχι ανάμεσα στην ίδια την επιφάνεια και στο πεδίο, αφού οι δύο διατυπώσεις δίνουν συμπληρωματικές γωνίες και η σύγχυσή τους αντιστρέφει ημίτονο και συνημίτονο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 12 — Μεταβολή της ροής κατά στροφή επιφάνειας κατά 60 μοίρες
Ερώτηση: Επίπεδη επιφάνεια με εμβαδόν Α είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου και βρίσκεται ολόκληρη μέσα σε αυτό. Στρέφουμε την επιφάνεια κατά 60° γύρω από άξονα του επιπέδου της, ο οποίος είναι κάθετος στο μαγνητικό πεδίο. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της μαγνητικής ροής στη διάρκεια της στροφής.
Απάντηση:
-
Η αρχική κατάσταση: η επιφάνεια είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές, άρα η κάθετή της είναι παράλληλη στο Β και φ₁ = 0°:
Φ = Α · Β · συν0° = Α · Β 1Η τελική κατάσταση: μετά τη στροφή κατά 60° γύρω από άξονα του επιπέδου της που είναι κάθετος στο πεδίο, η κάθετη στην επιφάνεια στρέφεται κατά 60° ως προς το Β, άρα φ₂ = 60°:
Φ = Α · Β · συν60° = Α · Β · 0,5 = 0,5 · Α · Β 2Η μεταβολή:
ΔΦ = Φ − Φ = 0,5·Α·Β − Α·Β = − 0,5 · Α · Β 2 1Απάντηση: ΔΦ = −0,5·Α·Β, δηλαδή η ροή ελαττώθηκε κατά το μισό της αρχικής της τιμής. Κατά μέτρο: |ΔΦ| = Α·Β/2.
ΠΡΙΝ (φ = 0°) ΜΕΤΑ (φ = 60°) ══════════ ← επιφάνεια ╱╱╱╱╱ ← στραμμένη κατά 60° ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ← δυναμικές γραμμές ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ Φ = Α·Β (μέγιστη) Φ = Α·Β/2 (η μισή)Γιατί ο άξονας πρέπει να είναι «του επιπέδου της και κάθετος στο πεδίο»: η προδιαγραφή αυτή εξασφαλίζει ότι η στροφή αλλάζει πραγματικά τη γωνία φ κατά ακριβώς 60°. Αν ο άξονας ήταν παράλληλος στο πεδίο, η επιφάνεια θα στρεφόταν μέσα στο ίδιο της το επίπεδο και η ροή δεν θα άλλαζε καθόλου. Το πρόσημο: η ροή μειώνεται, γι' αυτό ΔΦ < 0. Αν στρέφαμε την επιφάνεια κατά 120°, θα είχαμε συν120° = −0,5 και ΔΦ = −1,5·Α·Β — δηλαδή η ροή θα άλλαζε και φορά. Πού οδηγεί αυτή η άσκηση: αν η στροφή γίνει σε χρόνο Δt, θα αναπτυχθεί ΗΕΔ με μέτρο Ε = Ν·|ΔΦ|/Δt = Ν·Α·Β/(2·Δt). Αυτή ακριβώς είναι η επόμενη άσκηση (13), με αριθμητικά δεδομένα. Η αρχή λειτουργίας της γεννήτριας: η συνεχής περιστροφή ενός πλαισίου μέσα σε μαγνητικό πεδίο μεταβάλλει ημιτονοειδώς τη ροή και παράγει εναλλασσόμενη ΗΕΔ — το αντικείμενο του κεφαλαίου 3.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Αρχικά η επιφάνεια είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές, οπότε η κάθετή της είναι παράλληλη στο πεδίο, η γωνία είναι μηδέν και η ροή ίση με το γινόμενο εμβαδού επί πεδίο. Μετά τη στροφή κατά εξήντα μοίρες γύρω από άξονα του επιπέδου της που είναι κάθετος στο πεδίο, η κάθετη στην επιφάνεια σχηματίζει με το πεδίο γωνία εξήντα μοιρών, οπότε η ροή γίνεται το μισό της αρχικής, αφού το συνημίτονο των εξήντα μοιρών είναι μισό. Επομένως η μεταβολή της ροής είναι μείον μισό επί το εμβαδόν επί το πεδίο, δηλαδή η ροή ελαττώθηκε κατά το μισό της αρχικής τιμής. Η προδιαγραφή ότι ο άξονας ανήκει στο επίπεδο της επιφάνειας και είναι κάθετος στο πεδίο εξασφαλίζει ότι η στροφή αλλάζει πράγματι τη γωνία κατά εξήντα μοίρες· αν ο άξονας ήταν παράλληλος στο πεδίο, η επιφάνεια θα στρεφόταν μέσα στο ίδιο της το επίπεδο και η ροή δεν θα άλλαζε. Αν η στροφή γίνει σε ορισμένο χρόνο, θα αναπτυχθεί ηλεκτρεγερτική δύναμη ίση με τον αριθμό των σπειρών επί τη μεταβολή της ροής προς τον χρόνο, ενώ η συνεχής περιστροφή πλαισίου παράγει εναλλασσόμενη ηλεκτρεγερτική δύναμη, όπως στη γεννήτρια.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 13 — ΗΕΔ σε τετράγωνο πλαίσιο που στρέφεται κατά 90 μοίρες
Ερώτηση: Τετράγωνο συρμάτινο πλαίσιο μίας σπείρας έχει πλευρά α = 0,4cm και είναι τοποθετημένο κάθετα στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου με Β = 0,02Τ. Σε χρονικό διάστημα Δt = 0,4s, στρέφουμε το πλαίσιο κατά φ = 90° γύρω από άξονα, ο οποίος περνάει από τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του και είναι κάθετος στο μαγνητικό πεδίο. Να υπολογίσετε την ΗΕΔ από επαγωγή, η οποία αναπτύσσεται στο πλαίσιο.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: Ν = 1 σπείρα, α = 0,4 cm = 4×10⁻³ m, Β = 0,02 T, Δt = 0,4 s, στροφή 90°.
Βήμα 1 — το εμβαδόν:
2 -3 2 -6 2 Α = α = (4·10 ) = 16 · 10 mΒήμα 2 — η αρχική ροή (πλαίσιο κάθετο στις γραμμές, άρα φ = 0°):
-6 -7 Φ = Β·Α = 0,02 · 16·10 = 3,2 · 10 Wb 1Βήμα 3 — η τελική ροή (μετά τη στροφή κατά 90°, η κάθετη γίνεται κάθετη στο Β):
Φ = Β·Α·συν90° = 0 2Βήμα 4 — η ΗΕΔ:
-7 -7 |Ε| = Ν · |ΔΦ| / Δt = 1 · 3,2·10 / 0,4 = 8·10 VΑπάντηση: Ε = 8×10⁻⁷ V = 0,8 μV.
Γιατί το αποτέλεσμα είναι τόσο μικρό: τρεις παράγοντες συνεργούν — μία μόνο σπείρα, πολύ μικρό εμβαδόν (πλευρά μόλις 4 mm, εμβαδόν 16 mm²) και αργή στροφή (0,4 s). Η ΗΕΔ αυτή είναι στα όρια της μετρησιμότητας ακόμη και με ευαίσθητο όργανο. Πώς θα την αυξάναμε (και οι τρεις τρόποι φαίνονται στον τύπο):
Ε = Ν · Β · Α / Δt (για στροφή 90°) • Ν σπείρες αντί για 1 → Ν φορές μεγαλύτερη • μεγαλύτερο πλαίσιο → με πλευρά 4 cm, εμβαδόν ×100 • ταχύτερη στροφή → σε 4 ms αντί για 0,4 s, ×100Με 1000 σπείρες, πλευρά 4 cm και στροφή σε 4 ms, η ΗΕΔ θα έφτανε τα 8 V. Η προσοχή στη μετατροπή μονάδων: 0,4 cm = 0,004 m και Α = 1,6×10⁻⁵ m² — αν κάποιος βάλει το εμβαδόν σε cm² (0,16 cm²), το αποτέλεσμα βγαίνει 10.000 φορές μεγαλύτερο. Γιατί ο άξονας «περνάει από τα μέσα δύο απέναντι πλευρών»: για να είναι η στροφή γεωμετρικά ορισμένη και ο άξονας κάθετος στο πεδίο, ώστε η γωνία φ να αλλάζει από 0° σε 90° — δηλαδή η ροή να πέφτει από τη μέγιστη τιμή στο μηδέν. Η σύνδεση με την άσκηση 12: εκεί η στροφή ήταν 60° και η ροή έπεφτε στο μισό· εδώ η στροφή είναι 90° και η ροή μηδενίζεται — δηλαδή έχουμε τη μέγιστη δυνατή μεταβολή για δεδομένο πλαίσιο και πεδίο.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι η πλευρά στο τετράγωνο, δηλαδή τέσσερα χιλιοστά επί τέσσερα χιλιοστά, ίσο με δεκαέξι επί δέκα στην μείον έκτη τετραγωνικά μέτρα. Αρχικά το πλαίσιο είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές, οπότε η ροή είναι το γινόμενο πεδίου επί εμβαδόν, ίσο με τρία κόμμα δύο επί δέκα στην μείον έβδομη weber. Μετά τη στροφή κατά ενενήντα μοίρες η κάθετη στην επιφάνεια γίνεται κάθετη στο πεδίο, οπότε η ροή μηδενίζεται. Επομένως η ηλεκτρεγερτική δύναμη ισούται με τη μεταβολή της ροής προς τον χρόνο, δηλαδή τρία κόμμα δύο επί δέκα στην μείον έβδομη διά μηδέν κόμμα τέσσερα δευτερόλεπτα, ίση με οκτώ επί δέκα στην μείον έβδομη volt, δηλαδή περίπου μηδέν κόμμα οκτώ μικροβολτ. Το αποτέλεσμα είναι πολύ μικρό γιατί συνεργούν τρεις παράγοντες: μία μόνο σπείρα, πολύ μικρό εμβαδόν και αργή στροφή. Θα αυξανόταν με περισσότερες σπείρες, μεγαλύτερο πλαίσιο ή ταχύτερη στροφή. Προσοχή χρειάζεται στη μετατροπή της πλευράς από εκατοστά σε μέτρα, αλλιώς το αποτέλεσμα βγαίνει δέκα χιλιάδες φορές μεγαλύτερο.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 14 — ΗΕΔ, ρεύμα και φορτίο κατά την έξοδο πηνίου από πεδίο
Ερώτηση: Πηνίο έχει Ν = 50 σπείρες και βρίσκεται με τον άξονά του παράλληλο προς το ομογενές μαγνητικό πεδίο Β = 0,4Τ, το οποίο σχηματίζεται ανάμεσα στους ετερώνυμους πόλους δύο όμοιων μαγνητών. Τα άκρα του πηνίου συνδέονται με αντιστάτη αντίστασης R = 5Ω. Κάθε σπείρα του πηνίου έχει εμβαδόν Α = 2cm2. Σε χρονικό διάστημα Δt = 0,1s, βγάζουμε το πηνίο από το πεδίο. Να υπολογίσετε: Α. Την τιμή της μέσης ΗΕΔ από επαγωγή η οποία αναπτύχτηκε στο πηνίο. Β. Τη μέση τιμή του ρεύματος το οποίο διαρρέει το κύκλωμα. Γ. Το φορτίο το οποίο θα περάσει από διατομή κάθε σύρματος του κυκλώματος.
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: Ν = 50, Β = 0,4 T, R = 5 Ω, Α = 2 cm² = 2×10⁻⁴ m², Δt = 0,1 s.
Α. Η μέση ΗΕΔ από επαγωγή Η ροή ανά σπείρα πέφτει από Β·Α σε 0:
-4 -5 |ΔΦ| = Β · Α = 0,4 · 2·10 = 8 · 10 Wb -5 |Ε| = Ν · |ΔΦ|/Δt = 50 · 8·10 / 0,1 -5 -4 = 50 · 8 · 10 · 10 = 50 · 8·10 = 0,04 VΑπάντηση Α: Ε = 0,04 V = 40 mV.
Β. Η μέση τιμή του ρεύματος (νόμος του Ohm):
-3 I = Ε / R = 0,04 / 5 = 8 · 10 A = 8 mAΑπάντηση Β: I = 8×10⁻³ A = 8 mA.
Γ. Το φορτίο:
-3 -4 q = I · Δt = 8·10 · 0,1 = 8 · 10 C = 0,8 mCΉ, ισοδύναμα, χωρίς τον χρόνο:
-5 q = Ν · ΔΦ / R = 50 · 8 · 10 / 5 = 8 · 10⁻⁴ C ✔Απάντηση Γ: q = 8×10⁻⁴ C.
Γιατί ο δεύτερος τρόπος υπολογισμού του φορτίου είναι διδακτικά σημαντικός: επιβεβαιώνει το συμπέρασμα της άσκησης 8 — το φορτίο δεν εξαρτάται από τον χρόνο εξόδου. Αν βγάζαμε το πηνίο σε 1 s αντί για 0,1 s, η ΗΕΔ και το ρεύμα θα ήταν δέκα φορές μικρότερα, αλλά το φορτίο ακριβώς το ίδιο. Γιατί η ΗΕΔ λέγεται «μέση»: κατά τη διάρκεια της εξόδου το πηνίο βγαίνει σταδιακά και ο ρυθμός μεταβολής της ροής δεν είναι απαραίτητα σταθερός. Ο τύπος Ε = Ν·ΔΦ/Δt δίνει τη μέση τιμή στο διάστημα Δt. Η προσοχή στις μονάδες: 2 cm² = 2×10⁻⁴ m² (όχι 2×10⁻² m²) — το τετραγωνικό εκατοστό είναι 10⁻⁴ του τετραγωνικού μέτρου. Η προσοχή στο Ν: ο αριθμός των σπειρών πολλαπλασιάζει την ΗΕΔ — το εμβαδόν Α δίνεται ανά σπείρα, όχι συνολικά. Ο έλεγχος με ενέργεια: η ενέργεια που εκλύθηκε στον αντιστάτη είναι περίπου W = Ε·Ι·Δt = 0,04 · 8×10⁻³ · 0,1 = 3,2×10⁻⁵ J — και προέρχεται από το μηχανικό έργο που δαπανήσαμε τραβώντας το πηνίο έξω από το πεδίο, ενάντια στη δύναμη που προβλέπει ο κανόνας του Lenz.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Στο πρώτο ερώτημα, η ροή ανά σπείρα πέφτει από το γινόμενο πεδίου επί εμβαδόν στο μηδέν, δηλαδή η μεταβολή είναι μηδέν κόμμα τέσσερα επί δύο επί δέκα στην μείον τέταρτη, ίση με οκτώ επί δέκα στην μείον πέμπτη weber. Η μέση ηλεκτρεγερτική δύναμη είναι ο αριθμός των σπειρών επί τη μεταβολή αυτή προς τον χρόνο, δηλαδή πενήντα επί οκτώ επί δέκα στην μείον πέμπτη διά μηδέν κόμμα ένα, ίση με μηδέν κόμμα μηδέν τέσσερα volt, δηλαδή σαράντα χιλιοστά του volt. Στο δεύτερο ερώτημα, το μέσο ρεύμα προκύπτει από τον νόμο του Ohm, δηλαδή μηδέν κόμμα μηδέν τέσσερα διά πέντε ωμ, ίσο με οκτώ χιλιοστά του ampere. Στο τρίτο ερώτημα, το φορτίο είναι το ρεύμα επί τον χρόνο, δηλαδή οκτώ επί δέκα στην μείον τέταρτη coulomb· το ίδιο προκύπτει και από τη σχέση αριθμός σπειρών επί μεταβολή ροής προς αντίσταση, χωρίς τον χρόνο, γεγονός που επιβεβαιώνει ότι το φορτίο δεν εξαρτάται από τη διάρκεια της εξόδου. Η ηλεκτρεγερτική δύναμη χαρακτηρίζεται μέση, γιατί ο ρυθμός μεταβολής της ροής δεν είναι κατ' ανάγκη σταθερός κατά την έξοδο. Προσοχή χρειάζεται στη μετατροπή του εμβαδού από τετραγωνικά εκατοστά σε τετραγωνικά μέτρα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 15 — Υπολογισμός συντελεστή αυτεπαγωγής πηνίου
Ερώτηση: Όταν το ρεύμα το οποίο διαρρέει ένα πηνίο μεταβάλλεται με ρυθμό ΔI/Δt=20A/s, αναπτύσσεται στα άκρα του ΗΕΔ από αυτεπαγωγή ίση με 4 volt. Να υπολογίσετε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου.
Απάντηση:
-
Ο τύπος (σελ. 53): Ε_αυτ = −L·ΔΙ/Δt — δουλεύουμε με μέτρα.
Η λύση:
L = |Ε| / (ΔΙ/Δt) = 4 V / (20 A/s) = 0,2 HΑπάντηση: L = 0,2 H = 200 mH.
Ο έλεγχος των μονάδων (σελ. 50): 1 H = 1 V·s/A
[L] = V / (A/s) = V·s/A = 1 H ✔Πόσο μεγάλο είναι ένα πηνίο 0,2 H: αρκετά μεγάλο για εργαστηριακή χρήση — τα πηνία των ηλεκτρονικών κυκλωμάτων είναι συνήθως μερικά mH ή και μΗ, ενώ τα τυλίγματα μετασχηματιστών ισχύος φτάνουν και τα αρκετά H. Πώς επιτυγχάνεται μια τέτοια τιμή (σελ. 53, L = μ·μ₀·(Α/l)·Ν²): με πολλές σπείρες (το Ν μπαίνει στο τετράγωνο), μεγάλη διατομή και, κυρίως, σιδηρομαγνητικό πυρήνα με μεγάλη μ. Το φυσικό νόημα του αποτελέσματος: το πηνίο «αντιδρά» με 0,2 volt για κάθε 1 A/s μεταβολής του ρεύματος. Είναι το μέτρο της ηλεκτρικής αδράνειας του πηνίου. Η προσοχή στο πρόσημο: ο τύπος έχει αρνητικό πρόσημο (κανόνας του Lenz), που δηλώνει ότι η ΗΕΔ αυτεπαγωγής αντιτίθεται στη μεταβολή. Στον υπολογισμό μέτρων το πρόσημο παραλείπεται — ο συντελεστής L είναι πάντοτε θετικός. Η πρακτική συνέπεια — γιατί «πετάει σπίθα» ο διακόπτης: αν το ρεύμα ενός τέτοιου πηνίου (έστω 2 A) μηδενιστεί απότομα σε 1 ms, ο ρυθμός είναι 2000 A/s και η ΗΕΔ αυτεπαγωγής φτάνει τα 400 V — πολύ πάνω από την τάση τροφοδοσίας. Αυτό ακριβώς περιγράφει και το πείραμα του βιβλίου (σελ. 52), όπου ο λαμπτήρας φωτοβολεί έντονα με το άνοιγμα του διακόπτη.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Από τη σχέση της αυτεπαγωγής, η ηλεκτρεγερτική δύναμη ισούται κατά μέτρο με τον συντελεστή αυτεπαγωγής επί τον ρυθμό μεταβολής του ρεύματος. Λύνοντας ως προς τον συντελεστή, αυτός ισούται με τέσσερα volt διά είκοσι ampere ανά δευτερόλεπτο, δηλαδή μηδέν κόμμα δύο henry, ή διακόσια χιλιοστά του henry. Ο έλεγχος των μονάδων επιβεβαιώνει το αποτέλεσμα, αφού volt διά ampere ανά δευτερόλεπτο ισούται με volt επί δευτερόλεπτο ανά ampere, δηλαδή henry. Τιμή τέτοιου μεγέθους επιτυγχάνεται με πολλές σπείρες, αφού ο αριθμός τους υπεισέρχεται στο τετράγωνο, με μεγάλη διατομή και κυρίως με σιδηρομαγνητικό πυρήνα. Φυσικά, το αποτέλεσμα σημαίνει ότι το πηνίο αντιδρά με μηδέν κόμμα δύο volt για κάθε ένα ampere ανά δευτερόλεπτο μεταβολής του ρεύματος, δηλαδή αποτελεί μέτρο της ηλεκτρικής του αδράνειας. Το αρνητικό πρόσημο του τύπου δηλώνει μόνο ότι η ηλεκτρεγερτική δύναμη αντιτίθεται στη μεταβολή, ενώ ο συντελεστής είναι πάντοτε θετικός. Πρακτικά, το απότομο άνοιγμα ενός τέτοιου κυκλώματος δίνει τάσεις εκατοντάδων volt, γι' αυτό και ο λαμπτήρας του πειράματος φωτοβολεί έντονα.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 16 — Ρυθμός μεταβολής ρεύματος για δεδομένη ΗΕΔ αυτεπαγωγής
Ερώτηση: Ο συντελεστής αυτεπαγωγής ενός πηνίου είναι L = 3 mH. Πόσος πρέπει να είναι ο χρονικός ρυθμός μεταβολής του ρεύματος, ώστε στα άκρα του να αναπτύσσεται ΗΕΔ από αυτεπαγωγή ίση με 1 volt;
Απάντηση:
-
Τα δεδομένα: L = 3 mH = 3×10⁻³ H, |Ε| = 1 V.
Η λύση (σελ. 53, Ε = −L·ΔΙ/Δt):
ΔΙ/Δt = |Ε| / L = 1 / (3 · 10⁻³) = 333,3 A/s (ακριβώς 1000/3 A/s)Απάντηση: ΔΙ/Δt ≈ 333,3 A/s.
Τι σημαίνει πρακτικά αυτός ο ρυθμός: αν το ρεύμα μεταβληθεί κατά 1 A, ο χρόνος πρέπει να είναι:
Δt = ΔΙ / (ΔΙ/Δt) = 1 / 333,3 = 3 · 10⁻³ s = 3 msΔηλαδή 3 χιλιοστά του δευτερολέπτου — πολύ γρήγορη μεταβολή για τα ανθρώπινα μέτρα, αλλά αργή για τα ηλεκτρονικά.
Γιατί χρειάζεται τόσο μεγάλος ρυθμός: ο συντελεστής 3 mH είναι μικρός (χίλιες φορές μικρότερος από το 3 H). Όσο μικρότερος ο L, τόσο ταχύτερη πρέπει να είναι η μεταβολή για να δώσει την ίδια τάση. Η αντίστροφη σύγκριση με την άσκηση 15: εκεί το πηνίο είχε L = 0,2 H και έδινε 4 V με ρυθμό 20 A/s. Εδώ ο συντελεστής είναι περίπου 67 φορές μικρότερος, γι' αυτό και χρειάζεται ρυθμός περίπου 17 φορές μεγαλύτερος για να δώσει 4 φορές μικρότερη τάση. Η αναλογία με τη μηχανική: όπως χρειάζεται μεγαλύτερη επιτάχυνση για να ασκηθεί η ίδια δύναμη σε μικρότερη μάζα (F = m·a), έτσι χρειάζεται μεγαλύτερος ρυθμός μεταβολής για να δώσει την ίδια ΗΕΔ ένα πηνίο μικρότερης αυτεπαγωγής. Η προσοχή στη μετατροπή: 3 mH = 3×10⁻³ H — αν ξεχαστεί το μιλι, το αποτέλεσμα βγαίνει χίλιες φορές μικρότερο (0,33 A/s). Πού συναντάμε τέτοιους ρυθμούς: στα κυκλώματα παλμοτροφοδοτικών και μετατροπέων (switching), όπου το ρεύμα ενός πηνίου διακόπτεται δεκάδες χιλιάδες φορές το δευτερόλεπτο. Εκεί ακριβώς αξιοποιείται η ΗΕΔ αυτεπαγωγής για να ανυψωθεί η τάση.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Από τη σχέση της αυτεπαγωγής, ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος ισούται με την ηλεκτρεγερτική δύναμη προς τον συντελεστή αυτεπαγωγής, δηλαδή ένα volt διά τρία χιλιοστά του henry, που δίνει περίπου τριακόσια τριάντα τρία κόμμα τρία ampere ανά δευτερόλεπτο. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μια μεταβολή του ρεύματος κατά ένα ampere πρέπει να συμβεί μέσα σε τρία χιλιοστά του δευτερολέπτου. Ο ρυθμός είναι μεγάλος γιατί ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι μικρός: όσο μικρότερος ο συντελεστής, τόσο ταχύτερη πρέπει να είναι η μεταβολή για να δώσει την ίδια τάση. Η αναλογία με τη μηχανική είναι ότι χρειάζεται μεγαλύτερη επιτάχυνση για να ασκηθεί η ίδια δύναμη σε μικρότερη μάζα. Προσοχή χρειάζεται στη μετατροπή των τριών χιλιοστών του henry, αλλιώς το αποτέλεσμα βγαίνει χίλιες φορές μικρότερο. Τέτοιοι ρυθμοί συναντώνται στα παλμοτροφοδοτικά και στους μετατροπείς, όπου το ρεύμα του πηνίου διακόπτεται δεκάδες χιλιάδες φορές το δευτερόλεπτο και η ηλεκτρεγερτική δύναμη αυτεπαγωγής αξιοποιείται για την ανύψωση της τάσης.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 17 — ΗΕΔ αυτεπαγωγής σε σωληνοειδές διπλάσιου μήκους
Ερώτηση: Δύο σωληνοειδή Α και Β έχουν όλα τα στοιχεία τους ίδια εκτός από το μήκος τους. Το μήκος του Α είναι l, ενώ το μήκος του Β είναι 2l. Παρατηρήσαμε ότι, αν το ρεύμα, το οποίο διαρρέει το Α, μεταβάλλεται με ρυθμό ΔΙ/Δt, αναπτύσσεται στα άκρα του ΗΕΔ από αυτεπαγωγή ίση με 20 Volt. Πόση ΗΕΔ από αυτεπαγωγή θα αναπτυχθεί στα άκρα του Β, αν το ρεύμα μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό;
Απάντηση:
-
Ο τύπος του συντελεστή αυτεπαγωγής (σελ. 53, σχέση 15):
2 L = μ · μ · (Α/l) · Ν 0Η σύγκριση: τα δύο σωληνοειδή έχουν όλα τα στοιχεία τους ίδια — ίδιο Ν, ίδιο Α, ίδιο υλικό πυρήνα — εκτός από το μήκος:
2 L = μ·μ ·(Α/l)·Ν A 0 2 2 L = μ·μ ·(Α/2l)·Ν = (1/2) · μ·μ ·(Α/l)·Ν = L /2 B 0 0 AΆρα L_B = L_A / 2 — ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι αντιστρόφως ανάλογος του μήκους.
Η ΗΕΔ (σελ. 53, Ε = −L·ΔΙ/Δt, με ίδιο ρυθμό):
Ε = L · (ΔΙ/Δt) = 20 V A A Ε = L · (ΔΙ/Δt) = (L /2) · (ΔΙ/Δt) = Ε /2 = 10 V B B A AΑπάντηση: Ε_Β = 10 V.
Γιατί το μεγαλύτερο σωληνοειδές έχει μικρότερη αυτεπαγωγή: με ίδιο αριθμό σπειρών απλωμένων σε διπλάσιο μήκος, η πυκνότητα των σπειρών (Ν/l) υποδιπλασιάζεται. Άρα και το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό υποδιπλασιάζεται (B = 4π·km·(Ν/l)·I, κεφ. 1), και μαζί του η ροή και η αυτεπαγωγή. Η προσοχή στη διατύπωση «όλα τα στοιχεία τους ίδια»: σημαίνει ίδιο Ν, όχι «ίδια πυκνότητα σπειρών». Αν το Β είχε διπλάσιο Ν στο διπλάσιο μήκος (ίδια πυκνότητα), τότε:
2 L = μ·μ ·(Α/2l)·(2Ν) = 2 · L → Ε = 40 V B 0 A BΤο αποτέλεσμα θα ήταν τελείως διαφορετικό — γι' αυτό η διατύπωση της εκφώνησης είναι κρίσιμη. Η γενική εξάρτηση του L: ανάλογος του Ν² και του εμβαδού Α, αντιστρόφως ανάλογος του μήκους l, και ανάλογος της σχετικής διαπερατότητας μ του πυρήνα. Ο έλεγχος λογικής: το μακρύτερο σωληνοειδές δίνει μικρότερη ΗΕΔ. Ο 20 V έγινε 10 V — υποδιπλασιάστηκε, όπως και ο συντελεστής.
Σύνοψη: (ενδεικτική) Ο συντελεστής αυτεπαγωγής δίνεται από τη σχέση διαπερατότητα επί το εμβαδόν προς το μήκος επί το τετράγωνο του αριθμού των σπειρών. Επειδή τα δύο σωληνοειδή έχουν όλα τα στοιχεία τους ίδια εκτός από το μήκος, και το δεύτερο έχει διπλάσιο μήκος, ο συντελεστής του είναι ο μισός. Με τον ίδιο ρυθμό μεταβολής του ρεύματος, η ηλεκτρεγερτική δύναμη είναι ανάλογη του συντελεστή, οπότε στο δεύτερο σωληνοειδές αναπτύσσεται ηλεκτρεγερτική δύναμη δέκα volt, δηλαδή η μισή των είκοσι volt του πρώτου. Ο λόγος είναι ότι με ίδιο αριθμό σπειρών απλωμένων σε διπλάσιο μήκος η πυκνότητα των σπειρών υποδιπλασιάζεται, οπότε υποδιπλασιάζονται και το πεδίο στο εσωτερικό και η ροή και η αυτεπαγωγή. Κρίσιμη είναι η διατύπωση ότι όλα τα στοιχεία είναι ίδια, δηλαδή ίδιος αριθμός σπειρών· αν το δεύτερο σωληνοειδές είχε διπλάσιες σπείρες στο διπλάσιο μήκος, ο συντελεστής θα ήταν διπλάσιος και η ηλεκτρεγερτική δύναμη σαράντα volt.
Κριτήρια αξιολόγησης:
Άσκηση 18 — Υπολογισμός συντελεστή αμοιβαίας επαγωγής δύο σωληνοειδών
Ερώτηση: Δύο σωληνοειδή είναι τοποθετημένα το ένα μέσα στο άλλο έτσι ώστε οι άξονες τους να συμπίπτουν. Όταν το ρεύμα στο εξωτερικό σωληνοειδές μεταβάλλεται με ρυθμό ΔΙ/Δt = 10 A/s, η ΗΕΔ από αμοιβαία επαγωγή που αναπτύσσεται στο εσωτερικό σωληνοειδές είναι 2 volt. Ποια είναι η τιμή του συντελεστή αμοιβαίας επαγωγής των δύο σωληνοειδών;
Απάντηση:
-
Ο τύπος (σελ. 50, σχέση 13): Ε₂ = −Μ·ΔΙ₁/Δt
Η λύση:
Μ = |Ε | / (ΔΙ /Δt) = 2 V / (10 A/s) = 0,2 H 2 1Απάντηση: Μ = 0,2 H = 200 mH.
Ο ορισμός του φαινομένου (σελ. 49): Η αμοιβαία επαγωγή είναι το φαινόμενο της εμφάνισης επαγωγικής ΗΕΔ σε ένα κύκλωμα λόγω των μεταβολών του ρεύματος σε γειτονικό κύκλωμα. Η προϋπόθεση (σελ. 49): Για να εκδηλωθεί το φαινόμενο της αμοιβαίας επαγωγής, πρέπει ανάμεσα στα δύο κυκλώματα να υπάρχει μαγνητική σύζευξη. Η διάταξη «το ένα μέσα στο άλλο, με άξονες που συμπίπτουν» εξασφαλίζει τη μέγιστη δυνατή σύζευξη — όλη σχεδόν η ροή του εξωτερικού διέρχεται από το εσωτερικό.
Από τι εξαρτάται ο Μ (σελ. 50): τα γεωμετρικά στοιχεία των δύο πηνίων (μήκος, διάμετρο) · τη φύση του υλικού στο εσωτερικό τους · τη σχετική τους θέση.
Η ιδιότητα της συμμετρίας: ο συντελεστής Μ είναι ο ίδιος και προς τις δύο κατευθύνσεις — αν μεταβάλλαμε το ρεύμα στο εσωτερικό σωληνοειδές με τον ίδιο ρυθμό, θα αναπτυσσόταν στο εξωτερικό ΗΕΔ ίση με 2 V. Δεν είναι προφανές, αλλά αποδεικνύεται θεωρητικά και επιβεβαιώνεται πειραματικά. Η σύγκριση με την αυτεπαγωγή: η αυτεπαγωγή αφορά ένα κύκλωμα (μεταβολή του δικού του ρεύματος), η αμοιβαία επαγωγή δύο (μεταβολή στο γειτονικό). Οι δύο σχέσεις έχουν ταυτόσημη μορφή και ίδια μονάδα, το henry. Η πρακτική εφαρμογή — ο μετασχηματιστής: αυτή ακριβώς η διάταξη, με τα δύο τυλίγματα σε κοινό σιδερένιο πυρήνα, είναι ο μετασχηματιστής του επόμενου κεφαλαίου. Ο πυρήνας χρησιμεύει για να μεγιστοποιήσει τη μαγνητική σύζευξη, δηλαδή τον συντελεστή Μ. Πώς θα μειωνόταν ο Μ: αν απομακρύναμε τα δύο σωληνοειδή, ή αν στρέφαμε το ένα ώστε ο άξονάς του να γίνει κάθετος στον άλλον — τότε η ροή του ενός δεν θα περνούσε από το άλλο και ο Μ θα μηδενιζόταν πρακτικά. Ακριβώς αυτό ζητά να διαπιστωθεί το πείραμα του βιβλίου (σελ. 51, ερώτημα 5): Στρέψτε το πηνίο 2 κατά 90° ως προς τη διάμετρο ΑΑ'. Τι παρατηρείτε;
Σύνοψη: (ενδεικτική) Από τον νόμο της αμοιβαίας επαγωγής, η ηλεκτρεγερτική δύναμη που αναπτύσσεται στο ένα πηνίο ισούται κατά μέτρο με τον συντελεστή αμοιβαίας επαγωγής επί τον ρυθμό μεταβολής του ρεύματος στο άλλο. Λύνοντας ως προς τον συντελεστή, αυτός ισούται με δύο volt διά δέκα ampere ανά δευτερόλεπτο, δηλαδή μηδέν κόμμα δύο henry. Η διάταξη των δύο σωληνοειδών, το ένα μέσα στο άλλο με άξονες που συμπίπτουν, εξασφαλίζει τη μέγιστη δυνατή μαγνητική σύζευξη, η οποία αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση του φαινομένου. Ο συντελεστής εξαρτάται από τα γεωμετρικά στοιχεία των δύο πηνίων, από τη φύση του υλικού στο εσωτερικό τους και από τη σχετική τους θέση, ενώ έχει την ιδιότητα να είναι ο ίδιος και προς τις δύο κατευθύνσεις. Η ίδια διάταξη, με τα δύο τυλίγματα σε κοινό σιδερένιο πυρήνα, αποτελεί τον μετασχηματιστή του επόμενου κεφαλαίου, όπου ο πυρήνας χρησιμεύει για τη μεγιστοποίηση της σύζευξης. Αντίθετα, η απομάκρυνση των δύο πηνίων ή η στροφή του ενός κατά ενενήντα μοίρες μηδενίζει πρακτικά τον συντελεστή.
Κριτήρια αξιολόγησης:
