Λύσεις — Κεφάλαιο 1ο · Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη και μονάδες (σελ. 26-33) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 1ο: Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη και μονάδες

Λύσεις των 10 λυμένων Εφαρμογών και των 14 Προβλημάτων προς λύση του κεφαλαίου. Όλα τα αριθμητικά αποτελέσματα επαληθεύτηκαν υπολογιστικά. Όπου το έντυπο βιβλίο έχει τυπογραφικό/αριθμητικό λάθος, δίνεται η σωστή τιμή με ρητή επισήμανση.

---

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — φορτίο από νόμο Coulomb

Εκφώνηση: Δύο σφαιρίδια φέρουν το ίδιο φορτίο q και βρίσκονται σε απόσταση r = 2m. Τα σφαιρίδια απωθούνται με δύναμη F = 360N. Να υπολογισθεί το φορτίο q, που φέρει κάθε σφαιρίδιο. Δίνεται \(K_{ηλ}=9\cdot10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Ίδια φορτία ⇒ στον νόμο του Coulomb το γινόμενο γίνεται \(q^2\). Λύνουμε ως προς q.

Λύση:

• \( F=K_{ηλ}\dfrac{q^2}{r^2}\Rightarrow q^2=\dfrac{F}{K_{ηλ}}r^2\Rightarrow q=\sqrt{\dfrac{F}{K_{ηλ}}}\;r \)
• \( q=\sqrt{\dfrac{360}{9\cdot10^9}}\cdot 2=\sqrt{40\cdot10^{-9}}\cdot 2\ \mathrm{C}=4\cdot10^{-4}\ \mathrm{C} \)

Απάντηση: q = 4·10⁻⁴ C = 400 μC (σε κάθε σφαιρίδιο).

Πρόσεξε:

• Απώθηση ⇒ ομώνυμα φορτία (και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά).
• Πρόσεξε τη ρίζα: \(q=\sqrt{F/K_{ηλ}}\cdot r\), όχι \(\sqrt{F r^2/K_{ηλ}}\) χωρίς να βγει το r.

---

Εφαρμογή 2 — δύναμη σε φορτίο μέσα σε πεδίο

Εκφώνηση: Σε σημείο Α η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου έχει μέτρο, \(E=3\ \mathrm{V/m}\). Στο Α φέρεται φορτίο \(q=-0{,}3\ \mathrm{mC}\). α) Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης \(\vec F\) που ασκείται στο q. β) Η δύναμη \(\vec F\) και η ένταση του πεδίου \(\vec E\) έχουν την ίδια ή αντίθετη φορά;

Πώς σκεφτόμαστε: Από τον ορισμό της έντασης \(E=F/q\Rightarrow F=E\,q\) (με απόλυτες τιμές για το μέτρο). Η φορά κρίνεται από το πρόσημο του φορτίου.

Λύση:

• α) \( F=E\cdot|q|=3\cdot 0{,}3\cdot10^{-3}=0{,}9\cdot10^{-3}\ \mathrm{N}=0{,}9\ \mathrm{mN} \)
• β) Το q είναι αρνητικό, άρα η \(\vec F\) έχει αντίθετη φορά από την \(\vec E\).

Απάντηση: α) F = 0,9 mN. β) Αντίθετη φορά (το φορτίο είναι αρνητικό).

Πρόσεξε:

• Σε θετικό φορτίο: F ομόρροπη της E. Σε αρνητικό: αντίρροπη.
• 1 V/m = 1 N/C — οι δύο μονάδες της έντασης είναι ίδιες.

---

Εφαρμογή 3 — δυναμική ενέργεια από δυναμικό

Εκφώνηση: Το δυναμικό ενός ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο Α είναι \(V_A=-3\ \mathrm{V}\). Πόση είναι η δυναμική ενέργεια ηλεκτρικού φορτίου \(q=2\ \mu C\), που βρίσκεται στο Α;

Πώς σκεφτόμαστε: Από τον ορισμό του δυναμικού \(V_A=E_{δ}/q\Rightarrow E_{δ}=V_A\,q\).

Λύση:

• \( E_{δ(A)}=V_A\cdot q=(-3)\cdot 2\ \mu J=-6\ \mu J \)
• Αρνητική ⇒ στο Α το φορτίο έχει δυναμική ενέργεια κατά 6 μJ μικρότερη από ό,τι στο άπειρο.

Απάντηση: E_δ(A) = −6 μJ.

Πρόσεξε:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει «−5 μJ», ενώ στην αμέσως επόμενη πρόταση αναφέρει «6 μJ». Το σωστό αποτέλεσμα είναι −6 μJ (=−3·2).
• Το αρνητικό δυναμικό δεν σημαίνει «λίγη» ενέργεια — σημαίνει λιγότερη από την τιμή αναφοράς (άπειρο = 0).

---

Εφαρμογή 4 — έργο πεδίου ΚΑΙ απαιτούμενη ενέργεια

Εκφώνηση: Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β ηλεκτρικού πεδίου είναι \(V_{AB}=15\ \mathrm{V}\). Ένα φορτίο \(q=-400\ \mu C\) μετατοπίζεται από το Α στο Β. α) Ποιο είναι το έργο της δύναμης του πεδίου; β) Για να πραγματοποιηθεί η μετατόπιση του q απαιτείται να του προσφερθεί ενέργεια; Αν ναι πόση;

Πώς σκεφτόμαστε: Το έργο του πεδίου είναι \(W_{A\to B}=V_{AB}\,q\). Αρνητικό έργο ⇒ το πεδίο αντιστέκεται, άρα χρειάζεται εξωτερική ενέργεια.

Λύση:

• α) \( W_{A\to B}=V_{AB}\cdot q=15\cdot(-400\ \mu C)=-6000\ \mu J=-6\ \mathrm{mJ} \)
• β) Το έργο του πεδίου είναι αρνητικό, άρα πρέπει να προσφερθεί ενέργεια 6 mJ.

Απάντηση: α) W = −6 mJ. β) Ναι, πρέπει να προσφερθεί ενέργεια 6 mJ.

Πρόσεξε:

• Το πρόσημο του έργου κρίνεται από το γινόμενο \(V_{AB}\cdot q\). Εδώ θετική τάση × αρνητικό φορτίο = αρνητικό έργο.
• «Απαιτούμενη ενέργεια» = |W| όταν το έργο του πεδίου είναι αρνητικό.

---

Εφαρμογή 5 — πλήθος ηλεκτρονίων

Εκφώνηση: Αγωγός διαρρέεται από ρεύμα 3,2 A. Πόσα ηλεκτρόνια περνάνε από μία διατομή του αγωγού σε χρόνο 5 min; Δίνεται το φορτίο του ηλεκτρονίου \(|e|=1{,}6\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Πρώτα μετατροπή t σε s. Το ολικό φορτίο \(q=I t\) αποτελείται από n ηλεκτρόνια: \(q=n|e|\).

Λύση:

• \( t=5\ min=300\ s \)
• \( n|e|=I t\Rightarrow n=\dfrac{I t}{|e|}=\dfrac{3{,}2\cdot 300}{1{,}6\cdot10^{-19}}=6\cdot10^{21} \)

Απάντηση: n = 6·10²¹ ηλεκτρόνια.

Πρόσεξε:

• Μη ξεχάσεις τη μετατροπή min→s (×60).
• Το \(|e|\) στον παρονομαστή — μεγάλος αριθμός ηλεκτρονίων για μικρό φορτίο.

---

Εφαρμογή 6 — είναι το δίπολο αντιστάτης;

Εκφώνηση: Ηλεκτρικό δίπολο διαρρέεται από ρεύμα έντασης \(I_1=2\ \mathrm{mA}\), όταν στους ακροδέκτες του υπάρχει τάση \(V_1=30\ \mathrm{V}\). Ποια είναι η αντίσταση του διπόλου; Όταν η τάση του διπόλου διπλασιαστεί, η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει γίνεται \(I_2=12\ \mathrm{mA}\). Είναι το δίπολο αντιστάτης;

Πώς σκεφτόμαστε: Αντιστάτης = σταθερή αντίσταση ανεξάρτητη της τάσης. Υπολογίζουμε R στις δύο καταστάσεις και συγκρίνουμε.

Λύση:

• \( R_1=\dfrac{V_1}{I_1}=\dfrac{30}{2\ \mathrm{mA}}=15\ \mathrm{k\Omega} \)
• \( V_2=2V_1=60\ \mathrm{V},\quad R_2=\dfrac{V_2}{I_2}=\dfrac{60}{12\ \mathrm{mA}}=5\ \mathrm{k\Omega} \)
• \( R_2\ne R_1 \) ⇒ το δίπολο δεν είναι αντιστάτης.

Απάντηση: R₁=15 kΩ, R₂=5 kΩ. Επειδή R₂≠R₁, το δίπολο ΔΕΝ είναι αντιστάτης (μη γραμμικό).

Πρόσεξε:

• Αντιστάτης ⇔ ευθεία χαρακτηριστική I=f(V) ⇔ σταθερό R. Εδώ το R αλλάζει με την τάση.
• Πρόσεξε τη μονάδα: V/mA = kΩ.

---

Εφαρμογή 7 — διατομή σύρματος

Εκφώνηση: Χάλκινο σύρμα έχει σταθερή διατομή και μήκος l = 20m. Στα άκρα του σύρματος υπάρχει τάση V = 0,34V, οπότε διαρρέεται από ρεύμα έντασης I = 1A. Πόσα mm² είναι η διατομή του σύρματος; Δίνεται η ειδική αντίσταση του χαλκού \(ρ_{Cu}=1{,}7\cdot10^{-8}\ Ω m\).

Πώς σκεφτόμαστε: Πρώτα R=V/I, μετά από \(R=ρl/S\) λύνουμε ως προς S.

Λύση:

• \( R=\dfrac{V}{I}=\dfrac{0{,}34}{1}=0{,}34\ Ω \)
• \( R=ρ\dfrac{l}{S}\Rightarrow S=\dfrac{ρl}{R}=\dfrac{1{,}7\cdot10^{-8}\cdot 20}{0{,}34}=10^{-6}\ m^2=1\ mm^2 \)

Απάντηση: S = 1 mm².

Πρόσεξε:

• 1 mm² = 10⁻⁶ m². Η μετατροπή μονάδων είναι το συνηθέστερο λάθος εδώ.
• Η ειδική αντίσταση ρ αφορά το υλικό — δεν αλλάζει με το σχήμα του σύρματος.

---

Εφαρμογή 8 — αντίσταση με θερμοκρασία

Εκφώνηση: Μολύβδινο σύρμα έχει αντίσταση \(R_1=100\ Ω\), σε θερμοκρασία θ = 10°C· να υπολογισθεί η αντίστασή του στους \(θ_2=100\ ^{\circ}C\). Ο θερμικός συντελεστής αντίστασης του μόλυβδου είναι \(α=0{,}004\ grad^{-1}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Γράφουμε \(R_θ=R_0(1+αθ)\) για τις δύο θερμοκρασίες και διαιρούμε, ώστε να φύγει το άγνωστο \(R_0\).

Λύση:

• \( \dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{1+αθ_2}{1+αθ_1}\Rightarrow R_2=R_1\dfrac{1+αθ_2}{1+αθ_1} \)
• \( R_2=100\dfrac{1+0{,}004\cdot100}{1+0{,}004\cdot10}=100\cdot1{,}346=134{,}6\ Ω \)

Απάντηση: R₂ = 134,6 Ω.

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται το \(R_0\) (στους 0°C) — γι' αυτό διαιρούμε τις δύο σχέσεις.
• Θετικό α ⇒ η αντίσταση αυξάνει με τη θερμοκρασία (τυπικό για μέταλλα).

---

Εφαρμογή 9 — κόστος λειτουργίας

Εκφώνηση: Θερμοσίφωνας με στοιχεία (220V, 4KW) λειτουργεί επί τρεις ώρες. Ποιο είναι το κόστος της λειτουργίας του, αν η τιμή της KWh είναι 30 δρχ.;

Πώς σκεφτόμαστε: Ενέργεια \(W=P t\) σε kWh (P σε kW, t σε h), μετά κόστος = W × τιμή.

Λύση:

• \( W=P\cdot t=4\ kW\cdot 3\ h=12\ kWh \)
• Κόστος \(=12\ kWh\times 30\ \dfrac{δρχ.}{kWh}=360\ δρχ. \)

Απάντηση: W = 12 kWh, κόστος = 360 δρχ.

Πρόσεξε:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει «4KW·3h = 15KWh» και κόστος «450 δρχ.». Σωστό είναι 4·3 = 12 kWh και 12·30 = 360 δρχ.
• Η kWh είναι μονάδα ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ισχύς × χρόνος), όχι ισχύος.

---

Εφαρμογή 10 — ενέργεια από απόδοση

Εκφώνηση: Η ισχύς εξόδου συσκευής είναι \(P_o=1{,}6\ kW\). Η συσκευή έχει συντελεστή απόδοσης α = 0,8. Αν η συσκευή λειτουργεί επί χρόνο t = 10h, πόση ενέργεια καταναλίσκει;

Πώς σκεφτόμαστε: «Καταναλίσκει» = ενέργεια εισόδου. Από \(α=P_o/P_i\) βρίσκουμε \(P_i\), μετά \(W_i=P_i t\).

Λύση:

• \( P_i=\dfrac{P_o}{α}=\dfrac{1{,}6\cdot10^3}{0{,}8}=2\cdot10^3\ W \)
• \( t=10\cdot3600=3{,}6\cdot10^4\ s \)
• \( W_i=P_i t=2\cdot10^3\cdot 3{,}6\cdot10^4=7{,}2\cdot10^7\ J=72\ MJ \)

Απάντηση: W_i = 72 MJ.

Πρόσεξε:

• «Καταναλισκόμενη» ⇒ είσοδος \(P_i\), όχι η έξοδος. Η απόδοση είναι πάντα <1, άρα \(P_i>P_o\).
• Πρόσεξε τη μετατροπή ωρών σε δευτερόλεπτα για να βγει Joule.

---

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — συνισταμένη δυνάμεων

Εκφώνηση: Στα άκρα Α και Β ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ μήκους r = 0,9m, βρίσκονται τα σημειακά φορτία \(Q_1=+4\ \mu C\) και \(Q_2=+8\ \mu C\) αντίστοιχα. Στο σημείο Ν του ΑΒ, που απέχει d = 0,6m από το Α, τοποθετείται φορτίο \(q=-1\ \mu C\). Να βρεθεί η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο q. (0,7 N)

Πώς σκεφτόμαστε: Το q απέχει 0,6m από το Α και 0,3m από το Β. Το q είναι αρνητικό, άρα έλκεται και από τα δύο θετικά φορτία — οι δύο δυνάμεις έχουν αντίθετες φορές (η μία προς Α, η άλλη προς Β). Συνισταμένη = διαφορά μέτρων.

Λύση:

• \( F_1=K_{ηλ}\dfrac{Q_1|q|}{(0{,}6)^2}=9\cdot10^9\dfrac{4\cdot10^{-6}\cdot10^{-6}}{0{,}36}=0{,}1\ N \) (προς Α)
• \( F_2=K_{ηλ}\dfrac{Q_2|q|}{(0{,}3)^2}=9\cdot10^9\dfrac{8\cdot10^{-6}\cdot10^{-6}}{0{,}09}=0{,}8\ N \) (προς Β)
• \( \Sigma F=F_2-F_1=0{,}8-0{,}1=0{,}7\ N \) (με φορά προς το Β).

Απάντηση: ΣF = 0,7 N (με κατεύθυνση προς το Β).

Πρόσεξε:

• Το αρνητικό q έλκεται από αμφότερα τα θετικά ⇒ αντίθετες φορές ⇒ αφαιρούμε.
• Πρόσεξε τις αποστάσεις: 0,6m από Α, 0,3m από Β (όχι και τα δύο 0,9).

---

Πρόβλημα 2 — θέση ισορροπίας

Εκφώνηση: Δύο σημειακά φορτία \(Q_1=+16\ \mu C\) και \(Q_2=+4\ \mu C\) βρίσκονται αντίστοιχα στα σημεία Α και Β, τα οποία απέχουν κατά r = 0,6m. Σε ποιο σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ πρέπει να τοποθετηθεί φορτίο \(q=+1\ \mu C\), ώστε να ισορροπεί; (0,45 m)

Πώς σκεφτόμαστε: Ισορροπία ⇒ οι δύο απωστικές δυνάμεις ίσες: \(K Q_1 q/x^2 = K Q_2 q/(r-x)^2\). Παίρνοντας ρίζες: \(\sqrt{Q_1}/x=\sqrt{Q_2}/(r-x)\).

Λύση:

• \( \dfrac{\sqrt{Q_1}}{x}=\dfrac{\sqrt{Q_2}}{r-x}\Rightarrow \dfrac{4}{x}=\dfrac{2}{0{,}6-x} \)
• \( 4(0{,}6-x)=2x\Rightarrow 2{,}4=6x\Rightarrow x=0{,}4\ m \) (από το Α).

Απάντηση: x = 0,4 m από το Α (δηλ. 0,2 m από το Β).

Πρόσεξε:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει «0,45 m». Η σωστή τιμή είναι 0,4 m από το Α: έλεγχος 16/0,4² = 100 και 4/0,2² = 100 (ίσες δυνάμεις), ενώ το 0,45 δεν επαληθεύεται.
• Το σημείο ισορροπίας είναι πιο κοντά στο μικρότερο φορτίο (εδώ το Q₂ στο Β).

---

Πρόβλημα 3 — απόσταση από τη δύναμη

Εκφώνηση: Δύο ίσα σημειακά φορτία \(Q_1=Q_2=0{,}1\ \mu C\) απέχουν κατά r. Τα φορτία αλληλεπιδρούν με δυνάμεις που έχουν μέτρο \(F=10^{-3}\ N\). Να υπολογισθεί η μεταξύ τους απόσταση. Δίνεται \(K_{ηλ}=9\cdot10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}\). (0,3 m)

Πώς σκεφτόμαστε: Από τον νόμο του Coulomb λύνουμε ως προς r.

Λύση:

• \( F=K_{ηλ}\dfrac{Q_1 Q_2}{r^2}\Rightarrow r=\sqrt{\dfrac{K_{ηλ}Q_1Q_2}{F}} \)
• \( r=\sqrt{\dfrac{9\cdot10^9\cdot(0{,}1\cdot10^{-6})^2}{10^{-3}}}=\sqrt{0{,}09}=0{,}3\ m \)

Απάντηση: r = 0,3 m.

Πρόσεξε:

• Πρόσεξε το τετράγωνο στο \((0{,}1\ \mu C)^2=10^{-14}\ C^2\).
• Το r βγαίνει από τετραγωνική ρίζα — κράτα θετική τιμή.

---

Πρόβλημα 4 — φορτίο από έργο ΚΑΙ δυναμικό

Εκφώνηση: Σημειακό φορτίο q βρίσκεται σε σημείο Α ηλεκτρικού πεδίου, που έχει δυναμικό \(V_A=-3\ V\). Όταν το q μεταφέρεται από το Α στο άπειρο, από τη δύναμη του πεδίου παράγεται έργο \(W=3\cdot10^{-6}\ J\). Να υπολογισθεί το φορτίο q. (−1 μC)

Πώς σκεφτόμαστε: Το δυναμικό ορίζεται ως \(V_A=W_{A\to\infty}/q\Rightarrow q=W/V_A\).

Λύση:

• \( q=\dfrac{W_{A\to\infty}}{V_A}=\dfrac{3\cdot10^{-6}}{-3}=-10^{-6}\ C=-1\ \mu C \)

Απάντηση: q = −1 μC.

Πρόσεξε:

• Θετικό έργο του πεδίου προς το άπειρο με αρνητικό δυναμικό ⇒ αρνητικό φορτίο.
• \(V_A=W_{A\to\infty}/q\) — αυτός είναι ο ορισμός του δυναμικού.

---

Πρόβλημα 5 — δυναμικές ενέργειες ΚΑΙ έργο

Εκφώνηση: Σημείο Α ηλεκτρικού πεδίου έχει δυναμικό \(V_A=-10\ V\). Σημειακό φορτίο \(q=+2\ \mu C\) βρίσκεται στο Α και μεταφέρεται στο σημείο Β του πεδίου. Αν η τάση μεταξύ των σημείων Α και Β είναι \(V_{AB}=-30\ V\), να υπολογισθούν: α) Η δυναμική ενέργεια του q, όταν βρίσκεται στο Α. β) Η δυναμική ενέργεια του q στο Β. γ) Το έργο της δύναμης του πεδίου. (−20 μJ, 40 μJ, −60 μJ)

Πώς σκεφτόμαστε: Χρησιμοποιούμε \(E_δ=V\,q\) και \(W_{A\to B}=V_{AB}q\). Το \(E_{δ(B)}\) βγαίνει από \(E_{δ(B)}=E_{δ(A)}-W_{A\to B}\).

Λύση:

• α) \( E_{δ(A)}=V_A q=(-10)\cdot 2=-20\ \mu J \)
• γ) \( W_{A\to B}=V_{AB}q=(-30)\cdot 2=-60\ \mu J \)
• β) \( E_{δ(B)}=E_{δ(A)}-W_{A\to B}=-20-(-60)=40\ \mu J \)

Απάντηση: α) E_δ(A)=−20 μJ, β) E_δ(B)=+40 μJ, γ) W=−60 μJ.

Πρόσεξε:

• Σχέση έργου–ενέργειας: \(W_{A\to B}=E_{δ(A)}-E_{δ(B)}\).
• Αρνητικό έργο ⇒ η δυναμική ενέργεια αυξήθηκε (από −20 σε +40 μJ).

---

Πρόβλημα 6 — τάση από δυναμική ενέργεια

Εκφώνηση: Σημείο Α ηλεκτρικού πεδίου έχει δυναμικό \(V_A=20\ V\). Σε άλλο σημείο Β του πεδίου βρίσκεται φορτίο \(q=-100\ \mu C\). Αν το q έχει δυναμική ενέργεια \(E_{Δ(Β)}=10^{-3}\ J\), να υπολογισθεί η τάση \(V_{AB}\). (30 V)

Πώς σκεφτόμαστε: Πρώτα \(V_B=E_{δ(B)}/q\), μετά \(V_{AB}=V_A-V_B\).

Λύση:

• \( V_B=\dfrac{E_{δ(B)}}{q}=\dfrac{10^{-3}}{-100\cdot10^{-6}}=-10\ V \)
• \( V_{AB}=V_A-V_B=20-(-10)=30\ V \)

Απάντηση: V_AB = 30 V.

Πρόσεξε:

• \(V_{AB}=V_A-V_B\) (διαφορά δυναμικών, όχι άθροισμα).
• Θετικό E_δ με αρνητικό q ⇒ αρνητικό δυναμικό στο Β.

---

Πρόβλημα 7 — αντίσταση από χαρακτηριστική διπόλου

Εκφώνηση: Στο σχήμα 1-15 φαίνεται η χαρακτηριστική ενός διπόλου. α) Να προσδιορισθεί η αντίσταση του διπόλου, όταν η τάση στους ακροδέκτες του παίρνει τις τιμές: 1V, 2V, 3V, 4V, 5V, 6V, 7V, 8V, 9V, 10V. β) Να κατασκευασθεί το διάγραμμα R=f(V).

Πώς σκεφτόμαστε: Για κάθε V διαβάζουμε το ρεύμα I από την καμπύλη και υπολογίζουμε \(R=V/I\). Επειδή η καμπύλη είναι μη γραμμική (κυρτή προς τα πάνω), το R δεν είναι σταθερό — μειώνεται καθώς αυξάνει η τάση.

Λύση:

• Από την καμπύλη (I σε mA): V=1→0,6· V=2→1,3· V=3→2,2· V=4→3,2· V=5→4,4· V=6→5,7· V=7→7,4· V=8→9,4· V=9→11,9· V=10→15,6.
• R=V/I (kΩ): V=1→1,67· 2→1,54· 3→1,36· 4→1,25· 5→1,14· 6→1,05· 7→0,95· 8→0,85· 9→0,76· 10→0,64.
• β) Το διάγραμμα R=f(V) είναι φθίνουσα καμπύλη: ξεκινά από ~1,7 kΩ στο V=1 και πέφτει σταδιακά προς ~0,64 kΩ στο V=10.

Απάντηση: R (kΩ) για V=1…10: 1,67· 1,54· 1,36· 1,25· 1,14· 1,05· 0,95· 0,85· 0,76· 0,64. Το R=f(V) είναι φθίνον ⇒ μη γραμμικό δίπολο.

Πρόσεξε:

• Οι τιμές ρεύματος διαβάζονται προσεγγιστικά από το γράφημα — μικρές αποκλίσεις είναι αναμενόμενες.
• Το φθίνον R με την τάση χαρακτηρίζει μη γραμμικά στοιχεία (π.χ. διόδους/θερμίστορ) — όχι αντιστάτη.

---

Πρόβλημα 8 — μήκος σύρματος

Εκφώνηση: Χάλκινο σύρμα έχει διατομή 0,1 mm² και αντίσταση 0,34 Ω. Ποιο είναι το μήκος του σύρματος; Δίνεται: \(ρ_{Cu}=1{,}7\cdot10^{-8}\ Ω m\). (2 m)

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(R=ρl/S\) λύνουμε ως προς l.

Λύση:

• \( l=\dfrac{R S}{ρ}=\dfrac{0{,}34\cdot 0{,}1\cdot10^{-6}}{1{,}7\cdot10^{-8}}=2\ m \)

Απάντηση: l = 2 m.

Πρόσεξε:

• 0,1 mm² = 0,1·10⁻⁶ m² = 10⁻⁷ m². Η μετατροπή είναι το κρίσιμο σημείο.
• Αντίστροφο της Εφαρμογής 7 (εκεί ζητούσε S, εδώ l).

---

Πρόβλημα 9 — μάζα αγωγού

Εκφώνηση: Για τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας μεταξύ δύο θέσεων, που απέχουν κατά l = 2000m, χρησιμοποιείται χάλκινος αγωγός. Αν η αντίσταση του αγωγού είναι R = 340Ω, να υπολογισθεί η μάζα του. Δίνονται: \(ρ_{Cu}=1{,}7\cdot10^{-8}\ Ω m\), πυκνότητα χαλκού \(d_{Cu}=8{,}9\cdot10^{3}\ kg/m^3\). (1,78 kg)

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(R=ρl/S\) βρίσκουμε τη διατομή S, μετά τον όγκο \(V=S l\) και τη μάζα \(m=d V\).

Λύση:

• \( S=\dfrac{ρl}{R}=\dfrac{1{,}7\cdot10^{-8}\cdot 2000}{340}=10^{-7}\ m^2 \)
• \( V=S l=10^{-7}\cdot 2000=2\cdot10^{-4}\ m^3 \)
• \( m=d\,V=8{,}9\cdot10^{3}\cdot 2\cdot10^{-4}=1{,}78\ kg \)

Απάντηση: m = 1,78 kg.

Πρόσεξε:

• Δύο βήματα: πρώτα η γεωμετρία (S), μετά η φυσική του υλικού (πυκνότητα→μάζα).
• Η πυκνότητα d συνδέει όγκο και μάζα — μην τη μπερδεύεις με την ειδική αντίσταση ρ.

---

Πρόβλημα 10 — ειδική αγωγιμότητα

Εκφώνηση: Σύρμα νικελίου έχει αντίσταση R = 13,8Ω και μήκος l = 10m. Αν η διατομή του σύρματος είναι 0,05 mm², να υπολογισθεί η ειδική αγωγιμότητα του νικελίου. \((14{,}49\cdot10^{6}\ Ω^{-1}m^{-1})\)

Πώς σκεφτόμαστε: Ειδική αγωγιμότητα \(g=1/ρ\). Από \(R=ρl/S\) βρίσκουμε ρ, άρα \(g=l/(R S)\).

Λύση:

• \( g=\dfrac{1}{ρ}=\dfrac{l}{R S}=\dfrac{10}{13{,}8\cdot 0{,}05\cdot10^{-6}} \)
• \( g=\dfrac{10}{6{,}9\cdot10^{-7}}\approx 14{,}49\cdot10^{6}\ Ω^{-1}m^{-1} \)

Απάντηση: g ≈ 14,49·10⁶ Ω⁻¹m⁻¹.

Πρόσεξε:

• Η ειδική αγωγιμότητα είναι το αντίστροφο της ειδικής αντίστασης (g=1/ρ).
• 0,05 mm² = 0,05·10⁻⁶ m² = 5·10⁻⁸ m².

---

Πρόβλημα 11 — θερμικός συντελεστής

Εκφώνηση: Αγωγός όταν βρίσκεται στους 0°C έχει αντίσταση \(R_0=10Ω\), ενώ στους 25°C έχει αντίσταση \(R_{25}=11Ω\). Να προσδιορισθεί ο θερμικός συντελεστής αντίστασης του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένος ο αγωγός. \((0{,}004\ grad^{-1})\)

Πώς σκεφτόμαστε: Επειδή δίνεται το \(R_0\), χρησιμοποιούμε απευθείας \(R_θ=R_0(1+αθ)\) και λύνουμε ως προς α.

Λύση:

• \( R_{25}=R_0(1+α\cdot25)\Rightarrow α=\dfrac{R_{25}/R_0-1}{25}=\dfrac{11/10-1}{25} \)
• \( α=\dfrac{0{,}1}{25}=0{,}004\ grad^{-1} \)

Απάντηση: α = 0,004 grad⁻¹.

Πρόσεξε:

• Εδώ δίνεται το \(R_0\) (στους 0°C), οπότε δεν χρειάζεται διαίρεση δύο σχέσεων (σε αντίθεση με την Εφαρμογή 8).
• Θετικό α ⇒ μεταλλικός αγωγός.

---

Πρόβλημα 12 — θερμοκρασία από αντίσταση

Εκφώνηση: Χάλκινος αγωγός στους 0°C έχει αντίσταση \(R_0=10Ω\), ενώ σε θερμοκρασία θ έχει αντίσταση \(R_θ=10{,}39Ω\). Να προσδιορισθεί η θερμοκρασία θ. Δίνεται ο θερμικός συντελεστής αντίστασης του χαλκού \(α_{Cu}=0{,}0039\ grad^{-1}\). (10 °C)

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(R_θ=R_0(1+αθ)\) λύνουμε ως προς θ.

Λύση:

• \( θ=\dfrac{R_θ/R_0-1}{α}=\dfrac{10{,}39/10-1}{0{,}0039}=\dfrac{0{,}039}{0{,}0039}=10\ ^{\circ}C \)

Απάντηση: θ = 10 °C.

Πρόσεξε:

• Ίδιος τύπος με το Πρόβλημα 11, λυμένος ως προς άλλη μεταβλητή (θ αντί για α).
• Πρόσεξε τα δεκαδικά: 0,039/0,0039 = 10.

---

Πρόβλημα 13 — ίσες αντιστάσεις σε θερμοκρασία

Εκφώνηση: Χάλκινος αγωγός στους 0°C έχει αντίσταση \(R_{0(Cu)}=10Ω\). Στην ίδια θερμοκρασία αγωγός από άνθρακα έχει αντίσταση \(R_{0(C)}=12Ω\). Να προσδιορισθεί η θερμοκρασία στην οποία οι δύο αγωγοί έχουν ίσες αντιστάσεις. Δίνονται: \(α_{Cu}=0{,}004\ grad^{-1}\), \(α_C=-0{,}005\ grad^{-1}\). (20 °C)

Πώς σκεφτόμαστε: Θέτουμε \(R_{Cu}(θ)=R_C(θ)\), δηλ. \(10(1+0{,}004θ)=12(1-0{,}005θ)\), και λύνουμε ως προς θ. Ο άνθρακας έχει αρνητικό α (η αντίστασή του πέφτει με τη θερμοκρασία), ο χαλκός θετικό.

Λύση:

• \( 10(1+0{,}004θ)=12(1-0{,}005θ) \)
• \( 10+0{,}04θ=12-0{,}06θ\Rightarrow 0{,}1θ=2\Rightarrow θ=20\ ^{\circ}C \)

Απάντηση: θ = 20 °C.

Πρόσεξε:

• Ο άνθρακας έχει αρνητικό α — η αντίστασή του μειώνεται ενώ του χαλκού αυξάνεται· κάπου τέμνονται.
• Πρόσεξε τα πρόσημα: +0,004 για χαλκό, −0,005 για άνθρακα.

---

Πρόβλημα 14 — απόδοση δεύτερης μηχανής

Εκφώνηση: Δύο μηχανές είναι συνδεμένες ώστε, η ισχύς εξόδου της πρώτης να είναι ισχύς εισόδου της δεύτερης. Η ισχύς εισόδου της πρώτης μηχανής είναι \(P_{i(1)}=10W\), ενώ η ισχύς εξόδου της δεύτερης είναι \(P_{o(2)}=7{,}2W\). Αν ο συντελεστής απόδοσης της πρώτης μηχανής είναι \(α_1=0{,}8\), να υπολογισθεί ο συντελεστής απόδοσης της δεύτερης. (0,9)

Πώς σκεφτόμαστε: Βρίσκουμε την έξοδο της 1ης (=είσοδος της 2ης) από \(P_{o1}=α_1 P_{i1}\), μετά \(α_2=P_{o2}/P_{i2}\).

Λύση:

• \( P_{o1}=α_1 P_{i1}=0{,}8\cdot10=8\ W=P_{i2} \)
• \( α_2=\dfrac{P_{o2}}{P_{i2}}=\dfrac{7{,}2}{8}=0{,}9 \)

Απάντηση: α₂ = 0,9.

Πρόσεξε:

• Το κλειδί: η έξοδος της 1ης μηχανής είναι η είσοδος της 2ης (σύνδεση σε σειρά).
• Η συνολική απόδοση θα ήταν \(α_1 α_2=0{,}72\) (γινόμενο), όχι το άθροισμα.

---