Λύσεις — Κεφάλαιο 9ο · Εναλλασσόμενο ρεύμα A.C. (σελ. 288-303) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 9ο · Εναλλασσόμενο ρεύμα A.C. (σελ. 288-303) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 9ο · Εναλλασσόμενο ρεύμα A.C. (σελ. 288–303)

Λύσεις της Εφαρμογής 5 και των 15 Προβλημάτων προς λύση (ενεργές τιμές, X_L/X_C, RL/RC/RLC, σύνθετη αντίσταση/φάση, ισχύς, συντονισμός). Όλα τα υπολογίσιμα.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 5 — κύκλωμα RLC σε σειρά

Εκφώνηση: Κύκλωμα RLC σειράς έχει: R = 30 (Ω), L = 0,5 (Η), C = 14,1 (μF) και τροφοδοτείται από εναλλασσόμενη τάση 220 V, 50 Hz. Ζητούνται: α) η ένταση του ρεύματος β) η τάση V_R της αντίστασης γ) η τάση V_L του πηνίου δ) η τάση V_C του πυκνωτή ε) το διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και εντάσεων.

Πώς σκεφτόμαστε: Υπολογίζουμε \( X_L=ωL \), \( X_C=\dfrac{1}{ωC} \), τη σύνθετη αντίσταση \( Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2} \) και το ρεύμα \( I=V/Z \). Οι επιμέρους τάσεις είναι \( V_R=IR \), \( V_L=IX_L \), \( V_C=IX_C \).

Λύση:

α) \( ω=2πf=2\cdot3{,}14\cdot50=314\ rad/s,\quad X_L=314\cdot0{,}5=157\ Ω,\quad X_C=\dfrac{1}{314\cdot14{,}1\cdot10^{-6}}=225{,}8\ Ω \)
\( Z=\sqrt{30^2+(157-225{,}8)^2}\approx75\ Ω,\quad εφφ=\dfrac{X_L-X_C}{R}=\dfrac{157-225{,}8}{30}\approx-2{,}29\Rightarrow |φ|\approx66° \)
\( I=\dfrac{V}{Z}=\dfrac{220}{75}=2{,}93\ A \), που προηγείται της τάσης κατά 66° (αφού \( X_C>X_L \), χωρητική συμπεριφορά)
β) \( V_R=IR=2{,}93\cdot30=87{,}9\ V \) (συμφασική με το ρεύμα)
γ) \( V_L=IX_L=2{,}93\cdot157=460\ V \) (προηγείται του ρεύματος κατά 90°)
δ) \( V_C=IX_C=2{,}93\cdot225{,}8=661{,}5\ V \) (έπεται του ρεύματος κατά 90°)
ε) Διάγραμμα: το ρεύμα I στον οριζόντιο άξονα, η V_R πάνω του, η V_L κατακόρυφα προς τα πάνω, η V_C κατακόρυφα προς τα κάτω. Η διαφορά V_C − V_L = 201,5 V σχηματίζει με τη V_R ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την τάση τροφοδοσίας V = 220 V, η οποία βρίσκεται 66° κάτω από το ρεύμα.

Απάντηση: α) I = 2,93 A (προηγείται 66°), β) V_R = 87,9 V, γ) V_L = 460 V, δ) V_C = 661,5 V, ε) βλ. διάγραμμα.

Πρόσεξε:

Οι V_L και V_C ξεπερνούν την τάση τροφοδοσίας· προστίθενται διανυσματικά, όχι αριθμητικά.
Έλεγχος: √(87,9² + 201,5²) ≈ 220 V.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — χαρακτηριστικά εναλλασσόμενου ρεύματος

Εκφώνηση: Η στιγμιαία τιμή της έντασης ενός εναλλασσόμενου ρεύματος δίνεται από τη σχέση: \( i=10\sqrt2\cdot ημ\,628t \). Ζητούνται: α) το πλάτος Ι₀ β) η ενεργός τιμή Ι_εν γ) η κυκλική συχνότητα ω δ) η συχνότητα f ε) η περίοδος Τ

Πώς σκεφτόμαστε: Συγκρίνουμε με τη γενική μορφή \( i=Ι_0\,ημ\,ωt \). Ισχύουν \( Ι_{εν}=Ι_0/\sqrt2 \), \( f=ω/2π \), \( Τ=1/f \).

Λύση:

α) \( Ι_0=10\sqrt2\approx14{,}14\ A \)
β) \( Ι_{εν}=\dfrac{Ι_0}{\sqrt2}=10\ A \)
γ) \( ω=628\ rad/s \)
δ) \( f=\dfrac{ω}{2π}=\dfrac{628}{6{,}28}=100\ Hz \)
ε) \( Τ=\dfrac1f=0{,}01\ s \)

Απάντηση: α) 10√2 A, β) 10 A, γ) 628 rad/s, δ) 100 Hz, ε) 0,01 s.

Πρόσεξε:

Η ενεργός τιμή είναι το πλάτος διαιρεμένο με √2, όχι το πλάτος.

Πρόβλημα 2 — στιγμιαίες τιμές με διαφορά φάσης

Εκφώνηση: Ένα κύκλωμα τροφοδοτείται από τάση v = 220 · ημωt και διαρρέεται από ρεύμα i = 2·ημ(ωt - 60°). Ζητούνται: α) η στιγμιαία ένταση του ρεύματος, όταν η τάση παίρνει τη μέγιστη τιμή της β) η στιγμιαία τάση όταν η ένταση του ρεύματος παίρνει τη μέγιστη τιμή της.

Πώς σκεφτόμαστε: Βρίσκουμε τη φάση ωt για την οποία το ημίτονο της μιας ποσότητας γίνεται 1 και την αντικαθιστούμε στην άλλη.

Λύση:

α) Η τάση γίνεται μέγιστη όταν \( ωt=90° \): \( i=2\,ημ(90°-60°)=2\,ημ30°=2\cdot0{,}5=1\ A \)
β) Το ρεύμα γίνεται μέγιστο όταν \( ωt-60°=90°\Rightarrow ωt=150° \): \( v=220\,ημ150°=220\cdot0{,}5=110\ V \)

Απάντηση: α) i = 1 A, β) v = 110 V.

Πρόσεξε:

Το ρεύμα έπεται της τάσης κατά 60°, άρα φτάνει στο μέγιστο 60° αργότερα.

Πρόβλημα 3 — κύκλωμα RL σε σειρά

Εκφώνηση: Ωμική αντίσταση R = 40 (Ω) και πηνίο αυτεπαγωγής \( L=\dfrac{\sqrt3}{10} \) (Η), συνδέονται σε σειρά. Εάν η τάση στα άκρα του πηνίου είναι \( v_L=80\sqrt3\cdot ημ(400t+90°) \), να βρεθούν: α) η στιγμιαία τάση τροφοδοσίας v β) η στιγμιαία ένταση ρεύματος i γ) η διαφορά φάσης μεταξύ ρεύματος και τάσης δ) να γίνει διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και ρεύματος

Πώς σκεφτόμαστε: Από την \( v_L \) βρίσκουμε \( ω=400\ rad/s \), το \( X_L \) και το πλάτος του ρεύματος. Η τάση του πηνίου προηγείται του ρεύματος κατά 90°, άρα το ρεύμα έχει φάση 0°. Η σύνθετη αντίσταση δίνει το πλάτος της τάσης τροφοδοσίας και η \( εφφ=X_L/R \) τη διαφορά φάσης.

Λύση:

\( X_L=ωL=400\cdot\dfrac{\sqrt3}{10}=40\sqrt3\approx69{,}3\ Ω \)
β) \( Ι_0=\dfrac{V_{L0}}{X_L}=\dfrac{80\sqrt3}{40\sqrt3}=2\ A\Rightarrow i=2\cdot ημ\,400t \)
γ) \( εφφ=\dfrac{X_L}{R}=\dfrac{40\sqrt3}{40}=\sqrt3\Rightarrow φ=60° \) (η τάση προηγείται του ρεύματος)
α) \( Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{40^2+(40\sqrt3)^2}=80\ Ω,\quad V_0=Ι_0Z=160\ V\Rightarrow v=160\cdot ημ(400t+60°) \)
δ) Διάγραμμα: το ρεύμα στον οριζόντιο άξονα, η V_R0 = 80 V πάνω του, η V_L0 = 80√3 ≈ 138,6 V κατακόρυφα προς τα πάνω, και η τάση τροφοδοσίας V₀ = 160 V ως υποτείνουσα, 60° πάνω από το ρεύμα.

Απάντηση: α) v = 160·ημ(400t + 60°), β) i = 2·ημ400t, γ) φ = 60°, δ) βλ. διάγραμμα.

Πρόσεξε:

Σε κύκλωμα RL η τάση προηγείται του ρεύματος (επαγωγική συμπεριφορά).

Πρόβλημα 4 — κύκλωμα RC σε σειρά

Εκφώνηση: Ωμική αντίσταση \( R=500\sqrt3 \) (Ω) και πυκνωτής χωρητικότητας C = 4 (μF) συνδέονται σε σειρά και τροφοδοτούνται με εναλλασσόμενη τάση v = 2000 · ημ 500 t. Ζητούνται: α) τα στιγμιαία μεγέθη i, v_R, v_C β) να γίνει διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και ρεύματος

Πώς σκεφτόμαστε: Υπολογίζουμε \( X_C \), Z και το πλάτος του ρεύματος. Σε κύκλωμα RC το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά φ με \( εφφ=X_C/R \). Η \( v_R \) είναι συμφασική με το ρεύμα, η \( v_C \) έπεται του ρεύματος κατά 90°.

Λύση:

\( X_C=\dfrac{1}{ωC}=\dfrac{1}{500\cdot4\cdot10^{-6}}=500\ Ω \)
\( Z=\sqrt{(500\sqrt3)^2+500^2}=1000\ Ω,\quad Ι_0=\dfrac{2000}{1000}=2\ A \)
\( εφφ=\dfrac{X_C}{R}=\dfrac{500}{500\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}\Rightarrow φ=30° \) (το ρεύμα προηγείται)
α) \( i=2\cdot ημ(500t+30°),\quad v_R=Ι_0R\cdot ημ(500t+30°)=1000\sqrt3\cdot ημ(500t+30°) \)
\( v_C=Ι_0X_C\cdot ημ(500t+30°-90°)=1000\cdot ημ(500t-60°) \)
β) Διάγραμμα: το ρεύμα και η V_R0 = 1000√3 V στην ίδια διεύθυνση, η V_C0 = 1000 V κάθετη προς τα κάτω, και η V₀ = 2000 V ως υποτείνουσα, 30° κάτω από το ρεύμα.

Απάντηση: α) i = 2·ημ(500t + 30°), v_R = 1000√3·ημ(500t + 30°), v_C = 1000·ημ(500t − 60°)· β) βλ. διάγραμμα.

Πρόσεξε:

Έλεγχος: (1000√3)² + 1000² = 2000².

Πρόβλημα 5 — πηνίο με ωμική αντίσταση

Εκφώνηση: Από ένα πηνίο αυτεπαγωγής L, για να περάσει ρεύμα 5 Α, πρέπει να εφαρμοστεί στα άκρα του συνεχή τάση 40 (V) ή εναλλασσόμενη ενεργού τιμής 50 (V) με συχνότητα 50 (Ηz). Ζητούνται: α) η ωμική αντίσταση του πηνίου β) ο συντελεστής αυτεπαγωγής γ) ο συντελεστής ισχύος του πηνίου

Πώς σκεφτόμαστε: Στο συνεχές ρεύμα το πηνίο παρουσιάζει μόνο την ωμική του αντίσταση· στο εναλλασσόμενο παρουσιάζει σύνθετη αντίσταση \( Z=\sqrt{R^2+X_L^2} \) (όπως στην Εφαρμογή 6).

Λύση:

α) \( R=\dfrac{V_{DC}}{I}=\dfrac{40}{5}=8\ Ω \)
\( Z=\dfrac{V_{εν}}{I_{εν}}=\dfrac{50}{5}=10\ Ω,\quad X_L=\sqrt{Z^2-R^2}=\sqrt{100-64}=6\ Ω \)
β) \( L=\dfrac{X_L}{2πf}=\dfrac{6}{2π\cdot50}\approx0{,}019\ H=19\ mH \)
γ) \( συνφ=\dfrac{R}{Z}=\dfrac{8}{10}=0{,}8 \)

Απάντηση: α) R = 8 Ω, β) L ≈ 19 mH, γ) συνφ = 0,8.

Πρόσεξε:

Στο συνεχές ρεύμα (σταθερή τιμή) δεν εμφανίζεται τάση αυτεπαγωγής, γι' αυτό μετράμε μόνο την ωμική αντίσταση.

Πρόβλημα 6 — εύρεση R και C σε κύκλωμα RLC

Εκφώνηση: Κύκλωμα RLC σε σειρά, τροφοδοτείται από εναλλασσόμενη τάση \( v=100\sqrt2\,ημ(250t+30°) \) και διαρρέεται από ρεύμα i = 4ημ(250t - 15°). Εάν L = 0,3 (Η), βρείτε τα R, C και σχεδιάστε το διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και ρεύματος.

Πώς σκεφτόμαστε: Από τα πλάτη βρίσκουμε Z, από τις φάσεις τη διαφορά φάσης φ. Τότε \( R=Z\,συνφ \) και \( X_L-X_C=Z\,ημφ \). Με γνωστό \( X_L=ωL \) βρίσκουμε \( X_C \) και C.

Λύση:

\( Z=\dfrac{V_0}{Ι_0}=\dfrac{100\sqrt2}{4}=25\sqrt2\approx35{,}4\ Ω \)
\( φ=30°-(-15°)=45° \) (η τάση προηγείται ⇒ επαγωγική συμπεριφορά, \( X_L>X_C \))
\( R=Z\,συν45°=25\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=25\ Ω,\quad X_L-X_C=Z\,ημ45°=25\ Ω \)
\( X_L=ωL=250\cdot0{,}3=75\ Ω\Rightarrow X_C=75-25=50\ Ω \)
\( C=\dfrac{1}{ωX_C}=\dfrac{1}{250\cdot50}=80\cdot10^{-6}\ F=80\ μF \)
Διάγραμμα: ρεύμα στον οριζόντιο άξονα με V_R0 = 100 V πάνω του, V_L0 = 300 V προς τα πάνω, V_C0 = 200 V προς τα κάτω· η συνισταμένη V₀ = 100√2 V βρίσκεται 45° πάνω από το ρεύμα.

Απάντηση: R = 25 Ω, C = 80 μF.

Πρόσεξε:

Η διαφορά φάσης είναι η διαφορά των αρχικών φάσεων: 30° − (−15°) = 45°.

Πρόβλημα 7 — προσδιορισμός άγνωστου στοιχείου

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος το στοιχείο X είναι ωμική αντίσταση ή πυκνωτής ή πηνίο. Εάν v = 100 · ημ 300 t και i = 10 · ημ (300 t + 90°), να βρεθεί το στοιχείο X.

Πώς σκεφτόμαστε: Το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά 90°, δηλαδή το κύκλωμα (πυκνωτής C σε σειρά με το X) συμπεριφέρεται ως καθαρά χωρητικό. Αν το X ήταν ωμική αντίσταση, η διαφορά φάσης θα ήταν μικρότερη από 90°.

Λύση:

Διαφορά φάσης \( φ=90° \), με το ρεύμα να προηγείται ⇒ δεν υπάρχει ωμική αντίσταση στο κύκλωμα, άρα το X δεν είναι αντιστάτης.
Η σύνθετη αντίσταση είναι καθαρά χωρητική: \( Z=\dfrac{V_0}{Ι_0}=\dfrac{100}{10}=10\ Ω \).
Αν το X είναι πυκνωτής, η συνολική χωρητικότητα της σειράς C–X είναι \( C_{ολ}=\dfrac{1}{ωZ}=\dfrac{1}{300\cdot10}\approx333\ μF \)· για τον υπολογισμό της τιμής του X χρειάζεται η τιμή του C, η οποία δεν δίνεται.

Απάντηση: Το X είναι αντιδρών στοιχείο (όχι ωμική αντίσταση)· κατά το βιβλίο πυκνωτής. Η συνολική χωρητική αντίσταση είναι 10 Ω.

Πρόσεξε:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει ως απάντηση 500 pF· η τιμή αυτή δεν προκύπτει από τα δεδομένα της εκφώνησης (η τιμή του C δεν δίνεται και η ολική χωρητική αντίσταση 10 Ω σε ω = 300 rad/s αντιστοιχεί σε περίπου 333 μF).
Καθαρά χωρητικό κύκλωμα: το ρεύμα προηγείται κατά 90°· καθαρά επαγωγικό: έπεται κατά 90°.

Πρόβλημα 8 — RLC σειράς με δεδομένη V_LC

Εκφώνηση: Κύκλωμα RLC σε σειρά έχει: R = 400 Ω, L = 1 Η, C = 25 μF και V_LC = 30 (V), ω = 400 rad / s. Ζητούνται: α) η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος β) η ενεργός τιμή του ρεύματος γ) η καταναλισκόμενη ισχύς δ) η ενεργός τάση τροφοδοσίας

Πώς σκεφτόμαστε: Υπολογίζουμε \( X_L, X_C \) και Z. Η τάση στο σύνολο L–C είναι \( V_{LC}=I\,|X_L-X_C| \), από όπου βρίσκουμε το ρεύμα· μετά \( P=I^2R \) και \( V=IZ \).

Λύση:

\( X_L=ωL=400\ Ω,\quad X_C=\dfrac{1}{ωC}=\dfrac{1}{400\cdot25\cdot10^{-6}}=100\ Ω \)
α) \( Z=\sqrt{400^2+(400-100)^2}=500\ Ω \)
β) \( I=\dfrac{V_{LC}}{X_L-X_C}=\dfrac{30}{300}=0{,}1\ A \)
γ) \( P=I^2R=0{,}1^2\cdot400=4\ W \)
δ) \( V=IZ=0{,}1\cdot500=50\ V \)

Απάντηση: α) 500 Ω, β) 0,1 A, γ) 4 W, δ) 50 V.

Πρόσεξε:

Ισχύς καταναλώνεται μόνο στην ωμική αντίσταση.

Πρόβλημα 9 — εύρεση R και C (συμφασικά v, i)

Εκφώνηση: Κύκλωμα RLC σε σειρά, τροφοδοτείται από εναλλασσόμενη τάση v = 200 · ημ (500 t + 30°) και διαρρέεται από ρεύμα i = 2 · ημ (500 t + 30°). Εάν L = 0,5 (Η), βρείτε τα R, C.

Πώς σκεφτόμαστε: Τάση και ρεύμα έχουν την ίδια φάση ⇒ φ = 0, το κύκλωμα βρίσκεται σε συντονισμό: \( X_L=X_C \) και \( Z=R \).

Λύση:

\( R=Z=\dfrac{V_0}{Ι_0}=\dfrac{200}{2}=100\ Ω \)
\( X_L=ωL=500\cdot0{,}5=250\ Ω=X_C \)
\( C=\dfrac{1}{ωX_C}=\dfrac{1}{500\cdot250}=8\cdot10^{-6}\ F=8\ μF \)

Απάντηση: R = 100 Ω, C = 8 μF.

Πρόσεξε:

Συμφασικά v, i σε κύκλωμα RLC ⇒ συντονισμός.

Πρόβλημα 10 — κύκλωμα συντονισμού RLC σειράς

Εκφώνηση: Κύκλωμα συντονισμού RLC σειράς, έχει R = 20 Ω, X_L = 200 Ω, X_C = 200 Ω όταν τροφοδοτείται με εναλλασσόμενη τάση, ενεργού τιμής 120 V και συχνότητας 60 (Ηz). Ζητούνται: α) η ενεργός τιμή του ρεύματος β) οι τάσεις V_L και V_C γ) ο συντελεστής ποιότητας Q_π δ) η ζώνη διέλευσης Δf ε) οι πλευρικές συχνότητες f₁, f₂

Πώς σκεφτόμαστε: Στον συντονισμό \( X_L=X_C \), άρα \( Z=R \) και το ρεύμα είναι μέγιστο. \( Q_π=X_L/R \), \( Δf=f_0/Q_π \) και οι πλευρικές συχνότητες απέχουν \( Δf/2 \) από την \( f_0 \).

Λύση:

α) \( I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{120}{20}=6\ A \)
β) \( V_L=V_C=IX_L=6\cdot200=1200\ V \)
γ) \( Q_π=\dfrac{X_L}{R}=\dfrac{200}{20}=10 \)
δ) \( Δf=\dfrac{f_0}{Q_π}=\dfrac{60}{10}=6\ Hz \)
ε) \( f_1=f_0-\dfrac{Δf}{2}=57\ Hz,\quad f_2=f_0+\dfrac{Δf}{2}=63\ Hz \)

Απάντηση: α) 6 A, β) V_L = V_C = 1200 V, γ) Q_π = 10, δ) Δf = 6 Hz, ε) f₁ = 57 Hz, f₂ = 63 Hz.

Πρόσεξε:

Στον συντονισμό οι τάσεις V_L, V_C είναι Q_π φορές μεγαλύτερες από την τάση τροφοδοσίας (υπέρταση).

Πρόβλημα 11 — συντονισμός σε 20 kHz

Εκφώνηση: Ένα κύκλωμα αποτελείται από αντίσταση 10 Ω, πυκνωτή 0,01 μF και πηνίο L σε σειρά. Εάν στα άκρα του συστήματος εφαρμοστεί εναλλασσόμενη τάση, το κύκλωμα συντονίζει σε συχνότητα 20 KHz. Ζητούνται: α) Η τιμή της αυτεπαγωγής L β) Ο συντελεστής ποιότητας Q_π γ) Η ζώνη διέλευσης Δf δ) Οι πλευρικές συχνότητες f₁, f₂

Πώς σκεφτόμαστε: Από τη συχνότητα συντονισμού \( f_0=\dfrac{1}{2π\sqrt{LC}} \) βρίσκουμε το L. Μετά \( Q_π=\dfrac{ω_0L}{R} \), \( Δf=f_0/Q_π \) και \( f_{1,2}=f_0\mp Δf/2 \).

Λύση:

α) \( L=\dfrac{1}{(2πf_0)^2C}=\dfrac{1}{(2π\cdot20\cdot10^3)^2\cdot0{,}01\cdot10^{-6}}\approx6{,}33\cdot10^{-3}\ H \)
β) \( Q_π=\dfrac{2πf_0L}{R}=\dfrac{2π\cdot20\cdot10^3\cdot6{,}33\cdot10^{-3}}{10}\approx79{,}6 \)
γ) \( Δf=\dfrac{f_0}{Q_π}=\dfrac{20\ kHz}{79{,}6}\approx0{,}25\ kHz \)
δ) \( f_1=20-0{,}125=19{,}875\ kHz,\quad f_2=20+0{,}125=20{,}125\ kHz \)

Απάντηση: α) L ≈ 6,33 mH, β) Q_π ≈ 79,6, γ) Δf ≈ 0,25 kHz, δ) f₁ = 19,875 kHz, f₂ = 20,125 kHz.

Πρόσεξε:

Το βιβλίο δίνει L = 6,339 mH· η μικρή διαφορά οφείλεται στη στρογγύλευση του π.
Η R δεν επηρεάζει τη συχνότητα συντονισμού, επηρεάζει όμως το Q_π.

Πρόβλημα 12 — ισχύς ηλεκτροκινητήρα

Εκφώνηση: Ηλεκτροκινητήρας συνδέεται σε δίκτυο εναλλασσόμενου ρεύματος, με ενεργό τιμή τάσης 220 (V), 50 Hz. Εάν η ενεργός τιμή του ρεύματος είναι 1,2 (Α) και ο συντελεστής ισχύος 0,75, να βρεθούν: α) τα μεγέθη Ρ, Q, S του κινητήρα β) η διαφορά φάσης μεταξύ V και I γ) να σχεδιαστεί το τρίγωνο ισχύος.

Πώς σκεφτόμαστε: Φαινόμενη ισχύς \( S=VI \), πραγματική \( P=VI\,συνφ \), άεργη \( Q=\sqrt{S^2-P^2} \) (ή \( VI\,ημφ \)).

Λύση:

α) \( S=220\cdot1{,}2=264\ VA,\quad P=264\cdot0{,}75=198\ W,\quad Q=\sqrt{264^2-198^2}\approx174{,}6\ VAR \)
β) \( συνφ=0{,}75\Rightarrow φ\approx41° \)
γ) Τρίγωνο ισχύος: οριζόντια κάθετη πλευρά P = 198 W, κατακόρυφη κάθετη πλευρά Q = 174,6 VAR, υποτείνουσα S = 264 VA, με γωνία φ ≈ 41° μεταξύ P και S.

Απάντηση: α) P = 198 W, Q = 174,6 VAR, S = 264 VA, β) φ ≈ 41°, γ) βλ. τρίγωνο ισχύος.

Πρόσεξε:

Ο κινητήρας είναι επαγωγικό φορτίο: το ρεύμα έπεται της τάσης.

Πρόβλημα 13 — ισχύς παράλληλων κλάδων

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος το ολικό ρεύμα έχει ενεργό τιμή 30 (Α). Υπολογίστε τα Ρ, Q, S και σχεδιάστε το τρίγωνο ισχύος.

Πώς σκεφτόμαστε: Στο σχήμα ο ένας κλάδος έχει 5 Ω σε σειρά με \( X_C=3\ Ω \) και ο άλλος 4 Ω, παράλληλα. Με κοινή τάση V, αναλύουμε τα ρεύματα των κλάδων σε συνιστώσες (συμφασική και κάθετη προς την τάση), βρίσκουμε το V από το ολικό ρεύμα και μετά τις ισχείς.

Λύση:

\( Z_1=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx5{,}83\ Ω \), \( I_1=V/Z_1 \) προηγείται της τάσης με \( συνφ_1=5/\sqrt{34} \), \( ημφ_1=3/\sqrt{34} \)· \( I_2=V/4 \) συμφασικό
Συνιστώσες: \( I_x=V\left(\dfrac{5}{34}+\dfrac14\right)=0{,}3971V,\quad I_y=V\dfrac{3}{34}=0{,}0882V \)
\( I=V\sqrt{0{,}3971^2+0{,}0882^2}=0{,}4068V=30\ A\Rightarrow V\approx73{,}8\ V \)
\( I_1=\dfrac{73{,}8}{5{,}83}\approx12{,}65\ A,\quad I_2=\dfrac{73{,}8}{4}\approx18{,}44\ A \)
\( P=I_1^2\cdot5+I_2^2\cdot4=800+1360=2160\ W \)
\( Q=I_1^2X_C=160\cdot3=480\ VAR \) (προπορείας, χωρητικό)
\( S=VI=73{,}8\cdot30\approx2213\ VA \) (έλεγχος: \( \sqrt{2160^2+480^2}\approx2213 \))

Απάντηση: P = 2160 W, Q ≈ 480 VAR προπορείας, S ≈ 2213 VA.

Πρόσεξε:

Το βιβλίο δίνει Q = 479,7 VAR και S = 2210 VA· οι μικρές διαφορές οφείλονται σε στρογγυλεύσεις.
Πραγματική ισχύς καταναλώνεται μόνο στις ωμικές αντιστάσεις, άεργη μόνο στο χωρητικό στοιχείο.

Πρόβλημα 14 — προσθήκη ωμικού φορτίου

Εκφώνηση: Ένα βιομηχανικό φορτίο 25 (KVA) έχει συντελεστή ισχύος 0,8 μεταπορείας. Προστίθενται μια ομάδα θερμαντικών σωμάτων με αντιστάσεις, οπότε ο συντελεστής ισχύος της εγκατάστασης γίνεται 0,85 μεταπορείας. Πόση είναι η ισχύς των θερμαντικών σωμάτων;

Πώς σκεφτόμαστε: Τα θερμαντικά σώματα είναι ωμικά: προσθέτουν μόνο πραγματική ισχύ, η άεργη ισχύς Q μένει ίδια. Με τον νέο συντελεστή ισχύος βρίσκουμε τη νέα συνολική πραγματική ισχύ.

Λύση:

\( P_1=S_1συνφ_1=25\cdot0{,}8=20\ kW,\quad Q=S_1ημφ_1=25\cdot0{,}6=15\ kVAR \)
\( συνφ_2=0{,}85\Rightarrow εφφ_2=\dfrac{\sqrt{1-0{,}85^2}}{0{,}85}\approx0{,}62 \)
\( P_2=\dfrac{Q}{εφφ_2}=\dfrac{15}{0{,}62}\approx24{,}2\ kW \)
\( P_θ=P_2-P_1\approx24{,}2-20=4{,}2\ kW \)

Απάντηση: P_θ ≈ 4,2 kW.

Πρόσεξε:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει 4,3 kW· με τα δεδομένα της εκφώνησης προκύπτει ≈ 4,2 kW.
Ωμικό φορτίο ⇒ Q = 0, αλλάζει μόνο η πραγματική ισχύς.

Πρόβλημα 15 — ολικό τρίγωνο ισχύος τριών φορτίων

Εκφώνηση: Βρείτε και σχεδιάστε το ολικό τρίγωνο ισχύος των εξής τριών παράλληλων φορτίων: Φορτίο Α: 5 KW και συνφ = 0,8 μεταπορείας, Φορτίο Β: 4 KVA με Q = 2 KVAR προπορείας, Φορτίο Γ: 6 KVA με συνφ = 0,9 μεταπορείας.

Πώς σκεφτόμαστε: Για κάθε φορτίο βρίσκουμε P και Q (τα Q μεταπορείας θετικά, τα Q προπορείας αρνητικά). Οι πραγματικές ισχείς προστίθενται, οι άεργες προστίθενται αλγεβρικά και \( S=\sqrt{P^2+Q^2} \).

Λύση:

Α: \( P_Α=5\ kW,\ S_Α=\dfrac{5}{0{,}8}=6{,}25\ kVA,\ Q_Α=\sqrt{6{,}25^2-5^2}=3{,}75\ kVAR \) (μεταπορείας)
Β: \( Q_Β=-2\ kVAR \) (προπορείας), \( P_Β=\sqrt{4^2-2^2}\approx3{,}46\ kW \)
Γ: \( P_Γ=6\cdot0{,}9=5{,}4\ kW,\ Q_Γ=\sqrt{6^2-5{,}4^2}\approx2{,}62\ kVAR \) (μεταπορείας)
\( P=5+3{,}46+5{,}4\approx13{,}86\ kW,\quad Q=3{,}75-2+2{,}62\approx4{,}37\ kVAR \) (μεταπορείας)
\( S=\sqrt{13{,}86^2+4{,}37^2}\approx14{,}54\ kVA,\quad συνφ=\dfrac{P}{S}\approx0{,}954 \) μεταπορείας
Τρίγωνο ισχύος: P ≈ 13,86 kW οριζόντια, Q ≈ 4,37 kVAR κατακόρυφα (επαγωγικό), υποτείνουσα S ≈ 14,54 kVA.

Απάντηση: P ≈ 13,86 kW, Q ≈ 4,37 kVAR μεταπορείας, S ≈ 14,54 kVA, συνφ ≈ 0,954 μεταπορείας.

Πρόσεξε:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει συνφ = 0,965· από τις τιμές P και S του ίδιου του βιβλίου (13,86/14,55) προκύπτει ≈ 0,953.
Η άεργη ισχύς προπορείας (χωρητική) αφαιρείται από την άεργη ισχύ μεταπορείας (επαγωγική).