Λύσεις — Κεφάλαιο 5ο · Σήματα και χαρακτηριστικά τους (σελ. 166-172) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 5ο · Σήματα και χαρακτηριστικά τους (σελ. 166–174)

Λύσεις των 4 λυμένων Εφαρμογών και των 5 Προβλημάτων προς λύση (μέση τιμή, ενεργός τιμή, πλάτος διαφόρων κυματομορφών). Όλα τα αριθμητικά επαληθεύτηκαν υπολογιστικά.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — μέση ΚΑΙ ενεργός τιμή σύνθετου σήματος

Εκφώνηση: Για το σήμα του σχήματος (τιμή +1 για διάστημα T/4, τιμή −2 για διάστημα 3T/4) να υπολογιστούν α) η μέση τιμή, β) η ενεργός τιμή.

Πώς σκεφτόμαστε: Δουλεύουμε από τους ΟΡΙΣΜΟΥΣ (το σήμα δεν είναι τυποποιημένη κυματομορφή). Μέση τιμή = αλγεβρικό εμβαδόν/T. Ενεργός τιμή από την ισότητα θερμότητας ανά τμήμα.

Λύση:

• α) Εμβαδόν: \(S_1=1\cdot\dfrac{T}{4}\) (θετικό), \(S_2=-2\cdot\dfrac{3T}{4}\) (αρνητικό).
• \( f_{av}=\dfrac{1\cdot\frac{T}{4}-2\cdot\frac{3T}{4}}{T}=\dfrac{-5}{4}=-1{,}25 \)
• β) Θερμότητα: \(f_{rms}^2 R T = 1^2 R\dfrac{T}{4}+2^2 R\dfrac{3T}{4}\Rightarrow f_{rms}^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{12}{4}=\dfrac{13}{4}\Rightarrow f_{rms}=\sqrt{3{,}25}\approx1{,}80 \)

Απάντηση: α) f_av = −1,25. β) f_rms ≈ 1,80.

Πρόσεξε:

• Το εμβαδόν είναι ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ — το κάτω μέρος αφαιρείται.
• Για την ενεργό τιμή αθροίζουμε τις θερμότητες κάθε τμήματος (\(f^2\cdot\)διάρκεια), όχι τις τιμές.

Εφαρμογή 2 — θετικός τετραγωνικός παλμός (A=10)

Εκφώνηση: Για τον θετικό τετραγωνικό παλμό του σχήματος με πλάτος A=10, να υπολογιστεί η ενεργός τιμή.

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε τον έτοιμο τύπο του θετικού τετραγωνικού παλμού.

Λύση:

• \( f_{rms}=\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}=7{,}07 \)

Απάντηση: f_rms = 7,07.

Πρόσεξε:

• Ο τύπος \(A/\sqrt2\) ισχύει για θετικό τετραγωνικό παλμό (και για ημίτονο).

Εφαρμογή 3 — τριγωνικός παλμός (A=2)

Εκφώνηση: Για τον τριγωνικό παλμό του σχήματος με πλάτος A=2, να υπολογιστούν α) η μέση τιμή, β) η ενεργός τιμή.

Πώς σκεφτόμαστε: Έτοιμοι τύποι τριγωνικού παλμού: \(f_{av}=A/2\), \(f_{rms}=A/\sqrt3\).

Λύση:

• α) \( f_{av}=\dfrac{A}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \)
• β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx1{,}15 \)

Απάντηση: α) f_av = 1. β) f_rms = 2/√3 ≈ 1,15.

Πρόσεξε:

• Ο τριγωνικός και ο πριονωτός έχουν ίδιους τύπους: \(A/2\) και \(A/\sqrt3\).

Εφαρμογή 4 — ημιανορθωμένο ημιτονοειδές (A=3)

Εκφώνηση: Να υπολογιστεί η μέση και η ενεργός τιμή του ημιανορθωμένου ημιτονοειδούς σήματος με πλάτος A=3.

Πώς σκεφτόμαστε: Έτοιμοι τύποι ημιανόρθωσης: \(f_{av}=A/\pi\), \(f_{rms}=A/2\).

Λύση:

• α) \( f_{av}=\dfrac{A}{\pi}=\dfrac{3}{\pi}\approx0{,}95 \)
• β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5 \)

Απάντηση: α) f_av = 3/π ≈ 0,95. β) f_rms = 1,5.

Πρόσεξε:

• Ημιανορθωμένο: \(A/\pi\) & \(A/2\). Πλήρως ανορθωμένο: \(2A/\pi\) & \(A/\sqrt2\) — μην τα μπερδεύεις.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — σήμα σάρωσης (A=3)

Εκφώνηση: Για το σήμα σάρωσης (πριονωτό) του σχήματος με πλάτος A=3, να υπολογιστούν α) η μέση τιμή, β) η ενεργός τιμή.

Πώς σκεφτόμαστε: Έτοιμοι τύποι παλμού σάρωσης: \(f_{av}=A/2\), \(f_{rms}=A/\sqrt3\).

Λύση:

• α) \( f_{av}=\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5 \)
• β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\approx1{,}73 \)

Απάντηση: α) f_av = 1,5. β) f_rms = √3 ≈ 1,73.

Πρόσεξε:

• \(3/\sqrt3=\sqrt3\) — απλοποίηση ρίζας.

Πρόβλημα 2 — πλήρως ανορθωμένο (A=2)

Εκφώνηση: Για το πλήρως ανορθωμένο ημιτονοειδές σήμα με μέγιστη τιμή 2, να υπολογιστούν α) η μέση τιμή, β) η ενεργός τιμή, γ) το πλάτος.

Πώς σκεφτόμαστε: Έτοιμοι τύποι πλήρους ανόρθωσης: \(f_{av}=2A/\pi\), \(f_{rms}=A/\sqrt2\), πλάτος = A.

Λύση:

• α) \( f_{av}=\dfrac{2A}{\pi}=\dfrac{4}{\pi}\approx1{,}27 \)
• β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx1{,}41 \)
• γ) πλάτος \(=A=2\)

Απάντηση: α) f_av = 4/π ≈ 1,27. β) f_rms = √2 ≈ 1,41. γ) πλάτος = 2.

Πρόσεξε:

• Πλήρως ανορθωμένο: η μέση τιμή είναι διπλάσια του ημιανορθωμένου (\(2A/\pi\) vs \(A/\pi\)).

Πρόβλημα 3 — ορθογωνικός παλμός (4, διάρκεια T/8)

Εκφώνηση: Για τον περιοδικό παλμό που παίρνει σταθερή τιμή 4 από 0 έως T/8 και μηδέν στο υπόλοιπο, να υπολογιστούν η μέση και η ενεργός τιμή.

Πώς σκεφτόμαστε: Δουλεύουμε από τους ορισμούς: μέση = εμβαδόν/T· ενεργός από θερμότητα (μόνο το ενεργό τμήμα συνεισφέρει).

Λύση:

• \( f_{av}=\dfrac{4\cdot\frac{T}{8}}{T}=\dfrac{4}{8}=0{,}5 \)
• \( f_{rms}^2=\dfrac{4^2\cdot\frac{T}{8}}{T}=\dfrac{16}{8}=2\Rightarrow f_{rms}=\sqrt{2}\approx1{,}41 \)

Απάντηση: f_av = 0,5, f_rms = √2 ≈ 1,41.

Πρόσεξε:

• Στην ενεργό τιμή μπαίνει το ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ της τιμής (4²=16) επί τη διάρκεια.
• Ο παλμός είναι «στενός» (T/8) γι' αυτό η μέση τιμή είναι μικρή.

Πρόβλημα 4 — τριγωνικό τμήμα (0→2 σε T/4)

Εκφώνηση: Για το σήμα που αυξάνεται γραμμικά από 0 έως 2 στο διάστημα [0, T/4] και μετά μηδενίζεται μέχρι T, να υπολογιστεί η μέση τιμή.

Πώς σκεφτόμαστε: Μέση = εμβαδόν/T. Το εμβαδόν είναι τρίγωνο βάσης T/4 και ύψους 2.

Λύση:

• \( \text{Εμβαδόν}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{T}{4}\cdot2=\dfrac{T}{4} \)
• \( f_{av}=\dfrac{T/4}{T}=0{,}25 \)

Απάντηση: f_av = 0,25.

Πρόσεξε:

• Εμβαδόν τριγώνου = ½·βάση·ύψος. Η βάση είναι μόνο το ενεργό τμήμα (T/4).

Πρόβλημα 5 — μέση τιμή σύνθετου σήματος

Εκφώνηση: Για το σήμα που αυξάνεται γραμμικά από 0 έως 2 στο [0, T/2] και μετά παίρνει σταθερή τιμή −2 έως T, να υπολογιστεί η μέση τιμή.

Πώς σκεφτόμαστε: Μέση = αλγεβρικό εμβαδόν/T. Το πρώτο τμήμα είναι τρίγωνο (θετικό), το δεύτερο ορθογώνιο (αρνητικό).

Λύση:

• Θετικό (τρίγωνο): \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{T}{2}\cdot2=\dfrac{T}{2}\). Αρνητικό (ορθογώνιο): \(-2\cdot\dfrac{T}{2}=-T\).
• \( f_{av}=\dfrac{\frac{T}{2}-T}{T}=\dfrac{-T/2}{T}=-0{,}5 \)

Απάντηση: f_av = −0,5.

Πρόσεξε:

• Πρόσεξε τα πρόσημα: το κάτω τμήμα μετράει αρνητικά στο εμβαδόν.
• Το πρώτο τμήμα είναι τρίγωνο (½·βάση·ύψος), το δεύτερο ορθογώνιο.