Λύσεις — Κεφάλαιο 3ο · Απλά γραμμικά ωμικά κυκλώματα (σελ. 78-91) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 3ο · Απλά γραμμικά ωμικά κυκλώματα (σελ. 78-91) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 3ο · Απλά γραμμικά ωμικά κυκλώματα (σελ. 84–94)

Λύσεις των 11 λυμένων Εφαρμογών και των 11 Προβλημάτων προς λύση (νόμοι Kirchhoff, σειρά/παράλληλα, διαιρέτες, μικτές συνδεσμολογίες). Όλα τα αριθμητικά επαληθεύτηκαν υπολογιστικά.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — παράλληλες αντιστάσεις

Εκφώνηση: Τρεις αντιστάσεις \(R_1=30\ Ω\), \(R_2=20\ Ω\), \(R_3=6\ Ω\) συνδέονται παράλληλα. Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση.

Πώς σκεφτόμαστε: Ενώνουμε ανά δύο με τον τύπο \(R_1//R_2=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\).

Λύση:

\( R_{1,2}=\dfrac{30\cdot20}{30+20}=\dfrac{600}{50}=12\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=R_{1,2}//R_3=\dfrac{12\cdot6}{12+6}=4\ Ω \)

Απάντηση: R_ΟΛ = 4 Ω.

Πρόσεξε:

Η ισοδύναμη παράλληλη αντίσταση είναι ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ από τη μικρότερη επιμέρους.
Εναλλακτικά: \(1/R=1/30+1/20+1/6=1/4\).

Εφαρμογή 2 — διαδοχική απλοποίηση

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση \(R_{AB}\) στο παρακάτω κύκλωμα. (Στο σχήμα: δύο αντιστάσεις 10 Ω παράλληλα, σε σειρά με 3 Ω και 20 Ω.)

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε από μέσα προς τα έξω: πρώτα οι παράλληλες, μετά οι σειρές.

Λύση:

\( 10//10=\dfrac{10\cdot10}{20}=5\ Ω \)
\( R_{AB}=3+5+20=28\ Ω \)

Απάντηση: R_AB = 28 Ω.

Πρόσεξε:

Απλοποίησε πρώτα τις παράλληλες, μετά πρόσθεσε τις σε σειρά.

Εφαρμογή 3 — σύνθετη απλοποίηση

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση \(R_{AB}\) για το κύκλωμα του παρακάτω σχήματος. (Στο σχήμα: αντιστάσεις 5 Ω, 3 Ω, 30 Ω, 18 Ω, 9 Ω, 10 Ω, 20 Ω και 5 Ω.)

Πώς σκεφτόμαστε: Διαδοχικά: υπολογίζουμε τις εσωτερικές παράλληλες, τις προσθέτουμε στις σειρές, και επαναλαμβάνουμε.

Λύση:

\( 18//9=\dfrac{162}{27}=6\ Ω \), \( 20//5=\dfrac{100}{25}=4\ Ω \)
\( 6+4+10=20\ Ω \)
\( 30//20=\dfrac{600}{50}=12\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=5+12+3=20\ Ω \)

Απάντηση: R_AB = 20 Ω.

Πρόσεξε:

Δούλεψε βήμα-βήμα «από μέσα προς τα έξω»· σημείωσε κάθε ενδιάμεσο αποτέλεσμα.

Εφαρμογή 4 — μικτή συνδεσμολογία στοιχείων

Εκφώνηση: Συσκευή τροφοδοτείται από ηλεκτρικά στοιχεία και λειτουργεί με τάση 54 V και ρεύμα 2 Α. Αν η ηλεκτρεγερτική δύναμη κάθε στοιχείου είναι 1,8 V και η εσωτερική του αντίσταση 0,6 Ω, και είναι συνδεδεμένα, ώστε το καθένα να διαρρέεται από ρεύμα έντασης 0,5 Α, να βρεθεί ο αριθμός των στοιχείων.

Πώς σκεφτόμαστε: Έστω n στοιχεία ανά κλάδο και m κλάδοι. Από το ρεύμα κλάδου βρίσκουμε m, από την εξίσωση \(E_{ολ}-I r_{ολ}=54\) βρίσκουμε n. Το σύστημα ισοδυναμεί με \(E_{ολ}=nE\), \(r_{ολ}=nr/m\).

Λύση:

\( 0{,}5\cdot m=2\Rightarrow m=4 \)
\( n\cdot1{,}8-2\cdot\dfrac{n\cdot0{,}6}{4}=54\Rightarrow 1{,}8n-0{,}3n=54\Rightarrow 1{,}5n=54\Rightarrow n=36 \)
\( \text{Πλήθος}=m\cdot n=4\cdot36=144 \)

Απάντηση: 144 στοιχεία (m=4 κλάδοι × n=36 σε σειρά).

Πρόσεξε:

Το ρεύμα κλάδου δίνει το πλήθος κλάδων m· η εξίσωση τάσης δίνει το n ανά κλάδο.
Επαλήθευση: \(E_{ολ}=36\cdot1{,}8=64{,}8V\), \(r_{ολ}=36\cdot0{,}6/4=5{,}4Ω\), \(64{,}8-2\cdot5{,}4=54V\) ✓.

Εφαρμογή 5 — λαμπτήρες σε σειρά

Εκφώνηση: Δύο λαμπτήρες Λ1 και Λ2 αναγράφουν (60V, 200W) και (60V, 300W) αντίστοιχα. Οι λαμπτήρες συνδέονται σε σειρά και στα άκρα τους εφαρμόζεται τάση 150 (V). Να εξετασθεί εάν οι λαμπτήρες εργάζονται κανονικά.

Πώς σκεφτόμαστε: Βρίσκουμε τις αντιστάσεις από \(R=V^2/P\), το κοινό ρεύμα, και τις πραγματικές τάσεις σε κάθε λαμπτήρα· συγκρίνουμε με την ονομαστική 60V.

Λύση:

\( R_1=\dfrac{60^2}{200}=18\ Ω,\quad R_2=\dfrac{60^2}{300}=12\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=30\ Ω,\quad I=\dfrac{150}{30}=5\ A \)
\( V'_1=5\cdot18=90\ V,\quad V'_2=5\cdot12=60\ V \)

Απάντηση: Ο Λ₁ ΔΕΝ λειτουργεί κανονικά (90V>60V, κινδυνεύει να καεί)· ο Λ₂ λειτουργεί κανονικά (60V=60V).

Πρόσεξε:

Ο λαμπτήρας με τη ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ισχύ έχει ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ αντίσταση, άρα παίρνει μεγαλύτερη τάση σε σειρά.
«Κανονική λειτουργία» ⇔ πραγματική τάση = ονομαστική τάση.

Εφαρμογή 6 — αντίσταση προσαρμογής

Εκφώνηση: Συσκευή λειτουργεί με ρεύμα 15 (Α) και τάση 40 (V). Πρόκειται όμως να συνδεθεί σε τάση 220 (V). Ποια η τιμή της αντίστασης που πρέπει να συνδεθεί, ώστε η συσκευή να λειτουργήσει κανονικά;

Πώς σκεφτόμαστε: Χρειάζεται αντίσταση ΣΕ ΣΕΙΡΑ που θα «απορροφήσει» την πλεονάζουσα τάση \(220-40\), με το ίδιο ρεύμα 15A.

Λύση:

Πτώση τάσης στην \(R_x\): \(220-40=180\ V\)
\( R_x=\dfrac{180}{15}=12\ Ω \)

Απάντηση: R_x = 12 Ω (σε σειρά).

Πρόσεξε:

Σε σειρά περνά το ίδιο ρεύμα (15A)· η \(R_x\) παίρνει τη διαφορά τάσης.
Η ισχύς που καίει η \(R_x\): \(P=180\cdot15=2700W\) — σημαντική απώλεια.

Εφαρμογή 7 — μικτό κύκλωμα (ρεύματα ΚΑΙ τάσεις)

Εκφώνηση: Τρεις αντιστάσεις \(R_1=10\ (Ω)\), \(R_2=20\ (Ω)\), \(R_3=60\ (Ω)\) συνδέονται παράλληλα και σε σειρά με αυτές συνδέεται αντίσταση \(R_4=18\ (Ω)\). Στα άκρα του συστήματος εφαρμόζεται τάση 240 (V). Να βρεθούν α) Το ολικό ρεύμα β) Η ένταση του ρεύματος κάθε αντίστασης και γ) η τάση σε κάθε αντίσταση.

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε τις παράλληλες, βρίσκουμε \(R_{ΟΛ}\) και το ολικό ρεύμα. Η τάση στις παράλληλες είναι κοινή· από αυτήν βρίσκουμε τα επιμέρους ρεύματα.

Λύση:

\( \dfrac{1}{R_{1,2,3}}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{60}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow R_{1,2,3}=6\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=6+18=24\ Ω,\quad I=\dfrac{240}{24}=10\ A \)
\( V_{1,2,3}=10\cdot6=60\ V \Rightarrow I_1=6A,\ I_2=3A,\ I_3=1A,\ I_4=10A \)
\( V_4=10\cdot18=180\ V \)

Απάντηση: α) I=10A. β) I₁=6A, I₂=3A, I₃=1A, I₄=10A. γ) V₁,₂,₃=60V, V₄=180V.

Πρόσεξε:

Το ολικό ρεύμα περνά ΟΛΟΚΛΗΡΟ από την R₄ (σε σειρά).
Έλεγχος Ν.Ρ.Κ.: I₁+I₂+I₃=6+3+1=10=I ✓.

Εφαρμογή 8 — νόμοι Kirchhoff

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος να βρεθούν οι τάσεις και τα ρεύματα όλων των κλάδων χρησιμοποιώντας τους νόμους του Kirchhoff.

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε Ν.Ρ.Κ. σε κάθε κόμβο (για τα ρεύματα) και Ν.Τ.Κ. σε κάθε βρόχο (για τις τάσεις), με τα δεδομένα του σχήματος.

Λύση:

Κόμβος Γ (Ν.Ρ.Κ.): \(2+3-I_1=0\Rightarrow I_1=5\ A\)
Κόμβος B: \(6+I_1-I_2=0\Rightarrow I_2=11\ A\)
Κόμβος Δ: \(I_3-6-3=0\Rightarrow I_3=9\ A\)
Βρόχος ΑΓΒΑ (Ν.Τ.Κ.): \(V_1-5-7=0\Rightarrow V_1=12\ V\)
Βρόχος ΑΒΔΑ: \(7-V_2+10=0\Rightarrow V_2=17\ V\)
Βρόχος ΒΓΔΒ: \(5-V_3+17=0\Rightarrow V_3=22\ V\)

Απάντηση: I₁=5A, I₂=11A, I₃=9A· V₁=12V, V₂=17V, V₃=22V.

Πρόσεξε:

Ν.Ρ.Κ. στους κόμβους δίνει τα ρεύματα· Ν.Τ.Κ. στους βρόχους δίνει τις τάσεις.
Τήρησε σταθερή σύμβαση προσήμων (εισερχόμενο +, φορά βρόχου).

Εφαρμογή 9 — θερμάστρα δύο αντιστάσεων

Εκφώνηση: Ηλεκτρική θερμάστρα δυο αντιστάσεων \(R_1\) και \(R_2\) τροφοδοτείται με τάση 220 V. Όταν λειτουργεί η \(R_1\) η θερμάστρα ξοδεύει ισχύ 800 W, ενώ όταν λειτουργούν και οι δύο αντιστάσεις (παράλληλα) η θερμάστρα ξοδεύει ισχύ 2000 W. Να υπολογιστούν οι \(R_1\) και \(R_2\).

Πώς σκεφτόμαστε: Από την ισχύ κάθε κατάστασης βρίσκουμε αντιστάσεις με \(R=V^2/P\). Η δεύτερη κατάσταση δίνει την παράλληλη \(R_{1,2}\), απ' όπου βγαίνει η \(R_2\).

Λύση:

\( R_1=\dfrac{220^2}{800}=60{,}5\ Ω \)
\( R_{1,2}=\dfrac{220^2}{2000}=24{,}2\ Ω \)
\( \dfrac{60{,}5\cdot R_2}{60{,}5+R_2}=24{,}2\Rightarrow 36{,}3\,R_2=1464{,}1\Rightarrow R_2=40{,}33\ Ω \)

Απάντηση: R₁=60,5 Ω, R₂≈40,33 Ω.

Πρόσεξε:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει R₂ = 40,25 Ω· η ακριβής λύση της εξίσωσης δίνει R₂ = 1464,1/36,3 ≈ 40,33 Ω.
Περισσότερη ισχύς σε σταθερή τάση ⇒ μικρότερη ισοδύναμη αντίσταση.

Εφαρμογή 10 — διαιρέτης τάσης (με πρόσημα)

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος να βρεθεί η τάση \(V_x\) και το ρεύμα \(I_x\) με χρήση του διαιρέτη τάσης και του νόμου του Ohm. (Στο σχήμα: πηγή 120 V σε σειρά με αντιστάσεις 1 Ω, 3 Ω και 2 Ω· η \(V_x\) ζητείται στην αντίσταση των 3 Ω.)

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε τον διαιρέτη τάσης για την αντίσταση όπου ζητείται η \(V_x\), και τον νόμο Ohm για το ρεύμα. Το πρόσημο δείχνει τη σχετική πολικότητα/φορά.

Λύση:

\( V_x=-120\cdot\dfrac{3}{3+2+1}=-120\cdot\dfrac{3}{6}=-60\ V \)
\( I_x=\dfrac{-120}{6}=-20\ A \)

Απάντηση: V_x = −60 V, I_x = −20 A (το − δηλώνει αντίθετη πολικότητα/φορά από την εκφώνηση).

Πρόσεξε:

Το αρνητικό πρόσημο ΔΕΝ είναι λάθος — δείχνει ότι η πραγματική φορά/πολικότητα είναι αντίθετη από την υποτιθέμενη.
Διαιρέτης τάσης: αριθμητής η αντίσταση όπου ζητάς την τάση.

Εφαρμογή 11 — διαιρέτης ρεύματος

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος να βρεθεί το ρεύμα \(I_x\) και η τάση \(V_x\) με χρήση του διαιρέτη ρεύματος και του νόμου του Ohm. (Στο σχήμα: πηγή ρεύματος 20 A, αντίσταση 1 Ω και δύο αντιστάσεις 2 Ω.)

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε τον διαιρέτη ρεύματος στον κόμβο για την \(I_x\), και μετά νόμο Ohm για την \(V_x\).

Λύση:

\( I_x=20\cdot\dfrac{2}{2+2}=20\cdot\dfrac{1}{2}=10\ A \)
\( V_x=I_x\cdot2=10\cdot2=20\ V \)

Απάντηση: I_x = 10 A, V_x = 20 V.

Πρόσεξε:

Διαιρέτης ρεύματος: στον αριθμητή η ΑΝΤΙΘΕΤΗ αντίσταση.
Ίσες αντιστάσεις ⇒ το ρεύμα μοιράζεται στα δύο ίσα.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — ισοδύναμη αντίσταση

Εκφώνηση: Τρεις αντιστάσεις \(R_1=10\ (Ω)\), \(R_2=10\ (Ω)\), \(R_3=5\ (Ω)\) συνδέονται παράλληλα και το σύστημά τους σε σειρά με αντίσταση \(R_4=15\ (Ω)\). Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση. (17,5 Ω)

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε τις τρεις παράλληλες, μετά προσθέτουμε την R₄ σε σειρά.

Λύση:

\( 10//10=5,\quad 5//5=2{,}5\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=2{,}5+15=17{,}5\ Ω \)

Απάντηση: R_ΟΛ = 17,5 Ω.

Πρόσεξε:

\(1/R_{123}=1/10+1/10+1/5=1/2{,}5\).

Πρόβλημα 2 — ισοδύναμη R_AB

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση \(R_{AB}\) στο παρακάτω κύκλωμα. \((R_{AB}=41\ Ω)\) (Στο σχήμα: κλιμακωτό κύκλωμα με εννέα αντιστάσεις των 15 Ω — από μία 15 Ω σε κάθε οριζόντιο τμήμα της πάνω και της κάτω γραμμής και τρεις κάθετες 15 Ω, η τελευταία στο δεξί άκρο.)

Πώς σκεφτόμαστε: Σε κλιμακωτό κύκλωμα ξεκινάμε από το πιο απομακρυσμένο (δεξί) άκρο: αθροίζουμε τις αντιστάσεις σε σειρά, τις συνδυάζουμε με την κάθετη παράλληλη, και προχωράμε προς τους ακροδέκτες Α, Β.

Λύση:

Δεξί άκρο: οι τρεις 15 Ω (πάνω, κάθετη, κάτω) είναι σε σειρά: \(15+15+15=45\ Ω\).
Παράλληλα με τη δεύτερη κάθετη 15 Ω: \(45//15=\dfrac{45\cdot15}{45+15}=11{,}25\ Ω\).
Σε σειρά με τις δύο οριζόντιες 15 Ω: \(15+11{,}25+15=41{,}25\ Ω\).
Παράλληλα με την πρώτη κάθετη 15 Ω: \(41{,}25//15=\dfrac{41{,}25\cdot15}{56{,}25}=11\ Ω\).
Σε σειρά με τις δύο οριζόντιες 15 Ω των ακροδεκτών: \(R_{AB}=15+11+15=41\ Ω\).

Απάντηση: R_AB = 41 Ω.

Πρόσεξε:

Στα κλιμακωτά κυκλώματα η απλοποίηση ξεκινά πάντα από το άκρο που βρίσκεται μακριά από τους ακροδέκτες.
Δούλεψε βήμα-βήμα, σημειώνοντας κάθε ισοδύναμη ομάδα.

Πρόβλημα 3 — ισοδύναμη R_AB

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση \(R_{AB}\) στο παρακάτω κύκλωμα. (12 Ω) (Στο σχήμα: αντιστάσεις 1,2 Ω, 108 Ω, 20 Ω, 5 Ω, 72 Ω, 24 Ω, 3 Ω, 2 Ω, 9 Ω, 12 Ω και 6 Ω.)

Πώς σκεφτόμαστε: Διαδοχική απλοποίηση σειρά/παράλληλα ξεκινώντας από το δεξί άκρο του κυκλώματος, το πιο απομακρυσμένο από τους ακροδέκτες Α, Β.

Λύση:

Δεξί άκρο: 12 Ω και 6 Ω σε σειρά: \(12+6=18\ Ω\)· παράλληλα με τη διαγώνια 9 Ω: \(18//9=\dfrac{18\cdot9}{27}=6\ Ω\).
Σε σειρά με τα 2 Ω: \(6+2=8\ Ω\)· παράλληλα με την κάθετη 24 Ω: \(8//24=\dfrac{8\cdot24}{32}=6\ Ω\).
Σε σειρά με τα 3 Ω: \(6+3=9\ Ω\)· παράλληλα με τη διαγώνια 72 Ω: \(9//72=\dfrac{9\cdot72}{81}=8\ Ω\).
Οι 20 Ω και 5 Ω είναι παράλληλα: \(20//5=\dfrac{100}{25}=4\ Ω\)· σε σειρά με τα 8 Ω: \(4+8=12\ Ω\).
Παράλληλα με την κάθετη 108 Ω: \(12//108=\dfrac{12\cdot108}{120}=10{,}8\ Ω\).
Σε σειρά με την 1,2 Ω: \(R_{AB}=1{,}2+10{,}8=12\ Ω\).

Απάντηση: R_AB = 12 Ω.

Πρόσεξε:

Οι διαγώνιες αντιστάσεις (72 Ω, 9 Ω) συνδέουν κόμβους της πάνω και της κάτω γραμμής — εντόπισε σε ποιους κόμβους καταλήγουν πριν τις συνδυάσεις.
Δούλεψε βήμα-βήμα από το άκρο προς τους ακροδέκτες.

Πρόβλημα 4 — λάμπες ΚΑΙ στοιχεία τροφοδοσίας

Εκφώνηση: 12 λάμπες με αντίσταση 6 Ω η καθεμιά σχηματίζουν τρεις όμοιες σειρές συνδεδεμένες παράλληλα. α) Να υπολογιστεί η ολική αντίσταση. β) Πόσα στοιχεία ΗΕΔ = 1,8 V και r = 0,2 Ω συνδεόμενα σε σειρά πρέπει να τροφοδοτήσουν το κύκλωμα, ώστε το ρεύμα κάθε λάμπας να μην είναι μικρότερο των 1,2 A; (α) \(R_{ΟΛ}=8\ Ω\), β) n ≥ 27)

Πώς σκεφτόμαστε: α) Κάθε σειρά έχει 12/3=4 λάμπες (4·6=24Ω)· τρεις τέτοιες παράλληλα δίνουν 24/3=8Ω. β) Το ρεύμα κάθε σειράς είναι 1,2A, ολικό 3·1,2=3,6A· γράφουμε \(nE-I r_{ολ}=I R_{ολ}\) (με n στοιχεία σε σειρά, r_ολ=n·0,2) και λύνουμε για n.

Λύση:

α) Κάθε σειρά: \(4\cdot6=24\ Ω\)· τρεις παράλληλα: \(R_{ολ}=24/3=8\ Ω\).
β) Ολικό ρεύμα \(I=3\cdot1{,}2=3{,}6\ A\). Τάση στις λάμπες: \(V=I R_{ολ}=3{,}6\cdot8=28{,}8\ V\).
\( nE=V+I\,r_{ολ}=28{,}8+3{,}6\cdot(n\cdot0{,}2)\Rightarrow 1{,}8n=28{,}8+0{,}72n\Rightarrow 1{,}08n=28{,}8\Rightarrow n=26{,}7 \)
Άρα χρειάζονται \(n\ge 27\) στοιχεία.

Απάντηση: α) R_ολ = 8 Ω. β) n ≥ 27 στοιχεία.

Πρόσεξε:

Το «να μην είναι μικρότερο» οδηγεί σε ανίσωση ⇒ στρογγυλοποιούμε ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ (27).
Η εσωτερική αντίσταση των n στοιχείων σε σειρά είναι \(n\cdot0{,}2\).

Πρόβλημα 5 — πλήθος παράλληλων λαμπτήρων

Εκφώνηση: Πόσες παράλληλα συνδεδεμένες λάμπες τάσης 110 V και έντασης 0,5 A μπορούμε να τροφοδοτήσουμε κανονικά με τη βοήθεια συστοιχίας, η οποία αποτελείται από 60 σε σειρά συνδεδεμένα στοιχεία, εάν το καθένα έχει ΗΕΔ = 1,86 V και εσωτερική αντίσταση r = 0,005 Ω; (11)

Πώς σκεφτόμαστε: Η συστοιχία δίνει \(E_{ολ}=60\cdot1{,}86\) και \(r_{ολ}=60\cdot0{,}005\). Οι x λαμπτήρες παράλληλα ζητούν 110V στα άκρα τους και ολικό ρεύμα \(0{,}5x\). Γράφουμε \(E_{ολ}-I r_{ολ}=110\).

Λύση:

\( E_{ολ}=60\cdot1{,}86=111{,}6\ V,\quad r_{ολ}=60\cdot0{,}005=0{,}3\ Ω \)
\( 111{,}6-(0{,}5x)\cdot0{,}3=110\Rightarrow 0{,}15x=1{,}6\Rightarrow x\approx10{,}67 \)
Ο αριθμός των λαμπτήρων είναι ακέραιος. Με x = 11 η τάση στους λαμπτήρες είναι \(111{,}6-5{,}5\cdot0{,}3=109{,}95\ V\approx110\ V\), δηλαδή πρακτικά ίση με την κανονική τάση λειτουργίας τους.

Απάντηση: 11 λαμπτήρες (με 11 λαμπτήρες η τάση τους είναι 109,95 V ≈ 110 V).

Πρόσεξε:

Αυστηρά, για να μην πέσει η τάση κάτω από τα 110 V πρέπει x ≤ 10,67, δηλαδή 10 λαμπτήρες· το βιβλίο δίνει 11, γιατί με 11 η τάση (109,95 V) διαφέρει αμελητέα από τα 110 V.
Το ολικό ρεύμα των παράλληλων λαμπτήρων είναι \(0{,}5\cdot x\)· η πτώση τάσης στην εσωτερική αντίσταση περιορίζει το πλήθος.

Πρόβλημα 6 — λάμπα σε σειρά με θερμάστρα

Εκφώνηση: Ηλεκτρική λάμπα με ισχύ 45 W και τάση λειτουργίας 6 V συνδέεται σε σειρά με ηλεκτρική θερμάστρα με ισχύ 870 W και τάση λειτουργίας 110 V. Να εξεταστεί αν η λάμπα λειτουργεί κανονικά ή όχι. (απάντ. λειτουργεί κανονικά)

Πώς σκεφτόμαστε: Από τα ονομαστικά στοιχεία βρίσκουμε τις αντιστάσεις (\(R=V^2/P\)) και το ονομαστικό ρεύμα της λάμπας (\(I=P/V\)). Η εκφώνηση δεν δίνει άλλη τάση τροφοδοσίας, οπότε θεωρούμε ότι το σύστημα συνδέεται στην τάση λειτουργίας της θερμάστρας (110 V). Βρίσκουμε το κοινό ρεύμα της σειράς και την τάση στη λάμπα.

Λύση:

Λάμπα: \(R_Λ=\dfrac{6^2}{45}=0{,}8\ Ω\), ονομαστικό ρεύμα \(I_Λ=\dfrac{45}{6}=7{,}5\ A\).
Θερμάστρα: \(R_Θ=\dfrac{110^2}{870}\approx13{,}91\ Ω\).
Κοινό ρεύμα σε σειρά: \(I=\dfrac{110}{0{,}8+13{,}91}\approx7{,}48\ A\).
Τάση στη λάμπα: \(V_Λ=I\cdot R_Λ\approx7{,}48\cdot0{,}8\approx5{,}98\ V\approx6\ V\).

Απάντηση: Η λάμπα λειτουργεί κανονικά: διαρρέεται από ≈7,48 A ≈ 7,5 A και έχει τάση ≈5,98 V ≈ 6 V, δηλαδή τα ονομαστικά της μεγέθη.

Πρόσεξε:

Σε σειρά κρίνει το ΚΟΙΝΟ ρεύμα· «κανονική λειτουργία» ⇔ πραγματικό ρεύμα/τάση ≈ ονομαστικά.
Η αντίσταση της λάμπας (0,8 Ω) είναι πολύ μικρή σε σχέση με της θερμάστρας, γι' αυτό η θερμάστρα καθορίζει σχεδόν μόνη της το ρεύμα.

Πρόβλημα 7 — αντίσταση για αύξηση ισχύος

Εκφώνηση: Συσκευή λειτουργεί με τάση 120 (V) και καταναλίσκει ισχύ 600 (W). Ποια αντίσταση πρέπει να συνδεθεί με τη συσκευή και με ποιο τρόπο ώστε το σύστημα να καταναλώνει 900 (W); (48 Ω παράλληλα)

Πώς σκεφτόμαστε: Στα ίδια 120V θέλουμε επιπλέον ισχύ \(900-600=300W\). Αν συνδέσουμε αντίσταση ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ, αυτή βλέπει τα 120V και καίει τα επιπλέον 300W: \(R=V^2/P\).

Λύση:

Επιπλέον ισχύς: \(900-600=300\ W\) στα 120V.
\( R=\dfrac{V^2}{P}=\dfrac{120^2}{300}=48\ Ω \) (παράλληλα).

Απάντηση: R = 48 Ω, συνδεδεμένη ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ.

Πρόσεξε:

Παράλληλα ⇒ ίδια τάση 120V στη νέα αντίσταση, άρα προσθέτει ισχύ χωρίς να αλλάξει η συσκευή.
Σε σειρά θα ΜΕΙΩΝΕ την ισχύ της συσκευής — λάθος επιλογή εδώ.

Πρόβλημα 8 — μικτό κύκλωμα

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος να βρεθούν: α) Το ολικό ρεύμα β) Η ένταση του ρεύματος που περνάει από κάθε αντίσταση και γ) η τάση σε κάθε αντίσταση. (Στο σχήμα: πηγή 46 V, αντίσταση 1 Ω σε σειρά, και στη συνέχεια αντίσταση 2 Ω παράλληλα με τον κλάδο 3 Ω + 4 Ω.) (α) Ιολ = 18 Α, β, γ) Αντίσταση 1 Ω: 18 Α, 18 V, Αντίσταση 2 Ω: 14 Α, 28 V, Αντίσταση 4 Ω: 4 Α, 16 V, Αντίσταση 3 Ω: 4 Α, 12 V)

Πώς σκεφτόμαστε: Ίδια μεθοδολογία με την Εφαρμογή 7: απλοποίηση, ολικό ρεύμα, κοινές τάσεις παράλληλων ομάδων, επιμέρους ρεύματα.

Λύση:

Κλάδος 3 Ω + 4 Ω σε σειρά: \(7\ Ω\)· παράλληλα με 2 Ω: \(2//7=\dfrac{14}{9}\approx1{,}56\ Ω\).
\(R_{ολ}=1+\dfrac{14}{9}=\dfrac{23}{9}\ Ω\) ⇒ α) \(I_{ολ}=\dfrac{46}{23/9}=18\ A\).
Αντίσταση 1 Ω: \(18\ A\), \(V=18\cdot1=18\ V\).
Τάση στον παράλληλο συνδυασμό: \(46-18=28\ V\) ⇒ αντίσταση 2 Ω: \(I=28/2=14\ A\), 28 V.
Κλάδος 3 Ω + 4 Ω: \(I=28/7=4\ A\) ⇒ 3 Ω: 4 A, 12 V· 4 Ω: 4 A, 16 V.

Απάντηση: α) I_ολ=18A. β,γ) 1Ω→18A/18V, 2Ω→14A/28V, 4Ω→4A/16V, 3Ω→4A/12V.

Πρόσεξε:

Έλεγχος Ν.Ρ.Κ.: 14+4=18=I_ολ ✓. Έλεγχος τάσεων παράλληλου κλάδου: 28=16+12 ✓.
Το κύκλωμα είναι ίδιο με το (β) του Προβλήματος 11.

Πρόβλημα 9 — νόμοι Kirchhoff

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος να βρεθούν με χρήση των νόμων του Kirchhoff οι τάσεις και τα ρεύματα όλων των κλάδων. (Στο σχήμα: κόμβοι Α (πάνω), Β (αριστερά), Γ (κάτω) και δεξιός κόμβος — εδώ Δ. Κλάδοι: 5 A από το Γ προς το Α (εξωτερικός αριστερός)· 10 V μεταξύ Α (+) και Γ (−) (εξωτερικός δεξιός)· 3 A από το Β προς το Α· 5 V μεταξύ Α (+) και Δ (−)· 4 A από το Β προς το Δ· 7 V μεταξύ Β (+) και Γ (−)· 2 A από το Γ προς το Δ.)

Πώς σκεφτόμαστε: Στους κλάδους με γνωστό ρεύμα άγνωστη είναι η τάση, και στους κλάδους με γνωστή τάση άγνωστο είναι το ρεύμα. Με Ν.Ρ.Κ. στους κόμβους βρίσκουμε τα άγνωστα ρεύματα, και με Ν.Τ.Κ. (ή, ισοδύναμα, με τα δυναμικά των κόμβων) τις άγνωστες τάσεις.

Λύση:

Κόμβος Β (Ν.Ρ.Κ.): φεύγουν 3 A και 4 A, άρα από τον κλάδο των 7 V πρέπει να έρχονται \(3+4=7\ A\) (ρεύμα 7 A από το Γ προς το Β).
Κόμβος Δ: έρχονται 4 A και 2 A, άρα από τον κλάδο των 5 V φεύγουν \(4+2=6\ A\) (ρεύμα 6 A από το Δ προς το Α).
Κόμβος Α: έρχονται \(5+3+6=14\ A\), άρα ο κλάδος των 10 V διαρρέεται από 14 A (από το Α προς το Γ). Έλεγχος στον κόμβο Γ: έρχονται 14 A, φεύγουν \(5+7+2=14\ A\) ✓.
Τάσεις (Ν.Τ.Κ.): \(V_{AΓ}=10\ V\) (τάση και του κλάδου των 5 A), \(V_{BΓ}=7\ V\), \(V_{AΔ}=5\ V\).
Βρόχος Α-Β-Γ: \(V_{AB}=V_{AΓ}-V_{BΓ}=10-7=3\ V\) (τάση του κλάδου των 3 A).
Βρόχος Α-Δ-Γ: \(V_{ΔΓ}=V_{AΓ}-V_{AΔ}=10-5=5\ V\) (τάση του κλάδου των 2 A).
Βρόχος Β-Δ-Γ: \(V_{BΔ}=V_{BΓ}-V_{ΔΓ}=7-5=2\ V\) (τάση του κλάδου των 4 A).

Απάντηση: Ρεύματα: κλάδος 7 V → 7 A (από Γ προς Β), κλάδος 5 V → 6 A (από Δ προς Α), κλάδος 10 V → 14 A (από Α προς Γ). Τάσεις: κλάδος 5 A → 10 V, κλάδος 3 A → V_AB = 3 V, κλάδος 4 A → V_BΔ = 2 V, κλάδος 2 A → V_ΔΓ = 5 V.

Πρόσεξε:

Στο σχήμα του βιβλίου ο δεξιός κόμβος σημειώνεται κι αυτός «Α»· είναι διαφορετικός κόμβος από τον πάνω Α, γι' αυτό εδώ ονομάστηκε Δ.
Τήρησε σταθερή σύμβαση προσήμων: με \(V_Γ=0\) τα δυναμικά είναι \(V_A=10\ V\), \(V_B=7\ V\), \(V_Δ=5\ V\) και όλες οι τάσεις προκύπτουν ως διαφορές τους.

Πρόβλημα 10 — θερμάστρα τριών αντιστάσεων

Εκφώνηση: Ηλεκτρική θερμάστρα τριών αντιστάσεων \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) τροφοδοτείται με τάση 220 V. Όταν λειτουργεί η \(R_1\), η θερμάστρα ξοδεύει 880 (W). Όταν λειτουργούν οι \(R_1\), \(R_2\) (παράλληλα) η θερμάστρα ξοδεύει 1280 (W). Τέλος, όταν λειτουργούν και οι τρεις αντιστάσεις (παράλληλα) η θερμάστρα ξοδεύει 2280 (W). Να υπολογισθούν οι αντιστάσεις \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\). (55 Ω, 121 Ω, 48,8 Ω)

Πώς σκεφτόμαστε: Κάθε κατάσταση δίνει μια ισοδύναμη αντίσταση \(R=V^2/P\). Από τις διαδοχικές παράλληλες συνδέσεις απομονώνουμε κάθε άγνωστη αντίσταση.

Λύση:

\( R_1=\dfrac{220^2}{880}=55\ Ω \)
\( R_{1,2}=\dfrac{220^2}{1280}=37{,}81\ Ω\Rightarrow \dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{37{,}81}-\dfrac{1}{55}\Rightarrow R_2\approx121\ Ω \)
\( R_{1,2,3}=\dfrac{220^2}{2280}=21{,}23\ Ω\Rightarrow \dfrac{1}{R_3}=\dfrac{1}{21{,}23}-\dfrac{1}{55}-\dfrac{1}{121}\Rightarrow R_3\approx48{,}4\ Ω \)

Απάντηση: R₁=55 Ω, R₂≈121 Ω, R₃≈48,4 Ω.

Πρόσεξε:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει R₃ = 48,8 Ω· ο ακριβής υπολογισμός δίνει R₃ = 220²/1000 = 48,4 Ω (η R₃ καταναλώνει μόνη της 2280 − 1280 = 1000 W).
Δούλεψε με ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΕΣ (1/R) στις παράλληλες συνδέσεις.

Πρόβλημα 11 — διαιρέτες τάσης ΚΑΙ ρεύματος

Εκφώνηση: Για καθένα από τα παρακάτω κυκλώματα να βρεθεί η τάση \(V_x\) και το ρεύμα \(I_x\) με χρήση διαιρετών τάσης και ρεύματος. (α) Vx = 9V, Ix = 6Α, β) Vx = 16V, Ix = 14Α) (Στο σχήμα: (α) πηγή 21 V, αντίσταση 1 Ω σε σειρά (τάση \(V_x\)), και στη συνέχεια 4 Ω παράλληλα με 2 Ω (ρεύμα \(I_x\) στα 2 Ω). (β) πηγή 46 V, αντίσταση 1 Ω σε σειρά, και στη συνέχεια 2 Ω (ρεύμα \(I_x\)) παράλληλα με τον κλάδο 3 Ω + 4 Ω (τάση \(V_x\) στα 4 Ω).)

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε για να βρούμε το ολικό ρεύμα/τάση κόμβου, μετά εφαρμόζουμε διαιρέτη τάσης (για V_x) ή ρεύματος (για I_x).

Λύση:

(α) \(4//2=\dfrac{8}{6}=1{,}33\ Ω\), \(R_{ΟΛ}=1+1{,}33=2{,}33\ Ω\), \(I=\dfrac{21}{2{,}33}=9\ A\).
\(V_x=I\cdot1=9\ V\)· διαιρέτης ρεύματος στο 2Ω: \(I_x=9\cdot\dfrac{4}{4+2}=6\ A\).
(β) \(3+4=7\ Ω\), \(2//7=\dfrac{14}{9}=1{,}56\ Ω\), \(R_{ΟΛ}=1+1{,}56=2{,}56\ Ω\), \(I=\dfrac{46}{2{,}56}=18\ A\).
Τάση κόμβου \(=18\cdot1{,}56=28\ V\Rightarrow I_x=\dfrac{28}{2}=14\ A\)· ρεύμα κλάδου 3+4: \(\dfrac{28}{7}=4A\Rightarrow V_x=4\cdot4=16\ V\).

Απάντηση: (α) V_x=9V, I_x=6A. (β) V_x=16V, I_x=14A.

Πρόσεξε: