Λύσεις — Κεφάλαιο 6ο · Μαγνητισμός – Ηλεκτρομαγνητισμός (σελ. 192-200) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 6ο · Μαγνητισμός – Ηλεκτρομαγνητισμός (σελ. 192-200) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 6ο · Μαγνητισμός - Ηλεκτρομαγνητισμός (σελ. 192–200)

Λύσεις των 8 λυμένων Εφαρμογών και των 17 Προβλημάτων προς λύση (πεδία αγωγών/πηνίων, δύναμη Lorentz/Laplace, μαγνητική ροπή, ηλεκτρομαγνητική επαγωγή). Όλα τα αριθμητικά επαληθεύτηκαν υπολογιστικά· όπου το βιβλίο δίνει διαφορετική τιμή, σημειώνεται στη λύση.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — ταχύτητα από δύναμη Lorentz

Εκφώνηση: Σωμάτιο φέρει φορτίο q = 2mC και κινείται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 2Τ με σταθερή ταχύτητα κάθετη στις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Στο σωμάτιο ασκείται από το πεδίο δύναμη \(F=4\cdot10^{-3}\ N\). α) Να σχεδιασθεί η δύναμη F. β) Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας του σωματιδίου.

Πώς σκεφτόμαστε: Η δύναμη Lorentz είναι κάθετη και στην ταχύτητα και στην ένταση του πεδίου· η φορά της βρίσκεται με τον κανόνα της δεξιάς χειρός. Για ταχύτητα κάθετη στις δυναμικές γραμμές ισχύει \(F=Bυq\).

Λύση:

α) Η δύναμη σχεδιάζεται κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν η ταχύτητα και η ένταση B, με φορά από τον κανόνα της δεξιάς χειρός (στο δάκτυλο που αντιστοιχεί στο I αντιστοιχίζεται η κατεύθυνση της ταχύτητας).
β) \( F=Bυq\Rightarrow υ=\dfrac{F}{Bq}=\dfrac{4\cdot10^{-3}}{2\cdot2\cdot10^{-3}}=1\ m/s \)

Απάντηση: α) F κάθετη σε υ και B (κανόνας δεξιάς χειρός). β) υ = 1 m/s.

Πρόσεξε:

Σε σχήμα δύο διαστάσεων, διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο σχεδιάζεται ως κύκλος με τελεία (προς τον αναγνώστη) ή με x (αντίθετα).
2 mC = 2·10⁻³ C.

Εφαρμογή 2 — απόσταση από ευθύγραμμο αγωγό

Εκφώνηση: Ευθύγραμμος αγωγός διαρρέεται από ρεύμα I = 2Α. Σε σημείο Α του μαγνητικού πεδίου του αγωγού η ένταση είναι \(B=4\cdot10^{-5}\ T\). Πόσο απέχει το Α από τον αγωγό; Δίνεται \(μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \mathrm{Vs/Am}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Η ένταση του πεδίου ευθύγραμμου αγωγού είναι \(B=\dfrac{μ_0I}{2πr}\)· λύνουμε ως προς την απόσταση r.

Λύση:

\( B=\dfrac{μ_0I}{2πr}\Rightarrow r=\dfrac{μ_0I}{2πB}=\dfrac{4π\cdot10^{-7}\cdot2}{2π\cdot4\cdot10^{-5}}=10^{-2}\ m \)

Απάντηση: r = 10⁻² m = 1 cm.

Πρόσεξε:

Η ένταση του πεδίου ευθύγραμμου αγωγού είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης.

Εφαρμογή 3 — ρεύμα ΚΑΙ τάση κυκλικού αγωγού

Εκφώνηση: Στο κέντρο ρευματοφόρου κυκλικού αγωγού ακτίνας r = 0,1m η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι \(B=4π\cdot10^{-6}\ T\). Ο αγωγός έχει αντίσταση R = 10Ω. Να υπολογισθούν: α) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό. β) Η τάση που εφαρμόζεται στον αγωγό. Δίνεται \(μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \mathrm{Vs/Am}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Στο κέντρο κυκλικού αγωγού \(B=\dfrac{μ_0I}{2r}\), από όπου βρίσκουμε το ρεύμα· η τάση προκύπτει από τον νόμο του Ohm.

Λύση:

α) \( I=\dfrac{2rB}{μ_0}=\dfrac{2\cdot0{,}1\cdot4π\cdot10^{-6}}{4π\cdot10^{-7}}=2\ A \)
β) \( V=I\cdot R=2\cdot10=20\ V \)

Απάντηση: α) I = 2 A. β) V = 20 V.

Πρόσεξε:

Στον κυκλικό αγωγό ο τύπος είναι \(μ_0I/(2r)\), χωρίς το π του ευθύγραμμου αγωγού.

Εφαρμογή 4 — αντίσταση πηνίου

Εκφώνηση: Στα άκρα πηνίου υπάρχει τάση V = 10V. Το πηνίο έχει μήκος l = 2,5cm, και n = 100 σπείρες. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πηνίου είναι \(B=4π\cdot10^{-5}\ T\). Να υπολογισθεί η αντίσταση του πηνίου. Δίνεται \(μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \mathrm{Vs/Am}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Από τον τύπο του πεδίου στο εσωτερικό του πηνίου \(B=μ_0I\dfrac{n}{l}\) βρίσκουμε το ρεύμα και μετά \(R=V/I\).

Λύση:

\( I=\dfrac{Bl}{μ_0n}=\dfrac{4π\cdot10^{-5}\cdot2{,}5\cdot10^{-2}}{4π\cdot10^{-7}\cdot100}=2{,}5\cdot10^{-2}\ A \)
\( R=\dfrac{V}{I}=\dfrac{10}{2{,}5\cdot10^{-2}}=400\ Ω \)

Απάντηση: R = 400 Ω.

Πρόσεξε:

Μετέτρεψε το μήκος σε m: 2,5 cm = 2,5·10⁻² m.

Εφαρμογή 5 — μαγνητική ροπή σπείρας

Εκφώνηση: Κυκλική συρμάτινη σπείρα έχει ακτίνα α = 0,1m και διαρρέεται από ρεύμα έντασης I = 0,1π Α. α) Να σχεδιασθεί η μαγνητική ροπή της σπείρας. β) Να υπολογισθεί το μέτρο της μαγνητικής ροπής.

Πώς σκεφτόμαστε: Η μαγνητική ροπή είναι κάθετη στο επίπεδο της σπείρας, με φορά αυτή του δεξιόστροφου κοχλία που στρέφεται όπως το ρεύμα· το μέτρο της είναι \(μ^*=I\cdot S\) με \(S=πα^2\).

Λύση:

α) Η μαγνητική ροπή σχεδιάζεται κάθετη στο επίπεδο της σπείρας, με φορά τη φορά προς την οποία προχωράει δεξιόστροφος κοχλίας που στρέφεται όπως το ρεύμα.
β) \( μ^*=I\cdot πα^2=0{,}1π\cdot π\cdot0{,}1^2=10^{-3}π^2\approx0{,}01\ Am^2 \)

Απάντηση: β) μ* = 10⁻³π² ≈ 0,01 Am².

Πρόσεξε:

Το βιβλίο γράφει απευθείας 0,01 Am², θεωρώντας π² ≈ 10 (ακριβέστερα 0,00987 Am²).

Εφαρμογή 6 — μήκος αγωγού από δύναμη Laplace

Εκφώνηση: Ευθύγραμμος αγωγός διαρρέεται από ρεύμα έντασης I = 2Α και είναι τοποθετημένος μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 2Τ κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Στον αγωγό ασκείται δύναμη F = 2N από το πεδίο. Ποιο είναι το μήκος του αγωγού;

Πώς σκεφτόμαστε: Ο αγωγός δέχεται δύναμη Laplace με μέτρο \(F=BIl\) (αγωγός κάθετος στις δυναμικές γραμμές)· λύνουμε ως προς το μήκος l.

Λύση:

\( F=BIl\Rightarrow l=\dfrac{F}{BI}=\dfrac{2}{2\cdot2}=0{,}5\ m \)

Απάντηση: l = 0,5 m.

Πρόσεξε:

Ο τύπος F = BIl ισχύει όταν ο αγωγός είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές.

Εφαρμογή 7 — επαγωγική ΗΕΔ από μεταβολή εμβαδού

Εκφώνηση: Εύκαμπτο σύρμα έχει τη μορφή επιπέδου βρόχου, βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 2Τ με το επίπεδό του κάθετο στις δυναμικές γραμμές. Το σύρμα παραμορφώνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η επιφάνειά του να μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό. Αρχικά το εμβαδόν του είναι \(S_1=0{,}3\ m^2\) και σε χρόνο Δt = 2s γίνεται \(S_2=0{,}1\ m^2\). Πόση είναι η επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναμη που εμφανίζεται;

Πώς σκεφτόμαστε: Η επαγωγική τάση δίνεται από τον νόμο \(E=-\dfrac{ΔΦ}{Δt}\). Εδώ το B μένει σταθερό και μεταβάλλεται το εμβαδόν, άρα \(ΔΦ=B(S_2-S_1)\).

Λύση:

\( ΔΦ=Φ_2-Φ_1=B(S_2-S_1)=2\cdot(0{,}1-0{,}3)=-0{,}4\ Wb \)
\( E=-\dfrac{ΔΦ}{Δt}=-\dfrac{-0{,}4}{2}=0{,}2\ V \)

Απάντηση: E = 0,2 V.

Πρόσεξε:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει «20μV»· από τα δεδομένα προκύπτει E = 2·0,2/2 = 0,2 V.
Το αρνητικό πρόσημο στον νόμο της επαγωγής εκφράζει ότι η επαγωγική τάση αντιτίθεται στη μεταβολή της ροής.

Εφαρμογή 8 — ταχύτητα αγωγού από επαγωγική τάση

Εκφώνηση: Αγωγός μήκους l = 1m, βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 2Τ. Ο αγωγός είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου και κινείται με σταθερή ταχύτητα, η οποία είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές. Στα άκρα του αγωγού εμφανίζεται τάση V = 2V. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητάς του;

Πώς σκεφτόμαστε: Σε αγωγό που κινείται κάθετα στις δυναμικές γραμμές η επαγωγική τάση είναι \(V=Bυl\)· λύνουμε ως προς υ.

Λύση:

\( V=Bυl\Rightarrow υ=\dfrac{V}{Bl}=\dfrac{2}{2\cdot1}=1\ m/s \)

Απάντηση: υ = 1 m/s.

Πρόσεξε:

Αν η ταχύτητα σχημάτιζε γωνία θ με τις δυναμικές γραμμές, θα ίσχυε V = Bυl·ημθ.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — ένταση πεδίου από δύναμη Lorentz (γωνία 30°)

Εκφώνηση: Σωμάτιο έχει q = −10mC και κινείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με σταθερή ταχύτητα υ = 10 m/s, η οποία σχηματίζει γωνία θ = 30° με τις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Το σωματίδιο δέχεται δύναμη F = 0,01N από το πεδίο. α) Να σχεδιασθεί η δύναμη Laplace που δέχεται το σωμάτιο. β) Να υπολογισθεί το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου. (0,2 T)

Πώς σκεφτόμαστε: Όταν η ταχύτητα σχηματίζει γωνία θ με τις δυναμικές γραμμές, το μέτρο της δύναμης είναι \(F=Bυ|q|ημθ\). Η φορά της δύναμης βρίσκεται με τον κανόνα της δεξιάς χειρός και, επειδή το φορτίο είναι αρνητικό, αντιστρέφεται.

Λύση:

α) Η δύναμη σχεδιάζεται κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν η ταχύτητα και η ένταση B· η φορά είναι αντίθετη από αυτή που δίνει ο κανόνας της δεξιάς χειρός, γιατί το φορτίο είναι αρνητικό.
β) \( F=Bυ|q|ημθ\Rightarrow B=\dfrac{F}{υ|q|ημθ}=\dfrac{0{,}01}{10\cdot10^{-2}\cdot0{,}5}=0{,}2\ T \)

Απάντηση: α) F κάθετη στο επίπεδο υ–B, με φορά αντίθετη του κανόνα της δεξιάς χειρός (αρνητικό φορτίο). β) B = 0,2 T.

Πρόσεξε:

Η δύναμη που ασκείται σε κινούμενο φορτίο είναι η δύναμη Lorentz (το βιβλίο εδώ τη γράφει «Laplace»· η δύναμη Laplace αφορά ρευματοφόρο αγωγό).
ημ30° = 0,5 και 10 mC = 10⁻² C.

Πρόβλημα 2 — φορτίο από δύναμη Lorentz

Εκφώνηση: Σωματίδιο κινείται με ταχύτητα υ = 5 m/s μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 0,1Τ, κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Η δύναμη που δέχεται το σωμάτιο είναι F = 0,02N. Πόσο φορτίο φέρει το σωματίδιο; (0,04 C)

Πώς σκεφτόμαστε: Δύναμη Lorentz κάθετα: \(F=B\upsilon q\). Λύνουμε ως προς q.

Λύση:

\( q=\dfrac{F}{B\upsilon}=\dfrac{0{,}02}{0{,}1\cdot5}=0{,}04\ C \)

Απάντηση: q = 0,04 C.

Πρόσεξε:

Κάθετη κίνηση ⇒ sinθ=1, άρα \(F=B\upsilon q\).

Πρόβλημα 3 — πεδίο δύο παράλληλων αγωγών

Εκφώνηση: Δύο ευθύγραμμοι παράλληλοι αγωγοί Α και Β, διαρρέονται από ρεύματα εντάσεων \(I_1=1A\) και \(I_2=2A\) αντίστοιχα. Η απόσταση των αγωγών είναι r = 2m. Να υπολογισθεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου σε σημείο Ν, το οποίο βρίσκεται ανάμεσα στους αγωγούς και απέχει d = 1,6m από τον Α. Δίνεται \(μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \mathrm{Vs/Am}\). α) Όταν τα ρεύματα που διαρρέουν τους αγωγούς είναι ομόρροπα. β) Όταν είναι αντίρροπα. \((8{,}75\cdot10^{-7}\ T,\ 1{,}125\cdot10^{-6}\ T)\)

Πώς σκεφτόμαστε: Το κάθε ρεύμα δίνει \(B=μ_0 I/(2πr_i)\). Στο ενδιάμεσο σημείο, στα ομόρροπα τα πεδία είναι αντίθετα (αφαίρεση), στα αντίρροπα ομόρροπα (πρόσθεση).

Λύση:

Αποστάσεις: \(d_1=1{,}6m\) από Α, \(d_2=2-1{,}6=0{,}4m\) από Β.
\( B_1=\dfrac{μ_0 I_1}{2πd_1}=1{,}25·10^{-7}\ T,\quad B_2=\dfrac{μ_0 I_2}{2πd_2}=10^{-6}\ T \)
α) Ομόρροπα (αντίθετα πεδία): \(B=B_2-B_1=8{,}75·10^{-7}\ T\).
β) Αντίρροπα (ομόρροπα πεδία): \(B=B_1+B_2=1{,}125·10^{-6}\ T\).

Απάντηση: α) 8,75·10⁻⁷ T. β) 1,125·10⁻⁶ T.

Πρόσεξε:

Στο ενδιάμεσο σημείο, ομόρροπα ρεύματα ⇒ αντίθετα πεδία (αφαιρούνται)· αντίρροπα ⇒ ομόρροπα πεδία (προστίθενται).
Πρόσεξε: d₂=r−d₁.

Πρόβλημα 4 — σημείο μηδενικού πεδίου

Εκφώνηση: Δυο ευθύγραμμοι αγωγοί Α και Β απέχουν κατά r = 0,5m και διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα εντάσεων \(I_1=3A\) και \(I_2=12A\). Να ευρεθεί η απόσταση σημείου Ν από τον αγωγό Α στον οποίο η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν. (0,1 m)

Πώς σκεφτόμαστε: Μηδενισμός μεταξύ ομόρροπων ⇒ ίσα μέτρα πεδίων: \(μ_0I_1/(2πx)=μ_0I_2/(2π(r-x))\).

Λύση:

\( \dfrac{I_1}{x}=\dfrac{I_2}{r-x}\Rightarrow\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{0{,}5-x}\Rightarrow 3(0{,}5-x)=12x\Rightarrow x=0{,}1\ m \)

Απάντηση: x = 0,1 m από τον Α.

Πρόσεξε:

Το σημείο μηδενισμού είναι πιο κοντά στον αγωγό με το ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ρεύμα (Α).

Πρόβλημα 5 — εμβαδόν κυκλικού αγωγού

Εκφώνηση: Κυκλικός αγωγός διαρρέεται από ρεύμα I = 2A, οπότε στο κέντρο του η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι B = 0,04 mT. Ποιο είναι το εμβαδόν του αγωγού; \((10^{-4}π^3\ m^2)\)

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(B=μ_0I/(2r)\) βρίσκουμε την ακτίνα r, μετά \(S=πr^2\).

Λύση:

\( r=\dfrac{μ_0 I}{2B}=\dfrac{4π·10^{-7}·2}{2·4·10^{-5}}=π·10^{-2}\ m \)
\( S=πr^2=π(π·10^{-2})^2=π^3·10^{-4}\ m^2 \)

Απάντηση: S = π³·10⁻⁴ m² (≈3,1·10⁻³ m²).

Πρόσεξε:

Κυκλικός αγωγός στο κέντρο: \(B=μ_0I/(2r)\) (χωρίς το π του ευθύγραμμου).
0,04 mT = 4·10⁻⁵ T.

Πρόβλημα 6 — δύο ομόκεντροι κυκλικοί αγωγοί

Εκφώνηση: Δύο συρμάτινοι ομοεπίπεδοι ομόκεντροι κυκλικοί αγωγοί έχουν ακτίνες \(r_1=10\ cm\) και \(r_2=5\ cm\) αντίστοιχα. Οι αγωγοί διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα εντάσεων \(I_1=2A\) και \(I_2=5A\). Να υπολογισθεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο των δακτυλίων. \((2{,}4\cdot10^{-5}π\ T)\)

Πώς σκεφτόμαστε: Κάθε αγωγός δίνει \(B_i=μ_0I_i/(2r_i)\) στο κέντρο. Ομόρροπα ⇒ προστίθενται.

Λύση:

\( B=\dfrac{μ_0}{2}\left(\dfrac{I_1}{r_1}+\dfrac{I_2}{r_2}\right)=\dfrac{4π·10^{-7}}{2}\left(\dfrac{2}{0{,}1}+\dfrac{5}{0{,}05}\right)=2π·10^{-7}·120 \)
\( B=2{,}4·10^{-5}π\ T\approx7{,}54·10^{-5}\ T \)

Απάντηση: B = 2,4·10⁻⁵ π T (≈7,54·10⁻⁵ T).

Πρόσεξε:

Ομόρροπα ρεύματα ⇒ ομόρροπα πεδία στο κοινό κέντρο (πρόσθεση).
Μετέτρεψε cm→m πριν τον υπολογισμό.

Πρόβλημα 7 — ύπαρξη ΚΑΙ διαπερατότητα πυρήνα

Εκφώνηση: Πηνίο έχει n = 100 σπείρες και μήκος l = 2,5cm. Το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα έντασης I = 0,1 Α, οπότε η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πηνίου είναι Β = 0,16π Τ. Έχει το πηνίο πυρήνα; Αν έχει, πόση είναι η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένος ο πυρήνας; (1000)

Πώς σκεφτόμαστε: Χωρίς πυρήνα θα ίσχυε \(B_0=μ_0nI/ℓ\). Συγκρίνουμε με το δοσμένο B: αν \(B>B_0\) υπάρχει πυρήνας με \(μ=B/B_0=Bℓ/(μ_0nI)\).

Λύση:

\( μ=\dfrac{Bℓ}{μ_0 n I}=\dfrac{0{,}16π·0{,}025}{4π·10^{-7}·100·0{,}1}=\dfrac{0{,}004π}{4π·10^{-6}}=1000 \)

Απάντηση: Ναι, έχει πυρήνα με μ = 1000 (σιδηρομαγνητικό).

Πρόσεξε:

\(μ\gg1\) ⇒ σιδηρομαγνητικός πυρήνας.
Μετέτρεψε ℓ σε m (2,5cm=0,025m).

Πρόβλημα 8 — τάση τροφοδοσίας πηνίου

Εκφώνηση: Με πόση τάση πρέπει να τροφοδοτηθεί πηνίο, το οποίο έχει 10 σπ./cm, ώστε στο εσωτερικό του να δημιουργηθεί μαγνητικό πεδίο με ένταση Β = 0,1Τ; Αν στο εσωτερικό του πηνίου τοποθετηθεί πυρήνας με μαγνητική διαπερατότητα μ = 1000, ποια πρέπει να είναι η τάση τροφοδοσίας, ώστε η ένταση του μαγνητικού πεδίου να παραμείνει η ίδια; Η αντίσταση του πηνίου είναι R = 100Ω. \(\left(\dfrac{25000}{π}\ V,\ \dfrac{25}{π}\ V\right)\)

Πώς σκεφτόμαστε: Χωρίς πυρήνα \(B=μ_0(n/ℓ)I\Rightarrow I\), μετά \(V=IR\). Με πυρήνα το ίδιο B επιτυγχάνεται με ρεύμα μ φορές μικρότερο.

Λύση:

\( n/ℓ=10\ σπ/cm=1000\ σπ/m \)
\( I=\dfrac{B}{μ_0(n/ℓ)}=\dfrac{0{,}1}{4π·10^{-7}·1000}=\dfrac{250}{π}\ A \)
\( V=IR=\dfrac{250}{π}·100=\dfrac{25000}{π}\ V\approx7958\ V \)
Με πυρήνα μ=1000: \(I'=I/1000\Rightarrow V'=\dfrac{25}{π}\ V\approx7{,}96\ V\).

Απάντηση: Χωρίς πυρήνα: V = 25000/π V (≈7958 V). Με πυρήνα μ=1000: V = 25/π V (≈7,96 V).

Πρόσεξε:

Ο σιδηρομαγνητικός πυρήνας μειώνει δραματικά την απαιτούμενη τάση (κατά μ φορές) — γι' αυτό χρησιμοποιείται.

Πρόβλημα 9 — μήκος σύρματος πηνίου

Εκφώνηση: Πηνίο από χάλκινο σύρμα έχει n = 1000 σπείρες, μήκος l = 1m και τροφοδοτείται από τάση V = 10V. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πηνίου είναι Β = 0,1π Τ. Το χάλκινο σύρμα από το οποίο είναι κατασκευασμένο το πηνίο έχει αντίσταση \(R^*=0{,}01\ Ω/m\). Ποιο είναι το μήκος του χάλκινου σύρματος; (4 m)

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(B=μ_0nI/ℓ\) βρίσκουμε το ρεύμα I, μετά \(R=V/I\) και μήκος \(L=R/R^*\).

Λύση:

\( I=\dfrac{Bℓ}{μ_0 n}=\dfrac{0{,}1π·1}{4π·10^{-7}·1000}=250\ A \)
\( R=\dfrac{V}{I}=\dfrac{10}{250}=0{,}04\ Ω \)
\( L=\dfrac{R}{R^*}=\dfrac{0{,}04}{0{,}01}=4\ m \)

Απάντηση: L = 4 m.

Πρόσεξε:

Τρία βήματα: ρεύμα από το B, αντίσταση από το V/I, μήκος από R/R^*.

Πρόβλημα 10 — πλευρά τετράγωνου πλαισίου

Εκφώνηση: Τετράγωνο συρμάτινο πλαίσιο διαρρέεται από ρεύμα I = 2A, οπότε αποκτά μαγνητική ροπή \(μ^*=2\ Am^2\). Να υπολογισθεί το μήκος της πλευράς του πλαισίου. (1 m)

Πώς σκεφτόμαστε: Μαγνητική ροπή \(μ^*=I·S=I·α^2\). Λύνουμε ως προς α.

Λύση:

\( α=\sqrt{\dfrac{μ^*}{I}}=\sqrt{\dfrac{2}{2}}=1\ m \)

Απάντηση: α = 1 m.

Πρόσεξε:

\(μ^*=I·S\), και για τετράγωνο \(S=α^2\).

Πρόβλημα 11 — τάση για δεδομένη μαγνητική ροπή

Εκφώνηση: Ορθογώνιο συρμάτινο πλαίσιο με διαστάσεις α = 0,1m και β = 0,2m, πρόκειται να χρησιμοποιηθεί ως μαγνητικό δίπολο με μαγνητική ροπή \(μ^*=4\ Am^2\). Το σύρμα από το οποίο είναι κατασκευασμένο το πλαίσιο έχει αντίσταση ανά μονάδα μήκους \(R^*=1\ Ω/m\). Με πόση τάση πρέπει να τροφοδοτηθεί το πλαίσιο; (2,4 V)

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(μ^*=I·S=I·αβ\) βρίσκουμε I. Η αντίσταση είναι \(R=R^*·\text{περίμετρος}=R^*·2(α+β)\), και \(V=IR\).

Λύση:

\( I=\dfrac{μ^*}{αβ}=\dfrac{4}{0{,}1·0{,}2}=200\ A \)
Περίμετρος \(=2(0{,}1+0{,}2)=0{,}6\ m\Rightarrow R=1·0{,}6=0{,}6\ Ω\)
\( V=I·R=200·0{,}6=120\ V \)

Απάντηση: V = 120 V.

Πρόσεξε:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει 2,4 V. Με τα δεδομένα της εκφώνησης (μ = 4 Am², S = 0,02 m²) προκύπτει I = 200 A και V = 120 V· τα 2,4 V αντιστοιχούν σε ρεύμα 4 A, δηλαδή σε μ = 0,08 Am².
Η αντίσταση του πλαισίου είναι η αντίσταση ανά μονάδα μήκους επί την περίμετρο.

Πρόβλημα 12 — επαγωγική τάση από μεταβολή B

Εκφώνηση: Τετράγωνος συρμάτινος αγωγός με πλευρά α = 0,1m βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης \(B_1=2T\), με το επίπεδό του κάθετο στις δυναμικές γραμμές. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου ελαττώνεται με σταθερό ρυθμό και σε χρόνο \(Δt=10^{-3}\ s\) μηδενίζεται. Να υπολογισθεί η επαγωγική τάση που εμφανίζεται στο πηνίο. (20 V)

Πώς σκεφτόμαστε: Η ροή είναι \(Φ=B·S\) (κάθετο επίπεδο, θ=0). Η τάση \(E=ΔΦ/Δt=ΔB·S/Δt\).

Λύση:

\( S=α^2=0{,}01\ m^2 \)
\( E=\dfrac{ΔB·S}{Δt}=\dfrac{2·0{,}01}{10^{-3}}=20\ V \)

Απάντηση: E = 20 V.

Πρόσεξε:

Επίπεδο κάθετο στις γραμμές ⇒ cosθ=1, άρα Φ=B·S.
Εδώ μεταβάλλεται το B (όχι το S ή η γωνία).

Πρόβλημα 13 — επαγωγικό ρεύμα σπείρας σε σωληνοειδές

Εκφώνηση: Στο εσωτερικό σωληνοειδούς βρίσκεται συρμάτινη σπείρα, με το επίπεδό της κάθετο στον άξονα του σωληνοειδούς. Η σπείρα έχει αντίσταση \(R_σ=0{,}4π\ Ω\) και διατομή \(S=2\ cm^2\). Το σωληνοειδές έχει n = 1000 σπείρες, μήκος l = 0,2m και διαρρέεται από ρεύμα \(I_1=2A\). Το ρεύμα του σωληνοειδούς μειώνεται με σταθερό ρυθμό σε \(I_2=1A\) σε χρόνο Δt = 1ms. Να υπολογισθεί το επαγωγικό ρεύμα που διαρρέει τη σπείρα. (1 mA)

Πώς σκεφτόμαστε: Το πεδίο του σωληνοειδούς \(B=μ_0(n/ℓ)I\) μεταβάλλεται. Η μεταβολή ροής στη σπείρα δίνει \(E=ΔΦ/Δt\), και \(I=E/R\).

Λύση:

\( ΔB=μ_0\dfrac{n}{ℓ}ΔI=4π·10^{-7}·\dfrac{1000}{0{,}2}·1=2π·10^{-3}\ T \)
\( ΔΦ=ΔB·S=2π·10^{-3}·2·10^{-4}=4π·10^{-7}\ Wb \)
\( E=\dfrac{ΔΦ}{Δt}=\dfrac{4π·10^{-7}}{10^{-3}}=4π·10^{-4}\ V\Rightarrow I=\dfrac{E}{R}=\dfrac{4π·10^{-4}}{0{,}4π}=10^{-3}\ A \)

Απάντηση: I = 1 mA.

Πρόσεξε:

Μετέτρεψε S=2cm²=2·10⁻⁴ m².
Η σπείρα «βλέπει» το πεδίο του σωληνοειδούς που μεταβάλλεται.

Πρόβλημα 14 — συνολική δύναμη σε πλαίσιο

Εκφώνηση: Τετράγωνο συρμάτινο πλαίσιο έχει πλευρά α = 0,2m και διαρρέεται από ρεύμα Ι = 2Α. Το πλαίσιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1Τ. Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου είναι κάθετες στο επίπεδο του πλαισίου. Να υπολογισθεί η συνολική δύναμη που ασκείται στο πλαίσιο από το πεδίο. (0)

Πώς σκεφτόμαστε: Σε ομογενές πεδίο, οι δυνάμεις Laplace στις απέναντι πλευρές είναι ίσες και αντίθετες.

Λύση:

Οι δυνάμεις στις τέσσερις πλευρές αλληλοαναιρούνται ανά ζεύγη ⇒ συνισταμένη μηδέν.
\( \Sigma\vec F=0 \) (αναπτύσσεται μόνο ροπή, όχι μεταφορική δύναμη).

Απάντηση: Συνολική δύναμη = 0.

Πρόσεξε:

Σε ΟΜΟΓΕΝΕΣ πεδίο η συνολική δύναμη σε κλειστό πλαίσιο είναι πάντα μηδέν — αναπτύσσεται ροπή που το στρέφει.

Πρόβλημα 15 — ισορροπία αγωγού (Laplace = βάρος)

Εκφώνηση: Οριζόντιος ευθύγραμμος αγωγός έχει μήκος l = 1m και διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι = 2 Α. Ο αγωγός ισορροπεί μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο του οποίου οι δυναμικές γραμμές είναι οριζόντιες και κάθετες στον αγωγό. Αν το βάρος του αγωγού είναι 4Ν, να υπολογισθεί το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου. (2 Τ)

Πώς σκεφτόμαστε: Ισορροπία: η δύναμη Laplace \(BIℓ\) εξισορροπεί το βάρος.

Λύση:

\( BIℓ=W\Rightarrow B=\dfrac{W}{Iℓ}=\dfrac{4}{2·1}=2\ T \)

Απάντηση: B = 2 T.

Πρόσεξε:

Ισορροπία ⇒ δύναμη Laplace (προς τα πάνω) = βάρος.
Κάθετος αγωγός στις γραμμές ⇒ sinθ=1.

Πρόβλημα 16 — ένταση από επαγωγική τάση

Εκφώνηση: Ευθύγραμμος αγωγός μήκους l = 0,5m κινείται μέσα σ’ ομογενές μαγνητικό πεδίο με σταθερή ταχύτητα υ = 2 m/s κάθετη στις δυναμικές γραμμές του πεδίου και τον αγωγό. Στον αγωγό εμφανίζεται επαγωγική τάση V = 0,4V. Να υπολογισθεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου. (0,4 Τ)

Πώς σκεφτόμαστε: Κινούμενος αγωγός: \(V=Bℓυ\). Λύνουμε ως προς B.

Λύση:

\( B=\dfrac{V}{ℓυ}=\dfrac{0{,}4}{0{,}5·2}=0{,}4\ T \)

Απάντηση: B = 0,4 T.

Πρόσεξε:

Κάθετη κίνηση ⇒ \(V=Bℓυ\) (χωρίς ημίτονο).

Πρόβλημα 17 — ταχύτητα αγωγού σε ράγες

Εκφώνηση: Αγωγός μήκους l = 0,2m κινείται πάνω σε παράλληλους αγώγιμους οδηγούς Αχ και Βψ με ταχύτητα παράλληλη προς τους οδηγούς. Ο αγωγός είναι συνεχώς κάθετος στους οδηγούς, όπως στο σχήμα. Ομογενές μαγνητικό πεδίο που είναι κάθετο στο επίπεδο των αγωγών έχει ένταση Β = 1Τ. Τα άκρα Α και Β των οδηγών συνδέονται με αντιστάτη R = 2Ω, οπότε ο αγωγός διαρρέεται από ρεύμα Ι = 0,2Α. Να υπολογισθεί η ταχύτητα του αγωγού. (2 m/s)

Πώς σκεφτόμαστε: Η επαγωγική τάση \(V=Bℓυ\) οδηγεί ρεύμα \(I=V/R\). Λύνουμε ως προς υ.

Λύση: