Λύσεις — Κεφάλαιο 8ο · Πηνία (σελ. 243-258) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ Β΄ ΕΠΑΛ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 8ο · Πηνία (σελ. 243-258) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 8ο · Πηνία (σελ. 243–258)

Λύσεις των Εφαρμογών 1–6 και των 12 Προβλημάτων προς λύση (αυτεπαγωγή L, ενέργεια ½LI², αμοιβαία επαγωγή/σύζευξη, συνδεσμολογίες πηνίων). Όλα τα υπολογίσιμα.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — συντελεστής αυτεπαγωγής

Εκφώνηση: Πηνίο διαρρέεται από ρεύμα που μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό. Η τιμή της έντασης του ρεύματος από Ι₁ = 3Α γίνεται Ι₂ = 1Α σε χρόνο Δt = 2ms. Αν η τάση από αυτεπαγωγή στο πηνίο είναι V_L = 10V, να υπολογισθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής.

Πώς σκεφτόμαστε: Η τάση από αυτεπαγωγή είναι \( V_L=-L\dfrac{ΔΙ}{Δt} \) με \( ΔΙ=Ι_2-Ι_1 \). Λύνουμε ως προς L δουλεύοντας με μέτρα.

Λύση:

\( ΔΙ=Ι_2-Ι_1=1-3=-2\ A \)
\( V_L=L\dfrac{Ι_1-Ι_2}{Δt}\Rightarrow L=\dfrac{V_L\,Δt}{Ι_1-Ι_2}=\dfrac{10\cdot2\cdot10^{-3}}{3-1}=10^{-2}\ H \)

Απάντηση: L = 10⁻² H = 10 mH.

Πρόσεξε:

Το «−» στον τύπο δείχνει ότι η τάση αντιτίθεται στη μεταβολή του ρεύματος (κανόνας Lenz)· για το μέτρο του L χρησιμοποιούμε απόλυτες τιμές.

Εφαρμογή 2 — μαγνητική ροή ανά σπείρα

Εκφώνηση: Πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=150mH και διαρρέεται από ρεύμα Ι=2Α. Ο αριθμός των σπειρών του πηνίου είναι n=100. Να υπολογισθεί η μαγνητική ροή, που διέρχεται από κάθε σπείρα του πηνίου.

Πώς σκεφτόμαστε: Ο συντελεστής αυτεπαγωγής δίνεται και από τη σχέση \( L=\dfrac{nΦ}{Ι} \)· λύνουμε ως προς Φ.

Λύση:

\( Φ=\dfrac{LΙ}{n}=\dfrac{150\cdot10^{-3}\cdot2}{10^2}=3\cdot10^{-3}\ Wb \)

Απάντηση: Φ = 3 mWb.

Πρόσεξε:

Φ είναι η ροή από ΚΑΘΕ σπείρα· η συνολική πεπλεγμένη ροή είναι nΦ.

Εφαρμογή 3 — μαγνητική διαπερατότητα πυρήνα

Εκφώνηση: Πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 100mH. Οι σπείρες του έχουν διατομή S=0,5cm² και το μήκος του είναι ℓ = 2cm. Το πηνίο έχει n = 100 σπείρες. Να υπολογισθεί η μαγνητική διαπερατότητα του πυρήνα \( μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \dfrac{V\cdot s}{A\cdot m} \)

Πώς σκεφτόμαστε: Από τη σχέση του συντελεστή αυτεπαγωγής με τα γεωμετρικά στοιχεία \( L=μμ_0n^2\dfrac{S}{ℓ} \) λύνουμε ως προς μ.

Λύση:

\( μ=\dfrac{Lℓ}{μ_0n^2S}=\dfrac{100\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-2}}{4π\cdot10^{-7}\cdot10^4\cdot0{,}5\cdot10^{-4}}=\dfrac{10^4}{π}\approx3183 \)

Απάντηση: μ = 10⁴/π ≈ 3183.

Πρόσεξε:

S = 0,5 cm² = 0,5·10⁻⁴ m², ℓ = 2 cm = 2·10⁻² m.
Η μ είναι καθαρός αριθμός (σχετική μαγνητική διαπερατότητα).

Εφαρμογή 4 — αποταμιευμένη ενέργεια

Εκφώνηση: Πηνίο έχει n = 100 σπείρες και διαρρέεται από ρεύμα I = 1Α, οπότε η μαγνητική ροή που περνάει από κάθε σπείρα είναι Φ=4·10⁻⁴ Wb. Να υπολογισθεί η ενέργεια που είναι αποταμιευμένη στο πηνίο.

Πώς σκεφτόμαστε: Συνδυάζουμε την ενέργεια \( W=\tfrac12LI^2 \) με τη σχέση \( L=\dfrac{nΦ}{Ι} \), οπότε \( W=\tfrac12nΦI \).

Λύση:

\( W=\dfrac12\dfrac{nΦ}{Ι}Ι^2=\dfrac12nΦΙ \)
\( W=\dfrac12\cdot100\cdot4\cdot10^{-4}\ Wb\cdot1\ A=0{,}02\ J \)

Απάντηση: W = 0,02 J.

Πρόσεξε:

Εναλλακτικά: \( L=nΦ/I=0{,}04\ H \) και \( W=\tfrac12\cdot0{,}04\cdot1^2=0{,}02\ J \).

Εφαρμογή 5 — ρυθμός μεταβολής στο πρωτεύον

Εκφώνηση: Δύο πηνία βρίσκονται σε μαγνητική σύζευξη. Όταν το ρεύμα στο πρωτεύον μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό στο δευτερεύον εμφανίζεται επαγωγική τάση V₂=90V. Αν συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής του συστήματος είναι M = 100mH, να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της έντασης στο πρωτεύον.

Πώς σκεφτόμαστε: Η τάση στο δευτερεύον οφείλεται στη μεταβολή του ρεύματος του πρωτεύοντος: \( V_2=M\dfrac{ΔΙ_1}{Δt} \).

Λύση:

\( \dfrac{ΔΙ_1}{Δt}=\dfrac{V_2}{M}=\dfrac{90}{100\cdot10^{-3}}=900\ \dfrac{A}{s} \)

Απάντηση: ΔΙ₁/Δt = 900 A/s.

Πρόσεξε:

Η αμοιβαία επαγωγή συνδέει τη μεταβολή του ρεύματος του ενός πηνίου με την τάση που εμφανίζεται στο άλλο.

Εφαρμογή 6 — αμοιβαία επαγωγή πηνίου και σωληνοειδούς

Εκφώνηση: Μικρό πηνίο με n = 10 σπείρες και σωληνοειδές είναι τυλιγμένα στον ίδιο πυρήνα όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι σπείρες του σωληνοειδούς έχουν εμβαδόν S = π cm². Το σωληνοειδές έχει n* = 2·10³ σπ/m. Να υπολογισθεί ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής του συστήματος. Δίνεται η μαγνητική διαπερατότητα του πυρήνα μ=1000. \( \left(π^2\simeq10,\ μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \dfrac{V\cdot s}{A\cdot m}\right) \)

Πώς σκεφτόμαστε: Υποθέτουμε ρεύμα Ι₁ στο σωληνοειδές. Το μικρό πηνίο βρίσκεται μέσα στο πεδίο του σωληνοειδούς \( Β_1=μμ_0Ι_1n^* \), άρα κάθε σπείρα του διαρρέεται από ροή \( Φ_2=Β_1S \). Ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής είναι \( M=\dfrac{nΦ_2}{Ι_1} \).

Λύση:

\( Φ_2=Β_1S=μμ_0Ι_1n^*S \)
\( M=\dfrac{nΦ_2}{Ι_1}=μμ_0Snn^* \)
\( M=10^3\cdot4π\cdot10^{-7}\cdot π\cdot10^{-4}\cdot10\cdot2\cdot10^3=8π^2\cdot10^{-4}\ H\simeq8\cdot10^{-3}\ H \)

Απάντηση: M ≈ 8 mH.

Πρόσεξε:

Χωρίς την προσέγγιση π²≃10 προκύπτει M≈7,9 mH.
Το ρεύμα Ι₁ απαλείφεται: ο M εξαρτάται μόνο από τον πυρήνα και τη γεωμετρία.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — ένταση ρεύματος μετά από χρόνο

Εκφώνηση: Πηνίο έχει μήκος ℓ=2π cm, n=100 σπείρες και πυρήνα με μαγνητική διαπερατότητα μ=1000. Το εμβαδόν κάθε σπείρας του πηνίου είναι S=0,5cm². Το ρεύμα του πηνίου αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, οπότε στα άκρα του πηνίου επάγεται τάση V=2V. Κάποια χρονική στιγμή η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο είναι Ι₁=2Α. Να υπολογισθεί η ένταση του ρεύματος μετά χρόνο Δt=10ms \( \left(μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \dfrac{V\cdot s}{A\cdot m}\right) \)

Πώς σκεφτόμαστε: Βρίσκουμε το L από τα γεωμετρικά στοιχεία, μετά τον ρυθμό \( ΔΙ/Δt=V/L \), και αφού ο ρυθμός είναι σταθερός \( Ι_2=Ι_1+\dfrac{ΔΙ}{Δt}Δt \).

Λύση:

\( L=μμ_0n^2\dfrac{S}{ℓ}=\dfrac{1000\cdot4π\cdot10^{-7}\cdot10^4\cdot0{,}5\cdot10^{-4}}{2π\cdot10^{-2}}=10^{-2}\ H \)
\( \dfrac{ΔΙ}{Δt}=\dfrac{V}{L}=\dfrac{2}{10^{-2}}=200\ \dfrac{A}{s} \)
\( Ι_2=Ι_1+\dfrac{ΔΙ}{Δt}Δt=2+200\cdot10\cdot10^{-3}=4\ A \)

Απάντηση: Ι₂ = 4 A.

Πρόσεξε:

Το μήκος ℓ=2π cm απλοποιεί το π του μ₀.
Το ρεύμα αυξάνεται, οπότε Ι₂ > Ι₁.

Πρόβλημα 2 — χρονικό διάστημα μεταβολής

Εκφώνηση: Η μαγνητική ροή, που περνάει από κάθε σπείρα ενός πηνίου, είναι Φ=0,01 Wb, όταν διαρρέεται από ρεύμα I=1 Α. Το πηνίο έχει n=100 σπείρες. Το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό, οπότε στο πηνίο επάγεται τάση V=100V. Να υπολογισθεί το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο η ένταση του ρεύματος μεταβάλλεται κατά ΔΙ=0,1Α.

Πώς σκεφτόμαστε: Από \( L=\dfrac{nΦ}{I} \) βρίσκουμε το L και από \( V=L\dfrac{ΔΙ}{Δt} \) το Δt.

Λύση:

\( L=\dfrac{nΦ}{Ι}=\dfrac{100\cdot0{,}01}{1}=1\ H \)
\( Δt=\dfrac{LΔΙ}{V}=\dfrac{1\cdot0{,}1}{100}=10^{-3}\ s \)

Απάντηση: Δt = 1 ms.

Πρόσεξε:

Σταθερός ρυθμός μεταβολής ⇒ σταθερή επαγόμενη τάση.

Πρόβλημα 3 — όγκος πυρήνα

Εκφώνηση: Πηνίο είναι ομοιόμορφα τυλιγμένο σε πυρήνα με μαγνητική διαπερατότητα μ=1000. Το πηνίο έχει n*=10³ σπείρες/m και συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,1πΗ. Να υπολογισθεί ο όγκος του πυρήνα \( \left(μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \dfrac{V\cdot s}{A\cdot m}\right) \)

Πώς σκεφτόμαστε: Με \( n=n^*ℓ \) η σχέση \( L=μμ_0n^2\dfrac{S}{ℓ} \) γράφεται \( L=μμ_0(n^*)^2Sℓ \), όπου \( Sℓ \) ο όγκος του πυρήνα.

Λύση:

\( L=μμ_0\dfrac{(n^*ℓ)^2S}{ℓ}=μμ_0(n^*)^2\,Sℓ \)
\( Sℓ=\dfrac{L}{μμ_0(n^*)^2}=\dfrac{0{,}1π}{1000\cdot4π\cdot10^{-7}\cdot10^6}=2{,}5\cdot10^{-4}\ m^3 \)

Απάντηση: Όγκος πυρήνα = 2,5·10⁻⁴ m³.

Πρόσεξε:

n είναι σπείρες ανά μέτρο, άρα n = n·ℓ.

Πρόβλημα 4 — ένταση ρεύματος από ενέργεια και ροή

Εκφώνηση: Ένα πηνίο που διαρρέεται από ρεύμα έχει αποταμιεύσει ενέργεια μαγνητικού πεδίου W=2·10⁻²J. Η μαγνητική ροή που διέρχεται από κάθε σπείρα του πηνίου είναι Φ=0,02Wb. Το πηνίο έχει n=100 σπείρες. Να υπολογισθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο.

Πώς σκεφτόμαστε: Όπως στην Εφαρμογή 4: \( W=\tfrac12LI^2 \) και \( L=\dfrac{nΦ}{I} \) δίνουν \( W=\tfrac12nΦI \).

Λύση:

\( I=\dfrac{2W}{nΦ}=\dfrac{2\cdot2\cdot10^{-2}}{100\cdot0{,}02}=0{,}02\ A \)

Απάντηση: I = 0,02 A = 20 mA.

Πρόσεξε:

Έλεγχος: \( L=nΦ/I=100\ H \), \( W=\tfrac12\cdot100\cdot0{,}02^2=0{,}02\ J \).

Πρόβλημα 5 — συντελεστής σκέδασης

Εκφώνηση: Δύο πηνία έχουν συντελεστές αυτεπαγωγής L₁=20mH και L₂=80mH αντίστοιχα. Τα πηνία βρίσκονται σε σύζευξη και όταν στο πρωτεύον η ένταση του ρεύματος μεταβάλλεται με ρυθμό ΔΙ₁/Δt = 125 A/s στο δευτερεύον επάγεται τάση V₂=4V. Να υπολογισθεί ο συντελεστής σκέδασης του συστήματος.

Πώς σκεφτόμαστε: Από \( V_2=M\dfrac{ΔΙ_1}{Δt} \) βρίσκουμε τον M, από \( M=k\sqrt{L_1L_2} \) τον συντελεστή σύζευξης k και από τη σχέση \( k+σ=1 \) του βιβλίου τον συντελεστή σκέδασης.

Λύση:

\( M=\dfrac{V_2}{ΔΙ_1/Δt}=\dfrac{4}{125}=0{,}032\ H \)
\( k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=\dfrac{0{,}032}{\sqrt{0{,}02\cdot0{,}08}}=\dfrac{0{,}032}{0{,}04}=0{,}8 \)
\( σ=1-k=1-0{,}8=0{,}2 \)

Απάντηση: σ = 0,2 (k = 0,8).

Πρόσεξε:

Στο βιβλίο ο συντελεστής σκέδασης συνδέεται με τον συντελεστή σύζευξης με τη σχέση k+σ=1 (όχι σ=1−k²).

Πρόβλημα 6 — μήκος δευτερεύοντος

Εκφώνηση: Δύο πηνία βρίσκονται σε σύζευξη. Στο πρωτεύον, που έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L₁=100mH, η ένταση του ρεύματος μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό ΔΙ₁/Δt = 10² A/s. Το δευτερεύον έχει n₂=200 σπείρες και το εμβαδόν κάθε σπείρας είναι S=1cm². Ο πυρήνας του δευτερεύοντος έχει μαγνητική διαπερατότητα μ=500π. Ο συντελεστής σκέδασης του συστήματος είναι σ=0,1. Αν η τάση που επάγεται στο δευτερεύον είναι V₂=9V, να υπολογισθεί το μήκος του δευτερεύοντος \( \left(μ_0=4π\cdot10^{-7}\ \dfrac{V\cdot s}{A\cdot m},\ π^2\simeq10\right) \)

Πώς σκεφτόμαστε: Από την επαγόμενη τάση βρίσκουμε τον M, από \( k=1-σ \) τον συντελεστή σύζευξης, από \( M=k\sqrt{L_1L_2} \) τον L₂ και από \( L_2=μμ_0n_2^2\dfrac{S}{ℓ_2} \) το μήκος.

Λύση:

\( M=\dfrac{V_2}{ΔΙ_1/Δt}=\dfrac{9}{100}=0{,}09\ H,\quad k=1-σ=0{,}9 \)
\( L_2=\dfrac{M^2}{k^2L_1}=\dfrac{0{,}09^2}{0{,}81\cdot0{,}1}=0{,}1\ H \)
\( ℓ_2=\dfrac{μμ_0n_2^2S}{L_2}=\dfrac{500π\cdot4π\cdot10^{-7}\cdot200^2\cdot10^{-4}}{0{,}1}=8π^2\cdot10^{-3}\ m\simeq0{,}08\ m \)

Απάντηση: ℓ₂ ≈ 8 cm.

Πρόσεξε:

Με π²≃10 προκύπτει ακριβώς 8 cm (χωρίς την προσέγγιση ≈7,9 cm).
k+σ=1 ⇒ k=0,9.

Πρόβλημα 7 — ρεύμα πρωτεύοντος μετά από χρόνο

Εκφώνηση: Δύο πηνία βρίσκονται σε σύζευξη. Όταν το πρωτεύον διαρρέεται από ρεύμα Ι₁=1 Α, η μαγνητική ροή που περνάει από τις σπείρες του δευτερεύοντος είναι Φ=0,5mWb. Η ένταση του ρεύματος στο πρωτεύον αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, οπότε στο δευτερεύον επάγεται τάση V₂=100V. Αν το πρωτεύον κάποια στιγμή διαρρέεται από ρεύμα Ι₁₁=3Α, να υπολογισθεί η ένταση του μετά χρόνο Δt=1ms. Δίνεται ο αριθμός των σπειρών του δευτερεύοντος n₂=100 σπείρες.

Πώς σκεφτόμαστε: Ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής είναι \( M=\dfrac{n_2Φ}{Ι_1} \). Από \( V_2=M\dfrac{ΔΙ_1}{Δt} \) βρίσκουμε τον σταθερό ρυθμό και από αυτόν το νέο ρεύμα.

Λύση:

\( M=\dfrac{n_2Φ}{Ι_1}=\dfrac{100\cdot0{,}5\cdot10^{-3}}{1}=0{,}05\ H \)
\( \dfrac{ΔΙ_1}{Δt}=\dfrac{V_2}{M}=\dfrac{100}{0{,}05}=2000\ \dfrac{A}{s} \)
\( Ι=Ι_{11}+\dfrac{ΔΙ_1}{Δt}Δt=3+2000\cdot10^{-3}=5\ A \)

Απάντηση: Ι = 5 A.

Πρόσεξε:

Το ρεύμα αυξάνεται, άρα προσθέτουμε τη μεταβολή.

Πρόβλημα 8 — μικτή συνδεσμολογία τριών πηνίων

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα του σχήματος, L₁=2mH, L₂=4mH και L₃=3mH. Η τάση του L₁ είναι V₁=2V. Να υπολογισθούν: α) Ο συντελεστής αυτεπαγωγής της συνδεσμολογίας β) Η τάση και ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος για κάθε πηνίο, όταν V₁ =2V.

Πώς σκεφτόμαστε: Στο σχήμα τα L₁, L₂ είναι σε σειρά και ο κλάδος τους είναι παράλληλα με το L₃ (χωρίς σύζευξη). Σε σειρά ο ρυθμός μεταβολής είναι κοινός· παράλληλα η τάση είναι κοινή.

Λύση:

α) \( L_{1,2}=2+4=6\ mH,\quad L_{ολ}=\dfrac{6\cdot3}{6+3}=2\ mH \)
β) \( \dfrac{ΔΙ_1}{Δt}=\dfrac{V_1}{L_1}=\dfrac{2}{2\cdot10^{-3}}=10^3\ \dfrac{A}{s}=\dfrac{ΔΙ_2}{Δt} \) (σε σειρά)
\( V_2=L_2\dfrac{ΔΙ_2}{Δt}=4\cdot10^{-3}\cdot10^3=4\ V \)
\( V_3=V_1+V_2=6\ V,\quad \dfrac{ΔΙ_3}{Δt}=\dfrac{V_3}{L_3}=\dfrac{6}{3\cdot10^{-3}}=2\cdot10^3\ \dfrac{A}{s} \)

Απάντηση: α) L_ολ = 2 mH· β) V₁=2 V, ΔΙ₁/Δt=10³ A/s· V₂=4 V, ΔΙ₂/Δt=10³ A/s· V₃=6 V, ΔΙ₃/Δt=2·10³ A/s.

Πρόσεξε:

Έλεγχος: L_ολ·(ΔΙ₁/Δt+ΔΙ₃/Δt)=2 mH·3·10³ A/s=6 V = V₃.

Πρόβλημα 9 — εύρεση L₃ (παράλληλα)

Εκφώνηση: Τρία πηνία L₁=3mH, L₂=12mH και L₃ είναι συνδεδεμένα παράλληλα. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής της συνδεσμολογίας είναι L=1,5mH. Να υπολογισθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής L₃.

Πώς σκεφτόμαστε: Παράλληλα πηνία (χωρίς σύζευξη): \( \dfrac1L=\dfrac1{L_1}+\dfrac1{L_2}+\dfrac1{L_3} \).

Λύση:

\( \dfrac1{L_3}=\dfrac1{1{,}5}-\dfrac13-\dfrac1{12}=\dfrac{8-4-1}{12}=\dfrac{3}{12} \)
\( L_3=4\ mH \)

Απάντηση: L₃ = 4 mH.

Πρόσεξε:

Όλες οι τιμές σε mH, οπότε και το αποτέλεσμα βγαίνει σε mH.

Πρόβλημα 10 — πέντε ίσα πηνία

Εκφώνηση: Οι συντελεστές αυτεπαγωγής των πηνίων του κυκλώματος, που φαίνεται στο σχήμα, είναι ίσοι μεταξύ τους: L₁ =L₂ = L₃ = L₄ = L₅ = 14mH. Κάποια στιγμή η τάση τροφοδοσίας του κυκλώματος έχει την τιμή V=7V. Να υπολογισθούν α) Ο συντελεστής αυτεπαγωγής της συνδεσμολογίας β) Ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος σε κάθε πηνίο, όταν V=7V.

Πώς σκεφτόμαστε: Στο σχήμα το L₅ είναι απευθείας στα άκρα τροφοδοσίας. Ο άλλος κλάδος περιέχει τα L₃ και L₄ σε σειρά με την παράλληλη ομάδα L₁–L₂. Οι δύο κλάδοι είναι παράλληλα, άρα έχουν τάση 7 V.

Λύση:

α) \( L_{1,2}=\dfrac{14}{2}=7\ mH,\quad L_κ=L_3+L_{1,2}+L_4=14+7+14=35\ mH \)
\( L_{ολ}=\dfrac{L_5L_κ}{L_5+L_κ}=\dfrac{14\cdot35}{49}=10\ mH \)
β) \( \dfrac{ΔΙ_5}{Δt}=\dfrac{V}{L_5}=\dfrac{7}{14\cdot10^{-3}}=500\ \dfrac{A}{s} \)
\( \dfrac{ΔΙ_3}{Δt}=\dfrac{ΔΙ_4}{Δt}=\dfrac{V}{L_κ}=\dfrac{7}{35\cdot10^{-3}}=200\ \dfrac{A}{s} \)
\( \dfrac{ΔΙ_1}{Δt}=\dfrac{ΔΙ_2}{Δt}=\dfrac{200}{2}=100\ \dfrac{A}{s} \) (ίσα παράλληλα πηνία)

Απάντηση: α) L_ολ = 10 mH· β) ΔΙ₁/Δt=ΔΙ₂/Δt=100 A/s, ΔΙ₃/Δt=ΔΙ₄/Δt=200 A/s, ΔΙ₅/Δt=500 A/s.

Πρόσεξε:

Έλεγχος: V/L_ολ=700 A/s = 500+200.

Πρόβλημα 11 — ρυθμοί μεταβολής σε μικτή συνδεσμολογία

Εκφώνηση: Για το κύκλωμα του σχήματος δίνονται: L₁=20mH, L₂=5mH, L₃=2mH, L₄=3mH και ΔΙ₁/Δt = 1000 A/s. Να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος σε κάθε πηνίο.

Πώς σκεφτόμαστε: Στο σχήμα τα L₁, L₂ είναι παράλληλα και η ομάδα τους είναι σε σειρά με το L₃· ο κλάδος αυτός είναι παράλληλα με το L₄, στα άκρα τροφοδοσίας. Από το L₁ βρίσκουμε την τάση της παράλληλης ομάδας και προχωράμε προς την τροφοδοσία.

Λύση:

\( V_1=L_1\dfrac{ΔΙ_1}{Δt}=20\cdot10^{-3}\cdot1000=20\ V=V_2 \)
\( \dfrac{ΔΙ_2}{Δt}=\dfrac{V_2}{L_2}=\dfrac{20}{5\cdot10^{-3}}=4\cdot10^3\ \dfrac{A}{s} \)
\( \dfrac{ΔΙ_3}{Δt}=\dfrac{ΔΙ_1}{Δt}+\dfrac{ΔΙ_2}{Δt}=1000+4000=5\cdot10^3\ \dfrac{A}{s},\quad V_3=2\cdot10^{-3}\cdot5\cdot10^3=10\ V \)
\( V_4=V_3+V_1=30\ V,\quad \dfrac{ΔΙ_4}{Δt}=\dfrac{30}{3\cdot10^{-3}}=10^4\ \dfrac{A}{s} \)

Απάντηση: ΔΙ₂/Δt = 4·10³ A/s, ΔΙ₃/Δt = 5·10³ A/s, ΔΙ₄/Δt = 10⁴ A/s.

Πρόσεξε:

Το ρεύμα του L₃ είναι το άθροισμα των ρευμάτων των παράλληλων L₁, L₂, άρα και οι ρυθμοί προστίθενται.

Πρόβλημα 12 — συντελεστής αυτεπαγωγής σύνθετου κυκλώματος

Εκφώνηση: Να υπολογισθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του κυκλώματος του σχήματος. Δίνονται: L₁=20mH, L₂=15mH, L₃=14mH, L₄=10mH L₅=5mH και L₆=8mH.

Πώς σκεφτόμαστε: Ονομάζουμε Α τον κόμβο μετά το L₆ και Β τον κάτω αγωγό. Από το σχήμα: το L₅ συνδέεται μεταξύ Α και Β· τα L₂ και L₁ σε σειρά οδηγούν από το Α στην κάτω δεξιά γωνία Γ· το L₃ (στον διαγώνιο κλάδο) συνδέει επίσης το Α με το Γ· το L₄ συνδέει το Γ με το Β. Απλοποιούμε από το πιο απομακρυσμένο σημείο προς την τροφοδοσία.

Λύση: