Λύσεις — Κεφάλαιο 5ο · Σήματα και χαρακτηριστικά τους (σελ. 166-172) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 5ο · Σήματα και χαρακτηριστικά τους (σελ. 166-172) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 5ο · Σήματα και χαρακτηριστικά τους (σελ. 166–172)

Λύσεις των 5 λυμένων Εφαρμογών και των 5 Προβλημάτων προς λύση (μέση τιμή, ενεργός τιμή, πλάτος διαφόρων κυματομορφών). Όλα τα αριθμητικά επαληθεύτηκαν υπολογιστικά.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — μέση ΚΑΙ ενεργός τιμή σύνθετου σήματος

Εκφώνηση: Για το σήμα που φαίνεται στο σχήμα, να υπολογιστούν: α) Η μέση τιμή β) Η ενεργός τιμή. (Στο σχήμα: το σήμα έχει τιμή 1 από 0 έως T/4 και τιμή −2 από T/4 έως T.)

Πώς σκεφτόμαστε: Δουλεύουμε από τους ΟΡΙΣΜΟΥΣ (το σήμα δεν είναι τυποποιημένη κυματομορφή). Μέση τιμή = αλγεβρικό εμβαδόν/T. Ενεργός τιμή από την ισότητα θερμότητας ανά τμήμα.

Λύση:

α) Εμβαδόν: \(S_1=1\cdot\dfrac{T}{4}\) (θετικό), \(S_2=-2\cdot\dfrac{3T}{4}\) (αρνητικό).
\( f_{av}=\dfrac{1\cdot\frac{T}{4}-2\cdot\frac{3T}{4}}{T}=\dfrac{-5}{4}=-1{,}25 \)
β) Θερμότητα: \(f_{rms}^2 R T = 1^2 R\dfrac{T}{4}+2^2 R\dfrac{3T}{4}\Rightarrow f_{rms}^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{12}{4}=\dfrac{13}{4}\Rightarrow f_{rms}=\sqrt{3{,}25}\approx1{,}80 \)

Απάντηση: α) f_av = −1,25. β) f_rms ≈ 1,80.

Πρόσεξε:

Το εμβαδόν είναι ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ — το κάτω μέρος αφαιρείται.
Για την ενεργό τιμή αθροίζουμε τις θερμότητες κάθε τμήματος (\(f^2\cdot\)διάρκεια), όχι τις τιμές.

Εφαρμογή 2 — μέση τιμή τριγωνικού τμήματος (A=5)

Εκφώνηση: Να υπολογιστεί η μέση τιμή του σήματος. (Στο σχήμα: το σήμα αυξάνεται γραμμικά από 0 έως 5 στο διάστημα 0 έως T/2 και είναι 0 από T/2 έως T.)

Πώς σκεφτόμαστε: Η μέση τιμή ορίζεται ως το εμβαδόν του σήματος σε μία περίοδο διά την περίοδο. Στο πρώτο μισό το εμβαδόν είναι τρίγωνο, στο δεύτερο μηδέν.

Λύση:

Για \(0\le t\le \dfrac{T}{2}\): τρίγωνο με βάση \(\dfrac{T}{2}\) και ύψος 5 ⇒ \(S_1=\dfrac12\cdot\dfrac{T}{2}\cdot5=\dfrac{5T}{4}\).
Για \(\dfrac{T}{2}<t\le T\): \(S_2=0\).
\( f_{av}=\dfrac{S_1+S_2}{T}=\dfrac{5T/4}{T}=\dfrac54=1{,}25 \)

Απάντηση: f_av = 1,25.

Πρόσεξε:

Εμβαδόν τριγώνου = ½·βάση·ύψος· η βάση είναι μόνο το διάστημα όπου το σήμα είναι μη μηδενικό.
Η μέση τιμή διαιρείται με ολόκληρη την περίοδο T, όχι μόνο με το ενεργό τμήμα.

Εφαρμογή 3 — θετικός τετραγωνικός παλμός (A=10)

Εκφώνηση: Να υπολογιστούν: α) Η μέση τιμή. β) Η ενεργός τιμή του σήματος που φαίνεται στο σχήμα. (Στο σχήμα: θετικός τετραγωνικός παλμός με τιμή 10 από 0 έως T/2 και 0 από T/2 έως T.)

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε τους τύπους του θετικού τετραγωνικού παλμού: \(f_{av}=A/2\) και \(f_{rms}=A/\sqrt2\), με πλάτος A = 10.

Λύση:

α) \( f_{av}=\dfrac{A}{2}=\dfrac{10}{2}=5 \)
β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}\approx7{,}07 \)

Απάντηση: α) f_av = 5. β) f_rms ≈ 7,07.

Πρόσεξε:

Ο τύπος \(A/\sqrt2\) ισχύει για θετικό τετραγωνικό παλμό (και για ημίτονο).
Η μέση τιμή είναι A/2, επειδή το σήμα έχει τιμή A μόνο στο μισό της περιόδου.

Εφαρμογή 4 — τριγωνικός παλμός (A=2)

Εκφώνηση: Για τον τριγωνικό παλμό του σχήματος, να υπολογιστούν α) Η μέση τιμή β) Η ενεργός τιμή. (Στο σχήμα: τριγωνικός παλμός με πλάτος A = 2.)

Πώς σκεφτόμαστε: Έτοιμοι τύποι τριγωνικού παλμού: \(f_{av}=A/2\), \(f_{rms}=A/\sqrt3\).

Λύση:

α) \( f_{av}=\dfrac{A}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \)
β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx1{,}15 \)

Απάντηση: α) f_av = 1. β) f_rms = 2/√3 ≈ 1,15.

Πρόσεξε:

Ο τριγωνικός και ο πριονωτός έχουν ίδιους τύπους: \(A/2\) και \(A/\sqrt3\).

Εφαρμογή 5 — ημιανορθωμένο ημιτονοειδές (A=3)

Εκφώνηση: Να υπολογισθεί η μέση τιμή και η ενεργός τιμή, του ημιανορθωμένου ημιτονικού σήματος του παρακάτω σχήματος. (Στο σχήμα: ημιανορθωμένο ημιτονοειδές σήμα με μέγιστη τιμή 3.)

Πώς σκεφτόμαστε: Έτοιμοι τύποι ημιανόρθωσης: \(f_{av}=A/\pi\), \(f_{rms}=A/2\).

Λύση:

α) \( f_{av}=\dfrac{A}{\pi}=\dfrac{3}{\pi}\approx0{,}95 \)
β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5 \)

Απάντηση: α) f_av = 3/π ≈ 0,95. β) f_rms = 1,5.

Πρόσεξε:

Ημιανορθωμένο: \(A/\pi\) & \(A/2\). Πλήρως ανορθωμένο: \(2A/\pi\) & \(A/\sqrt2\) — μην τα μπερδεύεις.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — σήμα σάρωσης (A=3)

Εκφώνηση: Για το σήμα σάρωσης που φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογισθούν: α) Η μέση τιμή β) Η ενεργός τιμή. \((1{,}5,\ \sqrt3)\) (Στο σχήμα: σήμα σάρωσης με μέγιστη τιμή 3.)

Πώς σκεφτόμαστε: Έτοιμοι τύποι παλμού σάρωσης: \(f_{av}=A/2\), \(f_{rms}=A/\sqrt3\).

Λύση:

α) \( f_{av}=\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5 \)
β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\approx1{,}73 \)

Απάντηση: α) f_av = 1,5. β) f_rms = √3 ≈ 1,73.

Πρόσεξε:

\(3/\sqrt3=\sqrt3\) — απλοποίηση ρίζας.

Πρόβλημα 2 — πλήρως ανορθωμένο (A=2)

Εκφώνηση: Να υπολογισθούν: α) Η μέση τιμή β) Η ενεργός τιμή γ) Το πλάτος για το σήμα που φαίνεται στο σχήμα. \((\frac{4}{\pi},\ \sqrt2,\ 2)\) (Στο σχήμα: πλήρως ανορθωμένο ημιτονοειδές σήμα με μέγιστη τιμή 2.)

Πώς σκεφτόμαστε: Έτοιμοι τύποι πλήρους ανόρθωσης: \(f_{av}=2A/\pi\), \(f_{rms}=A/\sqrt2\), πλάτος = A.

Λύση:

α) \( f_{av}=\dfrac{2A}{\pi}=\dfrac{4}{\pi}\approx1{,}27 \)
β) \( f_{rms}=\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx1{,}41 \)
γ) πλάτος \(=A=2\)

Απάντηση: α) f_av = 4/π ≈ 1,27. β) f_rms = √2 ≈ 1,41. γ) πλάτος = 2.

Πρόσεξε:

Πλήρως ανορθωμένο: η μέση τιμή είναι διπλάσια του ημιανορθωμένου (\(2A/\pi\) vs \(A/\pi\)).

Πρόβλημα 3 — ορθογωνικός παλμός (4, διάρκεια T/8)

Εκφώνηση: Ποια είναι η μέση τιμή και ποια είναι η ενεργός τιμή του σήματος που φαίνεται στο σχήμα; \((0{,}5,\ \sqrt2)\) (Στο σχήμα: παλμός με τιμή 4 από 0 έως T/8 και 0 μέχρι το τέλος της περιόδου T.)

Πώς σκεφτόμαστε: Δουλεύουμε από τους ορισμούς: μέση = εμβαδόν/T· ενεργός από θερμότητα (μόνο το ενεργό τμήμα συνεισφέρει).

Λύση:

\( f_{av}=\dfrac{4\cdot\frac{T}{8}}{T}=\dfrac{4}{8}=0{,}5 \)
\( f_{rms}^2=\dfrac{4^2\cdot\frac{T}{8}}{T}=\dfrac{16}{8}=2\Rightarrow f_{rms}=\sqrt{2}\approx1{,}41 \)

Απάντηση: f_av = 0,5, f_rms = √2 ≈ 1,41.

Πρόσεξε:

Στην ενεργό τιμή μπαίνει το ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ της τιμής (4²=16) επί τη διάρκεια.
Ο παλμός είναι «στενός» (T/8) γι' αυτό η μέση τιμή είναι μικρή.

Πρόβλημα 4 — τριγωνικό τμήμα (0→2 σε T/4)

Εκφώνηση: Να υπολογισθεί η μέση τιμή του σήματος που φαίνεται στο σχήμα: (0,25) (Στο σχήμα: το σήμα αυξάνεται γραμμικά από 0 έως 2 στο διάστημα 0 έως T/4 και είναι 0 από T/4 έως T.)

Πώς σκεφτόμαστε: Μέση = εμβαδόν/T. Το εμβαδόν είναι τρίγωνο βάσης T/4 και ύψους 2.

Λύση:

\( \text{Εμβαδόν}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{T}{4}\cdot2=\dfrac{T}{4} \)
\( f_{av}=\dfrac{T/4}{T}=0{,}25 \)

Απάντηση: f_av = 0,25.

Πρόσεξε:

Εμβαδόν τριγώνου = ½·βάση·ύψος. Η βάση είναι μόνο το ενεργό τμήμα (T/4).

Πρόβλημα 5 — μέση τιμή σύνθετου σήματος

Εκφώνηση: Για το σήμα του σχήματος να υπολογισθεί η μέση τιμή: (−0,5) (Στο σχήμα: το σήμα αυξάνεται γραμμικά από 0 έως 2 στο διάστημα 0 έως T/2 και έχει τιμή −2 από T/2 έως T.)

Πώς σκεφτόμαστε: Μέση = αλγεβρικό εμβαδόν/T. Το πρώτο τμήμα είναι τρίγωνο (θετικό), το δεύτερο ορθογώνιο (αρνητικό).

Λύση:

Θετικό (τρίγωνο): \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{T}{2}\cdot2=\dfrac{T}{2}\). Αρνητικό (ορθογώνιο): \(-2\cdot\dfrac{T}{2}=-T\).
\( f_{av}=\dfrac{\frac{T}{2}-T}{T}=\dfrac{-T/2}{T}=-0{,}5 \)

Απάντηση: f_av = −0,5.

Πρόσεξε: