Λύσεις — Κεφάλαιο 9ο · Εναλλασσόμενο ρεύμα A.C. (σελ. 288-302) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 9ο · Εναλλασσόμενο ρεύμα A.C. (σελ. 298–306)

Λύσεις 1 Εφαρμογής + 10 Προβλημάτων (ενεργές τιμές, X_L/X_C, RL/RC/RLC, εμπέδηση/φάση, ισχύς, συντονισμός). Όλα τα υπολογίσιμα επαληθεύτηκαν με κώδικα.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή — κύκλωμα RLC σε σειρά

Εκφώνηση: Κύκλωμα RLC σειράς: R=30Ω, L=0,5H, C=14,1μF, τροφοδοτείται με 220V/50Hz. Να βρεθεί η εμπέδηση, το ρεύμα και ο συντελεστής ισχύος.

Πώς σκεφτόμαστε: Υπολογίζουμε X_L=ωL και X_C=1/(ωC), μετά την εμπέδηση \(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\), το ρεύμα \(I=V/Z\) και \(\cosφ=R/Z\).

Λύση:

• \( ω=2πf=2π·50=314\ rad/s \)
• \( X_L=ωL=314·0{,}5≈157\ Ω,\quad X_C=\dfrac{1}{ωC}=\dfrac{1}{314·14{,}1·10^{-6}}≈226\ Ω \)
• \( Z=\sqrt{30^2+(157-226)^2}=\sqrt{900+4761}≈75\ Ω \)
• \( I=\dfrac{V}{Z}=\dfrac{220}{75}≈2{,}93\ A,\quad \cosφ=\dfrac{R}{Z}=\dfrac{30}{75}=0{,}4 \)

Απάντηση: Z≈75Ω, I≈2,93A, cosφ=0,4 (χωρητική συμπεριφορά, αφού X_C>X_L).

Πρόσεξε:

• X_C>X_L ⇒ το κύκλωμα είναι χωρητικό (το ρεύμα προηγείται).
• Διανυσματική πρόσθεση: Z=√(R²+(X_L−X_C)²).

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — συντονισμός RLC σειράς

Εκφώνηση: Κύκλωμα συντονισμού RLC σειράς: R=20Ω, X_L=X_C=200Ω, τάση 120V, 60Hz. Βρες α) το ρεύμα, β) τις τάσεις V_L, V_C, γ) τον συντελεστή ποιότητας, δ) το εύρος ζώνης και τις f₁, f₂.

Πώς σκεφτόμαστε: Στον συντονισμό X_L=X_C ⇒ Z=R (ελάχιστη), ρεύμα μέγιστο. Οι τάσεις L,C γίνονται Q_π φορές μεγαλύτερες (υπέρταση).

Λύση:

• α) \( Z=R=20\ Ω\Rightarrow I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{120}{20}=6\ A \)
• β) \( V_L=V_C=I·X_L=6·200=1200\ V \) (υπέρταση!)
• γ) \( Q_π=\dfrac{X_L}{R}=\dfrac{200}{20}=10 \) (=V_L/V=1200/120)
• δ) \( Δf=\dfrac{f_0}{Q_π}=\dfrac{60}{10}=6\ Hz\Rightarrow f_1=57\ Hz,\ f_2=63\ Hz \)

Απάντηση: α) I=6A, β) V_L=V_C=1200V, γ) Q_π=10, δ) Δf=6Hz (f₁=57Hz, f₂=63Hz).

Πρόσεξε:

• ΥΠΕΡΤΑΣΗ: στον συντονισμό οι τάσεις L,C (1200V) είναι πολύ μεγαλύτερες της τροφοδοσίας (120V)!
• Μεγάλο Q_π ⇒ στενό εύρος ζώνης (οξεία επιλεκτικότητα).

Πρόβλημα 2 — RLC με δεδομένη V_LC

Εκφώνηση: Κύκλωμα RLC σειράς: R=400Ω, L=1H, C=25μF, με V_LC=30V και ω=400 rad/s. Να βρεθούν η εμπέδηση, το ρεύμα, η ισχύς και η τάση τροφοδοσίας.

Πώς σκεφτόμαστε: Υπολογίζουμε X_L, X_C, την εμπέδηση. Το V_LC=I·|X_L−X_C| δίνει το ρεύμα, μετά P=I²R και V=IZ.

Λύση:

• \( X_L=ωL=400·1=400\ Ω,\quad X_C=\dfrac{1}{ωC}=\dfrac{1}{400·25·10^{-6}}=100\ Ω \)
• \( Z=\sqrt{400^2+(400-100)^2}=\sqrt{160000+90000}=500\ Ω \)
• \( I=\dfrac{V_{LC}}{|X_L-X_C|}=\dfrac{30}{300}=0{,}1\ A \)
• \( P=I^2R=0{,}1^2·400=4\ W,\quad V=I·Z=0{,}1·500=50\ V \)

Απάντηση: Z=500Ω, I=0,1A, P=4W, V=50V.

Πρόσεξε:

• Το V_LC είναι η τάση στο (L+C) μαζί = I·|X_L−X_C|.
• Η πραγματική ισχύς καταναλώνεται μόνο στο R.

Πρόβλημα 3 — ισχύς από v(t), i(t)

Εκφώνηση: Κύκλωμα τροφοδοτείται από \(v=220\,ημ(ωt)\) και διαρρέεται από \(i=2\,ημ(ωt-60°)\). Να βρεθεί η εμπέδηση και οι ισχείς (πραγματική, φαινόμενη).

Πώς σκεφτόμαστε: Ενεργές τιμές: V_εν=V₀/√2, I_εν=I₀/√2. Η διαφορά φάσης είναι φ=60°. Z=V₀/I₀, P=V_εν I_εν cosφ, S=V_εν I_εν.

Λύση:

• \( Z=\dfrac{V_0}{I_0}=\dfrac{220}{2}=110\ Ω \)
• \( V_{εν}=\dfrac{220}{\sqrt2}≈155{,}6\ V,\quad I_{εν}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2≈1{,}41\ A \)
• \( P=V_{εν}I_{εν}\cos60°=155{,}6·1{,}41·0{,}5≈110\ W \)
• \( S=V_{εν}I_{εν}≈220\ VA \)

Απάντηση: Z=110Ω, P≈110W, S≈220VA (cosφ=0,5, επαγωγικό αφού το ρεύμα έπεται).

Πρόσεξε:

• Το ρεύμα έπεται (−60°) ⇒ επαγωγική συμπεριφορά.
• cos60°=0,5 ⇒ P=S/2.

Πρόβλημα 4 — πυκνωτής παράλληλα με R

Εκφώνηση: Πυκνωτής συνδέεται παράλληλα με ωμική αντίσταση 60Ω. Στα άκρα εφαρμόζεται τάση 120V, 50Hz. Η ολική ένταση είναι 4A. Βρες τη χωρητικότητα.

Πώς σκεφτόμαστε: Παράλληλα: I_R=V/R (συμφασικό), I_C=V/X_C (κάθετο). Ολικό \(I=\sqrt{I_R^2+I_C^2}\). Απ' αυτό βρίσκουμε I_C, μετά X_C και C.

Λύση:

• \( I_R=\dfrac{V}{R}=\dfrac{120}{60}=2\ A \)
• \( I=\sqrt{I_R^2+I_C^2}\Rightarrow 4=\sqrt{2^2+I_C^2}\Rightarrow I_C=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}≈3{,}46\ A \)
• \( X_C=\dfrac{V}{I_C}=\dfrac{120}{3{,}46}≈34{,}6\ Ω \)
• \( C=\dfrac{1}{ωX_C}=\dfrac{1}{2π·50·34{,}6}≈92\ μF \)

Απάντηση: C ≈ 92 μF (I_C≈3,46A, X_C≈34,6Ω).

Πρόσεξε:

• Παράλληλα ⇒ κοινή τάση· τα ΡΕΥΜΑΤΑ προστίθενται διανυσματικά.
• I_C κάθετο στο I_R (90°).

Πρόβλημα 5 — συχνότητα συντονισμού

Εκφώνηση: Κύκλωμα με R=10Ω, C=0,01μF και πηνίο L σε σειρά συντονίζει σε f₀=20kHz. Να βρεθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής L.

Πώς σκεφτόμαστε: Στον συντονισμό \(f_0=1/(2π\sqrt{LC})\). Λύνουμε ως προς L.

Λύση:

• \( f_0=\dfrac{1}{2π\sqrt{LC}}\Rightarrow L=\dfrac{1}{(2πf_0)^2C} \)
• \( L=\dfrac{1}{(2π·20000)^2·0{,}01·10^{-6}}=\dfrac{1}{(1{,}257·10^5)^2·10^{-8}}≈6{,}33\ mH \)

Απάντηση: L ≈ 6,33 mH.

Πρόσεξε:

• Ο συντονισμός εξαρτάται μόνο από L και C (όχι από την R).
• (2πf₀)² στον παρονομαστή.

Πρόβλημα 6 — πηνίο με ωμική ΚΑΙ επαγωγική αντίσταση

Εκφώνηση: Πηνίο έχει ωμική αντίσταση 12Ω και επαγωγική 9Ω. Στα άκρα του βολτόμετρο δείχνει 300V. Να βρεθεί η πραγματική και η φαινόμενη ισχύς.

Πώς σκεφτόμαστε: Το πραγματικό πηνίο ισοδυναμεί με R σε σειρά με X_L. \(Z=\sqrt{R^2+X_L^2}\), I=V/Z. P=I²R, S=VI.

Λύση:

• \( Z=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=15\ Ω \)
• \( I=\dfrac{V}{Z}=\dfrac{300}{15}=20\ A \)
• \( P=I^2R=20^2·12=4800\ W=4{,}8\ kW \)
• \( S=V·I=300·20=6000\ VA=6\ kVA \)

Απάντηση: P = 4,8 kW (πραγματική), S = 6 kVA (φαινόμενη). cosφ=R/Z=0,8.

Πρόσεξε:

• Το πραγματικό πηνίο έχει ΚΑΙ ωμική αντίσταση (καταναλώνει ισχύ).
• cosφ=R/Z=12/15=0,8.

Πρόβλημα 7 — καθαρά ωμικό (RLC συμφασικά)

Εκφώνηση: Κύκλωμα RLC σειράς τροφοδοτείται από \(v=200·ημ(500t+30°)\) και διαρρέεται από \(i=2·ημ(500t+30°)\). Χαρακτήρισε το κύκλωμα και βρες την εμπέδηση.

Πώς σκεφτόμαστε: Τάση και ρεύμα ΣΥΜΦΑΣΙΚΑ (ίδια φάση 30°) ⇒ φ=0 ⇒ συντονισμός (X_L=X_C) ⇒ καθαρά ωμικό.

Λύση:

• Ίδια φάση (30°) ⇒ φ=0 ⇒ \(X_L=X_C\) (συντονισμός), το κύκλωμα είναι καθαρά ωμικό.
• \( Z=R=\dfrac{V_0}{I_0}=\dfrac{200}{2}=100\ Ω \)

Απάντηση: Καθαρά ωμικό (συντονισμός, φ=0), Z=R=100Ω.

Πρόσεξε:

• Συμφασικά v,i ⇒ το κύκλωμα βρίσκεται σε συντονισμό (η επαγωγική και χωρητική αντίσταση αναιρούνται).

Πρόβλημα 8 — καθαρή επαγωγική/χωρητική αντίσταση

Εκφώνηση: Στα άκρα καθαρού πηνίου L=0,1H εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση ενεργού τιμής 100V και συχνότητας f=50Hz. Να βρεθεί η επαγωγική αντίσταση και το ρεύμα.

Πώς σκεφτόμαστε: Καθαρό πηνίο: X_L=ωL, I=V/X_L. Το ρεύμα έπεται της τάσης κατά 90°.

Λύση:

• \( X_L=ωL=2π·50·0{,}1≈31{,}4\ Ω \)
• \( I=\dfrac{V}{X_L}=\dfrac{100}{31{,}4}≈3{,}18\ A \)

Απάντηση: X_L≈31,4Ω, I≈3,18A (το ρεύμα έπεται 90°).

Πρόσεξε:

• Σε καθαρό πηνίο δεν καταναλώνεται πραγματική ισχύς (φ=90°, cosφ=0).

Πρόβλημα 9 — διόρθωση συντελεστή ισχύος

Εκφώνηση: Κατανάλωση έχει πραγματική ισχύ και άεργη ισχύ. Να υπολογιστεί ο συντελεστής ισχύος cosφ, η φαινόμενη ισχύς S και η άεργη Q (τυπικό πρόβλημα βελτίωσης cosφ).

Πώς σκεφτόμαστε: Από δύο από τα P, S, Q, cosφ βρίσκουμε τα υπόλοιπα με το τρίγωνο ισχύος: \(S^2=P^2+Q^2\), \(\cosφ=P/S\).

Λύση:

• Τρίγωνο ισχύος: \(S=\sqrt{P^2+Q^2}\), \(\cosφ=\dfrac{P}{S}\), \(Q=S\sinφ\).
• Π.χ. για P=3,2kW και cosφ=0,8: \(S=P/\cosφ=4\ kVA\), \(Q=\sqrt{S^2-P^2}=\sqrt{16-10{,}24}≈2{,}4\ kVAR\).
• Η βελτίωση cosφ (με πυκνωτή παράλληλα) μειώνει την άεργη ισχύ Q και τη φαινόμενη S.

Απάντηση: (ενδεικτική) cosφ=P/S, S=√(P²+Q²), Q=S·sinφ (τρίγωνο ισχύος). Παράδειγμα: P=3,2kW, cosφ=0,8 → S=4kVA, Q=2,4kVAR.

Πρόσεξε:

• Η βελτίωση του cosφ (με παράλληλο πυκνωτή) μειώνει τη φαινόμενη ισχύ και τις απώλειες γραμμής.
• Οι ακριβείς τιμές εξαρτώνται από τα δεδομένα του συγκεκριμένου προβλήματος/σχήματος.

Πρόβλημα 10 — εξισώσεις εναλλασσόμενου ρεύματος

Εκφώνηση: Καθαρός πυκνωτής C με X_C=110Ω τροφοδοτείται με \(v=220·ημ(628t)\). Να γραφεί η εξίσωση του ρεύματος i(t).

Πώς σκεφτόμαστε: Καθαρός πυκνωτής: I₀=V₀/X_C· το ρεύμα ΠΡΟΗΓΕΙΤΑΙ της τάσης κατά 90° (+π/2).

Λύση:

• \( I_0=\dfrac{V_0}{X_C}=\dfrac{220}{110}=2\ A \)
• Το ρεύμα προηγείται 90°: \( i=2·ημ(628t+90°) \)

Απάντηση: i = 2·ημ(628t + 90°) (το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά 90°).

Πρόσεξε:

• Πυκνωτής: το ρεύμα ΠΡΟΗΓΕΙΤΑΙ (+90°). Πηνίο: το ρεύμα ΕΠΕΤΑΙ (−90°).
• ω=628 rad/s ⇒ f=100Hz.