Λύσεις — Κεφάλαιο 6ο · Μαγνητισμός – Ηλεκτρομαγνητισμός (σελ. 197-200) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 6ο · Μαγνητισμός – Ηλεκτρομαγνητισμός (σελ. 197-200) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 6ο · Μαγνητισμός - Ηλεκτρομαγνητισμός (σελ. 198–202)

Λύσεις των 16 Προβλημάτων προς λύση (πεδία αγωγών/πηνίων, δύναμη Lorentz/Laplace, μαγνητική ροπή, ηλεκτρομαγνητική επαγωγή). 15/16 επαληθευμένα με κώδικα· το Π10 έχει αριθμητική ασυνέπεια στο βιβλίο.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — φορτίο από δύναμη Lorentz

Εκφώνηση: Σωμάτιο κινείται με u=5 m/s μέσα σε ομογενές πεδίο B=0,1T, κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Η δύναμη είναι F=0,02N. Πόσο φορτίο φέρει;

Πώς σκεφτόμαστε: Δύναμη Lorentz κάθετα: \(F=B\upsilon q\). Λύνουμε ως προς q.

Λύση:

\( q=\dfrac{F}{B\upsilon}=\dfrac{0{,}02}{0{,}1\cdot5}=0{,}04\ C \)

Απάντηση: q = 0,04 C.

Πρόσεξε:

Κάθετη κίνηση ⇒ sinθ=1, άρα \(F=B\upsilon q\).

Πρόβλημα 2 — πεδίο δύο παράλληλων αγωγών

Εκφώνηση: Δύο παράλληλοι αγωγοί Α, Β με \(I_1=1A\), \(I_2=2A\), απόσταση r=2m. Βρες την ένταση στο Ν (μεταξύ τους, d=1,6m από Α): α) ομόρροπα, β) αντίρροπα. \(μ_0=4π·10^{-7}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Το κάθε ρεύμα δίνει \(B=μ_0 I/(2πr_i)\). Στο ενδιάμεσο σημείο, στα ομόρροπα τα πεδία είναι αντίθετα (αφαίρεση), στα αντίρροπα ομόρροπα (πρόσθεση).

Λύση:

Αποστάσεις: \(d_1=1{,}6m\) από Α, \(d_2=2-1{,}6=0{,}4m\) από Β.
\( B_1=\dfrac{μ_0 I_1}{2πd_1}=1{,}25·10^{-7}\ T,\quad B_2=\dfrac{μ_0 I_2}{2πd_2}=10^{-6}\ T \)
α) Ομόρροπα (αντίθετα πεδία): \(B=B_2-B_1=8{,}75·10^{-7}\ T\).
β) Αντίρροπα (ομόρροπα πεδία): \(B=B_1+B_2=1{,}125·10^{-6}\ T\).

Απάντηση: α) 8,75·10⁻⁷ T. β) 1,125·10⁻⁶ T.

Πρόσεξε:

Στο ενδιάμεσο σημείο, ομόρροπα ρεύματα ⇒ αντίθετα πεδία (αφαιρούνται)· αντίρροπα ⇒ ομόρροπα πεδία (προστίθενται).
Πρόσεξε: d₂=r−d₁.

Πρόβλημα 3 — σημείο μηδενικού πεδίου

Εκφώνηση: Δύο αγωγοί Α, Β απέχουν r=0,5m με ομόρροπα ρεύματα \(I_1=3A\), \(I_2=12A\). Βρες την απόσταση από τον Α σημείου Ν όπου το πεδίο μηδενίζεται.

Πώς σκεφτόμαστε: Μηδενισμός μεταξύ ομόρροπων ⇒ ίσα μέτρα πεδίων: \(μ_0I_1/(2πx)=μ_0I_2/(2π(r-x))\).

Λύση:

\( \dfrac{I_1}{x}=\dfrac{I_2}{r-x}\Rightarrow\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{0{,}5-x}\Rightarrow 3(0{,}5-x)=12x\Rightarrow x=0{,}1\ m \)

Απάντηση: x = 0,1 m από τον Α.

Πρόσεξε:

Το σημείο μηδενισμού είναι πιο κοντά στον αγωγό με το ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ρεύμα (Α).

Πρόβλημα 4 — εμβαδόν κυκλικού αγωγού

Εκφώνηση: Κυκλικός αγωγός με I=2A δίνει στο κέντρο B=0,04mT. Ποιο είναι το εμβαδόν του; \(μ_0=4π·10^{-7}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(B=μ_0I/(2r)\) βρίσκουμε την ακτίνα r, μετά \(S=πr^2\).

Λύση:

\( r=\dfrac{μ_0 I}{2B}=\dfrac{4π·10^{-7}·2}{2·4·10^{-5}}=π·10^{-2}\ m \)
\( S=πr^2=π(π·10^{-2})^2=π^3·10^{-4}\ m^2 \)

Απάντηση: S = π³·10⁻⁴ m² (≈3,1·10⁻³ m²).

Πρόσεξε:

Κυκλικός αγωγός στο κέντρο: \(B=μ_0I/(2r)\) (χωρίς το π του ευθύγραμμου).
0,04 mT = 4·10⁻⁵ T.

Πρόβλημα 5 — δύο ομόκεντροι κυκλικοί αγωγοί

Εκφώνηση: Δύο ομοεπίπεδοι ομόκεντροι κυκλικοί αγωγοί ακτίνων \(r_1=10cm\), \(r_2=5cm\) με ομόρροπα \(I_1=2A\), \(I_2=5A\). Βρες την ένταση στο κέντρο.

Πώς σκεφτόμαστε: Κάθε αγωγός δίνει \(B_i=μ_0I_i/(2r_i)\) στο κέντρο. Ομόρροπα ⇒ προστίθενται.

Λύση:

\( B=\dfrac{μ_0}{2}\left(\dfrac{I_1}{r_1}+\dfrac{I_2}{r_2}\right)=\dfrac{4π·10^{-7}}{2}\left(\dfrac{2}{0{,}1}+\dfrac{5}{0{,}05}\right)=2π·10^{-7}·120 \)
\( B=2{,}4·10^{-5}π\ T\approx7{,}54·10^{-5}\ T \)

Απάντηση: B = 2,4·10⁻⁵ π T (≈7,54·10⁻⁵ T).

Πρόσεξε:

Ομόρροπα ρεύματα ⇒ ομόρροπα πεδία στο κοινό κέντρο (πρόσθεση).
Μετέτρεψε cm→m πριν τον υπολογισμό.

Πρόβλημα 6 — ύπαρξη ΚΑΙ διαπερατότητα πυρήνα

Εκφώνηση: Πηνίο με n=100 σπείρες, μήκος ℓ=2,5cm, I=0,1A δίνει στο εσωτερικό B=0,16π T. Έχει πυρήνα; Αν ναι, πόση η μαγνητική διαπερατότητα;

Πώς σκεφτόμαστε: Χωρίς πυρήνα θα ίσχυε \(B_0=μ_0nI/ℓ\). Συγκρίνουμε με το δοσμένο B: αν \(B>B_0\) υπάρχει πυρήνας με \(μ=B/B_0=Bℓ/(μ_0nI)\).

Λύση:

\( μ=\dfrac{Bℓ}{μ_0 n I}=\dfrac{0{,}16π·0{,}025}{4π·10^{-7}·100·0{,}1}=\dfrac{0{,}004π}{4π·10^{-6}}=1000 \)

Απάντηση: Ναι, έχει πυρήνα με μ = 1000 (σιδηρομαγνητικό).

Πρόσεξε:

\(μ\gg1\) ⇒ σιδηρομαγνητικός πυρήνας.
Μετέτρεψε ℓ σε m (2,5cm=0,025m).

Πρόβλημα 7 — τάση τροφοδοσίας πηνίου

Εκφώνηση: Πηνίο έχει 10 σπείρες/cm. Με πόση τάση τροφοδοτείται ώστε B=0,1T στο εσωτερικό; Αν μπει πυρήνας μ=1000, ποια τάση για ίδιο B; Αντίσταση R=100Ω.

Πώς σκεφτόμαστε: Χωρίς πυρήνα \(B=μ_0(n/ℓ)I\Rightarrow I\), μετά \(V=IR\). Με πυρήνα το ίδιο B επιτυγχάνεται με ρεύμα μ φορές μικρότερο.

Λύση:

\( n/ℓ=10\ σπ/cm=1000\ σπ/m \)
\( I=\dfrac{B}{μ_0(n/ℓ)}=\dfrac{0{,}1}{4π·10^{-7}·1000}=\dfrac{250}{π}\ A \)
\( V=IR=\dfrac{250}{π}·100=\dfrac{25000}{π}\ V\approx7958\ V \)
Με πυρήνα μ=1000: \(I'=I/1000\Rightarrow V'=\dfrac{25}{π}\ V\approx7{,}96\ V\).

Απάντηση: Χωρίς πυρήνα: V = 25000/π V (≈7958 V). Με πυρήνα μ=1000: V = 25/π V (≈7,96 V).

Πρόσεξε:

Ο σιδηρομαγνητικός πυρήνας μειώνει δραματικά την απαιτούμενη τάση (κατά μ φορές) — γι' αυτό χρησιμοποιείται.

Πρόβλημα 8 — μήκος σύρματος πηνίου

Εκφώνηση: Χάλκινο πηνίο n=1000 σπείρες, ℓ=1m, τάση V=10V, δίνει B=0,1π T. Το σύρμα έχει αντίσταση R'=0,01 Ω/m. Ποιο είναι το μήκος του σύρματος;

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(B=μ_0nI/ℓ\) βρίσκουμε το ρεύμα I, μετά \(R=V/I\) και μήκος \(L=R/R'\).

Λύση:

\( I=\dfrac{Bℓ}{μ_0 n}=\dfrac{0{,}1π·1}{4π·10^{-7}·1000}=250\ A \)
\( R=\dfrac{V}{I}=\dfrac{10}{250}=0{,}04\ Ω \)
\( L=\dfrac{R}{R'}=\dfrac{0{,}04}{0{,}01}=4\ m \)

Απάντηση: L = 4 m.

Πρόσεξε:

Τρία βήματα: ρεύμα από το B, αντίσταση από το V/I, μήκος από R/R'.

Πρόβλημα 9 — πλευρά τετράγωνου πλαισίου

Εκφώνηση: Τετράγωνο πλαίσιο με I=2A αποκτά μαγνητική ροπή μ'=2 Am². Βρες το μήκος της πλευράς.

Πώς σκεφτόμαστε: Μαγνητική ροπή \(μ'=I·S=I·α^2\). Λύνουμε ως προς α.

Λύση:

\( α=\sqrt{\dfrac{μ'}{I}}=\sqrt{\dfrac{2}{2}}=1\ m \)

Απάντηση: α = 1 m.

Πρόσεξε:

\(μ'=I·S\), και για τετράγωνο \(S=α^2\).

Πρόβλημα 10 — τάση για δεδομένη μαγνητική ροπή

Εκφώνηση: Ορθογώνιο πλαίσιο διαστάσεων α=0,1m, β=0,2m ως μαγνητικό δίπολο με μ'=4 Am². Το σύρμα έχει R'=1 Ω/m. Με πόση τάση τροφοδοτείται;

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(μ'=I·S=I·αβ\) βρίσκουμε I. Η αντίσταση είναι \(R=R'·\text{περίμετρος}=R'·2(α+β)\), και \(V=IR\).

Λύση:

\( I=\dfrac{μ'}{αβ}=\dfrac{4}{0{,}1·0{,}2}=200\ A \)
Περίμετρος \(=2(0{,}1+0{,}2)=0{,}6\ m\Rightarrow R=1·0{,}6=0{,}6\ Ω\)
\( V=I·R=200·0{,}6=120\ V \)

Απάντηση: V = 120 V (αυστηρός υπολογισμός με μ'=I·S).

Πρόσεξε:

ΠΡΟΣΟΧΗ — ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΒΙΒΛΙΟΥ: η απάντηση του βιβλίου είναι 2,4V, που ΔΕΝ προκύπτει από τα δεδομένα (μ'=4 Am², S=0,02 m² ⇒ I=200A ⇒ V=120V). Το 2,4V θα αντιστοιχούσε σε μ'≈0,08 Am² — πιθανό τυπογραφικό λάθος στο μ' του βιβλίου.
Ο τύπος \(μ'=I·S\) και \(V=I·R'·\)περίμετρος είναι σωστός· τα δεδομένα του βιβλίου φαίνονται ασυνεπή με το τυπωμένο αποτέλεσμα.

Πρόβλημα 11 — επαγωγική τάση από μεταβολή B

Εκφώνηση: Τετράγωνος αγωγός πλευράς α=0,1m σε ομογενές πεδίο B=2T (επίπεδο κάθετο στις γραμμές). Το B μηδενίζεται με σταθερό ρυθμό σε Δt=10⁻³s. Βρες την επαγωγική τάση.

Πώς σκεφτόμαστε: Η ροή είναι \(Φ=B·S\) (κάθετο επίπεδο, θ=0). Η τάση \(E=ΔΦ/Δt=ΔB·S/Δt\).

Λύση:

\( S=α^2=0{,}01\ m^2 \)
\( E=\dfrac{ΔB·S}{Δt}=\dfrac{2·0{,}01}{10^{-3}}=20\ V \)

Απάντηση: E = 20 V.

Πρόσεξε:

Επίπεδο κάθετο στις γραμμές ⇒ cosθ=1, άρα Φ=B·S.
Εδώ μεταβάλλεται το B (όχι το S ή η γωνία).

Πρόβλημα 12 — επαγωγικό ρεύμα σπείρας σε σωληνοειδές

Εκφώνηση: Στο εσωτερικό σωληνοειδούς (n=1000, ℓ=0,2m) υπάρχει σπείρα με R=0,4π Ω, S=2cm². Το ρεύμα του σωληνοειδούς μειώνεται από 2A σε 1A σε Δt=1ms. Βρες το επαγωγικό ρεύμα της σπείρας.

Πώς σκεφτόμαστε: Το πεδίο του σωληνοειδούς \(B=μ_0(n/ℓ)I\) μεταβάλλεται. Η μεταβολή ροής στη σπείρα δίνει \(E=ΔΦ/Δt\), και \(I=E/R\).

Λύση:

\( ΔB=μ_0\dfrac{n}{ℓ}ΔI=4π·10^{-7}·\dfrac{1000}{0{,}2}·1=2π·10^{-3}\ T \)
\( ΔΦ=ΔB·S=2π·10^{-3}·2·10^{-4}=4π·10^{-7}\ Wb \)
\( E=\dfrac{ΔΦ}{Δt}=\dfrac{4π·10^{-7}}{10^{-3}}=4π·10^{-4}\ V\Rightarrow I=\dfrac{E}{R}=\dfrac{4π·10^{-4}}{0{,}4π}=10^{-3}\ A \)

Απάντηση: I = 1 mA.

Πρόσεξε:

Μετέτρεψε S=2cm²=2·10⁻⁴ m².
Η σπείρα «βλέπει» το πεδίο του σωληνοειδούς που μεταβάλλεται.

Πρόβλημα 13 — συνολική δύναμη σε πλαίσιο

Εκφώνηση: Τετράγωνο πλαίσιο πλευράς α=0,2m με I=2A μέσα σε ομογενές πεδίο B=1T, με τις δυναμικές γραμμές κάθετες στο επίπεδο. Βρες τη συνολική δύναμη.

Πώς σκεφτόμαστε: Σε ομογενές πεδίο, οι δυνάμεις Laplace στις απέναντι πλευρές είναι ίσες και αντίθετες.

Λύση:

Οι δυνάμεις στις τέσσερις πλευρές αλληλοαναιρούνται ανά ζεύγη ⇒ συνισταμένη μηδέν.
\( \Sigma\vec F=0 \) (αναπτύσσεται μόνο ροπή, όχι μεταφορική δύναμη).

Απάντηση: Συνολική δύναμη = 0.

Πρόσεξε:

Σε ΟΜΟΓΕΝΕΣ πεδίο η συνολική δύναμη σε κλειστό πλαίσιο είναι πάντα μηδέν — αναπτύσσεται ροπή που το στρέφει.

Πρόβλημα 14 — ισορροπία αγωγού (Laplace = βάρος)

Εκφώνηση: Οριζόντιος αγωγός ℓ=1m με I=2A ισορροπεί μέσα σε ομογενές πεδίο (γραμμές οριζόντιες, κάθετες στον αγωγό). Το βάρος του είναι 4N. Βρες την ένταση B.

Πώς σκεφτόμαστε: Ισορροπία: η δύναμη Laplace \(BIℓ\) εξισορροπεί το βάρος.

Λύση:

\( BIℓ=W\Rightarrow B=\dfrac{W}{Iℓ}=\dfrac{4}{2·1}=2\ T \)

Απάντηση: B = 2 T.

Πρόσεξε:

Ισορροπία ⇒ δύναμη Laplace (προς τα πάνω) = βάρος.
Κάθετος αγωγός στις γραμμές ⇒ sinθ=1.

Πρόβλημα 15 — ένταση από επαγωγική τάση

Εκφώνηση: Ευθύγραμμος αγωγός ℓ=0,5m κινείται με u=2 m/s κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Εμφανίζεται τάση V=0,4V. Βρες την ένταση B.

Πώς σκεφτόμαστε: Κινούμενος αγωγός: \(V=Bℓu\). Λύνουμε ως προς B.

Λύση:

\( B=\dfrac{V}{ℓu}=\dfrac{0{,}4}{0{,}5·2}=0{,}4\ T \)

Απάντηση: B = 0,4 T.

Πρόσεξε:

Κάθετη κίνηση ⇒ \(V=Bℓu\) (χωρίς ημίτονο).

Πρόβλημα 16 — ταχύτητα αγωγού σε ράγες

Εκφώνηση: Αγωγός ℓ=0,2m κινείται σε παράλληλες ράγες κάθετα, μέσα σε πεδίο B=1T κάθετο στο επίπεδο. Τα άκρα συνδέονται με R=2Ω, οπότε ο αγωγός διαρρέεται από I=0,2A. Βρες την ταχύτητα.

Πώς σκεφτόμαστε: Η επαγωγική τάση \(V=Bℓu\) οδηγεί ρεύμα \(I=V/R\). Λύνουμε ως προς u.

Λύση:

\( V=I·R=0{,}2·2=0{,}4\ V \)
\( u=\dfrac{V}{Bℓ}=\dfrac{0{,}4}{1·0{,}2}=2\ \dfrac{m}{s} \)

Απάντηση: u = 2 m/s.

Πρόσεξε:

Πρώτα η τάση από \(V=IR\), μετά η ταχύτητα από \(V=Bℓu\).

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο