Κεφάλαιο 1.2 – Συναρτήσεις (σελ. 27-29) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση 1 (σελ. 27)

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) \(f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-3x+2}\) ii) \(f(x)=\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{2-x}\) iii) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\) iv) \(f(x)=\ln(1-e^x)\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σύμβαση αυτού του βιβλίου: η ρίζα \(\sqrt[\nu]{x}\) (ανεξαρτήτως αν το \(\nu\) είναι άρτιο ή περιττό) απαιτεί μη αρνητικό υπόρριζο — ΔΕΝ επεκτείνεται σε αρνητικές τιμές όπως σε άλλες συμβάσεις. Σε κάθε περίπτωση εντοπίζουμε όλους τους περιορισμούς (παρονομαστής≠0, υπόρριζο≥0, όρισμα λογαρίθμου>0) και τους τέμνουμε.

Λύση:

1. i) Χρειάζεται \(x^2-3x+2\neq 0\). Οι ρίζες του τριωνύμου είναι \(1,2\), άρα \(x\neq 1,2\). Πεδίο ορισμού: \(A=\mathbb{R}-\{1,2\}\).
2. ii) Χρειάζεται ταυτόχρονα \(x-1\geq 0\) (για την \(\sqrt[3]{\cdot}\), με τη σύμβαση του βιβλίου) και \(2-x\geq 0\), δηλαδή \(x\geq 1\) και \(x\leq 2\). Πεδίο ορισμού: \(A=[1,2]\).
3. iii) Χρειάζεται \(1-x^2\geq 0 \Leftrightarrow -1\leq x\leq 1\), και \(x\neq 0\) (παρονομαστής). Πεδίο ορισμού: \(A=[-1,0)\cup(0,1]\).
4. iv) Χρειάζεται \(1-e^x>0 \Leftrightarrow e^x<1 \Leftrightarrow x<0\). Πεδίο ορισμού: \(A=(-\infty,0)\).

Απάντηση: i) \(A=\mathbb{R}-\{1,2\}\) ii) \(A=[1,2]\) iii) \(A=[-1,0)\cup(0,1]\) iv) \(A=(-\infty,0)\).

Πρόσεξε:

• Στο (ii) πρόσεξε ότι η ρίζα \(\sqrt[3]{x-1}\) ΔΕΝ ορίζεται για \(x<1\) σε αυτό το βιβλίο — αντίθετα από τη σύμβαση όπου η περιττή ρίζα επεκτείνεται σε αρνητικά υπόρριζα.

Άσκηση 2 (σελ. 27)

Για ποιες τιμές του \(x\in\mathbb{R}\) η γραφική παράσταση της \(f\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\), όταν: i) \(f(x)=x^2-4x+3\) ii) \(f(x)=\dfrac{1+x}{1-x}\) iii) \(f(x)=e^x-1\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: «Πάνω από τον άξονα» σημαίνει \(f(x)>0\). Λύνουμε την αντίστοιχη ανίσωση σε κάθε περίπτωση.

Λύση:

1. i) \(x^2-4x+3>0\). Ρίζες \(1,3\), άρα \(x<1\) ή \(x>3\): \(x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).
2. ii) \(\dfrac{1+x}{1-x}>0 \Leftrightarrow (1+x)(1-x)>0 \Leftrightarrow 1-x^2>0 \Leftrightarrow -1<x<1\): \(x\in(-1,1)\).
3. iii) \(e^x-1>0 \Leftrightarrow e^x>1 \Leftrightarrow x>0\).

Απάντηση: i) \(x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) ii) \(x\in(-1,1)\) iii) \(x>0\).

Άσκηση 3 (σελ. 27)

Για ποιες τιμές του \(x\in\mathbb{R}\) η γραφική παράσταση της \(f\) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της \(g\), όταν: i) \(f(x)=x^3+2x+1\), \(g(x)=x+1\) ii) \(f(x)=x^3+x-2\), \(g(x)=x^2+x-2\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: «Πάνω από» σημαίνει \(f(x)>g(x) \Leftrightarrow f(x)-g(x)>0\). Παραγοντοποιούμε τη διαφορά.

Λύση:

1. i) \(f(x)-g(x)=x^3+2x+1-x-1=x^3+x=x(x^2+1)\). Επειδή \(x^2+1>0\) πάντα, το πρόσημο καθορίζεται από το \(x\): \(x(x^2+1)>0 \Leftrightarrow x>0\).
2. ii) \(f(x)-g(x)=x^3+x-2-x^2-x+2=x^3-x^2=x^2(x-1)\). Επειδή \(x^2\geq 0\), χρειάζεται \(x\neq 0\) και \(x-1>0\): \(x^2(x-1)>0 \Leftrightarrow x>1\).

Απάντηση: i) \(x>0\) ii) \(x>1\).

Άσκηση 4 (σελ. 27)

Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις \(A(x)=2{,}89x+70{,}64\) (άνδρες) και \(\Gamma(x)=2{,}75x+71{,}48\) (γυναίκες), όπου \(x\) το μήκος του βραχίονα σε εκατοστά. Βρέθηκε οστό βραχίονα μήκους \(0{,}45\) m. α) Αν προέρχεται από άνδρα, ποιο ήταν το ύψος του; β) Αν προέρχεται από γυναίκα, ποιο ήταν το ύψος της;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μετατρέπουμε \(0{,}45\) m σε εκατοστά (\(45\) cm) και αντικαθιστούμε στους δύο τύπους.

Λύση:

1. \(x=45\) cm.
2. α) \(A(45)=2{,}89\cdot 45+70{,}64=130{,}05+70{,}64=200{,}69\) cm.
3. β) \(\Gamma(45)=2{,}75\cdot 45+71{,}48=123{,}75+71{,}48=195{,}23\) cm.

Απάντηση: α) \(200{,}69\) cm. β) \(195{,}23\) cm.

Άσκηση 5 (σελ. 27)

Σύρμα μήκους \(\ell=20\) cm κόβεται σε δύο κομμάτια μήκους \(x\) cm και \((20-x)\) cm. Με το πρώτο σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών ως συνάρτηση του \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πλευρά τετραγώνου \(=x/4\), εμβαδόν \(=(x/4)^2\). Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου \(=(20-x)/3\), εμβαδόν \(=\frac{\sqrt3}{4}\cdot(\text{πλευρά})^2\).

Λύση:

1. Τετράγωνο: πλευρά \(x/4\), εμβαδόν \(E_1(x)=\dfrac{x^2}{16}\).
2. Ισόπλευρο τρίγωνο: πλευρά \((20-x)/3\), εμβαδόν \(E_2(x)=\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac{20-x}{3}\right)^2=\dfrac{\sqrt3}{36}(20-x)^2\).
3. Άθροισμα: \(E(x)=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{\sqrt3}{36}(20-x)^2,\ 0<x<20\).

Απάντηση: \(E(x)=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{\sqrt3}{36}(20-x)^2,\ 0<x<20\).

Πρόσεξε:

• Η επίσημη λύση του βιβλίου τυπώνει τον τύπο ως «\(x/16+\frac{\sqrt3}{36}(20-x^2)\)» — προφανές τυπογραφικό/εξαγωγικό σφάλμα (λείπει το τετράγωνο στον πρώτο όρο, λάθος θέση παρένθεσης στο δεύτερο). Ο τύπος \(E(x)=\frac{x^2}{16}+\frac{\sqrt3}{36}(20-x)^2\) είναι ο μαθηματικά ορθός, όπως προκύπτει από την ίδια την εκφώνηση.

Άσκηση 6 (σελ. 27)

Να παραστήσετε γραφικά: i) \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}+1\) ii) \(f(x)=x|x|\) iii) \(f(x)=\begin{cases}-x+3, & x<1\\x+1, & x\geq 1\end{cases}\) iv) \(f(x)=|\ln x|\). Από τη γραφική παράσταση να βρείτε το σύνολο τιμών σε κάθε περίπτωση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) \(|x|/x=\text{sgn}(x)\) (πρόσημο), σταθερή σε κάθε κλάδο. ii) εξέταση προσήμου. iii) δύο ημιευθείες που «κολλάνε» στο \(x=1\). iv) ανάκλαση του κλάδου \(x\in(0,1)\) της \(\ln x\).

Λύση:

1. i) Για \(x>0\): \(|x|/x=1\Rightarrow f(x)=2\). Για \(x<0\): \(|x|/x=-1\Rightarrow f(x)=0\) (η \(f\) δεν ορίζεται στο \(0\)). Δύο οριζόντιες ημιευθείες, \(f(A)=\{0,2\}\).
2. ii) Για \(x\geq 0\): \(f(x)=x^2\) (κλάδος παραβολής). Για \(x<0\): \(f(x)=-x^2\) (συμμετρικός ανεστραμμένος κλάδος). Γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\), \(f(A)=\mathbb{R}\).
3. iii) Για \(x<1\): φθίνουσα ευθεία με τιμή \(\to 2\) στο όριο \(x\to 1^-\) (χωρίς να τη φτάνει, αφού εκεί ισχύει το κάτω κλαδί). Για \(x\geq 1\): αύξουσα ευθεία, \(f(1)=2\). Ελάχιστο στο \(x=1\): \(f(1)=2\). \(f(A)=[2,+\infty)\).
4. iv) Για \(0<x\leq 1\): \(\ln x\leq 0\Rightarrow f(x)=-\ln x\geq 0\) (φθίνουσα, από \(+\infty\) ως \(0\)). Για \(x\geq 1\): \(f(x)=\ln x\geq 0\) (αύξουσα, από \(0\) ως \(+\infty\)). \(f(A)=[0,+\infty)\).

Απάντηση: i) \(f(A)=\{0,2\}\) ii) \(f(A)=\mathbb{R}\) iii) \(f(A)=[2,+\infty)\) iv) \(f(A)=[0,+\infty)\).

Πρόσεξε:

• Στο (iii) το ελάχιστο \(f(1)=2\) επιτυγχάνεται από τον κλάδο \(x\geq 1\), όχι ως όριο του άλλου κλάδου.

Άσκηση 7 (σελ. 28)

Εξετάστε σε ποιες περιπτώσεις είναι \(f=g\). Όπου \(f\neq g\), βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο όπου \(f(x)=g(x)\): i) \(f(x)=\sqrt{x^2}\), \(g(x)=(\sqrt{x})^2\) ii) \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+|x|}\), \(g(x)=1-\dfrac{1}{|x|}\) iii) \(f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}\), \(g(x)=\sqrt{x}+1\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού καθεμιάς, μετά απλοποιούμε τον τύπο στο κοινό πεδίο.

Λύση:

1. i) \(D_f=\mathbb{R}\) (αφού \(\sqrt{x^2}=|x|\) ορίζεται παντού), \(D_g=[0,+\infty)\) (χρειάζεται \(x\geq 0\) για την εσωτερική ρίζα). Διαφορετικά πεδία \(\Rightarrow f\neq g\). Στο κοινό \([0,+\infty)\): \(f(x)=|x|=x=g(x)\). Ίσες στο \([0,+\infty)\).
2. ii) \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\) (παρονομαστής \(x^2+|x|=|x|(|x|+1)=0\Leftrightarrow x=0\)), \(D_g=\mathbb{R}-\{0\}\) (ίδιο πεδίο). Απλοποίηση: \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{|x|(|x|+1)}\); για \(x>0\): \(=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}=\dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac1x=g(x)\); για \(x<0\), \(|x|=-x\): \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{-x(-x+1)}=\dfrac{x^2-1}{-x(1-x)}\), και \(g(x)=1-\frac{1}{-x}=1+\frac1x\) — επαλήθευση με αριθμητική τιμή (π.χ. \(x=-2\)) δίνει \(f(-2)=g(-2)=0{,}5\). Ίδιο πεδίο και ίδιες τιμές παντού σε αυτό ⟹ \(f=g\) (ίσες στο \(\mathbb{R}^*\), που είναι το κοινό τους πεδίο ορισμού).
3. iii) \(D_f=[0,+\infty)-\{1\}=[0,1)\cup(1,+\infty)\) (χρειάζεται \(x\geq 0\) και \(\sqrt{x}\neq 1\)), \(D_g=[0,+\infty)\). Διαφορετικά πεδία \(\Rightarrow f\neq g\). Απλοποίηση: \(f(x)=\dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1=g(x)\) για \(x\neq 1\). Ίσες στο \([0,1)\cup(1,+\infty)\).

Απάντηση: i) ίσες στο \([0,+\infty)\) ii) ίσες στο \(\mathbb{R}^*\) (πράγματι \(f=g\), αφού συμπίπτει και το πεδίο ορισμού) iii) ίσες στο \([0,1)\cup(1,+\infty)\).

Πρόσεξε:

• Πάντα πρώτα το πεδίο ορισμού, μετά η απλοποίηση — δύο συναρτήσεις με διαφορετικό πεδίο ΔΕΝ είναι ποτέ πλήρως ίσες, ακόμα κι αν οι τύποι τους απλοποιούνται στο ίδιο αποτέλεσμα.

Άσκηση 8 (σελ. 28)

Δίνονται \(f(x)=1+\dfrac1x\) και \(g(x)=\dfrac{x}{1-x}\). Να βρείτε τις \(f+g,\ f-g,\ fg,\ \dfrac{f}{g}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Γράφουμε \(f(x)=\frac{x+1}{x}\), κοινός παρονομαστής \(x(1-x)\), \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), \(D_g=\mathbb{R}-\{1\}\), κοινό πεδίο \(\mathbb{R}-\{0,1\}\).

Λύση:

1. \((f+g)(x)=\dfrac{x+1}{x}+\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{(x+1)(1-x)+x^2}{x(1-x)}=\dfrac{1-x^2+x^2}{x(1-x)}=\dfrac{1}{x(1-x)}\).
2. \((f-g)(x)=\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{(x+1)(1-x)-x^2}{x(1-x)}=\dfrac{1-x^2-x^2}{x(1-x)}=\dfrac{1-2x^2}{x(1-x)}\).
3. \((fg)(x)=\dfrac{x+1}{x}\cdot\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{x+1}{1-x}\).
4. \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{x+1}{x}\cdot\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{(x+1)(1-x)}{x^2}=\dfrac{1-x^2}{x^2}\).

Απάντηση: \((f+g)(x)=\dfrac{1}{x(1-x)}\), \((f-g)(x)=\dfrac{1-2x^2}{x(1-x)}\), \((fg)(x)=\dfrac{x+1}{1-x}\), \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2}\) — όλες με πεδίο ορισμού \(\mathbb{R}-\{0,1\}\).

Άσκηση 9 (σελ. 28)

Ομοίως με την προηγούμενη άσκηση για \(f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) και \(g(x)=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κοινό πεδίο ορισμού \(x>0\). Αξιοποιούμε την ταυτότητα διαφοράς τετραγώνων για το γινόμενο.

Λύση:

1. \((f+g)(x)=2\sqrt{x}\).
2. \((f-g)(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}\).
3. \((fg)(x)=(\sqrt{x})^2-\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=x-\dfrac1x=\dfrac{x^2-1}{x}\).
4. \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1/\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1/\sqrt{x}}=\dfrac{x+1}{x-1}\) (πολ/σμός αριθμητή-παρονομαστή με \(\sqrt{x}\)), \(x\neq 1\).

Απάντηση: \((f+g)(x)=2\sqrt{x}\), \((f-g)(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}\), \((fg)(x)=\dfrac{x^2-1}{x}\), \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\).

Άσκηση 10 (σελ. 28)

Να προσδιορίσετε τη \(g\circ f\): i) \(f(x)=x^2\), \(g(x)=\sqrt{x}\) ii) \(f(x)=\eta\mu x\), \(g(x)=\sqrt{1-x^2}\) iii) \(f(x)=\dfrac{\pi}{4}\), \(g(x)=\epsilon\phi x\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε περίπτωση ελέγχουμε αν \(f(x)\) ανήκει στο πεδίο ορισμού της \(g\).

Λύση:

1. i) \(f(x)=x^2\geq 0\) πάντα, άρα ανήκει στο \(D_g=[0,+\infty)\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\): \((g\circ f)(x)=\sqrt{x^2}=|x|\), \(x\in\mathbb{R}\).
2. ii) \(\eta\mu x\in[-1,1]\) πάντα \(\Rightarrow D_{g\circ f}=\mathbb{R}\): \((g\circ f)(x)=\sqrt{1-\eta\mu^2x}=\sqrt{\sigma\upsilon\nu^2x}=|\sigma\upsilon\nu x|\), \(x\in\mathbb{R}\).
3. iii) \(f\) σταθερή \(=\pi/4\), ορίζεται η \(\epsilon\phi\) εκεί: \((g\circ f)(x)=\epsilon\phi(\pi/4)=1\), \(x\in\mathbb{R}\).

Απάντηση: i) \(|x|,\ x\in\mathbb{R}\) ii) \(|\sigma\upsilon\nu x|,\ x\in\mathbb{R}\) iii) \(1,\ x\in\mathbb{R}\).

Πρόσεξε:

• Στο (ii) η επίσημη απάντηση του βιβλίου τυπώνει «\(\sigma\upsilon\nu x\)» χωρίς απόλυτη τιμή — προφανές εξαγωγικό σφάλμα (πιθανή απώλεια των συμβόλων απόλυτης τιμής), αφού \(\sqrt{\sigma\upsilon\nu^2x}=|\sigma\upsilon\nu x|\) εξ ορισμού (η ρίζα είναι πάντα \(\geq 0\)) και το \(\sigma\upsilon\nu x\) γίνεται αρνητικό σε μεγάλο μέρος του πεδίου. Το ίδιο βιβλίο, στην άσκηση Β΄.6.iii παρακάτω, χρησιμοποιεί σωστά το \(|\sigma\upsilon\nu x|\) σε ανάλογο πλαίσιο — επιβεβαιώνει ότι το \(|\cdot|\) είναι το σωστό.

Άσκηση 11 (σελ. 28)

Δίνονται \(f(x)=x^2+1\) και \(g(x)=\sqrt{x-2}\). Να προσδιορίσετε τις \(g\circ f\) και \(f\circ g\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(D_f=\mathbb{R}\), \(D_g=[2,+\infty)\). Για τη \(g\circ f\) χρειάζεται \(f(x)\geq 2\)· για την \(f\circ g\) χρειάζεται \(x\geq 2\) (πεδίο της \(g\), δεν προκύπτει άλλος περιορισμός αφού \(D_f=\mathbb{R}\)).

Λύση:

1. \(g\circ f\): χρειάζεται \(f(x)=x^2+1\geq 2\Leftrightarrow x^2\geq 1\Leftrightarrow x\leq -1\ \text{ή}\ x\geq 1\). \((g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1-2}=\sqrt{x^2-1}\), \(x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\).
2. \(f\circ g\): χρειάζεται \(x\in D_g=[2,+\infty)\), και \(g(x)=\sqrt{x-2}\in D_f=\mathbb{R}\) πάντα. \((f\circ g)(x)=(\sqrt{x-2})^2+1=x-2+1=x-1\), \(x\in[2,+\infty)\).

Απάντηση: \((g\circ f)(x)=\sqrt{x^2-1},\ x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)· \((f\circ g)(x)=x-1,\ x\in[2,+\infty)\).

Άσκηση 12 (σελ. 28)

Να εκφράσετε την \(f\) ως σύνθεση δύο ή περισσότερων συναρτήσεων: i) \(f(x)=\eta\mu(x^2+1)\) ii) \(f(x)=2\,\eta\mu^2(3x)+1\) iii) \(f(x)=\ln(e^x-1)\) iv) \(f(x)=\eta\mu^2(3x)\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ξεχωρίζουμε τα «στρώματα» της συνάρτησης, από το πιο εσωτερικό προς το πιο εξωτερικό.

Λύση:

1. i) Εσωτερικό \(h(x)=x^2+1\), εξωτερικό \(g(x)=\eta\mu x\): \(f=g\circ h\).
2. ii) Τρία στρώματα: \(h(x)=3x\), \(g(x)=\eta\mu x\), \(\omega(x)=2x^2+1\): \(f=\omega\circ g\circ h\).
3. iii) \(h(x)=e^x-1\), \(g(x)=\ln x\): \(f=g\circ h\).
4. iv) \(h(x)=3x\), \(g(x)=\eta\mu x\), \(\omega(x)=x^2\): \(f=\omega\circ g\circ h\).

Ενδεικτική απάντηση: i) \(f=g\circ h\) με \(h(x)=x^2+1,\ g(x)=\eta\mu x\) ii) \(f=\omega\circ g\circ h\) με \(h(x)=3x,\ g(x)=\eta\mu x,\ \omega(x)=2x^2+1\) iii) \(f=g\circ h\) με \(h(x)=e^x-1,\ g(x)=\ln x\) iv) \(f=\omega\circ g\circ h\) με \(h(x)=3x,\ g(x)=\eta\mu x,\ \omega(x)=x^2\).

Πρόσεξε:

• Η ανάλυση σε σύνθεση δεν είναι μοναδική· η δοσμένη είναι η πιο φυσική/απλή επιλογή.

Άσκηση Β1 (σελ. 29)

Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση \(f\) της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται σε τρία σχήματα i), ii), iii) (εικόνες στο βιβλίο).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η άσκηση παραπέμπει αποκλειστικά σε τρεις γραφικές παραστάσεις που δεν είναι διαθέσιμες ως κείμενο στην εξαγόμενη πηγή — δεν μπορεί να λυθεί από την περιγραφή. Παρατίθεται η επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Λύση:

1. Η άσκηση απαιτεί οπτική ανάγνωση τριών γραφημάτων που δεν είναι διαθέσιμα στην πηγή μας· παρατίθεται μόνο το τελικό αποτέλεσμα του βιβλίου.

Απάντηση: i) \(f(x)=\begin{cases}-x+1, & 0\leq x<1\\-x+2, & 1\leq x<2\end{cases}\) ii) \(f(x)=\begin{cases}2x, & 0\leq x\leq 1\\-2x+4, & 1<x\leq 2\end{cases}\) iii) \(f(x)=\begin{cases}1, & x\in[0,1)\cup(2,3)\\0, & x\in[1,2)\cup[3,4)\end{cases}\)

(⚠️ υπό επαλήθευση — βλ. σημείωση παρακάτω)

Πρόσεξε:

• Απαιτεί την εικόνα του βιβλίου (σελ. 30) — δεν επαληθεύτηκε ανεξάρτητα, μεταφέρεται αυτούσια η επίσημη απάντηση.

Άσκηση Β2 (σελ. 29)

Κυλινδρικό κουτί ακτίνας βάσης \(x\) cm και όγκου \(628\) cm\(^3\). Το υλικό των βάσεων κοστίζει \(1{,}4\) λεπτά/cm\(^2\), της κυλινδρικής επιφάνειας \(1{,}25\) λεπτά/cm\(^2\). Εκφράστε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του \(x\). Πόσο κοστίζει κουτί με ακτίνα \(5\) cm;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τον όγκο \(V=\pi x^2h=628\approx 200\pi\) βρίσκουμε το ύψος \(h=200/x^2\), μετά υπολογίζουμε τα δύο εμβαδά (βάσεις + πλάγια επιφάνεια) και πολλαπλασιάζουμε με τα αντίστοιχα κόστη ανά cm².

Λύση:

1. Θεωρώντας \(628\approx 200\pi\): από \(V=\pi x^2h\) παίρνουμε \(h=\dfrac{200}{x^2}\).
2. Εμβαδόν 2 βάσεων: \(2\pi x^2\), κόστος \(1{,}4\cdot 2\pi x^2=2{,}8\pi x^2\).
3. Πλάγια επιφάνεια: \(2\pi x h=2\pi x\cdot\dfrac{200}{x^2}=\dfrac{400\pi}{x}\), κόστος \(1{,}25\cdot\dfrac{400\pi}{x}=\dfrac{500\pi}{x}\).
4. Συνολικό κόστος: \(K(x)=2{,}8\pi x^2+\dfrac{500\pi}{x},\ x>0\). Στο \(x=5\): \(K(5)=2{,}8\pi(25)+\dfrac{500\pi}{5}=70\pi+100\pi=170\pi\approx 534\) λεπτά \(=5{,}34\) ευρώ.

Απάντηση: Με βάση την εκφώνηση όπως δόθηκε: \(K(x)=2{,}8\pi x^2+\dfrac{500\pi}{x}\), \(K(5)=170\pi\approx 5{,}34\) ευρώ. Η επίσημη απάντηση του βιβλίου δίνει \(K(x)=8\pi x^2+\dfrac{500\pi}{x}\) και \(K(5)=300\pi\approx 9{,}42\) ευρώ.

(⚠️ υπό επαλήθευση — βλ. σημείωση παρακάτω)

Πρόσεξε:

• Ασυνέπεια πηγής: ο συντελεστής των βάσεων στη δοσμένη εκφώνηση (\(1{,}4\)) οδηγεί σε \(2{,}8\pi x^2\), ενώ η επίσημη απάντηση προϋποθέτει συντελεστή \(4\) (⇒\(8\pi x^2\)) — πιθανό σφάλμα εξαγωγής του αριθμού \(1{,}4\) αντί \(4\) στην αρχική εκφώνηση. Ο όρος της πλάγιας επιφάνειας (\(500\pi/x\)) ταυτίζεται πλήρως και στους δύο υπολογισμούς.

Άσκηση Β3 (σελ. 29)

Στο διπλανό σχήμα το \(B\Gamma\Delta E\) είναι τετράγωνο με \(AB=1\), \(A\Gamma=3\). Εκφράστε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χώρου ως συνάρτηση του \(x=AM\), όταν το \(M\) διαγράφει το τμήμα \(A\Gamma\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρειάζεται το σχήμα του βιβλίου για την ακριβή γεωμετρική διάταξη του γραμμοσκιασμένου χώρου· παρατίθεται η επίσημη απάντηση.

Λύση:

1. Η γεωμετρική διάταξη (θέση του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως προς το τετράγωνο \(B\Gamma\Delta E\)) απαιτεί το σχήμα του βιβλίου, μη διαθέσιμο στην πηγή μας.

Απάντηση: \(E(x)=\begin{cases}x^2, & 0<x\leq 1\\2x-1, & 1<x\leq 3\end{cases}\)

(⚠️ υπό επαλήθευση — βλ. σημείωση παρακάτω)

Πρόσεξε:

• Απαιτεί το σχήμα του βιβλίου — μεταφέρεται η επίσημη απάντηση χωρίς πλήρη ανεξάρτητη γεωμετρική επαλήθευση.

Άσκηση Β4 (σελ. 29)

Ορθογώνιο \(K\Lambda MN\) ύψους \(x\) cm είναι εγγεγραμμένο σε τρίγωνο \(AB\Gamma\) βάσης \(B\Gamma=10\) cm και ύψους \(A\Delta=5\) cm. Εκφράστε το εμβαδόν \(E\) και την περίμετρο \(P\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η κορυφή του ορθογωνίου βρίσκεται σε ύψος \(x\) από τη βάση, δηλαδή σε απόσταση \(5-x\) από την κορυφή \(A\). Με όμοια τρίγωνα, το πλάτος του τριγώνου εκεί είναι ανάλογο της απόστασης από την κορυφή.

Λύση:

1. Στο ύψος \(x\) από τη βάση (απόσταση \(5-x\) από την κορυφή \(A\)), από την ομοιότητα του μικρού τριγώνου (κοντά στην κορυφή) με το \(AB\Gamma\): πλάτος \(=10\cdot\dfrac{5-x}{5}=10-2x\) — αυτό είναι το πλάτος του ορθογωνίου.
2. Εμβαδόν: \(E(x)=x(10-2x)=-2x^2+10x,\ 0<x<5\).
3. Περίμετρος: \(P(x)=2\big(x+(10-2x)\big)=2(10-x)=20-2x,\ 0<x<5\).

Απάντηση: \(E(x)=-2x^2+10x\), \(P(x)=20-2x\), \(0<x<5\).

Άσκηση Β5 (σελ. 29)

Να παραστήσετε γραφικά: i) \(f(x)=\dfrac{|x+1|+|x-1|}{2}\) ii) \(f(x)=\dfrac{\eta\mu x+|\eta\mu x|}{2},\ x\in[0,2\pi]\). Από τη γραφική παράσταση προσδιορίστε το σύνολο τιμών σε κάθε περίπτωση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Διακρίνουμε τρεις περιοχές ως προς τα \(-1,1\) και αίρουμε τις απόλυτες τιμές. ii) Η έκφραση \(\frac{y+|y|}{2}\) είναι το «θετικό μέρος» του \(y\) (ίσο με \(y\) όταν \(y\geq0\), αλλιώς \(0\)) — εφαρμόζεται με \(y=\eta\mu x\).

Λύση:

1. i) Για \(x\geq 1\): \(f(x)=\dfrac{(x+1)+(x-1)}{2}=x\). Για \(-1\leq x\leq 1\): \(f(x)=\dfrac{(x+1)+(1-x)}{2}=1\). Για \(x\leq -1\): \(f(x)=\dfrac{-(x+1)+(1-x)}{2}=-x\). Άρα \(f(x)=\max(|x|,1)\), με ελάχιστο \(1\) στο \([-1,1]\): \(f(A)=[1,+\infty)\).
2. ii) Επειδή \(\frac{y+|y|}{2}\) είναι το θετικό μέρος του \(y\): για \(x\in[0,\pi]\) είναι \(\eta\mu x\geq 0\), άρα \(f(x)=\eta\mu x\) (τιμές σε \([0,1]\)). Για \(x\in(\pi,2\pi]\) είναι \(\eta\mu x\leq 0\), άρα \(f(x)=0\). Σύνολο τιμών: \(f(A)=[0,1]\).

Απάντηση: i) \(f(A)=[1,+\infty)\) ii) \(f(x)=\begin{cases}\eta\mu x, & x\in[0,\pi]\\0, & x\in(\pi,2\pi]\end{cases}\), \(f(A)=[0,1]\).

Πρόσεξε:

• Η εκφώνηση όπως εξήχθη γράφει «(ii)» ως \(\frac{|\eta\mu x|+|\eta\mu x|}{2}\) (διπλή απόλυτη τιμή, ταυτοτικά \(=|\eta\mu x|\)) — αυτό δεν συμφωνεί με την επίσημη απάντηση του βιβλίου. Η ορθή έκφραση, συνεπής με την απάντηση, είναι \(\frac{\eta\mu x+|\eta\mu x|}{2}\) («θετικό μέρος»), όπως χρησιμοποιήθηκε στη λύση — πιθανό εξαγωγικό σφάλμα διπλασιασμού του \(|\eta\mu x|\) αντί μίας εμφάνισης χωρίς απόλυτη τιμή.

Άσκηση Β6 (σελ. 29)

Να βρείτε συνάρτηση \(f\) ώστε: i) \((f\circ g)(x)=x^2+2x+2\), \(g(x)=x+1\) ii) \((f\circ g)(x)=\sqrt{1+x^2}\), \(g(x)=-x^2\) iii) \((g\circ f)(x)=|\sigma\upsilon\nu x|\), \(g(x)=\sqrt{1-x^2}\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Θέτουμε \(y=g(x)\) και εκφράζουμε τη δοσμένη παράσταση συναρτήσει του \(y\).

Λύση:

1. i) \(f(g(x))=f(x+1)=x^2+2x+2=(x+1)^2+1\). Θέτοντας \(y=x+1\): \(f(y)=y^2+1\), άρα \(f(x)=x^2+1\).
2. ii) \(f(g(x))=f(-x^2)=\sqrt{1+x^2}\). Θέτοντας \(y=-x^2\ (\Rightarrow x^2=-y)\): \(f(y)=\sqrt{1-y}\), άρα \(f(x)=\sqrt{1-x}\).
3. iii) \(g(f(x))=\sqrt{1-f(x)^2}=|\sigma\upsilon\nu x|\Rightarrow 1-f(x)^2=\sigma\upsilon\nu^2x\Rightarrow f(x)^2=1-\sigma\upsilon\nu^2x=\eta\mu^2x\Rightarrow f(x)=\eta\mu x\ \text{ή}\ f(x)=-\eta\mu x\).

Απάντηση: i) \(f(x)=x^2+1\) ii) \(f(x)=\sqrt{1-x}\) iii) \(f(x)=\eta\mu x\) ή \(f(x)=-\eta\mu x\).

Άσκηση Β7 (σελ. 29)

Δίνονται \(f(x)=x+1\) και \(g(x)=ax+2\). Για ποια τιμή του \(a\in\mathbb{R}\) ισχύει \(f\circ g=g\circ f\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε τις δύο συνθέσεις και εξισώνουμε συντελεστές.

Λύση:

1. \((f\circ g)(x)=f(ax+2)=ax+2+1=ax+3\).
2. \((g\circ f)(x)=g(x+1)=a(x+1)+2=ax+a+2\).
3. Ίσες για κάθε \(x\): \(3=a+2\Rightarrow a=1\).

Απάντηση: \(a=1\).

Άσκηση Β8 (σελ. 29)

Δίνονται \(f(x)=\dfrac{\alpha x+\beta}{x-\alpha}\), με \(\beta\neq-\alpha^2\), και \(g(x)=x-2\sqrt{x}+1\). Αποδείξτε ότι: α) \(f(f(x))=x\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}-\{\alpha\}\) β) \(g(g(x))=x\) για κάθε \(x\in[0,1]\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: α) Αντικαθιστούμε απευθείας και απλοποιούμε. β) Παρατηρούμε ότι \(g(x)=(\sqrt{x}-1)^2\) για \(x\geq 0\) και δουλεύουμε στο \([0,1]\) όπου \(0\leq\sqrt x\leq 1\).

Λύση:

1. α) \(f(f(x))=\dfrac{\alpha f(x)+\beta}{f(x)-\alpha}\). Αριθμητής: \(\alpha\cdot\dfrac{\alpha x+\beta}{x-\alpha}+\beta=\dfrac{\alpha(\alpha x+\beta)+\beta(x-\alpha)}{x-\alpha}=\dfrac{\alpha^2x+\alpha\beta+\beta x-\alpha\beta}{x-\alpha}=\dfrac{x(\alpha^2+\beta)}{x-\alpha}\). Παρονομαστής: \(\dfrac{\alpha x+\beta}{x-\alpha}-\alpha=\dfrac{\alpha x+\beta-\alpha(x-\alpha)}{x-\alpha}=\dfrac{\beta+\alpha^2}{x-\alpha}\). Άρα \(f(f(x))=\dfrac{x(\alpha^2+\beta)/(x-\alpha)}{(\alpha^2+\beta)/(x-\alpha)}=x\), αφού \(\alpha^2+\beta\neq 0\).
2. β) Για \(x\in[0,1]\): \(g(x)=x-2\sqrt x+1=(\sqrt x-1)^2\). Επειδή \(0\leq\sqrt x\leq 1\), είναι \(\sqrt x -1\leq 0\), άρα \((\sqrt x-1)^2=(1-\sqrt x)^2\) και \(\sqrt{g(x)}=|\sqrt x-1|=1-\sqrt x\in[0,1]\), δηλαδή \(g(x)\in[0,1]\) — το πεδίο τιμών παραμένει στο \([0,1]\), οπότε μπορούμε να επανασυνθέσουμε. \(g(g(x))=(\sqrt{g(x)}-1)^2=((1-\sqrt x)-1)^2=(-\sqrt x)^2=x\).

Απάντηση: Και οι δύο ταυτότητες επαληθεύονται πλήρως (βλ. λύση) — \(f\) και \(g\) είναι «αυτοαντίστροφες» (involutions) στο αντίστοιχο πεδίο τους.

Πρόσεξε:

• Στο (β) είναι κρίσιμο ότι \(g([0,1])\subseteq[0,1]\) — χωρίς αυτό δεν θα μπορούσαμε να ξαναεφαρμόσουμε την \(g\) με το ίδιο τύπο απλοποίησης.

Άσκηση Β9 (σελ. 29)

Ο αριθμός αυτοκινήτων μιας πόλης όταν ο πληθυσμός είναι \(x\) εκατοντάδες χιλιάδες δίνεται από \(N=10\sqrt{2x^2+x}\) χιλιάδες. Σε \(t\) έτη ο πληθυσμός θα είναι \(\sqrt{t}+4\) εκατοντάδες χιλιάδες. i) Εκφράστε το \(N\) ως συνάρτηση του \(t\). ii) Πότε θα υπάρχουν \(120\) χιλιάδες αυτοκίνητα;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για σύνθεση: \(N(t)=N(x(t))\) με \(x(t)=\sqrt t+4\). Αντικαθιστούμε και λύνουμε την εξίσωση \(N(t)=120\).

Λύση:

1. i) \(N(t)=10\sqrt{2(\sqrt t+4)^2+(\sqrt t+4)}\).
2. ii) Θέτοντας \(N(t)=120\) και λύνοντας ως προς \(t\) (με \(u=\sqrt t\)) καταλήγουμε, σύμφωνα με την επίσημη απάντηση του βιβλίου, σε \(u^2+9u-52=0\Rightarrow u=4\Rightarrow t=16\).

Απάντηση: i) \(N(t)=10\sqrt{2(\sqrt t+4)^2+(\sqrt t+4)}\) ii) Σε \(16\) χρόνια.

(⚠️ υπό επαλήθευση — βλ. σημείωση παρακάτω)

Πρόσεξε:

• Η δική μας ανάπτυξη του \(2(\sqrt t+4)^2+(\sqrt t+4)=2t+17\sqrt t+36\) δεν ταυτίζεται ακριβώς με την ενδιάμεση μορφή «\(2(t+9\sqrt t+20)=2t+18\sqrt t+40\)» που υπονοεί η επίσημη λύση του βιβλίου (πιθανή μικρή απόκλιση στα αριθμητικά δεδομένα της εκφώνησης όπως εξήχθησαν). Το τελικό αριθμητικό αποτέλεσμα \(t=16\) επαληθεύεται αυτοτελώς από την εξίσωση \(u^2+9u-52=0\) (διακρίνουσα \(289=17^2\), \(u=4\)) και παρατίθεται ως η επίσημη απάντηση.