Κεφάλαιο 1.4 – Όριο Συνάρτησης στο x0∈ℝ (σελ. 46-47) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση 1 (σελ. 46)

Να βρείτε το \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) και το \(f(x_0)\), εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική παράσταση της \(f\) είναι (βλ. σχήματα βιβλίου, τέσσερα γραφήματα): i) κενός κύκλος στο \((3,0)\), συμπαγές σημείο στο \((3,2)\), \(x_0=3\) ii) κενός κύκλος στο ύψος \(2\), συμπαγές σημείο στο ύψος \(4\) πάνω από \(x_0=2\) iii) γράφημα με \(x_0=1,2\) iv) γράφημα με \(x_0=1,2,3\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε γράφημα, το όριο καθορίζεται από το ύψος στο οποίο πλησιάζει η καμπύλη (κενός κύκλος περιλαμβάνεται στο όριο, ΔΕΝ περιλαμβάνεται στην τιμή της συνάρτησης), ενώ η τιμή \(f(x_0)\) καθορίζεται αποκλειστικά από το συμπαγές σημείο πάνω στην κατακόρυφο \(x=x_0\) (αν υπάρχει).

Λύση:

1. i) Η καμπύλη πλησιάζει από αριστερά και δεξιά το σημείο \((3,0)\) (κενός κύκλος) ⟹ \(\lim_{x\to3}f(x)=0\). Το συμπαγές σημείο στο \((3,2)\) δίνει \(f(3)=2\ne\lim_{x\to3}f(x)\).
2. ii) Ομοίως, η καμπύλη πλησιάζει το ύψος \(2\) (κενός κύκλος) ⟹ \(\lim_{x\to2}f(x)=2\), ενώ το συμπαγές σημείο δίνει \(f(2)=4\).
3. iii) Στο \(x_0=1\): αριστερό όριο (κλάδος \(x<1\) που καταλήγει σε κενό κύκλο στο \((1,2)\)) \(=2\)· δεξιό όριο (φθίνων κλάδος από το συμπαγές σημείο \((1,1)\)) \(=1\). Διαφορετικά πλευρικά όρια ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο στο \(x_0=1\). Τιμή: \(f(1)=1\) (συμπαγές σημείο). Στο \(x_0=2\): αριστερό όριο (κλάδος που καταλήγει σε κενό κύκλο στο \((2,0)\)) \(=0\)· δεξιό όριο (κλάδος που ξεκινά από κενό κύκλο στο \((2,1)\)) \(=1\). Διαφορετικά ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο στο \(x_0=2\). Η \(f\) δεν ορίζεται στο \(2\) (δεν υπάρχει συμπαγές σημείο εκεί).
4. iv) Στο \(x_0=1\): αριστερό όριο (οριζόντιο τμήμα \(y=0\)) \(=0\)· δεξιό όριο (οριζόντιο τμήμα \(y=1\)) \(=1\) ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο. \(f(1)=1\) (συμπαγές σημείο στο \((1,1)\)). Στο \(x_0=2\): αριστερό όριο \(=1\), δεξιό όριο \(=2\) ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο. \(f(2)=2\) (συμπαγές σημείο). Στο \(x_0=3\): αμφότερα τα πλευρικά όρια δίνουν \(2\) (το οριζόντιο τμήμα \(y=2\) πλησιάζει κενό κύκλο και από τις δύο πλευρές) ⟹ \(\lim_{x\to3}f(x)=2\)· η \(f\) δεν ορίζεται στο \(3\) (κενός κύκλος, όχι συμπαγές σημείο).

Απάντηση: i) \(\lim_{x\to3}f(x)=0,\ f(3)=2\). ii) \(\lim_{x\to2}f(x)=2,\ f(2)=4\). iii) Δεν υπάρχουν όρια στα \(x_0=1,2\)· \(f(1)=1\), η \(f\) δεν ορίζεται στο \(2\). iv) Δεν υπάρχουν όρια στα \(x_0=1,2\), ενώ \(\lim_{x\to3}f(x)=2\)· \(f(1)=1,\ f(2)=2\), η \(f\) δεν ορίζεται στο \(3\).

(⚠️ υπό επαλήθευση — βλ. σημείωση παρακάτω)

Πρόσεξε:

• Χρειάζεται η εικόνα του βιβλίου για ακριβή επιβεβαίωση της θέσης κάθε ανοιχτού/κλειστού σημείου — η λύση βασίστηκε σε λεκτική περιγραφή της γραφικής παράστασης (όχι άμεση όραση), αλλά τα αριθμητικά αποτελέσματα ταυτίζονται ακριβώς με την επίσημη απάντηση του βιβλίου σε όλα τα υποερωτήματα.

Άσκηση 2 (σελ. 46)

Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το \(\lim_{x\to x_0}f(x)\), όταν: i) \(f(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{x-2},\ x_0=2\) ii) \(f(x)=\begin{cases}x, & x\leq1\\ \frac{1}{x}, & x>1\end{cases},\ x_0=1\) iii) \(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leq1\\ -x+1, & x>1\end{cases},\ x_0=1\) iv) \(f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x^2}}{x},\ x_0=0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή. ii),iii) Υπολογίζουμε χωριστά αριστερό και δεξιό όριο από τον αντίστοιχο κλάδο. iv) Χρησιμοποιούμε \(\sqrt{x^2}=|x|\) και τον ορισμό της απόλυτης τιμής.

Λύση:

1. i) \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), άρα \(f(x)=\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3,\ x\ne2\). Επομένως \(\lim_{x\to2}f(x)=2-3=-1\).
2. ii) Αριστερό όριο (κλάδος \(x\leq1\)): \(\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x=1\). Δεξιό όριο (κλάδος \(x>1\)): \(\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x}=1\). Τα πλευρικά όρια είναι ίσα, άρα \(\lim_{x\to1}f(x)=1\).
3. iii) Αριστερό όριο: \(\lim_{x\to1^-}x^2=1\). Δεξιό όριο: \(\lim_{x\to1^+}(-x+1)=0\). Διαφορετικά πλευρικά όρια (\(1\ne0\)) ⟹ το όριο ΔΕΝ υπάρχει.
4. iv) \(\sqrt{x^2}=|x|\). Για \(x>0\): \(f(x)=x+\frac{x}{x}=x+1\to1\) καθώς \(x\to0^+\). Για \(x<0\): \(f(x)=x+\frac{-x}{x}=x-1\to-1\) καθώς \(x\to0^-\). Διαφορετικά πλευρικά όρια (\(1\ne-1\)) ⟹ το όριο ΔΕΝ υπάρχει.

Απάντηση: i) \(-1\). ii) \(1\). iii) Δεν υπάρχει. iv) Δεν υπάρχει.

Πρόσεξε:

• Όταν ο τύπος της συνάρτησης αλλάζει στο \(x_0\), υπολογίζουμε χωριστά τα πλευρικά όρια· το όριο υπάρχει μόνο όταν αυτά είναι ίσα, όπως στο ii, ενώ στα iii και iv δεν υπάρχει.

Άσκηση 3 (σελ. 46)

Ομοίως όταν: i) \(f(x)=\dfrac{x^3+3x^2-x-3}{x^2-1},\ x_0=1\ \text{ή}\ x_0=-1\) ii) \(f(x)=\dfrac{(x+1)\sqrt{9x^2-6x+1}}{3x-1},\ x_0=\frac{1}{3}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή με ομαδοποίηση. ii) Αναγνωρίζουμε τέλειο τετράγωνο \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\) κάτω από τη ρίζα, οπότε \(\sqrt{(3x-1)^2}=|3x-1|\), και εξετάζουμε χωριστά τα πρόσημα εκατέρωθεν του \(x_0=1/3\).

Λύση:

1. i) Αριθμητής: \(x^3+3x^2-x-3=x^2(x+3)-(x+3)=(x+3)(x^2-1)=(x+3)(x-1)(x+1)\). Παρονομαστής: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Άρα \(f(x)=\dfrac{(x+3)(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=x+3,\ x\ne\pm1\). Επομένως \(\lim_{x\to1}f(x)=1+3=4\) και \(\lim_{x\to-1}f(x)=-1+3=2\).
2. ii) \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\), άρα \(\sqrt{9x^2-6x+1}=|3x-1|\), οπότε \(f(x)=\dfrac{(x+1)|3x-1|}{3x-1}\). Για \(x>\frac13\): \(3x-1>0\Rightarrow|3x-1|=3x-1\Rightarrow f(x)=x+1\), άρα \(\lim_{x\to\frac13^+}f(x)=\frac13+1=\frac43\). Για \(x<\frac13\): \(3x-1<0\Rightarrow|3x-1|=-(3x-1)\Rightarrow f(x)=-(x+1)\), άρα \(\lim_{x\to\frac13^-}f(x)=-\left(\frac13+1\right)=-\frac43\). Αφού \(\frac43\ne-\frac43\), το όριο ΔΕΝ υπάρχει.

Απάντηση: i) \(\lim_{x\to1}f(x)=4\) και \(\lim_{x\to-1}f(x)=2\). ii) Δεν υπάρχει (πλευρικά όρια \(\pm4/3\)).

Πρόσεξε:

• Στο (ii) είναι κρίσιμο να αναγνωριστεί ότι κάτω από τη ρίζα κρύβεται τέλειο τετράγωνο· χωρίς την απόλυτη τιμή \(|3x-1|\) θα καταλήγαμε λανθασμένα σε ενιαίο (υπαρκτό) όριο \(4/3\).

Άσκηση 4 (σελ. 47)

Δίνεται η συνάρτηση \(f\) που είναι ορισμένη στο \([-2,+\infty)\) και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο σχήμα του βιβλίου (φθίνουσα καμπύλη από το συμπαγές σημείο \((-2,2)\) έως τον κενό κύκλο \((1,1)\)· συμπαγές σημείο \((1,2)\) από το οποίο ξεκινά αύξουσα καμπύλη που καταλήγει στον κενό κύκλο \((2,3)\)· συμπαγές σημείο \((2,2)\)· οριζόντια ημιευθεία \(y=3\) για \(x>2\) με κενό κύκλο στο \((3,3)\)· συμπαγές σημείο \((3,4)\)). Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς. i) \(\lim_{x\to-2}f(x)=2\) ii) \(\lim_{x\to1^+}f(x)=1\) iii) \(\lim_{x\to1}f(x)=2\) iv) \(\lim_{x\to2}f(x)=3\) v) \(\lim_{x\to3}f(x)=4\) vi) \(\lim_{x\to4}f(x)=3\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε ισχυρισμό εντοπίζουμε ποιο κομμάτι της γραφικής παράστασης καθορίζει τα πλευρικά όρια, ξεχωρίζοντας τους κενούς κύκλους (σημεία που δεν ανήκουν στη γραφική παράσταση) από τα συμπαγή σημεία (τιμές της \(f\)). Η τιμή \(f(x_0)\) δεν επηρεάζει το όριο.

Λύση:

1. i) Η \(f\) ορίζεται στο \([-2,+\infty)\), άρα κοντά στο \(-2\) ορίζεται μόνο δεξιά του. Καθώς \(x\to-2^+\), η καμπύλη πλησιάζει το σημείο \((-2,2)\), άρα \(\lim_{x\to-2}f(x)=2\): ΑΛΗΘΗΣ.
2. ii) Για \(x\to1^+\) κινούμαστε στην αύξουσα καμπύλη που ξεκινά από το \((1,2)\), άρα \(\lim_{x\to1^+}f(x)=2\ne1\): ΨΕΥΔΗΣ.
3. iii) \(\lim_{x\to1^-}f(x)=1\) (φθίνουσα καμπύλη προς τον κενό κύκλο \((1,1)\)) και \(\lim_{x\to1^+}f(x)=2\). Τα πλευρικά όρια διαφέρουν, άρα το \(\lim_{x\to1}f(x)\) δεν υπάρχει: ΨΕΥΔΗΣ.
4. iv) \(\lim_{x\to2^-}f(x)=3\) (αύξουσα καμπύλη προς τον κενό κύκλο \((2,3)\)) και \(\lim_{x\to2^+}f(x)=3\) (ημιευθεία \(y=3\)). Άρα \(\lim_{x\to2}f(x)=3\), παρόλο που \(f(2)=2\): ΑΛΗΘΗΣ.
5. v) Κοντά στο \(3\) η γραφική παράσταση είναι η ημιευθεία \(y=3\), άρα \(\lim_{x\to3}f(x)=3\ne4\) (το \(4\) είναι η τιμή \(f(3)\), όχι το όριο): ΨΕΥΔΗΣ.
6. vi) Κοντά στο \(4\) ισχύει \(f(x)=3\), άρα \(\lim_{x\to4}f(x)=3\): ΑΛΗΘΗΣ.

Απάντηση: Αληθείς: i, iv, vi. Ψευδείς: ii, iii, v.

Πρόσεξε:

• Το όριο στο \(x_0\) δεν εξαρτάται από την τιμή \(f(x_0)\): στο iv το όριο είναι \(3\) ενώ \(f(2)=2\), και στο v το όριο είναι \(3\) ενώ \(f(3)=4\).
• Σε άκρο του πεδίου ορισμού (όπως το \(-2\)) το όριο βρίσκεται μόνο από τη μία πλευρά.

Άσκηση 5 (σελ. 47)

Δίνεται μια συνάρτηση \(f\) ορισμένη στο \((\alpha,x_0)\cup(x_0,\beta)\), με \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lambda^2-6\) και \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lambda\). Να βρείτε τις τιμές του \(\lambda\in\mathbb{R}\), για τις οποίες υπάρχει το \(\lim_{x\to x_0}f(x)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το όριο υπάρχει ακριβώς όταν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα μεταξύ τους — αυτό δίνει μία δευτεροβάθμια εξίσωση στο \(\lambda\).

Λύση:

1. Το \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) υπάρχει ⟺ \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\) ⟺ \(\lambda^2-6=\lambda\) ⟺ \(\lambda^2-\lambda-6=0\).
2. Διακρίνουσα: \(\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25=5^2\). Ρίζες: \(\lambda=\dfrac{1\pm5}{2}\), δηλαδή \(\lambda=3\) ή \(\lambda=-2\).
3. Επαλήθευση: για \(\lambda=3\): \(\lambda^2-6=9-6=3=\lambda\) ✓. Για \(\lambda=-2\): \(\lambda^2-6=4-6=-2=\lambda\) ✓.

Απάντηση: \(\lambda=3\) ή \(\lambda=-2\).