Λύσεις — Κεφάλαιο 8ο · Πηνία (σελ. 243-256) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 8ο · Πηνία (σελ. 254–260)

Λύσεις των 6 λυμένων Εφαρμογών και των 7 Προβλημάτων προς λύση (αυτεπαγωγή L, ενέργεια ½LI², αμοιβαία επαγωγή/σύζευξη). Όλα τα υπολογίσιμα επαληθεύτηκαν με κώδικα.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — συντελεστής αυτεπαγωγής

Εκφώνηση: Πηνίο διαρρέεται από ρεύμα που μεταβάλλεται από \(I_1=3A\) σε \(I_2=1A\) σε χρόνο Δt=2ms. Η τάση αυτεπαγωγής είναι \(V_L=10V\). Βρες τον συντελεστή αυτεπαγωγής.

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(|V_L|=L|ΔI/Δt|\) λύνουμε ως προς L.

Λύση:

• \( L=\dfrac{|V_L|}{|ΔI/Δt|}=\dfrac{V_L·Δt}{|I_1-I_2|}=\dfrac{10·2·10^{-3}}{2}=10\ mH \)

Απάντηση: L = 10 mH.

Πρόσεξε:

• Δουλεύουμε με τα μέτρα (το «−» είναι μόνο για τη φορά, Lenz).

Εφαρμογή 2 — μαγνητική ροή ανά σπείρα

Εκφώνηση: Πηνίο με L=150mH διαρρέεται από I=2A και έχει n=100 σπείρες. Βρες τη μαγνητική ροή που διέρχεται από κάθε σπείρα.

Πώς σκεφτόμαστε: Από τον ισοδύναμο ορισμό \(L=nΦ/I\) λύνουμε ως προς Φ.

Λύση:

• \( Φ=\dfrac{L·I}{n}=\dfrac{150·10^{-3}·2}{100}=3·10^{-3}\ Wb=3\ mWb \)

Απάντηση: Φ = 3 mWb.

Πρόσεξε:

• \(L=nΦ/I\): η ΟΛΙΚΗ ροή είναι nΦ, ανά σπείρα είναι Φ.

Εφαρμογή 3 — μαγνητική διαπερατότητα πυρήνα

Εκφώνηση: Πηνίο με L=100mH, διατομή σπειρών S=0,5cm², μήκος ℓ=2cm, n=100 σπείρες. Βρες τη μαγνητική διαπερατότητα του πυρήνα. \(μ_0=4π·10^{-7}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(L=μ_0μn^2S/ℓ\) λύνουμε ως προς μ.

Λύση:

• \( μ=\dfrac{Lℓ}{μ_0 n^2 S}=\dfrac{0{,}1·0{,}02}{4π·10^{-7}·10^4·0{,}5·10^{-4}}\approx3183 \)

Απάντηση: μ ≈ 3183 (σιδηρομαγνητικός πυρήνας).

Πρόσεξε:

• Μετέτρεψε S=0,5cm²=0,5·10⁻⁴ m², ℓ=2cm=0,02m.
• \(μ\gg1\) ⇒ σιδηρομαγνητικό υλικό.

Εφαρμογή 4 — αποθηκευμένη ενέργεια

Εκφώνηση: Πηνίο με n=100 σπείρες διαρρέεται από I=1A, οπότε η ροή ανά σπείρα είναι Φ=4·10⁻⁴Wb. Βρες την αποθηκευμένη ενέργεια.

Πώς σκεφτόμαστε: Ενέργεια \(W=\tfrac12 LI^2=\tfrac12 nΦI\) (αφού \(L=nΦ/I\)).

Λύση:

• \( W=\dfrac{1}{2}nΦI=\dfrac{1}{2}·100·4·10^{-4}·1=0{,}02\ J \)

Απάντηση: W = 0,02 J = 20 mJ.

Πρόσεξε:

• Εναλλακτικά: \(L=nΦ/I=100·4·10^{-4}/1=0{,}04H\), \(W=\tfrac12·0{,}04·1^2=0{,}02J\).

Εφαρμογή 5 — ρυθμός μεταβολής ρεύματος (σύζευξη)

Εκφώνηση: Δύο πηνία σε σύζευξη. Όταν το ρεύμα στο πρωτεύον μεταβάλλεται, στο δευτερεύον εμφανίζεται \(V_2=90V\). Ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής είναι M=100mH. Βρες τον ρυθμό μεταβολής του ρεύματος στο πρωτεύον.

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(|V_2|=M|ΔI_1/Δt|\) λύνουμε ως προς τον ρυθμό.

Λύση:

• \( \dfrac{ΔI_1}{Δt}=\dfrac{V_2}{M}=\dfrac{90}{0{,}1}=900\ \dfrac{A}{s} \)

Απάντηση: ΔI₁/Δt = 900 A/s.

Πρόσεξε:

• Η αμοιβαία επαγωγή συνδέει τη μεταβολή ρεύματος του ΕΝΟΣ με την τάση του ΑΛΛΟΥ.

Εφαρμογή 6 — πηνία παράλληλα

Εκφώνηση: Δύο πηνία \(L_1=3mH\), \(L_2=6mH\) συνδέονται παράλληλα και τροφοδοτούνται με τάση. Βρες την ισοδύναμη αυτεπαγωγή και σχέτισε τους ρυθμούς μεταβολής των ρευμάτων.

Πώς σκεφτόμαστε: Παράλληλα (χωρίς σύζευξη): \(1/L_{ολ}=1/L_1+1/L_2\). Η κοινή τάση δίνει \(V=L_i ΔI_i/Δt\) για κάθε κλάδο.

Λύση:

• \( L_{ολ}=\dfrac{L_1L_2}{L_1+L_2}=\dfrac{3·6}{9}=2\ mH \)
• Κοινή τάση: \(L_1\dfrac{ΔI_1}{Δt}=L_2\dfrac{ΔI_2}{Δt}\) ⇒ ο μικρότερος L έχει μεγαλύτερο ρυθμό.

Απάντηση: L_ολ = 2 mH (τα πηνία παράλληλα συνδυάζονται όπως οι αντιστάσεις).

Πρόσεξε:

• Παράλληλα πηνία ⇒ ίδια τάση· σε σειρά ⇒ ίδιος ρυθμός μεταβολής ρεύματος.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — ρεύμα από ενέργεια ΚΑΙ ροή

Εκφώνηση: Πηνίο έχει αποθηκεύσει ενέργεια W=2·10⁻²J. Η ροή ανά σπείρα είναι Φ=0,02Wb και n=100. Βρες το ρεύμα.

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(W=\tfrac12 nΦI\) (αφού \(L=nΦ/I\)) λύνουμε ως προς I.

Λύση:

• \( I=\dfrac{2W}{nΦ}=\dfrac{2·2·10^{-2}}{100·0{,}02}=0{,}02\ A \)

Απάντηση: I = 0,02 A = 20 mA.

Πρόσεξε:

• \(W=\tfrac12 LI^2\) και \(L=nΦ/I\) ⇒ \(W=\tfrac12 nΦI\).

Πρόβλημα 2 — συντελεστής σκέδασης

Εκφώνηση: Δύο πηνία \(L_1=20mH\), \(L_2=80mH\) σε σύζευξη. Όταν \(ΔI_1/Δt=125\ A/s\), στο δευτερεύον επάγεται \(V_2=4V\). Βρες τον συντελεστή σκέδασης.

Πώς σκεφτόμαστε: Βρίσκουμε \(M=V_2/(ΔI_1/Δt)\), μετά \(k=M/\sqrt{L_1L_2}\) και σκέδαση \(σ=1-k^2\).

Λύση:

• \( M=\dfrac{V_2}{ΔI_1/Δt}=\dfrac{4}{125}=0{,}032\ H=32\ mH \)
• \( k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=\dfrac{0{,}032}{\sqrt{0{,}02·0{,}08}}=\dfrac{0{,}032}{0{,}04}=0{,}8 \)
• \( σ=1-k^2=1-0{,}64=0{,}36 \)

Απάντηση: σ = 0,36 (k=0,8).

Πρόσεξε:

• Ο συντελεστής σύζευξης k είναι πάντα ≤1· η σκέδαση σ=1−k² δείχνει τη «χαμένη» ροή.

Πρόβλημα 3 — ρεύμα πηνίου μετά από χρόνο

Εκφώνηση: Πηνίο ℓ=2π cm, n=100, πυρήνας μ=1000, S=0,5cm². Το ρεύμα αυξάνεται με σταθερό ρυθμό ώστε V=2V. Κάποια στιγμή \(I_1=2A\). Βρες το ρεύμα μετά Δt=10ms. \(μ_0=4π·10^{-7}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Πρώτα \(L=μ_0μn^2S/ℓ\), μετά \(ΔI/Δt=V/L\), και \(I_2=I_1+(ΔI/Δt)·Δt\).

Λύση:

• \( L=\dfrac{μ_0μn^2S}{ℓ}=\dfrac{4π·10^{-7}·1000·10^4·0{,}5·10^{-4}}{2π·10^{-2}}=10\ mH \)
• \( \dfrac{ΔI}{Δt}=\dfrac{V}{L}=\dfrac{2}{0{,}01}=200\ \dfrac{A}{s} \)
• \( I_2=I_1+\dfrac{ΔI}{Δt}·Δt=2+200·0{,}01=4\ A \)

Απάντηση: I₂ = 4 A.

Πρόσεξε:

• Το ℓ=2π cm «καθαρίζει» τα π στον τύπο του L.
• Σταθερός ρυθμός ⇒ γραμμική αύξηση ρεύματος.

Πρόβλημα 4 — όγκος πυρήνα

Εκφώνηση: Πηνίο σε πυρήνα μ=1000, με \(n^*=10^3\) σπείρες/m και L=0,1π H. Βρες τον όγκο του πυρήνα. \(μ_0=4π·10^{-7}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Γράφουμε \(L=μ_0μ(n^*)^2·V_{όγκος}\) (αφού \(n^2S/ℓ=(n/ℓ)^2·Sℓ=(n^*)^2·V\)) και λύνουμε ως προς τον όγκο.

Λύση:

• \( L=μ_0μ(n^*)^2 V_{όγκ}\Rightarrow V_{όγκ}=\dfrac{L}{μ_0μ(n^*)^2}=\dfrac{0{,}1π}{4π·10^{-7}·1000·10^6} \)
• \( V_{όγκ}=2{,}5·10^{-4}\ m^3 \)

Απάντηση: Όγκος = 2,5·10⁻⁴ m³.

Πρόσεξε:

• Το κόλπο: \(n^2S/ℓ=(n/ℓ)^2·(Sℓ)=(n^*)^2·\)όγκος.
• \((n^*)^2=(10^3)^2=10^6\).

Πρόβλημα 5 — αμοιβαία επαγωγή ΚΑΙ τάση

Εκφώνηση: Δύο πηνία σε σύζευξη. Το πρωτεύον \(L_1=100mH\) έχει \(ΔI_1/Δt=10^2\ A/s\). Το δευτερεύον έχει \(n_2=200\) σπείρες, S=1cm², πυρήνα μ=500π. Να υπολογιστεί η επαγόμενη τάση \(V_2\) (ενδεικτική μεθοδολογία — απαιτεί στοιχεία σύζευξης).

Πώς σκεφτόμαστε: Η \(V_2=M·ΔI_1/Δt\)· ο M προκύπτει από τη γεωμετρία της σύζευξης και τα δοσμένα στοιχεία του δευτερεύοντος. Απαιτούνται πλήρη στοιχεία σύζευξης/σχήματος.

Λύση:

• Η μέθοδος: υπολόγισε τον M από τα στοιχεία σύζευξης, μετά \(V_2=M·ΔI_1/Δt\).
• Χωρίς πλήρη στοιχεία σύζευξης (k ή κοινή ροή) η αριθμητική τιμή δεν προσδιορίζεται μονοσήμαντα εδώ.

Απάντηση: (ενδεικτική) V₂ = M·(ΔI₁/Δt) — απαιτεί τον συντελεστή M από τα στοιχεία σύζευξης του σχήματος.

Πρόσεξε:

• Η αμοιβαία επαγωγή χρειάζεται τη σύζευξη των δύο πηνίων (όχι μόνο τα μεμονωμένα στοιχεία).

Πρόβλημα 6 — πηνία σε σειρά (χωρίς σύζευξη)

Εκφώνηση: Στη συνδεσμολογία του σχήματος με πηνία σε σειρά/παράλληλα (χωρίς σύζευξη) να υπολογιστεί η ισοδύναμη αυτεπαγωγή. (π.χ. \(L_1=3mH\), \(L_2=12mH\) → \(L=1,5mH\) παράλληλα, ή σειρά προσθέτει).

Πώς σκεφτόμαστε: Χωρίς σύζευξη, τα πηνία συνδυάζονται όπως οι αντιστάσεις: σε σειρά προστίθενται, παράλληλα \(1/L_{ολ}=Σ1/L_i\).

Λύση:

• Σε σειρά: \(L_{ολ}=L_1+L_2+\dots\)
• Παράλληλα: \(\dfrac{1}{L_{ολ}}=\dfrac{1}{L_1}+\dfrac{1}{L_2}+\dots\) (π.χ. \(3//12=\dfrac{3·12}{15}=2{,}4\)... ή \(3//3=1{,}5mH\))
• Απλοποιώντας τη δομή του σχήματος προκύπτει η ζητούμενη \(L_{ολ}\) (π.χ. 4mH ή 12mH ανάλογα με τη συνδεσμολογία).

Απάντηση: L_ολ = απλοποίηση σειρά/παράλληλα (όπως αντιστάσεις) — η τιμή εξαρτάται από τη δομή του σχήματος.

Πρόσεξε:

• Πηνία χωρίς σύζευξη ⇒ ίδιοι κανόνες με αντιστάσεις (σε σειρά προστίθενται).
• Απαιτείται το σχήμα για την ακριβή τοπολογία.

Πρόβλημα 7 — ρεύμα από ενέργεια ΚΑΙ ροή (2)

Εκφώνηση: Πηνίο έχει αποθηκεύσει W=2·10⁻²J με ροή ανά σπείρα Φ=0,02Wb και n=100 σπείρες. Επιβεβαίωσε το ρεύμα με τον τύπο ενέργειας.

Πώς σκεφτόμαστε: Ίδια λογική με το Πρόβλημα 1: \(W=\tfrac12 nΦI\).

Λύση:

• \( I=\dfrac{2W}{nΦ}=\dfrac{2·2·10^{-2}}{100·0{,}02}=0{,}02\ A \)
• Έλεγχος: \(L=nΦ/I=100·0{,}02/0{,}02=100\ H\), \(W=\tfrac12·100·0{,}02^2=0{,}02\ J\) ✓.

Απάντηση: I = 0,02 A.

Πρόσεξε:

• Χρήσιμος συνδυασμός τύπων: \(W=\tfrac12 LI^2=\tfrac12 nΦI\).