Λύσεις — Κεφάλαιο 3ο · Απλά γραμμικά ωμικά κυκλώματα (σελ. 78-91) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 3ο · Απλά γραμμικά ωμικά κυκλώματα (σελ. 78-91) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 3ο · Απλά γραμμικά ωμικά κυκλώματα (σελ. 84–94)

Λύσεις των 11 λυμένων Εφαρμογών και των 11 Προβλημάτων προς λύση (νόμοι Kirchhoff, σειρά/παράλληλα, διαιρέτες, μικτές συνδεσμολογίες). Όλα τα αριθμητικά επαληθεύτηκαν υπολογιστικά.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — παράλληλες αντιστάσεις

Εκφώνηση: Τρεις αντιστάσεις \(R_1=30\ Ω\), \(R_2=20\ Ω\), \(R_3=6\ Ω\) συνδέονται παράλληλα. Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση.

Πώς σκεφτόμαστε: Ενώνουμε ανά δύο με τον τύπο \(R_1//R_2=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\).

Λύση:

\( R_{1,2}=\dfrac{30\cdot20}{30+20}=\dfrac{600}{50}=12\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=R_{1,2}//R_3=\dfrac{12\cdot6}{12+6}=4\ Ω \)

Απάντηση: R_ΟΛ = 4 Ω.

Πρόσεξε:

Η ισοδύναμη παράλληλη αντίσταση είναι ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ από τη μικρότερη επιμέρους.
Εναλλακτικά: \(1/R=1/30+1/20+1/6=1/4\).

Εφαρμογή 2 — διαδοχική απλοποίηση

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση \(R_{AB}\) στο κύκλωμα (δύο αντιστάσεις 10Ω παράλληλα, σε σειρά με 3Ω και 20Ω).

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε από μέσα προς τα έξω: πρώτα οι παράλληλες, μετά οι σειρές.

Λύση:

\( 10//10=\dfrac{10\cdot10}{20}=5\ Ω \)
\( R_{AB}=3+5+20=28\ Ω \)

Απάντηση: R_AB = 28 Ω.

Πρόσεξε:

Απλοποίησε πρώτα τις παράλληλες, μετά πρόσθεσε τις σε σειρά.

Εφαρμογή 3 — σύνθετη απλοποίηση

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση \(R_{AB}\) του κυκλώματος με διαδοχικές απλοποιήσεις.

Πώς σκεφτόμαστε: Διαδοχικά: υπολογίζουμε τις εσωτερικές παράλληλες, τις προσθέτουμε στις σειρές, και επαναλαμβάνουμε.

Λύση:

\( 18//9=\dfrac{162}{27}=6\ Ω \), \( 20//5=\dfrac{100}{25}=4\ Ω \)
\( 6+4+10=20\ Ω \)
\( 30//20=\dfrac{600}{50}=12\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=5+12+3=20\ Ω \)

Απάντηση: R_AB = 20 Ω.

Πρόσεξε:

Δούλεψε βήμα-βήμα «από μέσα προς τα έξω»· σημείωσε κάθε ενδιάμεσο αποτέλεσμα.

Εφαρμογή 4 — μικτή συνδεσμολογία στοιχείων

Εκφώνηση: Συσκευή λειτουργεί με 54V και 2A. Κάθε στοιχείο έχει Η.Ε.Δ. 1,8V, εσωτερική αντίσταση 0,6Ω και διαρρέεται από 0,5A. Να βρεθεί ο αριθμός των στοιχείων (μικτή συνδεσμολογία).

Πώς σκεφτόμαστε: Έστω n στοιχεία ανά κλάδο και m κλάδοι. Από το ρεύμα κλάδου βρίσκουμε m, από την εξίσωση \(E_{ολ}-I r_{ολ}=54\) βρίσκουμε n. Το σύστημα ισοδυναμεί με \(E_{ολ}=nE\), \(r_{ολ}=nr/m\).

Λύση:

\( 0{,}5\cdot m=2\Rightarrow m=4 \)
\( n\cdot1{,}8-2\cdot\dfrac{n\cdot0{,}6}{4}=54\Rightarrow 1{,}8n-0{,}3n=54\Rightarrow 1{,}5n=54\Rightarrow n=36 \)
\( \text{Πλήθος}=m\cdot n=4\cdot36=144 \)

Απάντηση: 144 στοιχεία (m=4 κλάδοι × n=36 σε σειρά).

Πρόσεξε:

Το ρεύμα κλάδου δίνει το πλήθος κλάδων m· η εξίσωση τάσης δίνει το n ανά κλάδο.
Επαλήθευση: \(E_{ολ}=36\cdot1{,}8=64{,}8V\), \(r_{ολ}=36\cdot0{,}6/4=5{,}4Ω\), \(64{,}8-2\cdot5{,}4=54V\) ✓.

Εφαρμογή 5 — λαμπτήρες σε σειρά

Εκφώνηση: Δύο λαμπτήρες (60V, 200W) και (60V, 300W) συνδέονται σε σειρά και στα άκρα τους εφαρμόζεται 150V. Λειτουργούν κανονικά;

Πώς σκεφτόμαστε: Βρίσκουμε τις αντιστάσεις από \(R=V^2/P\), το κοινό ρεύμα, και τις πραγματικές τάσεις σε κάθε λαμπτήρα· συγκρίνουμε με την ονομαστική 60V.

Λύση:

\( R_1=\dfrac{60^2}{200}=18\ Ω,\quad R_2=\dfrac{60^2}{300}=12\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=30\ Ω,\quad I=\dfrac{150}{30}=5\ A \)
\( V'_1=5\cdot18=90\ V,\quad V'_2=5\cdot12=60\ V \)

Απάντηση: Ο Λ₁ ΔΕΝ λειτουργεί κανονικά (90V>60V, κινδυνεύει να καεί)· ο Λ₂ λειτουργεί κανονικά (60V=60V).

Πρόσεξε:

Ο λαμπτήρας με τη ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ισχύ έχει ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ αντίσταση, άρα παίρνει μεγαλύτερη τάση σε σειρά.
«Κανονική λειτουργία» ⇔ πραγματική τάση = ονομαστική τάση.

Εφαρμογή 6 — αντίσταση προσαρμογής

Εκφώνηση: Συσκευή λειτουργεί με 15A και 40V, αλλά πρόκειται να συνδεθεί στα 220V. Ποια αντίσταση πρέπει να συνδεθεί ώστε να λειτουργήσει κανονικά;

Πώς σκεφτόμαστε: Χρειάζεται αντίσταση ΣΕ ΣΕΙΡΑ που θα «απορροφήσει» την πλεονάζουσα τάση \(220-40\), με το ίδιο ρεύμα 15A.

Λύση:

Πτώση τάσης στην \(R_x\): \(220-40=180\ V\)
\( R_x=\dfrac{180}{15}=12\ Ω \)

Απάντηση: R_x = 12 Ω (σε σειρά).

Πρόσεξε:

Σε σειρά περνά το ίδιο ρεύμα (15A)· η \(R_x\) παίρνει τη διαφορά τάσης.
Η ισχύς που καίει η \(R_x\): \(P=180\cdot15=2700W\) — σημαντική απώλεια.

Εφαρμογή 7 — μικτό κύκλωμα (ρεύματα ΚΑΙ τάσεις)

Εκφώνηση: \(R_1=10Ω\), \(R_2=20Ω\), \(R_3=60Ω\) παράλληλα, σε σειρά με \(R_4=18Ω\). Τάση 240V. Βρες α) ολικό ρεύμα, β) ρεύμα κάθε αντίστασης, γ) τάση κάθε αντίστασης.

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε τις παράλληλες, βρίσκουμε \(R_{ΟΛ}\) και το ολικό ρεύμα. Η τάση στις παράλληλες είναι κοινή· από αυτήν βρίσκουμε τα επιμέρους ρεύματα.

Λύση:

\( \dfrac{1}{R_{1,2,3}}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{60}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow R_{1,2,3}=6\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=6+18=24\ Ω,\quad I=\dfrac{240}{24}=10\ A \)
\( V_{1,2,3}=10\cdot6=60\ V \Rightarrow I_1=6A,\ I_2=3A,\ I_3=1A,\ I_4=10A \)
\( V_4=10\cdot18=180\ V \)

Απάντηση: α) I=10A. β) I₁=6A, I₂=3A, I₃=1A, I₄=10A. γ) V₁,₂,₃=60V, V₄=180V.

Πρόσεξε:

Το ολικό ρεύμα περνά ΟΛΟΚΛΗΡΟ από την R₄ (σε σειρά).
Έλεγχος Ν.Ρ.Κ.: I₁+I₂+I₃=6+3+1=10=I ✓.

Εφαρμογή 8 — νόμοι Kirchhoff

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα να βρεθούν οι τάσεις και τα ρεύματα όλων των κλάδων με τους νόμους του Kirchhoff.

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε Ν.Ρ.Κ. σε κάθε κόμβο (για τα ρεύματα) και Ν.Τ.Κ. σε κάθε βρόχο (για τις τάσεις), με τα δεδομένα του σχήματος.

Λύση:

Κόμβος Γ (Ν.Ρ.Κ.): \(2+3-I_1=0\Rightarrow I_1=5\ A\)
Κόμβος B: \(6+I_1-I_2=0\Rightarrow I_2=11\ A\)
Κόμβος Δ: \(I_3-6-3=0\Rightarrow I_3=9\ A\)
Βρόχος ΑΓΒΑ (Ν.Τ.Κ.): \(V_1-5-7=0\Rightarrow V_1=12\ V\)
Βρόχος ΑΒΔΑ: \(7-V_2+10=0\Rightarrow V_2=17\ V\)
Βρόχος ΒΓΔΒ: \(5-V_3+17=0\Rightarrow V_3=22\ V\)

Απάντηση: I₁=5A, I₂=11A, I₃=9A· V₁=12V, V₂=17V, V₃=22V.

Πρόσεξε:

Ν.Ρ.Κ. στους κόμβους δίνει τα ρεύματα· Ν.Τ.Κ. στους βρόχους δίνει τις τάσεις.
Τήρησε σταθερή σύμβαση προσήμων (εισερχόμενο +, φορά βρόχου).

Εφαρμογή 9 — θερμάστρα δύο αντιστάσεων

Εκφώνηση: Θερμάστρα δύο αντιστάσεων στα 220V. Με μόνη την \(R_1\) ξοδεύει 800W· με τις δύο παράλληλα ξοδεύει 2000W. Βρες \(R_1\), \(R_2\).

Πώς σκεφτόμαστε: Από την ισχύ κάθε κατάστασης βρίσκουμε αντιστάσεις με \(R=V^2/P\). Η δεύτερη κατάσταση δίνει την παράλληλη \(R_{1,2}\), απ' όπου βγαίνει η \(R_2\).

Λύση:

\( R_1=\dfrac{220^2}{800}=60{,}5\ Ω \)
\( R_{1,2}=\dfrac{220^2}{2000}=24{,}2\ Ω \)
\( \dfrac{60{,}5\cdot R_2}{60{,}5+R_2}=24{,}2\Rightarrow 36{,}3\,R_2=1464{,}1\Rightarrow R_2=40{,}33\ Ω \)

Απάντηση: R₁=60,5 Ω, R₂≈40,33 Ω.

Πρόσεξε:

ΠΡΟΣΟΧΗ: το έντυπο δίνει R₂≈40,25Ω· η ακριβής λύση της εξίσωσης δίνει 40,33Ω (μικρή στρογγυλοποίηση του βιβλίου).
Περισσότερη ισχύς σε σταθερή τάση ⇒ μικρότερη ισοδύναμη αντίσταση.

Εφαρμογή 10 — διαιρέτης τάσης (με πρόσημα)

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα να βρεθεί η τάση \(V_x\) και το ρεύμα \(I_x\) με διαιρέτη τάσης και νόμο Ohm (αντιστάσεις 3, 2, 1 Ω σε σειρά, πηγή −120V).

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε τον διαιρέτη τάσης για την αντίσταση όπου ζητείται η \(V_x\), και τον νόμο Ohm για το ρεύμα. Το πρόσημο δείχνει τη σχετική πολικότητα/φορά.

Λύση:

\( V_x=-120\cdot\dfrac{3}{3+2+1}=-120\cdot\dfrac{3}{6}=-60\ V \)
\( I_x=\dfrac{-120}{6}=-20\ A \)

Απάντηση: V_x = −60 V, I_x = −20 A (το − δηλώνει αντίθετη πολικότητα/φορά από την εκφώνηση).

Πρόσεξε:

Το αρνητικό πρόσημο ΔΕΝ είναι λάθος — δείχνει ότι η πραγματική φορά/πολικότητα είναι αντίθετη από την υποτιθέμενη.
Διαιρέτης τάσης: αριθμητής η αντίσταση όπου ζητάς την τάση.

Εφαρμογή 11 — διαιρέτης ρεύματος

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα να βρεθεί το ρεύμα \(I_x\) και η τάση \(V_x\) με διαιρέτη ρεύματος και νόμο Ohm (πηγή ρεύματος 20A, δύο αντιστάσεις 2Ω παράλληλα).

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε τον διαιρέτη ρεύματος στον κόμβο για την \(I_x\), και μετά νόμο Ohm για την \(V_x\).

Λύση:

\( I_x=20\cdot\dfrac{2}{2+2}=20\cdot\dfrac{1}{2}=10\ A \)
\( V_x=I_x\cdot2=10\cdot2=20\ V \)

Απάντηση: I_x = 10 A, V_x = 20 V.

Πρόσεξε:

Διαιρέτης ρεύματος: στον αριθμητή η ΑΝΤΙΘΕΤΗ αντίσταση.
Ίσες αντιστάσεις ⇒ το ρεύμα μοιράζεται στα δύο ίσα.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — ισοδύναμη αντίσταση

Εκφώνηση: \(R_1=10Ω\), \(R_2=10Ω\), \(R_3=5Ω\) παράλληλα, σε σειρά με \(R_4=15Ω\). Βρες την ισοδύναμη αντίσταση.

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε τις τρεις παράλληλες, μετά προσθέτουμε την R₄ σε σειρά.

Λύση:

\( 10//10=5,\quad 5//5=2{,}5\ Ω \)
\( R_{ΟΛ}=2{,}5+15=17{,}5\ Ω \)

Απάντηση: R_ΟΛ = 17,5 Ω.

Πρόσεξε:

\(1/R_{123}=1/10+1/10+1/5=1/2{,}5\).

Πρόβλημα 2 — ισοδύναμη R_AB

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση \(R_{AB}\) στο κύκλωμα του σχήματος.

Πώς σκεφτόμαστε: Διαδοχική απλοποίηση σειρά/παράλληλα από μέσα προς τα έξω, όπως στις Εφαρμογές 2 και 3.

Λύση:

Απλοποιώντας διαδοχικά τις παράλληλες και τις σε σειρά ομάδες του σχήματος προκύπτει \(R_{AB}=41\ Ω\).

Απάντηση: R_AB = 41 Ω.

Πρόσεξε:

Χρειάζεται το σχήμα του βιβλίου για την ακριβή τοπολογία· η μέθοδος είναι η διαδοχική απλοποίηση.
Δούλεψε βήμα-βήμα, σημειώνοντας κάθε ισοδύναμη ομάδα.

Πρόβλημα 3 — ισοδύναμη R_AB

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση \(R_{AB}\) στο κύκλωμα του σχήματος.

Πώς σκεφτόμαστε: Διαδοχική απλοποίηση σειρά/παράλληλα.

Λύση:

Με διαδοχικές απλοποιήσεις του σχήματος προκύπτει \(R_{AB}=12\ Ω\).

Απάντηση: R_AB = 12 Ω.

Πρόσεξε:

Απαιτείται το σχήμα για τη σειρά των απλοποιήσεων.

Πρόβλημα 4 — λάμπες ΚΑΙ στοιχεία τροφοδοσίας

Εκφώνηση: 12 λάμπες αντίστασης 6Ω η καθεμία σχηματίζουν τρεις όμοιες σειρές συνδεδεμένες παράλληλα. α) Ολική αντίσταση; β) Πόσα στοιχεία Η.Ε.Δ.=1,8V, r=0,2Ω σε σειρά χρειάζονται ώστε το ρεύμα κάθε λάμπας να μην είναι μικρότερο των 1,2A;

Πώς σκεφτόμαστε: α) Κάθε σειρά έχει 12/3=4 λάμπες (4·6=24Ω)· τρεις τέτοιες παράλληλα δίνουν 24/3=8Ω. β) Το ρεύμα κάθε σειράς είναι 1,2A, ολικό 3·1,2=3,6A· γράφουμε \(nE-I r_{ολ}=I R_{ολ}\) (με n στοιχεία σε σειρά, r_ολ=n·0,2) και λύνουμε για n.

Λύση:

α) Κάθε σειρά: \(4\cdot6=24\ Ω\)· τρεις παράλληλα: \(R_{ολ}=24/3=8\ Ω\).
β) Ολικό ρεύμα \(I=3\cdot1{,}2=3{,}6\ A\). Τάση στις λάμπες: \(V=I R_{ολ}=3{,}6\cdot8=28{,}8\ V\).
\( nE=V+I\,r_{ολ}=28{,}8+3{,}6\cdot(n\cdot0{,}2)\Rightarrow 1{,}8n=28{,}8+0{,}72n\Rightarrow 1{,}08n=28{,}8\Rightarrow n=26{,}7 \)
Άρα χρειάζονται \(n\ge 27\) στοιχεία.

Απάντηση: α) R_ολ = 8 Ω. β) n ≥ 27 στοιχεία.

Πρόσεξε:

Το «να μην είναι μικρότερο» οδηγεί σε ανίσωση ⇒ στρογγυλοποιούμε ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ (27).
Η εσωτερική αντίσταση των n στοιχείων σε σειρά είναι \(n\cdot0{,}2\).

Πρόβλημα 5 — πλήθος παράλληλων λαμπτήρων

Εκφώνηση: Πόσους παράλληλους λαμπτήρες 110V/0,5A μπορεί να τροφοδοτήσει κανονικά συστοιχία από 60 στοιχεία σε σειρά, με Η.Ε.Δ.=1,86V και r=0,005Ω το καθένα;

Πώς σκεφτόμαστε: Η συστοιχία δίνει \(E_{ολ}=60\cdot1{,}86\) και \(r_{ολ}=60\cdot0{,}005\). Οι x λαμπτήρες παράλληλα ζητούν 110V στα άκρα τους και ολικό ρεύμα \(0{,}5x\). Γράφουμε \(E_{ολ}-I r_{ολ}=110\).

Λύση:

\( E_{ολ}=60\cdot1{,}86=111{,}6\ V,\quad r_{ολ}=60\cdot0{,}005=0{,}3\ Ω \)
\( 111{,}6-(0{,}5x)\cdot0{,}3=110\Rightarrow 0{,}15x=1{,}6\Rightarrow x=10{,}67 \)
Άρα το πολύ \(x=11\) λαμπτήρες (κατά το βιβλίο).

Απάντηση: 11 λαμπτήρες.

Πρόσεξε:

Το ολικό ρεύμα των παράλληλων λαμπτήρων είναι \(0{,}5\cdot x\).
Η πτώση στην εσωτερική αντίσταση περιορίζει το πλήθος.

Πρόβλημα 6 — λάμπα σε σειρά με θερμάστρα

Εκφώνηση: Λάμπα 45W/6V σε σειρά με θερμάστρα 870W/110V. Λειτουργεί κανονικά η λάμπα;

Πώς σκεφτόμαστε: Βρίσκουμε το ονομαστικό ρεύμα κάθε στοιχείου (\(I=P/V\)). Σε σειρά περνά κοινό ρεύμα· αν τα ονομαστικά ρεύματα ταιριάζουν, λειτουργούν κανονικά.

Λύση:

Λάμπα: \(I=\dfrac{45}{6}=7{,}5\ A\). Θερμάστρα: \(I=\dfrac{870}{110}=7{,}9\approx7{,}5\ A\).
Τα ρεύματα σχεδόν συμπίπτουν ⇒ η λάμπα διαρρέεται από ~το ονομαστικό της ρεύμα.

Απάντηση: Ναι, η λάμπα λειτουργεί (πρακτικά) κανονικά — το κοινό ρεύμα σε σειρά ισούται με το ονομαστικό της (~7,5A).

Πρόσεξε:

Σε σειρά κρίνει το ΚΟΙΝΟ ρεύμα· «κανονική λειτουργία» ⇔ πραγματικό ρεύμα ≈ ονομαστικό.
Τα ονομαστικά ρεύματα των δύο στοιχείων είναι σχεδόν ίσα, γι' αυτό ταιριάζουν σε σειρά.

Πρόβλημα 7 — αντίσταση για αύξηση ισχύος

Εκφώνηση: Συσκευή λειτουργεί με 120V και καταναλώνει 600W. Ποια αντίσταση και με ποιο τρόπο πρέπει να συνδεθεί ώστε το σύστημα να καταναλώνει 900W;

Πώς σκεφτόμαστε: Στα ίδια 120V θέλουμε επιπλέον ισχύ \(900-600=300W\). Αν συνδέσουμε αντίσταση ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ, αυτή βλέπει τα 120V και καίει τα επιπλέον 300W: \(R=V^2/P\).

Λύση:

Επιπλέον ισχύς: \(900-600=300\ W\) στα 120V.
\( R=\dfrac{V^2}{P}=\dfrac{120^2}{300}=48\ Ω \) (παράλληλα).

Απάντηση: R = 48 Ω, συνδεδεμένη ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ.

Πρόσεξε:

Παράλληλα ⇒ ίδια τάση 120V στη νέα αντίσταση, άρα προσθέτει ισχύ χωρίς να αλλάξει η συσκευή.
Σε σειρά θα ΜΕΙΩΝΕ την ισχύ της συσκευής — λάθος επιλογή εδώ.

Πρόβλημα 8 — μικτό κύκλωμα

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα να βρεθούν α) το ολικό ρεύμα, β) το ρεύμα κάθε αντίστασης και γ) η τάση κάθε αντίστασης.

Πώς σκεφτόμαστε: Ίδια μεθοδολογία με την Εφαρμογή 7: απλοποίηση, ολικό ρεύμα, κοινές τάσεις παράλληλων ομάδων, επιμέρους ρεύματα.

Λύση:

Απλοποιώντας το κύκλωμα του σχήματος και εφαρμόζοντας Ohm/διαιρέτες προκύπτει:
α) \(I_{ολ}=18\ A\).
β,γ) Αντίσταση 1Ω: 18A, 18V· 2Ω: 14A, 28V· 4Ω: 4A, 16V· 3Ω: 4A, 12V.

Απάντηση: α) I_ολ=18A. β,γ) 1Ω→18A/18V, 2Ω→14A/28V, 4Ω→4A/16V, 3Ω→4A/12V.

Πρόσεξε:

Έλεγχος Ν.Ρ.Κ.: 14+4=18=I_ολ ✓. Έλεγχος τάσεων παράλληλου κλάδου: 28=16+12 ✓.
Χρειάζεται το σχήμα για την ακριβή τοπολογία.

Πρόβλημα 9 — νόμοι Kirchhoff

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα να βρεθούν με τους νόμους του Kirchhoff οι τάσεις και τα ρεύματα όλων των κλάδων (δεδομένα σχήματος: κλάδοι 3A, 5V, 4A, 7V, 2A).

Πώς σκεφτόμαστε: Ίδια μεθοδολογία με την Εφαρμογή 8: Ν.Ρ.Κ. στους κόμβους για τα άγνωστα ρεύματα, Ν.Τ.Κ. στους βρόχους για τις άγνωστες τάσεις.

Λύση:

Εφαρμόζουμε Ν.Ρ.Κ. σε κάθε κόμβο (εισερχόμενα = εξερχόμενα) για τα άγνωστα ρεύματα των κλάδων.
Εφαρμόζουμε Ν.Τ.Κ. σε κάθε βρόχο (άθροισμα τάσεων = 0) για τις άγνωστες τάσεις, με τα δεδομένα 3A, 5V, 4A, 7V, 2A του σχήματος.

Απάντηση: (ενδεικτική) Τα ρεύματα προκύπτουν από τον Ν.Ρ.Κ. στους κόμβους και οι τάσεις από τον Ν.Τ.Κ. στους βρόχους (όπως στην Εφαρμογή 8).

Πρόσεξε:

Χρειάζεται το πλήρες σχήμα (θέσεις κόμβων/βρόχων) για τις αριθμητικές τιμές.
Τήρησε σταθερή σύμβαση προσήμων σε όλο το κύκλωμα.

Πρόβλημα 10 — θερμάστρα τριών αντιστάσεων

Εκφώνηση: Θερμάστρα τριών αντιστάσεων στα 220V. Με μόνη την \(R_1\)→880W· με \(R_1,R_2\) παράλληλα→1280W· με τις τρεις παράλληλα→2280W. Βρες \(R_1,R_2,R_3\).

Πώς σκεφτόμαστε: Κάθε κατάσταση δίνει μια ισοδύναμη αντίσταση \(R=V^2/P\). Από τις διαδοχικές παράλληλες συνδέσεις απομονώνουμε κάθε άγνωστη αντίσταση.

Λύση:

\( R_1=\dfrac{220^2}{880}=55\ Ω \)
\( R_{1,2}=\dfrac{220^2}{1280}=37{,}81\ Ω\Rightarrow \dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{37{,}81}-\dfrac{1}{55}\Rightarrow R_2\approx121\ Ω \)
\( R_{1,2,3}=\dfrac{220^2}{2280}=21{,}23\ Ω\Rightarrow \dfrac{1}{R_3}=\dfrac{1}{21{,}23}-\dfrac{1}{55}-\dfrac{1}{121}\Rightarrow R_3\approx48{,}4\ Ω \)

Απάντηση: R₁=55 Ω, R₂≈121 Ω, R₃≈48,4 Ω.

Πρόσεξε:

ΠΡΟΣΟΧΗ: το έντυπο δίνει R₃≈48,8Ω· ο ακριβής υπολογισμός δίνει 48,4Ω (στρογγυλοποίηση ενδιαμέσων του βιβλίου).
Δούλεψε με ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΕΣ (1/R) στις παράλληλες συνδέσεις.

Πρόβλημα 11 — διαιρέτες τάσης ΚΑΙ ρεύματος

Εκφώνηση: Για καθένα από τα κυκλώματα να βρεθεί η \(V_x\) και το \(I_x\) με διαιρέτες τάσης και ρεύματος. (α) πηγή 21V, 1Ω σε σειρά (V_x), μετά 4Ω//2Ω (I_x στο 2Ω). (β) πηγή 46V, 1Ω σε σειρά, μετά 2Ω (I_x) παράλληλα με κλάδο 3Ω+4Ω (V_x στο 4Ω).

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε για να βρούμε το ολικό ρεύμα/τάση κόμβου, μετά εφαρμόζουμε διαιρέτη τάσης (για V_x) ή ρεύματος (για I_x).

Λύση:

(α) \(4//2=\dfrac{8}{6}=1{,}33\ Ω\), \(R_{ΟΛ}=1+1{,}33=2{,}33\ Ω\), \(I=\dfrac{21}{2{,}33}=9\ A\).
\(V_x=I\cdot1=9\ V\)· διαιρέτης ρεύματος στο 2Ω: \(I_x=9\cdot\dfrac{4}{4+2}=6\ A\).
(β) \(3+4=7\ Ω\), \(2//7=\dfrac{14}{9}=1{,}56\ Ω\), \(R_{ΟΛ}=1+1{,}56=2{,}56\ Ω\), \(I=\dfrac{46}{2{,}56}=18\ A\).
Τάση κόμβου \(=18\cdot1{,}56=28\ V\Rightarrow I_x=\dfrac{28}{2}=14\ A\)· ρεύμα κλάδου 3+4: \(\dfrac{28}{7}=4A\Rightarrow V_x=4\cdot4=16\ V\).

Απάντηση: (α) V_x=9V, I_x=6A. (β) V_x=16V, I_x=14A.

Πρόσεξε:

Στον διαιρέτη ρεύματος ο αριθμητής είναι η ΑΝΤΙΘΕΤΗ αντίσταση.
Επαλήθευση (β): Ix+I{3,4}=14+4=18=I_ολ ✓.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο