Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 8 (σελ. 210-211) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ

ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 8 (σελ. 210-211) – ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΕΠΑΛ

Λύσεις ασκήσεων κεφαλαίου 8

Πλήρεις λύσεις και των 18 ασκήσεων — σκιά και παρασκιά, ο σκοτεινός θάλαμος του φυλλώματος, οι νόμοι της ανάκλασης, κανονική ανάκλαση και διάχυση, τα είδωλα των επίπεδων και σφαιρικών κατόπτρων, και τα κλασικά ερωτήματα του καθρέφτη και των κατόπτρων του Αρχιμήδη.

Άσκηση 1 — Γιατί η σκιά των ποδιών είναι ευκρινής και του κεφαλιού ασαφής

Ερώτηση: Γιατί στη σκιά ενός ανθρώπου που σχηματίζεται στο έδαφος από ένα φωτιστικό του δρόμου που βρίσκεται πίσω του, τα πόδια του διακρίνονται ευκρινώς, ενώ το κεφάλι του είναι ασαφές;

Απάντηση:

Η αιτία: το φωτιστικό του δρόμου δεν είναι σημειακή πηγή — έχει πεπερασμένες διαστάσεις. Έτσι σχηματίζεται σκιά (όπου δεν φτάνει καθόλου φως) περιβαλλόμενη από παρασκιά (όπου φτάνει φως από μέρος μόνο της πηγής).

Το κρίσιμο γεωμετρικό στοιχείο — η απόσταση από την οθόνη:
```
         πηγή ▬▬▬  (εκτεταμένη)
            ╱ │ ╲
           ╱  │  ╲
          ╱  ☺│   ╲    ← το κεφάλι είναι ΨΗΛΑ,
         ╱   ║│    ╲      άρα ΜΑΚΡΙΑ από το έδαφος
        ╱    ║│     ╲
       ╱     ║│      ╲
   ═══╧══════╨╧═══════╧══════  έδαφος
      ░░░▓▓▓▓▓▓▓░░░
      παρα  σκιά  παρα     ← ΠΛΑΤΙΑ παρασκιά για το κεφάλι

   Τα ΠΟΔΙΑ ακουμπούν στο έδαφος: απόσταση ≈ 0
   ⇒ η παρασκιά έχει σχεδόν ΜΗΔΕΝΙΚΟ πλάτος ⇒ ΕΥΚΡΙΝΗΣ σκιά
```
Η εξήγηση βήμα-βήμα: 1. Το πλάτος της παρασκιάς μεγαλώνει όσο αυξάνεται η απόσταση του σώματος από την οθόνη (το έδαφος). 2. Τα πόδια ακουμπούν στο έδαφος — η απόσταση είναι πρακτικά μηδέν, οπότε η παρασκιά εκφυλίζεται και το περίγραμμα βγαίνει κοφτό. 3. Το κεφάλι απέχει από το έδαφος περίπου 1,7 m — εκεί η παρασκιά είναι πλατιά και το περίγραμμα θολώνει.

Ο δεύτερος παράγοντας: η προοπτική. Η σκιά του κεφαλιού προβάλλεται πολύ μακρύτερα από την πηγή σε σχέση με τη σκιά των ποδιών, οπότε η ίδια γωνιακή «ασάφεια» της πηγής μεταφράζεται σε μεγαλύτερο πλάτος παρασκιάς. Το γενικό συμπέρασμα: η ευκρίνεια μιας σκιάς εξαρτάται από δύο πράγματα — από το μέγεθος της πηγής (όσο μικρότερη, τόσο καλύτερα) και από την απόσταση σώματος–οθόνης (όσο μικρότερη, τόσο καλύτερα). Η επαλήθευση στην καθημερινότητα: η σκιά μας στον ήλιο είναι ευκρινέστερη από ό,τι σε συννεφιά — γιατί ο ουρανός με σύννεφα λειτουργεί ως τεράστια διάχυτη πηγή. Και το χέρι που ακουμπά στον τοίχο δίνει κοφτή σκιά, ενώ αν το απομακρύνουμε η σκιά θολώνει. Η σύνδεση με το θέατρο σκιών: ο Καραγκιόζης ακουμπά στον μπερντέ ακριβώς για να έχει ευκρινές περίγραμμα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η αιτία είναι ότι το φωτιστικό του δρόμου δεν είναι σημειακή αλλά εκτεταμένη πηγή, οπότε γύρω από τη σκιά σχηματίζεται και παρασκιά, δηλαδή περιοχή όπου φτάνει φως μόνο από μέρος της πηγής. Το πλάτος της παρασκιάς μεγαλώνει όσο αυξάνεται η απόσταση του σώματος από την οθόνη, δηλαδή από το έδαφος. Τα πόδια ακουμπούν στο έδαφος, οπότε η απόσταση είναι πρακτικά μηδέν, η παρασκιά εκφυλίζεται και το περίγραμμα βγαίνει κοφτό· αντίθετα το κεφάλι απέχει περίπου ενάμισι με δύο μέτρα, οπότε η παρασκιά είναι πλατιά και το περίγραμμα θολώνει. Δεύτερος παράγοντας είναι η προοπτική, αφού η σκιά του κεφαλιού προβάλλεται πολύ μακρύτερα από την πηγή. Γενικά, η ευκρίνεια της σκιάς εξαρτάται από το μέγεθος της πηγής και από την απόσταση σώματος και οθόνης· γι' αυτό η σκιά μας στον ήλιο είναι ευκρινέστερη από ό,τι σε συννεφιά, και γι' αυτό στο θέατρο σκιών οι φιγούρες ακουμπούν στον μπερντέ.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 2 — Πώς κρατάμε μολύβι κάτω από λάμπα φθορισμού για ευκρινή σκιά

Ερώτηση: Στην οροφή του δωματίου βρίσκεται μια επιμήκης λάμπα φθορισμού. Πώς πρέπει να κρατάμε ένα μολύβι πάνω από το τραπέζι, ώστε να σχηματισθεί σ' αυτό η σκιά του ευκρινώς;

Απάντηση:

Η απάντηση: το μολύβι πρέπει να κρατηθεί ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ προς τη λάμπα — και όσο το δυνατόν πιο κοντά στο τραπέζι.

Η αιτιολόγηση: μια επιμήκης λάμπα φθορισμού είναι πηγή εκτεταμένη κατά μία διεύθυνση — συμπεριφέρεται σαν γραμμή από πολλές σημειακές πηγές στη σειρά. Κάθε μία από αυτές δίνει τη δική της σκιά, ελαφρώς μετατοπισμένη ως προς τις άλλες.
```
   ΛΑΜΠΑ:  ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬  (επιμήκης, κατά τον άξονα x)

   ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α — μολύβι ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ στη λάμπα:

        ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
            ▬▬▬▬▬        μολύβι (ίδια διεύθυνση)
        ═══▓▓▓▓▓▓▓═══    οι επιμέρους σκιές ΠΕΦΤΟΥΝ Η ΜΙΑ
                          ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΑΛΛΗ → ΕΥΚΡΙΝΗΣ ✔

   ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β — μολύβι ΚΑΘΕΤΑ στη λάμπα:

        ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
             │           μολύβι (κάθετη διεύθυνση)
        ══░░░▓░░░══      κάθε σημείο της λάμπας δίνει σκιά
                          ΣΕ ΑΛΛΗ ΘΕΣΗ → ΘΟΛΗ ✘
```
Ο μηχανισμός: όταν το μολύβι είναι παράλληλο στη λάμπα, όλες οι στοιχειώδεις πηγές που βρίσκονται κατά μήκος της προβάλλουν τη σκιά του στην ίδια θέση (η μετατόπιση γίνεται κατά μήκος της σκιάς, όχι εγκάρσια). Όταν το μολύβι είναι κάθετο, κάθε σημείο της λάμπας ρίχνει τη σκιά παράπλευρα — και οι σκιές επικαλύπτονται μερικώς, δίνοντας μια πλατιά παρασκιά. Η δεύτερη προϋπόθεση: όσο μικρότερη η απόσταση μολυβιού–τραπεζιού, τόσο στενότερη η παρασκιά — άρα κρατάμε το μολύβι όσο πιο χαμηλά γίνεται (βλ. και άσκηση 1). Το γενικό δίδαγμα: για γραμμική πηγή, η ευκρίνεια εξαρτάται από τον προσανατολισμό του αντικειμένου. Ένα αντικείμενο παράλληλο στη γραμμική πηγή δίνει καθαρή σκιά· κάθετο δίνει θολή. Η πρακτική εφαρμογή: γι' αυτό ακριβώς οι λάμπες φθορισμού στα γραφεία τοποθετούνται με τον άξονά τους παράλληλα προς την κατεύθυνση γραφής — ώστε η σκιά του χεριού και του στυλό να είναι λιγότερο ενοχλητική. Η αντίστροφη χρήση: όταν θέλουμε να εξαφανίσουμε τις σκιές (π.χ. σε χειρουργείο), χρησιμοποιούμε πολλές πηγές από διαφορετικές κατευθύνσεις — ό,τι ακριβώς κάνει ο σκιαλυτικός προβολέας.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Το μολύβι πρέπει να κρατηθεί παράλληλα προς τη λάμπα και όσο το δυνατόν πιο κοντά στο τραπέζι. Μια επιμήκης λάμπα φθορισμού είναι πηγή εκτεταμένη κατά μία διεύθυνση και συμπεριφέρεται σαν σειρά πολλών σημειακών πηγών, καθεμιά από τις οποίες δίνει τη δική της σκιά. Όταν το μολύβι είναι παράλληλο στη λάμπα, όλες αυτές οι επιμέρους σκιές πέφτουν η μία πάνω στην άλλη, γιατί η μετατόπισή τους γίνεται κατά μήκος της σκιάς και όχι εγκάρσια, οπότε η σκιά είναι ευκρινής. Όταν το μολύβι είναι κάθετο, κάθε σημείο της λάμπας ρίχνει τη σκιά παράπλευρα, οι σκιές επικαλύπτονται μερικώς και σχηματίζεται πλατιά παρασκιά. Δεύτερη προϋπόθεση είναι να κρατάμε το μολύβι όσο πιο χαμηλά γίνεται, γιατί όσο μικρότερη η απόσταση από την οθόνη τόσο στενότερη η παρασκιά. Πρακτικά, στην ίδια αρχή στηρίζεται και ο σκιαλυτικός προβολέας του χειρουργείου, ο οποίος με πολλές πηγές από διαφορετικές κατευθύνσεις εξαφανίζει τις σκιές.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 3 — Ύψος δέντρου από τους φωτεινούς κύκλους στο έδαφος

Ερώτηση: Καθώς οι ακτίνες του ηλίου περνούν από μικρά ανοίγματα στην κορυφή του φυλλώματος ενός ψηλού δέντρου, σχηματίζουν στο έδαφος μικρούς φωτεινούς κύκλους με μέση διάμετρο d = 10 cm. Ποιο είναι περίπου το ύψος h του δέντρου; (Η απόσταση Γης-Ήλιου είναι H 1, 5 1011 m και η διάμετρος D του ήλιου είναι D ≈ 109 m.).

Απάντηση:

Η φυσική της άσκησης: κάθε μικρό άνοιγμα στο φύλλωμα λειτουργεί σαν σκοτεινός θάλαμος (camera obscura). Επειδή ο Ήλιος δεν είναι σημειακή πηγή, το άνοιγμα δεν δίνει φωτεινή κηλίδα στο σχήμα του, αλλά είδωλο του Ήλιου — έναν κύκλο.
```
              ΗΛΙΟΣ  (διάμετρος D)
                ●
                ╲╲
                 ╲ ╲       απόσταση H
                  ╲  ╲
         ═══════════○══════════  φύλλωμα (άνοιγμα)
                   ╱ ╲
                  ╱   ╲          ύψος h
                 ╱     ╲
         ────────────────────  έδαφος
                 ◄─d─►          φωτεινός κύκλος

   ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ:   d / h  =  D / H
```
Ο υπολογισμός:
```
   h = d · H / D

                        11        9
     = 0,1 · (1,5 · 10  ) / (10 )

     = 0,1 · 150  =  15 m
```
Απάντηση: το δέντρο έχει ύψος περίπου 15 m.

Ο έλεγχος με τη γωνιακή διάμετρο του Ήλιου:
```
   D/H = 10⁹ / 1,5·10¹¹ = 1/150  ≈ 0,0067 rad ≈ 0,38°
```
Αυτή είναι η γνωστή γωνιακή διάμετρος του Ήλιου, περίπου μισή μοίρα. Άρα η κηλίδα μεγαλώνει κατά 1 cm για κάθε 1,5 m ύψους — για κηλίδα 10 cm χρειάζονται 15 m.

Γιατί οι κηλίδες είναι στρογγυλές, ανεξάρτητα από το σχήμα του ανοίγματος: επειδή είναι είδωλα του Ήλιου, όχι εικόνες της τρύπας. Το άνοιγμα μπορεί να είναι τριγωνικό ή ακανόνιστο — αρκεί να είναι μικρό σε σχέση με το h·D/H. Η θεαματική επαλήθευση: κατά τη διάρκεια μιας ηλιακής έκλειψης, οι φωτεινές κηλίδες κάτω από τα δέντρα γίνονται μηνοειδείς — γιατί ακολουθούν το σχήμα του μερικώς καλυμμένου Ήλιου. Είναι η ασφαλέστερη μέθοδος παρατήρησης έκλειψης. Η προϋπόθεση για να ισχύει ο υπολογισμός: το άνοιγμα πρέπει να είναι αρκετά μικρό — αν είναι μεγαλύτερο από την κηλίδα, το φως απλώς περνά και σχηματίζει την εικόνα του ανοίγματος. Η προσοχή στις μονάδες: d = 10 cm = 0,1 m. Αν μείνει σε εκατοστά, το ύψος βγαίνει 1.500 m αντί για 15 m.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Κάθε μικρό άνοιγμα στο φύλλωμα λειτουργεί σαν σκοτεινός θάλαμος και, επειδή ο Ήλιος δεν είναι σημειακή πηγή, σχηματίζει στο έδαφος όχι κηλίδα στο σχήμα της τρύπας αλλά είδωλο του Ήλιου, δηλαδή κύκλο. Από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει ότι ο λόγος της διαμέτρου της κηλίδας προς το ύψος του δέντρου ισούται με τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την απόσταση Γης Ηλίου. Λύνοντας ως προς το ύψος, αυτό ισούται με μηδέν κόμμα ένα μέτρα επί ένα κόμμα πέντε επί δέκα στην ενδέκατη, διά δέκα στην ένατη, δηλαδή δεκαπέντε μέτρα. Ο έλεγχος επιβεβαιώνει το αποτέλεσμα, αφού ο λόγος διαμέτρου προς απόσταση δίνει τη γωνιακή διάμετρο του Ήλιου, περίπου μισή μοίρα, οπότε η κηλίδα μεγαλώνει κατά ένα εκατοστό για κάθε ενάμισι μέτρο ύψους. Οι κηλίδες είναι στρογγυλές ανεξάρτητα από το σχήμα του ανοίγματος, γιατί είναι είδωλα του Ήλιου· θεαματική επαλήθευση αποτελεί το ότι σε ηλιακή έκλειψη γίνονται μηνοειδείς. Προσοχή χρειάζεται στη μετατροπή της διαμέτρου σε μέτρα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 4 — Διαστάσεις της σκιάς αεροπλάνου που πετά χαμηλά

Ερώτηση: Ένα αεροπλάνο πετά πάνω από μια περιοχή σε χαμηλό ύψος και στο έδαφος σχηματίζεται η σκιά του. Αν μπορούσατε να τη μετρήσετε, θα βρίσκατε τις διαστάσεις της: α) Σημαντικά μεγαλύτερες από αυτές του αεροπλάνου. β) Σημαντικά μικρότερες από αυτές του αεροπλάνου. γ) Περίπου ίδιες. Σημειώστε το σωστό.

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: γ) Περίπου ίδιες.

Η αιτιολόγηση: ο Ήλιος βρίσκεται σε τεράστια απόσταση (1,5×10¹¹ m), οπότε οι ακτίνες που φτάνουν σε ένα αεροπλάνο και στο έδαφος κάτω από αυτό είναι πρακτικά παράλληλες.
```
   ΗΛΙΟΣ (πολύ μακριά)
     ║  ║  ║  ║  ║      ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ακτίνες
     ▼  ▼  ▼  ▼  ▼
       ✈✈✈✈✈             αεροπλάνο, μήκος L
     ║  ║  ║  ║  ║
     ▼  ▼  ▼  ▼  ▼
   ═══▓▓▓▓▓══════════   σκιά, μήκος ≈ L
```
Το κρίσιμο σημείο: με παράλληλες ακτίνες η σκιά είναι ορθή προβολή του σώματος — έχει δηλαδή τις ίδιες διαστάσεις (αν ο ήλιος είναι κατακόρυφα από πάνω· αν είναι πλάγια, η σκιά επιμηκύνεται προς μία διεύθυνση, αλλά δεν μεγεθύνεται ομοιόμορφα).

Γιατί αποκλείεται η α) «σημαντικά μεγαλύτερες»: αυτό θα ίσχυε αν η πηγή ήταν κοντινή και σημειακή — π.χ. ένας προβολέας λίγα μέτρα πιο πάνω. Τότε η σκιά θα ήταν μεγέθυνση του σώματος. Ο Ήλιος όμως είναι πρακτικά στο άπειρο. Γιατί αποκλείεται η β) «σημαντικά μικρότερες»: σκιά μικρότερη από το σώμα είναι γεωμετρικά αδύνατη με μία πηγή — θα απαιτούσε συγκλίνουσα δέσμη.

Το «χαμηλό ύψος» της εκφώνησης: είναι σημαντική διευκρίνιση, γιατί εξασφαλίζει ότι η παρασκιά παραμένει στενή και η σκιά ευκρινής (βλ. άσκηση 1). Σε μεγάλο ύψος η γωνιακή διάμετρος του Ήλιου (0,5°) απλώνει τόσο πολύ την παρασκιά ώστε η σκιά εξαφανίζεται: σε ύψος 10 km το πλάτος της παρασκιάς φτάνει τα ≈ 90 m, δηλαδή πολύ μεγαλύτερο από το αεροπλάνο.
```
   πλάτος παρασκιάς ≈ ύψος × (D/H) = ύψος × 0,0093 rad

   ύψος 100 m     →  παρασκιά ≈ 0,9 m       σκιά ΕΥΚΡΙΝΗΣ
   ύψος 10.000 m  →  παρασκιά ≈ 93 m        σκιά ΑΦΑΝΗΣ
```
Η καθημερινή επαλήθευση: η σκιά μας στον ήλιο έχει, το μεσημέρι, περίπου το ύψος μας — δεν είναι ούτε γιγάντια ούτε μικροσκοπική. Το απόγευμα επιμηκύνεται, επειδή ο ήλιος είναι χαμηλά, όχι επειδή μεγεθύνεται.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σωστή είναι η απάντηση γ, δηλαδή οι διαστάσεις της σκιάς είναι περίπου ίδιες με του αεροπλάνου. Ο Ήλιος βρίσκεται σε τεράστια απόσταση, οπότε οι ακτίνες που φτάνουν στο αεροπλάνο και στο έδαφος είναι πρακτικά παράλληλες και η σκιά αποτελεί ορθή προβολή του σώματος με τις ίδιες διαστάσεις· αν ο ήλιος είναι πλάγια, η σκιά επιμηκύνεται προς μία διεύθυνση αλλά δεν μεγεθύνεται ομοιόμορφα. Η απάντηση α θα ίσχυε μόνο με κοντινή σημειακή πηγή, όπως ένας προβολέας, ενώ η β είναι γεωμετρικά αδύνατη με μία πηγή, αφού θα απαιτούσε συγκλίνουσα δέσμη. Το χαμηλό ύψος της εκφώνησης είναι σημαντικό, γιατί εξασφαλίζει στενή παρασκιά και ευκρινή σκιά: σε ύψος δέκα χιλιομέτρων η παρασκιά, λόγω της μισής μοίρας γωνιακής διαμέτρου του Ήλιου, ξεπερνά τα ενενήντα μέτρα και η σκιά πρακτικά εξαφανίζεται. Καθημερινή επαλήθευση είναι ότι η σκιά μας το μεσημέρι έχει περίπου το ύψος μας.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 5 — Πώς τοποθετούνται πηγή, αντικείμενο και οθόνη για όμοιο περίγραμμα

Ερώτηση: Πώς πρέπει να τοποθετηθούν μια σημειακή πηγή, ένα επίπεδο αντικείμενο και μια οθόνη ώστε το περίγραμμα της σκιάς του αντικειμένου στην οθόνη να είναι όμοιο με το περίγραμμα του αντικειμένου;

Απάντηση:

Η απάντηση: το επίπεδο του αντικειμένου και το επίπεδο της οθόνης πρέπει να είναι παράλληλα μεταξύ τους (και η σημειακή πηγή οπουδήποτε — αρκεί να φωτίζει το αντικείμενο).

Η γεωμετρική αιτιολόγηση: με σημειακή πηγή, η σκιά είναι κεντρική προβολή (ομοιοθεσία) του αντικειμένου με κέντρο την πηγή. Η κεντρική προβολή διατηρεί το σχήμα — δηλαδή δίνει όμοιο περίγραμμα — μόνο όταν το επίπεδο προβολής είναι παράλληλο στο επίπεδο του αντικειμένου.
```
         ● πηγή
        ╱│╲
       ╱ │ ╲
      ╱  │  ╲
   ══╱═══╪═══╲══   αντικείμενο (επίπεδο Α)
    ╱    │    ╲
   ╱     │     ╲
  ╱      │      ╲
 ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓  οθόνη (επίπεδο Β) ∥ Α

   ΟΜΟΙΟ σχήμα, ΜΕΓΕΘΥΜΕΝΟ κατά λόγο  d /d
                                        2  1
```
Ο λόγος ομοιότητας:
```
   μεγέθυνση  =  d  / d
                  2    1

   d = απόσταση πηγής–αντικειμένου
    1
   d = απόσταση πηγής–οθόνης
    2
```
Άρα η σκιά είναι πάντοτε μεγαλύτερη από το αντικείμενο, αλλά όμοια.

Τι συμβαίνει αν τα επίπεδα ΔΕΝ είναι παράλληλα: η προβολή γίνεται πλάγια και το σχήμα παραμορφώνεται — ένας κύκλος γίνεται έλλειψη, ένα τετράγωνο γίνεται τραπέζιο. Είναι ακριβώς η τραπεζοειδής παραμόρφωση που βλέπουμε όταν ένας βιντεοπροβολέας δεν είναι κάθετος στην οθόνη. Η δεύτερη προϋπόθεση — η σημειακή πηγή: αν η πηγή ήταν εκτεταμένη, θα εμφανιζόταν παρασκιά και το περίγραμμα θα ήταν θολό, όχι καθαρά ορισμένο (βλ. ασκήσεις 1 και 2). Η ειδική περίπτωση της παράλληλης δέσμης: αν η πηγή είναι πολύ μακριά (πρακτικά στο άπειρο, όπως ο Ήλιος), οι ακτίνες γίνονται παράλληλες, ο λόγος d₂/d₁ → 1 και η σκιά είναι ίση με το αντικείμενο — η περίπτωση της άσκησης 4. Η πρακτική εφαρμογή: στο θέατρο σκιών η φιγούρα κρατιέται παράλληλα και κολλητά στον μπερντέ, ώστε η σκιά να είναι και όμοια και ευκρινής.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Το επίπεδο του αντικειμένου και το επίπεδο της οθόνης πρέπει να είναι παράλληλα μεταξύ τους, ενώ η σημειακή πηγή μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε αρκεί να φωτίζει το αντικείμενο. Με σημειακή πηγή η σκιά είναι κεντρική προβολή του αντικειμένου με κέντρο την πηγή, και η προβολή αυτή διατηρεί το σχήμα, δηλαδή δίνει όμοιο περίγραμμα, μόνο όταν το επίπεδο προβολής είναι παράλληλο στο επίπεδο του αντικειμένου. Ο λόγος ομοιότητας ισούται με τον λόγο της απόστασης πηγής οθόνης προς την απόσταση πηγής αντικειμένου, οπότε η σκιά είναι πάντοτε μεγαλύτερη αλλά όμοια. Αν τα επίπεδα δεν είναι παράλληλα, η προβολή γίνεται πλάγια και το σχήμα παραμορφώνεται, όπως στην τραπεζοειδή παραμόρφωση ενός βιντεοπροβολέα. Απαραίτητη είναι και η προϋπόθεση της σημειακής πηγής, γιατί διαφορετικά εμφανίζεται παρασκιά και το περίγραμμα θολώνει. Αν η πηγή είναι πρακτικά στο άπειρο, όπως ο Ήλιος, οι ακτίνες γίνονται παράλληλες και η σκιά ίση με το αντικείμενο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 6 — Διατύπωση των νόμων της ανάκλασης

Ερώτηση: Διατυπώστε τους νόμους της ανάκλασης.

Απάντηση:

Οι δύο νόμοι (σελ. 196-197):

1ος νόμος: η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλωμένη ακτίνα και η κάθετος στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, το οποίο είναι κάθετο στην ανακλώσα επιφάνεια.

2ος νόμος: η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης:
```
   θ   =  θ
    π      α
```
Οι ορισμοί των γωνιών (σελ. 196): Η γωνία την οποία σχηματίζει η προσπίπτουσα δέσμη με την κάθετο στο σημείο πρόσπτωσης ονομάζεται γωνία πρόσπτωσης θπ. Η γωνία την οποία σχηματίζει η ανακλωμένη δέσμη με την κάθετο στο ίδιο σημείο ονομάζεται γωνία ανάκλασης θα.
```
              κάθετος
                 │
    προσπίπτουσα │  ανακλωμένη
            ╲    │    ╱
             ╲θπ │ θα╱          θ  = θ
              ╲  │  ╱            π    α
   ════════════╲═│═╱════════════
                 ●  σημείο πρόσπτωσης
```
Η κρίσιμη λεπτομέρεια: οι γωνίες μετριούνται από την κάθετο στην επιφάνεια, όχι από την ίδια την επιφάνεια. Είναι η συνηθέστερη πηγή λαθών. Τι γίνεται με το υπόλοιπο φως (σελ. 196): Όταν το φως πέφτει στην επιφάνεια ενός σώματος, ένα μέρος του ανακλάται… Το υπόλοιπο είτε απορροφάται από το σώμα και μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια (που το ζεσταίνει) ή, αν το σώμα είναι διαφανές, όπως το γυαλί ή το νερό, ένα μέρος του διέρχεται μέσα από αυτό. Πόσο ανακλάται (σελ. 196): Στην περίπτωση ενός καλά επαργυρωμένου καθρέφτη πάνω από το 95% του φωτός που πέφτει επάνω του ανακλάται. Η ισχύς των νόμων: ισχύουν για κάθε επιφάνεια — λεία ή τραχιά, επίπεδη ή καμπύλη. Στην τραχιά επιφάνεια εφαρμόζονται τοπικά, σε κάθε στοιχειώδες τμήμα ξεχωριστά· επειδή όμως οι κάθετοι έχουν τυχαίες διευθύνσεις, το φως σκορπίζεται — αυτή είναι η διάχυση. Η αντιστρεψιμότητα της πορείας: αν αντιστρέψουμε τη φορά της ανακλώμενης ακτίνας, θα ακολουθήσει ακριβώς την πορεία της προσπίπτουσας. Η ιδιότητα αυτή ισχύει σε όλη τη γεωμετρική οπτική. Η θεμελίωσή τους: οι νόμοι της ανάκλασης προκύπτουν από την αρχή του Fermat — το φως ακολουθεί τη διαδρομή ελάχιστου χρόνου.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Οι νόμοι της ανάκλασης είναι δύο. Πρώτος: η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλωμένη ακτίνα και η κάθετος στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, το οποίο είναι κάθετο στην ανακλώσα επιφάνεια. Δεύτερος: η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης. Ως γωνία πρόσπτωσης ορίζεται η γωνία της προσπίπτουσας δέσμης με την κάθετο στο σημείο πρόσπτωσης και ως γωνία ανάκλασης η γωνία της ανακλώμενης δέσμης με την ίδια κάθετο· κρίσιμη λεπτομέρεια είναι ότι οι γωνίες μετριούνται από την κάθετο και όχι από την επιφάνεια. Σημειώνεται ότι από το φως που προσπίπτει, ένα μέρος ανακλάται, ένα απορροφάται μετατρεπόμενο σε εσωτερική ενέργεια και, αν το σώμα είναι διαφανές, ένα μέρος διέρχεται· σε καλά επαργυρωμένο καθρέφτη ανακλάται πάνω από το ενενήντα πέντε τοις εκατό. Οι νόμοι ισχύουν για κάθε επιφάνεια, και στην τραχιά εφαρμόζονται τοπικά, οπότε επειδή οι κάθετοι έχουν τυχαίες διευθύνσεις το φως σκορπίζεται, φαινόμενο που ονομάζεται διάχυση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 7 — Διαφορά κανονικής ανάκλασης και διάχυσης

Ερώτηση: Τι διαφέρει η κανονική ανάκλαση από τη διάχυση (ακανόνιστη ανάκλαση). Δώστε παραδείγματα.

Απάντηση:

Η ουσιαστική διαφορά βρίσκεται στην ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, όχι στους νόμους: οι νόμοι της ανάκλασης ισχύουν και στις δύο περιπτώσεις. Αυτό που αλλάζει είναι η λειότητα της επιφάνειας.

	Κανονική ανάκλαση	Διάχυση
Επιφάνεια	λεία (ανωμαλίες πολύ μικρότερες από το λ)	τραχιά
Κάθετοι	όλες παράλληλες	τυχαίες διευθύνσεις
Παράλληλη δέσμη	παραμένει παράλληλη	σκορπίζεται παντού
Είδωλο	σχηματίζεται	δεν σχηματίζεται
Ορατότητα	από μία μόνο κατεύθυνση	από όλες τις κατευθύνσεις

   ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ            ΔΙΑΧΥΣΗ

   ╲ ╲ ╲   ╱ ╱ ╱                ╲ ╲ ╲    ↗ ↑ ↖ →
    ╲ ╲ ╲ ╱ ╱ ╱                  ╲ ╲ ╲  ↙ ↓ ↘ ←
   ═══════════════              ╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲╱╲
     λεία επιφάνεια               τραχιά επιφάνεια

   Η δέσμη ΔΙΑΤΗΡΕΙ τη μορφή     Η δέσμη ΔΙΑΣΠΑΤΑΙ

Παραδείγματα κανονικής ανάκλασης: καθρέφτης, ήρεμη επιφάνεια λίμνης, γυαλισμένο μέταλλο, τζάμι, γυαλισμένο μάρμαρο, βρεγμένη άσφαλτος. Παραδείγματα διάχυσης: χαρτί, τοίχος, ύφασμα, ξύλο, στεγνό χώμα, κυματιστή θάλασσα, οθόνη προβολής.

Το κρίσιμο παράδοξο: βλέπουμε τα αντικείμενα γύρω μας ακριβώς χάρη στη διάχυση. Ένα φύλλο χαρτί φαίνεται λευκό από παντού, γιατί σκορπίζει το φως προς όλες τις κατευθύνσεις. Αν όλες οι επιφάνειες ανακλούσαν κανονικά, ο κόσμος θα ήταν ένα σύνολο από καθρέφτες και θα βλέπαμε μόνο είδωλα των φωτεινών πηγών. Το κριτήριο «λείας» επιφάνειας: μια επιφάνεια είναι οπτικά λεία αν οι ανωμαλίες της είναι μικρότερες από το μήκος κύματος του φωτός (≈ 0,5 μm). Γι' αυτό ένα μέταλλο πρέπει να γυαλιστεί πολύ για να γίνει καθρέφτης. Το ίδιο υλικό, και τα δύο φαινόμενα: η άσφαλτος διαχέει το φως όταν είναι στεγνή (τη βλέπουμε γκρίζα από παντού), αλλά ανακλά κανονικά όταν είναι βρεγμένη — το νερό γεμίζει τις ανωμαλίες και δημιουργεί λεία επιφάνεια. Γι' αυτό μας θαμπώνουν τα φώτα των αυτοκινήτων όταν βρέχει. Η αντίστοιχη περίπτωση της θάλασσας: ήρεμη θάλασσα → καθαρό είδωλο του φεγγαριού· κυματιστή → η γνωστή «φωτεινή λωρίδα» (άσκηση 12), δηλαδή πολλά διάσπαρτα είδωλα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η ουσιαστική διαφορά βρίσκεται στην επιφάνεια και όχι στους νόμους, οι οποίοι ισχύουν και στις δύο περιπτώσεις. Στην κανονική ανάκλαση η επιφάνεια είναι λεία, δηλαδή οι ανωμαλίες της είναι μικρότερες από το μήκος κύματος του φωτός, οι κάθετοι σε όλα τα σημεία είναι παράλληλες, μια παράλληλη δέσμη παραμένει παράλληλη και σχηματίζεται είδωλο ορατό από μία μόνο κατεύθυνση· παραδείγματα είναι ο καθρέφτης, η ήρεμη επιφάνεια λίμνης, το γυαλισμένο μέταλλο και το τζάμι. Στη διάχυση η επιφάνεια είναι τραχιά, οι κάθετοι έχουν τυχαίες διευθύνσεις, η δέσμη διασπάται προς όλες τις κατευθύνσεις και δεν σχηματίζεται είδωλο, το αντικείμενο όμως φαίνεται από παντού· παραδείγματα είναι το χαρτί, ο τοίχος, το ύφασμα, το ξύλο και η οθόνη προβολής. Παράδοξο είναι ότι βλέπουμε τα αντικείμενα ακριβώς χάρη στη διάχυση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα και των δύο φαινομένων στο ίδιο υλικό είναι η άσφαλτος, η οποία διαχέει το φως όταν είναι στεγνή και ανακλά κανονικά όταν είναι βρεγμένη, γι' αυτό και μας θαμπώνουν τα φώτα των αυτοκινήτων όταν βρέχει.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 8 — Πώς φαίνεται η λέξη ΕΚΠΤΩΣΕΙΣ μέσα από τον καθρέφτη

Ερώτηση: Στη βιτρίνα ενός καταστήματος είναι γραμμένη η λέξη ΕΚΠΤΩΣΕΙΣ. Μέσα από το κατάστημα η λέξη φαίνεται ανάποδα. Κάποιος μέσα στο κατάστημα, που κοιτάζει στον καθρέφτη που βρίσκεται απέναντι από τη βιτρίνα, θα τη διαβάζει κανονικά;

Απάντηση:

Ναι — θα τη διαβάζει κανονικά.

Η ανάλυση σε δύο βήματα: Βήμα 1 — γιατί φαίνεται ανάποδα από μέσα: η λέξη είναι γραμμένη ώστε να διαβάζεται από έξω. Κοιτάζοντάς την από την άλλη πλευρά του τζαμιού, τη βλέπουμε καθρεφτισμένη ως προς κατακόρυφο άξονα:
```
   από έξω:   ΕΚΠΤΩΣΕΙΣ
   από μέσα:  ΣΙΕΣΩΤΠΚΕ   (αντεστραμμένη δεξιά–αριστερά)
```
Βήμα 2 — τι κάνει ο καθρέφτης: το επίπεδο κάτοπτρο αντιστρέφει επίσης το δεξί–αριστερό. Άρα εφαρμόζει δεύτερη αντιστροφή στην ήδη αντεστραμμένη εικόνα:
```
   αρχική (από έξω)          ΕΚΠΤΩΣΕΙΣ
         ↓ 1η αντιστροφή (κοιτάζουμε από μέσα)
   ΣΙΕΣΩΤΠΚΕ
         ↓ 2η αντιστροφή (καθρέφτης)
   ΕΚΠΤΩΣΕΙΣ                 ✔ ΚΑΝΟΝΙΚΑ
```
Το συμπέρασμα: δύο διαδοχικές αντιστροφές αλληλοαναιρούνται — ακριβώς όπως δύο διαδοχικές αλλαγές προσήμου.

Η γεωμετρική διατύπωση: κάθε κατοπτρισμός αντιστρέφει τον προσανατολισμό. Η σύνθεση δύο κατοπτρισμών δίνει στροφή — μια μετατροπή που διατηρεί τον προσανατολισμό, άρα το κείμενο διαβάζεται κανονικά. Η επαλήθευση στην πράξη: το γνωστότερο παράδειγμα είναι το «ΑΣΘΕΝΟΦΟΡΟ», γραμμένο καθρεφτισμένο στο μπροστινό μέρος του οχήματος — ώστε ο οδηγός που το βλέπει στον καθρέφτη του να το διαβάζει κανονικά. Γιατί ο καθρέφτης αντιστρέφει το δεξί–αριστερό αλλά όχι το πάνω–κάτω (άσκηση 13): στην πραγματικότητα δεν αντιστρέφει ούτε το ένα ούτε το άλλο — αντιστρέφει το μπρος–πίσω, τον άξονα που είναι κάθετος στο κάτοπτρο. Η εντύπωση της «δεξιά–αριστερά» αντιστροφής προκύπτει επειδή εμείς περιστρέφουμε νοερά τον εαυτό μας γύρω από κατακόρυφο άξονα για να «σταθούμε» στη θέση του ειδώλου. Το γενικό δίδαγμα: περιττός αριθμός κατοπτρισμών → κείμενο ανάποδα· άρτιος αριθμός → κείμενο κανονικά. Γι' αυτό ένα σύστημα δύο καθρεφτών (π.χ. περισκόπιο) δείχνει την εικόνα σωστά.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ναι, θα τη διαβάζει κανονικά. Η λέξη είναι γραμμένη ώστε να διαβάζεται από έξω, οπότε κοιτάζοντάς την από μέσα τη βλέπουμε αντεστραμμένη δεξιά αριστερά. Ο επίπεδος καθρέφτης όμως αντιστρέφει επίσης το δεξί με το αριστερό, δηλαδή εφαρμόζει δεύτερη αντιστροφή στην ήδη αντεστραμμένη εικόνα, και οι δύο αντιστροφές αλληλοαναιρούνται, όπως δύο διαδοχικές αλλαγές προσήμου. Γεωμετρικά, κάθε κατοπτρισμός αντιστρέφει τον προσανατολισμό, ενώ η σύνθεση δύο κατοπτρισμών ισοδυναμεί με στροφή, η οποία τον διατηρεί. Το γνωστότερο παράδειγμα εφαρμογής είναι η λέξη ασθενοφόρο, γραμμένη καθρεφτισμένη στο μπροστινό μέρος του οχήματος ώστε ο οδηγός που το βλέπει στον καθρέφτη του να τη διαβάζει κανονικά. Γενικά, περιττός αριθμός κατοπτρισμών δίνει κείμενο ανάποδα και άρτιος αριθμός κείμενο κανονικά, γι' αυτό και το περισκόπιο, με δύο καθρέφτες, δείχνει την εικόνα σωστά.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 9 — Ποιο κάτοπτρο για άναμμα φωτιάς και πού τοποθετούμε το χαρτί

Ερώτηση: Τι είδους σφαιρικό κάτοπτρο θα χρησιμοποιούσατε για να ανάψετε φωτιά με το ηλιακό φως; α) κοίλο β) κυρτό. Πού θα τοποθετούσατε το χαρτί που θέλετε να το ανάψετε αν η ακτίνα του κατόπτρου είναι 30 cm;

Απάντηση:

Σωστή απάντηση: α) κοίλο.

Γιατί κοίλο: μόνο το κοίλο κάτοπτρο είναι συγκλίνον — συγκεντρώνει μια παράλληλη δέσμη (όπως οι ηλιακές ακτίνες) σε ένα σημείο, την εστία. Εκεί η ενέργεια συγκεντρώνεται σε ελάχιστη επιφάνεια και η θερμοκρασία ανεβαίνει απότομα. Το κυρτό είναι αποκλίνον: σκορπίζει τη δέσμη και δίνει μόνο φανταστικό είδωλο — δεν συγκεντρώνει ποτέ ενέργεια.
```
   ΚΟΙΛΟ (συγκλίνον)              ΚΥΡΤΟ (αποκλίνον)

   ═══►╲                              ╱◄═══
   ═══► ╲                            ╱ ◄═══
   ═══►  ●F   εστία!               ●   ◄═══   καμία εστία
   ═══► ╱                            ╲ ◄═══
   ═══►╱                              ╲◄═══
```
Πού τοποθετούμε το χαρτί: στην εστία του κατόπτρου.
```
   f  =  R/2  =  30/2  =  15 cm
```
Απάντηση: σε απόσταση 15 cm από την κορυφή του κατόπτρου, πάνω στον κύριο άξονα.

Γιατί ακριβώς στην εστία: ο Ήλιος βρίσκεται πρακτικά στο άπειρο, οπότε οι ακτίνες του φτάνουν παράλληλες στον κύριο άξονα. Από την εξίσωση των κατόπτρων:
```
   1/s + 1/s' = 1/f      με  s → ∞  ⇒  1/s → 0

   ⇒  1/s' = 1/f   ⇒   s' = f = 15 cm
```
Δηλαδή το είδωλο του Ήλιου σχηματίζεται ακριβώς στην εστία — και είναι εκεί που όλη η συλλεγόμενη ενέργεια συμπυκνώνεται. Η ενεργειακή διάσταση: ένα κάτοπτρο διαμέτρου 20 cm συλλέγει την ενέργεια από επιφάνεια ≈ 314 cm² και τη ρίχνει σε κηλίδα λίγων mm² — δηλαδή αυξάνει την ένταση κατά εκατοντάδες φορές. Γιατί η κηλίδα δεν είναι σημείο: επειδή ο Ήλιος έχει γωνιακή διάμετρο 0,5°, το είδωλό του στην εστία είναι κύκλος διαμέτρου f × 0,0093 ≈ 1,4 mm — μικρός, αλλά όχι σημείο (πρβλ. άσκηση 3 και άσκηση 22). Η ιστορική αναφορά (άσκηση 14): τα κάτοπτρα του Αρχιμήδη στις Συρακούσες στηρίζονταν ακριβώς σε αυτή την αρχή. Η σύγχρονη εφαρμογή (σελ. 200-201): Διάταξη για την τήξη του νατρίου — και βέβαια οι ηλιακοί συλλέκτες συγκέντρωσης, που παράγουν ατμό για ηλεκτροπαραγωγή.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Θα χρησιμοποιούσαμε κοίλο κάτοπτρο, γιατί μόνο αυτό είναι συγκλίνον και συγκεντρώνει την παράλληλη δέσμη των ηλιακών ακτίνων σε ένα σημείο, την εστία, όπου η ενέργεια συμπυκνώνεται σε ελάχιστη επιφάνεια· το κυρτό είναι αποκλίνον, σκορπίζει τη δέσμη και δεν συγκεντρώνει ποτέ ενέργεια. Το χαρτί τοποθετείται στην εστία, δηλαδή σε απόσταση ίση με το μισό της ακτίνας, εδώ δεκαπέντε εκατοστά από την κορυφή του κατόπτρου, πάνω στον κύριο άξονα. Ο λόγος είναι ότι ο Ήλιος βρίσκεται πρακτικά στο άπειρο, οπότε από την εξίσωση των κατόπτρων η απόσταση του ειδώλου ισούται με την εστιακή απόσταση. Ενεργειακά, ένα κάτοπτρο διαμέτρου είκοσι εκατοστών συλλέγει την ενέργεια από επιφάνεια τριακοσίων και πλέον τετραγωνικών εκατοστών και τη ρίχνει σε κηλίδα λίγων τετραγωνικών χιλιοστών, αυξάνοντας την ένταση κατά εκατοντάδες φορές. Η κηλίδα δεν είναι σημείο, γιατί ο Ήλιος έχει γωνιακή διάμετρο μισής μοίρας, οπότε το είδωλό του έχει διάμετρο περίπου ενάμισι χιλιοστό.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 10 — Γιατί το κουταλάκι δείχνει ορθό ή ανεστραμμένο είδωλο

Ερώτηση: Όταν κοιτάζετε την πίσω πλευρά από ένα γυαλιστερό κουταλάκι του γλυκού που το κρατάτε με το χέρι σας τεντωμένο μπροστά σας, βλέπετε τον εαυτό σας ορθό, ενώ όταν κοιτάζετε από την κοίλη (εσωτερική) πλευρά του, τον βλέπετε ανεστραμμένο. Εξηγείστε.

Απάντηση:

Το κουταλάκι είναι δύο κάτοπτρα σε ένα: η πίσω (εξωτερική) πλευρά είναι κυρτό κάτοπτρο, η εσωτερική είναι κοίλο.

Α. Η κυρτή (πίσω) πλευρά — πάντοτε ορθό είδωλο Το κυρτό κάτοπτρο είναι αποκλίνον (f < 0). Για οποιαδήποτε θέση του αντικειμένου δίνει είδωλο: · φανταστικό, · ορθό, · σμικρυμένο.
```
   ΚΥΡΤΟ:  αντικείμενο ────►  ) )  ────► είδωλο ΠΑΝΤΟΤΕ ορθό,
                                          μικρότερο, φανταστικό
```
Β. Η κοίλη (εσωτερική) πλευρά — εξαρτάται από την απόσταση Το κοίλο κάτοπτρο είναι συγκλίνον (f = R/2 > 0) και συμπεριφέρεται διαφορετικά ανάλογα με το πού βρίσκεται το αντικείμενο:
```
   ΑΠΟΣΤΑΣΗ s          ΕΙΔΩΛΟ
   ──────────────────────────────────────────────
   s < f               φανταστικό, ΟΡΘΟ, μεγεθυσμένο
                       (ο καθρέφτης ξυρίσματος!)

   s > f               πραγματικό, ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ
```
Η εξήγηση της παρατήρησης: το κουταλάκι είναι μικρό, άρα έχει μικρή ακτίνα καμπυλότητας και πολύ μικρή εστιακή απόσταση — τυπικά λίγα εκατοστά. Με το χέρι τεντωμένο, το πρόσωπό μας απέχει αρκετά δεκάδες εκατοστά, δηλαδή πολύ περισσότερο από το f. Άρα s > f και το είδωλο είναι πραγματικό και ανεστραμμένο.

Το πείραμα που το επιβεβαιώνει: αν φέρουμε το κουταλάκι πολύ κοντά στο μάτι μας (μερικά χιλιοστά, δηλαδή s < f), θα δούμε τον εαυτό μας ορθό και μεγεθυσμένο — ακριβώς όπως στον καθρέφτη ξυρίσματος (σελ. 201): Τα κοίλα κάτοπτρα χρησιμοποιούνται στο ξύρισμα ή στον καλλωπισμό, διότι δίνουν μεγεθυσμένα είδωλα. Γιατί το κυρτό δεν έχει «κρίσιμη απόσταση»: το αποκλίνον κάτοπτρο δεν έχει πραγματική εστία μπροστά του — οι ακτίνες αποκλίνουν πάντα και το είδωλο σχηματίζεται πίσω από το κάτοπτρο, φανταστικό και ορθό, ανεξάρτητα από την απόσταση. Το πρακτικό πλεονέκτημα του κυρτού (σελ. 201): δίνουν μικρά είδωλα και έτσι μπορούμε να βλέπουμε μεγαλύτερο τμήμα του χώρου (μεγαλύτερο οπτικό πεδίο) — γι' αυτό χρησιμοποιούνται στα super market και στους δρόμους. Η προσοχή στην ορολογία: «πίσω πλευρά του κουταλιού» = η κυρτή· «εσωτερική» = η κοίλη, εκεί που μπαίνει το γλυκό.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Το κουταλάκι λειτουργεί σαν δύο κάτοπτρα: η πίσω πλευρά του είναι κυρτό και η εσωτερική κοίλο. Το κυρτό είναι αποκλίνον και για οποιαδήποτε θέση του αντικειμένου δίνει είδωλο φανταστικό, ορθό και σμικρυμένο, γι' αυτό βλέπουμε πάντοτε τον εαυτό μας ορθό. Το κοίλο είναι συγκλίνον και η συμπεριφορά του εξαρτάται από την απόσταση: αν το αντικείμενο βρίσκεται πιο κοντά από την εστία, το είδωλο είναι φανταστικό, ορθό και μεγεθυσμένο, ενώ αν βρίσκεται πιο μακριά, το είδωλο είναι πραγματικό και ανεστραμμένο. Επειδή το κουταλάκι είναι μικρό, η εστιακή του απόσταση είναι λίγα εκατοστά, ενώ με τεντωμένο χέρι το πρόσωπό μας απέχει πολύ περισσότερο, οπότε το είδωλο βγαίνει ανεστραμμένο. Αν φέρουμε το κουταλάκι πολύ κοντά στο μάτι μας, θα δούμε τον εαυτό μας ορθό και μεγεθυσμένο, ακριβώς όπως στον καθρέφτη ξυρίσματος. Το κυρτό αντίθετα δεν έχει κρίσιμη απόσταση, γιατί το είδωλο σχηματίζεται πάντοτε πίσω από αυτό και είναι φανταστικό.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 11 — Πώς αποδεικνύεται ότι η επιφάνεια της Σελήνης είναι τραχιά

Ερώτηση: Με ποιο τρόπο θα υποστηρίζατε την άποψη ότι η επιφάνεια της σελήνης είναι μάλλον άγρια και ανώμαλη παρά λεία και στιλπνή;

Απάντηση:

Το επιχείρημα στηρίζεται στη διάκριση κανονικής ανάκλασης και διάχυσης (άσκηση 7).

Τι θα βλέπαμε αν η Σελήνη ήταν λεία και στιλπνή: θα λειτουργούσε σαν τεράστιο κυρτό κάτοπτρο. Θα ανακλούσε το ηλιακό φως κανονικά, οπότε θα βλέπαμε μόνο ένα μικρό, λαμπρό είδωλο του Ήλιου — μια αστραφτερή κουκκίδα πάνω σε έναν κατά τα άλλα σκοτεινό δίσκο. Και μάλιστα η κουκκίδα θα μετακινούνταν ανάλογα με τη θέση του παρατηρητή.
```
   ΑΝ ΗΤΑΝ ΛΕΙΑ:              ΟΠΩΣ ΕΙΝΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ:

        ○                          ●●●●●
       ╱ ╲                        ●●●●●●●
      │ ✦ │  ← μία λαμπερή       ●●●●●●●●●  ← ΟΛΟΣ ο δίσκος
       ╲ ╱      κουκκίδα          ●●●●●●●     φωτεινός
        ○                          ●●●●●
```
Τι βλέπουμε στην πραγματικότητα: ολόκληρος ο φωτισμένος δίσκος της Σελήνης φαίνεται ομοιόμορφα φωτεινός, από οποιοδήποτε σημείο της Γης και αν την κοιτάξουμε. Αυτό είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα της διάχυσης — άρα η επιφάνειά της είναι τραχιά.

Τα πρόσθετα επιχειρήματα: 1. Η ομοιομορφία της λαμπρότητας: αν η επιφάνεια ήταν λεία και σφαιρική, το κέντρο του δίσκου θα ήταν πολύ λαμπρότερο από τα άκρα. Η Σελήνη όμως εμφανίζεται σχεδόν εξίσου φωτεινή σε όλο τον δίσκο — τυπικό μιας τραχιάς επιφάνειας. 2. Η ανεξαρτησία από τον παρατηρητή: όλοι οι άνθρωποι στη Γη βλέπουν την ίδια εικόνα της Σελήνης, με τις ίδιες σκοτεινές «θάλασσες». Αν ανακλούσε κανονικά, ο καθένας θα έβλεπε το είδωλο του Ήλιου σε διαφορετική θέση. 3. Οι σκιές των κρατήρων: κοντά στη γραμμή που χωρίζει το φωτισμένο από το σκοτεινό μέρος (διαχωριστική), διακρίνονται μακριές σκιές — απόδειξη ότι υπάρχουν βουνά και κρατήρες που προεξέχουν. 4. Οι φάσεις: η μορφή των φάσεων και η λαμπρότητά τους συμφωνούν με διαχέουσα σφαίρα, όχι με κάτοπτρο. Η ιστορική σημασία: ακριβώς αυτό το επιχείρημα χρησιμοποίησε ο Γαλιλαίος το 1610, όταν με το τηλεσκόπιό του είδε τις σκιές των σεληνιακών βουνών — και κατέρριψε την αριστοτελική άποψη ότι τα ουράνια σώματα είναι τέλειες, λείες σφαίρες. Η οριστική επιβεβαίωση: οι φωτογραφίες και οι αποστολές στη Σελήνη έδειξαν πράγματι μια επιφάνεια γεμάτη κρατήρες, βράχους και σκόνη (regolith).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Το επιχείρημα στηρίζεται στη διάκριση κανονικής ανάκλασης και διάχυσης. Αν η επιφάνεια της Σελήνης ήταν λεία και στιλπνή, θα λειτουργούσε σαν τεράστιο κυρτό κάτοπτρο και θα βλέπαμε μόνο μια μικρή λαμπρή κουκκίδα, δηλαδή το είδωλο του Ήλιου, πάνω σε έναν κατά τα άλλα σκοτεινό δίσκο, ενώ η κουκκίδα θα μετακινούνταν ανάλογα με τη θέση του παρατηρητή. Στην πραγματικότητα βλέπουμε ολόκληρο τον φωτισμένο δίσκο ομοιόμορφα φωτεινό από οποιοδήποτε σημείο της Γης, πράγμα που αποτελεί το χαρακτηριστικό γνώρισμα της διάχυσης και άρα τραχιάς επιφάνειας. Πρόσθετα επιχειρήματα είναι ότι όλοι οι παρατηρητές βλέπουν την ίδια εικόνα με τις ίδιες σκοτεινές θάλασσες, ότι κοντά στη διαχωριστική γραμμή φωτός και σκιάς διακρίνονται μακριές σκιές βουνών και κρατήρων, και ότι η λαμπρότητα των φάσεων συμφωνεί με διαχέουσα σφαίρα και όχι με κάτοπτρο. Ιστορικά, ακριβώς αυτό το επιχείρημα χρησιμοποίησε ο Γαλιλαίος για να καταρρίψει την άποψη ότι τα ουράνια σώματα είναι τέλειες λείες σφαίρες.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 12 — Η αντανάκλαση της Σελήνης στη θάλασσα

Ερώτηση: Εξηγείστε την εικόνα που έχετε από την αντανάκλαση της σελήνης στη θάλασσα.

Απάντηση:

Η παρατήρηση: δεν βλέπουμε ένα μοναδικό, καθαρό είδωλο της Σελήνης, αλλά μια μακριά, λαμπερή λωρίδα που εκτείνεται από τον ορίζοντα προς εμάς και «τρεμοπαίζει».

Η εξήγηση: η θάλασσα δεν είναι επίπεδο κάτοπτρο — έχει κύματα. Κάθε στοιχειώδης επιφάνεια της κυματιστής θάλασσας είναι ένα μικρό επίπεδο κάτοπτρο με δική του κλίση.
```
                      ☾ Σελήνη
                     ╱│╲
                    ╱ │ ╲
                   ╱  │  ╲
   ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
     ▲    ▲    ▲    ▲    ▲    ▲          παρατηρητής
     όσα κύματα έχουν τη ΣΩΣΤΗ κλίση
     στέλνουν φως στο μάτι μας

   ⇒ ΠΟΛΛΑ διάσπαρτα είδωλα σε ευθεία γραμμή = «ΛΩΡΙΔΑ»
```
Ο μηχανισμός βήμα-βήμα: 1. Σε κάθε στοιχειώδη επιφάνεια ισχύουν κανονικά οι νόμοι της ανάκλασης (θπ = θα). 2. Οι κάθετοι όμως έχουν διάφορες κλίσεις, γιατί η επιφάνεια κυματίζει. 3. Έτσι πολλά διαφορετικά σημεία της θάλασσας — και όχι μόνο ένα — βρίσκονται στη σωστή κλίση ώστε να στείλουν φως της Σελήνης στο μάτι μας. 4. Το σύνολο αυτών των σημείων σχηματίζει μια λωρίδα κατά μήκος της κατακόρυφου επιπέδου που περνά από τη Σελήνη και από εμάς. 5. Επειδή τα κύματα κινούνται διαρκώς, τα σημεία που «ανάβουν» αλλάζουν συνεχώς — γι' αυτό η λωρίδα σπινθηροβολεί.

Πρόκειται για ενδιάμεση περίπτωση ανάμεσα στην κανονική ανάκλαση και στη διάχυση: κάθε στοιχείο ανακλά κανονικά, αλλά το σύνολο συμπεριφέρεται σχεδόν σαν διαχέουσα επιφάνεια. Τι θα βλέπαμε σε απόλυτη νηνεμία: ένα μοναδικό, καθαρό, φανταστικό είδωλο της Σελήνης, συμμετρικό ως προς την επιφάνεια — ακριβώς όπως σε επίπεδο κάτοπτρο. Αυτό συμβαίνει σε λίμνες χωρίς αέρα. Γιατί η λωρίδα «δείχνει» πάντοτε προς εμάς: επειδή τα σημεία που ανακλούν προς το δικό μας μάτι βρίσκονται στο κατακόρυφο επίπεδο που περιέχει εμάς και τη Σελήνη. Κάθε παρατηρητής βλέπει τη δική του λωρίδα — δύο άνθρωποι δίπλα-δίπλα βλέπουν διαφορετικές. Το ίδιο φαινόμενο με τον Ήλιο: η ίδια λαμπερή λωρίδα εμφανίζεται και στο ηλιοβασίλεμα, με πολύ μεγαλύτερη ένταση. Η σύνδεση με την άσκηση 11: αν η θάλασσα ήταν λεία, θα είχαμε μία κουκκίδα (κανονική ανάκλαση)· επειδή είναι τραχιά, έχουμε λωρίδα — ακριβώς το επιχείρημα που χρησιμοποιήσαμε για τη Σελήνη.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Δεν βλέπουμε ένα μοναδικό καθαρό είδωλο της Σελήνης, αλλά μια μακριά λαμπερή λωρίδα που εκτείνεται από τον ορίζοντα προς εμάς και σπινθηροβολεί. Η εξήγηση είναι ότι η θάλασσα δεν είναι επίπεδο κάτοπτρο αλλά κυματίζει, οπότε κάθε στοιχειώδης επιφάνειά της είναι ένα μικρό επίπεδο κάτοπτρο με δική του κλίση. Σε καθεμιά ισχύουν κανονικά οι νόμοι της ανάκλασης, επειδή όμως οι κάθετοι έχουν διάφορες κλίσεις, πολλά διαφορετικά σημεία και όχι μόνο ένα βρίσκονται στη σωστή θέση ώστε να στείλουν φως της Σελήνης στο μάτι μας· το σύνολό τους σχηματίζει τη λωρίδα, ενώ επειδή τα κύματα κινούνται, τα σημεία που ανάβουν αλλάζουν συνεχώς και η λωρίδα τρεμοπαίζει. Πρόκειται για ενδιάμεση περίπτωση ανάμεσα στην κανονική ανάκλαση και στη διάχυση. Σε απόλυτη νηνεμία θα βλέπαμε ένα μοναδικό καθαρό φανταστικό είδωλο, όπως σε επίπεδο κάτοπτρο. Η λωρίδα δείχνει πάντοτε προς τον παρατηρητή, γιατί τα σημεία που ανακλούν προς το μάτι του βρίσκονται στο κατακόρυφο επίπεδο που τον περιέχει μαζί με τη Σελήνη, οπότε κάθε παρατηρητής βλέπει τη δική του λωρίδα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 13 — Γιατί ο καθρέφτης αντιστρέφει δεξιά-αριστερά αλλά όχι πάνω-κάτω

Ερώτηση: Γιατί ένας επίπεδος καθρέφτης παρόλο που αντιστρέφει το δεξί και το αριστερό δεν αντιστρέφει το πάνω και το κάτω;

Απάντηση:

Η αλήθεια είναι ότι ο καθρέφτης ΔΕΝ αντιστρέφει ούτε το δεξί–αριστερό ούτε το πάνω–κάτω: αντιστρέφει το ΜΠΡΟΣ–ΠΙΣΩ.

Ο πραγματικός μηχανισμός: το επίπεδο κάτοπτρο δίνει είδωλο συμμετρικό ως προς το επίπεδό του. Δηλαδή αντιστρέφει μόνο τον άξονα που είναι κάθετος στην επιφάνειά του — τον άξονα μπρος–πίσω. Οι δύο άξονες που βρίσκονται μέσα στο επίπεδο του καθρέφτη (πάνω–κάτω και δεξιά–αριστερά) δεν αλλάζουν.
```
   ΕΣΥ                    │  ΕΙΔΩΛΟ
                          │
   πάνω    ↑              │       ↑    πάνω    ΙΔΙΟ
   δεξί    →              │       →    δεξί    ΙΔΙΟ
   μπροστά ⊙ (προς τον    │  ⊗ πίσω (μακριά    ΑΝΤΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ
              καθρέφτη)   │      από εμάς)
                     καθρέφτης
```
Από πού προκύπτει η ψευδαίσθηση: όταν λέμε «το είδωλο σήκωσε το αριστερό του χέρι ενώ εγώ σήκωσα το δεξί», κάνουμε νοερά μια περιστροφή: φανταζόμαστε τον εαυτό μας να γυρίζει κατά 180° γύρω από κατακόρυφο άξονα, ώστε να «σταθεί» στη θέση του ειδώλου. Αυτή η στροφή — και όχι ο καθρέφτης — είναι που ανταλλάσσει το δεξί με το αριστερό.

Η απόδειξη: αν αντί για κατακόρυφο άξονα, γυρίζαμε νοερά τον εαυτό μας ανάποδα (γύρω από οριζόντιο άξονα), θα λέγαμε ότι ο καθρέφτης αντιστρέφει το πάνω–κάτω και διατηρεί το δεξί–αριστερό! Η «αντιστροφή» δηλαδή εξαρτάται από το πώς συγκρίνουμε, όχι από τον καθρέφτη. Το πειστικό πείραμα: ξαπλώστε μπροστά σε έναν κατακόρυφο καθρέφτη. Τότε το είδωλο έχει το κεφάλι στην ίδια πλευρά με εσάς, αλλά όταν το συγκρίνετε με τον εαυτό σας «γυρίζοντας», βρίσκετε ότι τώρα αντιστρέφεται το πάνω–κάτω. Ο καθρέφτης όμως δεν άλλαξε. Το δεύτερο πείραμα: γράψτε ΕΚΠΤΩΣΕΙΣ σε ένα διάφανο χαρτί και κρατήστε το προς τον καθρέφτη. Δείτε το και από πίσω. Θα διαπιστώσετε ότι ο καθρέφτης δείχνει ακριβώς αυτό που βλέπετε από την πίσω πλευρά — καμία μυστηριώδης «δεξιά–αριστερά» αντιστροφή. Η μαθηματική διατύπωση: ο κατοπτρισμός ως προς επίπεδο αλλάζει τον προσανατολισμό του χώρου — μετατρέπει ένα δεξιόστροφο σύστημα αξόνων σε αριστερόστροφο. Γι' αυτό ένα δεξί γάντι φαίνεται στον καθρέφτη σαν αριστερό: δεν είναι ζήτημα κάποιου συγκεκριμένου άξονα, αλλά της χειρότητας (chirality) του χώρου. Η σύνδεση με την άσκηση 8: εκεί είδαμε ότι δύο διαδοχικές αντιστροφές αλληλοαναιρούνται — η ίδια αρχή, από άλλη οπτική γωνία.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Στην πραγματικότητα ο καθρέφτης δεν αντιστρέφει ούτε το δεξί με το αριστερό ούτε το πάνω με το κάτω: αντιστρέφει τον άξονα μπρος πίσω, δηλαδή τον άξονα που είναι κάθετος στην επιφάνειά του, αφού δίνει είδωλο συμμετρικό ως προς το επίπεδό του. Οι δύο άξονες που βρίσκονται μέσα στο επίπεδο του καθρέφτη παραμένουν αμετάβλητοι. Η ψευδαίσθηση προκύπτει επειδή, για να συγκρίνουμε τον εαυτό μας με το είδωλο, φανταζόμαστε νοερά μια περιστροφή κατά εκατόν ογδόντα μοίρες γύρω από κατακόρυφο άξονα· αυτή ακριβώς η στροφή, και όχι ο καθρέφτης, ανταλλάσσει το δεξί με το αριστερό. Απόδειξη είναι ότι αν γυρίζαμε νοερά τον εαυτό μας ανάποδα, γύρω από οριζόντιο άξονα, θα λέγαμε ότι ο καθρέφτης αντιστρέφει το πάνω με το κάτω. Μαθηματικά, ο κατοπτρισμός αλλάζει τον προσανατολισμό του χώρου, μετατρέποντας ένα δεξιόστροφο σύστημα αξόνων σε αριστερόστροφο· γι' αυτό ένα δεξί γάντι φαίνεται στον καθρέφτη σαν αριστερό.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 14 — Είναι λογικό το κατόρθωμα του Αρχιμήδη με τα κάτοπτρα

Ερώτηση: Ο Αρχιμήδης έκαιγε το ρωμαϊκό στόλο στο λιμάνι των Συρακουσών εστιάζοντας τις ακτίνες του ηλίου με μεγάλα σφαιρικά κάτοπτρα. Εξετάστε αν αυτό είναι λογικό.

Απάντηση:

Η φυσική αρχή είναι σωστή· η πρακτική εφαρμογή είναι εξαιρετικά αμφίβολη.

Τι ισχύει: ένα κοίλο (συγκλίνον) κάτοπτρο πράγματι συγκεντρώνει τις ηλιακές ακτίνες στην εστία του και ανεβάζει εκεί τη θερμοκρασία (άσκηση 9). Το φαινόμενο είναι πραγματικό — και το χρησιμοποιεί σήμερα η ηλιακή τεχνολογία συγκέντρωσης.

Οι πέντε πρακτικές δυσκολίες: 1. Το μέγεθος του κατόπτρου: για να ανάψει ξύλο σε απόσταση δεκάδων μέτρων χρειάζεται κάτοπτρο τεράστιας επιφάνειας. Στην αρχαιότητα δεν υπήρχε τεχνολογία για γυαλισμένο μπρούντζινο κάτοπτρο τέτοιων διαστάσεων με ακριβή καμπυλότητα. 2. Η εστιακή απόσταση: ένα σφαιρικό κάτοπτρο εστιάζει σε f = R/2. Για εστίαση στα 50 m χρειάζεται ακτίνα καμπυλότητας 100 m — δηλαδή σχεδόν επίπεδο κάτοπτρο, με ελάχιστη συγκεντρωτική ικανότητα. 3. Το μέγεθος της κηλίδας: επειδή ο Ήλιος έχει γωνιακή διάμετρο 0,5°, η κηλίδα στα 50 m έχει διάμετρο ≈ 0,5 m — η ενέργεια απλώνεται και η θερμοκρασία δεν ανεβαίνει αρκετά. 4. Ο στόχος κινείται: τα πλοία λικνίζονται και μετακινούνται· η κηλίδα πρέπει να μείνει στο ίδιο σημείο για πολλά δευτερόλεπτα ώστε το ξύλο να φτάσει στη θερμοκρασία ανάφλεξης (≈ 300 °C). 5. Ο ήλιος πρέπει να είναι κατάλληλα τοποθετημένος και ο ουρανός καθαρός.

Η ρεαλιστική εκδοχή: αντί για ένα τεράστιο σφαιρικό κάτοπτρο, πολλοί στρατιώτες με επίπεδες γυαλισμένες ασπίδες θα μπορούσαν να στρέψουν ο καθένας τη δική του ανάκλαση στο ίδιο σημείο. Έτσι δημιουργείται ένα συγκεντρωτικό σύστημα χωρίς να χρειάζεται καμπύλο κάτοπτρο — η ίδια αρχή με τα σύγχρονα ηλιοστάτες των ηλιακών πύργων. Οι σύγχρονες δοκιμές: πειράματα αναπαράστασης έχουν πετύχει ανάφλεξη ξύλου σε μικρές αποστάσεις και υπό ιδανικές συνθήκες (ακίνητος στόχος, καθαρός ουρανός, δεκάδες κάτοπτρα), αλλά απέτυχαν με κινούμενο στόχο σε ρεαλιστική απόσταση. Το πιθανότερο ιστορικό υπόβαθρο: η ψυχολογική επίδραση της τύφλωσης των πληρωμάτων και ίσως η ανάφλεξη εύφλεκτων υλικών (πίσσα, πανιά), όχι η καύση του σκάφους. Το συμπέρασμα: η φυσική είναι σωστή, το μηχανικό εγχείρημα όμως βρίσκεται στα όρια του εφικτού — γι' αυτό η ιστορία θεωρείται θρύλος με ρεαλιστικό πυρήνα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η φυσική αρχή είναι σωστή, αλλά η πρακτική εφαρμογή είναι εξαιρετικά αμφίβολη. Πράγματι, ένα κοίλο κάτοπτρο συγκεντρώνει τις ηλιακές ακτίνες στην εστία του και ανεβάζει εκεί τη θερμοκρασία. Οι δυσκολίες όμως είναι πολλές: απαιτείται κάτοπτρο τεράστιας επιφάνειας με ακριβή καμπυλότητα, τεχνολογία που δεν υπήρχε στην αρχαιότητα· η εστίαση σε πενήντα μέτρα απαιτεί ακτίνα καμπυλότητας εκατό μέτρων, δηλαδή σχεδόν επίπεδο κάτοπτρο με ελάχιστη συγκεντρωτική ικανότητα· λόγω της γωνιακής διαμέτρου του Ήλιου η κηλίδα σε τέτοια απόσταση θα είχε διάμετρο μισού μέτρου, οπότε η ενέργεια απλώνεται· και τέλος ο στόχος κινείται, ενώ η κηλίδα πρέπει να μείνει στο ίδιο σημείο για πολλά δευτερόλεπτα ώστε το ξύλο να φτάσει στη θερμοκρασία ανάφλεξης. Ρεαλιστικότερη εκδοχή είναι πολλοί στρατιώτες με επίπεδες γυαλισμένες ασπίδες να στρέφουν ο καθένας την ανάκλασή του στο ίδιο σημείο, όπως λειτουργούν οι σύγχρονοι ηλιοστάτες. Σύγχρονες δοκιμές πέτυχαν ανάφλεξη μόνο σε μικρές αποστάσεις και με ακίνητο στόχο, οπότε η ιστορία θεωρείται θρύλος με ρεαλιστικό πυρήνα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 15 — Εστιακή απόσταση και μεγέθυνση επίπεδου κατόπτρου

Ερώτηση: Ποια είναι η εστιακή απόσταση ενός επίπεδου κατόπτρου; Ποια είναι η μεγέθυνσή του;

Απάντηση:

Η εστιακή απόσταση: άπειρη (f → ∞). Η μεγέθυνση: μονάδα (m = +1).

Η αιτιολόγηση της εστιακής απόστασης: το επίπεδο κάτοπτρο μπορεί να θεωρηθεί ως σφαιρικό κάτοπτρο με άπειρη ακτίνα καμπυλότητας:
```
   f = R/2      με   R → ∞    ⇒    f → ∞

   ⇒  1/f = 0
```
Το φυσικό νόημα: μια παράλληλη δέσμη που προσπίπτει σε επίπεδο κάτοπτρο παραμένει παράλληλη μετά την ανάκλαση — δεν συγκλίνει ποτέ σε εστία. Είναι ακριβώς αυτό που τονίζει το βιβλίο (σελ. 200): τα επίπεδα κάτοπτρα μπορούν να αλλάξουν μόνο τη διεύθυνση μιας φωτεινής δέσμης όχι όμως και τη μορφή της. Δεν μπορούν, δηλαδή, να τη μετατρέψουν από αποκλίνουσα σε συγκλίνουσα ή από παράλληλη σε συγκλίνουσα και αντιστρόφως.

Η αιτιολόγηση της μεγέθυνσης: από την εξίσωση των κατόπτρων με 1/f = 0:
```
   1/s + 1/s' = 1/f = 0    ⇒    s' = − s

   m = − s'/s = − (−s)/s = + 1
```
Η ερμηνεία των αποτελεσμάτων:
```
   s' = −s   →  το είδωλο είναι ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ και βρίσκεται
                τόσο ΠΙΣΩ από τον καθρέφτη όσο το αντικείμενο
                είναι ΜΠΡΟΣΤΑ του

   m = +1    →  ΙΣΟΥ μεγέθους (|m| = 1) και ΟΡΘΟ (m > 0)
```
```
           αντικείμενο │ είδωλο
                 ↑     │     ↑
                 │  s  │  s  │
                 ●─────┼─────●
                    καθρέφτης
```
Η καθημερινή επαλήθευση: όταν κοιτάζουμε στον καθρέφτη, το είδωλό μας φαίνεται ίδιου μεγέθους με εμάς και όρθιο, και απομακρύνεται ακριβώς όσο απομακρυνόμαστε. Ένα κλασικό ερώτημα που απαντά αυτή η ανάλυση: πόσο μεγάλος πρέπει να είναι ένας καθρέφτης για να βλέπουμε ολόκληρο τον εαυτό μας; Απάντηση: μισό το ύψος μας — και η θέση του δεν εξαρτάται από την απόσταση. Η αντίθεση με τα σφαιρικά: το κοίλο έχει f = +R/2 και μπορεί να δώσει |m| > 1 ή < 1, πραγματικό ή φανταστικό είδωλο· το κυρτό έχει f = −R/2 και δίνει πάντα |m| < 1. Μόνο το επίπεδο έχει m = +1 πάντοτε.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η εστιακή απόσταση επίπεδου κατόπτρου είναι άπειρη και η μεγέθυνσή του ίση με τη μονάδα. Το επίπεδο κάτοπτρο μπορεί να θεωρηθεί ως σφαιρικό με άπειρη ακτίνα καμπυλότητας, οπότε η εστιακή απόσταση, ίση με το μισό της ακτίνας, τείνει στο άπειρο και το αντίστροφό της μηδενίζεται. Φυσικά αυτό σημαίνει ότι μια παράλληλη δέσμη παραμένει παράλληλη μετά την ανάκλαση, όπως τονίζει το βιβλίο λέγοντας ότι τα επίπεδα κάτοπτρα αλλάζουν μόνο τη διεύθυνση μιας δέσμης και όχι τη μορφή της. Από την εξίσωση των κατόπτρων με μηδενικό αντίστροφο της εστιακής απόστασης προκύπτει ότι η απόσταση του ειδώλου ισούται με την αντίθετη της απόστασης του αντικειμένου, δηλαδή το είδωλο είναι φανταστικό και βρίσκεται τόσο πίσω από τον καθρέφτη όσο το αντικείμενο μπροστά του, ενώ η μεγέθυνση προκύπτει συν ένα, δηλαδή το είδωλο είναι ίσου μεγέθους και ορθό. Σχετικό κλασικό συμπέρασμα είναι ότι για να βλέπουμε ολόκληρο τον εαυτό μας αρκεί καθρέφτης με το μισό του ύψους μας, ανεξάρτητα από την απόσταση.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 16 — Ισχύει η εξίσωση των σφαιρικών κατόπτρων για τα επίπεδα

Ερώτηση: Ισχύει η εξίσωση των σφαιρικών κατόπτρων και για επίπεδα κάτοπτρα; Εξηγείστε.

Απάντηση:

Ναι, ισχύει — και μάλιστα το επίπεδο κάτοπτρο είναι η ΟΡΙΑΚΗ περίπτωση της ίδιας εξίσωσης.

Η εξίσωση των σφαιρικών κατόπτρων:
```
   1/s  +  1/s'  =  1/f  =  2/R
```
Η οριακή διαδικασία: το επίπεδο κάτοπτρο είναι σφαιρικό με R → ∞, άρα:
```
   1/f = 2/R → 0     ⇒     1/s + 1/s' = 0     ⇒     s' = − s
```
Το αποτέλεσμα: το είδωλο σχηματίζεται συμμετρικά ως προς το κάτοπτρο, είναι φανταστικό (s' < 0) και βρίσκεται σε ίση απόσταση πίσω από αυτό. Και η μεγέθυνση:
```
   m = − s'/s = +1     ⇒  ίσου μεγέθους, ορθό
```
Τα αποτελέσματα συμφωνούν ακριβώς με όσα γνωρίζουμε πειραματικά για τον καθρέφτη.

Το γενικό δίδαγμα: η εξίσωση των κατόπτρων είναι ενιαία και καλύπτει και τα τρία είδη — αρκεί να προσέξουμε το πρόσημο του f:
```
   ΚΟΙΛΟ:     f = + R/2       συγκλίνον
   ΚΥΡΤΟ:     f = − R/2       αποκλίνον
   ΕΠΙΠΕΔΟ:   f = ± ∞         ούτε συγκλίνον ούτε αποκλίνον
```
Η αξία της ενοποίησης: δεν χρειάζεται να απομνημονεύσουμε χωριστούς κανόνες. Μία σχέση, με σωστή σύμβαση προσήμων, περιγράφει όλες τις περιπτώσεις — και δίνει αυτόματα το είδος (πραγματικό/φανταστικό), τον προσανατολισμό (ορθό/ανεστραμμένο) και το μέγεθος του ειδώλου. Η ίδια δομή και στους φακούς (κεφ. 9): η εξίσωση των λεπτών φακών έχει ακριβώς την ίδια μορφή, με f > 0 για τους συγκλίνοντες και f < 0 για τους αποκλίνοντες. Η αναλογία αυτή είναι το αντικείμενο της άσκησης 18 του κεφαλαίου 9. Η επαλήθευση με το «όριο»: αν πάρουμε ένα κοίλο κάτοπτρο και αυξάνουμε συνεχώς την ακτίνα του, το είδωλο μετακινείται προοδευτικά και τείνει στη θέση που δίνει το επίπεδο κάτοπτρο. Η μετάβαση είναι ομαλή — καμία ασυνέχεια. Το φυσικό υπόβαθρο: η εξίσωση προκύπτει από τους νόμους της ανάκλασης και από γεωμετρία. Επειδή οι νόμοι ισχύουν για κάθε επιφάνεια, ισχύει και η εξίσωση — αρκεί να ισχύει η προσέγγιση των παραξονικών ακτίνων (μικρό άνοιγμα κατόπτρου).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Ναι, ισχύει, και μάλιστα το επίπεδο κάτοπτρο αποτελεί την οριακή περίπτωση της ίδιας εξίσωσης. Η εξίσωση των σφαιρικών κατόπτρων συνδέει τα αντίστροφα των αποστάσεων αντικειμένου και ειδώλου με το αντίστροφο της εστιακής απόστασης, η οποία ισούται με το μισό της ακτίνας. Για επίπεδο κάτοπτρο η ακτίνα τείνει στο άπειρο, οπότε το αντίστροφο της εστιακής απόστασης μηδενίζεται και προκύπτει ότι η απόσταση του ειδώλου είναι αντίθετη της απόστασης του αντικειμένου, δηλαδή το είδωλο είναι φανταστικό, συμμετρικό ως προς το κάτοπτρο, ενώ η μεγέθυνση προκύπτει συν ένα, δηλαδή ίσου μεγέθους και ορθό, όπως ακριβώς γνωρίζουμε πειραματικά. Το γενικό δίδαγμα είναι ότι μία ενιαία εξίσωση καλύπτει και τα τρία είδη κατόπτρων, αρκεί να προσέξουμε το πρόσημο της εστιακής απόστασης: θετικό για τα κοίλα, αρνητικό για τα κυρτά και άπειρο για τα επίπεδα. Η ίδια δομή ισχύει και για τους λεπτούς φακούς.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 17 — Θα μπορούσαμε να βάλουμε καθρέφτη στη θέση της οθόνης του κινηματογράφου

Ερώτηση: Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε επίπεδο καθρέφτη στη θέση της οθόνης στον κινηματογράφο;

Απάντηση:

Όχι — η προβολή θα ήταν αδύνατη.

Η αιτιολόγηση: η οθόνη του κινηματογράφου πρέπει να διαχέει το φως, ώστε η εικόνα να είναι ορατή από όλες τις θέσεις της αίθουσας. Ο καθρέφτης όμως κάνει κανονική ανάκλαση: στέλνει το φως σε μία συγκεκριμένη διεύθυνση.
```
   ΛΕΥΚΗ ΟΘΟΝΗ (διάχυση)          ΚΑΘΡΕΦΤΗΣ (κανονική ανάκλαση)

   προβολέας ►│↗ ↑ ↖ →           προβολέας ►│
              │↙ ↓ ↘ ←                      │╲
              │                             │ ╲
   όλοι οι θεατές βλέπουν         το φως πάει ΜΟΝΟ προς μία
   την εικόνα           ✔         κατεύθυνση                ✘
```
Τι θα έβλεπε ο θεατής: όχι την ταινία, αλλά το είδωλο του προβολέα — μια εκτυφλωτική φωτεινή κουκκίδα — και μόνο αν καθόταν στην ακριβώς σωστή θέση (τη συμμετρική του προβολέα ως προς την οθόνη). Όλοι οι υπόλοιποι θα έβλεπαν σκοτάδι, ή το είδωλο της αίθουσας.

Η βαθύτερη αρχή: η οθόνη δεν είναι οπτικό στοιχείο που σχηματίζει είδωλο — είναι απλώς μια επιφάνεια πάνω στην οποία σχηματίζεται το πραγματικό είδωλο του φακού του προβολέα. Για να δούμε αυτό το είδωλο, η επιφάνεια πρέπει να το σκορπίσει προς όλες τις κατευθύνσεις. Γιατί οι οθόνες είναι λευκές και ματ: λευκές για να ανακλούν όλα τα χρώματα εξίσου (χωρίς χρωματική αλλοίωση) και ματ (τραχιές) για να διαχέουν το φως. Η ιδανική οθόνη είναι λαμβερτιανή: φαίνεται εξίσου φωτεινή από κάθε γωνία. Η σύνδεση με την άσκηση 7: είναι ακριβώς η αντίθεση κανονικής ανάκλασης και διάχυσης — και εδώ φαίνεται γιατί η διάχυση είναι χρήσιμη, όχι ελάττωμα. Πού χρησιμοποιούνται καθρέφτες στην προβολή: όχι ως οθόνη, αλλά για την αναδίπλωση της οπτικής διαδρομής μέσα στον προβολέα ή σε συστήματα οπίσθιας προβολής — δηλαδή για να αλλάξουν κατεύθυνση στη δέσμη, ποτέ για να την εμφανίσουν. Η ενδιάμεση περίπτωση: υπάρχουν οθόνες με μεταλλική επίστρωση («silver screen») που είναι λίγο κατοπτρικές — αυξάνουν τη φωτεινότητα προς τα εμπρός εις βάρος των πλάγιων θέσεων. Ακόμη κι αυτές όμως είναι πολύ μακριά από καθρέφτη· απλώς περιορίζουν τη γωνία διάχυσης.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Όχι, η προβολή θα ήταν αδύνατη. Η οθόνη του κινηματογράφου πρέπει να διαχέει το φως ώστε η εικόνα να είναι ορατή από όλες τις θέσεις της αίθουσας, ενώ ο καθρέφτης κάνει κανονική ανάκλαση και στέλνει το φως σε μία μόνο διεύθυνση. Έτσι ο θεατής δεν θα έβλεπε την ταινία αλλά το είδωλο του προβολέα, δηλαδή μια εκτυφλωτική φωτεινή κουκκίδα, και μόνο αν καθόταν στη συμμετρική θέση του προβολέα ως προς την οθόνη· όλοι οι υπόλοιποι θα έβλεπαν σκοτάδι ή το είδωλο της αίθουσας. Η βαθύτερη αρχή είναι ότι η οθόνη δεν σχηματίζει είδωλο, αλλά αποτελεί την επιφάνεια πάνω στην οποία σχηματίζεται το πραγματικό είδωλο του φακού του προβολέα, και για να το δούμε πρέπει να σκορπιστεί προς όλες τις κατευθύνσεις. Γι' αυτό οι οθόνες είναι λευκές, ώστε να ανακλούν όλα τα χρώματα εξίσου, και ματ, ώστε να διαχέουν. Καθρέφτες χρησιμοποιούνται στην προβολή μόνο για την αναδίπλωση της οπτικής διαδρομής και ποτέ ως οθόνη.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Άσκηση 18 — Πώς θα είναι η σκιά μολυβιού από φως ανακλώμενο σε καθρέφτη

Ερώτηση: Ηλιακό φως ανακλάται από οριζόντιο καθρέφτη και πέφτει σε κατακόρυφη οθόνη. Στον καθρέφτη ισορροπεί ένα μολύβι όρθιο. Πώς θα είναι η σκιά του στην οθόνη;

Απάντηση:

Η απάντηση: στην οθόνη θα σχηματιστεί σκιά του μολυβιού που θα φαίνεται οριζόντια (ξαπλωμένη), και μάλιστα θα ξεκινά από τη βάση της οθόνης, εκεί που συναντά τον καθρέφτη.

Η ανάλυση:
```
              ☀ ηλιακές ακτίνες (πλάγια)
                ╲ ╲ ╲
                 ╲ ╲ ╲
            ║      ╲ ╲ ╲          ║ οθόνη
            ║ μολύβι ╲ ╲ ╲        ║ (κατακόρυφη)
   ═════════╨══════════╲═╲═╲══════║
         καθρέφτης (οριζόντιος) ╲ ╲╲
                                  ╲ ▓  ← η σκιά ΞΑΠΛΩΝΕΙ
                                      στη βάση της οθόνης
```
Ο συλλογισμός βήμα-βήμα: 1. Το φως φτάνει πλάγια στον οριζόντιο καθρέφτη και ανακλάται σύμφωνα με τον νόμο θπ = θα. 2. Η ανακλώμενη δέσμη φεύγει προς τα πάνω και πλάγια, και πέφτει στην κατακόρυφη οθόνη. 3. Το όρθιο μολύβι εμποδίζει μέρος αυτής της δέσμης — αλλά αφού έχει ανακλαστεί, οι ακτίνες ταξιδεύουν προς τα πάνω. 4. Άρα η σκιά προβάλλεται στην οθόνη ξεκινώντας από τη βάση και εκτεινόμενη πλάγια/οριζόντια, όχι κατακόρυφα.

Το κρίσιμο σημείο: η σκιά δεν έχει τον προσανατολισμό του αντικειμένου αλλά καθορίζεται από τη γεωμετρία της προβολής — από τη διεύθυνση των ακτίνων και τον προσανατολισμό της οθόνης (πρβλ. άσκηση 5: όμοιο περίγραμμα προκύπτει μόνο με παράλληλα επίπεδα). Η ουσία της άσκησης: το μολύβι είναι κατακόρυφο και η οθόνη επίσης κατακόρυφη — τα δύο επίπεδα είναι κάθετα μεταξύ τους ως προς τη διεύθυνση της προβολής. Γι' αυτό η σκιά ξαπλώνει. Η αναλογία της καθημερινότητας: η σκιά ενός όρθιου πασσάλου στο έδαφος είναι ξαπλωμένη, επειδή το έδαφος είναι κάθετο στον πάσσαλο. Εδώ έχουμε την ίδια γεωμετρία, με τη διαφορά ότι ο καθρέφτης έχει πρώτα γυρίσει τη δέσμη προς τα πάνω. Η ειδική περίπτωση: αν ο Ήλιος ήταν ακριβώς στο ζενίθ, οι ακτίνες θα ανακλώνταν κατακόρυφα προς τα πάνω και θα ήταν παράλληλες στην οθόνη — τότε καμία σκιά δεν θα σχηματιζόταν στην οθόνη. Το μήκος της σκιάς: εξαρτάται από τη γωνία πρόσπτωσης. Όσο πιο χαμηλά ο Ήλιος, τόσο πιο μακριά και πιο πλάγια η σκιά — όπως ακριβώς και οι σκιές στο ηλιοβασίλεμα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Στην οθόνη σχηματίζεται σκιά του μολυβιού η οποία φαίνεται ξαπλωμένη, ξεκινώντας από τη βάση της οθόνης εκεί που αυτή συναντά τον καθρέφτη. Ο συλλογισμός είναι ο εξής: το ηλιακό φως φτάνει πλάγια στον οριζόντιο καθρέφτη και ανακλάται σύμφωνα με τον νόμο της ισότητας των γωνιών, οπότε η ανακλώμενη δέσμη φεύγει προς τα πάνω και πλάγια και πέφτει στην κατακόρυφη οθόνη· το όρθιο μολύβι εμποδίζει μέρος της δέσμης μετά την ανάκλαση, όταν πλέον οι ακτίνες ταξιδεύουν προς τα πάνω, οπότε η σκιά προβάλλεται εκτεινόμενη οριζόντια και όχι κατακόρυφα. Το κρίσιμο σημείο είναι ότι ο προσανατολισμός της σκιάς δεν ακολουθεί το αντικείμενο αλλά καθορίζεται από τη γεωμετρία της προβολής, δηλαδή από τη διεύθυνση των ακτίνων και τον προσανατολισμό της οθόνης. Πρόκειται για την ίδια γεωμετρία με τη σκιά ενός όρθιου πασσάλου στο έδαφος, με τη διαφορά ότι εδώ ο καθρέφτης γυρίζει πρώτα τη δέσμη προς τα πάνω. Αν ο Ήλιος βρισκόταν στο ζενίθ, οι ανακλώμενες ακτίνες θα ήταν παράλληλες στην οθόνη και καμία σκιά δεν θα σχηματιζόταν.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο