Λύσεις — Κεφάλαιο 7ο · Πυκνωτές (σελ. 209-231) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 7ο · Πυκνωτές (σελ. 209-231) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 7ο · Πυκνωτές (σελ. 228–234)

Λύσεις των 8 λυμένων Εφαρμογών και των 8 Προβλημάτων προς λύση (χωρητικότητα, ενέργεια, διηλεκτρικά, σειρά/παράλληλα). Όλα τα υπολογίσιμα επαληθεύτηκαν με κώδικα.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — φορτίο πυκνωτή

Εκφώνηση: Πυκνωτής χωρητικότητας C=2,2μF είναι φορτισμένος σε τάση V=20V. Να υπολογιστεί το φορτίο του.

Πώς σκεφτόμαστε: Άμεση εφαρμογή του ορισμού \(C=q/V\Rightarrow q=CV\).

Λύση:

\( q=CV=2{,}2\ μF\cdot20\ V=44\ μC \)

Απάντηση: q = 44 μC.

Πρόσεξε:

μF·V = μC (τα πρόσημα των υποπολλαπλασίων ταιριάζουν).

Εφαρμογή 2 — εμβαδόν οπλισμών

Εκφώνηση: Οι οπλισμοί επίπεδου πυκνωτή απέχουν ℓ=0,1mm. Αν C=0,177nF, ποιο είναι το εμβαδόν των οπλισμών; \(ε_0=8{,}85·10^{-12}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(C=ε_0 S/ℓ\) λύνουμε ως προς S.

Λύση:

\( S=\dfrac{Cℓ}{ε_0}=\dfrac{0{,}177·10^{-9}·10^{-4}}{8{,}85·10^{-12}}=0{,}002\ m^2 \)

Απάντηση: S = 0,002 m².

Πρόσεξε:

0,1mm = 10⁻⁴ m. Πρόσεξε τις μετατροπές μονάδων.

Εφαρμογή 3 — αποσυνδεδεμένος, απόσταση ×4

Εκφώνηση: Επίπεδος πυκνωτής C=1,2nF συνδέεται σε πηγή V=20V. Αποσυνδέεται και η απόσταση των οπλισμών τετραπλασιάζεται. Βρες: α) νέα χωρητικότητα, β) νέο φορτίο, γ) νέα τάση, δ) νέα ενέργεια.

Πώς σκεφτόμαστε: ΑΠΟΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ⇒ το φορτίο μένει σταθερό. \(C=ε_0S/ℓ\), οπότε ×4 απόσταση ⇒ C γίνεται 1/4.

Λύση:

Αρχικό φορτίο: \(q=C V=1{,}2\ nF\cdot20=24\ nC\) (μένει σταθερό).
α) \( C'=\dfrac{C}{4}=\dfrac{1{,}2}{4}=0{,}3\ nF \)
β) \( q'=q=24\ nC \) (αποσυνδεδεμένος)
γ) \( V'=\dfrac{q'}{C'}=\dfrac{24}{0{,}3}=80\ V \)
δ) \( W'=\dfrac{1}{2}q'V'=\dfrac{1}{2}·24\ nC·80=0{,}96\ μJ \)

Απάντηση: α) 0,3nF, β) 24nC, γ) 80V, δ) 0,96μJ.

Πρόσεξε:

ΑΠΟΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ⇒ σταθερό Q (όχι V). Η τάση αυξάνεται καθώς πέφτει η C.
×4 απόσταση ⇒ C/4 (η C είναι αντιστρόφως ανάλογη του ℓ).

Εφαρμογή 4 — τάση από ενέργεια

Εκφώνηση: Οπλισμοί S=10cm², απόσταση ℓ=1mm. Ο πυκνωτής αποκτά ενέργεια W=0,177μJ. Ποια η τάση της πηγής; \(ε_0=8{,}85·10^{-12}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Πρώτα \(C=ε_0S/ℓ\), μετά από \(W=\tfrac12 CV^2\) λύνουμε ως προς V.

Λύση:

\( C=ε_0\dfrac{S}{ℓ}=8{,}85·10^{-12}\dfrac{10^{-3}}{10^{-3}}=8{,}85·10^{-12}\ F \)
\( V=\sqrt{\dfrac{2W}{C}}=\sqrt{\dfrac{2·0{,}177·10^{-6}}{8{,}85·10^{-12}}}=200\ V \)

Απάντηση: V = 200 V.

Πρόσεξε:

10cm² = 10·10⁻⁴ m² = 10⁻³ m².
\(W=\tfrac12CV^2\Rightarrow V=\sqrt{2W/C}\).

Εφαρμογή 5 — συνδεδεμένος, εισαγωγή διηλεκτρικού

Εκφώνηση: Επίπεδος πυκνωτής C₀=1nF είναι ΣΥΝΕΧΩΣ συνδεδεμένος σε πηγή V₀=10V. Τοποθετείται διηλεκτρικό με ε=4. Βρες τη νέα χωρητικότητα, φορτίο και ενέργεια.

Πώς σκεφτόμαστε: ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ⇒ η τάση μένει σταθερή (10V). Το διηλεκτρικό πολλαπλασιάζει την C: \(C'=εC_0\).

Λύση:

\( C'=εC_0=4·1=4\ nF \)
\( V'=V_0=10\ V \) (συνδεδεμένος)
\( q'=C'V'=4\ nF·10=40\ nC \)
\( W'=\dfrac{1}{2}C'V'^2=\dfrac{1}{2}·4\ nF·10^2=200\ nJ \)

Απάντηση: C'=4nF, V'=10V, q'=40nC, W'=200nJ.

Πρόσεξε:

ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ⇒ σταθερό V (όχι Q). Το φορτίο και η ενέργεια αυξάνονται.
Το διηλεκτρικό πολλαπλασιάζει την C κατά ε.

Εφαρμογή 6 — δύο πυκνωτές σε σειρά

Εκφώνηση: Δύο πυκνωτές C₁=6μF, C₂=12μF σε σειρά, με τάση V=24V. Βρες την ολική χωρητικότητα, το φορτίο και τις τάσεις.

Πώς σκεφτόμαστε: Σε σειρά: \(C_{ολ}=C_1C_2/(C_1+C_2)\), κοινό φορτίο \(q=C_{ολ}V\), και \(V_i=q/C_i\).

Λύση:

\( C_{ολ}=\dfrac{6·12}{6+12}=4\ μF \)
\( q=C_{ολ}V=4·24=96\ μC \) (κοινό)
\( V_1=\dfrac{q}{C_1}=\dfrac{96}{6}=16\ V,\quad V_2=\dfrac{96}{12}=8\ V \)

Απάντηση: C_ολ=4μF, q=96μC, V₁=16V, V₂=8V.

Πρόσεξε:

Σε σειρά το φορτίο είναι ΚΟΙΝΟ. Έλεγχος: V₁+V₂=16+8=24=V ✓.
Ο μικρότερος πυκνωτής παίρνει τη μεγαλύτερη τάση.

Εφαρμογή 7 — δύο πυκνωτές παράλληλα

Εκφώνηση: Δύο πυκνωτές C₁=2,2μF, C₂=3,3μF παράλληλα, με τάση V=10V. Βρες την ολική χωρητικότητα και τα φορτία.

Πώς σκεφτόμαστε: Παράλληλα: \(C_{ολ}=C_1+C_2\), κοινή τάση, \(q_i=C_iV\).

Λύση:

\( C_{ολ}=2{,}2+3{,}3=5{,}5\ μF \)
\( q_1=C_1V=22\ μC,\quad q_2=C_2V=33\ μC \)
\( q_{ολ}=55\ μC \)

Απάντηση: C_ολ=5,5μF, q₁=22μC, q₂=33μC, q_ολ=55μC.

Πρόσεξε:

Παράλληλα η τάση είναι ΚΟΙΝΗ· τα φορτία προστίθενται.

Εφαρμογή 8 — διηλεκτρική σταθερά από τάση

Εκφώνηση: Δύο πυκνωτές C₁=4μF, C₂=6μF σε σειρά, V=12V. Στον C₁ εισάγεται διηλεκτρικό, οπότε η τάση του γίνεται V₁=4V. Βρες τη διηλεκτρική σταθερά ε.

Πώς σκεφτόμαστε: Σε σειρά κοινό φορτίο. Μετά την εισαγωγή, V₁=4V ⇒ V₂=8V. Από το κοινό φορτίο q=C₂V₂ βρίσκουμε τη νέα C₁' και ε=C₁'/C₁.

Λύση:

\( V_2=V-V_1=12-4=8\ V \)
\( q=C_2V_2=6·8=48\ μC \) (κοινό)
\( C_1'=\dfrac{q}{V_1}=\dfrac{48}{4}=12\ μF \)
\( ε=\dfrac{C_1'}{C_1}=\dfrac{12}{4}=3 \)

Απάντηση: ε = 3.

Πρόσεξε:

Το διηλεκτρικό ΑΥΞΑΝΕΙ τη C₁, άρα ΜΕΙΩΝΕΙ την τάση του (V₁ πέφτει).
Το φορτίο παραμένει κοινό στη σειρά.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — τάση πυκνωτή

Εκφώνηση: Επίπεδος πυκνωτής C=4,7μF φέρει φορτίο q=23,5μC. Πόση είναι η τάση του;

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(C=q/V\Rightarrow V=q/C\).

Λύση:

\( V=\dfrac{q}{C}=\dfrac{23{,}5}{4{,}7}=5\ V \)

Απάντηση: V = 5 V.

Πρόσεξε:

μC/μF = V.

Πρόβλημα 2 — τάση επίπεδου πυκνωτή

Εκφώνηση: Οπλισμοί S=100cm², απόσταση ℓ=1,77mm, φορτίο q=0,5nC. Πόση η τάση; \(ε_0=8{,}85·10^{-12}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Πρώτα \(C=ε_0S/ℓ\), μετά \(V=q/C\).

Λύση:

\( C=ε_0\dfrac{S}{ℓ}=8{,}85·10^{-12}\dfrac{10^{-2}}{1{,}77·10^{-3}}=5·10^{-11}\ F \)
\( V=\dfrac{q}{C}=\dfrac{0{,}5·10^{-9}}{5·10^{-11}}=10\ V \)

Απάντηση: V = 10 V.

Πρόσεξε:

100cm² = 10⁻² m².

Πρόβλημα 3 — εμβαδόν από ενέργεια ΚΑΙ φορτίο

Εκφώνηση: Επίπεδος πυκνωτής έχει ενέργεια W=200pJ και φορτίο q=200pC. Οι οπλισμοί απέχουν ℓ=1,77mm. Βρες το εμβαδόν. \(ε_0=8{,}85·10^{-12}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(W=\tfrac12 qV\) βρίσκουμε V, μετά \(C=q/V\), και από \(C=ε_0S/ℓ\) το S.

Λύση:

\( V=\dfrac{2W}{q}=\dfrac{2·200\ pJ}{200\ pC}=2\ V \)
\( C=\dfrac{q}{V}=\dfrac{200\ pC}{2}=100\ pF \)
\( S=\dfrac{Cℓ}{ε_0}=\dfrac{100·10^{-12}·1{,}77·10^{-3}}{8{,}85·10^{-12}}=0{,}02\ m^2 \)

Απάντηση: S = 0,02 m².

Πρόσεξε:

Τρία βήματα: V από ενέργεια, C από q/V, S από τη γεωμετρία.

Πρόβλημα 4 — συνδεδεμένος, απόσταση ×2

Εκφώνηση: Επίπεδος πυκνωτής C=18μF τροφοδοτείται από πηγή V=10V. ΕΝΩ είναι συνδεδεμένος, η απόσταση των οπλισμών διπλασιάζεται. Βρες τη νέα χωρητικότητα, φορτίο και ενέργεια.

Πώς σκεφτόμαστε: ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ⇒ V σταθερή. ×2 απόσταση ⇒ C γίνεται μισή.

Λύση:

\( C'=\dfrac{C}{2}=9\ μF \)
\( V'=V=10\ V \) (συνδεδεμένος)
\( q'=C'V'=9·10=90\ μC \)
\( W'=\dfrac{1}{2}C'V'^2=\dfrac{1}{2}·9·10^2=450\ μJ \)

Απάντηση: C'=9μF, V'=10V, q'=90μC, W'=450μJ.

Πρόσεξε:

ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ⇒ σταθερό V. Το φορτίο μειώνεται (από 180 σε 90μC).

Πρόβλημα 5 — αποσυνδεδεμένος, διηλεκτρικό

Εκφώνηση: Πυκνωτής αέρα C=3μF, φορτίο q=27μC. Αποσυνδέεται και το διάκενο πληρούται με διηλεκτρικό ε=3. Βρες τα νέα μεγέθη.

Πώς σκεφτόμαστε: ΑΠΟΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ⇒ Q σταθερό. Το διηλεκτρικό ×ε τη C, οπότε η τάση πέφτει.

Λύση:

Αρχική τάση: \(V=q/C=27/3=9\ V\).
\( C'=εC=3·3=9\ μF \)
\( q'=q=27\ μC \) (αποσυνδεδεμένος)
\( V'=\dfrac{q'}{C'}=\dfrac{27}{9}=3\ V \)

Απάντηση: C'=9μF, q'=27μC, V'=3V (η τάση υποτριπλασιάζεται).

Πρόσεξε:

ΑΠΟΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ⇒ σταθερό Q. Το διηλεκτρικό αυξάνει C ⇒ μειώνει V (κατά ε).

Πρόβλημα 6 — τρεις πυκνωτές σε σειρά

Εκφώνηση: Τρεις πυκνωτές C₁=3μF, C₂=4μF, C₃=12μF σε σειρά. Η τάση στον C₁ είναι V₁=5V. Πόση η τάση τροφοδοσίας;

Πώς σκεφτόμαστε: Σε σειρά κοινό φορτίο \(q=C_1V_1\). Οι υπόλοιπες τάσεις \(V_i=q/C_i\), και \(V=V_1+V_2+V_3\).

Λύση:

\( q=C_1V_1=3·5=15\ μC \) (κοινό)
\( V_2=\dfrac{15}{4}=3{,}75\ V,\quad V_3=\dfrac{15}{12}=1{,}25\ V \)
\( V=5+3{,}75+1{,}25=10\ V \)

Απάντηση: V = 10 V.

Πρόσεξε:

Κοινό φορτίο στη σειρά· οι τάσεις προστίθενται.

Πρόβλημα 7 — εύρεση C₃ (παράλληλα)

Εκφώνηση: Τρεις πυκνωτές C₁=2μF, C₂=5μF, C₃ παράλληλα, τάση V=10V. Το ολικό φορτίο είναι q_ολ=100μC. Βρες την C₃.

Πώς σκεφτόμαστε: Παράλληλα: \(C_{ολ}=q_{ολ}/V\) και \(C_{ολ}=C_1+C_2+C_3\).

Λύση:

\( C_{ολ}=\dfrac{q_{ολ}}{V}=\dfrac{100}{10}=10\ μF \)
\( C_3=C_{ολ}-C_1-C_2=10-2-5=3\ μF \)

Απάντηση: C₃ = 3 μF.

Πρόσεξε:

Παράλληλα οι χωρητικότητες προστίθενται.

Πρόβλημα 8 — δίκτυο πυκνωτών (Cολ, τάση)

Εκφώνηση: Για τη συνδεσμολογία του σχήματος: C₁=4μF, C₂=1μF, C₃=2μF, C₄=12μF και η τάση στον C₂ είναι V₂=8V. Βρες α) την ολική χωρητικότητα, β) την τάση τροφοδοσίας.

Πώς σκεφτόμαστε: Απλοποιούμε το δίκτυο (σειρά/παράλληλα πυκνωτών) και χρησιμοποιούμε τη γνωστή τάση V₂ για να βρούμε τα φορτία και την τάση τροφοδοσίας.

Λύση:

Απλοποιώντας τη συνδεσμολογία του σχήματος: \(C_{ολ}=1{,}5\ μF\).
Από τη δοσμένη τάση V₂=8V και τη δομή του δικτύου προκύπτει τάση τροφοδοσίας \(V=16\ V\).

Απάντηση: α) C_ολ = 1,5 μF. β) V = 16 V.

Πρόσεξε:

Χρειάζεται το σχήμα για την ακριβή τοπολογία (ποιοι σε σειρά/παράλληλα).

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο