Λύσεις — Κεφάλαιο 10ο · Μεταβατικά φαινόμενα (σελ. 317-338) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 10ο · Μεταβατικά φαινόμενα (σελ. 336–342)

Λύσεις 2 Εφαρμογών + 9 Προβλημάτων (φόρτιση/εκφόρτιση RC, αποκατάσταση/σβήσιμο RL, σταθερά χρόνου τ, θερμότητα). Όλα τα αριθμητικά επαληθεύτηκαν με κώδικα.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — τάση πυκνωτή κατά τη φόρτιση

Εκφώνηση: Πυκνωτής C=2μF φορτίζεται μέσω αντίστασης R=5KΩ από πηγή V=10V. Να υπολογιστεί η τάση \(V_C\) μετά χρόνο t=20ms.

Πώς σκεφτόμαστε: Χρησιμοποιούμε \(V_C=V(1-e^{-t/τ})\) με \(τ=RC\).

Λύση:

• \( τ=RC=5000·2·10^{-6}=10\ ms \)
• \( \dfrac{t}{τ}=\dfrac{20}{10}=2 \)
• \( V_C=10(1-e^{-2})=10(1-0{,}135)=8{,}65\ V \)

Απάντηση: V_C ≈ 8,65 V.

Πρόσεξε:

• Σε t=2τ ο πυκνωτής έχει φτάσει το ~86,5% της τάσης πηγής.
• e⁻²≈0,135.

Εφαρμογή 2 — φορτίο από το ρεύμα φόρτισης

Εκφώνηση: Πυκνωτής C=3μF φορτίζεται μέσω R=2KΩ από V=12V. Κάποια στιγμή το ρεύμα είναι I=4mA. Βρες το φορτίο του πυκνωτή εκείνη τη στιγμή και το τελικό φορτίο.

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(I=(V-V_C)/R\) βρίσκουμε τη στιγμιαία \(V_C\), μετά \(q=CV_C\). Το τελικό φορτίο είναι \(q_{τελ}=CV\).

Λύση:

• \( V_C=V-IR=12-4·10^{-3}·2000=12-8=4\ V \)
• \( q=CV_C=3·4=12\ μC \)
• \( q_{τελ}=CV=3·12=36\ μC \)

Απάντηση: q = 12 μC (στιγμιαίο), q_τελ = 36 μC.

Πρόσεξε:

• \(I=(V-V_C)/R\): το ρεύμα καθορίζεται από τη διαφορά τάσης πηγής-πυκνωτή.
• Τελικά (I=0) ο πυκνωτής φτάνει την τάση της πηγής.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — ρεύμα, φορτίο ΚΑΙ χρόνος φόρτισης

Εκφώνηση: Κύκλωμα φόρτισης με V=15V, R=5KΩ, C=6μF. Κάποια στιγμή \(V_C=12V\). Να υπολογιστούν το ρεύμα, το φορτίο και ο χρόνος.

Πώς σκεφτόμαστε: \(I=(V-V_C)/R\), \(q=CV_C\). Ο χρόνος από \(V_C=V(1-e^{-t/τ})\Rightarrow t=τ\ln\dfrac{V}{V-V_C}\).

Λύση:

• \( I=\dfrac{V-V_C}{R}=\dfrac{15-12}{5000}=0{,}6\ mA \)
• \( q=CV_C=6·12=72\ μC \)
• \( τ=RC=30\ ms,\quad t=τ\ln\dfrac{15}{15-12}=30·\ln5≈48{,}3\ ms \)

Απάντηση: I=0,6mA, q=72μC, t≈48,3ms.

Πρόσεξε:

• Ο χρόνος βγαίνει από λογάριθμο: \(t=τ\ln[V/(V-V_C)]\).
• ln5≈1,609.

Πρόβλημα 2 — εκφόρτιση πυκνωτή

Εκφώνηση: Κύκλωμα εκφόρτισης με C=10μF και R=2KΩ. Ο πυκνωτής έχει αρχικό φορτίο \(q_0=50μC\). Να υπολογιστούν η αρχική τάση, το αρχικό ρεύμα και η σταθερά χρόνου.

Πώς σκεφτόμαστε: Αρχική τάση \(V_0=q_0/C\), αρχικό ρεύμα \(I_0=V_0/R\), σταθερά χρόνου \(τ=RC\).

Λύση:

• \( V_0=\dfrac{q_0}{C}=\dfrac{50}{10}=5\ V \)
• \( I_0=\dfrac{V_0}{R}=\dfrac{5}{2000}=2{,}5\ mA \)
• \( τ=RC=2000·10·10^{-6}=20\ ms \)

Απάντηση: V₀=5V, I₀=2,5mA, τ=20ms.

Πρόσεξε:

• Στην εκφόρτιση όλα ξεκινούν από τη μέγιστη τιμή και πέφτουν εκθετικά.

Πρόβλημα 3 — θερμότητα εκφόρτισης

Εκφώνηση: Πυκνωτής C=0,1μF είναι φορτισμένος σε \(V_0=100V\) και εκφορτίζεται μέσω R. Να υπολογιστεί η θερμότητα στην R όταν το φορτίο έχει γίνει q=2μC.

Πώς σκεφτόμαστε: Η θερμότητα ισούται με τη ΔΙΑΦΟΡΑ της αποθηκευμένης ενέργειας: \(Q=W_{αρχ}-W_{τελ}\), με \(W=\tfrac12 CV^2\).

Λύση:

• \( W_{αρχ}=\tfrac12 CV_0^2=\tfrac12·0{,}1·10^{-6}·100^2=0{,}5\ mJ \)
• \( V=\dfrac{q}{C}=\dfrac{2·10^{-6}}{0{,}1·10^{-6}}=20\ V\Rightarrow W_{τελ}=\tfrac12·0{,}1·10^{-6}·20^2=0{,}02\ mJ \)
• \( Q=W_{αρχ}-W_{τελ}=0{,}5-0{,}02=0{,}48\ mJ \)

Απάντηση: Q = 0,48 mJ.

Πρόσεξε:

• Η θερμότητα = μείωση της αποθηκευμένης ενέργειας (όχι όλη η αρχική, γιατί ο πυκνωτής δεν έχει εκφορτιστεί πλήρως).

Πρόβλημα 4 — ρυθμός μείωσης τάσης

Εκφώνηση: Πυκνωτής C=8μF εκφορτίζεται μέσω R=1MΩ. Να υπολογιστεί ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η τάση όταν \(V_C=160V\).

Πώς σκεφτόμαστε: Ο ρυθμός: \(\dfrac{ΔV_C}{Δt}=-\dfrac{V_C}{RC}\) (από \(I=C\,ΔV_C/Δt\) και \(I=V_C/R\)).

Λύση:

• \( \dfrac{ΔV_C}{Δt}=-\dfrac{V_C}{RC}=-\dfrac{160}{10^6·8·10^{-6}}=-\dfrac{160}{8}=-20\ \dfrac{V}{s} \)

Απάντηση: Ρυθμός = −20 V/s (μειώνεται).

Πρόσεξε:

• Το «−» δηλώνει μείωση.
• Ο ρυθμός είναι ανάλογος της στιγμιαίας τάσης.

Πρόβλημα 5 — αποκατάσταση ρεύματος πηνίου

Εκφώνηση: Κύκλωμα RL με ιδανικό πηνίο L=10mH, αντίσταση R=2KΩ, πηγή V=20V. Να υπολογιστούν το τελικό ρεύμα και η σταθερά χρόνου.

Πώς σκεφτόμαστε: Τελικό ρεύμα \(I_0=V/R\), σταθερά χρόνου \(τ=L/R\).

Λύση:

• \( I_{τελ}=\dfrac{V}{R}=\dfrac{20}{2000}=10\ mA \)
• \( τ=\dfrac{L}{R}=\dfrac{10·10^{-3}}{2000}=5\ μs \)

Απάντηση: I_τελ=10mA, τ=5μs.

Πρόσεξε:

• Στο RL η σταθερά χρόνου είναι \(τ=L/R\) (όχι RC).
• Μεγάλη R ⇒ γρήγορη αποκατάσταση.

Πρόβλημα 6 — σβήσιμο ρεύματος πηνίου

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα ο μεταγωγός πηγαίνει από τη θέση A στη B τη στιγμή t=0. Να υπολογιστεί το ρεύμα του πηνίου μετά t=20ms. Δίνονται L=16mH, R=4Ω, V=20V.

Πώς σκεφτόμαστε: Αρχικό ρεύμα \(I_0=V/R\). Στο σβήσιμο \(I=I_0 e^{-t/τ}\) με \(τ=L/R\).

Λύση:

• \( I_0=\dfrac{V}{R}=\dfrac{20}{4}=5\ A \)
• \( τ=\dfrac{L}{R}=\dfrac{16·10^{-3}}{4}=4\ ms\Rightarrow \dfrac{t}{τ}=\dfrac{20}{4}=5 \)
• \( I=I_0 e^{-5}=5·6{,}74·10^{-3}≈0{,}034\ A \)

Απάντηση: I ≈ 0,034 A (≈34 mA).

Πρόσεξε:

• Μετά από 5τ το ρεύμα έχει ουσιαστικά μηδενιστεί (e⁻⁵≈0,0067).

Πρόβλημα 7 — θερμότητα στο πηνίο (σβήσιμο)

Εκφώνηση: Στο κύκλωμα RL δίνονται L=10mH, R=2Ω, V=20V. Ο μεταγωγός πάει από A στη B (t=0). Να υπολογιστεί η θερμότητα στην R όταν το ρεύμα γίνει I=2A.

Πώς σκεφτόμαστε: Θερμότητα = διαφορά αποθηκευμένης μαγνητικής ενέργειας: \(Q=\tfrac12 L(I_0^2-I^2)\), με \(I_0=V/R\).

Λύση:

• \( I_0=\dfrac{V}{R}=\dfrac{20}{2}=10\ A \)
• \( Q=\tfrac12 L(I_0^2-I^2)=\tfrac12·10·10^{-3}·(10^2-2^2)=\tfrac12·10^{-2}·96=0{,}48\ J \)

Απάντηση: Q = 0,48 J.

Πρόσεξε:

• Ίδια λογική με τον πυκνωτή: θερμότητα = μείωση αποθηκευμένης ενέργειας (\(\tfrac12 LI^2\)).

Πρόβλημα 8 — τάση αντίστασης κατά τη φόρτιση

Εκφώνηση: Πυκνωτής C=3μF φορτίζεται από V=12V μέσω R=4KΩ. Να υπολογιστεί η τάση της αντίστασης μετά t=24ms.

Πώς σκεφτόμαστε: Η τάση της αντίστασης είναι \(V_R=IR=V e^{-t/τ}\) (πέφτει εκθετικά καθώς φορτίζεται ο πυκνωτής).

Λύση:

• \( τ=RC=4000·3·10^{-6}=12\ ms\Rightarrow \dfrac{t}{τ}=\dfrac{24}{12}=2 \)
• \( V_R=V e^{-t/τ}=12·e^{-2}=12·0{,}135≈1{,}62\ V \)

Απάντηση: V_R ≈ 1,62 V.

Πρόσεξε:

• Κατά τη φόρτιση: \(V_C\) αυξάνεται (1−e⁻ᵗ/τ), \(V_R\) μειώνεται (e⁻ᵗ/τ), με \(V_C+V_R=V\).
• Έλεγχος: V_C=12(1-e⁻²)=10,38V, V_C+V_R=10,38+1,62=12V ✓.

Πρόβλημα 9 — ποσοστά σταθεράς χρόνου

Εκφώνηση: Για κύκλωμα φόρτισης RC, να δειχθεί σε ποιο ποσοστό της τελικής τάσης φτάνει ο πυκνωτής σε χρόνο t=τ και t=5τ.

Πώς σκεφτόμαστε: Αντικαθιστούμε \(t=τ\) και \(t=5τ\) στη \(V_C=V(1-e^{-t/τ})\).

Λύση:

• \( t=τ:\ V_C=V(1-e^{-1})=V(1-0{,}368)=0{,}632V\Rightarrow 63{,}2\% \)
• \( t=5τ:\ V_C=V(1-e^{-5})=V(1-0{,}0067)=0{,}993V\Rightarrow 99{,}3\% \)

Απάντηση: Σε t=τ: 63,2%. Σε t=5τ: 99,3% (πρακτικά πλήρης φόρτιση).

Πρόσεξε:

• Ο κανόνας «5τ» είναι πρακτικός: μετά από 5 σταθερές χρόνου το μεταβατικό έχει ολοκληρωθεί.