Λύσεις — Κεφάλαιο 11ο · Ηλεκτρικές μηχανές (σελ. 354-361) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 11ο · Ηλεκτρικές μηχανές (σελ. 354–361)

Λύσεις των Εφαρμογών 1–3 και των 8 Προβλημάτων προς λύση (μετασχηματιστές, γεννήτριες V=2nBℓu, κινητήρες P=T·2πn). Τα υπολογίσιμα.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — τάση δευτερεύοντος μετασχηματιστή

Εκφώνηση: Μετασχηματιστής με τάση πρωτεύοντος V₁ = 220(V), έχει αριθμό σπειρών πρωτεύοντος n₁ = 500 σπείρες και αριθμό σπειρών δευτερεύοντος n₂ = 250 σπείρες. Ζητείται η τάση V₂ του δευτερεύοντος.

Πώς σκεφτόμαστε: Σε μετασχηματιστή οι τάσεις είναι ανάλογες των σπειρών: \( \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{n_1}{n_2} \).

Λύση:

• \( V_2=\dfrac{n_2}{n_1}V_1=\dfrac{250}{500}\cdot220=110\ V \)

Απάντηση: V₂ = 110 V (μετασχηματιστής υποβιβασμού).

Πρόσεξε:

• Λιγότερες σπείρες στο δευτερεύον ⇒ μικρότερη τάση και μεγαλύτερο ρεύμα στο δευτερεύον.

Εφαρμογή 2 — ρεύμα δευτερεύοντος και ισχύς Μ/Σ

Εκφώνηση: Η ένταση του ρεύματος στο πρωτεύον πηνίο ενός Μ/Σ είναι 4(A) και η τάση V₁ = 42 (V). Εάν V₂ = 120 (V) να βρεθούν, η ένταση του ρεύματος στο δευτερεύον και η ισχύς του Μ/Σ (απώλειες δεν υπάρχουν, Ρ₁ ≃ Ρ₂).

Πώς σκεφτόμαστε: Χωρίς απώλειες \( V_1I_1=V_2I_2 \), άρα τα ρεύματα είναι αντιστρόφως ανάλογα των τάσεων: \( \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{I_2}{I_1} \).

Λύση:

• \( I_2=I_1\dfrac{V_1}{V_2}=4\cdot\dfrac{42}{120}=1{,}4\ A \)
• \( P=P_1=P_2=V_1I_1=42\cdot4=168\ W \)

Απάντηση: I₂ = 1,4 A, P = 168 W.

Πρόσεξε:

• Μετασχηματιστής ανύψωσης (V₂ > V₁) ⇒ το ρεύμα του δευτερεύοντος είναι μικρότερο.

Εφαρμογή 3 — μετασχηματιστής για φωτισμό κήπου

Εκφώνηση: Για το φωτισμό ενός κήπου απαιτούνται 10 λαμπτήρες συνδεδεμένοι σε σειρά διαρρεόμενοι από ρεύμα εντάσεως I = 5Α. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται μετασχηματιστής ισχύος 200 VA με αριθμό σπειρών πρωτεύοντος n₁ = 1000 σπείρες. Η τάση του πρωτεύοντος είναι 220 V. Ζητείται: α) ο αριθμός σπειρών του δευτερεύοντος n₂. β) Η τάση στο δευτερεύον του μετασχηματιστή V₂ γ) Η τάση κάθε λαμπτήρα (οι απώλειες του μετασχηματιστή θεωρούνται αμελητέες, Ρ₁≃Ρ₂)

Πώς σκεφτόμαστε: Από την ισχύ βρίσκουμε το ρεύμα του πρωτεύοντος. Τα ρεύματα είναι αντιστρόφως ανάλογα των σπειρών \( \dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{I_2}{I_1} \), οι τάσεις ανάλογες. Οι λαμπτήρες σε σειρά μοιράζονται εξίσου την τάση του δευτερεύοντος.

Λύση:

• α) \( I_1=\dfrac{P}{V_1}=\dfrac{200}{220}\approx0{,}9\ A,\quad I_2=5\ A \)
• \( n_2=\dfrac{I_1}{I_2}n_1=\dfrac{0{,}9}{5}\cdot1000=180 \) σπείρες
• β) \( V_2=\dfrac{n_2}{n_1}V_1=\dfrac{180}{1000}\cdot220=39{,}6\ V \)
• γ) \( V_{λαμπ}=\dfrac{V_2}{10}=\dfrac{39{,}6}{10}=3{,}96\ V \)

Απάντηση: α) n₂ = 180 σπείρες, β) V₂ = 39,6 V, γ) 3,96 V ανά λαμπτήρα.

Πρόσεξε:

• Με ακριβή τιμή I₁ = 0,909 A προκύπτουν n₂ ≈ 182 σπείρες και V₂ = 40 V (= P/I₂)· οι τιμές του βιβλίου προέρχονται από τη στρογγύλευση I₁ ≈ 0,9 A.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — σπείρες πρωτεύοντος

Εκφώνηση: Μετασχηματιστής μετατρέπει τάση 1000 (V) σε 1500 (V). Εάν το δευτερεύον έχει 300 σπείρες, πόσες σπείρες έχει το πρωτεύον του Μ/Σ;

Πώς σκεφτόμαστε: \( \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{n_1}{n_2} \), λύνουμε ως προς \( n_1 \).

Λύση:

• \( n_1=n_2\dfrac{V_1}{V_2}=300\cdot\dfrac{1000}{1500}=200 \) σπείρες

Απάντηση: n₁ = 200 σπείρες.

Πρόσεξε:

• Μετασχηματιστής ανύψωσης ⇒ n₂ > n₁.

Πρόβλημα 2 — μετατροπή μετασχηματιστή

Εκφώνηση: Μ/Σ με: n₁ = 300 σπείρες, I₁ = 2(A), Ι₂ = 10 (Α) και V₁ = 220 (V) πρόκειται να μετατραπεί ώστε να δίνει 110 (V) στο δευτερεύον. Ζητούνται: α) ο αριθμός σπειρών n₂ του Μ/Σ πριν τη μετατροπή β) η τάση V₂ του Μ/Σ πριν την μετατροπή γ) πρέπει να προστεθούν ή να αφαιρεθούν σπείρες από το δευτερεύον του Μ/Σ για να έχει έξοδο 110 (V); δ) ο αριθμός των σπειρών που πρέπει να προστεθούν ή να αφαιρεθούν ε) η ισχύς του Μ/Σ πριν και μετά την μετατροπή

Πώς σκεφτόμαστε: Τα ρεύματα είναι αντιστρόφως ανάλογα των σπειρών και οι τάσεις ανάλογες. Για να αυξηθεί η τάση εξόδου πρέπει να αυξηθούν οι σπείρες του δευτερεύοντος.

Λύση:

• α) \( n_2=n_1\dfrac{I_1}{I_2}=300\cdot\dfrac{2}{10}=60 \) σπείρες
• β) \( V_2=V_1\dfrac{n_2}{n_1}=220\cdot\dfrac{60}{300}=44\ V \)
• γ) Αφού 110 V > 44 V, πρέπει να προστεθούν σπείρες στο δευτερεύον.
• δ) \( n_2'=n_1\dfrac{V_2'}{V_1}=300\cdot\dfrac{110}{220}=150 \) σπείρες ⇒ προστίθενται \( 150-60=90 \) σπείρες
• ε) \( P_{πριν}=V_1I_1=220\cdot2=440\ W \)· με το ίδιο ρεύμα πρωτεύοντος \( P_{μετά}=440\ W \) (και \( V_2I_2=44\cdot10=440\ W \))

Απάντηση: α) n₂ = 60, β) V₂ = 44 V, γ) θα προστεθούν, δ) 90 σπείρες, ε) P_πριν = 440 W, P_μετά = 440 W.

Πρόσεξε:

• Η ισχύς του Μ/Σ χωρίς απώλειες είναι ίδια στο πρωτεύον και στο δευτερεύον.

Πρόβλημα 3 — ταχύτητα και συχνότητα γεννήτριας AC

Εκφώνηση: Βρείτε την ταχύτητα περιστροφής του πλαισίου μιας γεννήτριας εναλλασσόμενου ρεύματος, το οποίο περιστρέφεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο 0,2 (Τ). Το πλαίσιο έχει 10 σπείρες, μήκος 0,1 m και παράγει τάση 50 (V). Επίσης, βρείτε τη συχνότητα του ρεύματος εάν είναι γνωστό ότι οι πόλοι είναι 4 και το πλάτος του πλαισίου είναι 0,05 m.

Πώς σκεφτόμαστε: Όπως στις Εφαρμογές 5 και 6, κάθε σπείρα έχει δύο αγωγούς μήκους ℓ που κινούνται κάθετα στο πεδίο, άρα \( V=2nBℓu \). Η ακτίνα περιστροφής είναι το μισό πλάτος, \( u=2πr\cdot n_{στρ} \) και \( f=n_{στρ}\cdot p \), με p τα ζεύγη πόλων.

Λύση:

• \( u=\dfrac{V}{2nBℓ}=\dfrac{50}{2\cdot10\cdot0{,}2\cdot0{,}1}=125\ m/s \)
• \( r=\dfrac{0{,}05}{2}=0{,}025\ m,\quad n_{στρ}=\dfrac{u}{2πr}=\dfrac{125}{2π\cdot0{,}025}\approx795{,}8\ στρ/s \)
• 4 πόλοι ⇒ \( p=2 \): \( f=n_{στρ}\cdot p\approx1591{,}5\ Hz \)

Απάντηση: u = 125 m/s, f ≈ 1591,5 Hz.

Πρόσεξε:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει 50 m/s και 636,6 Hz. Η συχνότητα 636,6 Hz προκύπτει σωστά από u = 50 m/s, όμως η τιμή u = 50 m/s δεν προκύπτει από τα δεδομένα (με u = 50 m/s η τάση θα ήταν V = 2·10·0,2·0,1·50 = 20 V).
• 4 πόλοι = 2 ζεύγη πόλων.

Πρόβλημα 4 — σπείρες πλαισίου γεννήτριας DC

Εκφώνηση: Γεννήτρια συνεχούς ρεύματος το πλαίσιο της οποίας κινείται με ταχύτητα 10 m/s σε μαγνητικό πεδίο 0,5 (Τ) και έχει μήκος 0,5 m, παράγει τάση 100 (V). Πόσες σπείρες έχει το πλαίσιο;

Πώς σκεφτόμαστε: Όπως στην Εφαρμογή 6, n σπείρες δίνουν 2n αγωγούς που κινούνται κάθετα στο πεδίο: \( V=2nBℓu \).

Λύση:

• \( n=\dfrac{V}{2Bℓu}=\dfrac{100}{2\cdot0{,}5\cdot0{,}5\cdot10}=20 \) σπείρες

Απάντηση: n = 20 σπείρες.

Πρόσεξε:

• Κάθε σπείρα έχει δύο πλευρικούς αγωγούς: αν παραλειφθεί ο παράγοντας 2 προκύπτουν λανθασμένα 40 σπείρες.

Πρόβλημα 5 — μαγνητικό πεδίο και ταχύτητα γεννήτριας

Εκφώνηση: Ο δρομέας μιας γεννήτριας έχει 100 σπείρες και στρέφεται με ταχύτητα 50 m/s. Το μήκος του δρομέα είναι 0,5 m. Η γεννήτρια παράγει τάση 500 (V). Βρείτε α) το πεδίο Β β) πόσο πρέπει να γίνει η ταχύτητα για να παράγει 1000 (V);

Πώς σκεφτόμαστε: Με \( V=2nBℓu \) λύνουμε ως προς B. Η τάση είναι ανάλογη της ταχύτητας, άρα διπλάσια τάση θέλει διπλάσια ταχύτητα.

Λύση:

• α) \( B=\dfrac{V}{2nℓu}=\dfrac{500}{2\cdot100\cdot0{,}5\cdot50}=0{,}1\ T \)
• β) \( u'=\dfrac{V'}{2nBℓ}=\dfrac{1000}{2\cdot100\cdot0{,}1\cdot0{,}5}=100\ m/s \)

Απάντηση: α) B = 0,1 T, β) u = 100 m/s.

Πρόσεξε:

• V ∝ u: από 500 V σε 1000 V η ταχύτητα διπλασιάζεται.

Πρόβλημα 6 — συχνότητα τροφοδοσίας σύγχρονου κινητήρα

Εκφώνηση: Σύγχρονος κινητήρας AC έχει 6 ζεύγη πόλων και ο δρομέας του περιστρέφεται με ταχύτητα 100 στρ/sec. Βρείτε τη συχνότητα του AC ρεύματος με το οποίο τροφοδοτείται ο κινητήρας.

Πώς σκεφτόμαστε: Στον σύγχρονο κινητήρα ο δρομέας στρέφεται με την ταχύτητα του στρεφόμενου πεδίου \( n=\dfrac fp \), άρα \( f=n\cdot p \).

Λύση:

• \( f=n\cdot p=100\cdot6=600\ Hz \)

Απάντηση: f = 600 Hz.

Πρόσεξε:

• Εδώ δίνονται ζεύγη πόλων (p = 6), όχι πόλοι.

Πρόβλημα 7 — ασύγχρονος τριφασικός κινητήρας

Εκφώνηση: Ασύγχρονος τριφασικός κινητήρας έχει 4 ζεύγη πόλων και τροφοδοτείται από τριφασικό ρεύμα 50 Hz. Αν η ισχύς που αποδίδει είναι 500 (W) και η ροπή 7 (Nm) βρείτε την ταχύτητα περιστροφής του μαγνητικού πεδίου και την ταχύτητα περιστροφής του δρομέα. (Δίνεται η σχέση Ρ = Τ · 2π n, όπου Ρ : ισχύς, Τ = ροπή, n : ταχύτητα δρομέα).

Πώς σκεφτόμαστε: Η ταχύτητα του στρεφόμενου πεδίου είναι \( n_s=f/p \). Η ταχύτητα του δρομέα προκύπτει από την ισχύ και τη ροπή: \( n=\dfrac{P}{2πT} \)· στον ασύγχρονο κινητήρα είναι μικρότερη από την \( n_s \).

Λύση:

• \( n_s=\dfrac{f}{p}=\dfrac{50}{4}=12{,}5\ στρ/s \)
• \( n=\dfrac{P}{2πT}=\dfrac{500}{2π\cdot7}\approx11{,}36\ στρ/s \)

Απάντηση: n_πεδίου = 12,5 στρ/s, n_δρομέα ≈ 11,36 στρ/s.

Πρόσεξε:

• Έλεγχος: n_δρομέα < n_πεδίου, όπως πρέπει σε ασύγχρονο κινητήρα.

Πρόβλημα 8 — ροπή και ταχύτητα κινητήρα DC

Εκφώνηση: Κινητήρας DC χρησιμοποιείται για τη κίνηση ηλεκτρικού οχήματος. Εάν η τάση τροφοδοσίας του κινητήρα είναι 500 (V) και αποδίδει ισχύ 20 (KW), ο δε δρομέας του έχει μήκος 0,6 m, πλάτος 0,4 m και 40 σπείρες και κινείται σε πεδίο 0,8 Τ, βρείτε την ροπή και τη ταχύτητα περιστροφής του δρομέα εάν ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα είναι 0,8. (Δίνεται: Ρ = Τ · 2πn)

Πώς σκεφτόμαστε: Από την αποδιδόμενη ισχύ και τον βαθμό απόδοσης βρίσκουμε την ισχύ εισόδου και το ρεύμα. Όπως στην Εφαρμογή 8, κάθε σπείρα δίνει ροπή \( 2BIℓr \) με \( r= \) μισό πλάτος· για n σπείρες \( T=2nBIℓr \). Τέλος \( n_{στρ}=\dfrac{P}{2πT} \).

Λύση:

• \( P_{εισ}=\dfrac{P}{η}=\dfrac{20000}{0{,}8}=25000\ W,\quad I=\dfrac{P_{εισ}}{V}=\dfrac{25000}{500}=50\ A \)
• \( r=\dfrac{0{,}4}{2}=0{,}2\ m,\quad T=2\cdot40\cdot0{,}8\cdot50\cdot0{,}6\cdot0{,}2=384\ Nm \)
• \( n_{στρ}=\dfrac{P}{2πT}=\dfrac{20000}{2π\cdot384}\approx8{,}3\ στρ/s \)

Απάντηση: T = 384 Nm, n ≈ 8,3 στρ/s.

Πρόσεξε:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει T = 96 Nm και n = 33 στρ/s· η τιμή 96 Nm δεν προκύπτει με τη μέθοδο της Εφαρμογής 8 για 40 σπείρες και I = 50 A (δίνει 384 Nm). Η σχέση P = T·2πn ισχύει και για τα δύο ζεύγη τιμών.
• Στη σχέση P = T·2πn χρησιμοποιούμε την αποδιδόμενη (μηχανική) ισχύ, όχι την ισχύ εισόδου.