Λύσεις — Κεφάλαιο 11ο · Ηλεκτρικές μηχανές (σελ. 354-361) – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ – ΘΕΩΡΙΑ

Λύσεις — Κεφάλαιο 11ο · Ηλεκτρικές μηχανές (σελ. 358–363)

Λύσεις 3 Εφαρμογών + 5 Προβλημάτων (μετασχηματιστές V₂/V₁=n₂/n₁, γεννήτριες E=nBℓu, κινητήρες P=T·2πn). Τα υπολογίσιμα επαληθεύτηκαν με κώδικα.

Α΄ — Λυμένες Εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — τάση δευτερεύοντος μετασχηματιστή

Εκφώνηση: Μετασχηματιστής με τάση πρωτεύοντος V₁=220V, n₁=500 σπείρες πρωτεύοντος και n₂=250 σπείρες δευτερεύοντος. Να βρεθεί η τάση V₂ του δευτερεύοντος.

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε τη θεμελιώδη σχέση του Μ/Σ: \(V_2/V_1=n_2/n_1\).

Λύση:

• \( V_2=V_1·\dfrac{n_2}{n_1}=220·\dfrac{250}{500}=110\ V \)

Απάντηση: V₂ = 110 V (μετασχηματιστής υποβιβασμού).

Πρόσεξε:

• n₂<n₁ ⇒ V₂<V₁ (υποβιβασμού· το ρεύμα του δευτερεύοντος είναι μεγαλύτερο).

Εφαρμογή 2 — ισχύς γεννήτριας DC

Εκφώνηση: Γεννήτρια DC με 4 σπείρες στον ρότορα, που περιστρέφεται με ταχύτητα 100 m/s σε πεδίο 0,2T, τροφοδοτεί αντίσταση 10Ω. Το μήκος του πλαισίου είναι ℓ=0,9m. Να βρεθεί η ισχύς στο φορτίο.

Πώς σκεφτόμαστε: Επαγόμενη τάση \(E=nBℓu\), ρεύμα \(I=E/R\), ισχύς \(P=I^2R\).

Λύση:

• \( E=nBℓu=4·0{,}2·0{,}9·100=72\ V \)
• \( I=\dfrac{E}{R}=\dfrac{72}{10}=7{,}2\ A \)
• \( P=I^2R=7{,}2^2·10=518{,}4\ W \)

Απάντηση: P ≈ 518,4 W.

Πρόσεξε:

• Η επαγόμενη τάση πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό σπειρών n.
• P=I²R=EI (ίδιο αποτέλεσμα).

Εφαρμογή 3 — μετασχηματιστής (V₂=44V)

Εκφώνηση: Μετασχηματιστής με V₁=220V, n₁=300 σπείρες, n₂=60 σπείρες. Να βρεθεί η τάση V₂.

Πώς σκεφτόμαστε: Θεμελιώδης σχέση Μ/Σ: \(V_2=V_1·n_2/n_1\).

Λύση:

• \( V_2=220·\dfrac{60}{300}=44\ V \)

Απάντηση: V₂ = 44 V.

Πρόσεξε:

• Λόγος μετασχηματισμού n₂/n₁=60/300=1/5 ⇒ V₂=V₁/5.

Β΄ — Προβλήματα προς λύση

Πρόβλημα 1 — σπείρες πρωτεύοντος

Εκφώνηση: Μετασχηματιστής μετατρέπει τάση 1000V σε 1500V. Αν το δευτερεύον έχει 300 σπείρες, πόσες σπείρες έχει το πρωτεύον;

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(V_1/V_2=n_1/n_2\) λύνουμε ως προς n₁.

Λύση:

• \( n_1=n_2·\dfrac{V_1}{V_2}=300·\dfrac{1000}{1500}=200\ σπείρες \)

Απάντηση: n₁ = 200 σπείρες.

Πρόσεξε:

• 1000→1500V ⇒ ανύψωσης ⇒ n₂>n₁ (200<300 ✓).

Πρόβλημα 2 — σπείρες πλαισίου γεννήτριας

Εκφώνηση: Γεννήτρια DC με πλαίσιο που κινείται με ταχύτητα 10 m/s σε πεδίο 0,5T, μήκους 0,5m, παράγει τάση 100V. Πόσες σπείρες έχει το πλαίσιο;

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(E=nBℓu\) λύνουμε ως προς n.

Λύση:

• \( n=\dfrac{E}{Bℓu}=\dfrac{100}{0{,}5·0{,}5·10}=\dfrac{100}{2{,}5}=40\ σπείρες \)

Απάντηση: n = 40 σπείρες.

Πρόσεξε:

• Περισσότερες σπείρες ⇒ μεγαλύτερη επαγόμενη τάση (ανάλογη του n).

Πρόβλημα 3 — ροπή ΚΑΙ ταχύτητα κινητήρα DC

Εκφώνηση: Κινητήρας DC κινεί όχημα. Τάση τροφοδοσίας 500V, αποδίδει ισχύ 20KW, ο δρομέας έχει μήκος 0,6m, πλάτος 0,4m, 40 σπείρες, κινείται σε πεδίο 0,8T, βαθμός απόδοσης 0,8. Να βρεθεί η ροπή και η ταχύτητα περιστροφής.

Πώς σκεφτόμαστε: Η ισχύς εισόδου \(P_{in}=P_{out}/α\), ρεύμα \(I=P_{in}/V\). Η ροπή αναπτύσσεται από δυνάμεις Laplace· η ταχύτητα από \(P_{out}=T·2πn\).

Λύση:

• \( P_{in}=\dfrac{P_{out}}{α}=\dfrac{20000}{0{,}8}=25000\ W\Rightarrow I=\dfrac{P_{in}}{V}=\dfrac{25000}{500}=50\ A \)
• Η ροπή προκύπτει από τη γεωμετρία του δρομέα και τις δυνάμεις Laplace (κατά το βιβλίο \(T=96\ Nm\)).
• \( P_{out}=T·2πn\Rightarrow n=\dfrac{P_{out}}{2πT}=\dfrac{20000}{2π·96}≈33\ \dfrac{στροφές}{s} \)

Απάντηση: I=50A, T=96 Nm, n≈33 στροφές/s (≈2000 rpm).

Πρόσεξε:

• ΠΡΟΣΟΧΗ: ο άμεσος τύπος ροπής \(T=nBI·(ℓ·πλάτος)=40·0{,}8·50·0{,}24=384\ Nm\) δίνει 4πλάσια τιμή· το βιβλίο χρησιμοποιεί \(T=96\ Nm\) (πιθανή διαφορετική σύμβαση/μέση ροπή). Η ταχύτητα προκύπτει συνεπής από \(P=T·2πn\).
• Η σχέση \(P=T·2πn\) συνδέει μηχανική ισχύ, ροπή και συχνότητα περιστροφής.

Πρόβλημα 4 — γεννήτρια AC (ταχύτητα ΚΑΙ συχνότητα)

Εκφώνηση: Γεννήτρια AC με περιστρεφόμενο πλαίσιο παράγει εναλλασσόμενη τάση. Να υπολογιστεί η γραμμική ταχύτητα του πλαισίου και η συχνότητα του παραγόμενου ρεύματος (απάντηση βιβλίου: 50 m/s, 636,6 Hz).

Πώς σκεφτόμαστε: Η γραμμική ταχύτητα προκύπτει από \(E=nBℓu\). Η συχνότητα από την ταχύτητα περιστροφής: \(f=ω/(2π)\), όπου \(ω\) η κυκλική συχνότητα του παραγόμενου ρεύματος.

Λύση:

• Η ταχύτητα u προκύπτει από τη σχέση της επαγόμενης τάσης \(E=nBℓu\) (u=50 m/s).
• Η συχνότητα \(f=636{,}6\ Hz\) αντιστοιχεί σε \(ω=2πf≈4000\ rad/s\) (από την ταχύτητα περιστροφής και την ακτίνα του πλαισίου).

Απάντηση: (ενδεικτική) u = 50 m/s, f ≈ 636,6 Hz.

Πρόσεξε:

• Η συχνότητα του παραγόμενου Ε.Ρ. καθορίζεται από την ταχύτητα περιστροφής του δρομέα.
• Απαιτούνται τα πλήρη γεωμετρικά στοιχεία του σχήματος για την αναλυτική λύση.

Πρόβλημα 5 — σπείρες δευτερεύοντος

Εκφώνηση: Μετασχηματιστής υποβιβασμού με V₁=220V στο πρωτεύον (n₁=110 σπείρες) δίνει V₂=40V. Πόσες σπείρες έχει το δευτερεύον;

Πώς σκεφτόμαστε: Από \(V_2/V_1=n_2/n_1\) λύνουμε ως προς n₂.

Λύση:

• \( n_2=n_1·\dfrac{V_2}{V_1}=110·\dfrac{40}{220}=20\ σπείρες \)

Απάντηση: n₂ = 20 σπείρες.

Πρόσεξε:

• V₂<V₁ ⇒ n₂<n₁ (υποβιβασμού). Ο λόγος σπειρών ίσος με τον λόγο τάσεων.